घात समीकरणों और व्यंजकों को कैसे हल करें. व्याख्यान: “घातांकीय समीकरणों को हल करने की विधियाँ

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इस लेख में आप सभी प्रकार से परिचित होंगे घातीय समीकरणऔर उन्हें हल करने के लिए एल्गोरिदम, यह पहचानना सीखें कि यह किस प्रकार का है घातीय समीकरण, जिसे आपको हल करने की आवश्यकता है, और इसे हल करने के लिए उचित विधि लागू करें। उदाहरणों का विस्तृत समाधान घातीय समीकरणआप प्रत्येक प्रकार को संबंधित वीडियो पाठों में देख सकते हैं।

घातांकीय समीकरण वह समीकरण है जिसमें घातांक में अज्ञात समाहित होता है।

इससे पहले कि आप किसी घातांकीय समीकरण को हल करना शुरू करें, कुछ करना उपयोगी होता है प्रारंभिक कार्रवाई , जो इसे हल करने की प्रक्रिया को काफी सुविधाजनक बना सकता है। ये चरण हैं:

1. शक्तियों के सभी आधारों को अभाज्य कारकों में विभाजित करें।

2. मूलों को डिग्री के रूप में प्रस्तुत करें।

3. दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों के रूप में प्रस्तुत करें।

4. मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्न के रूप में लिखिए।

समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया में आपको इन कार्यों के लाभों का एहसास होगा।

आइए मुख्य प्रकारों पर नजर डालें घातीय समीकरणऔर उन्हें हल करने के लिए एल्गोरिदम।

1. रूप का समीकरण

यह समीकरण समीकरण के समतुल्य है

इस वीडियो ट्यूटोरियल में समीकरण का हल देखें इस प्रकार।

2. रूप का समीकरण

इस प्रकार के समीकरणों में:

बी) घातांक में अज्ञात के गुणांक बराबर हैं।

इस समीकरण को हल करने के लिए, आपको सबसे छोटे कारक का गुणनखंड करना होगा।

इस प्रकार के समीकरण को हल करने का एक उदाहरण:

वीडियो ट्यूटोरियल देखें.

3. रूप का समीकरण

इस प्रकार के समीकरण भिन्न-भिन्न होते हैं

a) सभी डिग्रियों का आधार समान है

बी) घातांक में अज्ञात के लिए गुणांक भिन्न हैं।

इस प्रकार के समीकरणों को चरों के परिवर्तन का उपयोग करके हल किया जाता है। प्रतिस्थापन शुरू करने से पहले, घातांक में मुक्त पदों से छुटकारा पाने की सलाह दी जाती है। (, , वगैरह)

इस प्रकार के समीकरण को हल करने के लिए वीडियो पाठ देखें:

4. सजातीय समीकरणदयालु

सजातीय समीकरणों की विशिष्ट विशेषताएं:

ए) सभी एकपदों की डिग्री समान होती है,

बी) मुक्त पद शून्य है,

ग) समीकरण में दो अलग-अलग आधारों वाली शक्तियां शामिल हैं।

सजातीय समीकरणों को एक समान एल्गोरिदम का उपयोग करके हल किया जाता है।

इस प्रकार के समीकरण को हल करने के लिए, हम समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित करते हैं (से या इससे विभाजित किया जा सकता है)

ध्यान!किसी समीकरण के दाएं और बाएं पक्षों को अज्ञात वाले व्यंजक से विभाजित करने पर, आप मूल खो सकते हैं। इसलिए, यह जांचना आवश्यक है कि जिस अभिव्यक्ति से हम समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित करते हैं उसके मूल मूल समीकरण के मूल हैं या नहीं।

हमारे मामले में, चूँकि अज्ञात के किसी भी मान के लिए व्यंजक शून्य नहीं है, हम बिना किसी डर के इससे भाग दे सकते हैं। आइए इस अभिव्यक्ति के समीकरण के बाएँ पक्ष को पद दर पद विभाजित करें। हम पाते हैं:

आइए दूसरे और तीसरे भिन्न के अंश और हर को कम करें:

आइए प्रतिस्थापन का परिचय दें:

इसके अलावा title='t>0">при всех допустимых значениях неизвестного.!}

हम पाते हैं द्विघात समीकरण:

आइए द्विघात समीकरण को हल करें, वे मान खोजें जो शर्त को संतुष्ट करते हैं title='t>0">, а затем вернемся к исходному неизвестному.!}

वीडियो ट्यूटोरियल देखें विस्तृत समाधानसजातीय समीकरण:

5. रूप का समीकरण

इस समीकरण को हल करते समय, हम इस तथ्य से आगे बढ़ेंगे कि title='f(x)>0">!}

प्रारंभिक समानता दो मामलों में संतुष्ट है:

1. यदि, चूँकि 1 से किसी भी घात का मान 1 है,

2. यदि दो शर्तें पूरी होती हैं:

शीर्षक='delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)>0) (g(x)=h(x)) (x-8y+9z=0))) ( )">!}

समीकरण के विस्तृत समाधान के लिए वीडियो ट्यूटोरियल देखें

घातीय समीकरण. जैसा कि आप जानते हैं, एकीकृत राज्य परीक्षा में सरल समीकरण शामिल होते हैं। हम पहले ही कुछ पर विचार कर चुके हैं - ये लघुगणक, त्रिकोणमितीय, तर्कसंगत हैं। यहाँ घातीय समीकरण हैं.

हाल के एक लेख में हमने घातीय अभिव्यक्तियों के साथ काम किया, यह उपयोगी होगा। समीकरण स्वयं ही सरलता एवं शीघ्रता से हल हो जाते हैं। आपको बस घातांक के गुणों को जानने की जरूरत है और... इसके बारे मेंआगे।

आइए घातांकों के गुणों को सूचीबद्ध करें:

किसी भी संख्या की शून्य घात एक के बराबर होती है।

इस संपत्ति से एक परिणाम:

थोड़ा और सिद्धांत.

घातांकीय समीकरण एक समीकरण है जिसमें घातांक में एक चर होता है, अर्थात यह इस प्रकार का एक समीकरण है:

एफ(एक्स) अभिव्यक्ति जिसमें एक चर शामिल है

घातांकीय समीकरणों को हल करने की विधियाँ

1. परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, समीकरण को इस रूप में घटाया जा सकता है:

फिर हम संपत्ति लागू करते हैं:

2. प्रपत्र का समीकरण प्राप्त होने पर एक एफ (एक्स) = बीलघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:

3. परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, आप इस रूप का एक समीकरण प्राप्त कर सकते हैं:

लघुगणक लागू:

व्यक्त करें और x ज्ञात करें।

कार्यों में एकीकृत राज्य परीक्षा विकल्पयह पहली विधि का उपयोग करने के लिए पर्याप्त होगा।

अर्थात्, बाएँ और दाएँ पक्षों को समान आधार वाली घातों के रूप में निरूपित करना आवश्यक है, और फिर हम घातांकों को बराबर करते हैं और सामान्य रैखिक समीकरण को हल करते हैं।

समीकरणों पर विचार करें:

समीकरण 4 1–2x = 64 का मूल ज्ञात कीजिए।

यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि बाईं ओर और सही भागएक आधार के साथ प्रदर्शनात्मक अभिव्यक्तियाँ थीं। हम 64 को 3 की घात तक 4 के रूप में निरूपित कर सकते हैं। हमें प्राप्त होता है:

4 1-2x = 4 3

1 – 2x = 3

– 2x = 2

एक्स = – 1

परीक्षा:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

उत्तर:-1

समीकरण 3 का मूल ज्ञात कीजिए x–18 = 1/9.

ह ज्ञात है कि

तो 3 x-18 = 3 -2

आधार बराबर हैं, हम संकेतक बराबर कर सकते हैं:

एक्स – 18 = – 2

एक्स = 16

परीक्षा:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

उत्तर: 16

समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए:

आइए भिन्न 1/64 को तीसरी घात के एक-चौथाई के रूप में निरूपित करें:

2x – 19 = 3

2x = 22

एक्स = 11

परीक्षा:

उत्तर: 11

समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए:

आइए 1/3 को 3-1 के रूप में और 9 को 3 वर्ग के रूप में कल्पना करें, हमें मिलता है:

(3-1) 8-2x = 3 2

3 –1∙(8–2x) = 3 2

3 –8+2x = 3 2

अब हम संकेतकों की बराबरी कर सकते हैं:

– 8+2x = 2

2x = 10

एक्स = 5

परीक्षा:

उत्तर: 5

26654. समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए:

समाधान:

उत्तर: 8.75

दरअसल, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किस हद तक ऊपर उठते हैं सकारात्मक संख्याए, हम किसी भी तरह से ऋणात्मक संख्या प्राप्त नहीं कर सकते।

उपयुक्त परिवर्तनों के बाद कोई भी घातीय समीकरण एक या अधिक सरल समीकरणों को हल करने के लिए कम हो जाता है।इस अनुभाग में हम कुछ समीकरणों को हल करने पर भी गौर करेंगे, इसे चूकें नहीं!बस इतना ही। आप सौभाग्यशाली हों!

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सिख।

पुनश्च: यदि आप मुझे सोशल नेटवर्क पर साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।

घातांकीय समीकरण वे होते हैं जिनमें घातांक में अज्ञात समाहित होता है। सबसे सरल घातीय समीकरण का रूप है: a x = a b, जहां a> 0, a 1, x अज्ञात है।

घातों के मुख्य गुण जिनके द्वारा घातीय समीकरण परिवर्तित होते हैं: a>0, b>0।

घातांकीय समीकरणों को हल करते समय इनका भी उपयोग किया जाता है निम्नलिखित गुणघातांकीय फलन: y = a x, a > 0, a1:

किसी संख्या को घात के रूप में दर्शाने के लिए मूल का उपयोग करें लघुगणकीय पहचान: b = , a > 0, a1, b > 0.

"घातीय समीकरण" विषय पर समस्याएं और परीक्षण

घातीय समीकरण
पाठ: 4 असाइनमेंट: 21 परीक्षण: 1
घातीय समीकरण - महत्वपूर्ण विषयगणित में एकीकृत राज्य परीक्षा दोहराने के लिए
कार्य: 14
घातांकीय और लघुगणकीय समीकरणों की प्रणालियाँ - प्रदर्शनात्मक और लघुगणकीय कार्य 11वीं कक्षा
पाठ: 1 असाइनमेंट: 15 परीक्षण: 1
§2.1. घातांकीय समीकरणों को हल करना
पाठ: 1 कार्य: 27
§7 घातांकीय और लघुगणकीय समीकरण और असमानताएँ - धारा 5. घातांकीय और लघुगणकीय फलन, ग्रेड 10
पाठ: 1 कार्य: 17

घातांकीय समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको घातों के मूल गुणों, घातांकीय फलन के गुणों और मूल लघुगणकीय पहचान को जानना चाहिए।

घातांकीय समीकरणों को हल करते समय, दो मुख्य विधियों का उपयोग किया जाता है:

समीकरण a f(x) = a g(x) से समीकरण f(x) = g(x) में संक्रमण;
नई लाइनों की शुरूआत.

उदाहरण.

1. समीकरणों को सरलतम में घटाया गया। इन्हें समीकरण के दोनों पक्षों को समान आधार वाली घात में घटाकर हल किया जाता है।

3 एक्स = 9 एक्स - 2।

समाधान:

3 एक्स = (3 2) एक्स – 2 ;
3 एक्स = 3 2एक्स – 4 ;
एक्स = 2एक्स -4;
एक्स = 4.

उत्तर: 4.

2. कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालकर समीकरण हल किए गए।

समाधान:

3 एक्स - 3 एक्स - 2 = 24
3 एक्स – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 × 8 = 24
3 एक्स – 2 = 3
एक्स - 2 = 1
एक्स = 3.

उत्तर: 3.

3. चर के परिवर्तन का उपयोग करके समीकरण हल किए गए।

समाधान:

2 2x + 2 x – 12 = 0
हम 2 x = y दर्शाते हैं।
y 2 + y – 12 = 0
y 1 = - 4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. समीकरण का कोई हल नहीं है, क्योंकि 2 एक्स > 0.
बी) 2 एक्स = 3; 2 एक्स = 2 लॉग 2 3 ; एक्स = लॉग 2 3.

उत्तर:लॉग 2 3.

4. दो अलग-अलग (एक-दूसरे के लिए कम करने योग्य नहीं) आधारों वाली शक्तियों वाले समीकरण।

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x – 2 = 5 x + 2 x – 2.

3× 2 x + 1 – 2 x – 2 = 5 x – 2 × 5 x – 2
2 x – 2 ×23 = 5 x – 2
×23
2 एक्स - 2 = 5 एक्स - 2
(5/2) x-2 = 1
एक्स – 2 = 0
एक्स = 2.

उत्तर: 2.

5. ऐसे समीकरण जो a x और b x के संबंध में सजातीय हैं।

सामान्य रूप से देखें: ।

9 x + 4 x = 2.5 × 6 x.

समाधान:

3 2x – 2.5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2.5 × (3/2) x + 1 = 0.
आइए हम (3/2) x = y को निरूपित करें।
y 2 – 2.5y + 1 = 0,
आप 1 = 2; आप 2 = ½.

उत्तर:लॉग 3/2 2; - लॉग 3/2 2.

घातीय समीकरण क्या है? उदाहरण.

तो, एक घातीय समीकरण... विभिन्न प्रकार के समीकरणों की हमारी सामान्य प्रदर्शनी में एक नया अनूठा प्रदर्शन!) जैसा कि लगभग हमेशा होता है, किसी भी नए गणितीय शब्द का मुख्य शब्द संबंधित विशेषण होता है जो इसे चित्रित करता है। तो यह यहाँ है. कीवर्डशब्द में "घातीय समीकरण" शब्द है "सांकेतिक". इसका मतलब क्या है? इस शब्द का अर्थ है कि अज्ञात (x) स्थित है किसी भी डिग्री के संदर्भ में.और केवल वहाँ! यह अत्यंत महत्वपूर्ण है.

उदाहरण के लिए, ये सरल समीकरण:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

या ये राक्षस भी:

2 पाप x = 0.5

कृपया एक बात पर तुरंत ध्यान दें खास बात: वी कारणडिग्री (नीचे) - केवल संख्याएँ. लेकिन में संकेतकडिग्री (ऊपर) - एक्स के साथ विभिन्न प्रकार के भाव। बिल्कुल कोई भी।) से सब कुछ विशिष्ट समीकरणनिर्भर करता है. यदि, अचानक, संकेतक के अलावा, समीकरण में कहीं और x दिखाई देता है (मान लीजिए, 3 x = 18 + x 2), तो ऐसा समीकरण पहले से ही एक समीकरण होगा मिश्रित प्रकार . ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए स्पष्ट नियम नहीं होते हैं। इसलिए, हम इस पाठ में उन पर विचार नहीं करेंगे। छात्रों की खुशी के लिए।) यहां हम केवल घातीय समीकरणों पर उनके "शुद्ध" रूप में विचार करेंगे।

सामान्यतया, सभी नहीं और हमेशा शुद्ध घातीय समीकरण भी स्पष्ट रूप से हल नहीं किए जा सकते हैं। लेकिन इन सबके बीच घातांकीय समीकरणों की प्रचुर विविधता मौजूद है कुछ प्रकार, जिसका समाधान किया जा सकता है और किया जाना चाहिए। इस प्रकार के समीकरणों पर हम विचार करेंगे। और हम निश्चित रूप से उदाहरणों को हल करेंगे।) तो आइए आराम से रहें और चलें! कंप्यूटर "शूटर्स" की तरह, हमारी यात्रा स्तरों के माध्यम से होगी।) प्राथमिक से सरल, सरल से औसत और औसत से जटिल तक। रास्ते में, एक गुप्त स्तर भी आपका इंतजार करेगा - गैर-मानक उदाहरणों को हल करने की तकनीकें और तरीके। जिनके बारे में आप ज्यादातर नहीं पढ़ते स्कूल की पाठ्यपुस्तकें... खैर, अंत में, निश्चित रूप से, अंतिम बॉस होमवर्क के रूप में आपका इंतजार कर रहा है।)

स्तर 0. सबसे सरल घातीय समीकरण क्या है? सरल घातीय समीकरणों को हल करना।

सबसे पहले, आइए कुछ स्पष्ट प्राथमिक चीज़ों पर नज़र डालें। आपको कहीं न कहीं से शुरुआत करनी होगी, है ना? उदाहरण के लिए, यह समीकरण:

2 एक्स = 2 2

बिना किसी सिद्धांत के भी, सरल तर्क के अनुसार और व्यावहारिक बुद्धियह स्पष्ट है कि x = 2। कोई अन्य रास्ता नहीं है, है ना? X का कोई अन्य अर्थ उपयुक्त नहीं है... और अब हम अपना ध्यान इस ओर केन्द्रित करते हैं निर्णय का रिकार्डयह अच्छा घातीय समीकरण:

2 एक्स = 2 2

एक्स = 2

हमें क्या हुआ? और निम्नलिखित हुआ. हमने वास्तव में इसे ले लिया और...बस उन्हीं आधारों (दो) को बाहर फेंक दिया! पूरी तरह से बाहर फेंक दिया गया. और, अच्छी खबर यह है कि हमने सही बात पर निशाना साधा है!

हाँ, वास्तव में, यदि किसी घातीय समीकरण में बाएँ और दाएँ हैं समानकिसी भी घात में संख्याएँ, तो इन संख्याओं को त्याग दिया जा सकता है और बस घातांक को बराबर किया जा सकता है। गणित अनुमति देता है।) और फिर आप संकेतकों के साथ अलग से काम कर सकते हैं और बहुत सरल समीकरण को हल कर सकते हैं। बढ़िया, है ना?

ये रहा मुख्य विचारकिसी भी (हाँ, बिल्कुल कोई भी!) घातीय समीकरण का समाधान: समान परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्ष हैं समान विभिन्न घातों में आधार संख्याएँ। और फिर आप उन्हीं आधारों को सुरक्षित रूप से हटा सकते हैं और घातांकों को बराबर कर सकते हैं। और एक सरल समीकरण के साथ काम करें।

अब आइए याद करें लौह नियम: समान आधारों को हटाना तभी संभव है जब समीकरण के बायीं और दायीं ओर की संख्याओं में आधार संख्या हो शानदार अलगाव में.

शानदार अलगाव में इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है बिना किसी पड़ोसी और गुणांक के। मुझे समझाने दीजिए.

उदाहरण के लिए, Eq में.

3 3 x-5 = 3 2 x +1

तीन को हटाया नहीं जा सकता! क्यों? क्योंकि बायीं ओर हमारे पास डिग्री के लिए केवल एक अकेला तीन नहीं है, बल्कि काम 3·3 x-5 . अतिरिक्त तीन हस्तक्षेप करते हैं: गुणांक, आप समझते हैं।)

समीकरण के बारे में भी यही कहा जा सकता है

5 3 एक्स = 5 2 एक्स +5 एक्स

यहाँ भी, सभी आधार समान हैं - पाँच। लेकिन दाईं ओर हमारे पास पाँच की एक भी शक्ति नहीं है: शक्तियों का योग है!

संक्षेप में, हमें समान आधारों को हटाने का अधिकार तभी है जब हमारा घातीय समीकरण इस तरह दिखता है और केवल इस तरह दिखता है:

एएफ (एक्स) = एक जी (एक्स)

इस प्रकार के घातीय समीकरण को कहा जाता है सबसे सरल. या, वैज्ञानिक रूप से, कैनन का . और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हमारे सामने कितना जटिल समीकरण है, हम किसी न किसी तरीके से इसे बिल्कुल इस सरलतम (विहित) रूप में ला देंगे। या, कुछ मामलों में, करने के लिए समग्रताइस प्रकार के समीकरण. तब हमारा सरलतम समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है सामान्य रूप से देखेंइसे इस प्रकार पुनः लिखें:

एफ(एक्स) = जी(एक्स)

बस इतना ही। यह एक समतुल्य रूपांतरण होगा. इस मामले में, f(x) और g(x) x के साथ बिल्कुल कोई भी अभिव्यक्ति हो सकते हैं। जो कुछ भी।

शायद एक विशेष रूप से जिज्ञासु छात्र को आश्चर्य होगा: पृथ्वी पर हम इतनी आसानी से और आसानी से बाएं और दाएं समान आधारों को क्यों त्याग देते हैं और घातांक को बराबर करते हैं? अंतर्ज्ञान अंतर्ज्ञान है, लेकिन क्या होगा यदि, किसी समीकरण में और किसी कारण से, यह दृष्टिकोण गलत हो जाए? क्या हमेशा एक ही आधार को खारिज करना कानूनी है?दुर्भाग्य से, इसके कठोर गणितीय उत्तर के लिए दिलचस्प सवालआपको काफी गहराई से और गंभीरता से गोता लगाने की जरूरत है सामान्य सिद्धांतडिवाइस और फ़ंक्शन व्यवहार। और थोड़ा और विशेष रूप से - घटना में सख्त एकरसता.विशेष रूप से, सख्त एकरसता घातांक प्रकार्यय= एक एक्स. चूँकि यह घातीय फलन और उसके गुण हैं जो घातीय समीकरणों के समाधान को रेखांकित करते हैं, हाँ।) इस प्रश्न का विस्तृत उत्तर विभिन्न कार्यों की एकरसता का उपयोग करके जटिल गैर-मानक समीकरणों को हल करने के लिए समर्पित एक अलग विशेष पाठ में दिया जाएगा।)

इस बिंदु को अब विस्तार से समझाने से केवल औसत छात्र का दिमाग चकरा जाएगा और वह एक सूखे और भारी सिद्धांत से समय से पहले ही डर जाएगा। मैं ऐसा नहीं करूंगा।) क्योंकि हमारा मुख्य इस समयकाम - घातीय समीकरणों को हल करना सीखें!सबसे सरल वाले! इसलिए, आइए अभी चिंता न करें और साहसपूर्वक उन्हीं कारणों को सामने रखें। यह कर सकना, मेरी बात मानें!) और फिर हम समतुल्य समीकरण f(x) = g(x) को हल करते हैं। एक नियम के रूप में, मूल घातांक से अधिक सरल।

निःसंदेह, यह माना जाता है कि लोग पहले से ही जानते हैं कि कम से कम घातांक में x के बिना, और समीकरणों को कैसे हल किया जाए।) उन लोगों के लिए जो अभी भी नहीं जानते कि कैसे, इस पृष्ठ को बेझिझक बंद करें, प्रासंगिक लिंक का अनुसरण करें और भरें पुराने अंतराल. अन्यथा आपके लिए कठिन समय होगा, हाँ...

मैं अतार्किक, त्रिकोणमितीय और अन्य क्रूर समीकरणों के बारे में बात नहीं कर रहा हूं जो नींव को खत्म करने की प्रक्रिया में भी उभर सकते हैं। लेकिन चिंतित न हों, हम अभी डिग्रियों के संदर्भ में पूर्ण क्रूरता पर विचार नहीं करेंगे: यह बहुत जल्दी है। हम केवल सरलतम समीकरणों पर ही प्रशिक्षण देंगे।)

आइए अब उन समीकरणों को देखें जिन्हें सरलतम बनाने के लिए कुछ अतिरिक्त प्रयास की आवश्यकता होती है। भेद के लिए, आइए उन्हें बुलाएँ सरल घातीय समीकरण. तो, चलिए अगले स्तर पर चलते हैं!

स्तर 1. सरल घातीय समीकरण. आइए डिग्रियों को पहचानें! प्राकृतिक संकेतक.

किसी भी घातीय समीकरण को हल करने में प्रमुख नियम हैं डिग्रियों से निपटने के नियम. इस ज्ञान और कौशल के बिना कुछ भी काम नहीं करेगा। अफ़सोस. तो अगर डिग्रियों को लेकर दिक्कत है तो सबसे पहले आपका स्वागत है. इसके अलावा हमें इसकी भी आवश्यकता होगी. ये परिवर्तन (उनमें से दो!) सामान्यतः सभी गणितीय समीकरणों को हल करने का आधार हैं। और केवल प्रदर्शनकारी ही नहीं। तो, जो कोई भी भूल गया हो, लिंक पर भी नज़र डालें: मैंने उन्हें यूं ही वहां नहीं डाला है।

लेकिन केवल शक्तियों के साथ संचालन और पहचान परिवर्तन ही पर्याप्त नहीं हैं। व्यक्तिगत अवलोकन और सरलता की भी आवश्यकता है। हमें भी वही कारण चाहिए, है ना? इसलिए हम उदाहरण की जांच करते हैं और उन्हें स्पष्ट या प्रच्छन्न रूप में देखते हैं!

उदाहरण के लिए, यह समीकरण:

3 2 एक्स – 27 एक्स +2 = 0

पहले देखो मैदान. वे... अलग हैं! तीन और सत्ताईस. लेकिन अभी घबराना और निराश होना जल्दबाजी होगी। यह याद रखने का समय है

27 = 3 3

अंक 3 और 27 डिग्री से रिश्तेदार हैं! और करीबी।) इसलिए, हमारे पास है हर अधिकारलिखो:

27 x +2 = (3 3) x+2

आइए अब इसके बारे में अपना ज्ञान जोड़ते हैं डिग्री के साथ कार्रवाई(और मैंने तुम्हें चेतावनी दी थी!) वहाँ एक बहुत ही उपयोगी सूत्र है:

(ए एम) एन = ए एमएन

यदि आप अब इसे क्रियान्वित करते हैं, तो यह बहुत अच्छा काम करता है:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

मूल उदाहरण अब इस तरह दिखता है:

3 2 एक्स – 3 3(एक्स +2) = 0

बढ़िया, डिग्रियों का आधार समतल हो गया है। हम यही तो चाहते थे. आधी लड़ाई हो चुकी है।) और अब हम बुनियादी पहचान परिवर्तन लॉन्च करते हैं - 3 3(x +2) को दाईं ओर ले जाएं। किसी ने भी गणित की प्रारंभिक संक्रियाओं को रद्द नहीं किया है, हाँ।) हमें मिलता है:

3 2 एक्स = 3 3(एक्स +2)

इस प्रकार का समीकरण हमें क्या देता है? और सच तो यह है कि अब हमारा समीकरण कम हो गया है विहित रूप में: बायीं और दायीं ओर घातों में समान संख्याएँ (तीन) हैं। इसके अलावा दोनों ही तीनों शानदार आइसोलेशन में हैं। बेझिझक त्रिगुण हटाएं और प्राप्त करें:

2x = 3(x+2)

हम इसे हल करते हैं और प्राप्त करते हैं:

एक्स = -6

इतना ही। यह सही जवाब है।)

अब आइए समाधान के बारे में सोचें। इस उदाहरण में हमें किस चीज़ ने बचाया? तीन की शक्तियों के ज्ञान ने हमें बचाया। बिल्कुल कैसे? हम पहचान कीसंख्या 27 में एक एन्क्रिप्टेड तीन शामिल है! यह ट्रिक (उसी आधार का एन्क्रिप्शन) अलग-अलग नंबर) घातीय समीकरणों में सबसे लोकप्रिय में से एक है! जब तक यह सबसे लोकप्रिय न हो. हाँ, और वैसे ही, वैसे भी। यही कारण है कि घातीय समीकरणों में अवलोकन और संख्याओं में अन्य संख्याओं की शक्तियों को पहचानने की क्षमता इतनी महत्वपूर्ण है!

प्रायोगिक उपकरण:

आपको लोकप्रिय नंबरों की शक्तियों को जानना होगा। चेहरे में!

बेशक, कोई भी दो को सातवीं शक्ति तक या तीन को पांचवीं शक्ति तक बढ़ा सकता है। मेरे दिमाग में नहीं, लेकिन कम से कम एक मसौदे में। लेकिन घातीय समीकरणों में, अक्सर यह आवश्यक होता है कि किसी घात तक न बढ़ाया जाए, बल्कि, इसके विपरीत, यह पता लगाया जाए कि संख्या के पीछे कौन सी संख्या और कौन सी घात छिपी हुई है, मान लीजिए, 128 या 243। और यह अधिक जटिल है साधारण पालन-पोषण से, आप सहमत होंगे। जैसा कि वे कहते हैं, अंतर महसूस करें!

चूँकि व्यक्तिगत रूप से डिग्रियाँ पहचानने की क्षमता न केवल इस स्तर पर, बल्कि अगले स्तर पर भी उपयोगी होगी, यहाँ आपके लिए एक छोटा सा कार्य है:

निर्धारित करें कि संख्याएँ कौन सी घातें और कौन सी संख्याएँ हैं:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

उत्तर (निश्चित रूप से, यादृच्छिक रूप से):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

हां हां! आश्चर्यचकित न हों कि कार्यों से अधिक उत्तर हैं। उदाहरण के लिए, 2 8, 4 4 और 16 2 सभी 256 हैं।

स्तर 2. सरल घातीय समीकरण. आइए डिग्रियों को पहचानें! नकारात्मक और भिन्नात्मक संकेतक.

इस स्तर पर हम पहले से ही डिग्रियों के बारे में अपने ज्ञान का पूर्ण उपयोग कर रहे हैं। अर्थात्, हम इसमें शामिल हैं रोमांचक प्रक्रियानकारात्मक और भिन्नात्मक घातांक! हां हां! हमें अपनी शक्ति बढ़ाने की जरूरत है, है ना?

उदाहरण के लिए, यह भयानक समीकरण:

फिर, पहली नज़र नींव पर है। कारण अलग-अलग हैं! और इस बार तो वे दूर-दूर तक एक-दूसरे से मिलते-जुलते नहीं हैं! 5 और 0.04... और आधारों को खत्म करने के लिए उन्हीं आधारों की आवश्यकता है... क्या करें?

कोई बात नहीं! वास्तव में, सब कुछ समान है, बात बस इतनी है कि पांच और 0.04 के बीच का संबंध दृष्टिहीन रूप से दिखाई नहीं देता है। हम कैसे बाहर निकल सकते हैं? आइए सामान्य भिन्न के रूप में संख्या 0.04 पर चलते हैं! और फिर, आप देखिए, सब कुछ ठीक हो जाएगा।)

0,04 = 4/100 = 1/25

बहुत खूब! यह पता चला कि 0.04 1/25 है! खैर, किसने सोचा होगा!)

तो कैसे? क्या अब संख्या 5 और 1/25 के बीच संबंध देखना आसान है? इतना ही...

और अब डिग्री के साथ कार्यों के नियमों के अनुसार नकारात्मक सूचकआप स्थिर हाथ से लिख सकते हैं:

यह बहुत अच्छा है। तो हम उसी आधार पर पहुँचे - पाँच। अब हम समीकरण में असुविधाजनक संख्या 0.04 को 5 -2 से प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

फिर, डिग्री के साथ संचालन के नियमों के अनुसार, अब हम लिख सकते हैं:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

बस मामले में, मैं आपको याद दिला दूं (यदि किसी को पता नहीं है) कि डिग्री से निपटने के लिए बुनियादी नियम मान्य हैं कोईसंकेतक! नकारात्मक सहित।) इसलिए, उचित नियम के अनुसार संकेतक (-2) और (x-1) लेने और गुणा करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें। हमारा समीकरण बेहतर और बेहतर होता जा रहा है:

सभी! बायीं और दायीं ओर की शक्तियों में एकाकी पाँचों के अलावा और कुछ नहीं है। समीकरण को विहित रूप में घटा दिया गया है। और फिर - टेढ़े-मेढ़े रास्ते पर। हम पाँचों को हटाते हैं और संकेतकों को बराबर करते हैं:

एक्स 2 –6 एक्स+5=-2(एक्स-1)

उदाहरण लगभग हल हो गया है। जो कुछ बचा है वह प्राथमिक मध्य विद्यालय का गणित है - कोष्ठक खोलें (सही ढंग से!) और बाईं ओर सब कुछ इकट्ठा करें:

एक्स 2 –6 एक्स+5 = -2 एक्स+2

एक्स 2 –4 एक्स+3 = 0

हम इसे हल करते हैं और दो जड़ें प्राप्त करते हैं:

एक्स 1 = 1; एक्स 2 = 3

बस इतना ही।)

अब फिर से सोचते हैं. में इस उदाहरण मेंहमें फिर से उसी संख्या को अलग-अलग डिग्री तक पहचानना पड़ा! अर्थात्, संख्या 0.04 में एक एन्क्रिप्टेड पांच देखने के लिए। और इस बार - में नकारात्मक डिग्री!हमने यह कैसे किया? सीधे बल्ले से - बिलकुल नहीं। लेकिन से संक्रमण के बाद दशमलव 0.04 से सामान्य भिन्न 1/25 और बस! और फिर पूरा निर्णय घड़ी की कल की तरह चला गया।)

इसलिए, एक और हरित व्यावहारिक सलाह।

यदि किसी घातांकीय समीकरण में दशमलव भिन्न हों, तो हम दशमलव भिन्न से साधारण भिन्न की ओर बढ़ते हैं। में साधारण अंशकई लोकप्रिय नंबरों की शक्तियों को पहचानना बहुत आसान है! पहचान के बाद, हम भिन्न से नकारात्मक घातांक वाली घातों की ओर बढ़ते हैं।

ध्यान रखें कि यह चाल घातीय समीकरणों में बहुत, बहुत बार होती है! लेकिन व्यक्ति विषय में नहीं है. उदाहरण के लिए, वह संख्या 32 और 0.125 को देखता है और परेशान हो जाता है। उससे अनभिज्ञ, यह एक ही ड्यूस है, केवल में विभिन्न डिग्री...लेकिन आप पहले से ही विषय पर हैं!)

प्रश्न हल करें:

में! यह शांत भयावहता जैसा दिखता है... हालाँकि, दिखावे भ्रामक हैं। कठिन होने के बावजूद यह सबसे सरल घातीय समीकरण है उपस्थिति. और अब मैं इसे आपको दिखाऊंगा।)

सबसे पहले, आइए आधारों और गुणांकों में सभी संख्याओं को देखें। बेशक, वे भिन्न हैं, हाँ। लेकिन हम फिर भी जोखिम लेंगे और उन्हें बनाने का प्रयास करेंगे समान! आइए पहुंचने का प्रयास करें विभिन्न घातों में समान संख्या. इसके अलावा, अधिमानतः, संख्याएँ यथासंभव छोटी हों। तो, चलिए डिकोड करना शुरू करें!

खैर, चारों के साथ सब कुछ तुरंत स्पष्ट है - यह 2 2 है। तो, यह पहले से ही कुछ है।)

0.25 के अंश के साथ - यह अभी भी अस्पष्ट है। जांच करने की जरूरत है. आइए व्यावहारिक सलाह का उपयोग करें - दशमलव भिन्न से साधारण भिन्न की ओर बढ़ें:

0,25 = 25/100 = 1/4

पहले से काफी बेहतर. क्योंकि अब साफ दिख रहा है कि 1/4 2 -2 होता है. बढ़िया, और संख्या 0.25 भी दो के समान है।)

अब तक तो सब ठीक है। लेकिन सबसे खराब संख्या अभी भी बनी हुई है - दो का वर्गमूल!इस मिर्च का क्या करें? क्या इसे दो की शक्ति के रूप में भी दर्शाया जा सकता है? और कौन जानता है...

खैर, आइए डिग्रियों के बारे में अपने ज्ञान के खजाने में फिर से गोता लगाएँ! इस बार हम अपना ज्ञान भी जोड़ते हैं जड़ों के बारे में. 9वीं कक्षा के पाठ्यक्रम से, आपको और मुझे यह सीखना चाहिए था कि यदि चाहें तो किसी भी मूल को हमेशा एक डिग्री में बदला जा सकता है एक भिन्नात्मक सूचक के साथ.

इस कदर:

हमारे मामले में:

बहुत खूब! इससे पता चलता है कि दो का वर्गमूल 2 1/2 है। इतना ही!

यह बहुत अच्छा है! हमारे सभी असुविधाजनक नंबर वास्तव में एन्क्रिप्टेड दो निकले।) मैं बहस नहीं करता, कहीं न कहीं बहुत ही परिष्कृत रूप से एन्क्रिप्टेड। लेकिन हम ऐसे सिफर को हल करने में अपनी व्यावसायिकता में भी सुधार कर रहे हैं! और फिर सब कुछ पहले से ही स्पष्ट है. हमारे समीकरण में हम संख्या 4, 0.25 और दो के मूल को दो की घातों से प्रतिस्थापित करते हैं:

सभी! उदाहरण में सभी डिग्रियों का आधार एक ही हो गया - दो। और अब डिग्री के साथ मानक क्रियाओं का उपयोग किया जाता है:

पूर्वाह्नएक = पूर्वाह्न + एन

ए एम:ए एन = ए एम-एन

(ए एम) एन = ए एमएन

बाईं ओर के लिए आपको मिलता है:

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

दाईं ओर के लिए यह होगा:

और अब हमारा दुष्ट समीकरण इस प्रकार दिखता है:

उन लोगों के लिए जो यह नहीं समझ पाए हैं कि यह समीकरण कैसे बना, यहां प्रश्न घातीय समीकरणों के बारे में नहीं है। सवाल डिग्री वाले कार्यों का है. मैंने आपसे इसे उन लोगों के लिए तत्काल दोहराने के लिए कहा था जिन्हें समस्या है!

यहाँ अंतिम रेखा है! घातांकीय समीकरण का विहित रूप प्राप्त हो गया है! तो कैसे? क्या मैंने आपको आश्वस्त किया है कि सब कुछ इतना डरावना नहीं है? ;) हम दोनों को हटाते हैं और संकेतकों को बराबर करते हैं:

अब बस इस रैखिक समीकरण को हल करना बाकी है। कैसे? निश्चित रूप से समान परिवर्तनों की सहायता से।) तय करें कि क्या हो रहा है! दोनों पक्षों को दो से गुणा करें (अंश 3/2 को हटाने के लिए), एक्स वाले शब्दों को बाईं ओर ले जाएं, बिना एक्स वाले शब्दों को दाईं ओर ले जाएं, समान वाले लाएं, गिनें - और आप खुश होंगे!

सब कुछ सुंदर होना चाहिए:

एक्स=4

अब आइए समाधान के बारे में फिर से सोचें। इस उदाहरण में, हमें संक्रमण से मदद मिली वर्गमूल को घातांक 1/2 के साथ डिग्री. इसके अलावा, केवल इस तरह के चालाक परिवर्तन ने हमें हर जगह एक ही आधार (दो) तक पहुंचने में मदद की, जिससे स्थिति बच गई! और, यदि ऐसा नहीं होता, तो हमारे पास हमेशा के लिए स्थिर हो जाने और कभी भी इस उदाहरण का सामना नहीं करने का पूरा मौका होता, हाँ...

इसलिए, हम निम्नलिखित व्यावहारिक सलाह की उपेक्षा नहीं करते हैं:

यदि किसी घातांकीय समीकरण में मूल हों, तो हम मूल से भिन्नात्मक घातांक वाली घातों की ओर बढ़ते हैं। अक्सर ऐसा परिवर्तन ही आगे की स्थिति स्पष्ट करता है।

बेशक, नकारात्मक और भिन्नात्मक शक्तियां पहले से ही प्राकृतिक शक्तियों की तुलना में कहीं अधिक जटिल हैं। कम से कम दृष्टिकोण से दृश्य धारणाऔर, विशेष रूप से, दाएँ से बाएँ तक पहचान!

यह स्पष्ट है कि सीधे तौर पर, उदाहरण के लिए, दो को घात -3 या चार को घात -3/2 तक बढ़ाना ऐसा नहीं है बड़ी समस्या. जानने वालों के लिए।)

लेकिन, उदाहरण के लिए, तुरंत इसका एहसास करें

0,125 = 2 -3

या

यहाँ, केवल अभ्यास और समृद्ध अनुभव ही राज करते हैं, हाँ। और, निःसंदेह, एक स्पष्ट विचार, ऋणात्मक एवं भिन्नात्मक डिग्री क्या है?और यह भी - प्रायोगिक उपकरण! हाँ, हाँ, वही वाले हरा.) मुझे आशा है कि वे अब भी आपको विभिन्न प्रकार की डिग्रियों को बेहतर ढंग से नेविगेट करने में मदद करेंगे और आपकी सफलता की संभावनाओं को महत्वपूर्ण रूप से बढ़ाएंगे! तो आइए उनकी उपेक्षा न करें। मैं व्यर्थ नहीं हूँ हरामैं कभी-कभी लिखता हूं।)

लेकिन यदि आप नकारात्मक और भिन्नात्मक शक्तियों जैसी विदेशी शक्तियों के साथ भी एक-दूसरे को जानते हैं, तो घातीय समीकरणों को हल करने में आपकी क्षमताओं में काफी विस्तार होगा, और आप लगभग किसी भी प्रकार के घातीय समीकरणों को संभालने में सक्षम होंगे। खैर, यदि कोई नहीं, तो सभी घातीय समीकरणों का 80 प्रतिशत - निश्चित रूप से! हाँ, हाँ, मैं मज़ाक नहीं कर रहा हूँ!

तो, घातीय समीकरणों से परिचित होने का हमारा पहला भाग समाप्त हो गया है। तार्किक निष्कर्ष. और, एक मध्यवर्ती कसरत के रूप में, मैं परंपरागत रूप से थोड़ा आत्म-चिंतन करने का सुझाव देता हूं।)

कार्य 1.

ताकि नकारात्मक और भिन्नात्मक शक्तियों को समझने के बारे में मेरे शब्द व्यर्थ न जाएँ, मैं एक छोटा सा खेल खेलने का सुझाव देता हूँ!

संख्याओं को दो की घातों के रूप में व्यक्त करें:

उत्तर (अव्यवस्था में):

काम किया? महान! फिर हम एक लड़ाकू मिशन करते हैं - हम सबसे सरल और सरल घातीय समीकरणों को हल करते हैं!

कार्य 2.

समीकरणों को हल करें (सभी उत्तर गड़बड़ हैं!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

उत्तर:

एक्स = 16

एक्स 1 = -1; एक्स 2 = 2

एक्स = 5

काम किया? सचमुच, यह बहुत आसान है!

फिर हम अगला गेम हल करते हैं:

(2 x +4) x -3 = 0.5 x 4 x -4

35 1-x = 0.2 - x·7 x

उत्तर:

एक्स 1 = -2; एक्स 2 = 2

एक्स = 0,5

एक्स 1 = 3; एक्स 2 = 5

और ये उदाहरण एक बचे हैं? महान! आप बढ़ रहे हैं! फिर आपके लिए यहां कुछ और उदाहरण दिए गए हैं:

उत्तर:

एक्स = 6

एक्स = 13/31

एक्स = -0,75

एक्स 1 = 1; एक्स 2 = 8/3

और क्या ये तय है? अच्छा, सम्मान! मैं अपनी टोपी उतारता हूं।) तो, सबक व्यर्थ नहीं था, और प्रवेश के स्तर परघातीय समीकरणों को हल करने में सफलतापूर्वक महारत हासिल मानी जा सकती है। अगले स्तर और अधिक जटिल समीकरण आगे हैं! और नई तकनीकें और दृष्टिकोण। और गैर मानक उदाहरण. और नए आश्चर्य।) यह सब अगले पाठ में है!

क्या कुछ ग़लत हो गया? इसका मतलब यह है कि सबसे अधिक संभावना है कि समस्याएँ हैं। या में. या दोनों एक साथ. मैं यहाँ शक्तिहीन हूँ. मैं अंदर आ सकता हूँ फिर एक बारमैं केवल एक ही बात सुझा सकता हूं - आलसी मत बनो और लिंक का अनुसरण करो।)

करने के लिए जारी।)

उपकरण:

कंप्यूटर,
मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर,
स्क्रीन,
परिशिष्ट 1(पावरपॉइंट स्लाइड प्रेजेंटेशन) "घातांकीय समीकरणों को हल करने के तरीके"
परिशिष्ट 2(वर्ड में "शक्तियों के तीन अलग-अलग आधार" जैसे समीकरण को हल करना)
परिशिष्ट 3(व्यावहारिक कार्य के लिए वर्ड में हैंडआउट्स)।
परिशिष्ट 4(होमवर्क के लिए वर्ड में हैंडआउट)।

पाठ प्रगति

1. संगठनात्मक चरण

पाठ विषय का संदेश (बोर्ड पर लिखा हुआ),
कक्षा 10-11 में एक सामान्य पाठ की आवश्यकता:

छात्रों को सक्रिय शिक्षण के लिए तैयार करने का चरण

दुहराव

परिभाषा।

घातांकीय समीकरण एक समीकरण है जिसमें एक घातांक के साथ एक चर होता है (छात्र के उत्तर)।

शिक्षक का नोट. घातांकीय समीकरण पारलौकिक समीकरणों के वर्ग से संबंधित हैं। यह अप्राप्य नाम बताता है कि ऐसे समीकरणों को सामान्यतः सूत्रों के रूप में हल नहीं किया जा सकता है।

इन्हें लगभग कंप्यूटर पर संख्यात्मक तरीकों से ही हल किया जा सकता है। लेकिन परीक्षा कार्यों के बारे में क्या? चाल यह है कि परीक्षक समस्या को इस तरह से तैयार करता है कि यह एक विश्लेषणात्मक समाधान की अनुमति देता है। दूसरे शब्दों में, आप समान परिवर्तन कर सकते हैं (और करना भी चाहिए!) जो इस घातीय समीकरण को सरलतम घातीय समीकरण में बदल देता है। इस सरलतम समीकरण को कहा जाता है: सबसे सरल घातीय समीकरण. इसका समाधान किया जा रहा है लघुगणक द्वारा.

घातीय समीकरण को हल करने की स्थिति एक भूलभुलैया के माध्यम से यात्रा की याद दिलाती है, जिसका आविष्कार विशेष रूप से समस्या के लेखक द्वारा किया गया था। इन सामान्य तर्कों से बहुत विशिष्ट सिफ़ारिशों का पालन होता है।

घातांकीय समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए आपको यह करना होगा:

1. न केवल सभी घातांकीय पहचानों को सक्रिय रूप से जानें, बल्कि उन चर मानों के सेट को भी ढूंढें जिन पर ये पहचान परिभाषित हैं, ताकि इन पहचानों का उपयोग करते समय आप अनावश्यक जड़ें न प्राप्त करें, और इससे भी अधिक, समाधान न खोएं समीकरण के लिए.

2. सक्रिय रूप से सभी घातांकीय पहचानों को जानें।

3. स्पष्ट रूप से, विस्तार से और त्रुटियों के बिना, समीकरणों का गणितीय परिवर्तन करें (समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में शब्दों को स्थानांतरित करें, चिह्न बदलना न भूलें, भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएं, आदि)। इसे गणितीय संस्कृति कहा जाता है। उसी समय, गणना स्वयं हाथ से की जानी चाहिए, और प्रमुख को समाधान के सामान्य मार्गदर्शक सूत्र के बारे में सोचना चाहिए। परिवर्तन यथासंभव सावधानी से और विस्तार से किए जाने चाहिए। केवल यही सही, त्रुटि रहित निर्णय की गारंटी देगा। और याद रखें: एक छोटी अंकगणितीय त्रुटि बस एक पारलौकिक समीकरण बना सकती है, जिसे सिद्धांत रूप में, विश्लेषणात्मक रूप से हल नहीं किया जा सकता है। यह पता चला है कि आप अपना रास्ता भटक गए हैं और भूलभुलैया की दीवार से टकरा गए हैं।

4. समस्याओं को हल करने के तरीके जानें (अर्थात् समाधान चक्रव्यूह से निकलने के सभी रास्ते जानें)। प्रत्येक चरण में सही ढंग से नेविगेट करने के लिए, आपको (होशपूर्वक या सहज रूप से!) करना होगा:

परिभाषित करना समीकरण प्रकार;
संबंधित प्रकार याद रखें समाधान विधिकार्य.

अध्ययन की गई सामग्री के सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण का चरण।

शिक्षक, कंप्यूटर का उपयोग करने वाले छात्रों के साथ मिलकर, सभी प्रकार के घातीय समीकरणों और उन्हें हल करने के तरीकों की समीक्षा करता है, संकलित करता है सामान्य योजना. (प्रयुक्त प्रशिक्षण कंप्यूटर प्रोग्रामएल.या. बोरेव्स्की "गणित पाठ्यक्रम - 2000", पावरपॉइंट प्रेजेंटेशन के लेखक टी.एन. हैं। कुप्त्सोवा।)

चावल। 1.यह चित्र सभी प्रकार के घातीय समीकरणों का एक सामान्य आरेख दिखाता है।

जैसा कि इस आरेख से देखा जा सकता है, घातीय समीकरणों को हल करने की रणनीति सबसे पहले दिए गए घातीय समीकरण को समीकरण में कम करना है, डिग्रियों के समान आधार के साथ , और फिर - और समान डिग्री संकेतकों के साथ।

समान आधारों और घातांकों के साथ एक समीकरण प्राप्त करने के बाद, आप इस घातांक को एक नए चर के साथ प्रतिस्थापित करते हैं और इस नए चर के संबंध में एक सरल बीजगणितीय समीकरण (आमतौर पर आंशिक-तर्कसंगत या द्विघात) प्राप्त करते हैं।

इस समीकरण को हल करने और विपरीत प्रतिस्थापन करने के बाद, आप सरल घातीय समीकरणों के एक सेट के साथ समाप्त होते हैं जिन्हें लघुगणक का उपयोग करके सामान्य रूप में हल किया जा सकता है।

जिन समीकरणों में केवल (आंशिक) शक्तियों के उत्पाद पाए जाते हैं वे बाहर खड़े होते हैं। घातीय पहचानों का उपयोग करके, इन समीकरणों को तुरंत एक आधार पर, विशेष रूप से, सबसे सरल घातीय समीकरण में कम करना संभव है।

आइए देखें कि तीन अलग-अलग आधारों वाले घातांकीय समीकरण को कैसे हल किया जाए।

(यदि शिक्षक के पास एल.वाई. बोरेव्स्की का शैक्षिक कंप्यूटर प्रोग्राम "गणित का पाठ्यक्रम - 2000" है, तो स्वाभाविक रूप से हम डिस्क के साथ काम करते हैं, यदि नहीं, तो आप प्रत्येक डेस्क के लिए इस प्रकार के समीकरण का प्रिंटआउट बना सकते हैं, नीचे प्रस्तुत है।)