วิธีทำสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ สร้างสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้

หัวหน้างาน

ครูคณิตศาสตร์

1.บทนำ ………………………………………………….……3

2. ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์………………………………………..…4

3. ส่วนหลัก………………………………………………….7

4. ข้อพิสูจน์ความเป็นไปไม่ได้ของสามเหลี่ยมเพนโรส ...... 9

5. สรุปผล………………………………………………..……………11

6. วรรณคดี……………………………………………….…… 12

ความเกี่ยวข้อง:คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่ศึกษาตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 ถึงชั้นสุดท้าย นักเรียนหลายคนพบว่ามันยาก ไม่น่าสนใจ และไม่จำเป็น แต่ถ้าคุณมองข้ามหน้าหนังสือเรียน ให้อ่าน วรรณกรรมเพิ่มเติม, ความวิปริตทางคณิตศาสตร์และความขัดแย้ง แล้วความคิดของคณิตศาสตร์จะเปลี่ยนไป มีความปรารถนาที่จะเรียนมากกว่าที่จะเรียนในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน

วัตถุประสงค์:

เพื่อแสดงให้เห็นว่าการมีอยู่ของตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้จะขยายขอบเขตอันไกลโพ้น พัฒนาจินตนาการเชิงพื้นที่ ไม่เพียงแต่ใช้โดยนักคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังใช้โดยศิลปินด้วย

งาน :

1. ศึกษาวรรณคดีในหัวข้อนี้

2. พิจารณาตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้ สร้างแบบจำลองของสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ พิสูจน์ว่า สามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ไม่มีอยู่บนเครื่องบิน

3. แฉสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้

4. พิจารณาตัวอย่างการใช้สามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ในงานศิลปะ

บทนำ

ตามประวัติศาสตร์ คณิตศาสตร์เคยเล่น บทบาทสำคัญในทัศนศิลป์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการแสดงภาพเปอร์สเปคทีฟ ซึ่งแสดงถึงการแสดงฉากสามมิติที่สมจริงบนผ้าใบแบนหรือแผ่นกระดาษ ตามทัศนะสมัยใหม่ คณิตศาสตร์และ ศิลปะห่างไกลจากกันมาก วิชาแรก - วิเคราะห์ ที่สอง - อารมณ์ คณิตศาสตร์ไม่ได้มีบทบาทที่ชัดเจนในงานส่วนใหญ่ ศิลปะร่วมสมัยและที่จริงแล้ว ศิลปินหลายคนแทบไม่ใช้หรือไม่เคยใช้มุมมองด้วยซ้ำ อย่างไรก็ตาม มีศิลปินมากมายที่เน้นวิชาคณิตศาสตร์ บุคคลสำคัญหลายคนในทัศนศิลป์ปูทางให้กับบุคคลเหล่านี้

โดยทั่วไปแล้ว ไม่มีกฎเกณฑ์หรือข้อจำกัดในการใช้หัวข้อต่างๆ ในศิลปะคณิตศาสตร์ เช่น ตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้ แถบโมบิอุส การบิดเบือนหรือระบบเปอร์สเปคทีฟที่ผิดปกติ และเศษส่วน

ประวัติของตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้

ตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้ - บางชนิดความขัดแย้งทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วยส่วนปกติที่เชื่อมต่อกันในรูปแบบซับซ้อนที่ผิดปกติ หากคุณพยายามกำหนดคำจำกัดความของคำว่า "วัตถุที่เป็นไปไม่ได้" มันอาจจะฟังดูคล้าย ๆ กัน - ตัวเลขที่เป็นไปได้ทางกายภาพประกอบในรูปแบบที่เป็นไปไม่ได้ แต่การมองดูพวกมันนั้นน่าพึงพอใจกว่ามาก การร่างคำจำกัดความ

ศิลปินพบข้อผิดพลาดในการก่อสร้างเชิงพื้นที่เมื่อพันปีก่อน แต่คนแรกที่สร้างและวิเคราะห์วัตถุที่เป็นไปไม่ได้ถือเป็นศิลปินชาวสวีเดน Oscar Reutersvärd ซึ่งวาดในปี 1934 สามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้แรกประกอบด้วยเก้าลูกบาศก์

Reutersvärd สามเหลี่ยม

นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวอังกฤษ Roger Penrose เป็นอิสระจาก Reutersvaerd ค้นพบสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้อีกครั้งและเผยแพร่ภาพของมันใน British Psychology Journal ในปี 1958 ภาพลวงตาใช้ "มุมมองที่ผิด" บางครั้งมุมมองดังกล่าวเรียกว่าจีนเนื่องจากวิธีการวาดที่คล้ายกันเมื่อความลึกของการวาดภาพ "คลุมเครือ" มักพบในผลงานของศิลปินจีน

น้ำตกเอสเชอร์

ในปี พ.ศ. 2504 Dutchman M. Escher ซึ่งได้รับแรงบันดาลใจจากสามเหลี่ยม Penrose ที่เป็นไปไม่ได้ สร้างภาพพิมพ์หิน "Waterfall" ที่มีชื่อเสียง น้ำในภาพไหลอย่างไม่รู้จบ หลังจากที่กังหันน้ำไหลผ่านไปอีกและตกลงมาที่จุดเริ่มต้น อันที่จริง นี่คือภาพของเครื่องเคลื่อนไหวตลอดเวลา แต่ความพยายามใดๆ ในความเป็นจริงเพื่อสร้างการออกแบบนี้จะต้องล้มเหลว

อีกตัวอย่างหนึ่งของตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้ถูกนำเสนอในภาพวาด "มอสโก" ซึ่งแสดงถึงรูปแบบที่ผิดปกติของรถไฟใต้ดินมอสโก ในตอนแรก เรารับรู้ภาพโดยรวม แต่การลากเส้นแต่ละเส้นด้วยตาของเรา เราเชื่อมั่นในความเป็นไปไม่ได้ของการมีอยู่ของมัน

« มอสโก”, กราฟิก (หมึก, ดินสอ), 50x70 ซม., 2003

การวาด "หอยทากสามตัว" ยังคงเป็นประเพณีของร่างที่เป็นไปไม่ได้ที่มีชื่อเสียงอันดับสอง - ลูกบาศก์ที่เป็นไปไม่ได้ (กล่อง)

"หอยทากสามตัว" ลูกบาศก์ที่เป็นไปไม่ได้

การรวมกันของวัตถุต่างๆ ยังสามารถพบได้ในรูป "IQ" (ความฉลาดทางปัญญา) ที่ไม่ร้ายแรงนัก เป็นเรื่องที่น่าสนใจที่บางคนไม่รับรู้วัตถุที่เป็นไปไม่ได้เนื่องจากจิตสำนึกของพวกเขาไม่สามารถระบุภาพแบนด้วยวัตถุสามมิติได้

โดนัลด์ ซิมาเน็ก ให้ความเห็นว่าการเข้าใจภาพผิดธรรมดาเป็นหนึ่งในจุดเด่นของประเภทนั้น ความคิดสร้างสรรค์ครอบครองโดยนักคณิตศาสตร์ นักวิทยาศาสตร์ และศิลปินที่เก่งที่สุด ผลงานหลายชิ้นที่มีวัตถุที่ขัดแย้งกันสามารถจำแนกได้เป็น "ปัญญา" เกมคณิตศาสตร์». วิทยาศาสตร์สมัยใหม่พูดถึงแบบจำลองโลก 7 มิติหรือ 26 มิติ จำลอง โลกที่คล้ายกันเป็นไปได้ด้วยความช่วยเหลือของสูตรทางคณิตศาสตร์เท่านั้นบุคคลไม่สามารถจินตนาการได้ นี่คือจุดที่ตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้มีประโยชน์

ตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้ที่ได้รับความนิยมอันดับสามคือบันไดอันน่าทึ่งที่สร้างขึ้นโดย Penrose คุณจะขึ้นอย่างต่อเนื่อง (ทวนเข็มนาฬิกา) หรือลง (ตามเข็มนาฬิกา) อย่างต่อเนื่อง โมเดล Penrose เป็นพื้นฐาน ภาพวาดที่มีชื่อเสียง M. Escher "ขึ้นและลง" บันไดเพนโรสที่น่าทึ่ง

ตรีศูลที่เป็นไปไม่ได้

“ไอ้ส้อม”

มีวัตถุอีกกลุ่มหนึ่งที่ไม่สามารถดำเนินการได้ ฟิกเกอร์คลาสสิคเป็นตรีศูลที่เป็นไปไม่ได้หรือ "ส้อมปีศาจ" จากการศึกษาภาพอย่างระมัดระวัง คุณจะเห็นได้ว่าฟันสามซี่ค่อยๆ กลายเป็นสองซี่บนพื้นฐานเดียว ซึ่งนำไปสู่ความขัดแย้ง เราเปรียบเทียบจำนวนฟันจากด้านบนและด้านล่างและได้ข้อสรุปว่าวัตถุนั้นเป็นไปไม่ได้ ถ้าคุณปิดมือของคุณ ส่วนบนตรีศูลแล้วเราจะเห็นภาพที่แท้จริงมาก - ฟันสามซี่ ถ้าเราปิดส่วนล่างของตรีศูลเราก็จะเห็นภาพจริง - ฟันสี่เหลี่ยมสองซี่ แต่ถ้าเราพิจารณาภาพรวมทั้งหมด ปรากฎว่าฟันกลมสามซี่ค่อยๆ กลายเป็นฟันสี่เหลี่ยมสองซี่

ดังนั้น คุณจะเห็นได้ว่าพื้นหน้าและพื้นหลังของภาพวาดนี้ขัดแย้งกัน นั่นคือเดิมที เบื้องหน้าถอยหลังและพื้นหลัง (ฟันกลาง) คลานไปข้างหน้า นอกจากการเปลี่ยนพื้นหน้าและพื้นหลังแล้ว ภาพวาดนี้ยังมีเอฟเฟกต์อื่นอีกด้วย - ขอบเรียบของส่วนบนของตรีศูลจะกลายเป็นทรงกลมที่ด้านล่าง

ส่วนสำคัญ.

สามเหลี่ยม- ตัวเลขที่ประกอบด้วย 3 ส่วนที่อยู่ติดกันซึ่งด้วยความช่วยเหลือของการเชื่อมต่อที่ยอมรับไม่ได้ของชิ้นส่วนเหล่านี้สร้างภาพลวงตาของโครงสร้างที่เป็นไปไม่ได้จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ในอีกทางหนึ่ง แถบสามแถบนี้เรียกอีกอย่างว่า สี่เหลี่ยม เพนโรส

หลักการที่ชัดเจนที่อยู่เบื้องหลังภาพลวงตานี้เกิดจากการคิดค้นของนักจิตวิทยาและโรเจอร์ ลูกชายของเขา นักฟิสิกส์ จัตุรัสเพนรูซอฟประกอบด้วยส่วนสี่เหลี่ยมจัตุรัส 3 แท่ง ซึ่งตั้งอยู่ใน 3 ทิศทางที่ตั้งฉากกัน แต่ละอันเชื่อมต่อกับส่วนถัดไปที่มุมฉากซึ่งทั้งหมดพอดีกับพื้นที่สามมิติ ต่อไปนี้คือสูตรง่ายๆ สำหรับการวาดมุมมองสามมิติของสี่เหลี่ยมเพนโรส:

ตัดมุมของสามเหลี่ยมด้านเท่าตามแนวขนานกับด้านข้าง

วาดแนวขนานกับด้านข้างภายในสามเหลี่ยมที่ครอบตัด

ตัดมุมอีกครั้ง

วาดเส้นขนานกันอีกครั้ง

· ลองนึกภาพหนึ่งในสองลูกบาศก์ที่เป็นไปได้ในมุมใดมุมหนึ่ง

· ต่อด้วย “สิ่งของ” รูปตัว L

เรียกใช้การออกแบบนี้เป็นวงกลม

ถ้าเราเลือกลูกบาศก์อื่น สี่เหลี่ยมจัตุรัสก็จะ "บิด" ไปอีกทางหนึ่ง .

การพัฒนาสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้

เส้นแบ่ง

เส้นตัด

องค์ประกอบใดบ้างที่ประกอบเป็นสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ แม่นยำยิ่งขึ้นจากองค์ประกอบใดที่เรา (ดูเหมือน!) สร้างขึ้น? การออกแบบขึ้นอยู่กับมุมสี่เหลี่ยมซึ่งได้มาจากการเชื่อมต่อแท่งสี่เหลี่ยมที่เหมือนกันสองอันที่มุมฉาก มุมเหล่านี้ต้องใช้สามชิ้นและแท่งจึงหกชิ้น มุมเหล่านี้จะต้อง "เชื่อมต่อ" ทางสายตาด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งเพื่อสร้างห่วงโซ่ปิด สิ่งที่เกิดขึ้นคือสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้

วางมุมแรกในระนาบแนวนอน เราจะแนบมุมที่สองเข้าไปโดยให้ขอบด้านหนึ่งขึ้น สุดท้าย เราเพิ่มมุมที่สามในมุมที่สองนี้ เพื่อให้ขอบของมันขนานกับระนาบแนวนอนดั้งเดิม ในกรณีนี้ ขอบทั้งสองของมุมที่หนึ่งและสามจะขนานกันและมุ่งตรงไปยัง ด้านต่างๆ.

และตอนนี้เราลองสบู่ดูร่างจากจุดต่าง ๆ ในอวกาศ (หรือสร้างแบบจำลองลวดจริง) ลองนึกภาพว่ามันมีลักษณะอย่างไรจากจุดหนึ่ง จากอีกจุดหนึ่ง จากจุดที่สาม ... เมื่อจุดสังเกตเปลี่ยนไป (หรือ - ซึ่งเหมือนกัน - เมื่อโครงสร้างหมุนในอวกาศ) ดูเหมือนว่าขอบ "ปลาย" ทั้งสองของ มุมของเราขยับสัมพันธ์กัน หาตำแหน่งที่จะเชื่อมต่อได้ไม่ยาก (แน่นอนว่าในกรณีนี้มุมใกล้จะดูหนากว่าสำหรับเรา)

แต่ถ้าระยะห่างระหว่างซี่โครงน้อยกว่าระยะห่างจากมุมไปยังจุดที่เรากำลังดูโครงสร้างของเราอยู่มาก ซี่โครงทั้งสองก็จะมีความหนาเท่ากันสำหรับเรา และแนวคิดจะเกิดขึ้นว่า ซี่โครงทั้งสองนี้จริงๆ แล้วเป็น ความต่อเนื่องของกันและกัน

อย่างไรก็ตาม หากเราดูโครงสร้างที่แสดงในกระจกพร้อมๆ กัน เราจะไม่เห็นวงจรปิดที่นั่น

และจากจุดสังเกตที่เลือกเราเห็นด้วยตาของเราเองถึงปาฏิหาริย์ที่เกิดขึ้น: มีโซ่ปิดสามมุม อย่าเปลี่ยนจุดสังเกตเพื่อให้ภาพลวงตานี้ (อันที่จริงมันเป็นภาพลวงตา!) จะไม่ล่มสลาย ตอนนี้คุณสามารถวาดวัตถุที่คุณเห็นหรือวางเลนส์กล้องไว้ที่จุดที่พบแล้วถ่ายรูปวัตถุที่เป็นไปไม่ได้

Penroses เป็นกลุ่มแรกที่สนใจปรากฏการณ์นี้ พวกเขาใช้ความเป็นไปได้ที่เกิดขึ้นเมื่อทำแผนที่พื้นที่สามมิติและวัตถุสามมิติบนระนาบสองมิติ (นั่นคือเมื่อออกแบบ) และดึงความสนใจไปที่ความไม่แน่นอนของการออกแบบ - โครงสร้างเปิดของสามมุมสามารถถูกมองว่าเป็นแบบปิด วงจร

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว แบบจำลองที่ง่ายที่สุดสามารถทำจากลวดได้ง่าย ซึ่งอธิบายโดยหลักการแล้วถึงผลกระทบที่สังเกตได้ นำลวดเส้นตรงแล้วแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่า ๆ กัน จากนั้นงอส่วนสุดขั้วเพื่อให้เป็นมุมฉากกับส่วนตรงกลางแล้วหมุนสัมพันธ์กัน 900 ตอนนี้หันรูปปั้นนี้และสังเกตด้วยตาข้างเดียว ณ ตำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่ง ดูเหมือนว่าจะประกอบขึ้นจากลวดปิด เมื่อเปิดโคมไฟตั้งโต๊ะ คุณจะเห็นเงาที่ตกลงมาบนโต๊ะ ซึ่งจะเปลี่ยนเป็นรูปสามเหลี่ยม ณ ตำแหน่งหนึ่งของร่างในอวกาศ

อย่างไรก็ตาม คุณลักษณะการออกแบบนี้สามารถสังเกตได้ในสถานการณ์อื่น หากคุณทำวงแหวนลวดแล้วกระจายไปในทิศทางต่าง ๆ คุณจะได้เกลียวทรงกระบอกหนึ่งรอบ วงนี้เปิดอยู่แน่นอน แต่เมื่อฉายขึ้นเครื่องบิน คุณจะได้เส้นปิด

เราได้เห็นอีกครั้งว่าการฉายภาพบนระนาบ ตามภาพวาด ร่างสามมิติได้รับการฟื้นฟูอย่างคลุมเครือ นั่นคือ การฉายภาพมีความคลุมเครือ การพูดน้อย ซึ่งก่อให้เกิด "รูปสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้"

และเราสามารถพูดได้ว่า “สามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้” ของ Penroses ก็เหมือนกับภาพลวงตาอื่นๆ ที่เทียบเท่ากับความขัดแย้งเชิงตรรกะและการเล่นสำนวน

บทพิสูจน์ความเป็นไปไม่ได้ของสามเหลี่ยมเพนโรส

การวิเคราะห์คุณสมบัติของภาพสองมิติของวัตถุสามมิติบนระนาบ เราเข้าใจว่าคุณลักษณะของจอแสดงผลนี้นำไปสู่สามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ได้อย่างไร

เป็นเรื่องง่ายมากที่จะพิสูจน์ว่าไม่มีสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ เนื่องจากแต่ละมุมของมันถูกต้อง และผลรวมของมันคือ 2700 แทนที่จะเป็น "ตำแหน่ง" 1800

ยิ่งกว่านั้น แม้ว่าเราจะพิจารณาว่าสามเหลี่ยมเป็นไปไม่ได้ที่ติดกาวเข้าด้วยกันจากมุมที่น้อยกว่า 900 ในกรณีนี้ก็สามารถพิสูจน์ได้ว่าสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้นั้นไม่มีอยู่จริง

พิจารณารูปสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งซึ่งประกอบด้วยหลายส่วน หากชิ้นส่วนที่ประกอบแตกต่างกัน จะได้สามเหลี่ยมเดียวกันทุกประการ แต่มีข้อบกพร่องเล็กน้อยเพียงจุดเดียว หนึ่งตารางจะหายไป เป็นไปได้อย่างไร? หรือมันเป็นแค่ภาพลวงตา

https://pandia.ru/text/80/021/images/image016_2.jpg" alt="(!LANG:สามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้" width="298" height="161">!}

โดยใช้ปรากฏการณ์การรับรู้

มีวิธีใดบ้างที่จะเพิ่มความเป็นไปไม่ได้? วัตถุบางอย่าง "เป็นไปไม่ได้" มากกว่าวัตถุอื่นหรือไม่? และนี่คือคุณสมบัติของการรับรู้ของมนุษย์ที่ได้รับการช่วยเหลือ นักจิตวิทยาพบว่าดวงตาเริ่มตรวจสอบวัตถุ (ภาพ) จากมุมล่างซ้าย จากนั้นการจ้องมองจะเลื่อนไปทางขวาไปยังกึ่งกลางและเลื่อนลงมาที่มุมล่างขวาของภาพ วิถีดังกล่าวอาจเกิดจากการที่บรรพบุรุษของเราเมื่อพบกับศัตรูดูอันตรายที่สุดก่อน มือขวาแล้วจ้องมองไปทางซ้าย ไปที่ใบหน้าและรูปร่าง ดังนั้น, การรับรู้ทางศิลปะจะขึ้นอยู่กับองค์ประกอบของภาพอย่างมาก คุณลักษณะนี้ในยุคกลางแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนในการผลิตสิ่งทอ: รูปแบบของพวกเขาคือ ภาพสะท้อนในกระจกดั้งเดิม และความประทับใจที่ทำโดยสิ่งทอและของดั้งเดิมนั้นแตกต่างกัน

สามารถใช้คุณสมบัตินี้ได้สำเร็จเมื่อสร้างการสร้างสรรค์ด้วย วัตถุที่เป็นไปไม่ได้การเพิ่มหรือลด "ระดับความเป็นไปไม่ได้" นอกจากนี้ยังเปิดโอกาสให้ได้รับองค์ประกอบที่น่าสนใจโดยใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์หรือจากภาพวาดหลายภาพหมุน (อาจใช้ ชนิดที่แตกต่างสมมาตร) ความสัมพันธ์หนึ่งกับอีกคนหนึ่งสร้างความประทับใจให้กับวัตถุสำหรับผู้ชมและความเข้าใจอย่างลึกซึ้งในสาระสำคัญของความคิดหรือจากสิ่งที่หมุน (อย่างต่อเนื่องหรือกระตุก) ด้วยความช่วยเหลือของกลไกง่ายๆในบางมุม

ทิศทางดังกล่าวสามารถเรียกได้ว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยม (polygonal) ภาพประกอบแสดงภาพที่หมุนโดยสัมพันธ์กับอีกภาพหนึ่ง องค์ประกอบถูกสร้างขึ้นดังนี้ ภาพวาดบนกระดาษซึ่งทำด้วยหมึกและดินสอ ถูกสแกน แปลงเป็นดิจิทัล และประมวลผลในโปรแกรมแก้ไขกราฟิก เราสามารถสังเกตความสม่ำเสมอ - ภาพที่หมุนมี "ระดับความเป็นไปไม่ได้" ที่มากกว่าภาพต้นฉบับ สิ่งนี้อธิบายได้ง่าย: ในกระบวนการทำงาน ศิลปินพยายามสร้างภาพลักษณ์ที่ "ถูกต้อง" โดยจิตใต้สำนึก

บทสรุป

การใช้ตัวเลขทางคณิตศาสตร์และกฎหมายต่างๆ ไม่ได้จำกัดอยู่แค่ตัวอย่างข้างต้น โดยการศึกษาตัวเลขทั้งหมดข้างต้นอย่างละเอียดถี่ถ้วน คุณจะพบกับตัวเลขอื่นๆ ที่ไม่ได้กล่าวถึงในบทความนี้ ร่างกายทางเรขาคณิตหรือการตีความด้วยภาพกฎทางคณิตศาสตร์

ทัศนศิลป์ทางคณิตศาสตร์กำลังเฟื่องฟูในปัจจุบัน และศิลปินหลายคนสร้างภาพวาดในสไตล์ของ Escher และในสไตล์ของตนเอง ศิลปินเหล่านี้ทำงานในสื่อหลากหลายประเภท รวมทั้งงานประติมากรรม ภาพวาดบนพื้นผิวเรียบและสามมิติ ภาพพิมพ์หิน และ คอมพิวเตอร์กราฟฟิค. และหัวข้อที่นิยมมากที่สุดของศิลปะทางคณิตศาสตร์ ได้แก่ รูปทรงหลายเหลี่ยม ตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้ แถบโมบิอุส ระบบเปอร์สเปคทีฟและเศษส่วนที่บิดเบี้ยว

ผลการวิจัย:

1. ดังนั้นการพิจารณาตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้จะพัฒนาจินตนาการเชิงพื้นที่ของเราช่วยให้ "ออกจากเครื่องบิน" ไปสู่อวกาศสามมิติซึ่งจะช่วยในการศึกษาสเตอริโอเมทรี

2. แบบจำลองของตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้ช่วยในการพิจารณาการฉายภาพบนเครื่องบิน

3. การพิจารณาความซับซ้อนทางคณิตศาสตร์และความขัดแย้งทำให้เกิดความสนใจในวิชาคณิตศาสตร์

เมื่อทำงานนี้

1. ฉันได้เรียนรู้ว่าเมื่อไรที่ไหนและโดยใครในตอนแรกที่มีการพิจารณาตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้ว่ามีตัวเลขดังกล่าวมากมายศิลปินพยายามพรรณนาถึงตัวเลขเหล่านี้อย่างต่อเนื่อง

2. ร่วมกับพ่อของฉัน ฉันสร้างแบบจำลองของสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ ตรวจสอบการฉายภาพบนเครื่องบิน เห็นความขัดแย้งของรูปนี้

๓. ตรวจดูการลอกเลียนแบบของศิลปินซึ่งพรรณนาถึงบุคคลเหล่านี้

4. การศึกษาของฉันสนใจเพื่อนร่วมชั้นของฉัน

ในอนาคต ฉันจะใช้ความรู้ที่ได้รับในบทเรียนคณิตศาสตร์และฉันก็สนใจ แต่มีความขัดแย้งอื่นๆ อีกไหม

วรรณกรรม

1. ผู้สมัคร วิทยาศาสตร์เทคนิค D. RAKOV ประวัติของตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้

2. Rutesward O. ตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้- ม.: Stroyizdat, 1990.

3. เว็บไซต์ของ V. Alekseev Illusions · 7 ความคิดเห็น

4. เจ. ทิโมธี อันราช. - ตัวเลขที่น่าทึ่ง
(LLC "สำนักพิมพ์ AST", LLC "สำนักพิมพ์ Astrel", 2002, 168 p.)

5. . - กราฟิคอาร์ต
(ศิลปะฤดูใบไม้ผลิ 2544)

6. ดักลาส ฮอฟสแตดเตอร์. - Gödel, Escher, Bach: พวงมาลัยที่ไม่มีที่สิ้นสุดนี้ (สำนักพิมพ์ "Bahrakh-M", 2001)

7. A. Konenko - ความลับของตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้
(Omsk: ถนัดมือ 199)

วันนี้ฉันกำลังเปิดส่วนใหม่ที่เรียกว่า "การตัด" ซึ่งฉันจะโพสต์ภาพวาด เทมเพลต ตลอดจนรูปแบบของภาพลวงตา วันนี้เราจะสร้างสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้จากกระดาษ เนื่องจากเราไม่สามารถสร้างสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ เราจะสร้างแบบจำลองที่เราจะพิจารณาจากมุมหนึ่ง

1. ดาวน์โหลดและพิมพ์
2. ทำตามคำแนะนำในภาพ

จะพิจารณาสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้อย่างถูกต้องได้อย่างไร?

เนื่องจากภาพลวงตาขึ้นอยู่กับการวาดภาพที่คลุมเครือของลูกบาศก์ใน มุมมองแบบสามมิติ จากนั้นในการวางแนวนี้ มุมที่ใกล้กับผู้ชมมากที่สุดและมุมที่ห่างไกลจากผู้ชมจะตรงกัน ซึ่งหมายความว่าเมื่อลงไปที่ขอบที่ใกล้ที่สุดของลูกบาศก์และขอบด้านล่างทั้งสอง เราจะกลับไปที่ จุดเริ่มต้นซึ่งเส้นทางสิ้นสุดที่มุมไกล

สามเหลี่ยมเพนโรสที่เป็นไปไม่ได้

ในพื้นที่ดังกล่าว ศิลปะภาพเช่นเดียวกับการทาสีผิวหนังมนุษย์ เทรนด์ล่าสุดในปัจจุบันคือตัวเลขของภาพลวงตา โดยเฉพาะสามเหลี่ยมเพนโรสหรือไทรบาร์ ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าเป็นไปไม่ได้ เป็นครั้งแรกที่รูปแบบนี้ถูกค้นพบหรือคิดค้นโดยจิตรกรชาวสวีเดน ออสการ์ รูเทอร์สวาร์ด ซึ่งนำเสนอให้โลกเห็นในรูปแบบของก้อนลูกบาศก์เมื่อช่วงเปลี่ยนปี 1935 ต่อมาในทศวรรษที่ 80 ของศตวรรษของเรา พิมพ์ลวดลายชนเผ่าในสวีเดนบนแสตมป์

อย่างไรก็ตาม ภาพของสามเหลี่ยม Penrose ที่เป็นไปไม่ได้ ซึ่งอยู่ในหมวดหมู่ของภาพลวงตา กลายเป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวางในปี 1958 หลังจากการตีพิมพ์ของนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ Roger Penrose เกี่ยวกับ ตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้ตีพิมพ์ในวารสาร British Journal of Psychology แรงบันดาลใจจากโพสต์นี้ จิตรกรชื่อดังจากฮอลแลนด์ Maurits Escher สร้างขึ้นในปี 2504 หนึ่งในผลงานยอดนิยมของเขา "น้ำตก"

ภาพลวงตา

ภาพลวงตาในการวาดภาพคือ ภาพลวงตาการรับรู้ ภาพจริง, ศิลปินทำการจัดเรียงของเส้นบนเครื่องบิน ในเวลาเดียวกัน ผู้ชมประเมินขนาดของมุมของรูปหรือความยาวของด้านข้างอย่างไม่ถูกต้อง ซึ่งเป็นเรื่องของการศึกษาส่วนย่อยของจิตวิทยา เช่น การบำบัดด้วยเกสตัลท์ นอกจาก Escher แล้ว อีกคนหนึ่งชอบสร้างภาพลวงตา ศิลปินผู้ยิ่งใหญ่- ทั่วโลก เอลซัลวาดอร์ที่มีชื่อเสียงต้าหลี่. ภาพประกอบที่ชัดเจนของความหลงใหลของเขาคือ ตัวอย่างเช่น ภาพวาด "หงส์สะท้อนอยู่ในช้าง"

สามเหลี่ยมด้านบนใช้กับ .ด้วย ภาพลวงตาอย่างแม่นยำมากขึ้นในส่วนนั้นซึ่งเรียกว่าตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้ เรียกว่าเป็นอย่างนั้นเพราะความรู้สึกที่เกิดขึ้นเมื่อมองดูรูปที่มันมีอยู่ใน โลกแห่งความจริงเป็นไปไม่ได้

การประยุกต์ใช้ภาพลวงตา

เนื่องจากรูปทรงที่เป็นเอกลักษณ์ วัตถุลวงตาจึงได้รับความสนใจอย่างใกล้ชิด ไม่เพียงแต่สำหรับศิลปินและช่างสักเท่านั้น - สามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นเองหรือด้วยความช่วยเหลือจากผู้เชี่ยวชาญก็สามารถใช้เป็นโลโก้บริษัทได้ ตัวอย่างที่ดีของการใช้รูปแบบลวงตา ได้แก่ โลโก้ของวงดนตรีประสาทหลอนที่เล่นดนตรีพื้นบ้าน Conundum in Deed ซึ่งเป็นลูกบาศก์ที่เป็นไปไม่ได้ หรือแบรนด์ของผู้ผลิตชิป Digilent Inc ซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมคลาสสิกของ Penrose

คุณสามารถสร้างโลโก้ของคุณเองได้โดยไม่ต้องพึ่งผู้เชี่ยวชาญ ในการทำเช่นนี้ เพียงทำตามคำแนะนำ ซึ่งคุณสามารถวาดภาพง่ายๆ บนกระดาษหรือในแท็บเล็ต และทำ ปริมาตร. สามารถวางเป็นป้ายหรือ โฆษณากลางแจ้งร้านค้าของคุณ

วิธีทำด้วยตัวเอง

คำแนะนำทีละขั้นตอนเกี่ยวกับวิธีการวาดไทรบาร์โดยใช้ Adobe Illustrator:

1. ขั้นแรกคุณต้องสร้าง 3 สี่เหลี่ยมด้วยเครื่องมือ Rectangle ในการดำเนินการนี้ คุณต้องไปที่เมนูมุมมองและเปิดใช้งาน Smart Guide ก่อน
2. ตอนนี้คุณต้องเลือกทุกอย่างแล้วไปที่เมนู Object จากนั้นไปที่ Transform และเปิด Transform โดยที่ในหน้าต่าง Scale คุณต้องใส่ค่า Vertical Scale = 86.6% แล้วคลิกตกลง
3. ตอนนี้ คุณต้องกำหนดมุมการหมุนของใบหน้าแต่ละหน้า และสำหรับสิ่งนี้ ให้ไปที่ Window open Transform ขั้นแรกให้ใส่ค่าของมุมเอียง (เฉือน) จากนั้นสำหรับการหมุน (หมุน): พื้นผิวด้านบนของลูกบาศก์คือแรงเฉือน +30 °, หมุน -30 °; พื้นผิวด้านขวา - เฉือน +30°, หมุน +30°; พื้นผิวด้านซ้าย — เฉือน -30°, หมุน -30°.
4. ในตอนนี้ เมื่อใช้เส้น Smart Guides คุณจะต้องรวมทุกส่วนของลูกบาศก์เข้าด้วยกัน: เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เกี่ยวมุมของด้านใดด้านหนึ่งด้วยเมาส์แล้วดึงไปยังอีกด้านหนึ่ง จัดตำแหน่งให้ตรงกัน
5. ในขั้นตอนนี้ คุณต้องหมุนลูกบาศก์ 30° โดยไปที่ Object เลือก Transform and Rotate ตั้งค่ามุมเป็น 30° แล้วคลิกตกลง
6. เนื่องจากคุณต้องการ 6 คิวบ์เพื่อให้ได้ไตรแถบ คุณควรเลือกคิวบ์ กด Alt และ Shift แล้วลากวัตถุที่เลือกไปด้านข้างด้วยเมาส์ ยืดออกในแนวนอน โดยไม่ลบส่วนที่เลือก กด CMD + D 6 ครั้ง เราได้ 6 คิวบ์
7. ออกจากส่วนที่เลือกในคิวบ์สุดท้าย กด Enter และในหน้าต่างย้าย เปลี่ยนค่ามุมเป็น 240 ° จากนั้นกด Copy จากนั้นกด CMD + D อีกครั้งจนกว่าจะได้ 6 สำเนา
8. ตอนนี้ทำซ้ำทุกอย่าง: กด Enter อีกครั้ง เลือกคิวบ์สุดท้าย ตั้งค่ามุมเป็น 120 ° และทำสำเนาเพียง 5 ชุดเท่านั้น
9. การใช้เครื่องมือการเลือก คุณต้องเลือกพื้นผิวด้านบนของรูปร่าง (คุณสามารถเปลี่ยนสีเพื่อให้ชัดเจนขึ้น) เปิดเมนู วัตถุ - จัดเรียง - ส่งไปข้างหลัง ตอนนี้เลือกพื้นผิวที่ทาสีของลูกบาศก์ด้านบน ไปที่ Object - Arrange - Bring to Front

ภาพลวงตาของเพนโรสพร้อมแล้ว สามารถโพสต์บนเพจของคุณในเครือข่ายสังคมออนไลน์หรือบล็อก หรือใช้สำหรับธุรกิจ

สวัสดีผู้อ่านที่รักของบล็อก Rustam Zakirov กำลังติดต่ออยู่และฉันมีบทความอื่นสำหรับคุณ หัวข้อคือวิธีการวาดรูปสามเหลี่ยมเพนโรส วันนี้ฉันต้องการแสดงให้คุณเห็นว่าการวาดรูปสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้นั้นง่ายเพียงใด เราจะวาดรูปสามเหลี่ยมนี้สองรูป แบบหนึ่งจะเป็นแบบธรรมดา และแบบที่สองจะเป็นแบบสามมิติของจริง และทั้งหมดนี้จะเป็นเรื่องง่ายอย่างน่าประหลาดใจ คุณสามารถวาดภาพสามมิติของสามเหลี่ยมนี้ได้ ฉันสงสัยว่าสิ่งนี้จะแสดงให้คุณเห็นที่อื่น ดังนั้นโปรดอ่านบทความให้จบและระมัดระวังให้มาก

สำหรับภาพวาดของเราเช่นเคยเราต้องการ: แผ่นกระดาษ ดินสอง่ายๆ(โดยเฉพาะอย่างยิ่ง "ปานกลาง", "นุ่มอื่นๆ") และดินสอสีหรือปากกาสักหลาดสองสามอัน

การวาดภาพ 3 มิติเป็นเรื่องง่ายเพียงใด

ฉันดึงสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้นี้ออกจากภาพธรรมดานี้ ซึ่งฉันเพิ่งพบบนอินเทอร์เน็ต นี่เธออยู่

จากนั้นในไม่กี่นาทีด้วยความช่วยเหลือ ฉันก็แปลมันเป็น 3D . คุณจึงสามารถแปลรูปภาพเกือบทั้งหมดเป็น 3D ได้ สำหรับผู้ที่ต้องการเรียนรู้แบบเดียวกันคลิกที่นี่

และเราไปที่รูปวาดของเรา

เราวาดรูปสามเหลี่ยมตามปกติ

ขั้นตอนที่ 1. เราแปลจากหน้าจอมอนิเตอร์

ในการวาดรูปสามเหลี่ยม คุณจะต้องทำดังต่อไปนี้ คุณหยิบกระดาษแผ่นหนึ่งมาพิงกับสามเหลี่ยมบนหน้าจอมอนิเตอร์ แล้วแปลง่ายๆ

และเนื่องจากสามเหลี่ยมของเราไม่ได้ซับซ้อนเลย การวางเฉพาะจุดหลักในทุกมุมก็เพียงพอแล้ว

จากนั้นเราดูที่ต้นฉบับและเชื่อมต่อจุดเหล่านี้กับไม้บรรทัด ได้แบบนี้ค่ะ

สามเหลี่ยมทั้งหมดของเราพร้อมแล้ว ปล่อยไว้อย่างนั้นก็ได้ แต่ขอตกแต่งเพิ่มอีกนิด ฉันทำสิ่งนี้ด้วยดินสอสี หลังจากที่เราวาดสามเหลี่ยมเสร็จแล้ว เราก็ร่างมันอีกครั้งด้วยดินสอเนื้อนุ่มธรรมดา

เกี่ยวกับสิ่งนี้ สามเหลี่ยมเพนโรสปกติของเราพร้อมแล้ว และเราไปยังสามเหลี่ยมเดียวกัน

เราวาดรูปสามเหลี่ยมสามมิติ

ขั้นตอนที่ 1. เราแปล.

เราดำเนินการตามรูปแบบเดียวกันกับรูปแบบปกติ ฉันให้รูปสามเหลี่ยมสำเร็จรูปที่แปลเป็นรูปแบบ 3 มิติแล้ว เขาอยู่ที่นั่น

และคุณแปลมัน เราทำทุกอย่างในลักษณะเดียวกับการวาดภาพปกติ คุณนำแผ่นงานของคุณ พิงกับหน้าจอมอนิเตอร์ แผ่นงานส่องผ่าน และคุณเพียงแค่โอนภาพวาด 3 มิติที่เสร็จแล้วไปยังแผ่นงานของคุณ

นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้นกับฉัน

ขนาดของสามเหลี่ยมสามารถเพิ่มขึ้นหรือลดลงได้ ในการทำเช่นนี้ คุณเพียงแค่เปลี่ยนมาตราส่วนของจอภาพของคุณ กดปุ่ม Ctrl ค้างไว้แล้วหมุนวงล้อเมาส์ของคุณ

เราสามารถพูดได้อย่างปลอดภัยว่าการวาดภาพ 3 มิติของเราพร้อมแล้ว ฉันใช้เวลาประมาณ 3 นาทีในการทำ โดยหลักการแล้วเราสามารถทำให้เสร็จได้อย่างปลอดภัย แต่มาตกแต่งสามเหลี่ยมของเราอีกครั้ง

ยังเป็นที่รู้จักในชื่อ สามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้และ ชนเผ่า.

เรื่องราว

ตัวเลขนี้ได้รับความนิยมอย่างกว้างขวางหลังจากการตีพิมพ์บทความเกี่ยวกับตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้ใน British Journal of Psychology โดยนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ Roger Penrose ในปี 1958 ในบทความนี้ สามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ได้รับการอธิบายในรูปแบบทั่วไปมากที่สุด - in สามคานเชื่อมต่อกันเป็นมุมฉาก ได้รับอิทธิพลจากบทความนี้ จิตรกรชาวดัตช์ Maurits Escher ได้สร้างภาพพิมพ์หินน้ำตกที่มีชื่อเสียงแห่งหนึ่งของเขา

ประติมากรรม

ประติมากรรม 13 เมตรของรูปสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ที่ทำจากอลูมิเนียมถูกสร้างขึ้นในปี 2542 ในเมืองเพิร์ ธ (ออสเตรเลีย)

Deutsches Technikmuseum Berlin กุมภาพันธ์ 2008 0004.JPG

รูปปั้นเดียวกันเมื่อเปลี่ยนมุมมอง

ตัวเลขอื่นๆ

แม้ว่าจะค่อนข้างเป็นไปได้ที่จะสร้างแอนะล็อกของสามเหลี่ยมเพนโรสโดยใช้รูปหลายเหลี่ยมปกติ แต่เอฟเฟกต์ภาพนั้นไม่น่าประทับใจนัก เมื่อจำนวนด้านเพิ่มขึ้น วัตถุก็ดูเหมือนงอหรือบิดเบี้ยว

ดูสิ่งนี้ด้วย

• สามกระต่าย (อังกฤษ) สามกระต่าย )

เขียนรีวิวเกี่ยวกับบทความ "สามเหลี่ยมเพนโรส"

ข้อความที่ตัดตอนมาเกี่ยวกับลักษณะสามเหลี่ยมเพนโรส