क्या लघुगणक को कम करना संभव है? लघुगणक की परिभाषा, मूल लघुगणकीय पहचान

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इसकी परिभाषा से अनुसरण करता है. और इसलिए संख्या का लघुगणक बीपर आधारित एको उस घातांक के रूप में परिभाषित किया गया है जिस पर किसी संख्या को बढ़ाया जाना चाहिए एनंबर पाने के लिए बी(लघुगणक केवल सकारात्मक संख्याओं के लिए मौजूद है)।

इस सूत्रीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि गणना x=लॉग ए बी, समीकरण को हल करने के बराबर है ए एक्स =बी.उदाहरण के लिए, लॉग 2 8 = 3क्योंकि 8 = 2 3 . लघुगणक का निरूपण इसे उचित ठहराना संभव बनाता है यदि बी=ए सी, फिर संख्या का लघुगणक बीपर आधारित एके बराबर होती है साथ. यह भी स्पष्ट है कि लघुगणक का विषय किसी संख्या की शक्तियों के विषय से निकटता से संबंधित है।

लघुगणक के साथ, किसी भी संख्या की तरह, आप ऐसा कर सकते हैं जोड़, घटाव की क्रियाएँऔर हर संभव तरीके से परिवर्तन करें। लेकिन इस तथ्य के कारण कि लघुगणक पूरी तरह से सामान्य संख्याएँ नहीं हैं, उनके अपने विशेष नियम यहाँ लागू होते हैं, जिन्हें कहा जाता है मुख्य गुण.

लघुगणक जोड़ना और घटाना.

आइए समान आधार वाले दो लघुगणक लें: एक x लॉग करेंऔर एक y लॉग इन करें. फिर जोड़ और घटाव संचालन करना संभव है:

लॉग ए एक्स+ लॉग ए वाई= लॉग ए (एक्स·वाई);

लॉग ए एक्स - लॉग ए वाई = लॉग ए (एक्स:वाई)।

लॉग ए(एक्स 1 . एक्स 2 . एक्स 3 ... एक्स के) = एक x लॉग करें 1 + एक x लॉग करें 2 + एक x लॉग करें 3 + ... + लॉग ए एक्स के.

से लघुगणक भागफल प्रमेयलघुगणक का एक और गुण प्राप्त किया जा सकता है। यह सामान्य ज्ञान है कि लॉग करें एइसलिए, 1= 0

लकड़ी का लट्ठा ए 1 /बी= लॉग ए 1 - लॉग ए बी= -लॉग ए बी.

इसका मतलब है कि समानता है:

लॉग ए 1 / बी = - लॉग ए बी।

दो पारस्परिक संख्याओं के लघुगणकएक ही कारण से केवल संकेत द्वारा एक दूसरे से भिन्न होंगे। इसलिए:

लॉग 3 9= - लॉग 3 1/9 ; लॉग 5 1/125 = -लॉग 5 125।

एक धनात्मक संख्या b का आधार a (a>0, a 1 के बराबर नहीं है) का लघुगणक एक संख्या c है जैसे कि a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

ध्यान दें कि एक गैर-धनात्मक संख्या का लघुगणक अपरिभाषित है। इसके अलावा, लघुगणक का आधार होना चाहिए सकारात्मक संख्या, 1 के बराबर नहीं। उदाहरण के लिए, यदि हम -2 का वर्ग करते हैं, तो हमें संख्या 4 मिलती है, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि 4 के आधार -2 का लघुगणक 2 के बराबर है।

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

महत्वपूर्ण बात यह है कि इस फॉर्मूले के दाएं और बाएं पक्ष की परिभाषा का दायरा अलग-अलग है. बाईं ओर को केवल b>0, a>0 और a ≠ 1 के लिए परिभाषित किया गया है। दाईं ओर को किसी भी b के लिए परिभाषित किया गया है, और यह बिल्कुल भी a पर निर्भर नहीं करता है। इस प्रकार, समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय मूल लघुगणकीय "पहचान" के अनुप्रयोग से OD में परिवर्तन हो सकता है।

लघुगणक की परिभाषा के दो स्पष्ट परिणाम

दरअसल, जब संख्या a को पहली घात तक बढ़ाया जाता है, तो हमें वही संख्या मिलती है, और जब इसे शून्य घात तक बढ़ाया जाता है, तो हमें एक मिलता है।

उत्पाद का लघुगणक और भागफल का लघुगणक

लॉग ए बी सी = लॉग ए बी - लॉग ए सी (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, सी > 0) (6)

मैं स्कूली बच्चों को हल करते समय इन फ़ार्मुलों को बिना सोचे-समझे लागू करने के प्रति आगाह करना चाहूँगा लघुगणकीय समीकरणऔर असमानताएँ. उनका उपयोग "बाएं से दाएं" करते समय, ODZ संकीर्ण हो जाता है, और जब लघुगणक के योग या अंतर से उत्पाद या भागफल के लघुगणक की ओर बढ़ते हैं, तो ODZ फैलता है।

दरअसल, अभिव्यक्ति लॉग ए (एफ (एक्स) जी (एक्स)) को दो मामलों में परिभाषित किया गया है: जब दोनों फ़ंक्शन सख्ती से सकारात्मक होते हैं या जब एफ (एक्स) और जी (एक्स) दोनों शून्य से कम होते हैं।

इस अभिव्यक्ति को योग लॉग ए एफ (एक्स) + लॉग ए जी (एक्स) में परिवर्तित करते हुए, हम खुद को केवल उस स्थिति तक सीमित करने के लिए मजबूर होते हैं जब एफ (एक्स)> 0 और जी (एक्स)> 0। स्वीकार्य मूल्यों की सीमा में कमी आ रही है, और यह स्पष्ट रूप से अस्वीकार्य है, क्योंकि इससे समाधानों का नुकसान हो सकता है। सूत्र (6) के लिए भी ऐसी ही समस्या मौजूद है।

डिग्री को लघुगणक के चिन्ह से निकाला जा सकता है

और मैं फिर से सटीकता की मांग करना चाहूँगा। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें:

लॉग ए (एफ (एक्स) 2 = 2 लॉग ए एफ (एक्स)

समानता का बायाँ भाग स्पष्ट रूप से शून्य को छोड़कर f(x) के सभी मानों के लिए परिभाषित है। दाहिना भाग केवल f(x)>0 के लिए है! लघुगणक से डिग्री निकालकर, हम फिर से ODZ को संकीर्ण कर देते हैं। विपरीत प्रक्रिया से स्वीकार्य मूल्यों की सीमा का विस्तार होता है। ये सभी टिप्पणियाँ न केवल घात 2 पर लागू होती हैं, बल्कि किसी भी सम घात पर भी लागू होती हैं।

नई नींव पर जाने का सूत्र

वह दुर्लभ मामला जब परिवर्तन के दौरान ODZ नहीं बदलता है। यदि आपने आधार सी को बुद्धिमानी से चुना है (सकारात्मक और 1 के बराबर नहीं), तो नए आधार पर जाने का फॉर्मूला पूरी तरह से सुरक्षित है।

यदि हम संख्या b को नए आधार c के रूप में चुनते हैं, तो हमें एक महत्वपूर्ण मिलता है विशेष मामलासूत्र (8):

लॉग ए बी = 1 लॉग बी ए (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, बी ≠ 1) (9)

लघुगणक के साथ कुछ सरल उदाहरण

उदाहरण 1. गणना करें: लॉग2 + लॉग50।
समाधान। लॉग2 + लॉग50 = लॉग100 = 2। हमने लघुगणक सूत्र (5) के योग और दशमलव लघुगणक की परिभाषा का उपयोग किया।

उदाहरण 2. गणना करें: lg125/lg5.
समाधान। लॉग125/लॉग5 = लॉग 5 125 = 3। हमने नए आधार (8) पर जाने के लिए सूत्र का उपयोग किया।

लघुगणक से संबंधित सूत्रों की तालिका

274. टिप्पणियाँ.

ए)यदि आप जिस अभिव्यक्ति का मूल्यांकन करना चाहते हैं उसमें शामिल है जोड़या अंतरसंख्याएँ, तो उन्हें तालिकाओं की सहायता के बिना पाया जाना चाहिए साधारण जोड़या घटाव द्वारा. जैसे:

लॉग (35 +7.24) 5 = 5 लॉग (35 + 7.24) = 5 लॉग 42.24।

बी)लघुगणक व्यंजकों को जानने के बाद, हम किसी दिए गए लघुगणक परिणाम का उपयोग करके, इसके विपरीत, वह व्यंजक ढूंढ सकते हैं जिससे यह परिणाम प्राप्त हुआ था; तो यदि

लकड़ी का लट्ठा एक्स= लॉग ए+ लॉग बी- 3 लॉग साथ,

तो इसे समझना आसान है

वी)लघुगणक तालिकाओं की संरचना पर विचार करने से पहले, हम कुछ गुणों का संकेत देंगे दशमलव लघुगणक, यानी वे जिनमें संख्या 10 को आधार के रूप में लिया जाता है (गणना के लिए केवल ऐसे लघुगणक का उपयोग किया जाता है)।

अध्याय दो।

दशमलव लघुगणक के गुण.

275 . ए) चूँकि 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10000, आदि, तो लॉग 10 = 1, लॉग 100 = 2, लॉग 1000 = 3, लॉग 10000 = 4, और आदि।

मतलब, एक और शून्य द्वारा दर्शाए गए पूर्णांक का लघुगणक एक सकारात्मक पूर्णांक होता है जिसमें संख्या के प्रतिनिधित्व में जितने शून्य होते हैं उतने ही पूर्णांक होते हैं।

इस प्रकार: लॉग 100,000 = 5, लकड़ी का लट्ठा 1000 000 = 6 , वगैरह।

बी) क्योंकि

लॉग 0.1 = -एल; लॉग 0.01 = - 2; लॉग 0.001 == -3; लॉग 0.0001 = - 4,वगैरह।

मतलब, लोगारित्म दशमलव, पूर्ववर्ती शून्य वाली एक इकाई द्वारा निरूपित, एक ऋणात्मक पूर्णांक है जिसमें उतनी ही ऋणात्मक इकाइयाँ होती हैं जितनी 0 पूर्णांकों सहित भिन्न के निरूपण में शून्य होते हैं।

इस प्रकार: लॉग 0.00001= - 5, लॉग 0.000001 = -6,वगैरह।

वी)उदाहरण के लिए, आइए एक पूर्णांक लें जो एक और शून्य द्वारा दर्शाया नहीं गया है। उदाहरण के लिए, 35, या भिन्न के साथ एक पूर्ण संख्या। 10.7. ऐसी संख्या का लघुगणक एक पूर्णांक नहीं हो सकता है, क्योंकि पूर्णांक घातांक (धनात्मक या ऋणात्मक) के साथ 10 को घात तक बढ़ाने पर, हमें शून्य के साथ 1 मिलता है (1 के बाद, या उससे पहले)। आइए अब मान लें कि ऐसी संख्या का लघुगणक कुछ अंश है ए / बी . तब हमारे पास समानता होगी

लेकिन ये समानताएँ असंभव हैं, जैसे 10ए शून्य के साथ 1 हैं, जबकि डिग्री 35बी और 10,7बी किसी भी उपाय से बी 1 के बाद शून्य नहीं दे सकते। इसका मतलब यह है कि हम अनुमति नहीं दे सकते लॉग 35और लॉग 10.7भिन्नों के बराबर थे. लेकिन गुणों से लघुगणकीय कार्यहम जानते हैं () कि प्रत्येक धनात्मक संख्या का एक लघुगणक होता है; परिणामस्वरूप, संख्या 35 और 10.7 में से प्रत्येक का अपना लघुगणक है, और चूँकि यह पूर्णांक संख्या या भिन्नात्मक संख्या नहीं हो सकती है, यह एक अपरिमेय संख्या है और इसलिए, संख्याओं के माध्यम से सटीक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है। अपरिमेय लघुगणक आमतौर पर कई दशमलव स्थानों के साथ दशमलव अंश के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। इस भिन्न की पूर्णांक संख्या (चाहे वह "0 पूर्णांक" ही क्यों न हो) कहलाती है विशेषता, और भिन्नात्मक भाग लघुगणक का मंटिसा है। यदि, उदाहरण के लिए, कोई लघुगणक है 1,5441 , तो उसकी विशेषता बराबर है 1 , और मंटिसा है 0,5441 .

जी)उदाहरण के लिए, आइए कुछ पूर्णांक या मिश्रित संख्या लें। 623 या 623,57 . ऐसी संख्या के लघुगणक में एक विशेषता और एक मंटिसा होता है। इससे पता चलता है कि दशमलव लघुगणक में यह सुविधा होती है हम सदैव एक प्रकार की संख्या से उनकी विशेषताएँ ज्ञात कर सकते हैं . ऐसा करने के लिए, आइए गिनें कि किसी दिए गए पूर्णांक संख्या में, या इन अंकों के हमारे उदाहरणों में किसी मिश्रित संख्या के पूर्णांक भाग में कितने अंक हैं 3 . इसलिए, प्रत्येक संख्या 623 और 623,57 100 से अधिक लेकिन 1000 से कम; इसका मतलब यह है कि उनमें से प्रत्येक का लघुगणक बड़ा है लॉग 100, यानी अधिक 2 , लेकिन कम लॉग 1000, यानी कम 3 (याद रखें कि बड़ी संख्या का लघुगणक भी बड़ा होता है)। इस तरह, लॉग 623 = 2,..., और लॉग 623.57 = 2,... (बिंदु अज्ञात मंटिसा का स्थान लेते हैं)।

इस तरह हम पाते हैं:

मान लीजिए सामान्य तौर पर एक दी गई पूर्णांक संख्या, या किसी दी गई मिश्रित संख्या का एक पूर्णांक भाग होता है एम नंबर चूंकि सबसे छोटा पूर्णांक युक्त है एम संख्याएँ, हाँ 1 साथ एम - 1 अंत में शून्य, फिर (इस संख्या को दर्शाते हुए एन) हम असमानताएँ लिख सकते हैं:

और इसलिए,

एम - 1 < log N < एम ,

लॉग एन = ( एम- 1) + धनात्मक अंश.

तो विशेषता लॉगएन = एम - 1 .

हम इस तरह से देखते हैं किसी पूर्णांक या मिश्रित संख्या के लघुगणक की विशेषता में उतनी ही सकारात्मक इकाइयाँ होती हैं जितनी संख्या के पूर्णांक भाग में शून्य से एक अंक होते हैं।

इस पर ध्यान देने के बाद, हम सीधे लिख सकते हैं:

लॉग 7.205 = 0,...; लॉग 83 = 1,...; लॉग 720.4 = 2,...वगैरह।

डी)आइए कई दशमलव अंश छोटे लें 1 (अर्थात् होना 0 साबुत): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, वगैरह।

इस प्रकार, इनमें से प्रत्येक लघुगणक दो नकारात्मक पूर्णांकों के बीच समाहित होता है जो एक इकाई से भिन्न होते हैं; इसलिए उनमें से प्रत्येक किसी धनात्मक अंश द्वारा बढ़ाई गई इन ऋणात्मक संख्याओं में से छोटी संख्या के बराबर है। उदाहरण के लिए, log0.0056= -3 + धनात्मक अंश. आइए मान लें कि यह अंश 0.7482 है। तो इसका मतलब है:

लॉग 0.0056 = - 3 + 0.7482 (= - 2.2518)।

रकम जैसे - 3 + 0,7482 , एक नकारात्मक पूर्णांक और एक सकारात्मक दशमलव अंश से मिलकर, हम लघुगणकीय गणनाओं में निम्नानुसार संक्षिप्त रूप से लिखने के लिए सहमत हुए: 3 ,7482 (यह संख्या पढ़ती है: 3 घटा, 7482 दस हजारवां।), यानी, यह दिखाने के लिए कि यह केवल इस विशेषता से संबंधित है, न कि मंटिसा से, जो सकारात्मक रहता है, उन्होंने विशेषता के ऊपर एक ऋण चिह्न लगा दिया। इस प्रकार उपरोक्त तालिका से यह स्पष्ट है कि

लॉग 0.35 == 1 ,....; लॉग 0.07 = 2,....; लॉग 0.0008 = 4,....

बिलकुल चलो . एक दशमलव अंश है जिसका पहला महत्वपूर्ण आंकड़ा α लागत एम शून्य, जिसमें 0 पूर्णांक शामिल हैं। तो फिर ये तो जाहिर सी बात है

- एम < log A < - (एम- 1).

चूँकि दो पूर्णांकों से:- एम और - (एम- 1) वहाँ कम है - एम , वह

लॉग ए = - एम+ सकारात्मक अंश,

और इसलिए विशेषता लॉग ए = - एम (एक सकारात्मक मंटिसा के साथ)।

इस प्रकार, 1 से कम दशमलव अंश के लघुगणक की विशेषता में उतने ही नकारात्मक होते हैं जितने शून्य पूर्णांक सहित पहले महत्वपूर्ण अंक से पहले दशमलव अंश की छवि में शून्य होते हैं; ऐसे लघुगणक का मंटिसा सकारात्मक होता है।

ई)आइए किसी संख्या को गुणा करें एन(पूर्णांक या भिन्न - इससे कोई फर्क नहीं पड़ता) 10 से, 100 से 1000..., सामान्य तौर पर शून्य के साथ 1 से। आइए देखें कि यह कैसे बदलता है लॉग एन. उत्पाद के लघुगणक के बाद से योग के बराबरतो, कारकों के लघुगणक

लॉग(एन 10) = लॉग एन + लॉग 10 = लॉग एन + 1;

लॉग(एन 100) = लॉग एन + लॉग 100 = लॉग एन + 2;

लॉग(एन 1000) = लॉग एन + लॉग 1000 = लॉग एन + 3;वगैरह।

कब करना है लॉग एनहम कुछ पूर्णांक जोड़ते हैं, फिर हम हमेशा इस संख्या को विशेषता में जोड़ सकते हैं, न कि मंटिसा में।

तो, यदि लॉग एन = 2.7804, तो 2.7804 + 1 = 3.7804; 2.7804 + 2 = 4.7801, आदि;

या यदि लॉग एन = 3.5649, तो 3.5649 + 1 = 2.5649; 3.5649 + 2 = 1.5649, आदि।

जब किसी संख्या को 10, 100, 1000,.. से गुणा किया जाता है, आम तौर पर शून्य के साथ 1 से, लघुगणक का मंटिसा नहीं बदलता है, और कारक में शून्य होने पर विशेषता कई इकाइयों तक बढ़ जाती है .

इसी प्रकार, यह ध्यान में रखते हुए कि भागफल का लघुगणक भाजक के लघुगणक के बिना लाभांश के लघुगणक के बराबर है, हमें मिलता है:

लॉग एन / 10 = लॉग एन- लॉग 10 = लॉग एन -1;

लॉग एन / 100 = लॉग एन- लॉग 100 = लॉग एन -2;

लॉग एन / 1000 = लॉग एन- लॉग 1000 = लॉग एन -3;वगैरह।

यदि हम लघुगणक से एक पूर्णांक घटाते समय इस पूर्णांक को हमेशा विशेषता से घटाने और मंटिसा को अपरिवर्तित छोड़ने पर सहमत होते हैं, तो हम कह सकते हैं:

किसी संख्या को शून्य से 1 से विभाजित करने पर लघुगणक का मंटिसा नहीं बदलता है, लेकिन भाजक में शून्य होने पर विशेषता कई इकाइयों से घट जाती है।

276. परिणाम.संपत्ति से ( ई) निम्नलिखित दो परिणाम निकाले जा सकते हैं:

ए) दशमलव बिंदु पर ले जाने पर दशमलव संख्या के लघुगणक का मंटिसा नहीं बदलता है , क्योंकि दशमलव बिंदु को हिलाना 10, 100, 1000, आदि से गुणा या भाग करने के बराबर है। इस प्रकार, संख्याओं के लघुगणक:

0,00423, 0,0423, 4,23, 423

केवल विशेषताओं में भिन्नता है, लेकिन मंटिसा में नहीं (बशर्ते कि सभी मंटिसा सकारात्मक हों)।

बी) संख्याओं के मंटिसा जिनका महत्वपूर्ण भाग समान है, लेकिन केवल अंत शून्य से भिन्न है, समान हैं: इस प्रकार, संख्याओं के लघुगणक: 23, 230, 2300, 23,000 केवल विशेषताओं में भिन्न होते हैं।

टिप्पणी। दशमलव लघुगणक के संकेतित गुणों से यह स्पष्ट है कि हम तालिकाओं की सहायता के बिना पूर्णांक और दशमलव अंश के लघुगणक की विशेषताएँ पा सकते हैं (यह दशमलव लघुगणक की बड़ी सुविधा है); परिणामस्वरूप, लॉगरिदमिक तालिकाओं में केवल एक मंटिसा रखा जाता है; इसके अलावा, चूँकि भिन्नों के लघुगणक ज्ञात करना पूर्णांकों के लघुगणक ज्ञात करने तक सीमित है (अंश का लघुगणक = हर के लघुगणक के बिना अंश का लघुगणक), केवल पूर्णांकों के लघुगणक के मंटिसा को तालिकाओं में रखा जाता है।

अध्याय तीन।

चार अंकों वाली तालिकाओं का डिज़ाइन और उपयोग।

277. लघुगणक की प्रणालियाँ।लघुगणक की एक प्रणाली एक ही आधार का उपयोग करके कई लगातार पूर्णांकों के लिए गणना किए गए लघुगणक का एक सेट है। दो प्रणालियों का उपयोग किया जाता है: साधारण या दशमलव लघुगणक की प्रणाली, जिसमें संख्या को आधार के रूप में लिया जाता है 10 , और तथाकथित प्राकृतिक लघुगणक की एक प्रणाली, जिसमें एक अपरिमेय संख्या को आधार के रूप में लिया जाता है (कुछ कारणों से जो गणित की अन्य शाखाओं में स्पष्ट हैं) 2,7182818 ... गणना के लिए, दशमलव लघुगणक का उपयोग किया जाता है, उस सुविधा के कारण जो हमने ऐसे लघुगणक के गुणों को सूचीबद्ध करते समय इंगित किया था।

प्राकृतिक लघुगणकइसे लघुगणक के आविष्कारक, एक स्कॉटिश गणितज्ञ के नाम पर नेपेरोव्स भी कहा जाता है नेपेरा(1550-1617), और दशमलव लघुगणक - ब्रिग्स प्रोफेसर के नाम पर ब्रिग्गा(नेपियर के समकालीन और मित्र), जिन्होंने सबसे पहले इन लघुगणक की तालिकाएँ संकलित कीं।

278. एक ऋणात्मक लघुगणक को ऐसे लघुगणक में परिवर्तित करना जिसका मंटिसा धनात्मक है, और व्युत्क्रम परिवर्तन। हमने देखा है कि 1 से कम संख्याओं के लघुगणक ऋणात्मक होते हैं। इसका मतलब यह है कि उनमें एक नकारात्मक विशेषता और एक नकारात्मक मंटिसा शामिल है। ऐसे लघुगणक को हमेशा रूपांतरित किया जा सकता है ताकि उनका मंटिसा सकारात्मक हो, लेकिन विशेषता नकारात्मक बनी रहे। ऐसा करने के लिए, मंटिसा में एक सकारात्मक और विशेषता में एक नकारात्मक जोड़ना पर्याप्त है (जो, निश्चित रूप से, लघुगणक के मान को नहीं बदलता है)।

यदि, उदाहरण के लिए, हमारे पास एक लघुगणक है - 2,0873 , तो आप लिख सकते हैं:

- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,

या संक्षिप्त:

इसके विपरीत, नकारात्मक विशेषता और सकारात्मक मंटिसा वाले किसी भी लघुगणक को नकारात्मक में बदला जा सकता है। ऐसा करने के लिए, सकारात्मक मंटिसा में एक नकारात्मक जोड़ना और नकारात्मक विशेषता में एक सकारात्मक जोड़ना पर्याप्त है: इसलिए, आप लिख सकते हैं:

279. चार अंकीय तालिकाओं का विवरण।अधिकांश व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए, चार अंकों की तालिकाएँ काफी पर्याप्त हैं, जिनका प्रबंधन बहुत सरल है। ये तालिकाएँ (शीर्ष पर "लघुगणक" शिलालेख के साथ) इस पुस्तक के अंत में रखी गई हैं, और उनका एक छोटा सा हिस्सा (व्यवस्था को समझाने के लिए) इस पृष्ठ पर मुद्रित है

लघुगणक.

से सभी पूर्णांकों के लघुगणक 1 को 9999 समावेशी, चार दशमलव स्थानों तक गणना की गई, इनमें से अंतिम स्थान को बढ़ाकर 1 उन सभी मामलों में जहां 5वां दशमलव स्थान 5 या 5 से अधिक होगा; इसलिए, 4-अंकीय तालिकाएँ अनुमानित मंटिसा देती हैं 1 / 2 दस हजारवाँ भाग (कमी या अधिकता के साथ)।

चूँकि हम दशमलव लघुगणक के गुणों के आधार पर किसी पूर्णांक या दशमलव अंश के लघुगणक को सीधे चित्रित कर सकते हैं, हमें तालिकाओं से केवल मंटिसा लेना चाहिए; साथ ही, हमें यह याद रखना चाहिए कि अल्पविराम की स्थिति दशमलव संख्या, साथ ही संख्या के अंत में शून्य की संख्या का मंटिसा के मूल्य पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। इसलिए, किसी दी गई संख्या के लिए मंटिसा ढूंढते समय, हम इस संख्या में अल्पविराम, साथ ही इसके अंत में शून्य, यदि कोई हो, को हटा देते हैं, और इसके बाद बने पूर्णांक का मंटिसा ढूंढते हैं। निम्नलिखित मामले सामने आ सकते हैं.

1) एक पूर्णांक में 3 अंक होते हैं।उदाहरण के लिए, मान लें कि हमें संख्या 536 के लघुगणक का मंटिसा ज्ञात करना है। इस संख्या के पहले दो अंक, यानी 53, बाईं ओर पहले ऊर्ध्वाधर कॉलम में तालिकाओं में पाए जाते हैं (तालिका देखें)। संख्या 53 प्राप्त करने के बाद, हम इसे एक क्षैतिज रेखा के साथ दाईं ओर ले जाते हैं जब तक कि यह रेखा शीर्ष पर स्थित संख्याओं 0, 1, 2, 3,...9 में से किसी एक से गुजरने वाले ऊर्ध्वाधर स्तंभ के साथ प्रतिच्छेद न कर दे (और नीचे) तालिका का, जो किसी दी गई संख्या का तीसरा अंक है, यानी हमारे उदाहरण में, संख्या 6। चौराहे पर हमें मंटिसा 7292 (यानी 0.7292) मिलता है, जो संख्या 536 के लघुगणक से संबंधित है। इसी तरह , संख्या 508 के लिए हम मंटिसा 0.7059 पाते हैं, संख्या 500 के लिए हम 0.6990 पाते हैं, आदि।

2) एक पूर्णांक में 2 या 1 अंक होते हैं।फिर हम मानसिक रूप से इस संख्या में एक या दो शून्य निर्दिष्ट करते हैं और इस प्रकार बनी तीन अंकों की संख्या के लिए मंटिसा ढूंढते हैं। उदाहरण के लिए, हम संख्या 51 में एक शून्य जोड़ते हैं, जिससे हमें 510 मिलता है और मंटिसा 7070 मिलता है; संख्या 5 के लिए हम 2 शून्य निर्दिष्ट करते हैं और मंटिसा 6990 आदि ज्ञात करते हैं।

3) एक पूर्णांक को 4 अंकों में व्यक्त किया जाता है।उदाहरण के लिए, आपको लॉग 5436 का मंटिसा ढूंढना होगा। फिर पहले हम तालिकाओं में पाते हैं, जैसा कि अभी संकेत दिया गया है, इस संख्या के पहले 3 अंकों द्वारा दर्शाई गई संख्या के लिए मंटिसा, यानी 543 के लिए (यह मंटिसा 7348 होगा) ; फिर हम पाए गए मंटिसा से क्षैतिज रेखा के साथ दाईं ओर (इंच) की ओर बढ़ते हैं दाहिनी ओरतालिका मोटी ऊर्ध्वाधर रेखा के पीछे स्थित है) जब तक कि यह संख्याओं के माध्यम से गुजरने वाले ऊर्ध्वाधर स्तंभ के साथ प्रतिच्छेद न हो जाए: 1, 2 3,...9, तालिका के इस भाग के शीर्ष (और नीचे) पर खड़ा है, जो दर्शाता है इस संख्या का चौथा अंक, यानी हमारे उदाहरण में, संख्या 6। चौराहे पर हमें सुधार (संख्या 5) मिलता है, जिसे संख्या 5436 का मंटिसा प्राप्त करने के लिए 7348 के मंटिसा पर मानसिक रूप से लागू किया जाना चाहिए; इस प्रकार हमें मंटिसा 0.7353 प्राप्त होता है।

4) एक पूर्णांक को 5 या अधिक अंकों के साथ व्यक्त किया जाता है।फिर हम पहले 4 को छोड़कर सभी अंकों को हटा देते हैं, और एक अनुमानित चार अंकों की संख्या लेते हैं, और इस संख्या के अंतिम अंक को उस संख्या में 1 से बढ़ा देते हैं। ऐसी स्थिति जब संख्या का छोड़ा गया 5वां अंक 5 या 5 से अधिक हो। तो, 57842 के बजाय हम 5784 लेते हैं, 30257 के बजाय हम 3026 लेते हैं, 583263 के बजाय हम 5833 लेते हैं, आदि। इस पूर्णांकित चार अंकीय संख्या के लिए, हम मंटिसा पाते हैं जैसा कि अभी बताया गया है।

इन निर्देशों से निर्देशित होकर, आइए, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित संख्याओं के लघुगणक खोजें:

36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.

सबसे पहले, अभी तालिकाओं की ओर रुख किए बिना, हम केवल विशेषताओं को नीचे रखेंगे, मंटिसा के लिए जगह छोड़ेंगे, जिसे हम बाद में लिखेंगे:

लॉग 36.5 = 1,.... लॉग 0.00345 = 3,....

लॉग 804.7 = 2,.... लॉग 7.2634 = 0,....

लॉग 0.26 = 1,.... लॉग 3456.86 = 3,....

लॉग 36.5 = 1.5623; लॉग 0.00345 = 3.5378;

लॉग 804.7 = 2.9057; लॉग 7.2634 = 0.8611;

लॉग 0.26 = 1.4150; लॉग 3456.86 = 3.5387।

280. नोट. कुछ चार अंकों वाली तालिकाओं में (उदाहरण के लिए, तालिकाओं में वी. लोरचेंको और एन. ओग्लोब्लिना, एस. ग्लेज़नेप, एन. कामेंशिकोवा) इस संख्या के चौथे अंक का सुधार नहीं किया गया है। ऐसी तालिकाओं से निपटते समय, किसी को एक साधारण गणना का उपयोग करके इन सुधारों को ढूंढना होगा, जिसे निम्नलिखित सत्य के आधार पर किया जा सकता है: यदि संख्याएं 100 से अधिक हैं और उनके बीच का अंतर 1 से कम है, तो यह बिना किसी संवेदनशील त्रुटि के हो सकता है। ऐसा माना जा सकता है लघुगणक के बीच अंतर संगत संख्याओं के बीच अंतर के समानुपाती होता है . उदाहरण के लिए, हमें संख्या 5367 के अनुरूप मंटिसा खोजने की आवश्यकता है। यह मंटिसा, निश्चित रूप से, संख्या 536.7 के समान है। हम संख्या 536 के लिए तालिकाओं में मंटिसा 7292 पाते हैं। इस मंटिसा की तुलना दाईं ओर स्थित मंटिसा 7300 से करते हैं, जो संख्या 537 के अनुरूप है, हम देखते हैं कि यदि संख्या 536 में 1 की वृद्धि होती है, तो इसकी मंटिसा में 8 दस की वृद्धि होगी -हज़ारवाँ (8 तथाकथित है टेबल अंतरदो आसन्न मंटिसा के बीच); यदि संख्या 536 में 0.7 की वृद्धि होती है, तो इसका मंटिसा 8 दस-हजारवें हिस्से से नहीं, बल्कि कुछ छोटी संख्या से बढ़ जाएगा एक्स दस हज़ारवाँ भाग, जो अनुमानित आनुपातिकता के अनुसार, अनुपात को संतुष्ट करना चाहिए:

एक्स :8 = 0.7:1; कहाँ एक्स = 8 07 = 5,6,

जो 6 दस-हजारवें भाग तक पूर्णांकित है। इसका मतलब यह है कि संख्या 536.7 (और इसलिए संख्या 5367 के लिए) के लिए मंटिसा होगा: 7292 + 6 = 7298।

ध्यान दें कि तालिकाओं में दो आसन्न संख्याओं का उपयोग करके एक मध्यवर्ती संख्या खोजना कहलाता है अंतर्वेशन.यहाँ वर्णित प्रक्षेप को कहा जाता है आनुपातिक, क्योंकि यह इस धारणा पर आधारित है कि लघुगणक में परिवर्तन संख्या में परिवर्तन के समानुपाती होता है। इसे रैखिक भी कहा जाता है, क्योंकि यह मानता है कि ग्राफ़िक रूप से लघुगणकीय फ़ंक्शन में परिवर्तन एक सीधी रेखा द्वारा व्यक्त किया जाता है।

281. अनुमानित लघुगणक की त्रुटि सीमा.यदि जिस संख्या का लघुगणक खोजा जा रहा है वह एक सटीक संख्या है, तो 4-अंकीय तालिकाओं में पाए जाने वाले उसके लघुगणक की त्रुटि की सीमा, जैसा कि हमने कहा, ली जा सकती है 1 / 2 दस हजारवां भाग. यदि यह संख्या सटीक नहीं है, तो इस त्रुटि सीमा में हमें संख्या की अशुद्धि के परिणामस्वरूप उत्पन्न होने वाली किसी अन्य त्रुटि की सीमा भी जोड़नी होगी। यह सिद्ध हो चुका है (हम इस प्रमाण को छोड़ देते हैं) कि ऐसी सीमा को उत्पाद माना जा सकता है

ए(डी +1) दस हज़ारवां.,

जिसमें ए यह मानते हुए कि सबसे सटीक संख्या के लिए त्रुटि की संभावना है इसके पूर्णांक भाग में 3 अंक होते हैं, ए डी दो लगातार तीन अंकों वाली संख्याओं के अनुरूप मंटिसा का सारणीबद्ध अंतर, जिनके बीच दी गई अस्पष्ट संख्या निहित है। इस प्रकार, लघुगणक की अंतिम त्रुटि की सीमा तब सूत्र द्वारा व्यक्त की जाएगी:

1 / 2 + ए(डी +1) दस हज़ारवां

उदाहरण. लॉग खोजें π , के लिए ले रहा हूँ π अनुमानित संख्या 3.14, सटीक 1 / 2 सौवां.

संख्या 3.14 में तीसरे अंक के बाद अल्पविराम को हटाकर, बाईं ओर से गिनती करने पर, हमें तीन अंकों की संख्या 314 प्राप्त होती है, बिल्कुल 1 / 2 इकाइयाँ; इसका मतलब यह है कि एक गलत संख्या के लिए त्रुटि की संभावना, यानी, जिसे हमने अक्षर द्वारा दर्शाया है ए , वहाँ है 1 / 2 तालिकाओं से हम पाते हैं:

लॉग 3.14 = 0.4969.

टेबल अंतर डी संख्या 314 और 315 के मंटिसा के बीच 14 के बराबर है, इसलिए पाए गए लघुगणक की त्रुटि कम होगी

1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 दस हज़ारवां.

चूँकि हम लघुगणक 0.4969 के बारे में नहीं जानते हैं कि यह न्यून है या अत्यधिक, हम केवल यह गारंटी दे सकते हैं कि सटीक लघुगणक π 0.4969 - 0.0008 और 0.4969 + 0.0008 के बीच स्थित है, अर्थात 0.4961< log π < 0,4977.

282. किसी दिए गए लघुगणक का उपयोग करके एक संख्या ज्ञात करें. किसी दिए गए लघुगणक का उपयोग करके एक संख्या खोजने के लिए, दी गई संख्याओं के मंटिसा को खोजने के लिए समान तालिकाओं का उपयोग किया जा सकता है; लेकिन अन्य तालिकाओं का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है जिनमें तथाकथित एंटीलोगारिथम शामिल हैं, यानी, इन मंटिसा के अनुरूप संख्याएं। ये तालिकाएँ, शीर्ष पर शिलालेख द्वारा इंगित की गई हैं "एंटीलॉगरिथम", लघुगणक की तालिकाओं के बाद इस पुस्तक के अंत में रखी गई हैं (स्पष्टीकरण के लिए);

मान लीजिए कि आपको 4-अंकीय मंटिसा 2863 दिया गया है (हम विशेषता पर ध्यान नहीं देते हैं) और आपको संबंधित पूर्णांक खोजने की आवश्यकता है। फिर, एंटीलोगारिथ्म की तालिकाओं के साथ, आपको उन्हें ठीक उसी तरह से उपयोग करने की आवश्यकता है जैसा कि किसी दिए गए नंबर के लिए मंटिसा खोजने के लिए पहले बताया गया था, अर्थात्: हम बाईं ओर के पहले कॉलम में मंटिसा के पहले 2 अंक पाते हैं। फिर हम इन संख्याओं से क्षैतिज रेखा के साथ दाईं ओर बढ़ते हैं जब तक कि यह मंटिसा के तीसरे अंक से आने वाले ऊर्ध्वाधर स्तंभ के साथ प्रतिच्छेद न हो जाए, जिसे शीर्ष रेखा (या नीचे) में देखा जाना चाहिए। चौराहे पर हमें मंटिसा 286 के अनुरूप चार अंकों की संख्या 1932 मिलती है। फिर इस संख्या से हम क्षैतिज रेखा के साथ दाईं ओर आगे बढ़ते हैं जब तक कि मंटिसा के चौथे अंक से आने वाले ऊर्ध्वाधर स्तंभ के साथ चौराहा नहीं हो जाता, जो अवश्य होना चाहिए वहां रखी संख्याओं 1, 2, 3,... 9 के बीच सबसे ऊपर (या नीचे) पाया जा सकता है। चौराहे पर हमें सुधार 1 मिलता है, जिसे क्रम में पहले पाई गई संख्या 1032 पर (दिमाग में) लागू किया जाना चाहिए मंटिसा 2863 के अनुरूप संख्या प्राप्त करने के लिए।

इस प्रकार, संख्या 1933 होगी। इसके बाद, विशेषता पर ध्यान देते हुए, आपको संख्या 1933 में उचित स्थान पर रखना होगा। उदाहरण के लिए:

अगर लकड़ी का लट्ठा एक्स = 3.2863, फिर एक्स = 1933,

„ लकड़ी का लट्ठा एक्स = 1,2863, „ एक्स = 19,33,

, लकड़ी का लट्ठा एक्स = 0,2&63, „ एक्स = 1,933,

„ लकड़ी का लट्ठा एक्स = 2 ,2863, „ एक्स = 0,01933

यहां और भी उदाहरण हैं:

लकड़ी का लट्ठा एक्स = 0,2287, एक्स = 1,693,

लकड़ी का लट्ठा एक्स = 1 ,7635, एक्स = 0,5801,

लकड़ी का लट्ठा एक्स = 3,5029, एक्स = 3184,

लकड़ी का लट्ठा एक्स = 2 ,0436, एक्स = 0,01106.

यदि मंटिसा में 5 या अधिक अंक हैं, तो हम केवल पहले 4 अंक लेते हैं, बाकी को हटा देते हैं (और यदि 5वें अंक में पांच या अधिक हैं तो चौथे अंक को 1 से बढ़ा देते हैं)। उदाहरण के लिए, मंटिसा 35478 के स्थान पर हम 3548 लेते हैं, 47562 के स्थान पर हम 4756 लेते हैं।

283. नोट.मंटिसा के चौथे और उसके बाद के अंकों का सुधार भी प्रक्षेप के माध्यम से पाया जा सकता है। इसलिए, यदि मंटिसा 84357 है, तो, मंटिसा 843 के अनुरूप संख्या 6966 प्राप्त करने के बाद, हम निम्नानुसार तर्क कर सकते हैं: यदि मंटिसा 1 (हजारवां) बढ़ जाता है, यानी, यह 844 हो जाता है, तो संख्या, इस प्रकार है तालिकाओं से देखा जा सकता है, 16 इकाइयों की वृद्धि होगी; यदि मंटिसा 1 (हजारवां) नहीं, बल्कि 0.57 (हजारवां) बढ़ जाए, तो संख्या बढ़ जाएगी एक्स इकाइयां, और एक्स अनुपात को संतुष्ट करना होगा:

एक्स : 16 = 0.57:1, कहाँ से एक्स = 16 0,57 = 9,12.

इसका मतलब है कि आवश्यक संख्या 6966 + 9.12 = 6975.12 या (केवल चार अंकों तक सीमित) 6975 होगी।

284. पाए गए नंबर की त्रुटि सीमा.यह सिद्ध हो चुका है कि उस स्थिति में जब पाई गई संख्या में अल्पविराम बाईं ओर से तीसरे अंक के बाद होता है, यानी जब लघुगणक की विशेषता 2 होती है, तो योग को त्रुटि सीमा के रूप में लिया जा सकता है

कहाँ ए लघुगणक की त्रुटि सीमा है (दस हजारवें में व्यक्त) जिसके द्वारा संख्या पाई गई थी, और डी - दो तीन अंकों की लगातार संख्याओं के मंटिसा के बीच का अंतर, जिसके बीच पाया गया नंबर स्थित है (बाएं से तीसरे अंक के बाद अल्पविराम के साथ)। जब विशेषता 2 नहीं, बल्कि कुछ और हो, तो पाई गई संख्या में अल्पविराम को बाईं या दाईं ओर ले जाना होगा, यानी संख्या को 10 की किसी शक्ति से विभाजित या गुणा करना होगा। इस स्थिति में, त्रुटि परिणाम को भी 10 की समान घात से विभाजित या गुणा किया जाएगा।

उदाहरण के लिए, हम लघुगणक का उपयोग करके एक संख्या की तलाश कर रहे हैं 1,5950 , जो 3 दस-हजारवें तक सटीक माना जाता है; तो इसका मतलब है ए = 3 . एंटीलोगारिथ्म की तालिका से प्राप्त इस लघुगणक के अनुरूप संख्या है 39,36 . बायीं ओर से तीसरे अंक के बाद अल्पविराम को हटाने पर, हमें संख्या प्राप्त होती है 393,6 , के बीच मिलकर 393 और 394 . लघुगणक की तालिकाओं से हम देखते हैं कि इन दो संख्याओं के संगत मंटिसा के बीच का अंतर है 11 दस हज़ारवां; मतलब डी = 11 . संख्या 393.6 की त्रुटि कम होगी

इसका मतलब है कि नंबर में गड़बड़ी है 39,36 कम होगा 0,05 .

285. नकारात्मक विशेषताओं वाले लघुगणक पर संक्रियाएँ।लघुगणक को जोड़ने और घटाने में कोई कठिनाई नहीं होती है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरणों से देखा जा सकता है:

लघुगणक को किसी धनात्मक संख्या से गुणा करने में भी कोई कठिनाई नहीं है, उदाहरण के लिए:

अंतिम उदाहरण में, सकारात्मक मंटिसा को अलग से 34 से गुणा किया जाता है नकारात्मक विशेषता 34 पर.

यदि एक नकारात्मक विशेषता और एक सकारात्मक मंटिसा के लघुगणक को एक नकारात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो दो तरीकों से आगे बढ़ें: या तो दिए गए लघुगणक को पहले नकारात्मक कर दिया जाता है, या मंटिसा और विशेषता को अलग-अलग गुणा किया जाता है और परिणाम एक साथ जोड़ दिए जाते हैं, उदाहरण के लिए :

3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;

3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.

विभाजित करते समय, दो मामले सामने आ सकते हैं: 1) नकारात्मक विशेषता विभाजित है और 2) भाजक द्वारा विभाज्य नहीं है. पहले मामले में, विशेषता और मंटिसा को अलग-अलग अलग किया जाता है:

10 ,3784: 5 = 2 ,0757.

दूसरे मामले में, विशेषता में इतनी सारी नकारात्मक इकाइयाँ जोड़ी जाती हैं कि परिणामी संख्या भाजक से विभाजित हो जाती है; मंटिसा में समान संख्या में सकारात्मक इकाइयाँ जोड़ी जाती हैं:

3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.

यह परिवर्तन मन में किया जाना चाहिए, इसलिए क्रिया इस प्रकार होती है:

286. घटाए गए लघुगणक को पदों से बदलना।कुछ की गणना करते समय जटिल अभिव्यक्तिलघुगणक का उपयोग करके आपको कुछ लघुगणक जोड़ना होगा, दूसरों को घटाना होगा; इस मामले में, कार्य करने के सामान्य तरीके में, वे अलग से जोड़े गए लघुगणक का योग निकालते हैं, फिर घटाए गए लघुगणक का योग निकालते हैं, और पहले योग से दूसरे को घटाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास:

लकड़ी का लट्ठा एक्स = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,

तब क्रियाओं का सामान्य निष्पादन इस प्रकार दिखेगा:

हालाँकि, घटाव को जोड़ से बदलना संभव है। इसलिए:

अब आप गणना को इस प्रकार व्यवस्थित कर सकते हैं:

287. गणना के उदाहरण.

उदाहरण 1. अभिव्यक्ति का मूल्यांकन करें:

अगर ए = 0.8216, बी = 0.04826, सी = 0.005127और डी = 7.246.

आइए इस अभिव्यक्ति का लघुगणक लें:

लकड़ी का लट्ठा एक्स= 1/3 लॉग ए + 4 लॉग बी - 3 लॉग सी - 1/3 लॉग डी

अब, समय की अनावश्यक हानि से बचने और त्रुटियों की संभावना को कम करने के लिए, सबसे पहले हम सभी गणनाओं को अभी निष्पादित किए बिना और इसलिए, तालिकाओं का संदर्भ लिए बिना व्यवस्थित करेंगे:

इसके बाद, हम तालिकाएँ लेते हैं और शेष खाली स्थानों में लघुगणक डालते हैं:

त्रुटि सीमा.सबसे पहले, आइए संख्या की त्रुटि की सीमा ज्ञात करें एक्स 1 = 194,5 , के बराबर:

तो, सबसे पहले आपको खोजने की जरूरत है ए , यानी, अनुमानित लघुगणक की त्रुटि सीमा, दस हजारवें में व्यक्त की गई। चलिए मान लेते हैं कि ये संख्याएँ ए, बी, सीऔर डीसभी सटीक हैं. तब व्यक्तिगत लघुगणक में त्रुटियाँ इस प्रकार होंगी (दस हजारवें में):

वी लॉगए.......... 1 / 2

वी 1/3 लॉग ए......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3

( 1 / 2 जोड़ा गया क्योंकि 1.9146 के 3 लघुगणक से विभाजित करते समय, हमने भागफल का 5वाँ अंक हटाकर उसे पूर्णांकित किया, और, इसलिए, और भी छोटी त्रुटि की 1 / 2 दस-हजारवां)।

अब हम लघुगणक की त्रुटि सीमा ज्ञात करते हैं:

ए = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (दस हज़ारवाँ)।

आइए आगे परिभाषित करें डी . क्योंकि एक्स 1 = 194,5 , तो 2 क्रमागत पूर्णांक जिनके बीच स्थित है एक्स 1 इच्छा 194 और 195 . टेबल अंतर डी इन संख्याओं के अनुरूप मंटिसा के बीच बराबर है 22 . इसका मतलब यह है कि संख्या की त्रुटि की सीमा है एक्स 1 वहाँ है:

क्योंकि एक्स = एक्स 1 : 10, तो संख्या में त्रुटि सीमा एक्स के बराबर होती है 0,3:10 = 0,03 . इस प्रकार, हमें जो संख्या मिली 19,45 सटीक संख्या से कम से भिन्न है 0,03 . चूँकि हम नहीं जानते कि हमारा सन्निकटन कमी वाला पाया गया या अधिकता वाला, हम केवल इसकी गारंटी दे सकते हैं

19,45 + 0,03 > एक्स > 19,45 - 0,03 , यानी

19,48 > एक्स > 19,42 ,

और इसलिए, यदि हम स्वीकार करते हैं एक्स =19,4 , तो हमारे पास 0.1 तक की सटीकता के साथ एक नुकसान के साथ एक अनुमान होगा।

उदाहरण 2.गणना करें:

एक्स = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .

चूँकि ऋणात्मक संख्याओं में लघुगणक नहीं होते, हम पहले पाते हैं:

एक्स" = (2,31) 3 5 √72

अपघटन द्वारा:

लकड़ी का लट्ठा एक्स"= 3 लॉग 2.31 + 1/5 लॉग72.

गणना के बाद यह पता चलता है:

एक्स" = 28,99 ;

इस तरह,

एक्स = - 28,99 .

उदाहरण 3. गणना करें:

यहां सतत लघुगणक का उपयोग नहीं किया जा सकता, क्योंकि मूल का चिह्न c um m a है। में इसी तरह के मामलेभागों द्वारा सूत्र की गणना करें।

पहले हम ढूंढते हैं एन = 5 √8 , तब एन 1 = 4 √3 ; फिर साधारण जोड़ द्वारा हम निर्धारित करते हैं एन+ एन 1 , और अंत में हम गणना करते हैं 3 √एन+ एन 1 ; यह पता चला है:

एन=1.514, एन 1 = 1,316 ; एन+ एन 1 = 2,830 .

लकड़ी का लट्ठा एक्स= लॉग 3 √ 2,830 = 1 / 3 लॉग 2.830 = 0,1506 ;

एक्स = 1,415 .

चौथा अध्याय।

घातांकीय और लघुगणकीय समीकरण.

288. घातांकीय समीकरण वे होते हैं जिनमें अज्ञात को घातांक में शामिल किया जाता है, और लघुगणकीय- वे जिनमें अज्ञात चिन्ह के नीचे प्रवेश करता है लकड़ी का लट्ठा. ऐसे समीकरण केवल विशेष मामलों में ही हल किए जा सकते हैं, और किसी को लघुगणक के गुणों और इस सिद्धांत पर निर्भर रहना पड़ता है कि यदि संख्याएँ समान हैं, तो उनके लघुगणक समान हैं, और, इसके विपरीत, यदि लघुगणक समान हैं, तो संगत संख्याएं बराबर हैं.

उदाहरण 1.प्रश्न हल करें: 2 एक्स = 1024 .

आइए समीकरण के दोनों पक्षों का लघुगणक लगाएं:

उदाहरण 2.प्रश्न हल करें: ए 2x - ए एक्स = 1 . लाना ए एक्स = पर , हम पाते हैं द्विघात समीकरण:

य 2 - पर - 1 = 0 ,

क्योंकि 1-√5 < 0 , तो अंतिम समीकरण असंभव है (फ़ंक्शन ए एक्स हमेशा एक धनात्मक संख्या होती है), और पहला देता है:

उदाहरण 3.प्रश्न हल करें:

लकड़ी का लट्ठा( ए + एक्स) + लॉग ( बी + एक्स) = लॉग ( सी + एक्स) .

समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है:

लकड़ी का लट्ठा[( ए + एक्स) (बी + एक्स)] = लॉग ( सी + एक्स) .

लघुगणक की समानता से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि संख्याएँ समान हैं:

(ए + एक्स) (बी + एक्स) = सी + एक्स .

यह एक द्विघात समीकरण है, जिसका हल कठिन नहीं है।

अध्याय पांच.

चक्रवृद्धि ब्याज, सावधि भुगतान और सावधि भुगतान।

289. चक्रवृद्धि ब्याज पर मूल समस्या.कितनी हो जाएगी पूंजी? ए रूबल, विकास में दिया गया आर चक्रवृद्धि ब्याज, के बाद टी साल ( टी - पूर्णांक)?

वे कहते हैं कि यदि तथाकथित "ब्याज पर ब्याज" को ध्यान में रखा जाए, तो पूंजी का भुगतान चक्रवृद्धि ब्याज पर किया जाता है, अर्थात, यदि पूंजी पर देय ब्याज राशि को बढ़ाने के लिए प्रत्येक वर्ष के अंत में पूंजी में जोड़ा जाता है बाद के वर्षों में इसमें रुचि रहेगी।

पूंजी का हर रूबल दे दिया गया आर %, एक वर्ष के भीतर लाभ लाएगा पी / 100 रूबल, और, इसलिए, 1 वर्ष में पूंजी का प्रत्येक रूबल बदल जाएगा 1 + पी / 100 रूबल (उदाहरण के लिए, यदि पूंजी दी गई है 5 %, तो इसका प्रत्येक रूबल एक वर्ष में बदल जाएगा 1 + 5 / 100 , यानी में 1,05 रूबल)।

संक्षिप्तता के लिए, भिन्न को निरूपित करें पी / 100 उदाहरण के लिए, एक अक्षर के साथ, आर , हम कह सकते हैं कि एक वर्ष में पूंजी का प्रत्येक रूबल बदल जाएगा 1 + आर रूबल; इस तरह, ए रूबल 1 वर्ष में वापस कर दिए जाएंगे ए (1 + आर ) रगड़ना। एक और वर्ष के बाद, यानी विकास की शुरुआत से 2 साल, इनमें से प्रत्येक रूबल ए (1 + आर ) रगड़ना। दोबारा संपर्क करेंगे 1 + आर रगड़ना।; इसका मतलब है कि सारी पूंजी बदल जाएगी ए (1 + आर ) 2 रगड़ना। इसी प्रकार हम पाते हैं कि तीन वर्ष बाद राजधानी होगी ए (1 + आर ) 3 , चार साल में यह हो जाएगा ए (1 + आर ) 4 ,...आम तौर पर के माध्यम से टी साल अगर टी एक पूर्णांक है, यह बदल जाएगा ए (1 + आर ) टीरगड़ना। इस प्रकार, द्वारा निरूपित करना एअंतिम पूंजी, हमारे पास निम्नलिखित चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र होगा:

ए = ए (1 + आर ) टीकहाँ आर = पी / 100 .

उदाहरण।होने देना ए =2,300 रूबल, पी = 4, टी=20 साल; तो सूत्र देता है:

आर = 4 / 100 = 0,04 ; ए = 2,300 (1.04) 20.

की गणना करना ए, हम लघुगणक का उपयोग करते हैं:

लकड़ी का लट्ठा ए = लॉग 2 300 + 20 लॉग 1.04 = 3.3617 + 20 0.0170 = 3.3617+0.3400 = 3.7017।

ए = 5031रूबल.

टिप्पणी।इस उदाहरण में हमें यह करना था लॉग 1.04गुणा करके 20 . संख्या के बाद से 0,0170 एक अनुमानित मूल्य है लॉग 1.04तक 1 / 2 दस हजारवाँ भाग, तो इस संख्या का गुणनफल 20 यह निश्चित रूप से केवल तब तक ही रहेगा 1 / 2 20, यानी 10 दस-हजारवें तक = 1 हजारवां। अतः कुल मिलाकर 3,7017 हम न केवल दस हज़ारवें की संख्या के लिए, बल्कि हज़ारवें की संख्या के लिए भी प्रतिज्ञा नहीं कर सकते। ऐसे मामलों में अधिक सटीकता प्राप्त करने के लिए, यह संख्या के लिए बेहतर है 1 + आर लघुगणक 4-अंकीय नहीं, बल्कि साथ लें एक लंबी संख्यासंख्याएँ, उदा. 7 अंक. इस उद्देश्य के लिए, हम यहां एक छोटी तालिका प्रस्तुत करते हैं जिसमें सबसे सामान्य मानों के लिए 7-अंकीय लघुगणक लिखे गए हैं आर .

290. मुख्य कार्य अत्यावश्यक भुगतान के लिए है।कोई ले गया ए रूबल प्रति आर ऋण चुकाने की शर्त के साथ %, उस पर देय ब्याज सहित, में टी वर्ष, प्रत्येक वर्ष के अंत में समान राशि का भुगतान करना। यह राशि कितनी होनी चाहिए?

जोड़ एक्स ऐसी शर्तों के तहत सालाना भुगतान किया जाता है, जिसे तत्काल भुगतान कहा जाता है। आइए फिर से अक्षर से निरूपित करें आर 1 रूबल से वार्षिक ब्याज धन, यानी संख्या पी / 100 . फिर पहले साल के अंत तक कर्ज ए तक बढ़ जाता है ए (1 + आर ), मूल भुगतान एक्स यह रूबल बन जाएगा ए (1 + आर )-एक्स .

दूसरे वर्ष के अंत तक, इस राशि का प्रत्येक रूबल फिर से बदल जाएगा 1 + आर रूबल, और इसलिए ऋण होगा [ ए (1 + आर )-एक्स ](1 + आर ) = ए (1 + आर ) 2 - एक्स (1 + आर ), और भुगतान के लिए एक्स रूबल होंगे: ए (1 + आर ) 2 - एक्स (1 + आर ) - एक्स . इसी तरह, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि तीसरे वर्ष के अंत तक कर्ज हो जाएगा

ए (1 + आर ) 3 - एक्स (1 + आर ) 2 - एक्स (1 + आर ) - एक्स ,

और सामान्य तौर पर और अंत टी वर्ष यह हो जाएगा:

ए (1 + आर ) टी - एक्स (1 + आर ) टी -1 - एक्स (1 + आर ) टी-2 ... - एक्स (1 + आर ) - एक्स , या

ए (1 + आर ) टी - एक्स [ 1 + (1 + आर ) + (1 + आर ) 2 + ...+ (1 + आर ) टी-2 + (1 + आर ) टी -1 ]

कोष्ठक के अंदर का बहुपद पदों के योग को दर्शाता है ज्यामितीय अनुक्रम; जिसका पहला सदस्य है 1 , अंतिम ( 1 + आर ) टी -1, और हर ( 1 + आर ). एक ज्यामितीय प्रगति (धारा 10 अध्याय 3 § 249) के पदों के योग के लिए सूत्र का उपयोग करके हम पाते हैं:

और उसके बाद ऋण की राशि टी -वां भुगतान होगा:

समस्या की स्थिति के अनुसार कर्ज समाप्ति पर है टी -वें वर्ष के बराबर होना चाहिए 0 ; इसीलिए:

कहाँ

इसकी गणना करते समय तत्काल भुगतान सूत्रलघुगणक का उपयोग करके हमें पहले सहायक संख्या ज्ञात करनी होगी एन = (1 + आर ) टीलघुगणक द्वारा: लॉग एन= टीलॉग(1+ आर) ; मिल गया एन, इसमें से 1 घटाएं, फिर हमें सूत्र का हर प्राप्त होता है एक्स, जिसके बाद हम द्वितीयक लघुगणक द्वारा पाते हैं:

लकड़ी का लट्ठा एक्स= लॉग ए+ लॉग एन + लॉग आर - लॉग (एन - 1).

291. सावधि योगदान के लिए मुख्य कार्य।प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में कोई व्यक्ति उतनी ही राशि बैंक में जमा करता है। ए रगड़ना। निर्धारित करें कि इन योगदानों से बाद में कौन सी पूंजी बनेगी टी यदि बैंक भुगतान करता है तो वर्ष आर चक्रवृद्धि ब्याज.

द्वारा नामित आर 1 रूबल से वार्षिक ब्याज धन, अर्थात्। पी / 100 , हम इस प्रकार तर्क करते हैं: पहले वर्ष के अंत तक राजधानी होगी ए (1 + आर );

दूसरे वर्ष की शुरुआत में इस राशि को जोड़ा जाएगा ए रूबल; इसका मतलब यह है कि इस समय पूंजी होगी ए (1 + आर ) + ए . दूसरे वर्ष के अंत तक वह हो जायेगा ए (1 + आर ) 2 + ए (1 + आर );

तीसरे वर्ष की शुरुआत में इसे फिर से दर्ज किया जाता है ए रूबल; इसका मतलब यह है कि इस समय पूंजी होगी ए (1 + आर ) 2 + ए (1 + आर ) + ए ; तीसरे के अंत तक वह होगा ए (1 + आर ) 3 + ए (1 + आर ) 2 + ए (1 + आर ) इन तर्कों को आगे जारी रखते हुए, हम अंत तक यही पाते हैं टी वर्ष आवश्यक पूंजी एइच्छा:

यह प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में किए गए सावधि योगदान का सूत्र है।

वही सूत्र निम्नलिखित तर्क से प्राप्त किया जा सकता है: को डाउन पेमेंट ए बैंक में रहते हुए रूबल टी चक्रवृद्धि ब्याज फार्मूले के अनुसार वर्ष बदल जायेंगे ए (1 + आर ) टीरगड़ना। दूसरी किस्त, एक वर्ष से कम समय के लिए बैंक में रहेगी, अर्थात। टी - 1 वर्षों पुराना, संपर्क करें ए (1 + आर ) टी- 1रगड़ना। इसी तरह तीसरी किस्त भी देंगे ए (1 + आर ) टी 2आदि, और अंत में अंतिम किस्त, केवल 1 वर्ष से बैंक में होने के कारण, चली जाएगी ए (1 + आर ) रगड़ना। इसका मतलब है अंतिम पूंजी एरगड़ना। इच्छा:

ए= ए (1 + आर ) टी + ए (1 + आर ) टी- 1 + ए (1 + आर ) टी 2 + . . . + ए (1 + आर ),

जो सरलीकरण के बाद ऊपर पाया गया सूत्र देता है।

इस सूत्र के लघुगणक का उपयोग करके गणना करते समय, आपको उसी तरह आगे बढ़ना चाहिए जैसे कि तत्काल भुगतान के लिए सूत्र की गणना करते समय, यानी, पहले संख्या एन = ( 1 + आर ) टीइसके लघुगणक द्वारा: लॉग एन= टीलकड़ी का लट्ठा(1 + आर ), फिर संख्या एन- 1और फिर सूत्र का लघुगणक लें:

लॉग ए = लॉग ए+लॉग(1+ आर) + लॉग (एन - 1) - 1ओजीआर

टिप्पणी।यदि कोई अत्यावश्यक योगदान है ए रगड़ना। शुरुआत में नहीं, बल्कि प्रत्येक वर्ष के अंत में किया जाता था (उदाहरण के लिए, एक अत्यावश्यक भुगतान किया जाता है)। एक्स कर्ज़ चुकाने के लिए), फिर, पिछले वाले की तरह ही तर्क करते हुए, हम इसे अंत तक पाते हैं टी वर्ष आवश्यक पूंजी ए"रगड़ना। (अंतिम किस्त सहित) होगी ए रगड़ना, ब्याज नहीं देना):

ए"= ए (1 + आर ) टी- 1 + ए (1 + आर ) टी 2 + . . . + ए (1 + आर ) + ए

जो इसके बराबर है:

यानी ए"में समाप्त होता है ( 1 + आर ) गुना कम ए, जिसकी अपेक्षा की जानी थी, पूंजी के प्रत्येक रूबल के बाद से ए"पूंजी के संगत रूबल से एक वर्ष कम समय के लिए बैंक में पड़ा रहता है ए.

1. जांचें कि लघुगणक चिह्न के नीचे ऋणात्मक संख्याएं हैं या कोई। यह विधिप्रपत्र की अभिव्यक्तियों पर लागू लॉग बी ⁡ (x) लॉग बी ⁡ (ए) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). हालाँकि, यह कुछ विशेष मामलों के लिए उपयुक्त नहीं है:

   • लोगारित्म ऋणात्मक संख्याकिसी भी आधार पर निर्धारित नहीं (उदाहरण के लिए, लॉग ⁡ (− 3) (\displaystyle \लॉग(-3))या लॉग 4 ⁡ (− 5) (\displaystyle \लॉग _(4)(-5))). इस स्थिति में "कोई समाधान नहीं" लिखें।
   • किसी भी आधार पर शून्य का लघुगणक भी अपरिभाषित है। अगर आप पकड़े गए ln ⁡ (0) (\displaystyle \ln(0)), "कोई समाधान नहीं" लिखें।
   • किसी भी आधार का लघुगणक ( लॉग ⁡ (1) (\displaystyle \लॉग(1))) हमेशा शून्य होता है, क्योंकि x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1)सभी मूल्यों के लिए एक्स. इस लघुगणक के स्थान पर 1 लिखें और नीचे दी गई विधि का प्रयोग न करें।
   • उदाहरण के लिए, यदि लघुगणक के अलग-अलग आधार हैं l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), और पूर्णांकों तक सीमित नहीं हैं, अभिव्यक्ति का मान मैन्युअल रूप से नहीं पाया जा सकता है।

2. व्यंजक को एक लघुगणक में बदलें।यदि अभिव्यक्ति उपरोक्त विशेष मामलों पर लागू नहीं होती है, तो इसे एकल लघुगणक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसके लिए निम्न सूत्र का प्रयोग करें: लॉग बी ⁡ (एक्स) लॉग बी ⁡ (ए) = लॉग ए ⁡ (एक्स) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ लॉग_(ए)(x)).

   • उदाहरण 1: अभिव्यक्ति पर विचार करें लॉग ⁡ 16 लॉग ⁡ 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\लॉग (2)))).
     सबसे पहले, आइए उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके अभिव्यक्ति को एकल लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करें: लॉग ⁡ 16 लॉग ⁡ 2 = लॉग 2 ⁡ (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2)(16)).
   • लघुगणक के "आधार को प्रतिस्थापित करने" का यह सूत्र लघुगणक के मूल गुणों से लिया गया है।

3. यदि संभव हो, तो अभिव्यक्ति के मूल्य का मैन्युअल रूप से मूल्यांकन करें।ढूँढ़ने के लिए लॉग ए ⁡ (x) (\displaystyle \log _(a)(x)), अभिव्यक्ति की कल्पना करें " ए? = x (\displaystyle a^(?)=x)"अर्थात, अपने आप से पूछें अगला सवाल: "किस शक्ति को बढ़ाया जाना चाहिए एपाने के एक्स?. इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए कैलकुलेटर की आवश्यकता हो सकती है, लेकिन यदि आप भाग्यशाली हैं, तो आप इसे मैन्युअल रूप से ढूंढने में सक्षम हो सकते हैं।

   • उदाहरण 1 (जारी): इस रूप में पुनः लिखें 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). आपको यह पता लगाना होगा कि "?" चिन्ह के स्थान पर कौन सी संख्या होनी चाहिए। यह परीक्षण और त्रुटि द्वारा किया जा सकता है:
     2 2 = 2 * 2 = 4 (\displaystyle 2^(2)=2*2=4)
     2 3 = 4 * 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=4*2=8)
     2 4 = 8 * 2 = 16 (\displaystyle 2^(4)=8*2=16)
     तो, हम जिस संख्या की तलाश कर रहे हैं वह 4 है: लॉग 2 ⁡ (16) (\displaystyle \लॉग _(2)(16)) = 4 .

4. यदि आप इसे सरल नहीं कर सकते तो अपना उत्तर लघुगणकीय रूप में छोड़ें।कई लघुगणक की गणना हाथ से करना बहुत कठिन होता है। इस मामले में, सटीक उत्तर पाने के लिए आपको एक कैलकुलेटर की आवश्यकता होगी। हालाँकि, यदि आप कक्षा में कोई समस्या हल कर रहे हैं, तो शिक्षक संभवतः लघुगणकीय रूप में उत्तर से संतुष्ट होंगे। नीचे चर्चा की गई विधि का उपयोग अधिक जटिल उदाहरण को हल करने के लिए किया जाता है:

   • उदाहरण 2: बराबर क्या है लॉग 3 ⁡ (58) लॉग 3 ⁡ (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
   • आइए इस अभिव्यक्ति को एक लघुगणक में बदलें: लॉग 3 ⁡ (58) लॉग 3 ⁡ (7) = लॉग 7 ⁡ (58) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ लॉग_(7)(58)). ध्यान दें कि दोनों लघुगणकों में उभयनिष्ठ आधार 3 गायब हो जाता है; यह किसी भी कारण से सत्य है.
   • आइए अभिव्यक्ति को फॉर्म में फिर से लिखें 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58)और आइए मूल्य ज्ञात करने का प्रयास करें?:
     7 2 = 7 * 7 = 49 (\displaystyle 7^(2)=7*7=49)
     7 3 = 49 * 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=49*7=343)
     चूँकि 58 इन दो संख्याओं के बीच है, इसलिए इसे पूर्ण संख्या के रूप में व्यक्त नहीं किया जाता है।
   • हम उत्तर को लघुगणकीय रूप में छोड़ते हैं: लॉग 7 ⁡ (58) (\displaystyle \लॉग _(7)(58)).