Harta mustahil adalah objek yang sangat kecil. Projek "angka mustahil"

Mustahil adalah apa
yang tidak boleh wujud...
atau berlaku...

Tujuan pelajaran: pembangunan visi tiga dimensi pelajar; keupayaan untuk menjelaskan kemustahilan kewujudan angka tertentu dari sudut pandangan geometri; perkembangan minat terhadap subjek.

peralatan: akhbar berdasarkan bahan laman web " Dunia yang mustahil" (Internet), alat binaan rajah, rajah geometri, ilustrasi rajah mustahil.

Semasa kelas:

pengenalan:
Sepanjang sejarah, orang telah menemui ilusi optik dari satu jenis atau yang lain. Cukuplah untuk mengingati fatamorgana di padang pasir, ilusi yang dicipta oleh cahaya dan bayang-bayang, serta gerakan relatif. Contoh berikut diketahui secara meluas: bulan, yang terbit dari ufuk, nampaknya jauh lebih besar daripada yang tinggi di langit. Semua ini hanyalah beberapa fenomena aneh yang berlaku di alam semula jadi. Apabila fenomena ini, yang menipu penglihatan dan fikiran, mula-mula diperhatikan, ia mula membangkitkan imaginasi orang ramai.

Sejak zaman purba, ilusi optik telah digunakan untuk meningkatkan kesan karya seni atau menambah baik penampilan ciptaan seni bina. Orang Yunani kuno menggunakan ilusi optik untuk menyempurnakan penampilan kuil besar mereka. Pada Zaman Pertengahan, perspektif yang berpindah kadang-kadang digunakan dalam lukisan. Kemudian, banyak ilusi lain digunakan dalam grafik. Antaranya, jenis ilusi optik yang unik dan agak baharu dikenali sebagai "objek mustahil".

Salah satu kemahiran penting bagi mereka yang bekerja dalam bidang teknikal ialah keupayaan untuk melihat objek tiga dimensi dalam satah dua dimensi. Objek Impossible dibina berdasarkan helah dengan perspektif dan kedalaman dalam ruang 2D. Mustahil dalam ruang tiga dimensi sebenar, ia menjejaskan penglihatan kita disebabkan oleh perspektif yang berubah, manipulasi dengan kedalaman dan satah, petunjuk optik yang mengelirukan, ketidakkonsistenan dalam pelan, permainan cahaya dan bayang-bayang, sambungan yang tidak jelas, disebabkan oleh arah dan sambungan yang tidak betul dan bercanggah, berubah. mata kod dan lain-lain. "helah" yang digunakan oleh artis grafik.

Penggunaan sengaja objek mustahil dalam reka bentuk bermula sejak zaman purba, sebelum kemunculan perspektif klasik. Artis cuba mencari penyelesaian baharu. Contohnya ialah penggambaran Annunciation abad ke-15 pada lukisan dinding Katedral St. Mary di bandar Breda, Belanda. Lukisan itu menggambarkan malaikat Jibril membawa berita kepada Mary tentang masa depan Anaknya. Lukisan dinding dibingkai oleh dua gerbang yang disokong pula oleh tiga lajur. Walau bagaimanapun, perhatian harus diberikan kepada lajur tengah. Tidak seperti yang lain, dia menghilang ke latar belakang di belakang dapur. Dari sudut praktikal, artis menggunakan "kemustahilan" ini sebagai teknik khas untuk mengelak membahagikan adegan kepada dua bahagian.

Contoh gerbang sedemikian ditunjukkan dalam Rajah. satu

"Angka yang mustahil"dibahagikan kepada 4 kumpulan. Sekarang mari kita cuba membongkar tokoh utama dari setiap kumpulan. Jadi, yang pertama:

Pelajar 1:

Segitiga yang menakjubkan - tribar.

Angka ini mungkin yang pertama diterbitkan dalam cetakan objek yang mustahil. Dia muncul pada tahun 1958. Pengarangnya, bapa dan anak lelaki Lionell dan Roger Penrose, ahli genetik dan ahli matematik masing-masing, mendefinisikan objek sebagai "struktur segi empat tepat tiga dimensi". Dia juga menerima nama "tribar".

Tentukan apa yang mustahil secara geometri.

(Pada pandangan pertama, tribar nampaknya hanyalah imej segi tiga sama sisi. Tetapi sisi yang menumpu di bahagian atas lukisan kelihatan berserenjang. Pada masa yang sama, muka kiri dan kanan di bahagian bawah juga kelihatan berserenjang. Jika anda melihat setiap butiran secara berasingan, ia kelihatan nyata, tetapi secara umum angka ini tidak boleh wujud. Ia tidak cacat, tetapi elemen yang betul telah disambungkan dengan salah semasa melukis.)

Berikut adalah beberapa lagi contoh angka mustahil berdasarkan tribar. Cuba jelaskan kemustahilan mereka.

Tribar ubah bentuk

Segitiga 12 kiub

Tribar bersayap

domino tiga kali ganda

Pelajar 2:

Tangga Tak Berpenghujung

Angka ini paling kerap dipanggil "Tangga Tanpa Akhir", "Tangga Abadi" atau "Tangga Penrose" - selepas penciptanya. Ia juga dipanggil "laluan menaik dan menurun secara berterusan".

Angka ini pertama kali diterbitkan pada tahun 1958. Di hadapan kita kelihatan sebuah tangga yang mengarah, nampaknya, naik atau turun, tetapi pada masa yang sama, seseorang yang berjalan di sepanjangnya tidak naik atau turun. Setelah menyelesaikan laluan visualnya, dia akan berada di permulaan laluan.

"Endless Staircase" telah berjaya digunakan oleh artis Maurits K. Escher, kali ini dalam litografnya "Ascent and Descend", yang dicipta pada tahun 1960.

Tangga dengan empat atau tujuh anak tangga.

Penciptaan angka ini dengan sejumlah besar langkah pengarang boleh diilhamkan oleh timbunan tidur kereta api biasa. Jika anda akan menaiki tangga ini, anda akan berhadapan dengan pilihan: sama ada menaiki empat atau tujuh anak tangga.

Cuba terangkan apakah sifat yang digunakan oleh pencipta tangga ini.

(Pencipta tangga ini mengambil kesempatan daripada garis selari apabila mereka bentuk bahagian akhir blok yang berada pada jarak yang sama; beberapa blok kelihatan berpusing agar sesuai dengan ilusi).

Dicadangkan untuk melihat angka lain. Dinding berpijak.

Pelajar 3:

Kumpulan angka seterusnya di bawah nama umum "Space Fork". Dengan angka ini, kita memasuki inti dan intipati yang mustahil. Mungkin ini adalah kelas objek mustahil yang paling banyak.

Objek mustahil yang terkenal dengan tiga (atau dua?) serampang ini menjadi popular di kalangan jurutera dan peminat teka-teki pada tahun 1964. Penerbitan pertama yang didedikasikan untuk angka luar biasa itu muncul pada Disember 1964. Pengarang memanggilnya "Kurungan yang terdiri daripada tiga elemen." Memahami dan menyelesaikan (jika boleh) ketidaksesuaian dalam jenis angka samar-samar baharu ini memerlukan anjakan sebenar dalam penetapan visual. Dari sudut praktikal, trisula atau mekanisme aneh dalam bentuk kurungan ini sama sekali tidak boleh digunakan. Ada yang menyebutnya sebagai "kesilapan yang malang". Salah seorang wakil industri aeroangkasa mencadangkan menggunakan sifatnya dalam reka bentuk garpu tala ruang antara dimensi.

Menara dengan empat tiang berkembar.

Pelajar 4:

Satu lagi objek mustahil muncul pada tahun 1966 di Chicago hasil daripada eksperimen asal jurugambar Dr. Charles F. Cochran. Ramai pencinta figura mustahil telah bereksperimen dengan Kotak Gila. Pada mulanya, penulis memanggilnya "Kotak Percuma" dan menyatakan bahawa ia "direka untuk mengangkut objek yang mustahil dalam jumlah besar."

Kotak Gila ialah bingkai kubus yang dipusing ke dalam. Pendahulu segera Kotak Gila ialah Kotak Impossible oleh Escher, dan pendahulunya pula ialah Necker Cube.

Ia bukan objek yang mustahil, tetapi ia adalah angka di mana parameter kedalaman boleh dilihat secara samar-samar.

Kiub Necker pertama kali diterangkan pada tahun 1832 oleh ahli kristal Swiss Lewis A. Necker, yang menyedari bahawa kristal kadangkala berubah bentuk secara visual apabila anda melihatnya. Apabila kita melihat ke dalam kiub Necker, kita dapati bahawa muka dengan titik berada di latar depan, kemudian di latar belakang, ia melompat dari satu kedudukan ke kedudukan yang lain.

Beberapa lagi angka yang mustahil.

cikgu:

Sekarang cuba buat beberapa angka mustahil sendiri.

Pelajaran berakhir dengan pelajar cuba melukis angka yang mustahil sendiri.

Angka yang mustahil - jenis istimewa objek dalam seni visual. Sebagai peraturan, mereka dipanggil begitu kerana mereka tidak boleh wujud dunia sebenar.

Lebih tepat lagi, angka mustahil ialah objek geometri yang dilukis di atas kertas yang memberikan gambaran unjuran biasa objek tiga dimensi, namun, apabila diteliti lebih dekat, percanggahan dalam sambungan unsur-unsur rajah menjadi kelihatan.

Angka yang mustahil dipisahkan ke dalam kelas yang berasingan ilusi optik.

Pembinaan yang mustahil telah diketahui sejak zaman purba. Mereka ditemui dalam ikon dari Zaman Pertengahan. Artis Sweden dianggap sebagai "bapa" kepada tokoh yang mustahil Oscar Reutersvärd yang melukis segi tiga mustahil, terdiri daripada kiub pada tahun 1934.

Tokoh yang mustahil diketahui umum pada tahun 50-an abad yang lalu, selepas penerbitan artikel oleh Roger Penrose dan Lionel Penrose, di mana dua angka asas- segitiga mustahil (yang juga dipanggil segitigaPenrose) dan tangga yang tidak berkesudahan. Artikel ini telah jatuh ke tangan orang yang terkenal artis Belanda M.K. Escher, yang, yang diilhamkan oleh idea tokoh yang mustahil, mencipta litograf terkenalnya "Waterfall", "Ascent and Descent" dan "Belvedere". Mengikutinya, sejumlah besar artis di seluruh dunia mula menggunakan angka mustahil dalam kerja mereka. Yang paling terkenal di kalangan mereka ialah Jos de Mey, Sandro del Pre, Ostvan Oros. Karya-karya ini, serta artis lain, dipilih dalam arah yang berasingan. seni visual - " seni imp" .

Nampaknya angka mustahil benar-benar tidak boleh wujud dalam ruang tiga dimensi. Terdapat cara tertentu yang anda boleh menghasilkan semula angka mustahil di dunia nyata, walaupun ia akan kelihatan mustahil dari satu sudut pandangan sahaja.

Angka mustahil yang paling terkenal ialah: segitiga mustahil, tangga tidak berkesudahan dan trisula mustahil.

Artikel daripada jurnal Science and Life "Realiti Mustahil" muat turun

Oscar Ruthersward(ejaan nama keluarga diterima dalam kesusasteraan bahasa Rusia; lebih tepat lagi, Reuterswerd), ( 1 915 - 2002) ialah seorang artis Sweden yang mengkhususkan diri dalam menggambarkan sosok yang mustahil, iaitu, yang boleh digambarkan tetapi tidak boleh dicipta. Salah seorang tokohnya menerima perkembangan selanjutnya seperti segi tiga Penrose.

Sejak 1964 profesor sejarah seni dan teori di Universiti Lund.

Rutersvärd sangat dipengaruhi oleh pelajaran profesor imigran Rusia di Akademi Seni di St. Petersburg, Mikhail Katz. Angka mustahil pertama - segitiga mustahil yang terdiri daripada satu set kiub - dicipta secara tidak sengaja pada tahun 1934. Kemudian, selama bertahun-tahun kreativiti, dia melukis lebih daripada 2,500 angka mustahil yang berbeza. Kesemuanya dibuat dalam perspektif "Jepun" selari.

Pada tahun 1980, kerajaan Sweden mengeluarkan tiga siri setem pos dengan lukisan oleh pelukis.

Pendahuluan…………………………………………………………………………..2

Bahagian utama. Angka yang mustahil……………….…………………………………………4

2.1. Sedikit sejarah……………………………………………………………….4

2.2. Jenis angka mustahil………………………………………………….6

2.3. Oscar Ruthersvärd – bapa kepada sosok mustahil………………………..11

2.4. Angka yang mustahil adalah mungkin!……………………………………..13

2.5. Penggunaan angka mustahil……………………………………………………………………………………………………………………14

Kesimpulan………………………………………………………………………..15

Bibliografi………………………………………………………………16

pengenalan

Untuk beberapa waktu sekarang, saya telah berminat dengan angka sedemikian yang pada pandangan pertama kelihatan biasa, tetapi melihat lebih dekat anda dapat melihat bahawa ada sesuatu yang tidak betul pada mereka. Kepentingan utama bagi saya adalah apa yang dipanggil angka mustahil, melihat yang nampaknya mereka tidak boleh wujud di dunia nyata. Saya ingin mengetahui lebih lanjut tentang mereka.

"The World of Impossible Figures" adalah salah satu daripada topik yang menarik, yang menerima perkembangan pesatnya hanya pada awal abad kedua puluh. Walau bagaimanapun, lebih awal lagi, ramai saintis dan ahli falsafah menangani isu ini. Malah bentuk volumetrik yang mudah seperti kubus, piramid, selari boleh diwakili sebagai gabungan beberapa rajah yang terletak pada jarak yang berbeza dari mata pemerhati. Dalam kes ini, mesti sentiasa ada garisan di mana imej bahagian individu digabungkan menjadi gambar yang lengkap.

"Angka yang mustahil ialah objek tiga dimensi yang dilukis di atas kertas yang tidak boleh wujud dalam realiti, tetapi yang, bagaimanapun, boleh dilihat sebagai imej dua dimensi." Ini adalah salah satu jenis ilusi optik, angka yang pada pandangan pertama seolah-olah merupakan unjuran objek tiga dimensi biasa, apabila diteliti lebih dekat yang sambungan bercanggah unsur-unsur rajah menjadi kelihatan. Ilusi dicipta tentang kemustahilan kewujudan sosok sedemikian dalam ruang tiga dimensi.

Soalan timbul di hadapan saya: "Adakah angka mustahil wujud di dunia nyata?"

Matlamat projek:

1. Cari tahu keak diciptaangka tidak nyata muncul.

2. Cari aplikasiangka mustahil.

Objektif projek:

1. Untuk mengkaji literatur mengenai topik "Angka Mustahil".

2 .Buat klasifikasiangka mustahil.

3.PPertimbangkan cara untuk membina angka mustahil.

4. Cipta mustahilangka.

Topik kerja saya adalah relevan kerana pemahaman tentang paradoks adalah salah satu tanda seperti itu kreativiti dimiliki oleh ahli matematik, saintis dan artis terbaik. Banyak karya dengan objek tidak nyata boleh diklasifikasikan sebagai "intelek permainan matematik". Simulasikan dunia yang serupa hanya mungkin dengan bantuan formula matematik, seseorang tidak dapat membayangkannya. Dan untuk pembangunan imaginasi spatial, angka mustahil ternyata berguna. Seseorang tanpa jemu secara mental mencipta di sekelilingnya apa yang mudah dan mudah difahami untuknya. Dia tidak dapat membayangkan bahawa beberapa objek di sekelilingnya mungkin "mustahil". Sebenarnya dunia ini satu, tetapi ia boleh dilihat dari sudut yang berbeza.

Mustahilangka

Sedikit sejarah

Angka-angka yang mustahil sering dijumpai pada ukiran, lukisan dan ikon purba - dalam beberapa kes kita mempunyai kesilapan yang jelas dalam pemindahan perspektif, dalam yang lain - dengan herotan yang disengajakan disebabkan oleh niat artistik.

Dalam lukisan Jepun dan Parsi zaman pertengahan, objek yang mustahil adalah sebahagian daripada oriental gaya artistik, yang hanya memberikan garis besar gambar, yang butirannya "perlu" difikirkan sendiri oleh penonton, mengikut keutamaan mereka. Di sini kita mempunyai sekolah. Perhatian kami tertumpu kepada struktur seni bina di latar belakang, ketidakkonsistenan geometri yang jelas. Ia boleh ditafsirkan sebagai dinding dalam bilik dan sebagai dinding luar bangunan, tetapi kedua-dua tafsiran ini tidak betul, kerana kita berurusan dengan satah yang merupakan dinding luar dan luar, iaitu, gambar menunjukkan objek mustahil biasa.

Gambar dengan perspektif yang herot ditemui sudah pada awal milenium pertama. Pada miniatur dari buku Henry II, dicipta sebelum 1025 dan disimpan di Bavaria perpustakaan negeri di Munich, melukis Madonna and Child. Gambar itu menunjukkan peti besi yang terdiri daripada tiga lajur, dan lajur tengah, mengikut undang-undang perspektif, harus terletak di hadapan Madonna, tetapi di belakangnya, yang memberikan gambaran kesan tidak realiti.

Jenisangka mustahil.

"Angka mustahil" dibahagikan kepada 4 kumpulan. Jadi yang pertama:

Segitiga yang menakjubkan - tribar.

Angka ini mungkin objek mustahil pertama yang diterbitkan dalam cetakan. Dia muncul pada tahun 1958. Pengarangnya, bapa dan anak lelaki Lionell dan Roger Penrose, ahli genetik dan ahli matematik masing-masing, mentakrifkan objek ini sebagai "struktur segi empat tepat tiga dimensi." Dia juga menerima nama "tribar". Pada pandangan pertama, tribar nampaknya hanyalah imej segi tiga sama sisi. Tetapi sisi yang menumpu di bahagian atas lukisan kelihatan berserenjang. Pada masa yang sama, muka kiri dan kanan di bahagian bawah juga kelihatan berserenjang. Jika anda melihat setiap butiran secara berasingan, ia kelihatan nyata, tetapi, secara umum, angka ini tidak boleh wujud. Ia tidak cacat, tetapi apabila melukis, elemen yang betul disambungkan dengan salah.

Berikut adalah beberapa lagi contoh angka mustahil berdasarkan tribar.

Tangga Tak Berpenghujung

Angka ini paling kerap dipanggil "Tangga Tanpa Akhir", "Tangga Abadi" atau "Tangga Penrose" - selepas penciptanya. Ia juga dipanggil "laluan menaik dan menurun secara berterusan."

Angka ini pertama kali diterbitkan pada tahun 1958. Di hadapan kita kelihatan sebuah tangga yang mengarah, nampaknya, naik atau turun, tetapi pada masa yang sama, seseorang yang berjalan di sepanjangnya tidak naik atau turun. Setelah menyelesaikan laluan visualnya, dia akan berada di permulaan laluan.

"Endless Staircase" telah berjaya digunakan oleh artis Maurits K. Escher, kali ini dalam lithograph Ascending and Descent 1960 beliau.

Tangga dengan empat atau tujuh anak tangga. Penciptaan angka ini dengan sejumlah besar langkah pengarang boleh diilhamkan oleh timbunan tidur kereta api biasa. Jika anda akan menaiki tangga ini, anda akan berhadapan dengan pilihan: sama ada menaiki empat atau tujuh anak tangga.

Pencipta tangga ini mengambil kesempatan daripada garis selari apabila mereka bentuk bahagian akhir blok yang berada pada jarak yang sama; nampaknya beberapa bongkah dipintal agar sesuai dengan ilusi.

garpu angkasa.

Kumpulan angka seterusnya di bawah nama umum "Space Fork". Dengan angka ini, kita memasuki inti dan intipati yang mustahil. Mungkin ini adalah kelas objek mustahil yang paling banyak.

Objek mustahil yang terkenal dengan tiga (atau dua?) serampang ini menjadi popular di kalangan jurutera dan peminat teka-teki pada tahun 1964. Penerbitan pertama yang didedikasikan untuk angka luar biasa itu muncul pada Disember 1964. Pengarang memanggilnya "Kurungan yang terdiri daripada tiga elemen."

Dari sudut praktikal, trisula atau mekanisme aneh dalam bentuk kurungan ini sama sekali tidak boleh digunakan. Ada yang menyebutnya hanya "kesilapan yang malang." Salah seorang wakil industri aeroangkasa mencadangkan menggunakan sifatnya dalam reka bentuk garpu tala ruang antara dimensi.

Kotak yang mustahil

Satu lagi objek mustahil muncul pada tahun 1966 di Chicago hasil daripada eksperimen asal jurugambar Dr. Charles F. Cochran. Ramai pencinta figura mustahil telah bereksperimen dengan Kotak Gila. Pada mulanya, penulis memanggilnya "Kotak Percuma" dan menyatakan bahawa ia "direka untuk menghantar objek yang mustahil dalam jumlah besar."

"Kotak gila" ialah bingkai kubus yang dipusing ke dalam. Pendahulu segera Kotak Gila ialah Kotak Impossible (oleh Escher), dan pendahulunya, seterusnya, ialah Necker Cube.

Ia bukan objek yang mustahil, tetapi ia adalah angka di mana parameter kedalaman boleh dilihat secara samar-samar.

Apabila kita melihat ke dalam kiub Necker, kita dapati bahawa muka dengan titik berada di latar depan, kemudian di latar belakang, ia melompat dari satu kedudukan ke kedudukan yang lain.

Oscar Ruthersward - bapa kepada sosok yang mustahil.

"Bapa" tokoh mustahil ialah artis Sweden Oscar Ruthersvärd. Artis Sweden Oskar Rutersvärd, pakar dalam mencipta imej angka mustahil, mendakwa kurang mahir dalam matematik, tetapi, bagaimanapun, menaikkan seninya ke peringkat sains, mencipta keseluruhan teori mencipta angka mustahil mengikut bilangan corak tertentu .

Beliau membahagikan tokoh kepada dua kumpulan utama. Salah seorang daripada mereka dia panggil "angka mustahil sebenar." Ini ialah imej dua dimensi jasad tiga dimensi yang boleh diwarnakan dan dilorek di atas kertas, tetapi ia tidak mempunyai kedalaman monolitik dan stabil.

Jenis lain adalah angka mustahil yang meragukan. Angka-angka ini bukan badan pepejal tunggal. Mereka adalah gabungan dua atau lebih angka. Mereka tidak boleh dicat atau meletakkan pada mereka cahaya dan bayang-bayang.

Angka mustahil sebenar terdiri daripada bilangan tetap elemen yang mungkin, manakala angka yang meragukan "kehilangan" beberapa elemen jika anda mengikutinya dengan mata anda.

Satu versi angka mustahil ini sangat mudah dibuat, dan kebanyakan mereka yang melukis geometri secara mekanikal

angka, apabila bercakap di telefon, telah melakukan ini lebih daripada sekali. Ia perlu melukis lima, enam atau tujuh garisan selari, selesaikan garisan ini pada hujung yang berbeza dengan cara yang berbeza - dan angka mustahil sudah siap. Jika, sebagai contoh, lima garis selari dilukis, maka ia boleh diselesaikan sebagai dua rasuk pada satu sisi dan tiga pada yang lain.

Dalam rajah itu, kita melihat tiga varian angka mustahil yang meragukan. Di sebelah kiri, rasuk tiga tujuh-tujuh dibina daripada tujuh baris, di mana tiga rasuk bertukar menjadi tujuh. Angka di tengah, dibina daripada tiga baris, di mana satu rasuk bertukar menjadi dua rasuk bulat. Angka di sebelah kanan, dibina daripada empat baris, di mana dua rasuk bulat bertukar menjadi dua rasuk

Rutersvärd melukis kira-kira 2,500 angka semasa hayatnya. Buku Rutersvärd telah diterbitkan dalam banyak bahasa, termasuk bahasa Rusia.

Angka yang mustahil adalah mungkin!

Ramai orang percaya bahawa angka mustahil adalah benar-benar mustahil dan tidak boleh dicipta di dunia nyata. Tetapi kita mesti ingat bahawa mana-mana lukisan pada helaian kertas adalah unjuran angka tiga dimensi. Oleh itu, mana-mana rajah yang dilukis pada sekeping kertas mesti wujud dalam ruang tiga dimensi. Objek yang mustahil dalam lukisan adalah unjuran objek tiga dimensi, yang bermaksud objek boleh direalisasikan dalam bentuk. gubahan arca. Terdapat banyak cara untuk menciptanya. Salah satunya ialah penggunaan garisan melengkung sebagai sisi segitiga mustahil. Arca yang dicipta kelihatan mustahil hanya dari titik tunggal. Dari sudut ini, sisi melengkung kelihatan lurus, dan matlamat akan dicapai - objek "mustahil" sebenar dicipta.

Artis Rusia Anatoly Konenko, kontemporari kami, membahagikan angka mustahil kepada 2 kelas: beberapa boleh dimodelkan dalam realiti, manakala yang lain tidak. Model angka mustahil dipanggil model Ames.

Saya membuat model kotak mustahil saya Ames. Saya mengambil empat puluh dua kiub dan melekatkannya bersama-sama, hasilnya adalah kiub di mana bahagian tepinya hilang. Saya perhatikan bahawa untuk mencipta ilusi yang lengkap, anda memerlukan sudut pandangan yang betul dan pencahayaan yang betul.

Saya mengkaji angka mustahil menggunakan teorem Euler dan membuat kesimpulan berikut: Teorem Euler, yang benar untuk mana-mana polihedron cembung, tidak benar untuk angka mustahil, tetapi benar untuk model Ames mereka.

Saya mencipta angka mustahil saya, menggunakan nasihat O. Rutersvärd. Saya melukis tujuh garisan selari di atas kertas. Saya menyambungkannya dari bawah dengan garis putus-putus, dan dari atas memberikan mereka bentuk parallelepiped. Tengok dulu dari atas dan kemudian dari bawah. Terdapat bilangan yang tidak terhingga bagi angka tersebut. Lihat lampiran.

Penggunaan angka mustahil

Angka yang mustahil kadangkala menemui kegunaan yang tidak dijangka. Oskar Rutersvärd bercakap dalam bukunya "Omojliga figurer" tentang penggunaan lukisan imp-art untuk psikoterapi. Dia menulis bahawa gambar-gambar dengan paradoks mereka menyebabkan kejutan, menajamkan perhatian dan keinginan untuk menguraikan. Ahli psikologi Roger Shepard menggunakan idea trisula untuk lukisannya tentang gajah yang mustahil.

Di Sweden, mereka digunakan dalam amalan pergigian: melihat gambar di ruang menunggu, pesakit terganggu dari pemikiran yang tidak menyenangkan di hadapan pejabat doktor gigi.

Tokoh yang mustahil memberi inspirasi kepada artis untuk mencipta hala tuju baharu dalam lukisan, yang dipanggil impossibilisme. Artis Belanda Escher dirujuk sebagai seorang yang mustahil. Penanya tergolong dalam litograf terkenal "Air Terjun", "Ascent and Descent" dan "Belvedere". Artis menggunakan kesan "tangga tanpa akhir" yang ditemui oleh Rootesward.

Di luar negara, di jalan-jalan bandar, kita dapat melihat penjelmaan seni bina tokoh-tokoh yang mustahil.

Penggunaan angka mustahil yang paling terkenal dalam budaya popular - Logo syarikat kereta Renault

Ahli matematik mengatakan bahawa istana, di mana anda boleh menuruni tangga menuju ke atas, boleh wujud. Untuk melakukan ini, anda hanya perlu membina struktur sedemikian bukan dalam tiga dimensi, tetapi, katakan, dalam ruang empat dimensi. Dan dalam alam maya, yang membuka kepada kita teknologi komputer moden, dan anda boleh melakukan sesuatu yang salah. Ini adalah bagaimana idea-idea seorang lelaki yang, pada awal abad ini, mempercayai kewujudan dunia yang mustahil, direalisasikan hari ini.

Kesimpulan.

Angka-angka yang mustahil membuatkan fikiran kita terlebih dahulu melihat apa yang tidak sepatutnya, kemudian mencari jawapan - apa yang dilakukan salah, apakah kemuncak paradoks itu. Dan jawapannya kadang-kadang tidak begitu mudah dicari - ia tersembunyi dalam persepsi optik, psikologi, logik lukisan.

Perkembangan sains, keperluan untuk berfikir dengan cara yang baru, pencarian untuk kecantikan - semua keperluan ini kehidupan moden terpaksa mencari kaedah baru yang boleh mengubah pemikiran spatial, imaginasi.

Setelah mempelajari kesusasteraan mengenai topik itu, saya dapat menjawab soalan "Adakah tokoh yang mustahil wujud di dunia nyata?" Saya menyedari bahawa yang mustahil adalah mungkin dan angka yang tidak nyata boleh dibuat dengan tangan anda sendiri. Saya mencipta model Impossible Cube Ames dan menguji teorem Euler padanya. Selepas melihat cara membina angka mustahil, saya dapat melukis angka mustahil saya sendiri. Saya telah dapat menunjukkannya

Kesimpulan 1: Semua angka mustahil boleh wujud di dunia nyata.

Kesimpulan2: Teorem Euler, yang benar untuk mana-mana polihedron cembung, tidak benar untuk angka mustahil, tetapi benar untuk model Ames mereka.

Kesimpulan 3: Masih terdapat banyak bidang di mana angka mustahil akan digunakan.

Oleh itu, kita boleh mengatakan bahawa dunia tokoh mustahil adalah sangat menarik dan pelbagai. Kajian tentang angka yang mustahil adalah agak kepentingan dari segi geometri. Hasil kerja tersebut boleh digunakan dalam kelas matematik untuk membangunkan pemikiran spatial pelajar. Untuk orang yang kreatif, terdedah kepada ciptaan, angka mustahil adalah sejenis leverage untuk mencipta sesuatu yang baru, luar biasa.

Bibliografi

Levitin Karl Geometric Rhapsody. - M .: Pengetahuan, 1984, -176 hlm.

Penrose L., Penrose R. Objek yang mustahil, Kvant, No. 5,1971, hlm.26

Reutersvärd O. Angka yang mustahil. – M.: Stroyizdat, 1990, 206 hlm.

Tkacheva M.V. Kiub berputar. - M.: Bustard, 2002. - 168 p.

Angka yang mustahil ialah angka yang dilukis dalam perspektif sedemikian rupa sehingga kelihatan pada pandangan pertama sebagai angka biasa. Walau bagaimanapun, apabila diteliti lebih dekat, penonton menyedari bahawa figura sedemikian tidak boleh wujud dalam ruang tiga dimensi. Escher menggambarkan tokoh mustahil dalam lukisan terkenalnya Belvedere (1958), Ascending and Descending (1960) dan Waterfall (1961). Satu contoh figura yang mustahil ialah lukisan oleh artis Hungary kontemporari Istvan Oros.

Istvan Oros "Crossroads" (1999). Pembiakan ukiran logam. Lukisan itu menggambarkan jambatan yang tidak boleh wujud dalam ruang tiga dimensi. Sebagai contoh, terdapat pantulan di dalam air yang tidak boleh menjadi jambatan asal.

jalur Mobius

Jalur Möbius ialah objek 3D yang hanya mempunyai satu sisi. Pita sedemikian boleh didapati dengan mudah daripada jalur kertas dengan memutar satu hujung jalur dan kemudian melekatkan kedua-dua hujung bersama. Escher menggambarkan jalur Möbius dalam Horsemen (1946), Möbius Strip II (Semut Merah) (1963) dan Knots (1965).

"Knots" - Maurits Cornelis Escher 1965

Kemudian, permukaan tenaga minimum menjadi inspirasi bagi ramai artis matematik. Brent Collins, menggunakan jalur Möbius dan permukaan tenaga minimum serta jenis abstraksi lain dalam arca.

Perspektif yang menyimpang dan luar biasa

Sistem perspektif luar biasa yang mengandungi dua atau tiga titik lenyap juga merupakan subjek kegemaran ramai artis. Mereka juga termasuk bidang yang berkaitan - seni anamorfik. Escher menggunakan perspektif yang herot dalam beberapa karyanya Up and Down (1947), The House of Stairs (1951) dan The Art Gallery (1956). Dick Termes menggunakan perspektif enam mata untuk melukis pemandangan pada sfera dan polyhedra, seperti yang ditunjukkan dalam contoh di bawah.

Dick Termez "Cage for Man" (1978). Ini adalah sfera dicat, yang dicipta menggunakan perspektif enam mata. Ia menggambarkan struktur geometri dalam bentuk grid yang melaluinya landskap boleh dilihat. Tiga cabang menembusi di dalam sangkar, dan reptilia merayap di sepanjangnya. Walaupun sesetengah orang meneroka dunia, yang lain mendapati diri mereka berada dalam sangkar.

Perkataan anamorphic (anamorthic) terbentuk daripada dua perkataan Yunani "ana" (sekali lagi) dan morthe (bentuk). Imej anamorfik termasuk imej yang sangat herot sehingga mustahil untuk melihatnya tanpa cermin khas. Cermin sedemikian kadang-kadang dipanggil anamorphoscope. Apabila dilihat melalui anamorphoscope, imej "terbentuk semula" menjadi gambar yang boleh dikenali. Seniman Eropah zaman Renaissance awal terpesona dengan lukisan anamorfik linear, di mana lukisan memanjang menjadi normal semula apabila dilihat dari sudut. Buku asas yang terkenal ialah "The Ambassadors" karya Hans Holbein (1533), yang menggambarkan tengkorak yang memanjang. Lukisan itu mungkin dicondongkan di bahagian atas tangga supaya orang yang menaiki tangga akan gentar dengan imej tengkorak itu. Lukisan anamorfik, yang memerlukan cermin silinder untuk dilihat, popular di Eropah dan Timur abad XVII-XVIII. Selalunya imej sedemikian membawa mesej protes politik atau mengandungi kandungan erotik. Escher tidak menggunakan cermin anamorfik klasik dalam karyanya, bagaimanapun, dalam beberapa lukisannya dia menggunakan cermin sfera. Karya beliau yang paling terkenal dalam gaya ini ialah Hand with a Reflecting Sphere (1935). Contoh di bawah menunjukkan imej anamorfik klasik oleh István Oros.

Istvan Oros "The Well" (1998). Lukisan "The Well" dicetak daripada ukiran pada logam. Karya itu dicipta untuk ulang tahun kelahiran M.K. Escher. Escher menulis tentang lawatan ke dalam seni matematik, seperti berjalan di taman yang indah di mana tiada apa yang berulang. Pintu pagar di sebelah kiri gambar memisahkan taman matematik Escher, yang terletak di otak, dari dunia fizikal. Dalam cermin pecah di sebelah kanan gambar itu terdapat pemandangan bandar kecil Atrani di pantai Amalfi di Itali. Escher menyukai tempat itu dan tinggal di sana untuk seketika. Dia menggambarkan bandar ini dalam lukisan kedua dan ketiga dari siri Metamorphoses. Jika anda meletakkan cermin silinder di tempat telaga, seperti yang ditunjukkan di sebelah kanan, maka, seolah-olah dengan sihir, wajah Escher akan muncul di dalamnya.

Ramai orang percaya bahawa angka mustahil adalah benar-benar mustahil, dan ia tidak boleh dicipta di dunia nyata. Walau bagaimanapun, daripada kursus geometri sekolah, kita tahu bahawa lukisan yang digambarkan pada helaian kertas ialah unjuran rajah tiga dimensi ke atas satah. Oleh itu, mana-mana rajah yang dilukis pada helaian kertas mesti wujud dalam ruang tiga dimensi. Selain itu, terdapat bilangan objek tiga dimensi yang tidak terhingga, apabila diunjurkan ke atas satah, angka rata yang diberikan diperolehi. Perkara yang sama berlaku untuk angka yang mustahil.

Sudah tentu, tiada satu pun figura mustahil boleh dicipta dengan bertindak dalam garis lurus. Sebagai contoh, jika anda mengambil tiga bongkah kayu yang sama, anda tidak boleh menggabungkannya supaya anda mendapat segi tiga yang mustahil. Walau bagaimanapun, apabila menayangkan rajah tiga dimensi ke atas satah, beberapa garisan mungkin menjadi tidak kelihatan, bertindih antara satu sama lain, bercantum antara satu sama lain, dsb. Berdasarkan ini, kita boleh mengambil tiga bar berbeza dan membuat segitiga, ditunjukkan dalam foto di bawah (Rajah 1). Foto ini dicipta oleh pempopular terkenal karya M.K. Escher, pengarang sebilangan besar buku oleh Bruno Ernst. Pada latar depan Dalam gambar kita melihat angka segitiga mustahil. Di latar belakang terdapat cermin, yang mencerminkan angka yang sama dari sudut pandangan yang berbeza. Dan kita melihat bahawa sebenarnya angka segitiga mustahil bukanlah angka tertutup, tetapi angka terbuka. Dan hanya dari titik dari mana kita meninjau angka itu nampaknya bar menegak angka itu melampaui bar mendatar, akibatnya angka itu kelihatan mustahil. Jika kami mengalihkan sedikit sudut tontonan, anda akan segera melihat jurang dalam angka itu, dan ia akan kehilangan kesan kemustahilannya. Hakikat bahawa angka mustahil kelihatan mustahil hanya dari satu sudut pandangan adalah ciri semua angka mustahil.

nasi. satu. Foto segitiga mustahil oleh Bruno Ernst.

Seperti yang dinyatakan di atas, bilangan angka yang sepadan dengan unjuran yang diberikan adalah tidak terhingga, jadi contoh di atas tidak satu-satunya cara membina segitiga mustahil dalam realiti. Artis Belgium Mathieu Hamaekers mencipta arca yang ditunjukkan dalam rajah. 2. Foto di sebelah kiri menunjukkan pandangan hadapan rajah, di mana ia kelihatan seperti segitiga mustahil, foto tengah menunjukkan rajah yang sama diputar 45°, dan foto di sebelah kanan menunjukkan rajah diputar 90°.

nasi. 2. Gambar bentuk segitiga mustahil oleh Mathieu Hemakers.

Seperti yang anda lihat, dalam angka ini tidak ada garisan lurus, semua elemen rajah itu melengkung dengan cara tertentu. Walau bagaimanapun, seperti dalam kes sebelumnya, kesan kemustahilan hanya dapat dilihat pada satu sudut tontonan, apabila semua garisan melengkung diunjurkan ke garis lurus, dan jika anda tidak memberi perhatian kepada beberapa bayang, angka itu kelihatan mustahil.

Satu lagi cara untuk mencipta segitiga mustahil telah dicadangkan oleh artis dan pereka Rusia Vyacheslav Koleichuk dan diterbitkan dalam jurnal "Estetika Teknikal" No. 9 (1974). Semua tepi reka bentuk ini adalah garis lurus, dan mukanya melengkung, walaupun lengkung ini tidak kelihatan pada pandangan hadapan rajah. Dia mencipta model segi tiga seperti itu daripada kayu.

nasi. 3. Model segitiga mustahil oleh Vyacheslav Koleichuk.

Model ini kemudiannya dicipta semula oleh Elber Gershon, ahli Jabatan Sains Komputer di Institut Technion di Israel. Versi beliau (lihat Rajah 4) mula-mula direka pada komputer, dan kemudian dicipta semula dalam realiti menggunakan pencetak tiga dimensi. Jika kita mengalihkan sedikit sudut pandangan segitiga mustahil, maka kita akan melihat angka yang serupa dengan gambar kedua dalam Rajah. 4.

nasi. 4. Satu varian pembinaan segitiga mustahil oleh Elber Gershon.

Perlu diingat bahawa jika kita sekarang melihat angka itu sendiri, dan bukan pada gambar mereka, maka kita akan segera melihat bahawa tidak ada angka yang dibentangkan itu mustahil, dan apakah rahsia setiap daripada mereka. Kami tidak akan dapat melihat angka ini sebagai mustahil, kerana kami mempunyai penglihatan stereoskopik. Iaitu, mata kita, terletak pada jarak tertentu antara satu sama lain, melihat objek yang sama dari dua sudut pandangan yang dekat, tetapi masih berbeza, dan otak kita, setelah menerima dua imej dari mata kita, menggabungkannya menjadi satu gambar. Dikatakan sebelum ini bahawa objek mustahil kelihatan mustahil hanya dari satu sudut pandangan, dan kerana kita melihat objek dari dua sudut pandangan, kita serta-merta melihat helah yang dengannya objek ini atau itu dicipta.

Adakah ini bermakna bahawa pada hakikatnya masih mustahil untuk melihat objek yang mustahil? Tidak, anda boleh. Jika anda menutup sebelah mata dan melihat angka itu, ia akan kelihatan mustahil. Oleh itu, di muzium, apabila menunjukkan angka mustahil, pengunjung terpaksa melihatnya melalui lubang kecil di dinding dengan sebelah mata.

Terdapat cara lain di mana anda boleh melihat angka yang mustahil, dan dengan dua mata sekaligus. Ia terdiri daripada yang berikut: anda perlu membuat angka besar dengan ketinggian bangunan bertingkat, letakkan di ruang terbuka yang luas dan lihat dari jarak yang sangat jauh. Dalam kes ini, walaupun apabila melihat angka itu dengan kedua-dua mata, anda akan menganggapnya sebagai mustahil kerana kedua-dua mata anda akan menerima imej yang hampir tidak dapat dibezakan antara satu sama lain. Angka mustahil seperti itu dicipta di bandar Perth di Australia.

Jika segitiga mustahil agak mudah untuk dibina di dunia nyata, maka tidak begitu mudah untuk mencipta trisula mustahil dalam ruang tiga dimensi. Ciri rajah ini ialah kehadiran percanggahan antara latar depan dan latar belakang rajah, apabila unsur-unsur individu rajah itu lancar masuk ke latar belakang tempat rajah itu berada.

nasi. 5. Reka bentuknya serupa dengan trisula yang mustahil.

Di Institut Optik Mata di bandar Aachen (Jerman), mereka dapat menyelesaikan masalah ini dengan membuat pemasangan khas. Reka bentuk terdiri daripada dua bahagian. Di hadapan adalah tiga tiang bulat dan pembina. Bahagian ini hanya diterangi dari bawah. Di belakang lajur terdapat cermin separa telap (separuh telap) dengan lapisan reflektif terletak di hadapan, iaitu, penonton tidak melihat apa yang ada di belakang cermin, tetapi hanya melihat pantulan lajur di dalamnya.

nasi. 6. Gambar rajah persediaan menghasilkan semula trisula yang mustahil.