peralatan:

• komputer,
• projektor multimedia,
• skrin,
• Lampiran 1(Pembentangan slaid PowerPoint) "Kaedah untuk menyelesaikan persamaan eksponen"
• Lampiran 2(Menyelesaikan persamaan seperti "Tiga asas kuasa yang berbeza" dalam Word)
• Lampiran 3(edaran dalam Word untuk kerja amali).
• Lampiran 4(edaran dalam Word untuk kerja rumah).

Kemajuan pelajaran

• mesej topik pelajaran (ditulis di papan tulis),
• keperluan untuk pelajaran am dalam gred 10-11:

Peringkat menyediakan pelajar untuk pembelajaran aktif

Pengulangan

Definisi.

Persamaan eksponen ialah persamaan yang mengandungi pembolehubah dengan eksponen (jawapan pelajar).

Nota guru. Persamaan eksponen tergolong dalam kelas persamaan transendental. Nama yang tidak boleh disebut ini menunjukkan bahawa persamaan sedemikian, secara amnya, tidak boleh diselesaikan dalam bentuk formula.

Ia hanya boleh diselesaikan lebih kurang dengan kaedah berangka pada komputer. Tetapi bagaimana dengan tugas peperiksaan? Caranya ialah pemeriksa membingkai masalah dengan cara yang membolehkan penyelesaian analitikal. Dalam erti kata lain, anda boleh (dan harus!) melakukan transformasi yang sama yang mengurangkan persamaan eksponen ini kepada persamaan eksponen termudah. Persamaan termudah ini dipanggil: persamaan eksponen termudah. Ia sedang diselesaikan dengan logaritma.

Situasi dengan menyelesaikan persamaan eksponen adalah mengingatkan perjalanan melalui labirin, yang dicipta khas oleh pengarang masalah. Daripada hujah-hujah yang sangat umum ini ikuti saranan yang sangat khusus.

1. Bukan sahaja mengetahui secara aktif semua identiti eksponen, tetapi juga mencari set nilai pembolehubah di mana identiti ini ditakrifkan, supaya apabila menggunakan identiti ini anda tidak memperoleh akar yang tidak perlu, dan lebih-lebih lagi, tidak kehilangan penyelesaian kepada persamaan.

2. Mengetahui secara aktif semua identiti eksponen.

3. Jelas sekali, secara terperinci dan tanpa kesilapan, laksanakan transformasi matematik persamaan (memindahkan istilah dari satu bahagian persamaan ke bahagian lain, tidak lupa menukar tanda, membawa pecahan kepada penyebut biasa, dsb.). Ini dipanggil budaya matematik. Pada masa yang sama, pengiraan sendiri harus dilakukan secara automatik dengan tangan, dan kepala harus memikirkan benang panduan umum penyelesaian. Transformasi mesti dibuat dengan teliti dan terperinci yang mungkin. Hanya ini akan menjamin keputusan yang betul dan bebas ralat. Dan ingat: ralat aritmetik kecil hanya boleh mencipta persamaan transendental yang, pada dasarnya, tidak boleh diselesaikan secara analitikal. Ternyata anda telah hilang arah dan telah melanggar dinding labirin.

4. Mengetahui kaedah untuk menyelesaikan masalah (iaitu, mengetahui semua laluan melalui maze penyelesaian). Untuk menavigasi dengan betul pada setiap peringkat, anda perlu (sedar atau intuitif!):

• tentukan jenis persamaan;
• ingat jenis yang sepadan kaedah penyelesaian tugasan.

Peringkat generalisasi dan sistematisasi bahan yang dipelajari.

Guru, bersama-sama dengan pelajar menggunakan komputer, menjalankan kajian semula semua jenis persamaan eksponen dan kaedah untuk menyelesaikannya, menyusun skim umum. (Latihan terpakai program komputer L.Ya. Borevsky "Kursus Matematik - 2000", pengarang persembahan PowerPoint ialah T.N. Kuptsova.)

nasi. 1. Rajah menunjukkan gambar rajah umum semua jenis persamaan eksponen.

Seperti yang dapat dilihat daripada rajah ini, strategi untuk menyelesaikan persamaan eksponen adalah untuk mengurangkan persamaan eksponen yang diberikan kepada persamaan, pertama sekali, dengan asas darjah yang sama , dan kemudian – dan dengan penunjuk darjah yang sama.

Setelah menerima persamaan dengan asas dan eksponen yang sama, anda menggantikan eksponen ini dengan pembolehubah baharu dan dapatkan persamaan algebra mudah (biasanya pecahan-rasional atau kuadratik) berkenaan dengan pembolehubah baharu ini.

Setelah menyelesaikan persamaan ini dan membuat penggantian terbalik, anda akan mendapat satu set persamaan eksponen mudah yang boleh diselesaikan dalam pandangan umum menggunakan logaritma.

Persamaan di mana hanya produk kuasa (separa) didapati menonjol. Menggunakan identiti eksponen, adalah mungkin untuk mengurangkan persamaan ini dengan segera kepada satu asas, khususnya, kepada persamaan eksponen yang paling mudah.

Mari kita lihat cara menyelesaikan persamaan eksponen dengan tiga asas yang berbeza.

(Jika guru mempunyai program komputer pengajaran oleh L.Ya. Borevsky "Kursus Matematik - 2000", maka secara semula jadi kami bekerja dengan cakera, jika tidak, anda boleh membuat cetakan persamaan jenis ini daripadanya untuk setiap meja, dibentangkan di bawah.)

nasi. 2. Rancang untuk menyelesaikan persamaan.

nasi. 3. Mula menyelesaikan persamaan

nasi. 4. Selesaikan menyelesaikan persamaan.

Membuat kerja amali

Tentukan jenis persamaan dan selesaikannya.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Merumuskan pelajaran

Pemeringkatan untuk pelajaran.

Tamat pelajaran

Untuk cikgu

Latihan skema jawapan.

Senaman: daripada senarai persamaan, pilih persamaan jenis yang ditentukan (masukkan nombor jawapan dalam jadual):

1. Tiga asas darjah yang berbeza
2. Dua pangkalan yang berbeza - penunjuk yang berbeza ijazah
3. Asas kuasa - kuasa satu nombor
4. Asas yang sama – eksponen yang berbeza
5. Asas darjah yang sama - penunjuk darjah yang sama
6. Produk kuasa
7. Dua asas darjah yang berbeza - penunjuk yang sama
8. Persamaan eksponen termudah

1. (hasil kuasa)

2. (asas yang sama – eksponen berbeza)

Kuliah: "Kaedah untuk menyelesaikan persamaan eksponen."

1 . Persamaan eksponen.

Persamaan yang mengandungi tidak diketahui dalam eksponen dipanggil persamaan eksponen. Yang paling mudah ialah persamaan ax = b, di mana a > 0, a ≠ 1.

1) Pada b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Untuk b > 0, menggunakan kemonotonan fungsi dan teorem punca, persamaan mempunyai punca yang unik. Untuk mencarinya, b mesti diwakili dalam bentuk b = aс, аx = bс ó x = c atau x = logab.

Persamaan eksponen dengan transformasi algebra membawa kepada persamaan piawai, yang diselesaikan menggunakan kaedah berikut:

1) kaedah pengurangan kepada satu asas;

2) kaedah penilaian;

3) kaedah grafik;

4) kaedah memperkenalkan pembolehubah baharu;

5) kaedah pemfaktoran;

6) petunjuk - persamaan kuasa;

7) demonstratif dengan parameter.

2 . Kaedah pengurangan kepada satu asas.

Kaedah adalah berdasarkan harta berikut darjah: jika dua darjah adalah sama dan asasnya adalah sama, maka eksponennya adalah sama, iaitu, kita mesti cuba mengurangkan persamaan kepada bentuk

Contoh. Selesaikan persamaan:

1 . 3x = 81;

Mari kita wakili bahagian kanan persamaan dalam bentuk 81 = 34 dan tulis persamaan yang setara dengan 3 x = 34 asal; x = 4. Jawapan: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">dan mari kita beralih kepada persamaan untuk eksponen 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0.5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Ambil perhatian bahawa nombor 0.2, 0.04, √5 dan 25 mewakili kuasa 5. Mari kita manfaatkan ini dan ubah persamaan asal seperti berikut:

, dari mana 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, dari mana kita dapati penyelesaian x = -1. Jawapan: -1.

5. 3x = 5. Mengikut takrifan logaritma, x = log35. Jawapan: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Mari kita tulis semula persamaan dalam bentuk 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, i.e..png" width="181" height="49 src="> Maka x – 4 =0, x = 4. Jawapan: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Dengan menggunakan sifat kuasa, kita tulis persamaan dalam bentuk 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 kemudian 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, iaitu x+1 = 2, x =1. Jawapan: 1.

Bank bermasalah No 1.

Selesaikan persamaan:

Ujian No 1.

Ujian No. 2

3 Kaedah penilaian.

Teorem akar: jika fungsi f(x) bertambah (berkurang) pada selang I, nombor a ialah sebarang nilai yang diambil oleh f pada selang ini, maka persamaan f(x) = a mempunyai punca tunggal pada selang I.

Apabila menyelesaikan persamaan menggunakan kaedah anggaran, teorem ini dan sifat monotonisitas fungsi digunakan.

Contoh. Selesaikan persamaan: 1. 4x = 5 – x.

Penyelesaian. Mari kita tulis semula persamaan sebagai 4x +x = 5.

1. jika x = 1, maka 41+1 = 5, 5 = 5 adalah benar, yang bermaksud 1 ialah punca persamaan.

Fungsi f(x) = 4x – bertambah pada R, dan g(x) = x – bertambah pada R => h(x)= f(x)+g(x) meningkat pada R, sebagai hasil tambah fungsi, maka x = 1 ialah punca tunggal bagi persamaan 4x = 5 – x. Jawapan: 1.

2.

Penyelesaian. Mari kita tulis semula persamaan dalam bentuk .

1. jika x = -1, maka , 3 = 3 adalah benar, yang bermaksud x = -1 ialah punca persamaan.

2. membuktikan bahawa dia seorang sahaja.

3. Fungsi f(x) = - berkurang pada R, dan g(x) = - x – berkurang pada R=> h(x) = f(x)+g(x) – berkurang pada R, sebagai hasil tambah fungsi menurun. Ini bermakna, mengikut teorem punca, x = -1 ialah satu-satunya punca persamaan. Jawapan: -1.

Bank bermasalah No 2. Selesaikan persamaan

a) 4x + 1 =6 – x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Kaedah memperkenalkan pembolehubah baharu.

Kaedah ini diterangkan dalam perenggan 2.1. Pengenalan pembolehubah baru (penggantian) biasanya dilakukan selepas penjelmaan (pemudahan) istilah persamaan. Mari lihat contoh.

Contoh. R Selesaikan persamaan: 1. .

Mari kita tulis semula persamaan secara berbeza: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Penyelesaian. Mari kita tulis semula persamaan secara berbeza:

Mari kita tentukan https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - tidak sesuai.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - persamaan tidak rasional. Kami ambil perhatian bahawa

Penyelesaian kepada persamaan ialah x = 2.5 ≤ 4, yang bermaksud 2.5 ialah punca persamaan. Jawapan: 2.5.

Penyelesaian. Mari kita tulis semula persamaan dalam bentuk dan bahagikan kedua-dua belah dengan 56x+6 ≠ 0. Kami mendapat persamaan

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" lebar="118" tinggi="56">

Punca-punca persamaan kuadratik ialah t1 = 1 dan t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Penyelesaian . Mari kita tulis semula persamaan dalam bentuk

dan ambil perhatian bahawa ia adalah persamaan homogen darjah kedua.

Bahagikan persamaan dengan 42x, kita dapat

Mari ganti https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Jawapan: 0; 0.5.

Bank bermasalah No 3. Selesaikan persamaan

b)

G)

Ujian No 3 dengan pilihan jawapan. Tahap minimum.

Ujian No 4 dengan pilihan jawapan. Peringkat umum.

5. Kaedah pemfaktoran.

1. Selesaikan persamaan: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Penyelesaian..png" width="169" height="69"> , dari mana

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Penyelesaian. Mari letakkan 6x daripada kurungan di sebelah kiri persamaan, dan 2x di sebelah kanan. Kami mendapat persamaan 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Oleh kerana 2x >0 untuk semua x, kita boleh membahagikan kedua-dua belah persamaan ini dengan 2x tanpa rasa takut kehilangan penyelesaian. Kami mendapat 3x = 1ó x = 0.

3.

Penyelesaian. Mari kita selesaikan persamaan menggunakan kaedah pemfaktoran.

Mari kita pilih kuasa dua binomial

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 ialah punca persamaan.

Persamaan x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Ujian No 6 Peringkat am.

6. Eksponen – persamaan kuasa.

Bersebelahan dengan persamaan eksponen adalah apa yang dipanggil persamaan kuasa eksponen, iaitu, persamaan bentuk (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Jika diketahui bahawa f(x)>0 dan f(x) ≠ 1, maka persamaan, seperti eksponen, diselesaikan dengan menyamakan eksponen g(x) = f(x).

Jika keadaan tidak mengecualikan kemungkinan f(x)=0 dan f(x)=1, maka kita perlu mempertimbangkan kes-kes ini apabila menyelesaikan persamaan eksponen.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Penyelesaian. x2 +2x-8 – masuk akal untuk mana-mana x, kerana ia adalah polinomial, yang bermaksud persamaan adalah bersamaan dengan jumlah keseluruhan

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Persamaan eksponen dengan parameter.

1. Untuk apakah nilai parameter p persamaan 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) mempunyai satu-satunya penyelesaian?

Penyelesaian. Mari kita perkenalkan penggantian 2x = t, t > 0, maka persamaan (1) akan mengambil bentuk t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Diskriminasi persamaan (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Persamaan (1) mempunyai penyelesaian unik jika persamaan (2) mempunyai satu punca positif. Ini adalah mungkin dalam kes berikut.

1. Jika D = 0, iaitu, p = 1, maka persamaan (2) akan mengambil bentuk t2 – 2t + 1 = 0, maka t = 1, oleh itu, persamaan (1) mempunyai penyelesaian unik x = 0.

2. Jika p1, maka 9(p – 1)2 > 0, maka persamaan (2) mempunyai dua punca berbeza t1 = p, t2 = 4p – 3. Keadaan masalah dipenuhi oleh satu set sistem

Menggantikan t1 dan t2 ke dalam sistem, kita ada

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Penyelesaian. biarlah maka persamaan (3) akan berbentuk t2 – 6t – a = 0. (4)

Mari kita cari nilai-nilai parameter a yang mana sekurang-kurangnya satu punca persamaan (4) memenuhi syarat t > 0.

Mari kita perkenalkan fungsi f(t) = t2 – 6t – a. Kes berikut adalah mungkin.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} trinomial kuadratik f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Kes 2. Persamaan (4) mempunyai keunikan keputusan positif, Jika

D = 0, jika a = – 9, maka persamaan (4) akan berbentuk (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Kes 3. Persamaan (4) mempunyai dua punca, tetapi satu daripadanya tidak memenuhi ketaksamaan t > 0. Ini mungkin jika

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Oleh itu, untuk a 0, persamaan (4) mempunyai punca positif tunggal . Kemudian persamaan (3) mempunyai penyelesaian yang unik

Apabila a< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

jika a< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
jika a = – 9, maka x = – 1;

jika a  0, maka

Mari kita bandingkan kaedah untuk menyelesaikan persamaan (1) dan (3). Ambil perhatian bahawa apabila menyelesaikan persamaan (1) telah dikurangkan kepada persamaan kuadratik, yang diskriminasinya ialah kuasa dua sempurna; Oleh itu, punca-punca persamaan (2) segera dikira menggunakan formula untuk punca-punca persamaan kuadratik, dan kemudian kesimpulan dibuat mengenai punca-punca ini. Persamaan (3) telah dikurangkan kepada persamaan kuadratik (4), yang diskriminasinya bukan kuasa dua sempurna, oleh itu, apabila menyelesaikan persamaan (3), adalah dinasihatkan untuk menggunakan teorem pada lokasi punca trinomial kuadratik. dan model grafik. Perhatikan bahawa persamaan (4) boleh diselesaikan menggunakan teorem Vieta.

Mari kita selesaikan persamaan yang lebih kompleks.

Masalah 3: Selesaikan persamaan

Penyelesaian. ODZ: x1, x2.

Mari perkenalkan pengganti. Biarkan 2x = t, t > 0, maka hasil daripada penjelmaan persamaan akan berbentuk t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Mari kita cari nilai-nilai a yang mana sekurang-kurangnya satu punca persamaan (*) memenuhi syarat t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Jawapan: jika a > – 13, a  11, a  5, maka jika a – 13,

a = 11, a = 5, maka tiada punca.

Senarai sastera terpakai.

1. Guzeev asas teknologi pendidikan.

2. Teknologi Guzeev: dari penerimaan kepada falsafah.

M. “Pengarah Sekolah” No. 4, 1996

3. Guzeev dan bentuk organisasi latihan.

4. Guzeev dan amalan teknologi pendidikan integral.

M. “Pendidikan Awam”, 2001

5. Guzeev dari bentuk pelajaran - seminar.

Matematik di sekolah No. 2, 1987 ms 9 – 11.

6. Teknologi pendidikan Seleuko.

M. “Pendidikan Awam”, 1998

7. Episheva pelajar sekolah untuk belajar matematik.

M. "Pencerahan", 1990

8. Ivanova menyediakan pelajaran - bengkel.

Matematik di sekolah Bil 6, 1990 p. 37 – 40.

9. Model pengajaran matematik Smirnov.

Matematik di sekolah Bil 1, 1997 hlm. 32 – 36.

10. Tarasenko cara menganjurkan kerja amali.

Matematik di sekolah Bil 1, 1993 hlm. 27 – 28.

11. Mengenai salah satu jenis kerja individu.

Matematik di sekolah No. 2, 1994, ms 63 – 64.

12. Khazankin kreativiti warga sekolah.

Matematik di sekolah Bil 2, 1989 hlm. 10.

13. Scanavi. Penerbit, 1997

14. dan lain-lain Algebra dan permulaan analisis. Bahan didaktik Untuk

15. Tugas Krivonogov dalam matematik.

M. “Pertama September”, 2002

16. Cherkasov. Buku panduan untuk pelajar sekolah menengah dan

memasuki universiti. "A S T - sekolah akhbar", 2002

17. Zhevnyak bagi mereka yang memasuki universiti.

Minsk dan Persekutuan Rusia "Semakan", 1996

18. Bertulis D. Bersedia menghadapi peperiksaan dalam matematik. M. Rolf, 1999

19. dsb. Belajar menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan.

M. "Akal - Pusat", 2003

20. dsb. Bahan pendidikan dan latihan untuk persediaan EGE.

M. "Intelligence - Center", 2003 dan 2004.

21 dan lain-lain pilihan CMM. Pusat Ujian Kementerian Pertahanan Persekutuan Rusia, 2002, 2003.

22. Persamaan Goldberg. "Kuantum" No. 3, 1971

23. Volovich M. Bagaimana untuk berjaya mengajar matematik.

Matematik, 1997 Bil 3.

24 Okunev untuk pelajaran, anak-anak! M. Pendidikan, 1988

25. Yakimanskaya - pembelajaran berorientasikan di sekolah.

26. Liimets bekerja di dalam kelas. M. Pengetahuan, 1975

Pergi ke saluran youtube laman web kami untuk mengikuti perkembangan semua pelajaran video baharu.

Pertama, mari kita ingat formula asas kuasa dan sifatnya.

Hasil daripada nombor a berlaku pada dirinya sendiri n kali, kita boleh menulis ungkapan ini sebagai a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Kuasa atau persamaan eksponen– ini adalah persamaan di mana pembolehubah berada dalam kuasa (atau eksponen), dan asasnya ialah nombor.

Contoh persamaan eksponen:

DALAM dalam contoh ini nombor 6 adalah asas, ia sentiasa di bawah, dan pembolehubah x darjah atau penunjuk.

Mari kita berikan lebih banyak contoh persamaan eksponen.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Sekarang mari kita lihat bagaimana persamaan eksponen diselesaikan?

Mari kita ambil persamaan mudah:

2 x = 2 3

Contoh ini boleh diselesaikan walaupun dalam kepala anda. Dapat dilihat bahawa x=3. Lagipun, supaya kiri dan sebelah kanan adalah sama, anda perlu menggantikan x dengan nombor 3.
Sekarang mari kita lihat cara untuk memformalkan keputusan ini:

2 x = 2 3
x = 3

Untuk menyelesaikan persamaan sedemikian, kami mengalih keluar alasan yang sama(iaitu, dua) dan menulis apa yang tinggal, ini adalah darjah. Kami mendapat jawapan yang kami cari.

Sekarang mari kita ringkaskan keputusan kita.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan eksponen:
1. Perlu semak serupa sama ada persamaan mempunyai asas di sebelah kanan dan kiri. Jika alasannya tidak sama, kami sedang mencari pilihan untuk menyelesaikan contoh ini.
2. Selepas tapak menjadi sama, samakan darjah dan selesaikan persamaan baharu yang terhasil.

Sekarang mari kita lihat beberapa contoh:

Mari kita mulakan dengan sesuatu yang mudah.

Pangkalan di sebelah kiri dan kanan adalah sama dengan nombor 2, yang bermaksud kita boleh membuang pangkalan dan menyamakan darjahnya.

x+2=4 Persamaan termudah diperoleh.
x=4 – 2
x=2
Jawapan: x=2

Dalam contoh berikut, anda boleh melihat bahawa asas adalah berbeza: 3 dan 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Pertama, gerakkan sembilan ke sebelah kanan, kita dapat:

Sekarang anda perlu membuat asas yang sama. Kita tahu bahawa 9=3 2. Mari kita gunakan formula kuasa (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Kami mendapat 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 kini anda boleh melihatnya di sebelah kiri dan sebelah kanan asas adalah sama dan sama dengan tiga, yang bermaksud kita boleh membuangnya dan menyamakan darjah.

3x=2x+16 kita mendapat persamaan termudah
3x - 2x=16
x=16
Jawapan: x=16.

Mari kita lihat contoh berikut:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Pertama sekali, kita melihat asas, asas dua dan empat. Dan kita memerlukan mereka untuk menjadi sama. Kami mengubah empat menggunakan formula (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dan kami juga menggunakan satu formula a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Tambahkan pada persamaan:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Kami memberi contoh atas sebab yang sama. Tetapi nombor lain 10 dan 24 mengganggu kita. Jika anda melihat dengan teliti, anda boleh melihat bahawa di sebelah kiri kita mempunyai 2 2x berulang, inilah jawapannya - kita boleh meletakkan 2 2x daripada kurungan:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Mari kita hitung ungkapan dalam kurungan:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Kami membahagikan keseluruhan persamaan dengan 6:

Mari kita bayangkan 4=2 2:

2 2x = 2 2 tapak adalah sama, kita buang dan samakan darjahnya.
2x = 2 ialah persamaan termudah. Bahagikannya dengan 2 dan kita dapat
x = 1
Jawapan: x = 1.

Mari kita selesaikan persamaan:

9 x – 12*3 x +27= 0

Mari tukar:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Kami mendapat persamaan:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Pangkalan kami adalah sama, bersamaan dengan tiga Dalam contoh ini, anda boleh melihat bahawa tiga yang pertama mempunyai darjah dua kali (2x) daripada yang kedua (hanya x). Dalam kes ini, anda boleh menyelesaikannya kaedah penggantian. Kami menggantikan nombor dengan darjah terkecil:

Kemudian 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Kami menggantikan semua kuasa x dalam persamaan dengan t:

t 2 - 12t+27 = 0
Kami mendapat persamaan kuadratik. Menyelesaikan melalui diskriminasi, kami mendapat:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Berbalik kepada pembolehubah x.

Ambil t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Oleh itu,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Satu akar ditemui. Kami sedang mencari yang kedua dari t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Jawapan: x 1 = 2; x 2 = 1.

Di laman web anda boleh bertanya soalan yang menarik di bahagian HELP DECIDE, kami pasti akan menjawab anda.

Sertai kumpulan

Menyelesaikan persamaan eksponen. Contoh.

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak sangat..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Apa dah jadi persamaan eksponen? Ini ialah persamaan di mana yang tidak diketahui (x) dan ungkapan dengannya berada penunjuk beberapa darjah. Dan hanya di sana! Ini penting.

Di sini anda pergi contoh persamaan eksponen:

3 x 2 x = 8 x+3

Beri perhatian! Dalam asas darjah (di bawah) - nombor sahaja. DALAM penunjuk darjah (di atas) - pelbagai jenis ungkapan dengan X. Jika, secara tiba-tiba, X muncul dalam persamaan di suatu tempat selain penunjuk, contohnya:

ini akan menjadi persamaan jenis campuran. Persamaan sedemikian tidak mempunyai peraturan yang jelas untuk menyelesaikannya. Kami tidak akan mempertimbangkan mereka buat masa ini. Di sini kita akan berurusan menyelesaikan persamaan eksponen dalam bentuk yang paling tulen.

Malah, walaupun persamaan eksponen tulen tidak selalu diselesaikan dengan jelas. Tetapi ada jenis tertentu persamaan eksponen yang boleh dan harus diselesaikan. Ini adalah jenis yang akan kami pertimbangkan.

Menyelesaikan persamaan eksponen mudah.

Pertama, mari kita selesaikan sesuatu yang sangat asas. Contohnya:

Walaupun tanpa sebarang teori, dengan pemilihan mudah adalah jelas bahawa x = 2. Tiada lagi, kan!? Tiada nilai lain X berfungsi. Sekarang mari kita lihat penyelesaian kepada persamaan eksponen yang rumit ini:

Apa yang telah kita lakukan? Kami, sebenarnya, hanya membuang bes yang sama (tiga kali ganda). Dibuang sepenuhnya. Dan, berita baiknya ialah, kami terkena paku di kepala!

Sesungguhnya, jika dalam persamaan eksponen terdapat kiri dan kanan serupa nombor dalam sebarang kuasa, nombor ini boleh dialih keluar dan eksponen boleh disamakan. Matematik membenarkan. Ia kekal untuk menyelesaikan persamaan yang lebih mudah. Hebat, kan?)

Walau bagaimanapun, marilah kita ingat dengan tegas: Anda boleh mengeluarkan tapak hanya apabila nombor asas di kiri dan kanan berada dalam pengasingan yang sangat baik! Tanpa sebarang jiran dan pekali. Katakan dalam persamaan:

2 x +2 x+1 = 2 3, atau

dua-dua tidak boleh ditanggalkan!

Nah, kami telah menguasai perkara yang paling penting. Bagaimana untuk beralih daripada ungkapan eksponen jahat kepada persamaan yang lebih mudah.

"Itulah masanya!" - awak cakap. "Siapa yang akan memberikan pelajaran primitif tentang ujian dan peperiksaan!?"

Saya perlu bersetuju. Tiada siapa yang akan memberikannya. Tetapi kini anda tahu ke mana hendak dituju apabila menyelesaikan contoh rumit. Ia adalah perlu untuk membawanya ke borang di mana nombor asas yang sama berada di sebelah kiri dan di sebelah kanan. Kemudian semuanya akan menjadi lebih mudah. Sebenarnya, ini adalah matematik klasik. Kami mengambil contoh asal dan mengubahnya kepada yang diingini kami fikiran. Mengikut peraturan matematik, sudah tentu.

Mari kita lihat contoh yang memerlukan usaha tambahan untuk mengurangkannya kepada yang paling mudah. Jom panggil mereka persamaan eksponen mudah.

Menyelesaikan persamaan eksponen mudah. Contoh.

Apabila menyelesaikan persamaan eksponen, peraturan utama ialah tindakan dengan darjah. Tanpa pengetahuan tentang tindakan ini tiada apa yang akan berjaya.

Untuk tindakan dengan darjah, seseorang mesti menambah pemerhatian dan kepintaran peribadi. Adakah kita memerlukan nombor asas yang sama? Jadi kami mencari mereka dalam contoh dalam bentuk eksplisit atau disulitkan.

Mari lihat bagaimana ini dilakukan dalam amalan?

Mari kita diberi contoh:

2 2x - 8 x+1 = 0

Pandangan tajam pertama adalah pada alasan. Mereka... Mereka berbeza! Dua dan lapan. Tetapi masih terlalu awal untuk berkecil hati. Sudah tiba masanya untuk mengingati itu

Dua dan lapan adalah saudara dalam ijazah.) Sangat mungkin untuk menulis:

8 x+1 = (2 3) x+1

Jika kita ingat formula dari operasi dengan darjah:

(a n) m = a nm ,

ini berfungsi dengan baik:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Contoh asal mula kelihatan seperti ini:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Kami pindahkan 2 3 (x+1) ke kanan (tiada siapa yang membatalkan operasi asas matematik!), kita dapat:

2 2x = 2 3(x+1)

Itu sahaja. Mengeluarkan asas:

Kami menyelesaikan raksasa ini dan dapatkan

Ini adalah jawapan yang betul.

Dalam contoh ini, mengetahui kuasa dua orang membantu kami. Kami dikenalpasti dalam lapan terdapat dua yang disulitkan. Teknik ini (penyulitan alasan bersama bawah nombor yang berbeza) ialah teknik yang sangat popular dalam persamaan eksponen! Ya, dan dalam logaritma juga. Anda mesti boleh mengenali kuasa nombor lain dalam nombor. Ini amat penting untuk menyelesaikan persamaan eksponen.

Hakikatnya ialah menaikkan sebarang nombor kepada mana-mana kuasa tidak menjadi masalah. Darab, walaupun di atas kertas, dan itu sahaja. Sebagai contoh, sesiapa sahaja boleh menaikkan 3 kepada kuasa kelima. 243 akan berjaya jika anda mengetahui jadual pendaraban.) Tetapi dalam persamaan eksponen, lebih kerap ia tidak perlu dinaikkan kepada kuasa, tetapi sebaliknya... Ketahui nombor berapa ke darjah berapa tersembunyi di sebalik nombor 243, atau, katakan, 343... Tiada kalkulator akan membantu anda di sini.

Anda perlu tahu kuasa beberapa nombor dengan penglihatan, kan... Jom berlatih?

Tentukan kuasa dan nombor apa nombor itu:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Jawapan (dalam keadaan huru-hara, sudah tentu!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Kalau tengok dekat-dekat boleh nampak fakta pelik. Terdapat lebih banyak jawapan daripada tugasan! Nah, ia berlaku... Contohnya, 2 6, 4 3, 8 2 - itu sahaja 64.

Mari kita andaikan bahawa anda telah mengambil perhatian tentang maklumat tentang kebiasaan dengan nombor.) Izinkan saya juga mengingatkan anda bahawa untuk menyelesaikan persamaan eksponen kita gunakan semua stok pengetahuan matematik. Termasuk mereka dari kelas junior dan pertengahan. Anda tidak pergi terus ke sekolah menengah, bukan?)

Sebagai contoh, apabila menyelesaikan persamaan eksponen, meletakkan faktor sepunya daripada kurungan selalunya membantu (hello kepada gred 7!). Mari lihat contoh:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Dan sekali lagi, pandangan pertama adalah pada asas! Asas darjah berbeza... Tiga dan sembilan. Dan kami mahu mereka menjadi sama. Nah, dalam kes ini keinginan itu dipenuhi sepenuhnya!) Kerana:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Menggunakan peraturan yang sama untuk berurusan dengan darjah:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Itu bagus, anda boleh menulisnya:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Kami memberi contoh atas sebab yang sama. Dan apa seterusnya!? Anda tidak boleh membuang bertiga... Jalan buntu?

Tidak sama sekali. Ingat peraturan keputusan yang paling universal dan berkuasa semua orang tugasan matematik:

Jika anda tidak tahu apa yang anda perlukan, lakukan apa yang anda boleh!

Lihat, semuanya akan berjaya).

Apa yang ada dalam persamaan eksponen ini boleh buat? Ya, di sebelah kiri ia hanya memohon untuk dikeluarkan dari kurungan! Pengganda keseluruhan 3 2x jelas membayangkan perkara ini. Mari cuba, dan kemudian kita akan lihat:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Contoh terus menjadi lebih baik dan lebih baik!

Kami ingat bahawa untuk menghapuskan alasan kita memerlukan ijazah tulen, tanpa sebarang pekali. Nombor 70 mengganggu kita. Jadi kita bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 70, kita dapat:

Aduh! Semuanya menjadi lebih baik!

Ini adalah jawapan muktamad.

Ia berlaku, bagaimanapun, bahawa teksi atas dasar yang sama dicapai, tetapi penghapusan mereka tidak mungkin. Ini berlaku dalam jenis persamaan eksponen yang lain. Mari kita kuasai jenis ini.

Menggantikan pembolehubah dalam menyelesaikan persamaan eksponen. Contoh.

Mari kita selesaikan persamaan:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Pertama - seperti biasa. Mari kita beralih kepada satu pangkalan. Untuk deuce.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Kami mendapat persamaan:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Dan di sinilah kami melepak. Helah sebelumnya tidak akan berfungsi, tidak kira betapa sukarnya anda melihat. Kami perlu mengeluarkan satu lagi kaedah yang berkuasa dan universal daripada senjata kami. Ia dipanggil penggantian berubah-ubah.

Intipati kaedah ini sangat mudah. Daripada satu ikon kompleks (dalam kes kami - 2 x) kami menulis satu lagi, lebih mudah (contohnya - t). Penggantian yang seolah-olah tidak bermakna membawa kepada hasil yang menakjubkan!) Semuanya menjadi jelas dan mudah difahami!

Jadi biarlah

Kemudian 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Dalam persamaan kami, kami menggantikan semua kuasa dengan x dengan t:

Nah, adakah ia menyedarkan anda?) Persamaan kuadratik Dah lupa ke belum? Menyelesaikan melalui diskriminasi, kami mendapat:

Perkara utama di sini adalah untuk tidak berhenti, seperti yang berlaku... Ini belum jawapannya, kita perlukan x, bukan t. Mari kita kembali ke X, i.e. kami membuat penggantian terbalik. Pertama untuk t 1:

Oleh itu,

Satu akar ditemui. Kami sedang mencari yang kedua dari t 2:

Hm... 2 x di kiri, 1 di kanan... Masalah? Tidak sama sekali! Ia cukup untuk mengingati (daripada operasi dengan kuasa, ya...) bahawa unit adalah mana-mana nombor kepada kuasa sifar. mana-mana. Apa sahaja yang diperlukan, kami akan memasangnya. Kami memerlukan dua. Bermaksud:

Itu sahaja sekarang. Kami mendapat 2 akar:

Ini jawapannya.

Pada menyelesaikan persamaan eksponen pada akhirnya kadang-kadang anda berakhir dengan beberapa jenis ekspresi janggal. Jenis:

Dari tujuh hingga dua ijazah sederhana ia tidak berfungsi. Mereka bukan saudara... Bagaimana kita boleh jadi? Seseorang mungkin keliru... Tetapi orang yang membaca di laman web ini topik "Apakah itu logaritma?" , hanya tersenyum tipis dan menulis dengan tangan tegas jawapan yang betul-betul betul:

Tidak boleh ada jawapan sedemikian dalam tugas "B" pada Peperiksaan Negeri Bersepadu. Terdapat nombor tertentu diperlukan. Tetapi dalam tugasan "C" ia mudah.

Pelajaran ini menyediakan contoh penyelesaian persamaan eksponen yang paling biasa. Mari kita serlahkan perkara utama.

Nasihat praktikal:

1. Pertama sekali, kita lihat alasan ijazah. Kami tertanya-tanya sama ada ia boleh dibuat serupa. Mari cuba lakukan ini dengan menggunakan secara aktif tindakan dengan darjah. Jangan lupa bahawa nombor tanpa x juga boleh ditukar kepada kuasa!

2. Kami cuba membawa persamaan eksponen ke bentuk apabila di sebelah kiri dan di sebelah kanan ada serupa nombor dalam mana-mana kuasa. Kami menggunakan tindakan dengan darjah Dan pemfaktoran. Apa yang boleh dikira dalam angka, kita kira.

3. Jika petua kedua tidak berjaya, cuba gunakan penggantian berubah-ubah. Hasilnya mungkin persamaan yang boleh diselesaikan dengan mudah. Selalunya - persegi. Atau pecahan, yang juga berkurang kepada kuasa dua.

4. Untuk berjaya menyelesaikan persamaan eksponen, anda perlu mengetahui kuasa beberapa nombor melalui penglihatan.

Seperti biasa, di akhir pelajaran anda dijemput untuk membuat keputusan sedikit.) Sendiri. Dari yang mudah kepada yang kompleks.

Selesaikan persamaan eksponen:

Lebih sukar:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5x+1 - 8 = 0

Cari hasil darab akar:

2 3's + 2 x = 9

Adakah ia berkesan?

Kalau begitu contoh yang paling rumit(tekad, bagaimanapun, dalam fikiran...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

Apa yang lebih menarik? Kemudian inilah contoh buruk untuk anda. Agak layak untuk meningkatkan kesukaran. Biar saya membayangkan bahawa dalam contoh ini, perkara yang menyelamatkan anda ialah kepintaran dan peraturan paling universal untuk menyelesaikan semua masalah matematik.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Contoh yang lebih mudah, untuk bersantai):

9 2 x - 4 3 x = 0

Dan untuk pencuci mulut. Cari hasil tambah punca-punca persamaan:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Ya, ya! Ini adalah persamaan jenis campuran! Yang tidak kami pertimbangkan dalam pelajaran ini. Mengapa menganggap mereka, mereka perlu diselesaikan!) Pelajaran ini cukup untuk menyelesaikan persamaan. Nah, anda memerlukan kepintaran... Dan semoga gred ketujuh membantu anda (ini adalah petunjuk!).

Jawapan (dalam keadaan kucar-kacir, dipisahkan dengan koma bertitik):

1; 2; 3; 4; tiada penyelesaian; 2; -2; -5; 4; 0.

Adakah semuanya berjaya? Hebat.

Sebarang masalah? Tiada soalan! Seksyen Khas 555 menyelesaikan semua persamaan eksponen ini dengan penjelasan terperinci. Apa, mengapa, dan mengapa. Dan, sudah tentu, terdapat maklumat berharga tambahan tentang bekerja dengan semua jenis persamaan eksponen. Bukan hanya yang ini.)

Satu soalan terakhir yang menyeronokkan untuk dipertimbangkan. Dalam pelajaran ini kita bekerja dengan persamaan eksponen. Mengapa saya tidak mengatakan sepatah kata pun tentang ODZ di sini? Dalam persamaan, ini adalah perkara yang sangat penting, dengan cara...

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)

Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Pada peringkat persediaan untuk ujian akhir, pelajar sekolah menengah perlu meningkatkan pengetahuan mereka mengenai topik "Persamaan Eksponen." Pengalaman tahun-tahun lepas menunjukkan bahawa tugas-tugas sedemikian menyebabkan kesukaran tertentu untuk pelajar sekolah. Oleh itu, pelajar sekolah menengah, tanpa mengira tahap persediaan mereka, perlu menguasai teori dengan teliti, mengingati formula dan memahami prinsip menyelesaikan persamaan tersebut. Setelah belajar untuk menangani jenis tugas ini, graduan akan dapat bergantung padanya markah tinggi apabila lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik.

Bersedia untuk ujian peperiksaan dengan Shkolkovo!

Apabila menyemak bahan yang telah dipelajari, ramai pelajar berhadapan dengan masalah mencari formula yang diperlukan untuk menyelesaikan persamaan. Buku teks sekolah tidak selalu tersedia, dan memilih maklumat yang diperlukan tentang topik di Internet mengambil masa yang lama.

Portal pendidikan Shkolkovo menjemput pelajar untuk menggunakan pangkalan pengetahuan kami. Kami sedang melaksanakan kaedah yang sama sekali baru untuk persediaan untuk ujian akhir. Dengan belajar di laman web kami, anda akan dapat mengenal pasti jurang dalam pengetahuan dan memberi perhatian kepada tugas-tugas yang menyebabkan paling sukar.

Guru Shkolkovo mengumpul, menyusun dan membentangkan semua yang diperlukan berjaya disiapkan Bahan Peperiksaan Negeri Bersatu dalam bentuk yang paling mudah dan boleh diakses.

Takrif dan formula asas dibentangkan dalam bahagian "Latar belakang teori".

Untuk lebih memahami bahan, kami mengesyorkan agar anda berlatih menyelesaikan tugasan. Semak dengan teliti contoh persamaan eksponen dengan penyelesaian yang dibentangkan pada halaman ini untuk memahami algoritma pengiraan. Selepas itu, teruskan untuk melaksanakan tugas dalam bahagian "Direktori". Anda boleh mulakan dengan tugasan yang paling mudah atau bergerak terus untuk menyelesaikan persamaan eksponen kompleks dengan beberapa perkara yang tidak diketahui atau . Pangkalan data latihan di laman web kami sentiasa ditambah dan dikemas kini.

Contoh-contoh dengan penunjuk yang menyebabkan anda mengalami kesukaran boleh ditambahkan pada "Kegemaran". Dengan cara ini anda boleh mencari mereka dengan cepat dan membincangkan penyelesaiannya dengan guru anda.

Untuk berjaya lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu, belajar di portal Shkolkovo setiap hari!