Y - vector ng mga variable ng output, Y=t,

Ang Z ay ang vector ng mga panlabas na impluwensya, Z= t,

t - time coordinate.

Konstruksyon matematikal na modelo Binubuo ito sa pagtukoy ng mga koneksyon sa pagitan ng ilang partikular na proseso at phenomena, paglikha ng isang mathematical apparatus na nagpapahintulot sa isa na ipahayag sa quantitatively at qualitatively ang koneksyon sa pagitan ng ilang mga proseso at phenomena, sa pagitan ng pisikal na dami ng interes sa isang espesyalista, at mga salik na nakakaimpluwensya sa huling resulta.

Kadalasan ay napakarami sa kanila na imposibleng ipakilala ang kanilang buong hanay sa modelo. Kapag nagtatayo matematikal na modelo Bago ang pag-aaral, ang gawain ay lumitaw upang tukuyin at ibukod mula sa pagsasaalang-alang na mga kadahilanan na hindi makabuluhang nakakaapekto sa huling resulta ( matematikal na modelo karaniwang may kasamang mas maliit na bilang ng mga salik kaysa sa katotohanan). Batay sa pang-eksperimentong data, inilalagay ang mga hypotheses tungkol sa kaugnayan sa pagitan ng mga dami na nagpapahayag ng huling resulta at ang mga salik na ipinakilala sa matematikal na modelo. Ang ganitong koneksyon ay madalas na ipinahayag ng mga sistema ng kaugalian partial differential equation(halimbawa, sa mga problema ng mekanika ng mga solido, likido at gas, ang teorya ng pagsasala, thermal conductivity, ang teorya ng electrostatic at electrodynamic field).

Ang pangwakas na layunin ng yugtong ito ay ang pagbabalangkas ng isang problema sa matematika, ang solusyon kung saan, na may kinakailangang katumpakan, ay nagpapahayag ng mga resulta ng interes sa espesyalista.

Anyo at prinsipyo ng pagtatanghal matematikal na modelo depende sa maraming salik.

Ayon sa mga prinsipyo ng konstruksiyon mga modelo ng matematika nahahati sa:

1. analitikal;
2. panggagaya.

Sa analytical na mga modelo, ang mga proseso ng paggana ng mga tunay na bagay, proseso o sistema ay nakasulat sa anyo ng tahasang functional dependencies.

Ang analytical model ay nahahati sa mga uri depende sa matematikal na problema:

1. mga equation (algebraic, transendental, differential, integral),
2. mga problema sa pagtatantya (interpolation, extrapolation, pagsasama ng numero At pagkakaiba-iba),
3. mga problema sa pag-optimize,
4. mga problemang stochastic.

Gayunpaman, habang nagiging mas kumplikado ang object ng pagmomodelo, ang pagbuo ng isang analytical na modelo ay nagiging isang mahirap na problema. Pagkatapos ay napilitang gamitin ang mananaliksik kunwa.

SA pagmomolde ng simulation ang paggana ng mga bagay, proseso o sistema ay inilalarawan ng isang hanay ng mga algorithm. Ginagaya ng mga algorithm ang totoong elementarya na phenomena na bumubuo sa isang proseso o sistema habang pinapanatili ang mga ito lohikal na istraktura at ang pagkakasunod-sunod ng mga pangyayari sa paglipas ng panahon. Pagmomodelo ng simulation nagbibigay-daan sa iyo na makakuha ng impormasyon tungkol sa pinagmulang data estado ng proseso o mga sistema sa ilang partikular na oras, ngunit ang paghula sa gawi ng mga bagay, proseso o sistema ay mahirap dito. Masasabi na mga modelo ng simulation- ang mga ito ay isinasagawa sa isang computer mga eksperimento sa computational Sa mga modelo ng matematika, ginagaya ang pag-uugali ng mga tunay na bagay, proseso o system.

Depende sa likas na katangian ng mga tunay na proseso at sistemang pinag-aaralan mga modelo ng matematika ay maaaring maging:

1. deterministiko,
2. stochastic.

Sa mga deterministikong modelo, ipinapalagay na walang mga random na impluwensya, ang mga elemento ng modelo (mga variable, mga koneksyon sa matematika) ay medyo tumpak na naitatag, at ang pag-uugali ng system ay maaaring tumpak na matukoy. Kapag gumagawa ng mga deterministikong modelo, ang mga algebraic equation, integral equation, at matrix algebra ay kadalasang ginagamit.

Stochastic na modelo isinasaalang-alang ang random na katangian ng mga proseso sa mga bagay at sistemang pinag-aaralan, na inilalarawan ng mga pamamaraan ng probability theory at mathematical statistics.

Batay sa uri ng impormasyon sa pag-input, ang mga modelo ay nahahati sa:

1. tuloy-tuloy,
2. discrete.

Kung ang impormasyon at mga parameter ay tuluy-tuloy, at ang mga koneksyon sa matematika ay matatag, kung gayon ang modelo ay tuloy-tuloy. At kabaligtaran, kung ang impormasyon at mga parameter ay discrete, at ang mga koneksyon ay hindi matatag, kung gayon matematikal na modelo- discrete.

Batay sa pag-uugali ng mga modelo sa paglipas ng panahon, nahahati sila sa:

1. static,
2. pabago-bago.

Inilalarawan ng mga static na modelo ang pag-uugali ng isang bagay, proseso o sistema sa anumang punto ng oras. Sinasalamin ng mga dynamic na modelo ang pag-uugali ng isang bagay, proseso o system sa paglipas ng panahon.

Ayon sa antas ng pagsusulatan sa pagitan

Ayon sa aklat-aralin nina Sovetov at Yakovlev: "ang isang modelo (lat. modulus - sukat) ay isang kapalit na bagay para sa orihinal na bagay, na nagsisiguro sa pag-aaral ng ilang mga katangian ng orihinal." (p. 6) "Ang pagpapalit ng isang bagay sa isa pa upang makakuha ng impormasyon tungkol sa pinakamahalagang katangian ng orihinal na bagay gamit ang isang modelong bagay ay tinatawag na pagmomodelo." (p. 6) “Sa ilalim pagmomolde ng matematika mauunawaan natin ang proseso ng pagtatatag ng isang sulat sa isang naibigay na tunay na bagay na may isang tiyak na bagay sa matematika, na tinatawag na isang modelo ng matematika, at ang pag-aaral ng modelong ito, na nagpapahintulot sa amin na makuha ang mga katangian ng tunay na bagay na isinasaalang-alang. Ang uri ng mathematical model ay nakasalalay pareho sa likas na katangian ng tunay na bagay at ang mga gawain ng pag-aaral ng bagay at ang kinakailangang pagiging maaasahan at katumpakan ng paglutas ng problemang ito.

Panghuli, ang pinaka-maigsi na kahulugan ng isang modelo ng matematika: "Isang equation na nagpapahayag ng ideya."

Pag-uuri ng modelo

Pormal na pag-uuri ng mga modelo

Ang pormal na pag-uuri ng mga modelo ay batay sa pag-uuri ng ginamit mga kasangkapan sa matematika. Kadalasan ay itinayo sa anyo ng mga dichotomies. Halimbawa, isa sa mga sikat na hanay ng mga dichotomies:

at iba pa. Ang bawat itinayong modelo ay linear o nonlinear, deterministic o stochastic,... Naturally, halo-halong uri: sa isang aspeto puro (sa mga tuntunin ng mga parameter), sa isa pa - ipinamamahagi na mga modelo, atbp.

Pag-uuri ayon sa paraan na kinakatawan ang bagay

Kasama ang pormal na pag-uuri, ang mga modelo ay nagkakaiba sa paraan ng pagkatawan ng mga ito sa isang bagay:

• Mga istruktura o functional na modelo

Ang mga istrukturang modelo ay kumakatawan sa isang bagay bilang isang sistema na may sariling istraktura at mekanismo ng paggana. Ang mga functional na modelo ay hindi gumagamit ng gayong mga representasyon at nagpapakita lamang ng panlabas na nakikitang pag-uugali (paggana) ng isang bagay. Sa kanilang matinding pagpapahayag, tinatawag din silang mga modelong "black box." Posible rin ang mga pinagsamang uri ng mga modelo, na kung minsan ay tinatawag na "gray box" na mga modelo.

Nilalaman at pormal na mga modelo

Halos lahat ng mga may-akda na naglalarawan sa proseso ng pagmomolde ng matematika ay nagpapahiwatig na una ang isang espesyal na perpektong istraktura ay binuo, modelo ng nilalaman. Walang itinatag na terminolohiya dito, at tinatawag ng ibang mga may-akda ang perpektong bagay na ito konseptwal na modelo , speculative na modelo o premodel. Sa kasong ito, ang pangwakas na konstruksyon ng matematika ay tinatawag pormal na modelo o simpleng modelong matematikal na nakuha bilang resulta ng pormalisasyon ng isang ibinigay na makabuluhang modelo (pre-model). Ang pagtatayo ng isang makabuluhang modelo ay maaaring isagawa gamit ang isang hanay ng mga handa na mga ideyalisasyon, tulad ng sa mekanika, kung saan ang mga perpektong bukal, matibay na katawan, perpektong pendulum, nababanat na media, atbp. mga elemento ng istruktura para sa makabuluhang pagmomodelo. Gayunpaman, sa mga lugar ng kaalaman kung saan walang ganap na nakumpletong pormal na mga teorya (ang cutting edge ng physics, biology, economics, sociology, psychology, at karamihan sa iba pang mga lugar), ang paglikha ng mga makabuluhang modelo ay nagiging higit na mahirap.

Pag-uuri ng nilalaman ng mga modelo

Walang hypothesis sa agham ang mapapatunayan minsan at para sa lahat. Malinaw itong binalangkas ni Richard Feynman:

"Palagi kaming may pagkakataon na pabulaanan ang isang teorya, ngunit tandaan na hindi namin mapapatunayan na ito ay tama. Ipagpalagay natin na naglagay ka ng matagumpay na hypothesis, kinakalkula kung saan ito humahantong, at nalaman na ang lahat ng mga kahihinatnan nito ay nakumpirma sa eksperimentong paraan. Nangangahulugan ba ito na tama ang iyong teorya? Hindi, nangangahulugan lang ito na nabigo kang pabulaanan ito.”

Kung ang isang modelo ng unang uri ay binuo, ito ay nangangahulugan na ito ay pansamantalang kinikilala bilang katotohanan at ang isa ay maaaring tumutok sa iba pang mga problema. Gayunpaman, hindi ito maaaring maging punto sa pananaliksik, ngunit pansamantalang paghinto lamang: ang status ng isang modelo ng unang uri ay maaari lamang pansamantala.

Uri 2: Phenomenological na modelo (umasal kami na parang…)

Ang isang phenomenological model ay naglalaman ng isang mekanismo para sa paglalarawan ng isang phenomenon. Gayunpaman, ang mekanismong ito ay hindi sapat na nakakumbinsi, hindi sapat na makumpirma ng magagamit na data, o hindi angkop sa mga umiiral na teorya at naipon na kaalaman tungkol sa bagay. kaya lang mga modelong phenomenological magkaroon ng katayuan ng mga pansamantalang solusyon. Ito ay pinaniniwalaan na ang sagot ay hindi pa rin alam at ang paghahanap para sa "tunay na mekanismo" ay dapat magpatuloy. Kasama sa Peierls, halimbawa, ang caloric na modelo at ang quark na modelo ng elementarya na mga particle bilang pangalawang uri.

Ang papel ng modelo sa pananaliksik ay maaaring magbago sa paglipas ng panahon, at maaaring mangyari na ang mga bagong data at teorya ay nagpapatunay ng mga phenomenological na modelo at sila ay na-promote sa katayuan ng isang hypothesis. Gayundin, ang bagong kaalaman ay maaaring unti-unting sumalungat sa mga modelo-hypotheses ng unang uri, at maaari silang isalin sa pangalawa. Kaya, ang modelo ng quark ay unti-unting lumilipat sa kategorya ng mga hypotheses; Ang atomismo sa pisika ay lumitaw bilang isang pansamantalang solusyon, ngunit sa takbo ng kasaysayan ito ang naging unang uri. Ngunit ang mga modelo ng ether ay gumawa ng kanilang paraan mula sa uri 1 hanggang sa uri 2, at ngayon ay nasa labas ng agham.

Ang ideya ng pagpapasimple ay napakapopular kapag nagtatayo ng mga modelo. Ngunit ang pagpapasimple ay dumating sa iba't ibang anyo. Tinutukoy ni Peierls ang tatlong uri ng pagpapasimple sa pagmomodelo.

Uri 3: Pagtataya (itinuturing namin ang isang bagay na napakalaki o napakaliit)

Kung posible na bumuo ng mga equation na naglalarawan sa sistemang pinag-aaralan, hindi ito nangangahulugan na maaari silang malutas kahit na sa tulong ng isang computer. Ang isang karaniwang pamamaraan sa kasong ito ay ang paggamit ng mga pagtatantya (uri ng 3 mga modelo). Sa kanila mga linear na modelo ng pagtugon. Ang mga equation ay pinalitan ng mga linear. Ang isang karaniwang halimbawa ay ang batas ng Ohm.

Narito ang Uri 8, na laganap sa mga modelo ng matematika ng mga biological system.

Uri 8: Pagpapakita ng Tampok (ang pangunahing bagay ay upang ipakita ang panloob na pagkakapare-pareho ng posibilidad)

Ito rin ay mga eksperimento sa pag-iisip na may mga haka-haka na nilalang, na nagpapakita nito dapat na phenomenon pare-pareho sa mga pangunahing prinsipyo at panloob na pare-pareho. Ito ang pangunahing pagkakaiba mula sa mga modelo ng uri 7, na nagpapakita ng mga nakatagong kontradiksyon.

Ang isa sa pinakatanyag sa mga eksperimentong ito ay ang geometry ni Lobachevsky (tinawag ito ni Lobachevsky na "imaginary geometry"). Ang isa pang halimbawa ay ang mass production ng mga pormal na kinetic na modelo ng chemical at biological vibrations, autowaves, atbp. Ang Einstein-Podolsky-Rosen na kabalintunaan ay naisip bilang isang type 7 na modelo upang ipakita ang hindi pagkakapare-pareho ng quantum mechanics. Sa isang ganap na hindi planadong paraan, sa kalaunan ay naging isang type 8 na modelo - isang pagpapakita ng posibilidad ng quantum teleportation ng impormasyon.

Halimbawa

Isaalang-alang ang isang mekanikal na sistema na binubuo ng isang spring na nakakabit sa isang dulo at isang masa ng masa m nakakabit sa libreng dulo ng tagsibol. Ipagpalagay namin na ang pagkarga ay maaari lamang lumipat sa direksyon ng spring axis (halimbawa, ang paggalaw ay nangyayari sa kahabaan ng baras). Bumuo tayo ng mathematical model ng system na ito. Ilalarawan namin ang estado ng system sa pamamagitan ng distansya x mula sa gitna ng load hanggang sa ekwilibriyong posisyon nito. Ilarawan natin ang interaksyon ng spring at ang load gamit Batas ni Hooke (F = − kx ) at pagkatapos ay gamitin ang pangalawang batas ni Newton upang ipahayag ito sa anyo ng isang differential equation:

kung saan ang ibig sabihin ay ang pangalawang derivative ng x sa oras: .

Ang resultang equation ay naglalarawan ng mathematical model ng itinuturing na pisikal na sistema. Ang modelong ito ay tinatawag na "harmonic oscillator".

Ayon sa pormal na pag-uuri, ang modelong ito ay linear, deterministic, dynamic, concentrated, tuluy-tuloy. Sa proseso ng pagtatayo nito, gumawa kami ng maraming pagpapalagay (tungkol sa kawalan panlabas na pwersa, kawalan ng alitan, maliliit na paglihis, atbp.), na sa katotohanan ay maaaring hindi matupad.

Kaugnay ng katotohanan, ito ay kadalasang isang uri ng 4 na modelo pagpapasimple("aalisin namin ang ilang mga detalye para sa kalinawan"), dahil ang ilang mahahalagang pangkalahatang tampok (halimbawa, pagwawaldas) ay tinanggal. Sa ilang pagtatantya (sabihin, habang ang paglihis ng load mula sa equilibrium ay maliit, na may mababang friction, para sa hindi masyadong maraming oras at napapailalim sa ilang iba pang mga kundisyon), ang gayong modelo ay naglalarawan ng isang tunay na mekanikal na sistema, dahil ang mga itinapon na mga kadahilanan ay may. isang hindi gaanong epekto sa pag-uugali nito. Gayunpaman, ang modelo ay maaaring pinuhin sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa ilan sa mga salik na ito. Ito ay hahantong sa isang bagong modelo, na may mas malawak (bagama't muli ay limitado) na saklaw ng pagkakalapat.

Gayunpaman, kapag pinipino ang modelo, ang pagiging kumplikado ng mathematical na pananaliksik nito ay maaaring tumaas nang malaki at gawing halos walang silbi ang modelo. Kadalasan, ang isang mas simpleng modelo ay nagbibigay-daan para sa mas mahusay at mas malalim na paggalugad ng isang tunay na sistema kaysa sa isang mas kumplikado (at, pormal na, "mas tama").

Kung ilalapat natin ang modelo ng harmonic oscillator sa mga bagay na malayo sa physics, maaaring iba ang substantive status nito. Halimbawa, kapag inilalapat ang modelong ito sa mga biyolohikal na populasyon, malamang na maiuri ito bilang uri 6 pagkakatulad("isaalang-alang lamang natin ang ilang mga tampok").

Matigas at malambot na mga modelo

Ang harmonic oscillator ay isang halimbawa ng tinatawag na "hard" na modelo. Ito ay nakuha bilang isang resulta ng isang malakas na idealization ng isang tunay na pisikal na sistema. Upang malutas ang isyu ng pagiging angkop nito, kailangang maunawaan kung gaano kahalaga ang mga salik na napabayaan natin. Sa madaling salita, kinakailangang pag-aralan ang "malambot" na modelo, na nakuha sa pamamagitan ng isang maliit na kaguluhan ng "matigas" na isa. Maaari itong ibigay, halimbawa, sa pamamagitan ng sumusunod na equation:

Narito ang ilang function na maaaring isaalang-alang ang friction force o ang dependence ng spring stiffness coefficient sa antas ng pag-stretch nito - ilang maliit na parameter. Ang tahasang function na form f kami sa sa sandaling ito Hindi interesado. Kung patunayan natin na ang pag-uugali ng malambot na modelo ay hindi pangunahing naiiba sa pag-uugali ng matigas na isa (anuman ang tahasang uri ng mga nakababagabag na salik, kung ang mga ito ay sapat na maliit), ang problema ay mababawasan sa pag-aaral ng mahirap na modelo. Kung hindi, ang aplikasyon ng mga resulta na nakuha mula sa pag-aaral ng matibay na modelo ay mangangailangan ng karagdagang pananaliksik. Halimbawa, ang solusyon sa equation ng isang harmonic oscillator ay mga function ng form , iyon ay, mga oscillations na may pare-pareho ang amplitude. Sinusundan ba ito mula dito na ang isang tunay na osileytor ay mag-oscilllate nang walang katiyakan na may palaging amplitude? Hindi, dahil isinasaalang-alang ang isang sistema na may arbitraryong maliit na alitan (palaging naroroon sa isang tunay na sistema), nakakakuha tayo ng mga damped oscillations. Ang pag-uugali ng sistema ay nagbago nang husay.

Kung ang isang sistema ay nagpapanatili ng kanyang husay na pag-uugali sa ilalim ng maliliit na kaguluhan, ito ay sinasabing matatag sa istruktura. Ang isang harmonic oscillator ay isang halimbawa ng isang hindi matatag na sistema (hindi magaspang) na istruktura. Gayunpaman, ang modelong ito ay maaaring gamitin upang pag-aralan ang mga proseso sa mga limitadong yugto ng panahon.

Versatility ng mga modelo

Karaniwang mayroon ang pinakamahalagang modelo ng matematika mahalagang ari-arian versatility: Ang pangunahing magkakaibang totoong phenomena ay maaaring ilarawan ng parehong modelo ng matematika. Halimbawa, inilalarawan ng isang harmonic oscillator hindi lamang ang pag-uugali ng isang load sa isang spring, kundi pati na rin ang iba pang mga proseso ng oscillatory, kadalasan ng isang ganap na naiibang kalikasan: maliit na oscillations ng isang pendulum, mga pagbabago sa antas ng isang likido sa U-hugis na sisidlan o pagbabago sa kasalukuyang lakas sa isang oscillatory circuit. Kaya, sa pamamagitan ng pag-aaral ng isang modelo ng matematika, agad naming pinag-aaralan ang isang buong klase ng mga phenomena na inilarawan nito. Ito ang isomorphism ng mga batas na ipinahayag ng mga modelo ng matematika sa iba't ibang bahagi ng kaalamang siyentipiko na nagbigay inspirasyon kay Ludwig von Bertalanffy na lumikha ng "General Theory of Systems".

Direkta at kabaligtaran na mga problema ng pagmomolde ng matematika

Maraming mga problema na nauugnay sa pagmomodelo ng matematika. Una, kailangan mong makabuo ng isang pangunahing diagram ng modelong bagay, kopyahin ito sa loob ng balangkas ng mga ideyalisasyon ng agham na ito. Kaya, ang isang kotse ng tren ay nagiging isang sistema ng mga plato at mas kumplikadong mga katawan mula sa iba't ibang mga materyales, ang bawat materyal ay tinukoy bilang karaniwang mekanikal na idealization nito (density, elastic moduli, standard na mga katangian ng lakas), pagkatapos kung saan ang mga equation ay iginuhit, at kasama ang paraan. ang ilang mga detalye ay itinatapon bilang hindi mahalaga , ang mga kalkulasyon ay ginawa, kumpara sa mga sukat, ang modelo ay pino, at iba pa. Gayunpaman, upang bumuo ng mga teknolohiya sa pagmomodelo ng matematika, kapaki-pakinabang na i-disassemble ang prosesong ito sa mga pangunahing bahagi nito.

Ayon sa kaugalian, mayroong dalawang pangunahing klase ng mga problema na nauugnay sa mga modelo ng matematika: direkta at kabaligtaran.

Direktang gawain: ang istraktura ng modelo at lahat ng mga parameter nito ay itinuturing na kilala, ang pangunahing gawain ay pag-aralan ang modelo upang kunin kapaki-pakinabang na kaalaman tungkol sa bagay. Anong static load ang matitiis ng tulay? Ano ang magiging reaksyon nito sa isang dinamikong pagkarga (halimbawa, sa martsa ng isang kumpanya ng mga sundalo, o sa pagpasa ng isang tren sa iba't ibang bilis), paano malalampasan ang eroplano harang sa tunog kung ito ay babagsak sa flutter - ito ay karaniwang mga halimbawa ng isang direktang problema. Ang pagtatakda ng tamang direktang problema (pagtatanong ng tamang tanong) ay nangangailangan ng espesyal na kasanayan. Kung hindi tatanungin ang mga tamang tanong, maaaring gumuho ang isang tulay, kahit na nakagawa na ng magandang modelo para sa pag-uugali nito. Kaya, noong 1879, isang metal na tulay sa kabila ng River Tay ang gumuho sa Inglatera, ang mga taga-disenyo kung saan nagtayo ng isang modelo ng tulay, kinakalkula ito upang magkaroon ng 20-tiklop na kadahilanan sa kaligtasan para sa pagkilos ng kargamento, ngunit nakalimutan ang tungkol sa hangin na patuloy. umiihip sa mga lugar na iyon. At pagkatapos ng isang taon at kalahati ay bumagsak ito.

Sa pinakasimpleng kaso (isang oscillator equation, halimbawa), ang direktang problema ay napakasimple at bumababa sa isang tahasang solusyon ng equation na ito.

Baliktad na problema: maraming posibleng mga modelo ang kilala, ang isang partikular na modelo ay dapat mapili batay sa karagdagang data tungkol sa bagay. Kadalasan, ang istraktura ng modelo ay kilala, at ang ilang hindi kilalang mga parameter ay kailangang matukoy. Ang karagdagang impormasyon ay maaaring binubuo ng karagdagang empirical na data, o mga kinakailangan para sa bagay ( problema sa disenyo). Maaaring dumating ang karagdagang data anuman ang proseso ng paglutas ng kabaligtaran na problema ( pasibong pagmamasid) o maging resulta ng isang eksperimento na espesyal na binalak sa panahon ng solusyon ( aktibong pagsubaybay).

Isa sa mga unang halimbawa ng isang mahusay na solusyon sa isang baligtad na problema na may ganap na paggamit ng magagamit na data ay ang paraan na binuo ni I. Newton para sa muling pagtatayo ng mga puwersa ng friction mula sa naobserbahang damped oscillations.

Karagdagang mga halimbawa

saan x s- ang laki ng populasyon ng "equilibrium", kung saan ang rate ng kapanganakan ay eksaktong binabayaran ng rate ng pagkamatay. Ang laki ng populasyon sa naturang modelo ay may posibilidad sa isang equilibrium na halaga x s, at ang pag-uugaling ito ay matatag sa istruktura.

Ang sistemang ito ay may equilibrium state kapag pare-pareho ang bilang ng mga rabbits at fox. Ang paglihis mula sa estadong ito ay nagreresulta sa mga pagbabago sa mga bilang ng mga kuneho at mga fox, katulad ng mga pagbabago ng isang harmonic oscillator. Tulad ng harmonic oscillator, ang pag-uugali na ito ay hindi matatag sa istruktura: ang isang maliit na pagbabago sa modelo (halimbawa, isinasaalang-alang ang limitadong mapagkukunan na kinakailangan ng mga kuneho) ay maaaring humantong sa isang pagbabago sa husay sa pag-uugali. Halimbawa, ang estado ng balanse ay maaaring maging matatag, at ang mga pagbabago sa mga numero ay mawawala. Posible rin ang kabaligtaran na sitwasyon, kapag ang anumang maliit na paglihis mula sa posisyon ng ekwilibriyo ay hahantong sa mga sakuna na kahihinatnan, hanggang sa kumpletong pagkalipol ng isa sa mga species. Hindi sinasagot ng modelong Volterra-Lotka ang tanong kung alin sa mga senaryo na ito ang naisasakatuparan: kailangan ng karagdagang pananaliksik dito.

Mga Tala

1. "Isang mathematical na representasyon ng katotohanan" (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I. B., Sa mga isyung pilosopikal ng cybernetic modeling. M., Kaalaman, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Pagmomodelo ng mga system: Proc. para sa mga unibersidad - 3rd ed., binago. at karagdagang - M.: Mas mataas. paaralan, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A., Mikhailov A. P. Pagmomodelo sa matematika. Mga ideya. Paraan. Mga halimbawa. . - 2nd ed., binago. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A. D., Mga elemento ng teorya ng mga modelo ng matematika. - 3rd ed., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 na may ISBN 978-5-484-00953-4
6. Wiktionary: modelo ng matematika
7. CliffsNotes
8. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
9. "Ang isang teorya ay itinuturing na linear o nonlinear depende sa kung anong uri ng mathematical apparatus - linear o nonlinear - at kung anong uri ng linear o nonlinear mathematical na modelo ang ginagamit nito. ...nang hindi tinatanggihan ang huli. Ang isang modernong pisiko, kung kailangan niyang muling likhain ang kahulugan ng isang mahalagang entidad bilang nonlinearity, ay malamang na kumilos nang iba, at, na nagbibigay ng kagustuhan sa nonlinearity bilang mas mahalaga at laganap sa dalawang magkasalungat, ay tutukuyin ang linearity bilang "hindi nonlinearity.” Danilov Yu. A., Mga lektura sa nonlinear dynamics. Panimula sa elementarya. Serye "Synergetics: mula sa nakaraan hanggang sa hinaharap." Edisyon 2. - M.: URSS, 2006. - 208 p. ISBN 5-484-00183-8
10. "Ang mga dynamic na sistema na na-modelo ng isang may hangganang bilang ng mga ordinaryong differential equation ay tinatawag na concentrated o point system. Ang mga ito ay inilarawan gamit ang isang may hangganan-dimensional na bahagi ng espasyo at nailalarawan sa pamamagitan ng isang may hangganang bilang ng mga antas ng kalayaan. Ang parehong sistema sa ilalim ng iba't ibang mga kondisyon ay maaaring ituring na puro o distributed. Ang mga modelo ng matematika ng mga distributed system ay mga partial differential equation, integral equation, o ordinaryong delay equation. Ang bilang ng mga antas ng kalayaan ng isang distributed system ay walang hanggan, at isang walang katapusang bilang ng data ang kinakailangan upang matukoy ang estado nito." Anishchenko V. S., Dynamic na sistema, Soros educational journal, 1997, No. 11, p. 77-84.
11. "Depende sa likas na katangian ng mga prosesong pinag-aaralan sa system S, lahat ng uri ng pagmomodelo ay maaaring hatiin sa deterministic at stochastic, static at dynamic, discrete, continuous at discrete-continuous. Ang deterministic modeling ay sumasalamin sa mga deterministikong proseso, iyon ay, mga proseso kung saan ang kawalan ng anumang random na impluwensya ay ipinapalagay; Ang stochastic modeling ay naglalarawan ng mga probabilistikong proseso at kaganapan. ... Ang static na pagmomodelo ay nagsisilbing ilarawan ang pag-uugali ng isang bagay sa anumang punto ng oras, at ang dynamic na pagmomodelo ay nagpapakita ng pag-uugali ng isang bagay sa paglipas ng panahon. Ginagamit ang discrete modeling upang ilarawan ang mga prosesong ipinapalagay na discrete, ayon sa pagkakabanggit, ang tuluy-tuloy na pagmomodelo ay nagbibigay-daan sa amin na ipakita ang tuluy-tuloy na mga proseso sa mga system, at ang discrete-continuous modeling ay ginagamit para sa mga kaso kung kailan gusto nilang i-highlight ang pagkakaroon ng parehong discrete at tuloy-tuloy na mga proseso. ” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Pagmomodelo ng mga system: Proc. para sa mga unibersidad - 3rd ed., binago. at karagdagang - M.: Mas mataas. paaralan, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
12. Karaniwan, ang isang matematikal na modelo ay sumasalamin sa istruktura (aparato) ng modelong bagay, ang mga katangian at relasyon ng mga bahagi ng bagay na ito na mahalaga para sa mga layunin ng pananaliksik; ang ganitong modelo ay tinatawag na istruktura. Kung ang modelo ay sumasalamin lamang kung paano gumagana ang bagay - halimbawa, kung paano ito tumutugon sa mga panlabas na impluwensya - kung gayon ito ay tinatawag na functional o, sa makasagisag na paraan, isang itim na kahon. Posible rin ang mga pinagsamang modelo. Myshkis A. D., Mga elemento ng teorya mga modelo ng matematika. - 3rd ed., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 na may ISBN 978-5-484-00953-4
13. "Ang malinaw, ngunit pinakamahalagang paunang yugto ng pagbuo o pagpili ng isang modelo ng matematika ay ang pagkuha ng malinaw na larawan hangga't maaari tungkol sa bagay na ginagaya at pagpino sa makabuluhang modelo nito, batay sa mga impormal na talakayan. Hindi ka dapat maglaan ng oras at pagsisikap sa yugtong ito; ang tagumpay ng buong pag-aaral ay higit na nakasalalay dito. Nangyari ito nang higit sa isang beses na ang makabuluhang gawaing ginugol sa paglutas ng isang problema sa matematika ay naging hindi epektibo o nasayang pa nga dahil sa hindi sapat na atensyon sa bahaging ito ng usapin.” Myshkis A. D., Mga elemento ng teorya ng mga modelo ng matematika. - 3rd ed., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 na may ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
14. « Paglalarawan ng konseptwal na modelo ng system. Sa substage na ito ng pagbuo ng system model: a) ang konseptwal na modelo M ay inilalarawan sa abstract na mga termino at konsepto; b) isang paglalarawan ng modelo ay ibinibigay gamit ang mga karaniwang mathematical scheme; c) ang mga hypotheses at pagpapalagay ay sa wakas ay tinatanggap; d) ang pagpili ng pamamaraan para sa pagtatantya ng mga tunay na proseso kapag ang pagbuo ng isang modelo ay makatwiran." Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Pagmomodelo ng mga system: Proc. para sa mga unibersidad - 3rd ed., binago. at karagdagang - M.: Mas mataas. paaralan, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2, p. 93.

Ang konsepto ng modelo at simulation.

Modelo sa malawak na kahulugan- ito ay anumang imahe, mental analogue o itinatag na imahe, paglalarawan, diagram, drawing, mapa, atbp. ng anumang volume, proseso o phenomenon, na ginamit bilang kapalit o kinatawan nito. Ang bagay, proseso o phenomenon mismo ay tinatawag na orihinal ng modelong ito.

Pagmomodelo - ito ay ang pag-aaral ng anumang bagay o sistema ng mga bagay sa pamamagitan ng pagbuo at pag-aaral ng kanilang mga modelo. Ito ay ang paggamit ng mga modelo upang matukoy o linawin ang mga katangian at bigyang-katwiran ang mga pamamaraan ng pagbuo ng mga bagong gawang bagay.

Ang anumang paraan ng siyentipikong pananaliksik ay batay sa ideya ng pagmomodelo, habang ang mga teoretikal na pamamaraan ay gumagamit ng iba't ibang uri ng simbolikong, abstract na mga modelo, at mga eksperimentong pamamaraan ay gumagamit ng mga modelo ng paksa.

Sa panahon ng pananaliksik, ang isang kumplikadong tunay na kababalaghan ay pinapalitan ng ilang pinasimpleng kopya o diagram; kung minsan ang gayong kopya ay nagsisilbi lamang upang matandaan at makilala ang nais na kababalaghan sa susunod na pagpupulong. Minsan ang itinayong diagram ay sumasalamin sa ilang mahahalagang katangian, nagbibigay-daan sa isa na maunawaan ang mekanismo ng isang kababalaghan, at ginagawang posible na mahulaan ang pagbabago nito. Ang iba't ibang mga modelo ay maaaring tumutugma sa parehong kababalaghan.

Ang gawain ng mananaliksik ay hulaan ang likas na katangian ng kababalaghan at ang takbo ng proseso.

Minsan, nangyayari na ang isang bagay ay magagamit, ngunit ang mga eksperimento dito ay mahal o humantong sa malubhang kahihinatnan sa kapaligiran. Ang kaalaman tungkol sa mga naturang proseso ay nakukuha gamit ang mga modelo.

Ang isang mahalagang punto ay ang mismong kalikasan ng agham ay nagsasangkot ng pag-aaral ng higit sa isa tiyak na kababalaghan, ngunit isang malawak na uri ng mga kaugnay na phenomena. Ipinapalagay nito ang pangangailangang bumalangkas ng ilang pangkalahatang kategoryang pahayag, na tinatawag na mga batas. Naturally, sa gayong pormulasyon maraming mga detalye ang napapabayaan. Upang mas malinaw na makilala ang isang pattern, sinasadya nilang pumunta para sa coarsening, idealization, at sketchiness, iyon ay, hindi nila pinag-aaralan ang phenomenon mismo, ngunit isang mas o hindi gaanong tumpak na kopya o modelo nito. Ang lahat ng mga batas ay mga batas tungkol sa mga modelo, at samakatuwid ay hindi nakakagulat na sa paglipas ng panahon ang ilan mga teoryang siyentipiko ay itinuturing na hindi angkop. Hindi ito humahantong sa pagbagsak ng agham, dahil ang isang modelo ay pinalitan ng isa pa mas makabago.

Ang mga modelo ng matematika ay may espesyal na papel sa agham. materyales sa pagtatayo at ang mga kasangkapan ng mga modelong ito ay mga konseptong matematikal. Sila ay naipon at napabuti sa loob ng libu-libong taon. Ang modernong matematika ay nagbibigay ng napakalakas at unibersal na paraan ng pananaliksik. Halos bawat konsepto sa matematika, bawat bagay sa matematika, simula sa konsepto ng numero, ay isang modelo ng matematika. Kapag gumagawa ng isang modelo ng matematika ng bagay o kababalaghan na pinag-aaralan, ang mga tampok, tampok at detalye nito ay natukoy na, sa isang banda, ay naglalaman ng higit pa o hindi gaanong kumpletong impormasyon tungkol sa bagay, at sa kabilang banda, pinapayagan ang pagpormal ng matematika. Ang mathematical formalization ay nangangahulugan na ang mga tampok at detalye ng isang bagay ay maaaring iugnay sa angkop na sapat na matematikal na mga konsepto: mga numero, function, matrice, at iba pa. Pagkatapos ang mga koneksyon at relasyon ay natuklasan at ipinapalagay sa bagay na pinag-aaralan sa pagitan ng mga indibidwal na detalye nito at mga bahagi maaaring isulat gamit ang mga ugnayang matematikal: pagkakapantay-pantay, hindi pagkakapantay-pantay, mga equation. Ang resulta ay isang mathematical na paglalarawan ng proseso o phenomenon na pinag-aaralan, iyon ay, ang mathematical model nito.

Ang pag-aaral ng isang modelo ng matematika ay palaging nauugnay sa ilang mga patakaran ng pagkilos sa mga bagay na pinag-aaralan. Ang mga panuntunang ito ay sumasalamin sa mga ugnayan sa pagitan ng mga sanhi at epekto.

Ang pagbuo ng isang modelo ng matematika ay ang sentral na yugto ng pananaliksik o disenyo ng anumang sistema. Ang lahat ng kasunod na pagsusuri ng bagay ay nakasalalay sa kalidad ng modelo. Ang pagbuo ng isang modelo ay hindi isang pormal na pamamaraan. Ito ay lubos na nakadepende sa mananaliksik, sa kanyang karanasan at panlasa, at palaging nakabatay sa ilang eksperimentong materyal. Ang modelo ay dapat na sapat na tumpak, sapat at maginhawang gamitin.

Pagmomodelo sa matematika.

Pag-uuri ng mga modelo ng matematika.

Ang mga modelo ng matematika ay maaaringdeterministiko At stochastic .

Magpasya modelo at mga modelo kung saan ang isang isa-sa-isang pagsusulatan ay itinatag sa pagitan ng mga variable na naglalarawan ng isang bagay o phenomenon.

Ang diskarte na ito ay batay sa kaalaman sa mekanismo ng paggana ng mga bagay. Kadalasan ang bagay na na-modelo ay kumplikado at ang pag-decipher ng mekanismo nito ay maaaring maging napakahirap sa paggawa at pag-ubos ng oras. Sa kasong ito, nagpapatuloy sila bilang mga sumusunod: nagsasagawa sila ng mga eksperimento sa orihinal, pinoproseso ang mga resulta na nakuha at, nang hindi sinasaliksik ang mekanismo at teorya ng modelong bagay gamit ang mga pamamaraan ng matematikal na istatistika at teorya ng posibilidad, nagtatatag ng mga koneksyon sa pagitan ng mga variable na naglalarawan ang bagay. Sa kasong ito makakakuha kastochastic modelo . SA stochastic modelo, ang relasyon sa pagitan ng mga variable ay random, kung minsan ito ay pangunahing. Ang impluwensya ng isang malaking bilang ng mga kadahilanan, ang kanilang kumbinasyon ay humahantong sa isang random na hanay ng mga variable na naglalarawan ng isang bagay o kababalaghan. Ayon sa likas na katangian ng mga mode, ang modelo ayistatistika At pabago-bago.

Istatistikamodelomay kasamang paglalarawan ng mga ugnayan sa pagitan ng mga pangunahing variable ng namodelong bagay sa isang steady state nang hindi isinasaalang-alang ang mga pagbabago sa mga parameter sa paglipas ng panahon.

SA pabago-bagomga modeloang mga ugnayan sa pagitan ng mga pangunahing variable ng modelong bagay sa panahon ng paglipat mula sa isang mode patungo sa isa pa ay inilarawan.

May mga modelo discrete At tuloy-tuloy, at magkakahalo uri. SA tuloy-tuloy ang mga variable ay kumukuha ng mga halaga mula sa isang tiyak na agwat, sadiscreteang mga variable ay kumukuha ng mga nakahiwalay na halaga.

Mga linear na modelo- lahat ng mga function at relasyon na naglalarawan sa modelo ay linearly depende sa mga variable athindi linearkung hindi.

Pagmomodelo sa matematika.

Mga kinakailangan ,p iniharap sa mga modelo.

1. Kagalingan sa maraming bagay- nailalarawan ang pagkakumpleto ng representasyon ng modelo ng mga pinag-aralan na katangian ng isang tunay na bagay.

1. Ang kasapatan ay ang kakayahang ipakita ang mga nais na katangian ng isang bagay na may error na hindi mas mataas kaysa sa isang ibinigay.
2. Ang katumpakan ay tinasa ng antas ng kasunduan sa pagitan ng mga halaga ng mga katangian ng isang tunay na bagay at ang mga halaga ng mga katangiang ito na nakuha gamit ang mga modelo.
3. Matipid - tinutukoy ng paggasta ng mga mapagkukunan ng memorya ng computer at oras para sa pagpapatupad at pagpapatakbo nito.

Pagmomodelo sa matematika.

Mga pangunahing yugto ng pagmomodelo.

1. Paglalahad ng suliranin.

Pagtukoy sa layunin ng pagsusuri at ang paraan upang makamit at mapaunlad ito karaniwang diskarte sa suliraning pinag-aaralan. Sa yugtong ito, kinakailangan ang malalim na pag-unawa sa kakanyahan ng gawain. Minsan, ang pagtatakda ng isang problema nang tama ay hindi mas mahirap kaysa sa paglutas nito. Ang pagtatanghal ay hindi isang pormal na proseso, pangkalahatang tuntunin Hindi.

2. Pag-aaral ng mga teoretikal na pundasyon at pagkolekta ng impormasyon tungkol sa orihinal na bagay.

Sa yugtong ito, pinipili o binuo ang isang angkop na teorya. Kung wala ito, ang sanhi-at-bunga na mga relasyon ay itinatag sa pagitan ng mga variable na naglalarawan sa bagay. Tinutukoy ang data ng input at output, at ginagawa ang pagpapasimple ng mga pagpapalagay.

3. Pormalisasyon.

Binubuo ito sa pagpili ng isang sistema ng mga simbolo at paggamit ng mga ito upang isulat ang mga ugnayan sa pagitan ng mga bahagi ng bagay sa anyo. mga pagpapahayag ng matematika. Ang klase ng mga problema kung saan ang resultang mathematical model ng object ay maaaring ma-classify. Ang mga halaga ng ilang mga parameter ay maaaring hindi pa tinukoy sa yugtong ito.

4. Pagpili ng paraan ng solusyon.

Sa yugtong ito, ang mga huling parameter ng mga modelo ay itinatag na isinasaalang-alang ang mga kondisyon ng pagpapatakbo ng bagay. Para sa nagresultang problema sa matematika, isang paraan ng solusyon ang pinili o binuo espesyal na pamamaraan. Kapag pumipili ng isang paraan, ang kaalaman ng gumagamit, ang kanyang mga kagustuhan, at ang mga kagustuhan ng developer ay isinasaalang-alang.

5. Pagpapatupad ng modelo.

Ang pagkakaroon ng pagbuo ng isang algorithm, ang isang programa ay nakasulat, na kung saan ay na-debug, nasubok, at isang solusyon sa nais na problema ay nakuha.

6. Pagsusuri ng impormasyong natanggap.

Ang nakuha at inaasahang solusyon ay inihahambing, at ang error sa pagmomodelo ay sinusubaybayan.

7. Sinusuri ang kasapatan ng tunay na bagay.

Ang mga resulta na nakuha mula sa modelo ay inihambingalinman sa magagamit na impormasyon tungkol sa bagay, o isang eksperimento ang isinasagawa at ang mga resulta nito ay inihambing sa mga kinakalkula.

Ang proseso ng pagmomolde ay umuulit. Sa kaso ng hindi kasiya-siyang resulta ng mga yugto 6. o 7. ang isang pagbabalik ay ginawa sa isa sa mga naunang yugto, na maaaring humantong sa pagbuo ng isang hindi matagumpay na modelo. Ang yugtong ito at ang lahat ng kasunod ay pinino at ang gayong pagpipino ng modelo ay nangyayari hanggang sa makuha ang mga katanggap-tanggap na resulta.

Ang isang modelo ng matematika ay isang tinatayang paglalarawan ng anumang klase ng mga phenomena o mga bagay ng totoong mundo sa wika ng matematika. Ang pangunahing layunin ng pagmomodelo ay upang galugarin ang mga bagay na ito at hulaan ang mga resulta ng mga obserbasyon sa hinaharap. Gayunpaman, ang pagmomodelo ay isa ring paraan ng pag-unawa sa mundo sa paligid natin, na ginagawang posible na kontrolin ito.

Ang pagmomodelo ng matematika at ang nauugnay na eksperimento sa computer ay kailangang-kailangan sa mga kaso kung saan imposible o mahirap ang isang buong sukat na eksperimento para sa isang kadahilanan o iba pa. Halimbawa, imposibleng mag-set up ng natural na eksperimento sa kasaysayan upang suriin ang "kung ano ang mangyayari kung..." Imposibleng suriin ang kawastuhan ng isa o isa pang teorya ng kosmolohiya. Posible sa prinsipyo, ngunit halos hindi makatwiran, na mag-eksperimento sa pagkalat ng isang sakit, tulad ng salot, o magsagawa ng pagsabog ng nuklear upang pag-aralan ang mga kahihinatnan nito. Gayunpaman, ang lahat ng ito ay maaaring gawin sa isang computer sa pamamagitan ng unang pagbuo ng mga modelo ng matematika ng mga phenomena na pinag-aaralan.

1.1.2 2. Mga pangunahing yugto ng pagmomolde ng matematika

1) Pagbuo ng modelo. Sa yugtong ito, ang ilang bagay na "di-matematika" ay tinukoy - isang natural na kababalaghan, disenyo, plano sa ekonomiya, proseso ng pagmamanupaktura atbp. Sa kasong ito, bilang isang panuntunan, ang isang malinaw na paglalarawan ng sitwasyon ay mahirap. Una, ang mga pangunahing tampok ng kababalaghan at ang mga koneksyon sa pagitan ng mga ito sa isang antas ng husay ay nakilala. Pagkatapos ang nahanap na qualitative dependencies ay binuo sa wika ng matematika, iyon ay, isang mathematical model ang binuo. Ito ang pinakamahirap na yugto ng pagmomodelo.

2) Paglutas ng problemang pangmatematika kung saan pinangungunahan ng modelo. Sa yugtong ito, maraming pansin ang binabayaran sa pagbuo ng mga algorithm at numerical na pamamaraan para sa paglutas ng problema sa isang computer, sa tulong kung saan ang resulta ay matatagpuan sa kinakailangang katumpakan at sa loob ng isang katanggap-tanggap na oras.

3) Interpretasyon ng mga nakuhang kahihinatnan mula sa mathematical model.Ang mga kahihinatnan na nagmula sa modelo sa wika ng matematika ay binibigyang kahulugan sa wikang tinatanggap sa larangan.

4) Sinusuri ang kasapatan ng modelo.Sa yugtong ito, natutukoy kung ang mga eksperimentong resulta ay sumasang-ayon sa mga teoretikal na kahihinatnan ng modelo sa loob ng isang tiyak na katumpakan.

5) Pagbabago ng modelo.Sa yugtong ito, alinman sa modelo ay kumplikado upang ito ay mas sapat sa katotohanan, o ito ay pinasimple upang makamit ang isang praktikal na katanggap-tanggap na solusyon.

1.1.3 3. Pag-uuri ng modelo

Maaaring uriin ang mga modelo ayon sa iba't ibang pamantayan. Halimbawa, ayon sa likas na katangian ng mga problemang nilulutas, ang mga modelo ay maaaring nahahati sa functional at structural. Sa unang kaso, ang lahat ng mga dami na nagpapakilala sa isang kababalaghan o bagay ay ipinahayag sa dami. Bukod dito, ang ilan sa mga ito ay itinuturing na mga independiyenteng variable, habang ang iba ay itinuturing na mga function ng mga dami na ito. Ang modelo ng matematika ay karaniwang isang sistema ng mga equation iba't ibang uri(differential, algebraic, atbp.), na nagtatatag ng mga quantitative na relasyon sa pagitan ng mga dami na isinasaalang-alang. Sa pangalawang kaso, ang modelo ay nagpapakilala sa istraktura ng isang kumplikadong bagay na binubuo ng mga indibidwal na bahagi, sa pagitan ng kung saan mayroong ilang mga koneksyon. Karaniwan, ang mga koneksyon na ito ay hindi nasusukat. Upang makabuo ng gayong mga modelo, maginhawang gumamit ng teorya ng graph. Ang graph ay isang mathematical object na kumakatawan sa isang set ng mga punto (vertices) sa isang eroplano o sa kalawakan, na ang ilan ay konektado sa pamamagitan ng mga linya (mga gilid).

Batay sa likas na katangian ng paunang data at mga resulta, ang mga modelo ng hula ay maaaring hatiin sa deterministic at probabilistic-statistical. Ang mga modelo ng unang uri ay gumagawa ng tiyak, hindi malabo na mga hula. Ang mga modelo ng pangalawang uri ay batay sa istatistikal na impormasyon, at ang mga hula na nakuha sa kanilang tulong ay probabilistic sa kalikasan.

MATHEMATICAL MODELING AT PANGKALAHATANG COMPUTERIZATION O SIMULATION MODELS

Ngayon, kapag ang halos unibersal na computerization ay nagaganap sa bansa, naririnig namin ang mga pahayag mula sa mga espesyalista sa iba't ibang mga propesyon: "Kung magpakilala kami ng isang computer, kung gayon ang lahat ng mga problema ay malulutas kaagad." Ang pananaw na ito ay ganap na hindi tama; ang mga computer mismo, nang walang mga modelo ng matematika ng ilang mga proseso, ay hindi makakagawa ng anuman, at maaari lamang mangarap ng unibersal na kompyuterisasyon.

Bilang suporta sa itaas, susubukan naming patunayan ang pangangailangan para sa pagmomodelo, kabilang ang matematikal na pagmomodelo, at ihayag ang mga pakinabang nito sa katalusan at pagbabago ng tao. labas ng mundo, kilalanin natin ang mga kasalukuyang pagkukulang at pumunta... sa simulation modeling, i.e. pagmomodelo gamit ang computer. Ngunit lahat ay nasa ayos.

Una sa lahat, sagutin natin ang tanong: ano ang modelo?

Ang modelo ay isang materyal o bagay na kinakatawan ng pag-iisip, na sa proseso ng cognition (pag-aaral) ay pinapalitan ang orihinal, pinapanatili ang ilang tipikal na katangian na mahalaga para sa pag-aaral na ito.

Ang isang mahusay na binuo na modelo ay mas naa-access para sa pananaliksik kaysa sa isang tunay na bagay. Halimbawa, ang mga eksperimento sa ekonomiya ng bansa para sa mga layuning pang-edukasyon ay hindi katanggap-tanggap; ang isang modelo ay kailangang-kailangan.

Sa pagbubuod ng sinabi, masasagot natin ang tanong: para saan ang mga modelo? Nang sa gayon

• maunawaan kung paano gumagana ang isang bagay (ang istraktura nito, mga katangian, mga batas ng pag-unlad, pakikipag-ugnayan sa labas ng mundo).
• matutong pamahalaan ang isang bagay (proseso) at tukuyin ang pinakamahusay na mga diskarte
• hulaan ang mga kahihinatnan ng epekto sa bagay.

Ano ang positibo sa anumang modelo? Pinapayagan ka nitong makakuha ng bagong kaalaman tungkol sa bagay, ngunit, sa kasamaang-palad, ito ay hindi kumpleto sa isang antas o iba pa.

Modelona nabuo sa wika ng matematika gamit ang mga pamamaraang matematikal ay tinatawag na modelong matematikal.

Ang panimulang punto para sa pagtatayo nito ay karaniwang ilang problema, halimbawa isang pang-ekonomiya. Ang parehong descriptive at optimization na mathematical ay laganap, na nagpapakilala sa iba't-ibang mga prosesong pang-ekonomiya at phenomena, halimbawa:

• paglalaan ng mapagkukunan
• makatwirang pagputol
• transportasyon
• pagsasama-sama ng mga negosyo
• pagpaplano ng network.

Paano nabuo ang isang modelo ng matematika?

• Una, ang layunin at paksa ng pag-aaral ay nabuo.
• Pangalawa, ang pinakamahalagang katangian na naaayon sa layuning ito ay naka-highlight.
• Pangatlo, ang mga ugnayan sa pagitan ng mga elemento ng modelo ay inilarawan sa salita.
• Susunod, ang relasyon ay pormal na.
• At ang isang pagkalkula ay ginawa gamit ang isang mathematical model at ang resultang solusyon ay pinag-aaralan.

Gamit ang algorithm na ito, maaari mong lutasin ang anumang problema sa pag-optimize, kabilang ang multicriteria, i.e. isa kung saan hindi isa, ngunit maraming mga layunin ang hinahabol, kabilang ang mga kontradiksyon.

Magbigay tayo ng halimbawa. Teorya ng queuing - ang problema ng pagpila. Kinakailangang balansehin ang dalawang salik - ang halaga ng pagpapanatili ng mga kagamitan sa serbisyo at ang halaga ng pananatili sa linya. Ang pagkakaroon ng pagbuo ng isang pormal na paglalarawan ng modelo, ang mga kalkulasyon ay ginawa gamit ang analytical at computational na mga pamamaraan. Kung ang modelo ay mabuti, kung gayon ang mga sagot na natagpuan sa tulong nito ay sapat sa sistema ng pagmomolde; kung ito ay masama, dapat itong pagbutihin at palitan. Ang criterion ng kasapatan ay pagsasanay.

Ang mga modelo ng pag-optimize, kabilang ang mga multicriteria, ay mayroon pangkalahatang pag-aari– isang layunin (o ilang layunin) ay kilala, upang makamit kung alin ang madalas na humarap sa mga kumplikadong sistema, kung saan ito ay hindi gaanong tungkol sa paglutas ng mga problema sa pag-optimize, ngunit tungkol sa pag-aaral at paghula ng mga estado depende sa napiling mga diskarte sa kontrol. At dito tayo ay nahaharap sa mga kahirapan sa pagpapatupad ng nakaraang plano. Ang mga ito ay ang mga sumusunod:

• ang isang kumplikadong sistema ay naglalaman ng maraming koneksyon sa pagitan ng mga elemento
• ang isang tunay na sistema ay naiimpluwensyahan ng mga random na kadahilanan, ang pagsasaalang-alang sa mga ito nang analytical ay imposible
• ang posibilidad ng paghahambing ng orihinal sa modelo ay umiiral lamang sa simula at pagkatapos gamitin ang mathematical apparatus, dahil Ang mga intermediate na resulta ay maaaring walang mga analogue sa totoong sistema.

Kaugnay ng mga nakalistang paghihirap na lumitaw kapag nag-aaral ng mga kumplikadong sistema, ang pagsasanay ay nangangailangan ng isang mas nababaluktot na pamamaraan, at ito ay lumitaw - "Pagmomodelo ng simujation".

Karaniwan, ang modelo ng simulation ay nauunawaan bilang isang hanay ng mga programa sa computer na naglalarawan sa paggana ng mga indibidwal na bloke ng system at ang mga patakaran ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga ito. Paggamit mga random na variable ginagawang kinakailangan upang magsagawa ng paulit-ulit na mga eksperimento sa simulation system (sa isang computer) at kasunod istatistikal na pagsusuri nakuhang resulta. Ang isang napaka-karaniwang halimbawa ng paggamit ng mga modelo ng simulation ay ang paglutas ng problema sa pagpila gamit ang MONTE CARLO method.

Kaya, ang pagtatrabaho sa isang simulation system ay isang eksperimento na isinasagawa sa isang computer. Ano ang mga pakinabang?

– Mas malapit sa tunay na sistema kaysa sa mga modelo ng matematika;

– Ginagawang posible ng prinsipyo ng block na i-verify ang bawat bloke bago ito isama sa pangkalahatang sistema;

–Ang paggamit ng mga dependency ng isang mas kumplikadong kalikasan na hindi maaaring ilarawan sa pamamagitan ng simpleng mga relasyon sa matematika.

Tinutukoy ng mga nakalistang pakinabang ang mga disadvantages

– mas matagal, mas mahirap at mas mahal ang pagbuo ng modelo ng simulation;

– upang gumana sa simulation system, kailangan mong magkaroon ng isang computer na angkop para sa klase;

– ang pakikipag-ugnayan sa pagitan ng user at ng simulation model (interface) ay hindi dapat masyadong kumplikado, maginhawa at kilala;

-Ang pagbuo ng modelo ng simulation ay nangangailangan ng mas malalim na pag-aaral ng tunay na proseso kaysa sa mathematical modeling.

Ang tanong ay lumitaw: maaari bang palitan ng simulation modeling ang mga pamamaraan ng pag-optimize? Hindi, ngunit ito ay maginhawang umakma sa kanila. Ang modelo ng simulation ay isang programa na nagpapatupad ng isang partikular na algorithm, upang i-optimize ang kontrol kung saan unang nalutas ang isang problema sa pag-optimize.

Kaya, alinman sa isang computer, o isang modelo ng matematika, o isang algorithm para sa pag-aaral lamang nito ay hindi makakalutas ng isang sapat na kumplikadong problema. Ngunit magkasama silang kumakatawan sa kapangyarihan na nagpapahintulot sa amin na malaman ang mundo, pamahalaan ito sa interes ng tao.

1.2 Pag-uuri ng modelo

Ano ang isang mathematical model?

Ang konsepto ng isang modelo ng matematika.

Ang isang modelo ng matematika ay isang napakasimpleng konsepto. At napakahalaga. Ito ay mga modelo ng matematika na nag-uugnay sa matematika at totoong buhay.

nagsasalita sa simpleng wika, ang isang mathematical model ay isang mathematical na paglalarawan ng anumang sitwasyon. Iyon lang. Ang modelo ay maaaring primitive, o maaari itong maging sobrang kumplikado. Anuman ang sitwasyon, ganyan ang modelo.)

Sa alinmang (uulitin ko - sa anumang!) sa isang kaso kung saan kailangan mong bilangin at kalkulahin ang isang bagay - kami ay nakikibahagi sa mathematical modelling. Kahit na hindi namin ito pinaghihinalaan.)

P = 2 CB + 3 CM

Ang entry na ito ay magiging isang mathematical model ng mga gastos sa aming mga pagbili. Hindi isinasaalang-alang ng modelo ang kulay ng packaging, petsa ng pag-expire, pagiging magalang ng mga cashier, atbp. Kaya siya modelo, hindi isang aktwal na pagbili. Ngunit ang mga gastos, i.e. ang kailangan natin- malalaman natin para sigurado. Kung tama ang modelo, siyempre.

Kapaki-pakinabang na isipin kung ano ang isang modelo ng matematika, ngunit hindi ito sapat. Ang pinakamahalagang bagay ay ang makabuo ng mga modelong ito.

Pagguhit (pagbuo) ng isang modelo ng matematika ng problema.

Upang lumikha ng isang mathematical model ay nangangahulugan na isalin ang mga kondisyon ng problema sa anyong matematikal. Yung. gawing equation, formula, inequality, atbp ang mga salita. Bukod dito, baguhin ito upang ang matematika na ito ay mahigpit na tumutugma orihinal na teksto. Kung hindi, mapupunta tayo sa isang modelo ng matematika ng ilang iba pang problemang hindi natin alam.)

Mas partikular, kailangan mo

Mayroong walang katapusang bilang ng mga gawain sa mundo. Samakatuwid, mag-alok ng malinaw hakbang-hakbang na mga tagubilin sa pagguhit ng isang modelo ng matematika anuman ang mga gawain ay imposible.

Ngunit mayroong tatlong pangunahing punto na kailangan mong bigyang pansin.

1. Ang anumang problema ay naglalaman ng teksto, kakaiba.) Ang tekstong ito, bilang panuntunan, ay naglalaman ng tahasan, bukas na impormasyon. Mga numero, halaga, atbp.

2. Anumang problema ay mayroon nakatagong impormasyon. Ito ay isang teksto na nagpapalagay ng karagdagang kaalaman sa iyong ulo. Walang paraan kung wala sila. Bilang karagdagan, ang impormasyon sa matematika ay madalas na nakatago sa likod sa simpleng salita at... nawala sa atensyon.

3. Anumang gawain ay dapat ibigay koneksyon ng data sa bawat isa. Ang koneksyon na ito ay maaaring ibigay sa malinaw na teksto(something equals something), o maaaring nakatago sa likod ng mga simpleng salita. Ngunit ang mga simple at malinaw na katotohanan ay madalas na hindi pinapansin. At ang modelo ay hindi pinagsama-sama sa anumang paraan.

Sasabihin ko kaagad: upang mailapat ang tatlong puntong ito, kailangan mong basahin ang problema (at maingat!) nang maraming beses. Ang karaniwang bagay.

At ngayon - mga halimbawa.

Magsimula tayo sa isang simpleng problema:

Bumalik si Petrovich mula sa pangingisda at buong pagmamalaking ipinakita ang kanyang huli sa pamilya. Sa mas malapit na pagsusuri, lumabas na 8 isda ang nagmula sa hilagang dagat, 20% ng lahat ng isda ay nagmula sa timog na dagat, at wala ni isa ang nagmula sa lokal na ilog kung saan nangingisda si Petrovich. Ilang isda ang binili ni Petrovich sa tindahan ng Seafood?

Ang lahat ng mga salitang ito ay kailangang gawing isang uri ng equation. Upang gawin ito kailangan mo, ulitin ko, magtatag ng koneksyon sa matematika sa pagitan ng lahat ng data sa problema.

Saan magsisimula? Una, kunin natin ang lahat ng data mula sa gawain. Magsimula tayo sa pagkakasunud-sunod:

Bigyang-pansin natin ang unang punto.

Alin dito? tahasan impormasyon sa matematika? 8 isda at 20%. Hindi marami, ngunit hindi namin kailangan ng marami.)

Bigyang-pansin natin ang pangalawang punto.

Hinahanap nakatago impormasyon. Nandito na. Ito ang mga salita: "20% ng lahat ng isda"Dito kailangan mong maunawaan kung ano ang mga porsyento at kung paano sila kinakalkula. Kung hindi, ang problema ay hindi malulutas. Ito mismo ang karagdagang impormasyon na dapat nasa iyong ulo.

meron din mathematical impormasyon na ganap na hindi nakikita. Ito tanong sa gawain: "Ilang isda ang nabili ko..." Isa rin itong numero. At kung wala ito, walang mabubuong modelo. Samakatuwid, tukuyin natin ang numerong ito sa pamamagitan ng titik "X". Hindi pa namin alam kung ano ang katumbas ng x, ngunit ang pagtatalaga na ito ay magiging lubhang kapaki-pakinabang sa amin. Ang higit pang mga detalye sa kung ano ang dapat kunin para sa X at kung paano ito haharapin ay nakasulat sa aralin Paano lutasin ang mga problema sa matematika? Isulat natin ito kaagad:

x piraso - kabuuan isda

Sa aming problema, ang southern fish ay binibigyan bilang porsyento. Kailangan nating i-convert ang mga ito sa mga piraso. Para saan? Tapos what in anuman ang problema ng modelo ay dapat iguhit sa parehong uri ng dami. Mga piraso - kaya lahat ay pira-piraso. Kung ibinigay, sabihin nating, mga oras at minuto, isinasalin namin ang lahat sa isang bagay - alinman sa mga oras lamang, o mga minuto lamang. Hindi mahalaga kung ano ito. Mahalaga iyon ang lahat ng mga halaga ay pareho ang uri.

Bumalik tayo sa pagbubunyag ng impormasyon. Kung sino ang hindi nakakaalam kung ano ang isang porsyento ay hinding-hindi ihahayag ito, oo... Ngunit kung sino ang nakakaalam ay agad na sasabihin na ang mga porsyento dito ay batay sa kabuuang bilang ng mga isda. At hindi namin alam ang numerong ito. Walang gagana!

Ito ay hindi para sa wala na isulat namin ang kabuuang bilang ng mga isda (sa mga piraso!) "X" itinalaga. Hindi posibleng bilangin ang bilang ng mga isda sa timog, ngunit maaari nating isulat ang mga ito? Ganito:

0.2 x piraso - ang bilang ng mga isda mula sa katimugang dagat.

Ngayon na-download na namin ang lahat ng impormasyon mula sa gawain. Parehong halata at nakatago.

Bigyang-pansin natin ang ikatlong punto.

Hinahanap koneksyon sa matematika sa pagitan ng data ng gawain. Napakasimple ng koneksyon na ito kaya hindi napapansin ng marami... Madalas itong mangyari. Narito ito ay kapaki-pakinabang na isulat lamang ang mga nakolektang data sa isang pile at tingnan kung ano.

Ano ang mayroon tayo? Kumain 8 piraso hilagang isda, 0.2 x piraso- katimugang isda at x isda- kabuuang halaga. Posible bang i-link ang data na ito kahit papaano? Oo Madali! Kabuuang bilang ng isda katumbas ang kabuuan ng timog at hilaga! Well, sinong mag-aakala...) Kaya isulat namin ito:

x = 8 + 0.2x

Ito ang equation mathematical model ng ating problema.

Mangyaring tandaan na sa problemang ito Hindi kami hinihiling na magtiklop ng anuman! Kami mismo, sa labas ng aming mga ulo, na napagtanto na ang kabuuan ng timog at hilagang isda ay magbibigay sa amin ng kabuuang bilang. Ang bagay ay napakalinaw na ito ay hindi napapansin. Ngunit kung wala ang katibayan na ito, hindi mabubuo ang isang modelong matematikal. Ganito.

Ngayon ay maaari mong gamitin ang buong kapangyarihan ng matematika upang malutas ang equation na ito). Ito ay tiyak kung bakit ang modelo ng matematika ay pinagsama-sama. Malutas namin ang linear equation na ito at makuha ang sagot.

Sagot: x=10

Gumawa tayo ng mathematical model ng isa pang problema:

Tinanong nila si Petrovich: "Marami ka bang pera?" Nagsimulang umiyak si Petrovich at sumagot: "Oo, kaunti lang. Kung gagastusin ko ang kalahati ng lahat ng pera, at kalahati ng natitira, magkakaroon na lang ako ng isang bag ng pera na natitira ... " Magkano ang pera ni Petrovich ?

Muli kaming gumagawa ng punto sa punto.

1. Naghahanap kami ng tahasang impormasyon. Hindi mo ito mahahanap kaagad! Ang tahasang impormasyon ay isa bag ng pera. Mayroong ilang iba pang mga kalahati... Well, titingnan natin iyon sa ikalawang talata.

2. Naghahanap kami ng nakatagong impormasyon. Ito ay mga kalahati. Ano? Hindi masyadong malinaw. Kami ay naghahanap pa. May isa pang tanong: "Magkano ang pera ni Petrovich?" Tukuyin natin ang halaga ng pera sa pamamagitan ng liham "X":

X- lahat ng pera

At muli nabasa natin ang problema. Alam na ang Petrovich na iyon X pera. Dito gagana ang mga kalahati! Sumulat kami:

0.5 x- kalahati ng lahat ng pera.

Ang natitira ay magiging kalahati din, i.e. 0.5 x. At kalahati ng kalahati ay maaaring isulat tulad nito:

0.5 0.5 x = 0.25x- kalahati ng natitira.

Ngayon ang lahat ng nakatagong impormasyon ay naihayag at naitala.

3. Naghahanap kami ng koneksyon sa pagitan ng naitala na data. Dito maaari mong basahin lamang ang paghihirap ni Petrovich at isulat ito sa matematika):

Kung gagastusin ko ang kalahati ng lahat ng pera...

Itala natin ang prosesong ito. Lahat ng pera - X. kalahati - 0.5 x. Ang paggastos ay pag-alis. Ang parirala ay nagiging isang recording:

x - 0.5 x

oo kalahati ng natitira...

Ibawas natin ang isa pang kalahati ng natitira:

x - 0.5 x - 0.25x

tapos isang bag na lang ng pera ang natitira ko...

At dito nakita namin ang pagkakapantay-pantay! Pagkatapos ng lahat ng mga pagbabawas, isang bag ng pera ang nananatili:

x - 0.5 x - 0.25x = 1

Eto na, isang mathematical model! Ito ay muli ng isang linear equation, lutasin natin ito, nakukuha natin:

Tanong para sa pagsasaalang-alang. Ano ang apat? Ruble, dolyar, yuan? At sa anong mga yunit nakasulat ang pera sa ating mathematical model? Sa mga bag! Ibig sabihin apat bag pera mula kay Petrovich. Magaling din.)

Ang mga gawain ay, siyempre, elementarya. Ito ay partikular na upang makuha ang kakanyahan ng pagguhit ng isang modelo ng matematika. Ang ilang mga gawain ay maaaring maglaman ng higit pang data, na maaaring madaling mawala. Madalas itong nangyayari sa tinatawag na. mga gawain sa kakayahan. Kung paano kunin ang nilalamang matematikal mula sa isang tumpok ng mga salita at numero ay ipinapakita kasama ng mga halimbawa

Isa pang tala. Sa mga klasikong problema sa paaralan (mga tubo na pumupuno sa isang pool, mga bangka na lumulutang sa isang lugar, atbp.), Ang lahat ng data, bilang panuntunan, ay napili nang maingat. Mayroong dalawang mga patakaran:
- may sapat na impormasyon sa problema upang malutas ito,
- Walang hindi kinakailangang impormasyon sa isang problema.

Ito ay isang pahiwatig. Kung may ilang value na naiwan na hindi nagamit sa mathematical model, isipin kung may error. Kung walang sapat na data, malamang, hindi lahat ng nakatagong impormasyon ay natukoy at naitala.

Sa mga gawaing may kaugnayan sa kakayahan at iba pang mga gawain sa buhay, ang mga patakarang ito ay hindi mahigpit na sinusunod. Walang clue. Ngunit ang mga ganitong problema ay maaari ding malutas. Kung, siyempre, nagsasanay ka sa mga klasiko.)

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)

Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Pagmomodelo sa matematika

1. Ano ang mathematical modelling?

Mula sa kalagitnaan ng ika-20 siglo. Ang mga pamamaraan ng matematika at mga kompyuter ay nagsimulang malawakang ginagamit sa iba't ibang larangan ng aktibidad ng tao. Ang mga bagong disiplina ay lumitaw tulad ng "mathematical economics", "mathematical chemistry", "mathematical linguistics", atbp., pag-aaral ng mga modelo ng matematika ng mga kaugnay na bagay at phenomena, pati na rin ang mga pamamaraan para sa pag-aaral ng mga modelong ito.

Ang isang modelo ng matematika ay isang tinatayang paglalarawan ng anumang klase ng mga phenomena o mga bagay ng totoong mundo sa wika ng matematika. Ang pangunahing layunin ng pagmomodelo ay upang galugarin ang mga bagay na ito at hulaan ang mga resulta ng mga obserbasyon sa hinaharap. Gayunpaman, ang pagmomodelo ay isa ring paraan ng pag-unawa sa mundo sa paligid natin, na ginagawang posible na kontrolin ito.

Ang pagmomodelo ng matematika at ang nauugnay na eksperimento sa computer ay kailangang-kailangan sa mga kaso kung saan imposible o mahirap ang isang buong sukat na eksperimento para sa isang kadahilanan o iba pa. Halimbawa, imposibleng mag-set up ng natural na eksperimento sa kasaysayan upang suriin ang "kung ano ang mangyayari kung..." Imposibleng suriin ang kawastuhan ng isa o isa pang teorya ng kosmolohiya. Posible, ngunit malamang na hindi makatwiran, na mag-eksperimento sa pagkalat ng isang sakit, tulad ng salot, o magsagawa ng nuclear explosion upang pag-aralan ang mga kahihinatnan nito. Gayunpaman, ang lahat ng ito ay maaaring gawin sa isang computer sa pamamagitan ng unang pagbuo ng mga modelo ng matematika ng mga phenomena na pinag-aaralan.

2. Mga pangunahing yugto ng pagmomodelo ng matematika

1) Pagbuo ng modelo. Sa yugtong ito, ang ilang bagay na "di-matematika" ay tinukoy - isang natural na kababalaghan, disenyo, planong pang-ekonomiya, proseso ng produksyon, atbp. Sa kasong ito, bilang panuntunan, mahirap ang isang malinaw na paglalarawan ng sitwasyon. Una, ang mga pangunahing tampok ng kababalaghan at ang mga koneksyon sa pagitan ng mga ito sa isang antas ng husay ay nakilala. Pagkatapos ang nahanap na qualitative dependencies ay binuo sa wika ng matematika, iyon ay, isang mathematical model ang binuo. Ito ang pinakamahirap na yugto ng pagmomodelo.

2) Paglutas ng problemang pangmatematika kung saan pinangungunahan ng modelo. Sa yugtong ito, maraming pansin ang binabayaran sa pagbuo ng mga algorithm at numerical na pamamaraan para sa paglutas ng problema sa isang computer, sa tulong kung saan ang resulta ay matatagpuan sa kinakailangang katumpakan at sa loob ng isang katanggap-tanggap na oras.

3) Interpretasyon ng mga nakuhang kahihinatnan mula sa mathematical model. Ang mga kahihinatnan na nagmula sa modelo sa wika ng matematika ay binibigyang kahulugan sa wikang tinatanggap sa larangan.

4) Sinusuri ang kasapatan ng modelo. Sa yugtong ito, natutukoy kung ang mga eksperimentong resulta ay sumasang-ayon sa mga teoretikal na kahihinatnan ng modelo sa loob ng isang tiyak na katumpakan.

5) Pagbabago ng modelo. Sa yugtong ito, alinman sa modelo ay kumplikado upang ito ay mas sapat sa katotohanan, o ito ay pinasimple upang makamit ang isang praktikal na katanggap-tanggap na solusyon.

3. Pag-uuri ng mga modelo

Maaaring uriin ang mga modelo ayon sa iba't ibang pamantayan. Halimbawa, ayon sa likas na katangian ng mga problemang nilulutas, ang mga modelo ay maaaring nahahati sa functional at structural. Sa unang kaso, ang lahat ng mga dami na nagpapakilala sa isang kababalaghan o bagay ay ipinahayag sa dami. Bukod dito, ang ilan sa mga ito ay itinuturing na mga independiyenteng variable, habang ang iba ay itinuturing na mga function ng mga dami na ito. Ang isang mathematical model ay karaniwang isang sistema ng mga equation ng iba't ibang uri (differential, algebraic, atbp.) na nagtatatag ng quantitative na relasyon sa pagitan ng mga quantity na isinasaalang-alang. Sa pangalawang kaso, ang modelo ay nagpapakilala sa istraktura ng isang kumplikadong bagay na binubuo ng mga indibidwal na bahagi, sa pagitan ng kung saan mayroong ilang mga koneksyon. Karaniwan, ang mga koneksyon na ito ay hindi nasusukat. Upang makabuo ng gayong mga modelo, maginhawang gumamit ng teorya ng graph. Ang graph ay isang mathematical object na kumakatawan sa isang set ng mga punto (vertices) sa isang eroplano o sa kalawakan, na ang ilan ay konektado sa pamamagitan ng mga linya (mga gilid).

Batay sa likas na katangian ng paunang data at mga resulta, ang mga modelo ng hula ay maaaring hatiin sa deterministic at probabilistic-statistical. Ang mga modelo ng unang uri ay gumagawa ng tiyak, hindi malabo na mga hula. Ang mga modelo ng pangalawang uri ay batay sa istatistikal na impormasyon, at ang mga hula na nakuha sa kanilang tulong ay probabilistic sa kalikasan.

4. Mga halimbawa ng mathematical models

1) Mga problema tungkol sa paggalaw ng isang projectile.

Isaalang-alang ang sumusunod na problema sa mekanika.

Ang projectile ay inilunsad mula sa Earth na may paunang bilis v 0 = 30 m/s sa isang anggulo a = 45° sa ibabaw nito; ito ay kinakailangan upang mahanap ang tilapon ng paggalaw nito at ang distansya S sa pagitan ng simula at pagtatapos ng mga punto ng tilapon na ito.

Pagkatapos, gaya ng nalalaman mula sa kursong pisika ng paaralan, ang galaw ng projectile ay inilalarawan ng mga formula:

kung saan ang t ay oras, g = 10 m/s 2 ay ang acceleration ng gravity. Ang mga formula na ito ay nagbibigay ng mathematical model ng problema. Ang pagpapahayag ng t hanggang x mula sa unang equation at pinapalitan ito sa pangalawa, nakuha natin ang equation para sa trajectory ng projectile:

Ang kurba na ito (parabola) ay nag-intersect sa x axis sa dalawang punto: x 1 = 0 (simula ng trajectory) at (lugar kung saan nahulog ang projectile). Ang pagpapalit ng mga ibinigay na halaga ng v0 at a sa mga resultang formula, nakukuha namin

sagot: y = x – 90x 2, S = 90 m.

Tandaan na kapag itinayo ang modelong ito, maraming mga pagpapalagay ang ginamit: halimbawa, ipinapalagay na ang Earth ay patag, at ang hangin at ang pag-ikot ng Earth ay hindi nakakaapekto sa paggalaw ng projectile.

2) Problema tungkol sa isang tangke na may pinakamaliit na lugar sa ibabaw.

Kinakailangang hanapin ang taas h 0 at radius r 0 ng tangke ng lata na may volume na V = 30 m 3, na may hugis ng saradong pabilog na silindro, kung saan ang ibabaw na lugar nito S ay minimal (sa kasong ito, ang hindi bababa sa dami ng lata ang gagamitin para sa produksyon nito).

Isulat natin ang mga sumusunod na formula para sa volume at surface area ng isang silindro ng taas h at radius r:

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

Ang pagpapahayag ng h hanggang r at V mula sa unang formula at pinapalitan ang nagresultang expression sa pangalawa, nakukuha natin ang:

Kaya, mula sa isang matematikal na punto ng view, ang problema ay bumababa sa pagtukoy ng halaga ng r kung saan ang function na S(r) ay umabot sa pinakamababa nito. Hanapin natin ang mga halagang iyon ng r 0 kung saan ang derivative

napupunta sa zero: Maaari mong suriin na ang pangalawang derivative ng function na S(r) ay nagbabago ng sign mula minus hanggang plus kapag ang argument r ay dumaan sa punto r 0 . Dahil dito, sa punto r0 ang function na S(r) ay may pinakamababa. Ang katumbas na halaga ay h 0 = 2r 0 . Ang pagpapalit ng ibinigay na halaga V sa expression para sa r 0 at h 0, nakuha namin ang nais na radius at taas

3) Problema sa transportasyon.

Ang lungsod ay may dalawang bodega ng harina at dalawang panaderya. Araw-araw, 50 tonelada ng harina ang dinadala mula sa unang bodega, at 70 tonelada mula sa pangalawa patungo sa mga pabrika, na may 40 tonelada sa una, at 80 tonelada sa pangalawa.

Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng a ij gastos sa pagdadala ng 1 toneladang harina mula sa i-th warehouse hanggang j-th halaman(i, j = 1,2). Hayaan

a 11 = 1.2 rubles, a 12 = 1.6 rubles, a 21 = 0.8 kuskusin., a 22 = 1 kuskusin.

Paano dapat planuhin ang transportasyon upang ang gastos nito ay minimal?

Bigyan natin ang problema ng isang mathematical formulation. Tukuyin natin sa x 1 at x 2 ang dami ng harina na dapat dalhin mula sa unang bodega hanggang sa una at pangalawang pabrika, at sa x 3 at x 4 - mula sa pangalawang bodega hanggang sa una at pangalawang pabrika, ayon sa pagkakabanggit. Pagkatapos:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Ang kabuuang halaga ng lahat ng transportasyon ay tinutukoy ng formula

f = 1.2x 1 + 1.6x 2 + 0.8x 3 + x 4.

Mula sa isang matematikal na punto ng view, ang problema ay upang mahanap ang apat na numero x 1, x 2, x 3 at x 4 na nagbibigay-kasiyahan sa lahat ng ibinigay na mga kondisyon at nagbibigay ng pinakamababa sa function na f. Lutasin natin ang sistema ng mga equation (1) para sa xi (i = 1, 2, 3, 4) sa pamamagitan ng pag-aalis ng mga hindi alam. Nakukuha namin iyon

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4, x 3 = 70 – x 4, (2)

at ang x 4 ay hindi maaaring matukoy nang natatangi. Dahil x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), sumusunod ito mula sa mga equation (2) na 30Ј x 4 Ј 70. Ang pagpapalit ng expression para sa x 1, x 2, x 3 sa formula para sa f, nakukuha natin

f = 148 – 0.2x 4.

Madaling makita na ang minimum ng function na ito ay nakakamit sa maximum na posibleng halaga ng x 4, iyon ay, sa x 4 = 70. Ang mga katumbas na halaga ng iba pang hindi alam ay tinutukoy ng mga formula (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Ang problema ng radioactive decay.

Hayaang ang N(0) ay ang paunang bilang ng mga atomo ng isang radioactive substance, at ang N(t) ay ang bilang ng mga hindi nabubulok na atomo sa oras na t. Eksperimento na itinatag na ang rate ng pagbabago sa bilang ng mga atom na ito N"(t) ay proporsyonal sa N(t), ibig sabihin, N"(t)=–l N(t), l >0 ay ang radioactivity constant ng isang naibigay na substance. Sa kurso ng paaralan ng mathematical analysis ipinapakita na ang solusyon sa differential equation na ito ay may anyo na N(t) = N(0)e –l t. Ang oras na T kung saan ang bilang ng mga paunang atomo ay nahati ay tinatawag na kalahating buhay, at ito ay isang mahalagang katangian ng radyaktibidad ng isang sangkap. Upang matukoy ang T, dapat nating ilagay sa formula Pagkatapos Halimbawa, para sa radon l = 2.084 · 10 –6, at samakatuwid T = 3.15 araw.

5) Ang problema sa naglalakbay na tindero.

Ang isang naglalakbay na tindero na naninirahan sa lungsod A 1 ay kailangang bumisita sa mga lungsod A 2 , A 3 at A 4 , bawat lungsod nang eksaktong isang beses, at pagkatapos ay bumalik sa A 1 . Nabatid na ang lahat ng mga lungsod ay konektado nang pares sa pamamagitan ng mga kalsada, at ang mga haba ng mga kalsada b ij sa pagitan ng mga lungsod A i at A j (i, j = 1, 2, 3, 4) ay ang mga sumusunod:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Ito ay kinakailangan upang matukoy ang pagkakasunud-sunod ng pagbisita sa mga lungsod kung saan ang haba ng kaukulang landas ay minimal.

Ilarawan natin ang bawat lungsod bilang isang punto sa eroplano at markahan ito ng kaukulang label na Ai (i = 1, 2, 3, 4). Ikonekta natin ang mga puntong ito sa mga tuwid na linya: ang mga ito ay kumakatawan sa mga kalsada sa pagitan ng mga lungsod. Para sa bawat "kalsada" ipinapahiwatig namin ang haba nito sa mga kilometro (Larawan 2). Ang resulta ay isang graph - isang mathematical object na binubuo ng isang tiyak na hanay ng mga punto sa eroplano (tinatawag na vertices) at isang tiyak na hanay ng mga linya na nagkokonekta sa mga puntong ito (tinatawag na mga gilid). Bukod dito, ang graph na ito ay may label, dahil ang mga vertice at mga gilid nito ay itinalaga ng ilang mga label - mga numero (mga gilid) o mga simbolo (mga vertex). Ang cycle sa isang graph ay isang sequence ng vertices V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 na ang vertices V 1 , ..., V k ay magkaiba, at anumang pares ng vertices V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) at ang pares na V 1, V k ay konektado sa pamamagitan ng isang gilid. Kaya, ang problemang isinasaalang-alang ay ang paghahanap ng cycle sa graph na dumadaan sa lahat ng apat na vertices kung saan ang kabuuan ng lahat ng edge weights ay minimal. Hanapin natin ang lahat ng iba't ibang cycle na dumadaan sa apat na vertices at simula sa A 1:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1, A 3, A 4, A 2, A 1.

Hanapin natin ngayon ang mga haba ng mga cycle na ito (sa km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Kaya, ang ruta ng pinakamaikling haba ay ang una.

Tandaan na kung mayroong n vertices sa isang graph at lahat ng vertices ay konektado sa mga pares sa pamamagitan ng mga gilid (ang ganitong graph ay tinatawag na kumpleto), kung gayon ang bilang ng mga cycle na dumadaan sa lahat ng vertices ay Samakatuwid, sa aming kaso mayroong eksaktong tatlong cycle.

6) Ang problema sa paghahanap ng koneksyon sa pagitan ng istraktura at mga katangian ng mga sangkap.

Tingnan natin ang ilang mga kemikal na compound na tinatawag na normal na alkanes. Binubuo ang mga ito ng n carbon atoms at n + 2 hydrogen atoms (n = 1, 2 ...), na magkakaugnay tulad ng ipinapakita sa Figure 3 para sa n = 3. Hayaang malaman ang mga pang-eksperimentong halaga ng mga boiling point ng mga compound na ito:

y e (3) = – 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

Kinakailangang maghanap ng tinatayang kaugnayan sa pagitan ng punto ng kumukulo at ang bilang n para sa mga compound na ito. Ipagpalagay natin na ang pag-asa na ito ay may anyo

y" a n+b,

saan a, b - mga constant na tutukuyin. Hanapin a at b pinapalitan natin ang formula na ito nang sunud-sunod n = 3, 4, 5, 6 at ang mga katumbas na halaga ng mga kumukulo. Meron kami:

– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+ b.

Upang matukoy ang pinakamahusay a at b mayroong maraming iba't ibang paraan. Gamitin natin ang pinakasimple sa kanila. Ipahayag natin ang b sa pamamagitan ng a mula sa mga equation na ito:

b » – 42 – 3 a, b" – 4 a, b » 28 – 5 a, b » 69 – 6 a.

Kunin natin ang arithmetic mean ng mga halagang ito bilang nais na b, ibig sabihin, inilalagay natin ang b » 16 – 4.5 a. Ipalit natin ang halagang ito ng b sa orihinal na sistema ng mga equation at, pagkalkula a, nakukuha namin para sa a ang mga sumusunod na halaga: a» 37, a» 28, a» 28, a" 36. Kunin natin kung kinakailangan a ang average na halaga ng mga numerong ito, iyon ay, ilagay natin a" 34. Kaya, ang kinakailangang equation ay may anyo

y » 34n – 139.

Suriin natin ang katumpakan ng modelo sa orihinal na apat na compound, kung saan kinakalkula natin ang mga kumukulo gamit ang resultang formula:

y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.

Kaya, ang error sa pagkalkula ng property na ito para sa mga compound na ito ay hindi lalampas sa 5°. Ginagamit namin ang resultang equation upang kalkulahin ang boiling point ng isang compound na may n = 7, na hindi kasama sa orihinal na set, kung saan pinapalitan namin ang n = 7 sa equation na ito: y р (7) = 99°. Ang resulta ay medyo tumpak: ito ay kilala na ang pang-eksperimentong halaga ng boiling point y e (7) = 98°.

7) Ang problema sa pagtukoy ng pagiging maaasahan ng isang de-koryenteng circuit.

Dito ay titingnan natin ang isang halimbawa ng isang probabilistikong modelo. Una, ipinakita namin ang ilang impormasyon mula sa teorya ng posibilidad - isang disiplina sa matematika na nag-aaral sa mga pattern ng mga random na phenomena na naobserbahan sa paulit-ulit na pag-uulit ng mga eksperimento. Tawagan natin ang isang random na kaganapan A bilang isang posibleng resulta ng ilang eksperimento. Mga Kaganapan A 1 , ..., A k form buong grupo, kung bilang resulta ng karanasan ang isa sa mga ito ay kinakailangang mangyari. Ang mga kaganapan ay tinatawag na hindi magkatugma kung hindi sila maaaring mangyari nang sabay-sabay sa isang karanasan. Hayaang mangyari ang kaganapan A nang m beses sa isang n-tiklop na pag-uulit ng eksperimento. Ang dalas ng kaganapan A ay ang bilang na W = . Malinaw, ang halaga ng W ay hindi mahuhulaan nang tumpak hanggang sa isang serye ng n eksperimento ay isinasagawa. Gayunpaman, ang likas na katangian ng mga random na kaganapan ay tulad na sa pagsasanay ang sumusunod na epekto ay minsan naobserbahan: sa isang pagtaas sa bilang ng mga eksperimento, ang halaga ay halos hindi na maging random at nagpapatatag sa paligid ng isang tiyak. hindi random na numero P(A), na tinatawag na probabilidad ng kaganapan A. Para sa isang imposibleng kaganapan (na hindi kailanman nangyayari sa karanasan) P(A) = 0, at para sa isang tiyak na kaganapan (na palaging nangyayari sa karanasan) P(A) = 1. Kung ang mga kaganapan A 1 , ..., A k ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng mga hindi magkatugma na mga kaganapan, pagkatapos ay P(A 1)+...+P(A k)=1.

Hayaan, halimbawa, ang eksperimento ay binubuo ng paghagis ng dice at pagmamasid sa bilang ng mga puntos na inilabas na X. Pagkatapos ay maaari nating ipakilala ang mga sumusunod na random na kaganapan A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Sila bumuo ng isang kumpletong pangkat ng mga hindi magkatugma na may posibilidad na mga kaganapan, samakatuwid P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Ang kabuuan ng mga kaganapan A at B ay ang kaganapan A + B, na binubuo sa katotohanan na kahit isa sa mga ito ay nangyari sa karanasan. Ang produkto ng mga kaganapan A at B ay ang kaganapan AB, na binubuo ng sabay-sabay na paglitaw ng mga kaganapang ito. Para sa mga independiyenteng kaganapan A at B, ang mga sumusunod na formula ay totoo:

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Isaalang-alang natin ngayon ang mga sumusunod gawain. Ipagpalagay natin na ang tatlong elemento ay konektado sa serye sa isang de-koryenteng circuit at gumagana nang hiwalay sa isa't isa. Ang mga probabilidad ng pagkabigo ng 1st, 2nd at 3rd elements ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng P1 = 0.1, P2 = 0.15, P3 = 0.2. Isasaalang-alang namin ang isang circuit na maaasahan kung ang posibilidad na walang kasalukuyang sa circuit ay hindi hihigit sa 0.4. Ito ay kinakailangan upang matukoy kung ang isang ibinigay na circuit ay maaasahan.

Dahil ang mga elemento ay konektado sa serye, walang kasalukuyang sa circuit (kaganapan A) kung hindi bababa sa isa sa mga elemento ay nabigo. Hayaan ang A i ang kaganapan na gumagana ang i-th na elemento (i = 1, 2, 3). Pagkatapos P(A1) = 0.9, P(A2) = 0.85, P(A3) = 0.8. Malinaw, ang A 1 A 2 A 3 ay isang kaganapan kung saan ang lahat ng tatlong elemento ay gumagana nang sabay-sabay, at

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0.612.

Pagkatapos P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, kaya P(A) = 0.388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Sa konklusyon, napapansin namin na ang mga ibinigay na halimbawa ng mga modelong matematikal (kabilang ang functional at structural, deterministic at probabilistic) ay likas na naglalarawan at, malinaw naman, hindi nauubos ang iba't ibang mga modelo ng matematika na lumitaw sa mga natural na agham at humanidad.