निकालने के तरीके पर जड़ संकेत. बहुअंकीय संख्या का मूल कैसे निकालें

ग्रंथ सूची विवरण:प्रियोस्टानोवो एस.एम., लिसोगोरोवा एल.वी. वर्गमूल निकालने की विधियाँ // युवा वैज्ञानिक। 2017. क्रमांक 2.2. पी. 76-77..02.2019).



कीवर्ड : वर्गमूल, वर्गमूल निकालना।

गणित के पाठों में, मैं वर्गमूल की अवधारणा और वर्गमूल निकालने की प्रक्रिया से परिचित हुआ। मुझे इस बात में दिलचस्पी हो गई कि क्या वर्गमूल निकालना केवल वर्गों की तालिका का उपयोग करके, कैलकुलेटर का उपयोग करके संभव है, या इसे मैन्युअल रूप से निकालने का कोई तरीका है। मुझे कई तरीके मिले: प्राचीन बेबीलोन का सूत्र, समीकरणों को हल करने के माध्यम से, एक पूर्ण वर्ग को हटाने की विधि, न्यूटन की विधि, ज्यामितीय विधि, ग्राफ़िक विधि(, ), अनुमान लगाकर चयन करने की विधि, विषम संख्या निकालने की विधि।

निम्नलिखित विधियों पर विचार करें:

आइए विघटित करें प्रमुख कारक, विभाज्यता मानदंड 27225=5*5*3*3*11*11 का उपयोग करते हुए। इस प्रकार

1. को कनाडाई पद्धति.यह त्वरित विधि 20वीं सदी में कनाडा के अग्रणी विश्वविद्यालयों में से एक में युवा वैज्ञानिकों द्वारा इसकी खोज की गई थी। इसकी सटीकता दो से तीन दशमलव स्थानों से अधिक नहीं है।

जहां x वह संख्या है जिससे मूल निकाला जाना चाहिए, c निकटतम वर्ग की संख्या है), उदाहरण के लिए:

=5,92

1. एक कॉलम में.यह विधि आपको किसी भी पूर्व निर्धारित सटीकता के साथ किसी भी वास्तविक संख्या के मूल का अनुमानित मान ज्ञात करने की अनुमति देती है। इस पद्धति के नुकसान में गणना की बढ़ती जटिलता शामिल है क्योंकि पाए गए अंकों की संख्या बढ़ जाती है। रूट को मैन्युअल रूप से निकालने के लिए, लंबे विभाजन के समान एक नोटेशन का उपयोग किया जाता है

वर्गमूल एल्गोरिथम

1. हम भिन्नात्मक भाग और पूर्णांक भाग को अल्पविराम से अलग-अलग विभाजित करते हैं दो अंकों के कगार परप्रत्येक चेहरे में ( चुंबनभाग - दाएँ से बाएँ; आंशिक- बाएँ से दाएँ)। यह संभव है कि पूर्णांक भाग में एक अंक हो और भिन्नात्मक भाग में शून्य हो।

2. निष्कर्षण बाएं से दाएं शुरू होता है, और हम एक ऐसी संख्या का चयन करते हैं जिसका वर्ग पहले चेहरे की संख्या से अधिक नहीं होता है। हम इस संख्या का वर्ग करते हैं और इसे पहली तरफ की संख्या के नीचे लिखते हैं।

3. पहले फलक की संख्या और चयनित पहली संख्या के वर्ग के बीच अंतर ज्ञात करें।

4. हम परिणामी अंतर में अगला किनारा जोड़ते हैं, परिणामी संख्या होगी भाज्य. आइए शिक्षित करें डिवाइडर. हम उत्तर के पहले चयनित अंक को दोगुना करते हैं (2 से गुणा करते हैं), हमें भाजक के दहाई की संख्या मिलती है, और इकाइयों की संख्या ऐसी होनी चाहिए कि संपूर्ण भाजक द्वारा इसका उत्पाद लाभांश से अधिक न हो। हम चयनित संख्या को उत्तर के रूप में लिखते हैं।

5. हम परिणामी अंतर के अगले किनारे को लेते हैं और एल्गोरिथम के अनुसार क्रियाएं करते हैं। यदि यह फलक भिन्नात्मक भाग का फलक निकलता है तो हम उत्तर में अल्पविराम लगा देते हैं। (चित्र .1।)

इस पद्धति का उपयोग करके, आप विभिन्न परिशुद्धता के साथ संख्याएँ निकाल सकते हैं, उदाहरण के लिए, हज़ारवें तक। (अंक 2)

मानते हुए विभिन्न तरीकेवर्गमूल निकालने पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं: प्रत्येक में विशिष्ट मामलाआपको हल करने में कम समय खर्च करने के लिए सबसे प्रभावी विकल्प का चयन करने की आवश्यकता है

साहित्य:

1. किसेलेव ए. बीजगणित और विश्लेषण के तत्व। भाग एक.-एम.-1928

मुख्य शब्द: वर्गमूल, वर्गमूल.

एनोटेशन: लेख वर्गमूल निकालने की विधियों का वर्णन करता है और मूल निकालने के उदाहरण प्रदान करता है।

वर्गमूल क्या है?

ध्यान!
अतिरिक्त भी हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो बहुत "बहुत नहीं..." हैं
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

यह अवधारणा बहुत सरल है. स्वाभाविक, मैं कहूंगा। गणितज्ञ प्रत्येक क्रिया की प्रतिक्रिया खोजने का प्रयास करते हैं। जोड़ भी है - घटाव भी है. गुणा-भाग भी है. स्क्वैरिंग है... तो वहाँ भी है वर्गमूल लेना!इतना ही। यह क्रिया ( वर्गमूल) गणित में इस चिह्न द्वारा दर्शाया गया है:

आइकन को ही कहा जाता है एक सुन्दर शब्द "मौलिक".

जड़ कैसे निकालें?इसे देखना बेहतर है उदाहरण.

9 का वर्गमूल क्या है? किस संख्या का वर्ग करने पर हमें 9 प्राप्त होगा? 3 का वर्ग हमें 9 देता है! वे:

लेकिन शून्य का वर्गमूल क्या है? कोई सवाल ही नहीं! शून्य किस संख्या का वर्ग बनाता है? हाँ, यह शून्य देता है! मतलब:

समझ गया, वर्गमूल क्या है?फिर हम विचार करते हैं उदाहरण:

उत्तर (अव्यवस्था में): 6; 1; 4; 9; 5.

फैसला किया? सचमुच, यह कितना आसान है?!

लेकिन... जब कोई व्यक्ति किसी कार्य को जड़ से देखता है तो वह क्या करता है?

एक व्यक्ति दुखी होने लगता है... उसे अपनी जड़ों की सरलता और हल्केपन पर विश्वास नहीं होता। हालाँकि उसे पता लगता है वर्गमूल क्या है...

ऐसा इसलिए है क्योंकि जड़ों का अध्ययन करते समय व्यक्ति ने कई महत्वपूर्ण बिंदुओं को नजरअंदाज कर दिया। फिर ये सनक परीक्षाओं और परीक्षाओं से क्रूर बदला लेती है...

बिंदु एक. आपको जड़ों को दृष्टि से पहचानने की आवश्यकता है!

49 का वर्गमूल क्या है? सात? सही! तुम्हें कैसे पता चला कि सात बज गए हैं? सात का वर्ग किया और 49 प्राप्त हुआ? सही! कृपया ध्यान दें कि जड़ निकालें 49 में से हमें रिवर्स ऑपरेशन करना पड़ा - वर्ग 7! और सुनिश्चित करें कि हम चूकें नहीं। या वे चूक गए होंगे...

यही कठिनाई है जड़ निष्कर्षण. वर्गआप बिना किसी समस्या के किसी भी नंबर का उपयोग कर सकते हैं। किसी संख्या को एक कॉलम से उसी से गुणा करें - बस इतना ही। लेकिन के लिए जड़ निष्कर्षणऐसी कोई सरल और असफल-सुरक्षित तकनीक नहीं है। हमें करना ही होगा उठानाउत्तर दें और इसका वर्ग करके जाँच करें कि क्या यह सही है।

यह जटिल रचनात्मक प्रक्रिया - उत्तर चुनना - बहुत सरल हो जाती है यदि आप याद करनालोकप्रिय संख्याओं का वर्ग. गुणन सारणी की तरह. यदि, मान लीजिए, आपको 4 को 6 से गुणा करना है, तो आप चार को 6 बार नहीं जोड़ते हैं, क्या आप ऐसा करते हैं? उत्तर 24 तुरंत सामने आता है, हालाँकि, हर किसी को यह नहीं मिलता, हाँ...

जड़ों के साथ स्वतंत्र रूप से और सफलतापूर्वक काम करने के लिए, 1 से 20 तक की संख्याओं के वर्गों को जानना पर्याप्त है वहाँऔर पीछे।वे। आपको 11 का वर्ग और 121 का वर्गमूल, दोनों को आसानी से याद करने में सक्षम होना चाहिए। इस याद को प्राप्त करने के लिए, दो तरीके हैं। सबसे पहले वर्गों की तालिका सीखना है। उदाहरणों को हल करने में यह बहुत मददगार होगी. दूसरा है अधिक उदाहरणों को हल करना। इससे आपको वर्गों की तालिका याद रखने में काफी मदद मिलेगी।

और कोई कैलकुलेटर नहीं! केवल परीक्षण प्रयोजनों के लिए. अन्यथा, आप परीक्षा के दौरान बेरहमी से धीमे हो जायेंगे...

इसलिए, वर्गमूल क्या हैऔर कैसे जड़ें निकालें- मुझे लगता है यह स्पष्ट है। अब आइए जानें कि हम उनसे क्या निकाल सकते हैं।

बिंदु दो. रूट, मैं तुम्हें नहीं जानता!

आप किन संख्याओं का वर्गमूल निकाल सकते हैं? हाँ, उनमें से लगभग कोई भी। यह समझना आसान है कि यह क्या है यह वर्जित हैउन्हें निकालें.

आइए इस मूल की गणना करने का प्रयास करें:

ऐसा करने के लिए, हमें एक संख्या चुननी होगी जिसका वर्ग करने पर हमें -4 मिलेगा। हम चुनते हैं.

क्या, यह फिट नहीं है? 2 2 +4 देता है। (-2) 2 पुनः +4 देता है! बस इतना ही... ऐसी कोई संख्या नहीं है जिसका वर्ग करने पर हमें ऋणात्मक संख्या प्राप्त हो! हालाँकि मैं इन नंबरों को जानता हूँ। लेकिन मैं आपको नहीं बताऊंगा)। कॉलेज जाओ और तुम्हें स्वयं पता चल जाएगा।

यही कहानी किसी भी नकारात्मक संख्या के साथ भी घटित होगी। इसलिए निष्कर्ष:

वह अभिव्यक्ति जिसमें वर्गमूल चिन्ह के नीचे एक ऋणात्मक संख्या हो - कोई मतलब नहीं! यह एक निषिद्ध कार्रवाई है. यह शून्य से विभाजित करने जितना ही वर्जित है। इस तथ्य को दृढ़ता से याद रखें!या दूसरे शब्दों में:

का वर्गमूल नकारात्मक संख्याएँहटाया नहीं जा सकता!

लेकिन अन्य सभी में, यह संभव है। उदाहरण के लिए, गणना करना काफी संभव है

पहली नज़र में ये बहुत मुश्किल है. भिन्नों का चयन करना और उनका वर्ग करना... चिंता न करें। जब हम जड़ों के गुणों को समझ लेंगे, तो ऐसे उदाहरण वर्गों की उसी तालिका में सिमट कर रह जायेंगे। जिंदगी आसान हो जाएगी!

ठीक है, भिन्न। लेकिन हमें अभी भी ऐसी अभिव्यक्तियाँ मिलती हैं:

कोई बात नहीं। सब कुछ वैसा ही है. दो का वर्गमूल वह संख्या है जिसका वर्ग करने पर हमें दो प्राप्त होता है। केवल यह संख्या पूरी तरह से असमान है... यहाँ यह है:

दिलचस्प बात यह है कि यह भिन्न कभी समाप्त नहीं होती... ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है। वर्गमूलों में यह सबसे सामान्य बात है। वैसे, मूल वाले भाव इसीलिए कहलाते हैं तर्कहीन. स्पष्ट है कि ऐसे अनंत भिन्न को हर समय लिखना असुविधाजनक है। इसलिए, अनंत भिन्न के बजाय, वे इसे इस तरह छोड़ देते हैं:

यदि, किसी उदाहरण को हल करते समय, आप कुछ ऐसा पाते हैं जिसे निकाला नहीं जा सकता, जैसे:

फिर हम इसे ऐसे ही छोड़ देते हैं। यही उत्तर होगा.

आपको यह स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है कि आइकन का क्या मतलब है

निःसंदेह, यदि संख्या का मूल लिया जाए चिकना, आपको ये करना ही होगा. उदाहरण के लिए, कार्य का उत्तर प्रपत्र में है

बिल्कुल संपूर्ण उत्तर.

और, निःसंदेह, आपको स्मृति से अनुमानित मान जानने की आवश्यकता है:

यह ज्ञान जटिल कार्यों में स्थिति का आकलन करने में बहुत मदद करता है।

बिंदु तीन. सबसे धूर्त.

जड़ों के साथ काम करने में मुख्य भ्रम इसी बिंदु के कारण होता है। यह वह है जो अनिश्चितता देता है अपनी ताकत... आइए इस मुद्दे से ठीक से निपटें!

सबसे पहले, आइए उनमें से चार का वर्गमूल फिर से लें। क्या मैंने आपको पहले ही इस जड़ से परेशान कर दिया है?) कोई बात नहीं, अब यह दिलचस्प होगा!

4 वर्ग कौन सी संख्या है? खैर, दो, दो - मैंने असंतुष्ट उत्तर सुने...

सही। दो। लेकिन शून्य से दो 4 वर्ग देंगे... इस बीच, उत्तर

सही और उत्तर

घोर भूल. इस कदर।

तो मामला क्या है?

दरअसल, (-2) 2 = 4. और चार के वर्गमूल की परिभाषा के तहत शून्य से दोकाफी उपयुक्त... यह चार का वर्गमूल भी है।

लेकिन! स्कूली गणित पाठ्यक्रम में वर्गमूलों पर विचार करने की प्रथा है केवल गैर-नकारात्मक संख्याएँ!यानी शून्य और सब सकारात्मक. यहाँ तक कि एक विशेष शब्द का भी आविष्कार किया गया: बीच से ए- यह गैर नकारात्मकवह संख्या जिसका वर्ग है ए. अंकगणितीय वर्गमूल निकालते समय नकारात्मक परिणाम आसानी से खारिज कर दिए जाते हैं। स्कूल में, सब कुछ वर्गमूल है - अंकगणित. हालाँकि इसका विशेष उल्लेख नहीं किया गया है।

ठीक है, यह समझ में आता है। नकारात्मक परिणामों से परेशान न होना और भी बेहतर है... यह अभी भ्रम नहीं है।

द्विघात समीकरणों को हल करते समय भ्रम की स्थिति शुरू हो जाती है। उदाहरण के लिए, आपको निम्नलिखित समीकरण को हल करना होगा।

समीकरण सरल है, हम उत्तर लिखते हैं (जैसा सिखाया गया है):

यह उत्तर (वैसे बिल्कुल सही) केवल एक संक्षिप्त संस्करण है दोउत्तर:

बंद करो बंद करो! ठीक ऊपर मैंने लिखा है कि वर्गमूल एक संख्या है हमेशागैर-नकारात्मक! और यहाँ उत्तरों में से एक है - नकारात्मक! विकार. यह पहली (लेकिन आखिरी नहीं) समस्या है जो जड़ों के प्रति अविश्वास का कारण बनती है... आइए इस समस्या का समाधान करें। आइए उत्तरों को इस तरह लिखें (सिर्फ समझने के लिए!):

कोष्ठक उत्तर का सार नहीं बदलते। मैंने अभी इसे कोष्ठक से अलग किया है लक्षणसे जड़. अब आप स्पष्ट रूप से देख सकते हैं कि मूल (कोष्ठक में) अभी भी एक गैर-ऋणात्मक संख्या है! और संकेत हैं समीकरण को हल करने का परिणाम. आख़िरकार, किसी भी समीकरण को हल करते समय हमें अवश्य लिखना चाहिए सभी Xs, जिसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, सही परिणाम देगा। प्लस और माइनस दोनों के साथ पांच (सकारात्मक!) का मूल हमारे समीकरण में फिट बैठता है।

इस कदर। अगर आप बस वर्गमूल लेंकिसी भी चीज़ से, आप हमेशाआपको मिला एक गैर-नकारात्मकपरिणाम। उदाहरण के लिए:

ये इसलिए है क्योंकि - अंकगणित वर्गमूल.

लेकिन अगर आप कुछ ठान लेते हैं द्विघात समीकरण, प्रकार:

वह हमेशायह पता चला है दोउत्तर (प्लस और माइनस के साथ):

क्योंकि यही समीकरण का हल है.

आशा, वर्गमूल क्या हैआपको अपने मुद्दे स्पष्ट हो गए हैं। अब यह पता लगाना बाकी है कि जड़ों के साथ क्या किया जा सकता है, उनके गुण क्या हैं। और बिंदु और नुकसान क्या हैं... क्षमा करें, पत्थरों!)

यह सब निम्नलिखित पाठों में है।

यदि आपको यह साइट पसंद है...

वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। त्वरित सत्यापन के साथ परीक्षण। आइए जानें - रुचि के साथ!)

आप फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

वृत्त ने दिखाया कि आप किसी कॉलम में वर्गमूल कैसे निकाल सकते हैं। आप मनमाने परिशुद्धता के साथ मूल की गणना कर सकते हैं, इसके दशमलव अंकन में किसी भी संख्या में अंक पा सकते हैं, भले ही यह तर्कहीन हो। एल्गोरिदम तो याद आ गया, लेकिन सवाल बने रहे. यह स्पष्ट नहीं था कि यह विधि कहां से आई और इसने सही परिणाम क्यों दिया। यह किताबों में नहीं था, या शायद मैं ग़लत किताबों में देख रहा था। अंत में, जो कुछ मैं जानता हूं और आज कर सकता हूं, उसमें से अधिकांश की तरह, मैं इसे स्वयं लेकर आया हूं। मैं यहां अपना ज्ञान साझा करता हूं। वैसे, मुझे अभी भी नहीं पता कि एल्गोरिदम का औचित्य कहां दिया गया है)))

तो, पहले मैं आपको एक उदाहरण के साथ "सिस्टम कैसे काम करता है" बताता हूं, और फिर मैं समझाता हूं कि यह वास्तव में क्यों काम करता है।

आइए एक संख्या लें (संख्या "हवा से ली गई", यह बस दिमाग में आ गई)।

1. हम इसकी संख्याओं को जोड़ियों में विभाजित करते हैं: जो दशमलव बिंदु के बाईं ओर हैं उन्हें दाएं से बाएं दो समूह में रखा जाता है, और जो दाईं ओर हैं उन्हें बाएं से दाएं दो समूह में रखा जाता है। हम पाते हैं।

2. हम बायीं ओर की संख्याओं के पहले समूह से वर्गमूल निकालते हैं - हमारे मामले में यह है (यह स्पष्ट है कि सटीक मूल नहीं निकाला जा सकता है, हम एक ऐसी संख्या लेते हैं जिसका वर्ग जितना संभव हो सके हमारे द्वारा बनाई गई संख्या के करीब होता है) संख्याओं का पहला समूह, लेकिन उससे अधिक नहीं)। हमारे मामले में यह एक संख्या होगी. हम उत्तर लिखते हैं - यह मूल का सबसे महत्वपूर्ण अंक है।

3. हम उस संख्या का वर्ग करते हैं जो पहले से ही उत्तर में है - यह - और इसे बाईं ओर की संख्याओं के पहले समूह से - संख्या से घटा दें। हमारे मामले में यह बना हुआ है.

4. हम दाईं ओर दो संख्याओं का निम्नलिखित समूह निर्दिष्ट करते हैं: . हम उत्तर में पहले से मौजूद संख्या को से गुणा करते हैं और हमें प्राप्त होता है।

5. अब ध्यान से देखिये. हमें दाईं ओर की संख्या को एक अंक निर्दिष्ट करना होगा, और संख्या को उसी निर्दिष्ट अंक से गुणा करना होगा। परिणाम जितना संभव हो उतना करीब होना चाहिए, लेकिन फिर से इस संख्या से अधिक नहीं। हमारे मामले में, यह संख्या होगी, हम इसे उत्तर में दाईं ओर लिखते हैं। यह हमारे वर्गमूल के दशमलव अंकन में अगला अंक है।

6. उत्पाद घटाने पर हमें प्राप्त होता है।

7. इसके बाद, हम परिचित कार्यों को दोहराते हैं: हम अंकों के अगले समूह को दाईं ओर निर्दिष्ट करते हैं, परिणामी संख्या से गुणा करते हैं > हम दाईं ओर एक अंक निर्दिष्ट करते हैं, जैसे कि जब इसे गुणा किया जाता है तो हमें इससे छोटी, लेकिन निकटतम संख्या मिलती है इसके लिए - यह दशमलव रूट नोटेशन में अगला अंक है।

गणना इस प्रकार लिखी जाएगी:

और अब वादा किया गया स्पष्टीकरण। एल्गोरिथम सूत्र पर आधारित है

टिप्पणियाँ: 50

1. 2 एंटोन:

   बहुत अव्यवस्थित और भ्रमित करने वाला. सभी चीज़ों को बिंदुवार व्यवस्थित करें और उन्हें क्रमांकित करें। प्लस: समझाएं कि हम प्रत्येक क्रिया में आवश्यक मानों को कहां प्रतिस्थापित करते हैं। मैंने पहले कभी मूल मूल की गणना नहीं की है - मुझे इसका पता लगाना कठिन लगा।

2. 5 जूलिया:

3. 6 :

   यूलिया, 23 साल की इस समयदाईं ओर लिखा है, ये उत्तर में मूल के पहले दो (बाईं ओर) पहले से प्राप्त अंक हैं। एल्गोरिथम के अनुसार 2 से गुणा करें। हम बिंदु 4 में वर्णित चरणों को दोहराते हैं।

4. 7 ज़ज़:

   "6" में त्रुटि। 167 से हम गुणनफल 43 * 3 = 123 (129 नाडा) घटाते हैं, हमें 38 प्राप्त होता है।”
   मुझे समझ नहीं आ रहा कि दशमलव बिंदु के बाद यह 08 कैसे हो गया...

5. 9 फेडोटोव अलेक्जेंडर:

   और यहां तक ​​कि प्री-कैलकुलेटर युग में भी, हमें स्कूल में न केवल वर्गमूल निकालना सिखाया जाता था, बल्कि एक कॉलम में घनमूल भी निकालना सिखाया जाता था, लेकिन यह अधिक कठिन और श्रमसाध्य कार्य. ब्रैडिस टेबल या स्लाइड नियम का उपयोग करना आसान था, जिसका अध्ययन हम पहले ही हाई स्कूल में कर चुके थे।

6. 10 :

   अलेक्जेंडर, आप सही हैं, आप बड़ी शक्तियों की जड़ों को एक कॉलम में निकाल सकते हैं। मैं सिर्फ घनमूल कैसे ज्ञात करें इसके बारे में लिखने जा रहा हूँ।

7. 12 सर्गेई वैलेंटाइनोविच:

   प्रिय एलिसैवेटा अलेक्जेंड्रोवना! 70 के दशक के उत्तरार्ध में, मैंने क्वाड्रा की स्वचालित (अर्थात, चयन द्वारा नहीं) गणना के लिए एक योजना विकसित की। फ़ेलिक्स जोड़ने वाली मशीन पर रूट करें। यदि आप रुचि रखते हैं, तो मैं आपको एक विवरण भेज सकता हूं।

8. 14 व्लाद ऑस एंगेल्सस्टेड:

   (((स्तंभ का वर्गमूल निकालना)))
   यदि आप दूसरी संख्या प्रणाली का उपयोग करते हैं, तो एल्गोरिदम सरल हो जाता है, जिसका अध्ययन कंप्यूटर विज्ञान में किया जाता है, लेकिन यह गणित में भी उपयोगी है। एक। कोलमोगोरोव ने स्कूली बच्चों के लिए लोकप्रिय व्याख्यानों में इस एल्गोरिदम को प्रस्तुत किया। उनका लेख "चेबीशेव कलेक्शन" (गणितीय जर्नल, इंटरनेट पर इसका लिंक देखें) में पाया जा सकता है।
   वैसे, कहो:
   जी. लीबनिज ने एक समय में शुरुआती लोगों के लिए इसकी सरलता और पहुंच के कारण 10वीं संख्या प्रणाली से बाइनरी प्रणाली में संक्रमण करने का विचार किया था ( जूनियर स्कूली बच्चे). लेकिन स्थापित परंपराओं को तोड़ना अपने माथे से किले के द्वार को तोड़ने जैसा है: यह संभव है, लेकिन यह बेकार है। तो यह पता चला है कि सबसे उद्धृत के अनुसार पुराने समयदाढ़ी वाले दार्शनिक के लिए: सभी मृत पीढ़ियों की परंपराएँ जीवित लोगों की चेतना को दबा देती हैं।

   अगली बार तक।

9. 15 व्लाद ऑस एंगेल्सस्टेड:

   ))सर्गेई वैलेंटाइनोविच, हां, मुझे दिलचस्पी है...((

   मैं शर्त लगाता हूं कि यह क्रमिक सन्निकटन की विधि का उपयोग करके वर्गाकार शूरवीर निकालने की बेबीलोनियाई विधि के "फेलिक्स" पर एक भिन्नता है। यह एल्गोरिदम न्यूटन की विधि (स्पर्शरेखा विधि) द्वारा कवर किया गया था

   मुझे आश्चर्य है कि क्या मैं अपने पूर्वानुमान में ग़लत था?

10. 18 :

    2 व्लाद ऑस एंगेल्सस्टेड

    हां, बाइनरी में एल्गोरिदम सरल होना चाहिए, यह बिल्कुल स्पष्ट है।

    न्यूटन की विधि के बारे में. शायद यह सच है, लेकिन यह अभी भी दिलचस्प है

11. 20 किरिल:

    बहुत-बहुत धन्यवाद। लेकिन अभी भी कोई एल्गोरिदम नहीं है, कोई नहीं जानता कि यह कहां से आया है, लेकिन परिणाम सही है। बहुत-बहुत धन्यवाद! मैं काफी समय से इसकी तलाश कर रहा था)

12. 21 अलेक्जेंडर:

    आप उस संख्या से मूल कैसे निकालेंगे जहां बाएं से दाएं दूसरा समूह बहुत छोटा है? उदाहरण के लिए, हर किसी का पसंदीदा नंबर 4,398,046,511,104 है। पहले घटाव के बाद एल्गोरिथम के अनुसार सब कुछ जारी रखना संभव नहीं है। कृपया समझाएँ।

13. 22 एलेक्सी:

    हाँ, मैं यह तरीका जानता हूँ। मुझे इसे किसी पुराने संस्करण की पुस्तक "बीजगणित" में पढ़ना याद है। फिर, सादृश्य द्वारा, उन्होंने स्वयं यह अनुमान लगाया कि एक कॉलम में घनमूल कैसे निकाला जाता है। लेकिन वहां यह पहले से ही अधिक जटिल है: प्रत्येक अंक एक से नहीं (एक वर्ग के लिए), बल्कि दो घटावों से निर्धारित होता है, और वहां भी आपको हर बार लंबी संख्याओं को गुणा करना पड़ता है।

14. 23 आर्टेम:

    56789.321 का वर्गमूल निकालने के उदाहरण में त्रुटियाँ हैं। संख्या 32 के समूह को संख्या 145 और 243 को दो बार सौंपा गया है, संख्या 2388025 में दूसरे 8 को 3 से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। फिर अंतिम घटाव इस प्रकार लिखा जाना चाहिए: 2431000 - 2383025 = 47975।
    इसके अतिरिक्त, जब शेषफल को उत्तर के दोगुने मान (अल्पविराम को ध्यान में रखे बिना) से विभाजित किया जाता है, तो हमें महत्वपूर्ण अंकों की एक अतिरिक्त संख्या (47975/(2*238305) = 0.100658819...) प्राप्त होती है, जिसे इसमें जोड़ा जाना चाहिए उत्तर (√56789.321 = 238.305... = 238.305100659)।

15. 24 सर्गेई:

    जाहिर तौर पर एल्गोरिदम आइजैक न्यूटन की पुस्तक "जनरल अरिथमेटिक या अंकगणित संश्लेषण और विश्लेषण पर एक पुस्तक" से आया है। यहाँ इसका एक अंश है:

    जड़ें निकालने के बारे में

    किसी संख्या का वर्गमूल निकालने के लिए सबसे पहले आपको इकाई से शुरू करते हुए उसके अंकों के ऊपर एक बिंदु लगाना चाहिए। फिर आपको भागफल या मूलांक में वह संख्या लिखनी चाहिए जिसका वर्ग पहले बिंदु से पहले वाली संख्या या संख्या के बराबर या हानि में निकटतम हो। इस वर्ग को घटाने के बाद, मूल के शेष अंक क्रमिक रूप से मूल के पहले से निकाले गए भाग के मूल्य के दोगुने से शेषफल को विभाजित करके और हर बार वर्ग के शेषफल से अंतिम पाए गए अंक और उसके दस गुना उत्पाद को घटाकर प्राप्त किए जाएंगे। नामित भाजक.

16. 25 सर्गेई:

    कृपया पुस्तक का शीर्षक "सामान्य अंकगणित या अंकगणित संश्लेषण और विश्लेषण के बारे में एक पुस्तक" भी सही करें।

17. 26 अलेक्जेंडर:

    के लिए धन्यवाद दिलचस्प सामग्री. लेकिन यह विधि मुझे आवश्यकता से कुछ अधिक जटिल लगती है, उदाहरण के लिए, एक स्कूली बच्चे के लिए। मैं पहले दो डेरिवेटिव का उपयोग करके द्विघात फ़ंक्शन का विस्तार करने पर आधारित एक सरल विधि का उपयोग करता हूं। इसका सूत्र है:
    sqrt(x)= A1+A2-A3, कहाँ
    A1 वह पूर्णांक है जिसका वर्ग x के निकटतम है;
    A2 एक भिन्न है, अंश x-A1 है, हर 2*A1 है।
    स्कूल पाठ्यक्रम में आने वाली अधिकांश संख्याओं के लिए, यह परिणाम सौवें तक सटीक प्राप्त करने के लिए पर्याप्त है।
    यदि आपको अधिक सटीक परिणाम की आवश्यकता है, तो लें
    A3 एक भिन्न है, अंश A2 वर्ग है, हर 2*A1+1 है।
    बेशक, इसका उपयोग करने के लिए आपको पूर्णांकों के वर्गों की एक तालिका की आवश्यकता होगी, लेकिन स्कूल में यह कोई समस्या नहीं है। इस फॉर्मूले को याद रखना काफी आसान है.
    हालाँकि, यह मुझे भ्रमित करता है कि मैंने स्प्रेडशीट के साथ प्रयोगों के परिणामस्वरूप अनुभवजन्य रूप से A3 प्राप्त किया है और मुझे यह समझ में नहीं आता है कि इस सदस्य का ऐसा स्वरूप क्यों है। शायद आप मुझे कुछ सलाह दे सकें?

18. 27 अलेक्जेंडर:

    हाँ, मैंने भी इन विचारों पर विचार किया है, लेकिन शैतान विवरण में है। आप लिखिए:
    "चूंकि a2 और b में बहुत कम अंतर है।" सवाल बिल्कुल यह है कि कितना कम है.
    यह सूत्र दूसरे दस की संख्याओं पर अच्छा काम करता है और पहले दस की संख्याओं पर बहुत खराब (सौवें तक नहीं, केवल दसवें तक) काम करता है। ऐसा क्यों होता है, इसे डेरिवेटिव के उपयोग के बिना समझना मुश्किल है।

19. 28 अलेक्जेंडर:

    मैं स्पष्ट करूँगा कि मेरे प्रस्तावित फ़ॉर्मूले में मुझे क्या फ़ायदा दिखता है। इसमें अंकों के जोड़े में संख्याओं के पूरी तरह से प्राकृतिक विभाजन की आवश्यकता नहीं होती है, जैसा कि अनुभव से पता चलता है, अक्सर त्रुटियों के साथ किया जाता है। इसका अर्थ स्पष्ट है, लेकिन विश्लेषण से परिचित व्यक्ति के लिए यह तुच्छ है। 100 से 1000 तक की संख्याओं पर अच्छा काम करता है, जो स्कूल में मिलने वाली सबसे आम संख्याएँ हैं।

20. 29 अलेक्जेंडर:

    वैसे, मैंने कुछ खोजबीन की और अपने सूत्र में A3 के लिए सटीक अभिव्यक्ति पाई:
    ए3= ए22 /2(ए1+ए2)

21. 30 वासिल स्ट्राइजाक:

    हमारे समय में, कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के व्यापक उपयोग के साथ, किसी संख्या से वर्गाकार शूरवीर निकालने का प्रश्न व्यावहारिक दृष्टिकोण से सार्थक नहीं है। लेकिन गणित प्रेमियों के लिए ये निस्संदेह रुचिकर हैं विभिन्न विकल्पइस समस्या का समाधान. में स्कूल के पाठ्यक्रमअतिरिक्त धनराशि की भागीदारी के बिना इस गणना की विधि एक कॉलम में गुणा और भाग के बराबर होनी चाहिए। गणना एल्गोरिथ्म को न केवल याद रखना चाहिए, बल्कि समझने योग्य भी होना चाहिए। शास्त्रीय विधि, सार के प्रकटीकरण के साथ चर्चा के लिए इस सामग्री में प्रदान की गई, उपरोक्त मानदंडों का पूरी तरह से अनुपालन करती है।
    अलेक्जेंडर द्वारा प्रस्तावित विधि का एक महत्वपूर्ण दोष पूर्णांकों के वर्गों की एक तालिका का उपयोग है। स्कूल पाठ्यक्रम में आने वाली अधिकांश संख्याओं के बारे में लेखक चुप है। जहां तक ​​सूत्र का सवाल है, सामान्य तौर पर गणना की अपेक्षाकृत उच्च सटीकता के कारण मुझे यह पसंद है।

22. 31 अलेक्जेंडर:

    30 वासिल स्ट्राइज़हाक के लिए
    मैंने कुछ भी चुप नहीं रखा. वर्गों की तालिका 1000 तक मानी जाती है। स्कूल में मेरे समय में वे इसे बस याद करते थे और यह सभी गणित की पाठ्यपुस्तकों में था। मैंने स्पष्ट रूप से इस अंतराल को नाम दिया है।
    जहाँ तक कंप्यूटर तकनीक का सवाल है, इसका उपयोग मुख्य रूप से गणित के पाठों में नहीं किया जाता है, जब तक कि कैलकुलेटर के उपयोग के विषय पर विशेष रूप से चर्चा नहीं की जाती है। कैलकुलेटर अब उन उपकरणों में बनाए गए हैं जो एकीकृत राज्य परीक्षा में उपयोग के लिए निषिद्ध हैं।

23. 32 वासिल स्ट्राइजक:

    अलेक्जेंडर, स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद! मैंने सोचा कि प्रस्तावित विधि के लिए सभी दो अंकों की संख्याओं के वर्गों की एक तालिका को याद रखना या उसका उपयोग करना आवश्यक है, फिर 100 से 10000 तक के अंतराल में शामिल नहीं होने वाली मूल संख्याओं के लिए, आप ऐसा कर सकते हैं दशमलव बिंदु को घुमाकर परिमाण के आदेशों की आवश्यक संख्या तक उन्हें बढ़ाने या घटाने की तकनीक का उपयोग करें।

24. 33 वासिल स्ट्राइज़क:

25. 39 अलेक्जेंडर:

    सोवियत मशीन पर "आईएएमबी" भाषा में मेरा पहला कार्यक्रम "इस्क्रा 555" कॉलम निष्कर्षण एल्गोरिदम का उपयोग करके एक संख्या का वर्गमूल निकालने के लिए लिखा गया था! और अब मैं भूल गया कि इसे मैन्युअल रूप से कैसे निकालना है!

अध्याय एक।

किसी दिए गए पूर्णांक से सबसे बड़ा पूर्णांक वर्गमूल ज्ञात करना।

170. प्रारंभिक टिप्पणियाँ.

ए)चूँकि हम केवल वर्गमूल निकालने के बारे में बात करेंगे, इस अध्याय में भाषण को छोटा करने के लिए हम "वर्ग" मूल के बजाय केवल "मूल" कहेंगे।

बी)यदि हम प्राकृतिक श्रृंखला की संख्याओं का वर्ग करें: 1,2,3,4,5। . . , तो हमें वर्गों की निम्नलिखित तालिका मिलती है: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144। .,

जाहिर है, ऐसे बहुत से पूर्णांक हैं जो इस तालिका में नहीं हैं; निस्संदेह, ऐसी संख्याओं से संपूर्ण मूल निकालना असंभव है। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि आपको किसी पूर्णांक का मूल निकालने की आवश्यकता है। √4082 खोजने की आवश्यकता है, तो हम इस आवश्यकता को इस प्रकार समझने के लिए सहमत हैं: यदि संभव हो तो 4082 की पूरी जड़ निकालें; यदि यह संभव नहीं है, तो हमें सबसे बड़ा पूर्णांक ज्ञात करना होगा जिसका वर्ग 4082 है (ऐसी संख्या 63 है, क्योंकि 63 2 = 3969, और 64 2 = 4090)।

वी)यदि यह संख्या 100 से कम है, तो गुणन सारणी का उपयोग करके इसका मूल ज्ञात किया जाता है; इस प्रकार, √60 7 होगा, क्योंकि सात 7 49 के बराबर है, जो 60 से कम है, और आठ 8 64 के बराबर है, जो 60 से अधिक है।

171. 10,000 से कम लेकिन 100 से बड़ी संख्या का मूल निकालना।मान लीजिए कि हमें √4082 खोजना है। चूँकि यह संख्या 10,000 से कम है, इसका मूल √l0,000 = 100 से कम है। दूसरी ओर, यह संख्या 100 से अधिक है; इसका मतलब यह है कि इसका मूल 10 से बड़ा (या उसके बराबर) है। (यदि, उदाहरण के लिए, √ खोजना आवश्यक था 120 , फिर यद्यपि संख्या 120 > 100, तथापि √ 120, 10 के बराबर है, क्योंकि 11 2 = 121.) लेकिन प्रत्येक संख्या जो 10 से बड़ी लेकिन 100 से कम है उसमें 2 अंक होते हैं; इसका मतलब है कि आवश्यक मूल योग है:

दहाई + इकाई,

और इसलिए इसका वर्ग योग के बराबर होना चाहिए:

यह योग 4082 का सबसे बड़ा वर्ग होना चाहिए।

आइए उनमें से सबसे बड़ा, 36 लें, और मान लें कि दहाई मूल का वर्ग बिल्कुल इस सबसे बड़े वर्ग के बराबर होगा। तो फिर मूल में दहाई की संख्या 6 होनी चाहिए। आइए अब जाँच करें कि यह हमेशा होना चाहिए, यानी, मूल में दहाई की संख्या हमेशा मूलांक की सैकड़ों की संख्या के सबसे बड़े पूर्णांक मूल के बराबर होती है।

दरअसल, हमारे उदाहरण में, मूल के दहाई की संख्या 6 से अधिक नहीं हो सकती, क्योंकि (7 दिसंबर) 2 = 49 सैकड़ा, जो 4082 से अधिक है। लेकिन यह 6 से कम नहीं हो सकता, क्योंकि 5 दिसंबर। (इकाइयों के साथ) 6 डेस से कम है, और इस बीच (6 डेस) 2 = 36 सैकड़े, जो कि 4082 से कम है। और चूँकि हम सबसे बड़े पूर्ण मूल की तलाश कर रहे हैं, हमें मूल के लिए 5 डेस नहीं लेना चाहिए, जबकि 6 दहाई भी बहुत नहीं हैं।

तो, हमने मूल की दहाई की संख्या ज्ञात की है, अर्थात 6. हम इस संख्या को = चिह्न के दाईं ओर लिखते हैं, यह याद रखते हुए कि इसका अर्थ मूल की दहाई है। इसे वर्ग से बढ़ाने पर हमें 36 शतक मिलते हैं। हम मूलांक संख्या के 40 सैकड़े में से इन 36 सैकड़ों को घटाते हैं और इस संख्या के शेष दो अंकों को घटाते हैं। शेष 482 में 2 (6 डेसी.) (इकाइयाँ) + (इकाइयाँ)2 होना चाहिए। गुणनफल (6 डेसी.) (इकाइयां) दहाई होनी चाहिए; इसलिए, दहाई बटा इकाई के दोहरे गुणनफल को शेष के दहाई में खोजा जाना चाहिए, यानी, 48 में (हम 48 "2 के शेष में दाईं ओर एक अंक को अलग करके उनकी संख्या प्राप्त करते हैं)। मूल का दोगुना दहाई 12 बनाते हैं। इसका मतलब यह है कि यदि हम 12 को मूल की इकाइयों से गुणा करते हैं (जो अभी भी अज्ञात हैं), तो हमें 48 में निहित संख्या प्राप्त करनी चाहिए। इसलिए, हम 48 को 12 से विभाजित करते हैं।

ऐसा करने के लिए, शेषफल के बायीं ओर एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचें और उसके पीछे (उस उद्देश्य के लिए रेखा से एक स्थान बायीं ओर पीछे हटते हुए जो अब दिखाई देगा) हम मूल के पहले अंक को दोगुना यानी 12 लिखते हैं, और 48 को इससे भाग देने पर भागफल 4 प्राप्त होता है।

हालाँकि, हम पहले से गारंटी नहीं दे सकते कि संख्या 4 को मूल की इकाइयों के रूप में लिया जा सकता है, क्योंकि अब हमने शेष दहाई की पूरी संख्या को 12 से विभाजित कर दिया है, जबकि उनमें से कुछ संबंधित नहीं हो सकते हैं उत्पाद से दोगुनाइकाइयों द्वारा दहाई, और इकाइयों के वर्ग का हिस्सा है। इसलिए, संख्या 4 बड़ी हो सकती है। हमें इसे आज़माने की ज़रूरत है। यह स्पष्ट रूप से उपयुक्त है यदि योग 2 (6 दिसंबर) 4 + 4 2 शेषफल 482 से अधिक नहीं है।

परिणामस्वरूप, हमें दोनों का योग एक साथ प्राप्त होता है। परिणामी उत्पाद 496 निकला, जो शेष 482 से अधिक है; यानी नंबर 4 बड़ा है. तो चलिए अगली छोटी संख्या 3 को भी इसी तरह परखते हैं।

उदाहरण.

उदाहरण 4 में, जब शेषफल के 47 दहाई को 4 से विभाजित किया जाता है, तो हमें भागफल के रूप में 11 प्राप्त होता है, लेकिन चूंकि मूल की इकाइयों की संख्या दो अंकों की संख्या 11 या 10 नहीं हो सकती है, इसलिए हमें सीधे संख्या 9 का परीक्षण करना होगा।

उदाहरण 5 में, वर्ग के पहले फलक से 8 घटाने पर शेषफल 0 होता है और अगले फलक में भी शून्य होता है। इससे पता चलता है कि वांछित मूल में केवल 8 दहाई हैं, और इसलिए इकाई के स्थान पर शून्य लगाना होगा।

172. 10000 से बड़ी संख्या का मूल निकालना. मान लीजिए कि हमें √35782 खोजना है। चूँकि मूल संख्या 10,000 से अधिक है, इसका मूल √10000 = 100 से अधिक है और इसलिए, इसमें 3 अंक या अधिक होते हैं। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि इसमें कितने अंक हैं, हम इसे हमेशा केवल दहाई और इकाई का योग ही मान सकते हैं। यदि, उदाहरण के लिए, मूल 482 निकलता है, तो हम इसे 48 डेस की मात्रा के रूप में गिन सकते हैं। + 2 इकाइयाँ तब मूल के वर्ग में 3 पद होंगे:

(दिसम्बर) 2 + 2 (दिसम्बर) (इकाई) + (इकाई) 2।

अब हम ठीक उसी तरह तर्क कर सकते हैं जैसे √4082 (पिछले पैराग्राफ में) ढूंढते समय करते थे। अंतर केवल इतना होगा कि 4082 के मूल का दहाई ज्ञात करने के लिए हमें 40 का मूल निकालना होगा, और यह गुणन सारणी का उपयोग करके किया जा सकता है; अब, दहाई√35782 प्राप्त करने के लिए, हमें 357 का मूल निकालना होगा, जो गुणन सारणी का उपयोग करके नहीं किया जा सकता है। लेकिन हम पिछले पैराग्राफ में वर्णित तकनीक का उपयोग करके √357 पा सकते हैं, क्योंकि संख्या 357< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

आगे, हम वैसे ही आगे बढ़ते हैं जैसे हमने √4082 ज्ञात करते समय किया था, अर्थात्: शेष 3382 के बाईं ओर हम एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचते हैं और उसके पीछे हम लिखते हैं (रेखा से एक स्थान पीछे हटते हुए) मूल के दसियों की संख्या का दोगुना, यानि 36 (दोगुना 18)। शेषफल में, हम दाईं ओर से एक अंक अलग करते हैं और शेष के दहाई की संख्या, यानी 338, को 36 से विभाजित करते हैं। भागफल में हमें 9 मिलता है। हम इस संख्या का परीक्षण करते हैं, जिसके लिए हम इसे दाईं ओर 36 से विभाजित करते हैं और इससे गुणा करें. गुणनफल 3321 निकला, जो शेष से कम है। इसका मतलब है कि संख्या 9 उपयुक्त है, हम इसे मूल में लिखते हैं।

सामान्यतः, किसी भी पूर्णांक का वर्गमूल निकालने के लिए, आपको पहले उसके सैकड़े का मूल निकालना होगा; यदि यह संख्या 100 से अधिक है, तो आपको इन सैकड़ों में से सैकड़ों की संख्या का मूल खोजना होगा, अर्थात किसी दी गई संख्या के दसियों हज़ार में से; यदि यह संख्या 100 से अधिक है, तो आपको सैकड़ों दसियों हज़ार की संख्या से, यानी किसी दी गई संख्या के लाखों से, आदि से मूल निकालना होगा।

उदाहरण.

अंतिम उदाहरण में, पहला अंक ज्ञात करने और उसका वर्ग घटाने पर, हमें शेषफल 0 मिलता है। हम अगले 2 अंक 51 घटाते हैं। दहाई को अलग करने पर, हमें 5 डेस प्राप्त होता है, जबकि मूल का दोहरा पाया गया अंक 6 है। इसका मतलब यह है कि 5 को 6 से विभाजित करने पर हमें 0 मिलता है। हम मूल में 0 को दूसरे स्थान पर रखते हैं और शेषफल में अगले 2 अंक जोड़ते हैं; हमें 5110 मिलता है। फिर हम हमेशा की तरह जारी रखते हैं।

इस उदाहरण में, आवश्यक मूल में केवल 9 सैकड़ों हैं, और इसलिए शून्य को दहाई के स्थान पर और इकाई के स्थान पर रखा जाना चाहिए।

नियम। किसी दिए गए पूर्णांक का वर्गमूल निकालने के लिए उसे इससे विभाजित करें दांया हाथबाईं ओर, किनारे पर, प्रत्येक में 2 अंक, अंतिम को छोड़कर, जिसमें एक अंक हो सकता है।
मूल का पहला अंक ज्ञात करने के लिए, पहले फलक का वर्गमूल लें।
दूसरा अंक ज्ञात करने के लिए, मूल के पहले अंक का वर्ग पहले फलक से घटाया जाता है, दूसरे फलक को शेषफल में लिया जाता है, और परिणामी संख्या के दहाई की संख्या को मूल के पहले अंक के दोगुने से विभाजित किया जाता है ; परिणामी पूर्णांक का परीक्षण किया जाता है।
यह परीक्षण इस प्रकार किया जाता है: ऊर्ध्वाधर रेखा के पीछे (शेष के बाईं ओर) मूल की पहले से पाई गई संख्या को दोगुना लिखें और उसके साथ, दाहिनी ओर, परीक्षण किया गया अंक निर्दिष्ट किया गया है, परिणामी संख्या को इस जोड़ के बाद परीक्षण किए गए अंक से गुणा किया जाता है। यदि गुणन के बाद परिणाम शेषफल से बड़ी संख्या है, तो परीक्षण किया गया अंक उपयुक्त नहीं है और अगले छोटे अंक का परीक्षण किया जाना चाहिए।
मूल के अगले अंक उसी तकनीक का उपयोग करके पाए जाते हैं।
यदि, किसी फलक को हटाने के बाद, परिणामी संख्या के दहाई की संख्या भाजक से कम हो जाती है, अर्थात मूल के पाए गए भाग के दोगुने से कम हो जाती है, तो वे मूल में 0 लगाते हैं, अगला फलक हटा देते हैं और कार्रवाई आगे भी जारी रखें.

173. मूल के अंकों की संख्या.मूल ज्ञात करने की प्रक्रिया पर विचार करने से यह निष्कर्ष निकलता है कि मूल में उतने ही अंक होते हैं जितने मूलांक में 2-2 अंकों के फलक होते हैं (बाएँ फलक में एक अंक हो सकता है)।

अध्याय दो।

विश्वासपात्र निकालना वर्गमूलपूर्ण और भिन्नात्मक संख्याओं से .

बहुपदों का वर्गमूल निकालने के लिए, § 399 वगैरह के दूसरे भाग में जोड़ देखें।

174. एक सटीक वर्गमूल के लक्षण.किसी दी गई संख्या का सटीक वर्गमूल वह संख्या होती है जिसका वर्ग दी गई संख्या के बिल्कुल बराबर होता है। आइए हम कुछ संकेत बताएं जिनके द्वारा कोई यह अनुमान लगा सकता है कि किसी दिए गए नंबर से सटीक मूल निकाला जा सकता है या नहीं:

ए)यदि किसी दिए गए पूर्णांक से सटीक पूर्ण मूल नहीं निकाला जाता है (निष्कासन करते समय शेष प्राप्त होता है), तो ऐसी संख्या से भिन्नात्मक सटीक मूल नहीं पाया जा सकता है, क्योंकि कोई भी अंश जो पूर्ण संख्या के बराबर नहीं होता है, जब स्वयं से गुणा किया जाता है , उत्पाद में एक अंश भी उत्पन्न करता है, पूर्णांक नहीं।

बी)चूँकि किसी भिन्न का मूल अंश के मूल को हर के मूल से विभाजित करने के बराबर होता है, एक अपरिवर्तनीय भिन्न का सटीक मूल नहीं पाया जा सकता है यदि इसे अंश या हर से नहीं निकाला जा सकता है। उदाहरण के लिए, भिन्न 4/5, 8/9 और 11/15 से सटीक मूल निकालना असंभव है, क्योंकि पहले अंश में इसे हर से नहीं निकाला जा सकता है, दूसरे में - अंश से, और में तीसरा - न तो अंश से और न ही हर से।

जिन संख्याओं से सटीक मूल नहीं निकाला जा सकता, केवल अनुमानित मूल ही निकाले जा सकते हैं।

175. अनुमानित जड़ 1 से सटीक. किसी दी गई संख्या (पूर्णांक या आंशिक, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता) का 1 के भीतर सटीक अनुमानित वर्गमूल एक पूर्णांक है जो निम्नलिखित दो आवश्यकताओं को पूरा करता है:

1) इस संख्या का वर्ग दी गई संख्या से बड़ा नहीं है; 2) लेकिन इस संख्या का वर्ग 1 बढ़ाने पर इस संख्या से बड़ा है। दूसरे शब्दों में, 1 के बराबर अनुमानित वर्गमूल किसी दी गई संख्या का सबसे बड़ा पूर्णांक वर्गमूल होता है, अर्थात वह मूल जिसे हमने पिछले अध्याय में खोजना सीखा था। इस मूल को 1 के भीतर अनुमानित कहा जाता है, क्योंकि एक सटीक मूल प्राप्त करने के लिए, हमें इस अनुमानित मूल में 1 से कम कुछ अंश जोड़ना होगा, इसलिए यदि अज्ञात सटीक मूल के बजाय हम इस अनुमानित मूल को लेते हैं, तो हम एक त्रुटि करेंगे 1 से कम.

नियम। 1 के भीतर सटीक अनुमानित वर्गमूल निकालने के लिए, आपको दी गई संख्या के पूर्णांक भाग का सबसे बड़ा पूर्णांक मूल निकालने की आवश्यकता है।

इस नियम द्वारा पाई गई संख्या एक नुकसान के साथ अनुमानित मूल है, क्योंकि इसमें एक निश्चित अंश (1 से कम) की सटीक जड़ का अभाव है। यदि हम इस मूल को 1 से बढ़ाते हैं, तो हमें एक और संख्या प्राप्त होती है जिसमें सटीक मूल पर कुछ अधिकता होती है, और यह आधिक्य 1 से कम होता है। 1 से बढ़े हुए इस मूल को 1 की सटीकता के साथ एक अनुमानित मूल भी कहा जा सकता है, लेकिन अधिकता के साथ. (कुछ गणितीय पुस्तकों में नाम: "कमी से" या "अधिकता से" को अन्य समकक्ष नामों से बदल दिया गया है: "कमी से" या "अधिकता से।")

176. 1/10 की सटीकता के साथ अनुमानित जड़. मान लीजिए कि हमें 1/10 की सटीकता के साथ √2.35104 खोजने की आवश्यकता है। इसका मतलब है कि आपको एक दशमलव अंश ढूंढना होगा जिसमें पूर्ण इकाइयां और दसवां हिस्सा शामिल होगा और जो निम्नलिखित दो आवश्यकताओं को पूरा करेगा:

1) इस भिन्न का वर्ग 2.35104 से अधिक नहीं होता है, लेकिन 2) यदि हम इसे 1/10 से बढ़ा देते हैं, तो इस बढ़े हुए भिन्न का वर्ग 2.35104 से अधिक हो जाता है।

ऐसी भिन्न को खोजने के लिए, हम पहले 1 के सटीक अनुमानित मूल को ढूंढते हैं, अर्थात, हम केवल पूर्णांक 2 से मूल निकालते हैं। हमें 1 मिलता है (और शेष 1 होता है)। हम मूल में संख्या 1 लिखते हैं और उसके बाद अल्पविराम लगाते हैं। अब हम दशमांश की संख्या देखेंगे। ऐसा करने के लिए, हम दशमलव बिंदु के दाईं ओर के अंक 35 को शेष 1 तक ले जाते हैं, और निष्कर्षण जारी रखते हैं जैसे कि हम पूर्णांक 235 का मूल निकाल रहे थे। हम परिणामी संख्या 5 को मूल के स्थान पर लिखते हैं दसवां. हमें मूलांक (104) के शेष अंकों की आवश्यकता नहीं है। परिणामी संख्या 1.5 वास्तव में 1/10 की सटीकता के साथ एक अनुमानित मूल होगी जिसे निम्नलिखित से देखा जा सकता है। यदि हमें 1 की सटीकता के साथ 235 का सबसे बड़ा पूर्णांक मूल ज्ञात करना हो, तो हमें 15 मिलेगा। तो:

15 2 < 235, लेकिन 16 2 >235।

इन सभी संख्याओं को 100 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

इसका मतलब यह है कि संख्या 1.5 दशमलव अंश है जिसे हम 1/10 की सटीकता के साथ अनुमानित मूल कहते हैं।

इस तकनीक का उपयोग करके, हम 0.1 की सटीकता के साथ निम्नलिखित अनुमानित जड़ें भी पा सकते हैं:

177. 1/100 से 1/1000 के भीतर अनुमानित वर्गमूल, आदि।

मान लीजिए हमें 1/100 की सटीकता के साथ एक अनुमानित √248 खोजने की आवश्यकता है। इसका मतलब है: एक दशमलव अंश ढूंढें जिसमें पूर्ण, दसवां और सौवां भाग शामिल होगा और जो दो आवश्यकताओं को पूरा करेगा:

1) इसका वर्ग 248 से अधिक नहीं है, लेकिन 2) यदि हम इस अंश को 1/100 से बढ़ा दें, तो इस बढ़े हुए अंश का वर्ग 248 से अधिक हो जाता है।

हम निम्नलिखित क्रम में ऐसा भिन्न ढूंढेंगे: पहले हम पूर्ण संख्या निकालेंगे, फिर दसवां अंक, फिर सौवां अंक। एक पूर्णांक का मूल 15 पूर्णांक है। दसवां अंक प्राप्त करने के लिए, जैसा कि हमने देखा है, आपको शेष 23 में दशमलव बिंदु के दाईं ओर 2 अंक और जोड़ने होंगे। हमारे उदाहरण में, ये संख्याएँ बिल्कुल मौजूद नहीं हैं; हम उनके स्थान पर शून्य डालते हैं। उन्हें शेषफल में जोड़कर और जारी रखते हुए जैसे कि हम पूर्णांक 24,800 का मूल ढूंढ रहे थे, हम दसवां अंक 7 प्राप्त करेंगे। अभी सौवां अंक ज्ञात करना बाकी है। ऐसा करने के लिए, हम शेष 151 में 2 और शून्य जोड़ते हैं और निष्कर्षण जारी रखते हैं, जैसे कि हम पूर्णांक 2,480,000 का मूल ज्ञात कर रहे हों, हमें 15.74 मिलता है। यह संख्या वास्तव में 1/100 की सटीकता के साथ 248 का अनुमानित मूल है जिसे निम्नलिखित से देखा जा सकता है। यदि हमें पूर्णांक 2,480,000 का सबसे बड़ा पूर्णांक वर्गमूल ज्ञात करना हो, तो हमें 1574 प्राप्त होगा; मतलब:

1574 2 < 2,480,000, लेकिन 1575 2 > 2,480,000।

सभी संख्याओं को 10,000 (= 100 2) से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

इसका मतलब यह है कि 15.74 वह दशमलव अंश है जिसे हम 248 में से 1/100 की सटीकता के साथ अनुमानित मूल कहते हैं।

1/1000 से 1/10000 आदि की सटीकता के साथ अनुमानित जड़ खोजने के लिए इस तकनीक को लागू करने पर, हम निम्नलिखित पाते हैं।

नियम। इससे निकालने के लिए पूर्ण संख्याएंया किसी दिए गए दशमलव अंश से 1/10 से 1/100 से 1/100 आदि की सटीकता के साथ एक अनुमानित मूल ढूंढें, पहले 1 की सटीकता के साथ एक अनुमानित मूल ढूंढें, पूर्णांक से मूल निकालें (यदि यह नहीं है) वहां, मूल 0 संपूर्ण) के बारे में लिखें।

फिर वे दशमांश की संख्या ज्ञात करते हैं। ऐसा करने के लिए, दशमलव बिंदु के दाईं ओर मूल संख्या के दो अंक शेष में जोड़ें (यदि वे वहां नहीं हैं, तो शेष में दो शून्य जोड़ें), और निष्कर्षण जारी रखें जैसा कि पूर्णांक से मूल निकालते समय किया जाता है। परिणामी संख्या मूल में दहाई के स्थान पर लिखी जाती है।

फिर सौवीं संख्या ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, जो संख्याएँ अभी हटाई गई थीं, उनके दाहिनी ओर की दो संख्याओं को शेषफल आदि में जोड़ दिया जाता है।

इस प्रकार, दशमलव अंश के साथ एक पूर्णांक की जड़ निकालते समय, दशमलव बिंदु से शुरू करके, बाईं ओर (संख्या के पूर्णांक भाग में) और दाईं ओर (में) दोनों को 2 अंकों के चेहरों में विभाजित करना आवश्यक है भिन्नात्मक भाग).

उदाहरण.

1) 1/100 मूल तक खोजें: ए) √2; बी) √0.3;

पिछले उदाहरण में, हमने मूल के 4 दशमलव स्थानों को खोजने के लिए आवश्यक 4 फलकों को बनाने के लिए 8 दशमलव स्थानों की गणना करके भिन्न 3/7 को दशमलव में परिवर्तित किया।

178. वर्गमूलों की तालिका का विवरण।इस पुस्तक के अंत में चार अंकों के साथ गणना की गई वर्गमूलों की एक तालिका है। इस तालिका का उपयोग करके, आप किसी पूर्ण संख्या (या दशमलव अंश) का वर्गमूल तुरंत पा सकते हैं जो चार से अधिक अंकों में व्यक्त नहीं है। यह समझाने से पहले कि यह तालिका कैसे संरचित है, हम ध्यान दें कि हम हमेशा मूल संख्या को देखकर तालिकाओं की सहायता के बिना वांछित रूट का पहला महत्वपूर्ण अंक पा सकते हैं; हम यह भी आसानी से निर्धारित कर सकते हैं कि मूल के पहले अंक का दशमलव में कौन सा स्थान है और इसलिए, जब हम इसके अंक पाते हैं, तो मूल में कहां अल्पविराम लगाना चाहिए। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

1) √5"27,3 . पहला अंक 2 होगा, क्योंकि मूलांक का बायां भाग 5 है; और 5 का मूल 2 के बराबर है। इसके अलावा, चूँकि मूलांक के पूर्णांक भाग में केवल 2 फलक हैं, तो वांछित मूल के पूर्णांक भाग में 2 अंक होने चाहिए और इसलिए, इसका पहला अंक 2 होना चाहिए माध्य दहाई.

2) √9.041. जाहिर है, इस मूल में पहला अंक 3 अभाज्य इकाइयाँ होंगी।

3) √0.00"83"4. पहला महत्वपूर्ण अंक 9 है, क्योंकि पहला महत्वपूर्ण अंक प्राप्त करने के लिए जिस फलक से मूल निकालना होगा वह 83 है, और 83 का मूल 9 है। चूँकि वांछित संख्या में पूर्ण संख्याएँ या दशमांश शामिल नहीं होंगे, इसलिए प्रथम अंक 9 का अर्थ सौवां होना चाहिए।

4) √0.73"85. पहला सार्थक अंक 8 दहाई है।

5) √0.00"00"35"7. पहला महत्वपूर्ण अंक 5 हजारवां होगा।

चलिए एक और टिप्पणी करते हैं. आइए मान लें कि हमें एक संख्या का मूल निकालने की आवश्यकता है, जिसमें व्याप्त शब्द को हटाने के बाद, संख्याओं की एक श्रृंखला द्वारा दर्शाया जाता है: 5681। यह मूल निम्नलिखित में से एक हो सकता है:

यदि हम उन मूलों को लेते हैं जिन्हें हम एक पंक्ति से रेखांकित करते हैं, तो वे सभी संख्याओं की एक ही श्रृंखला द्वारा व्यक्त किए जाएंगे, ठीक वही संख्याएँ जो 5681 से मूल निकालने पर प्राप्त होती हैं (ये संख्याएँ 7, 5, 3, 7 होंगी) ). इसका कारण यह है कि मूल के अंक ज्ञात करते समय मूलांक को जिन फलकों में विभाजित करना होगा वे इन सभी उदाहरणों में समान होंगे, इसलिए प्रत्येक मूल के अंक समान होंगे (केवल दशमलव की स्थिति) बेशक, बिंदु अलग होगा)। इसी प्रकार हमारे द्वारा दो पंक्तियों से रेखांकित किये गये सभी मूलों में हमें मिलना चाहिए समान संख्याएँ, बिल्कुल वे जिनके द्वारा √568.1 व्यक्त किया जाता है (ये संख्याएँ 2, 3, 8, 3 होंगी), और इसी कारण से। इस प्रकार, संख्या 5681 की एक ही पंक्ति द्वारा दर्शाए गए संख्याओं की जड़ों के अंक (अल्पविराम हटाकर) दो (और केवल दो) प्रकार के होंगे: या तो यह पंक्ति 7, 5, 3, 7 है, या पंक्ति 2, 3, 8, 3। यही बात, जाहिर है, संख्याओं की किसी अन्य श्रृंखला के बारे में भी कही जा सकती है। इसलिए, जैसा कि अब हम तालिका में देखेंगे, मूलांक के अंकों की प्रत्येक पंक्ति मूलों के अंकों की 2 पंक्तियों से मेल खाती है।

अब हम तालिका की संरचना और इसका उपयोग कैसे करें समझा सकते हैं। स्पष्टीकरण की स्पष्टता के लिए, हमने यहां तालिका के पहले पृष्ठ की शुरुआत दिखाई है।

यह तालिका कई पृष्ठों पर स्थित है. उनमें से प्रत्येक पर, बाईं ओर के पहले कॉलम में, संख्याएँ 10, 11, 12... (99 तक) रखी गई हैं। ये संख्याएँ उस संख्या के पहले 2 अंकों को व्यक्त करती हैं जिनसे वर्गमूल खोजा जाता है। शीर्ष क्षैतिज रेखा में (साथ ही नीचे भी) संख्याएँ हैं: 0, 1, 2, 3... 9, जो इस संख्या के तीसरे अंक का प्रतिनिधित्व करती हैं, और फिर दाईं ओर संख्याएँ 1, 2, हैं। 3. . . 9, इस संख्या के चौथे अंक को दर्शाता है। अन्य सभी क्षैतिज रेखाओं में 2 चार अंकों की संख्याएँ होती हैं जो संबंधित संख्याओं के वर्गमूल को व्यक्त करती हैं।

मान लीजिए आपको किसी पूर्णांक या व्यक्त संख्या का वर्गमूल ज्ञात करना है दशमलव. सबसे पहले, हम तालिकाओं की सहायता के बिना, मूल का पहला अंक और उसका अंक ढूंढते हैं। फिर हम इस संख्या में अल्पविराम को हटा देंगे, यदि कोई हो। आइए पहले मान लें कि अल्पविराम हटाने के बाद, उदाहरण के लिए, केवल 3 अंक शेष रहेंगे। 114. हम तालिकाओं में सबसे बाएं कॉलम में पहले 2 अंक, यानी 11 पाते हैं, और उनसे क्षैतिज रेखा के साथ दाईं ओर बढ़ते हैं जब तक कि हम ऊर्ध्वाधर कॉलम तक नहीं पहुंच जाते, जिसके शीर्ष (और नीचे) पर तीसरा अंक होता है। संख्या का, यानी 4. इस स्थान पर हमें दो चार अंकों वाली संख्याएँ मिलती हैं: 1068 और 3376। इन दोनों संख्याओं में से कौन सी संख्या ली जानी चाहिए और इसमें अल्पविराम कहाँ लगाया जाना चाहिए, यह मूल के पहले अंक से निर्धारित होता है और इसका अंक, जो हमें पहले मिला था। इसलिए, यदि हमें √0.11"4 खोजना है, तो मूल का पहला अंक 3 दसवां है, और इसलिए हमें मूल के लिए 0.3376 लेना होगा। यदि हमें √1.14 खोजना है, तो मूल का पहला अंक होगा 1, और हम फिर 1.068 लेंगे।

इस तरह हम आसानी से पा सकते हैं:

√5.30 = 2.302; √7"18 = 26.80; √0.91"6 = 0.9571, आदि।

आइए अब मान लें कि हमें 4 अंकों में व्यक्त (दशमलव बिंदु को हटाकर) एक संख्या का मूल ज्ञात करना है, उदाहरण के लिए, √7"45.6। यह ध्यान में रखते हुए कि मूल का पहला अंक 2 दहाई है, हम इसके लिए पाते हैं संख्या 745, जैसा कि अब बताया गया है, अंक 2729 (हम इस संख्या को केवल अपनी उंगली से देखते हैं, लेकिन इसे लिखते नहीं हैं)। फिर हम इस संख्या से दाईं ओर तालिका के दाईं ओर (पीछे) तक जाते हैं अंतिम बोल्ड लाइन) हम ऊर्ध्वाधर कॉलम से मिलते हैं जो ऊपर (और नीचे) 4 पर अंकित है। इस संख्या का वां अंक, यानी संख्या 6, और वहां नंबर 1 ढूंढें। यह एक संशोधन होगा जिसे लागू किया जाना चाहिए (मन में) पहले पाई गई संख्या 2729 पर हमें 2730 मिलता है। हम इस संख्या को लिखते हैं और इसमें उचित स्थान पर अल्पविराम लगाते हैं।

इस प्रकार हम पाते हैं, उदाहरण के लिए:

√44.37 = 6.661; √4.437 = 2.107; √0.04"437 =0.2107, आदि।

यदि मूल संख्या केवल एक या दो अंकों द्वारा व्यक्त की जाती है, तो हम मान सकते हैं कि इन अंकों के बाद एक या दो शून्य आते हैं, और फिर तीन अंकों की संख्या के लिए बताए अनुसार आगे बढ़ें। उदाहरण के लिए, √2.7 =√2.70 =1.643; √0.13 = √0.13"0 = 0.3606, आदि..

अंत में, यदि मूल संख्या 4 से अधिक अंकों द्वारा व्यक्त की जाती है, तो हम उनमें से केवल पहले 4 को लेंगे, और बाकी को हटा देंगे, और त्रुटि को कम करने के लिए, यदि छोड़े गए अंकों में से पहला 5 या 5 से अधिक है, तो हम बरकरार रखे गए अंकों में से एक चौथाई को बढ़ा देंगे। इसलिए:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0.7025; वगैरह।

टिप्पणी। तालिकाएँ अनुमानित वर्गमूल को दर्शाती हैं, कभी-कभी कमी के साथ, कभी-कभी अधिकता के साथ, अर्थात् इन अनुमानित जड़ों में से एक जो सटीक जड़ के करीब आती है।

179. साधारण भिन्नों से वर्गमूल निकालना।किसी अपरिवर्तनीय भिन्न का सटीक वर्गमूल तभी निकाला जा सकता है जब भिन्न के दोनों पद सटीक वर्ग हों। इस मामले में, अंश और हर की जड़ को अलग-अलग निकालना पर्याप्त है, उदाहरण के लिए:

यदि हम पहले इसे उलट दें तो कुछ दशमलव परिशुद्धता के साथ एक साधारण भिन्न का अनुमानित वर्गमूल सबसे आसानी से पाया जा सकता है सामान्य अंशदशमलव तक, इस अंश में दशमलव बिंदु के बाद दशमलव स्थानों की संख्या की गणना करना जो दो बार होगी अधिक संख्यावांछित मूल में दशमलव स्थान.

हालाँकि, आप इसे अलग तरीके से कर सकते हैं। आइए इसे निम्नलिखित उदाहरण से समझाएं:

अनुमानित √ 5 / 24 ज्ञात कीजिए

आइए हर को एक सटीक वर्ग बनाएं। ऐसा करने के लिए, भिन्न के दोनों पदों को हर 24 से गुणा करना पर्याप्त होगा; लेकिन इस उदाहरण में आप इसे अलग तरीके से कर सकते हैं। आइए 24 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें: 24 = 2 2 2 3। इस अपघटन से यह स्पष्ट है कि यदि 24 को 2 और अन्य 3 से गुणा किया जाए, तो प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड उत्पाद में दोहराया जाएगा। सम संख्यासमय, और इसलिए हर एक वर्ग बन जाता है:

कुछ सटीकता के साथ √30 की गणना करना और परिणाम को 12 से विभाजित करना बाकी है। यह ध्यान में रखना होगा कि 12 से विभाजित करने पर सटीकता की डिग्री दर्शाने वाला अंश भी कम हो जाएगा। इसलिए, यदि हम 1/10 की सटीकता के साथ √30 पाते हैं और परिणाम को 12 से विभाजित करते हैं, तो हमें 1/120 (अर्थात् 54/120 और 55/120) की सटीकता के साथ अंश 5/24 का अनुमानित मूल प्राप्त होगा।

अध्याय तीन।

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़एक्स = √y .

180. व्युत्क्रम फलन.कोई समीकरण दिया जाए जो निर्धारित करता हो पर के एक समारोह के रूप में एक्स , उदाहरण के लिए, इस तरह: वाई = एक्स 2 . हम कह सकते हैं कि यह न केवल निर्धारित करता है पर के एक समारोह के रूप में एक्स , लेकिन इसके विपरीत, निर्धारित भी करता है एक्स के एक समारोह के रूप में पर , भले ही परोक्ष रूप से। इस फ़ंक्शन को स्पष्ट करने के लिए, हमें इस समीकरण को हल करने की आवश्यकता है एक्स , ले रहा हूँ पर किसी ज्ञात संख्या के लिए; तो, हमने जो समीकरण लिया उससे हम पाते हैं: वाई = एक्स 2 .

Y को x के एक फलन के रूप में परिभाषित करने वाले समीकरण को हल करने के बाद x के लिए प्राप्त बीजगणितीय अभिव्यक्ति को y को परिभाषित करने वाले समीकरण का व्युत्क्रम फलन कहा जाता है।

तो समारोह एक्स = √y उलटा कार्य वाई = एक्स 2 . यदि, जैसा कि प्रथागत है, हम स्वतंत्र चर को निरूपित करते हैं एक्स , और आश्रित पर , तो अब प्राप्त व्युत्क्रम फलन को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: y = √ x . इस प्रकार, किसी दिए गए (प्रत्यक्ष) के व्युत्क्रम फलन को प्राप्त करने के लिए, इसे निर्धारित करने वाले समीकरण से होना चाहिए यह फ़ंक्शन, आउटपुट एक्स इस पर निर्भर करते हुए य और परिणामी अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करें य पर एक्स , ए एक्स पर य .

181. किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = √ x . यह फ़ंक्शन ऋणात्मक मान के साथ संभव नहीं है एक्स , लेकिन इसकी गणना किसी भी सकारात्मक मान के लिए (किसी भी सटीकता के साथ) की जा सकती है एक्स , और ऐसे प्रत्येक मान के लिए फ़ंक्शन को दो प्राप्त होते हैं विभिन्न अर्थसमान निरपेक्ष मान के साथ, लेकिन साथ में विपरीत संकेत. यदि आप परिचित हैं √ यदि हम केवल वर्गमूल के अंकगणितीय मान को निरूपित करें, तो फ़ंक्शन के इन दो मानों को निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है: य = ± √x इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाने के लिए, आपको पहले इसके मानों की एक तालिका संकलित करनी होगी। इस तालिका को बनाने का सबसे आसान तरीका प्रत्यक्ष फ़ंक्शन मानों की तालिका से है:

वाई = एक्स 2 .

यदि मान पर मूल्यों के रूप में लें एक्स , और इसके विपरीत:

य = ± √x

इन सभी मानों को चित्र पर अंकित करने पर हमें निम्नलिखित ग्राफ प्राप्त होता है।

उसी चित्र में हमने प्रत्यक्ष फलन के ग्राफ को (टूटी हुई रेखा के साथ) दर्शाया है वाई = एक्स 2 . आइए इन दोनों ग्राफ़ की एक दूसरे से तुलना करें।

182. प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम फलनों के ग्राफ़ के बीच संबंध।व्युत्क्रम फ़ंक्शन के मानों की एक तालिका संकलित करने के लिए य = ± √x हमने लिया एक्स वे संख्याएँ जो प्रत्यक्ष फलन की तालिका में हैं वाई = एक्स 2 के लिए मूल्यों के रूप में कार्य किया पर , और के लिए पर उन नंबरों को ले लिया; इस तालिका में किसके लिए मान थे एक्स . इससे यह पता चलता है कि दोनों ग्राफ़ समान हैं, केवल प्रत्यक्ष फ़ंक्शन का ग्राफ़ अक्ष के सापेक्ष स्थित है पर - व्युत्क्रम फ़ंक्शन का ग्राफ़ अक्ष के सापेक्ष कैसे स्थित है एक्स -ओव. परिणामस्वरूप, यदि हम चित्र को एक सीधी रेखा के चारों ओर मोड़ते हैं ओए समकोण को समद्विभाजित करना xOy , ताकि ड्राइंग का वह भाग जिसमें अर्ध-अक्ष हो ओह , उस हिस्से पर गिरा जिसमें एक्सल शाफ्ट होता है ओह , वह ओह के साथ संगत ओह , सभी प्रभाग ओह विभाजन के साथ मेल खाएगा ओह , और परवलय बिंदु वाई = एक्स 2 ग्राफ़ पर संबंधित बिंदुओं के साथ संरेखित होगा य = ± √x . उदाहरण के लिए, अंक एम और एन , जिसका समन्वय 4 , और एब्सिस्सा 2 और - 2 , बिंदुओं के साथ मेल खाएगा एम" और एन" , जिसके लिए भुज 4 , और निर्देशांक 2 और - 2 . यदि ये बिंदु मेल खाते हैं, तो इसका मतलब है कि सीधी रेखाएँ एमएम" और एनएन" के लिए सीधा ओएऔर इस सीधी रेखा को आधे में बाँट दें। दोनों ग्राफ़ में अन्य सभी संगत बिंदुओं के लिए भी यही कहा जा सकता है।

इस प्रकार, व्युत्क्रम फ़ंक्शन का ग्राफ़ प्रत्यक्ष फ़ंक्शन के ग्राफ़ के समान होना चाहिए, लेकिन ये ग्राफ़ अलग-अलग स्थित होते हैं, अर्थात् कोण के द्विभाजक के सापेक्ष एक दूसरे के साथ सममित रूप से। xOy . हम कह सकते हैं कि व्युत्क्रम फलन का ग्राफ कोण के समद्विभाजक के सापेक्ष प्रत्यक्ष फलन के ग्राफ का प्रतिबिंब (दर्पण की तरह) है xOy .

अधिमानतः एक इंजीनियरिंग वाला - जिसमें रूट चिन्ह वाला एक बटन हो: "√"। आमतौर पर, रूट निकालने के लिए, संख्या को टाइप करना ही पर्याप्त है, और फिर बटन दबाएं: "√"।

सबसे आधुनिक में मोबाइल फ़ोनरूट निष्कर्षण फ़ंक्शन के साथ एक "कैलकुलेटर" एप्लिकेशन है। टेलीफोन कैलकुलेटर का उपयोग करके किसी संख्या का मूल ज्ञात करने की प्रक्रिया उपरोक्त के समान है।
उदाहरण।
2 से खोजें.
कैलकुलेटर चालू करें (यदि यह बंद है) और क्रमिक रूप से दो और रूट ("2" "√") की छवि वाले बटन दबाएं। नियम के अनुसार, आपको “=” कुंजी दबाने की आवश्यकता नहीं है। परिणामस्वरूप, हमें 1.4142 जैसी एक संख्या मिलती है (अंकों की संख्या और "गोलाकारता" बिट गहराई और कैलकुलेटर सेटिंग्स पर निर्भर करती है)।
ध्यान दें: मूल खोजने का प्रयास करते समय, कैलकुलेटर आमतौर पर एक त्रुटि देता है।

यदि आपके पास कंप्यूटर तक पहुंच है, तो किसी संख्या का मूल खोजना बहुत आसान है।
1. आप लगभग किसी भी कंप्यूटर पर उपलब्ध कैलकुलेटर एप्लिकेशन का उपयोग कर सकते हैं। Windows XP के लिए, यह प्रोग्राम निम्नानुसार लॉन्च किया जा सकता है:
"प्रारंभ" - "सभी कार्यक्रम" - "सहायक उपकरण" - "कैलकुलेटर"।
दृश्य को "सामान्य" पर सेट करना बेहतर है। वैसे, एक वास्तविक कैलकुलेटर के विपरीत, रूट निकालने के बटन पर "sqrt" अंकित होता है न कि "√"।

यदि आप संकेतित विधि का उपयोग करके कैलकुलेटर तक नहीं पहुंच सकते हैं, तो आप मानक कैलकुलेटर को "मैन्युअल रूप से" चला सकते हैं:
"प्रारंभ" - "भागो" - "कैल्क"।
2. किसी संख्या का मूल ज्ञात करने के लिए आप अपने कंप्यूटर पर इंस्टॉल किए गए कुछ प्रोग्राम का भी उपयोग कर सकते हैं। इसके अलावा, प्रोग्राम का अपना अंतर्निर्मित कैलकुलेटर है।

उदाहरण के लिए, एमएस एक्सेल एप्लिकेशन के लिए, आप क्रियाओं का निम्नलिखित क्रम कर सकते हैं:
एमएस एक्सेल लॉन्च करें।

हम किसी भी सेल में वह संख्या लिखते हैं जिससे हमें रूट निकालना होता है।

सेल पॉइंटर को किसी भिन्न स्थान पर ले जाएँ

फ़ंक्शन चयन बटन दबाएं (एफएक्स)

"रूट" फ़ंक्शन का चयन करें

हम फ़ंक्शन के तर्क के रूप में एक संख्या के साथ एक सेल निर्दिष्ट करते हैं

"ओके" या "एंटर" पर क्लिक करें
इस पद्धति का लाभ यह है कि अब यह सेल में किसी संख्या के साथ किसी भी मान को दर्ज करने के लिए पर्याप्त है, जैसा कि फ़ंक्शन में है।
टिप्पणी।
किसी संख्या का मूल ज्ञात करने के कई अन्य, अधिक अनोखे तरीके हैं। उदाहरण के लिए, किसी "कोने" में, स्लाइड नियम या ब्रैडिस तालिकाओं का उपयोग करके। हालाँकि, इन विधियों पर उनकी जटिलता और व्यावहारिक अनुपयोगिता के कारण इस लेख में चर्चा नहीं की गई है।

विषय पर वीडियो

स्रोत:

• किसी संख्या का मूल कैसे ज्ञात करें

कभी-कभी ऐसी स्थितियाँ उत्पन्न होती हैं जब आपको वर्गमूल निकालने सहित कुछ प्रकार की गणितीय गणनाएँ करनी होती हैं अधिक हद तकसंख्या से. "ए" का "एन" मूल संख्या है नौवीं डिग्रीजो संख्या "ए" है।

निर्देश

का मूल "n" खोजने के लिए, निम्नलिखित कार्य करें।

अपने कंप्यूटर पर, "प्रारंभ" - "सभी प्रोग्राम" - "सहायक उपकरण" पर क्लिक करें। फिर "सेवा" उपधारा पर जाएं और "कैलकुलेटर" चुनें। आप इसे मैन्युअल रूप से कर सकते हैं: प्रारंभ पर क्लिक करें, रन बॉक्स में "calk" टाइप करें, और Enter दबाएँ। खुल जायेगा. किसी संख्या का वर्गमूल निकालने के लिए, इसे कैलकुलेटर में दर्ज करें और "sqrt" लेबल वाला बटन दबाएँ। कैलकुलेटर दर्ज संख्या से दूसरी डिग्री का मूल, जिसे वर्गमूल कहा जाता है, निकालेगा।

एक रूट निकालने के लिए जिसकी डिग्री दूसरे से अधिक है, आपको दूसरे प्रकार के कैलकुलेटर का उपयोग करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, कैलकुलेटर इंटरफ़ेस में, "देखें" बटन पर क्लिक करें और मेनू से "इंजीनियरिंग" या "वैज्ञानिक" लाइन का चयन करें। इस प्रकार के कैलकुलेटर में मूल की गणना करना आवश्यक होता है नौवीं डिग्रीसमारोह।

थर्ड डिग्री () का मूल निकालने के लिए, "इंजीनियरिंग" कैलकुलेटर पर टाइप करें सही संख्याऔर "3√" बटन दबाएँ। एक रूट प्राप्त करने के लिए जिसकी डिग्री 3 से अधिक है, वांछित संख्या दर्ज करें, "y√x" आइकन वाला बटन दबाएं और फिर संख्या - घातांक दर्ज करें। उसके बाद, समान चिह्न ("=" बटन) दबाएं और आपको वांछित रूट मिल जाएगा।

यदि आपके कैलकुलेटर में "y√x" फ़ंक्शन नहीं है, तो निम्नलिखित।

क्यूब रूट निकालने के लिए, रेडिकल एक्सप्रेशन दर्ज करें, फिर चेक बॉक्स में एक चेक मार्क लगाएं, जो शिलालेख "इन्व" के बगल में स्थित है। इस क्रिया से, आप कैलकुलेटर बटनों के कार्यों को उल्टा कर देंगे, यानी, क्यूब बटन पर क्लिक करके, आप क्यूब रूट निकाल लेंगे। उस बटन पर आप