Mənfi gücləri olan tənlikləri necə həll etmək olar. Güc və ya eksponensial tənliklər

ev / Mübahisə

Avadanlıq:

kompüter,
multimedia proyektoru,
ekran,
Əlavə 1(PowerPoint slayd təqdimatı) “Eksponensial tənliklərin həlli üsulları”
Əlavə 2(Word-da "Üç fərqli güc əsası" kimi bir tənliyin həlli)
Əlavə 3(Word proqramında paylama materialı praktiki iş).
Əlavə 4(ev tapşırığı üçün Word proqramında paylama).

Dərslər zamanı

1. Təşkilati mərhələ

dərs mövzusunun mesajı (lövhədə yazılmışdır),
10-11-ci siniflərdə ümumi dərsə ehtiyac:

Şagirdlərin fəal öyrənməyə hazırlanması mərhələsi

Təkrar

Tərif.

Eksponensial tənlik göstəricisi olan dəyişəni ehtiva edən tənlikdir (tələbə cavabları).

Müəllim qeydi. Eksponensial tənliklər transsendental tənliklər sinfinə aiddir. Bu tələffüz olunmayan ad belə tənliklərin, ümumiyyətlə, düsturlar şəklində həll edilə bilməyəcəyini göstərir.

Onları yalnız kompüterlərdə təxminən ədədi üsullarla həll etmək olar. Bəs imtahan tapşırıqları haqqında nə demək olar? Məsələ ondadır ki, imtahan verən problemi elə çərçivəyə salır ki, o, analitik həllə imkan verir. Başqa sözlə, siz bu eksponensial tənliyi ən sadə eksponensial tənliyə endirən eyni çevrilmələri həyata keçirə bilərsiniz (və etməlisiniz!). Bu ən sadə tənlik belə adlanır: ən sadə eksponensial tənlik. Həll olunur loqarifmlə.

Eksponensial tənliyin həlli ilə bağlı vəziyyət, problemin müəllifi tərəfindən xüsusi olaraq icad edilən labirintdə səyahət etməyi xatırladır. Bu çox ümumi arqumentlərdən çox xüsusi tövsiyələrə əməl edin.

Eksponensial tənlikləri uğurla həll etmək üçün sizə lazımdır:

1. Bütün eksponensial eynilikləri aktiv şəkildə bilməklə yanaşı, həm də bu identikliklərin müəyyən edildiyi dəyişən qiymətlər toplusunu tapın ki, bu kimliklərdən istifadə edərkən lazımsız köklər əldə etməyəsiniz və daha çox həll yollarını itirməyəsiniz. tənliyə.

2. Bütün eksponensial eynilikləri aktiv şəkildə bilmək.

3. Tənliklərin riyazi çevrilmələrini aydın şəkildə, təfərrüatlı və xətasız həyata keçirin (şərləri tənliyin bir hissəsindən digərinə köçürmək, işarəni dəyişməyi unutmadan, kəsrləri ortaq məxrəcə gətirmək və s.). Buna riyazi mədəniyyət deyilir. Eyni zamanda, hesablamaların özləri avtomatik olaraq əl ilə aparılmalı və baş həllin ümumi istiqamətləndirici ipi haqqında düşünməlidir. Transformasiyalar mümkün qədər diqqətlə və ətraflı şəkildə aparılmalıdır. Yalnız bu düzgün, səhvsiz bir qərara zəmanət verəcəkdir. Və unutmayın: kiçik arifmetik xəta sadəcə olaraq transsendental tənlik yarada bilər ki, bu tənlik prinsipcə analitik yolla həll edilə bilməz. Belə çıxır ki, sən yolunu azıb, labirint divarına dəyib.

4. Problemlərin həlli üsullarını bilin (yəni həll labirintindən keçən bütün yolları bilin). Hər mərhələdə düzgün naviqasiya etmək üçün (şüurlu və ya intuitiv olaraq!):

müəyyənləşdirmək tənlik növü;
müvafiq növü xatırlayın həll üsulu tapşırıqlar.

Öyrənilən materialın ümumiləşdirilməsi və sistemləşdirilməsi mərhələsi.

Müəllim kompüterdən istifadə edən tələbələrlə birlikdə bütün növ eksponensial tənlikləri və onların həlli üsullarını nəzərdən keçirir, tərtib edir ümumi sxem. (İstifadə olunan təlim kompüter proqramı L.Ya. Borevski "Riyaziyyat kursu - 2000", PowerPoint təqdimatının müəllifi T.N. Kuptsova.)

düyü. 1.Şəkildə bütün növ eksponensial tənliklərin ümumi diaqramı göstərilir.

Bu diaqramdan göründüyü kimi, eksponensial tənliklərin həlli strategiyası verilmiş eksponensial tənliyi tənliyə endirməkdən ibarətdir, ilk növbədə, eyni dərəcə əsasları ilə , və sonra – və eyni dərəcə göstəriciləri ilə.

Eyni əsasları və eksponentləri olan bir tənlik aldıqdan sonra siz bu göstəricini yeni dəyişənlə əvəz edirsiniz və bu yeni dəyişənə münasibətdə sadə cəbri tənlik (adətən fraksiya-rasional və ya kvadratik) əldə edirsiniz.

Bu tənliyi həll etdikdən və tərs əvəzetməni etdikdən sonra siz həll edilə bilən sadə eksponensial tənliklər toplusu ilə nəticələnirsiniz. ümumi görünüş loqarifmdən istifadə etməklə.

Yalnız (qismən) güclərin məhsullarının tapıldığı tənliklər seçilir. Eksponensial eyniliklərdən istifadə edərək, bu tənlikləri dərhal bir əsasa, xüsusən də ən sadə eksponensial tənliyə endirmək mümkündür.

Üç fərqli əsaslı eksponensial tənliyin necə həll olunacağına baxaq.

(Əgər müəllimdə L.Ya. Borevskinin “Riyaziyyat kursu - 2000” tədris kompüter proqramı varsa, təbii olaraq biz disklə işləyirik, əgər yoxsa, ondan hər bir masa üçün bu tip tənliyin çapını edə bilərsiniz, aşağıda təqdim olunur.)

düyü. 2. Tənliyin həlli üçün plan.

düyü. 3. Tənliyi həll etməyə başlayın

düyü. 4. Tənliyin həllini tamamlayın.

Praktik iş görmək

Tənliyin növünü müəyyənləşdirin və həll edin.

1.
2.
3. 0,125
4.
5.
6.

Dərsi yekunlaşdırmaq

Dərs üçün qiymət.

Dərsin sonu

Müəllim üçün

Cavab sxemini məşq edin.

Məşq: tənliklər siyahısından müəyyən tipli tənlikləri seçin (cədvəldə cavab nömrəsini daxil edin):

Üç fərqli dərəcə bazası
İki fərqli əsas - müxtəlif göstəricilər dərəcə
Səlahiyyətlərin əsasları - bir ədədin səlahiyyətləri
Eyni əsaslar - fərqli eksponentlər
Eyni dərəcə əsasları - dərəcələrin eyni göstəriciləri
Güclərin məhsulu
İki fərqli dərəcə bazası - eyni göstəricilər
Ən sadə eksponensial tənliklər

1. (güclərin məhsulu)

2. (eyni əsaslar - fərqli eksponentlər)

Mühazirə: “Göstərici tənliklərin həlli üsulları”.

1 . Eksponensial tənliklər.

Göstəricilərdə naməlum olan tənliklərə eksponensial tənliklər deyilir. Onlardan ən sadəsi ax = b tənliyidir, burada a > 0, a ≠ 1.

1) b-də< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) b > 0 üçün funksiyanın monotonluğundan və kök teoremindən istifadə edərək tənliyin unikal kökü olur. Onu tapmaq üçün b b = aс, аx = bс ó x = c və ya x = logab formasında göstərilməlidir.

Cəbri çevrilmələrlə eksponensial tənliklər aşağıdakı üsullardan istifadə etməklə həll olunan standart tənliklərə gətirib çıxarır:

1) bir bazaya endirmə üsulu;

2) qiymətləndirmə metodu;

3) qrafik metod;

4) yeni dəyişənlərin tətbiqi üsulu;

5) faktorlara ayırma üsulu;

6) göstərici - güc tənlikləri;

7) parametr ilə nümayiş etdirici.

2 . Bir bazaya endirmə üsulu.

Metod əsaslanır aşağıdakı əmlak dərəcələr: əgər iki dərəcə bərabərdirsə və əsasları bərabərdirsə, onda onların göstəriciləri bərabərdir, yəni tənliyi formaya endirməyə çalışmalıyıq.

Nümunələr. Tənliyi həll edin:

1 . 3x = 81;

Tənliyin sağ tərəfini 81 = 34 şəklində təqdim edək və ilkin 3 x = 34 bərabərliyinə bərabər olan tənliyi yazaq; x = 4. Cavab: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">və 3x+1 = 3 – 5x; 8x = eksponentlər üçün tənliyə keçək. 4;x = 0,5 Cavab: 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" eni="105" hündürlük="47">

Qeyd edək ki, 0.2, 0.04, √5 və 25 rəqəmləri 5-in gücünü ifadə edir. Gəlin bundan faydalanaq və orijinal tənliyi aşağıdakı kimi çevirək:

, buradan 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, buradan x = -1 həllini tapırıq. Cavab: -1.

5. 3x = 5. Loqarifmin tərifinə görə, x = log35. Cavab: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Tənliyi 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8 şəklində yenidən yazaq, yəni..png" width="181" height="49 src="> Deməli, x – 4 =0, x = 4. Cavab: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Qüvvətlərin xassələrindən istifadə edərək tənliyi 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9, sonra 3∙3x = 9, 3x+1 şəklində yazırıq. = 32, yəni x+1 = 2, x =1. Cavab: 1.

1 saylı problem bankı.

Tənliyi həll edin:

Test №1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) kök yoxdur
	1) 7;1 2) kök yoxdur 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test № 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) kök yoxdur 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Qiymətləndirmə metodu.

Kök teoremi: f(x) funksiyası I intervalında artırsa (azalırsa), a ədədi f-nin bu intervalda qəbul etdiyi istənilən qiymətdir, onda f(x) = a tənliyinin I intervalında tək kökü var.

Tənlikləri qiymətləndirmə üsulu ilə həll edərkən bu teoremdən və funksiyanın monotonluq xassələrindən istifadə olunur.

Nümunələr. Tənlikləri həll edin: 1. 4x = 5 - x.

Həll. Tənliyi 4x +x = 5 kimi yenidən yazaq.

1. əgər x = 1 olarsa, 41+1 = 5, 5 = 5 doğrudur, yəni 1 tənliyin köküdür.

f(x) = 4x funksiyası R-də artır, g(x) = x – R-də artır => h(x)= f(x)+g(x) R-də artır, artan funksiyaların cəmi kimi, onda x = 1 4x = 5 – x tənliyinin yeganə köküdür. Cavab: 1.

Həll. Tənliyi formada yenidən yazaq .

1. əgər x = -1 olarsa, onda , 3 = 3 doğrudur, yəni x = -1 tənliyin köküdür.

2. onun yeganə olduğunu sübut etmək.

3. f(x) = - funksiyası R-də azalır, g(x) = - x – R-də azalır=> h(x) = f(x)+g(x) – R-də azalır, cəmi kimi azalan funksiyalar. Bu o deməkdir ki, kök teoreminə görə x = -1 tənliyin yeganə köküdür. Cavab: -1.

2 saylı problem bankı. Tənliyi həll edin

a) 4x + 1 =6 – x;

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Yeni dəyişənlərin tətbiqi üsulu.

Metod 2.1-ci bənddə təsvir edilmişdir. Yeni dəyişənin (əvəzetmə) tətbiqi adətən tənliyin şərtlərinin çevrilməsindən (sadələşdirilməsindən) sonra həyata keçirilir. Nümunələrə baxaq.

Nümunələr. R Tənliyi həll edin: 1. .

Gəlin tənliyi fərqli şəkildə yenidən yazaq: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e.png" width="210" height = "45">

Həll. Tənliyi fərqli şəkildə yenidən yazaq:

https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> təyin edək - uyğun deyil.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - irrasional tənlik.Qeyd edirik ki,

Tənliyin həlli x = 2.5 ≤ 4-dir, yəni 2.5 tənliyin köküdür. Cavab: 2.5.

Həll. Tənliyi yenidən formada yazaq və hər iki tərəfi 56x+6 ≠ 0-a bölək. Tənliyi alırıq.

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" eni="118" hündürlük="56">

Kvadrat tənliyin kökləri t1 = 1 və t2-dir<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Həll . Tənliyi formada yenidən yazaq

və qeyd edək ki, ikinci dərəcəli bircins tənlikdir.

Tənliyi 42x-ə bölün, alırıq

Gəlin əvəz edək https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Cavab: 0; 0.5.

3 saylı problem bankı. Tənliyi həll edin

Test № 3 cavab seçimi ilə. Minimum səviyyə.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) kök yoxdur 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) kök yoxdur 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Test № 4 cavab seçimi ilə. Ümumi səviyyə.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) kökləri yoxdur

5. Faktorizasiya üsulu.

1. Tənliyi həll edin: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Həll..png" width="169" height="69"> , haradan

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Həll. Tənliyin sol tərəfində mötərizədə 6x, sağ tərəfdə isə 2x qoyaq. 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x tənliyini alırıq.

Bütün x üçün 2x >0 olduğundan, həll yollarını itirməkdən qorxmadan bu tənliyin hər iki tərəfini 2x-ə bölmək olar. 3x = 1ó x = 0 alırıq.

Həll. Tənliyi faktorlara ayırma üsulu ilə həll edək.

binomialın kvadratını seçək

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" eni="500" hündürlük="181">

x = -2 tənliyin köküdür.

Tənlik x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test № 6 Ümumi səviyyə.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Eksponensial – güc tənlikləri.

Eksponensial tənliklərə bitişik eksponensial güc tənlikləri adlanır, yəni (f(x))g(x) = (f(x))h(x) formasında olan tənliklərdir.

f(x)>0 və f(x) ≠ 1 olduğu məlumdursa, eksponensial kimi tənlik də g(x) = f(x) göstəricilərini bərabərləşdirməklə həll edilir.

Əgər şərt f(x)=0 və f(x)=1 imkanlarını istisna etmirsə, onda eksponensial tənliyin həlli zamanı bu halları nəzərə almalıyıq.

1..png" eni="182" hündürlük="116 src=">

Həll. x2 +2x-8 – hər hansı x üçün məna kəsb edir, çünki o, çoxhədlidir, yəni tənlik cəminə ekvivalentdir

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" eni="137" hündürlük="35">

7. Parametrli eksponensial tənliklər.

1. 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) tənliyi p parametrinin hansı qiymətlərinə malikdir tək qərar?

Həll. 2x = t, t > 0 əvəzini təqdim edək, onda (1) tənliyi t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 formasını alacaq. (2)

(2) tənliyinin diskriminantı D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Əgər (2) tənliyinin bir müsbət kökü varsa, (1) tənliyinin unikal həlli var. Bu, aşağıdakı hallarda mümkündür.

1. Əgər D = 0, yəni p = 1 olarsa, (2) tənliyi t2 – 2t + 1 = 0 formasını alacaq, deməli, t = 1, deməli, (1) tənliyinin x = 0 unikal həlli var.

2. Əgər p1, onda 9(p – 1)2 > 0 olarsa, (2) tənliyinin iki fərqli kökü var t1 = p, t2 = 4p – 3. Məsələnin şərtləri sistemlər çoxluğu ilə ödənilir.

Sistemlərdə t1 və t2-ni əvəz edərək, bizdə var

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Həll. Qoy onda (3) tənliyi t2 – 6t – a = 0 formasını alacaq. (4)

(4) tənliyinin ən azı bir kökünün t > 0 şərtini ödədiyi a parametrinin qiymətlərini tapaq.

f(t) = t2 – 6t – a funksiyasını təqdim edək. Aşağıdakı hallar mümkündür.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} kvadrat üçbucaqlı f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Məsələn 2. Tənlik (4) unikaldır müsbət qərar, Əgər

D = 0, əgər a = – 9 olarsa, (4) tənliyi (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1 formasını alacaqdır.

Hal 3. (4) tənliyinin iki kökü var, lakin onlardan biri t > 0 bərabərsizliyini təmin etmir. Bu, o halda mümkündür ki,

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Beləliklə, a 0 üçün (4) tənliyinin tək müsbət kökü var . Onda (3) tənliyinin unikal həlli var

Nə vaxt< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

əgər a< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
a = – 9 olarsa, x = – 1;

a  0 olarsa, onda

(1) və (3) tənliklərinin həlli üsullarını müqayisə edək. Qeyd edək ki, (1) tənliyini həll edərkən diskriminantı mükəmməl kvadrat olan kvadrat tənliyə endirilmişdir; Beləliklə, (2) tənliyinin kökləri kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturdan istifadə etməklə dərhal hesablanmış və sonra bu köklərlə bağlı nəticələr çıxarılmışdır. (3) tənliyi diskriminantı mükəmməl kvadrat olmayan kvadrat tənliyə (4) endirilmişdir, ona görə də (3) tənliyini həll edərkən kvadrat üçhəcmlinin köklərinin yerləşməsi haqqında teoremlərdən istifadə etmək məqsədəuyğundur. və qrafik modeli. Qeyd edək ki, (4) tənliyi Vyeta teoremindən istifadə etməklə həll edilə bilər.

Daha mürəkkəb tənlikləri həll edək.

Məsələ 3: Tənliyi həll edin

Həll. ODZ: x1, x2.

Bir əvəz təqdim edək. 2x = t, t > 0 olsun, onda çevrilmələr nəticəsində tənlik t2 + 2t – 13 – a = 0 formasını alacaq. (*) Ən azı bir kökü olan a-nın qiymətlərini tapaq. (*) tənliyi t > 0 şərtini ödəyir.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Cavab: a > – 13, a  11, a  5 olarsa, a – 13 olarsa,

a = 11, a = 5, onda heç bir kök yoxdur.

Biblioqrafiya.

1. Təhsil texnologiyasının Quzeyev əsasları.

2. Guzeev texnologiyası: qəbuldan fəlsəfəyə qədər.

M. “Məktəb direktoru” No4, 1996

3. Quzeev və təşkilati formalar təlim.

4. Guzeev və inteqral təhsil texnologiyası təcrübəsi.

M. “Xalq təhsili”, 2001

5. Guzeev dərs - seminar formalarından.

2 saylı məktəbdə riyaziyyat, 1987 s.9 – 11.

6. Seleuko təhsil texnologiyaları.

M. “Xalq təhsili”, 1998

7. Episheva məktəbliləri riyaziyyatı öyrənsinlər.

M. “Maarifçilik”, 1990

8. İvanova dərslər - seminarlar hazırlayır.

6 saylı məktəbdə riyaziyyat, 1990 s. 37 - 40.

9. Smirnovun riyaziyyatın tədrisi modeli.

1 saylı məktəbdə riyaziyyat, 1997 s. 32 – 36.

10. Tarasenko praktiki işin təşkili yolları.

1 saylı məktəbdə riyaziyyat, 1993 s. 27 – 28.

11. Fərdi iş növlərindən biri haqqında.

2 saylı məktəbdə riyaziyyat, 1994, s.63 – 64.

12. Xazankin Yaradıcı bacarıqlar məktəblilər.

2 saylı məktəbdə riyaziyyat, 1989 s. 10.

13. Skanavi. Nəşriyyat, 1997

14. və başqaları.Cəbr və təhlilin başlanğıcları. Didaktik materiallarüçün

15. Riyaziyyatda Krivonoqov tapşırıqları.

M. “Birinci sentyabr”, 2002

16. Çerkasov. Ali məktəb tələbələri üçün dərslik və

universitetlərə daxil olmaq. "A S T - mətbuat məktəbi", 2002

17. Universitetlərə daxil olanlar üçün Jevnyak.

Minsk və Rusiya Federasiyası “İcmal”, 1996

18. Yazılı D. Riyaziyyatdan imtahana hazırlaşırıq. M. Rolf, 1999

19. və s. Tənlikləri və bərabərsizlikləri həll etməyi öyrənmək.

M. “İntellekt – Mərkəz”, 2003

20. və s. EGE-yə hazırlıq üçün tədris və təlim materialları.

M. "Kəşfiyyat - Mərkəz", 2003 və 2004.

21 və başqaları.CMM seçimləri. Rusiya Federasiyası Müdafiə Nazirliyinin Test Mərkəzi, 2002, 2003.

22. Qoldberq tənlikləri. “Kvant” №3, 1971-ci il

23. Voloviç M. Riyaziyyatı necə uğurla öyrətmək olar.

Riyaziyyat, 1997 No 3.

Dərs üçün 24 Okunev, uşaqlar! M. Təhsil, 1988

25. Yakimanskaya - məktəbdə yönümlü öyrənmə.

26. Liimets sinifdə işləyir. M. Bilik, 1975

Bütün yeni video dərslərdən xəbərdar olmaq üçün saytımızın youtube kanalına daxil olun.

Əvvəlcə səlahiyyətlərin əsas düsturlarını və onların xassələrini xatırlayaq.

Nömrənin məhsulu aöz üzərində n dəfə baş verir, bu ifadəni a … a=a n şəklində yaza bilərik

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Güc və ya eksponensial tənliklər– bunlar dəyişənlərin dərəcələrdə (yaxud eksponentlərdə) olduğu tənliklərdir, əsas isə ədəddir.

Eksponensial tənliklərə nümunələr:

IN bu misalda 6 rəqəmi əsasdır, həmişə altdadır və dəyişəndir x dərəcə və ya göstərici.

Eksponensial tənliklərə daha çox nümunə verək.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

İndi eksponensial tənliklərin necə həll edildiyinə baxaq?

Sadə bir tənlik götürək:

2 x = 2 3

Bu misal hətta beyninizdə də həll edilə bilər. Görünür ki, x=3. Bütün sonra, belə ki, sol və sağ hissə bərabər idi, x-i 3 rəqəmi ilə əvəz etməlisiniz.
İndi gəlin bu qərarı necə rəsmiləşdirməyə baxaq:

2 x = 2 3
x = 3

Belə bir tənliyi həll etmək üçün çıxardıq eyni əsaslar(yəni ikilik) və qalanı yazdı, bunlar dərəcələrdir. Axtardığımız cavabı aldıq.

İndi qərarımızı ümumiləşdirək.

Eksponensial tənliyin həlli alqoritmi:
1. Yoxlamaq lazımdır eyni tənliyin sağ və sol əsaslarının olub-olmaması. Səbəblər eyni deyilsə, bu nümunəni həll etmək üçün variantlar axtarırıq.
2. Əsaslar eyni olduqdan sonra, bərabərləşdirmək dərəcə və nəticədə yeni tənliyi həll edin.

İndi bir neçə nümunəyə baxaq:

Sadə bir şeylə başlayaq.

Sol və sağ tərəflərdəki əsaslar 2 rəqəminə bərabərdir, yəni bazanı atıb güclərini bərabərləşdirə bilərik.

x+2=4 Ən sadə tənlik alınır.
x=4 – 2
x=2
Cavab: x=2

Aşağıdakı nümunədə əsasların fərqli olduğunu görə bilərsiniz: 3 və 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Əvvəlcə doqquzu sağ tərəfə köçürün, alırıq:

İndi eyni əsasları düzəltməlisiniz. Biz bilirik ki, 9=32. (a n) m = a nm güc düsturundan istifadə edək.

3 3x = (3 2) x+8

9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16 alırıq

3 3x = 3 2x+16 indi solda və onu görə bilərsiniz sağ tərəfəsaslar eyni və üçə bərabərdir, yəni biz onları atıb dərəcələri bərabərləşdirə bilərik.

3x=2x+16 ən sadə tənliyi alırıq
3x - 2x=16
x=16
Cavab: x=16.

Aşağıdakı misala baxaq:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Hər şeydən əvvəl əsaslara, iki və dördüncü əsaslara baxırıq. Və onların eyni olmasına ehtiyacımız var. Dördünü (a n) m = a nm düsturu ilə çeviririk.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Həm də bir a n a m = a n + m düsturundan istifadə edirik:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Tənliyə əlavə edin:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Eyni səbəblərdən misal çəkdik. Amma digər 10 və 24 rəqəmləri bizi narahat edir.Onlarla nə etmək lazımdır? Diqqətlə baxsanız, görə bilərsiniz ki, sol tərəfdə bizdə 2 2x təkrar var, cavab budur - mötərizədə 2 2x qoya bilərik:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Mötərizədə ifadəni hesablayaq:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Bütün tənliyi 6-ya bölürük:

Təsəvvür edək ki, 4=2 2:

2 2x = 2 2 əsaslar eynidir, biz onları atırıq və dərəcələri bərabərləşdiririk.
2x = 2 ən sadə tənlikdir. Onu 2-yə bölün və alırıq
x = 1
Cavab: x = 1.

Tənliyi həll edək:

9 x – 12*3 x +27= 0

Gəlin çevirək:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Tənliyi alırıq:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Bazalarımız eynidir, üçə bərabərdir.Bu misalda ilk üçünün ikincidən (sadəcə x) iki dəfə (2x) dərəcəsi olduğunu görə bilərsiniz. Bu vəziyyətdə həll edə bilərsiniz əvəzetmə üsulu. Nömrəni ən kiçik dərəcə ilə əvəz edirik:

Onda 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Tənlikdəki bütün x güclərini t ilə əvəz edirik:

t 2 - 12t+27 = 0
Kvadrat tənlik alırıq. Diskriminant vasitəsilə həll edərək əldə edirik:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Dəyişənlərə qayıdırıq x.

t 1 götürün:
t 1 = 9 = 3 x

Yəni,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Bir kök tapıldı. Biz t 2-dən ikincisini axtarırıq:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Cavab: x 1 = 2; x 2 = 1.

Vebsaytda Sizi maraqlandıran bütün suallarınızı QƏRAR VERMƏYƏ KÖMƏK bölməsində verə bilərsiniz, biz sizə mütləq cavab verəcəyik.

Qrupa qoşulun

Eksponensial tənliklərin həlli. Nümunələr.

Diqqət!
Əlavə var
555-ci Xüsusi Bölmədəki materiallar.
Çox "çox deyil..." olanlar üçün.
Və "çox..." olanlar üçün)

Nə baş verdi eksponensial tənlik? Bu, naməlumların (x) və onlarla ifadələrin olduğu tənlikdir göstəricilər bəzi dərəcələr. Və yalnız orada! Vacibdir.

Buradasan eksponensial tənliklərə nümunələr:

3 x 2 x = 8 x+3

Qeyd! Dərəcələrin əsaslarında (aşağıda) - yalnız rəqəmlər. IN göstəricilər dərəcələr (yuxarıda) - X ilə ifadələrin geniş çeşidi. Əgər birdən tənlikdə göstəricidən başqa yerdə X görünürsə, məsələn:

bu bir tənlik olacaq qarışıq tip. Belə tənliklərin həlli üçün aydın qaydaları yoxdur. Hələlik onları nəzərdən keçirməyəcəyik. Burada biz məşğul olacağıq eksponensial tənliklərin həlliən təmiz formada.

Əslində, hətta təmiz eksponensial tənliklər də həmişə aydın şəkildə həll edilmir. Amma var müəyyən növlər həll edilə bilən və edilməli olan eksponensial tənliklər. Bunlar nəzərdən keçirəcəyimiz növlərdir.

Sadə eksponensial tənliklərin həlli.

Əvvəlcə çox sadə bir şeyi həll edək. Misal üçün:

Heç bir nəzəriyyə olmasa belə, sadə seçimlə x = 2 olduğu aydın olur. Daha heç nə, elə deyilmi!? X-in başqa heç bir dəyəri işləmir. İndi bu çətin eksponensial tənliyin həllinə baxaq:

Biz nə etmişik? Biz, əslində, eyni əsasları (üçlü) atdıq. Tamamilə atılıb. Və yaxşı xəbər budur ki, başımıza mismar vurduq!

Həqiqətən, əgər eksponensial tənlikdə sol və sağ varsa eyni istənilən gücdə olan ədədlər, bu ədədlər çıxarıla və eksponentlər bərabərləşdirilə bilər. Riyaziyyat imkan verir. Daha sadə bir tənliyi həll etmək qalır. Əla, hə?)

Bununla belə, qətiyyətlə xatırlayaq: Siz əsasları yalnız sol və sağdakı əsas nömrələr əla təcrid vəziyyətində olduqda çıxara bilərsiniz! Heç bir qonşu və əmsal olmadan. Tənliklərdə deyək:

2 x +2 x+1 = 2 3 və ya

ikisi çıxarıla bilməz!

Yaxşı, biz ən vacib şeyi mənimsəmişik. Pis eksponensial ifadələrdən daha sadə tənliklərə necə keçmək olar.

"O vaxtlardı!" - deyirsen. “Kim test və imtahanlarda belə primitiv dərs verərdi ki!?”

Razılaşmalıyam. Heç kim etməyəcək. Ancaq indi çətin misalları həll edərkən hara yönələcəyinizi bilirsiniz. Eyni əsas nömrənin solda və sağda olduğu formaya gətirilməlidir. Sonra hər şey daha asan olacaq. Əslində bu riyaziyyatın klassikidir. Orijinal nümunəni götürürük və onu istədiyinizə çeviririk bizə ağıl. Təbii ki, riyaziyyatın qaydalarına görə.

Onları ən sadə hala gətirmək üçün bəzi əlavə səylər tələb edən nümunələrə baxaq. Gəlin onları çağıraq sadə eksponensial tənliklər.

Sadə eksponensial tənliklərin həlli. Nümunələr.

Eksponensial tənlikləri həll edərkən əsas qaydalar bunlardır dərəcə ilə hərəkətlər. Bu hərəkətləri bilmədən heç nə işləməyəcək.

Dərəcəli hərəkətlərə şəxsi müşahidə və ixtiraçılıq əlavə edilməlidir. Eyni əsas nömrələrə ehtiyacımız varmı? Beləliklə, biz onları nümunədə açıq və ya şifrələnmiş formada axtarırıq.

Gəlin görək bu praktikada necə edilir?

Bir misal verək:

2 2x - 8 x+1 = 0

İlk kəskin baxış bundadır əsaslar. Onlar... Onlar fərqlidirlər! İki və səkkiz. Ancaq ruhdan düşmək üçün hələ tezdir. Bunu xatırlamağın vaxtı gəldi

İki və səkkiz dərəcə qohumdur.) Yazmaq tamamilə mümkündür:

8 x+1 = (2 3) x+1

Düsturu dərəcələrlə əməliyyatlardan xatırlasaq:

(a n) m = a nm,

bu əla işləyir:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Orijinal nümunə belə görünməyə başladı:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Transfer edirik 2 3 (x+1) sağa (heç kim riyaziyyatın elementar əməliyyatlarını ləğv etməmişdir!), alırıq:

2 2x = 2 3(x+1)

Praktiki olaraq hamısı budur. Bazaların çıxarılması:

Bu canavarı həll edirik və alırıq

Bu düzgün cavabdır.

Bu nümunədə ikinin səlahiyyətlərini bilmək bizə kömək etdi. Biz müəyyən edilmişdir səkkizdə şifrələnmiş iki var. Bu texnika (şifrələmə ümumi əsaslar altında müxtəlif nömrələr) eksponensial tənliklərdə çox məşhur bir texnikadır! Bəli və loqarifmlərdə də. Rəqəmlərdəki digər rəqəmlərin gücünü tanıya bilməlisiniz. Bu eksponensial tənliklərin həlli üçün son dərəcə vacibdir.

Fakt budur ki, istənilən rəqəmi istənilən gücə qaldırmaq problem deyil. Çoxaldın, hətta kağız üzərində də, vəssalam. Məsələn, hər kəs 3-ü beşinci gücə qaldıra bilər. Əgər vurma cədvəlini bilsəniz 243 işləyəcək.) Amma eksponensial tənliklərdə daha çox gücə yüksəltmək lazım deyil, əksinə... Tapın hansı rəqəm nə dərəcədə 243 rəqəminin arxasında gizlənir, ya da deyək ki, 343... Burada sizə heç bir kalkulyator kömək etməyəcək.

Bəzi rəqəmlərin gücünü görmədən bilmək lazımdır, hə... Gəlin məşq edək?

Rəqəmlərin hansı güclərə və hansı nömrələrə aid olduğunu müəyyənləşdirin:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Cavablar (əlbəttə ki, qarışıqlıqda!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Diqqətlə baxsanız görə bilərsiniz qəribə fakt. Tapşırıqlardan əhəmiyyətli dərəcədə daha çox cavab var! Yaxşı, olur... Məsələn, 2 6, 4 3, 8 2 - hamısı 64-dür.

Fərz edək ki, siz rəqəmlərlə tanışlıq haqqında məlumatı qeyd etmisiniz.) Onu da xatırladaq ki, eksponensial tənlikləri həll etmək üçün istifadə edirik. hamısı riyazi biliklər fondu. O cümlədən kiçik və orta siniflərdən olanlar. Sən düz orta məktəbə getməmisən, elə deyilmi?)

Məsələn, eksponensial tənlikləri həll edərkən ümumi amili mötərizədən çıxarmaq çox vaxt kömək edir (7-ci sinifə salam!). Bir misala baxaq:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Və yenə də, ilk baxış təməllərdədir! Dərəcələrin əsasları fərqlidir... Üç və doqquz. Amma biz onların eyni olmasını istəyirik. Yaxşı, bu halda arzu tamamilə yerinə yetirilir!) Çünki:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Dərəcələrlə işləmək üçün eyni qaydalardan istifadə edin:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Əladır, bunu yaza bilərsiniz:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Eyni səbəblərdən misal çəkdik. Yaxşı, bundan sonra nə var!? Üçlük atmaq olmaz... Çıxmaz?

Dəyməz. Ən universal və güclü qərar qaydasını xatırlayın hər kəs riyaziyyat tapşırıqları:

Nəyə ehtiyacınız olduğunu bilmirsinizsə, bacardığınızı edin!

Bax, hər şey düzələcək).

Bu eksponensial tənlikdə nə var Bacarmaq etmək? Bəli, sol tərəfdə sadəcə mötərizədən çıxarılmasını xahiş edir! Ümumi çarpan 3 2x buna aydın şəkildə işarə edir. Gəlin cəhd edək, sonra görəcəyik:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Nümunə getdikcə daha da yaxşılaşır!

Xatırlayırıq ki, əsasları aradan qaldırmaq üçün heç bir əmsal olmadan təmiz dərəcə lazımdır. 70 rəqəmi bizi narahat edir. Beləliklə, tənliyin hər iki tərəfini 70-ə bölürük, alırıq:

Vay! Hər şey yaxşılaşdı!

Bu son cavabdır.

Bununla belə, belə olur ki, eyni əsasda taksiyə nail olunur, lakin onların aradan qaldırılması mümkün deyil. Bu, digər eksponensial tənliklərdə baş verir. Gəlin bu növü öyrənək.

Eksponensial tənliklərin həllində dəyişənin dəyişdirilməsi. Nümunələr.

Tənliyi həll edək:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Birincisi - həmişəki kimi. Gəlin bir bazaya keçək. Deuce üçün.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Tənliyi alırıq:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Və bura bizim əyləşdiyimiz yerdir. Əvvəlki fəndlər nə qədər baxsan da işləməyəcək. Biz arsenalımızdan başqa bir güclü və universal metodu çıxarmalı olacağıq. Bu adlanır dəyişən əvəz.

Metodun mahiyyəti təəccüblü dərəcədə sadədir. Bir mürəkkəb simvolun əvəzinə (bizim vəziyyətimizdə - 2 x) başqa, daha sadə birini (məsələn - t) yazırıq. Belə görünən mənasız əvəzetmə heyrətamiz nəticələrə gətirib çıxarır!) Hər şey sadəcə aydın və başa düşülən olur!

Elə isə qoy

Onda 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Tənliyimizdə bütün gücləri x ilə t ilə əvəz edirik:

Yaxşı, ağlınıza gəlir?) Kvadrat tənliklər Siz hələ də unutmusunuz? Diskriminant vasitəsilə həll edərək əldə edirik:

Burada əsas olan dayanmamaqdır, olduğu kimi... Bu hələ cavab deyil, bizə t yox, x lazımdır. Gəlin X-ə qayıdaq, yəni. tərs əvəz edirik. t 1 üçün ilk:

Yəni,

Bir kök tapıldı. Biz t 2-dən ikincisini axtarırıq:

Hm... 2 x solda, 1 sağda... Problem? Dəyməz! Bir vahid olduğunu xatırlamaq kifayətdir (güclərlə əməliyyatlardan, bəli ...). hər hansı nömrəni sıfır gücə çevirin. Hər hansı. Nə lazımdırsa, onu quraşdıracağıq. Bizə iki lazımdır. O deməkdir:

İndi bu qədər. 2 kök aldıq:

Bu cavabdır.

At eksponensial tənliklərin həlli sonunda bəzən bir növ yöndəmsiz ifadə ilə başa çatırsan. Növ:

Yeddidən ikiyə qədər sadə dərəcə işləmir. Qohum deyillər... Necə olaq? Kimsə çaşa bilər... Amma bu saytda “Loqarifm nədir?” mövzusunu oxuyan şəxs , sadəcə təbəssümlə gülümsəyir və möhkəm əli ilə tamamilə düzgün cavabı yazır:

Vahid Dövlət İmtahanının “B” tapşırıqlarında belə bir cavab ola bilməz. Orada konkret nömrə tələb olunur. Ancaq "C" tapşırıqlarında bu asandır.

Bu dərsdə ən ümumi eksponensial tənliklərin həlli nümunələri verilir. Əsas məqamları vurğulayaq.

Praktik məsləhət:

1. İlk növbədə, biz baxırıq əsaslar dərəcə. Onları düzəltməyin mümkün olub-olmaması ilə maraqlanırıq eyni. Gəlin aktiv istifadə edərək bunu etməyə çalışaq dərəcə ilə hərəkətlər. Unutmayın ki, x olmadan rəqəmlər də gücə çevrilə bilər!

2. Solda və sağda olduqda eksponensial tənliyi formaya gətirməyə çalışırıq eyni istənilən gücdə olan nömrələr. istifadə edirik dərəcə ilə hərəkətlər Və faktorizasiya. Rəqəmlərlə nə sayıla bilər, biz də sayırıq.

3. İkinci ipucu işləmirsə, dəyişənlərin dəyişdirilməsini istifadə etməyə çalışın. Nəticə asanlıqla həll edilə bilən bir tənlik ola bilər. Ən tez-tez - kvadrat. Və ya fraksiya, bu da kvadrata endirilir.

4. Eksponensial tənlikləri uğurla həll etmək üçün bəzi ədədlərin gücünü görmə qabiliyyətinə görə bilmək lazımdır.

Həmişə olduğu kimi, dərsin sonunda bir az qərar verməyə dəvət olunur.) Özünüz. Sadədən mürəkkəbə.

Eksponensial tənlikləri həll edin:

Daha çətin:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Köklərin məhsulunu tapın:

2 3 + 2 x = 9

baş verdi?

Yaxşı onda ən mürəkkəb nümunə(ancaq ağlında qərar verdi...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Daha maraqlısı nədir? O zaman sizə pis bir nümunə var. Artan çətinlik üçün olduqca cazibədar. İcazə verin ki, bu misalda sizi xilas edən ixtiraçılıqdır və bütün riyazi problemləri həll etmək üçün ən universal qaydadır.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

İstirahət üçün daha sadə bir nümunə):

9 2 x - 4 3 x = 0

Və desert üçün. Tənliyin köklərinin cəmini tapın:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Hə hə! Bu qarışıq tipli tənlikdir! Bu dərsdə nəzərə almadıq. Onları niyə nəzərdən keçirək, onları həll etmək lazımdır!) Bu dərs tənliyi həll etmək üçün kifayətdir. Yaxşı, sizə ixtiraçılıq lazımdır... Və yeddinci sinif sizə kömək etsin (bu bir işarədir!).

Cavablar (səliqəsiz, nöqtəli vergüllə ayrılmış):

1; 2; 3; 4; həll yolları yoxdur; 2; -2; -5; 4; 0.

Hər şey uğurludurmu? Əla.

problem var? Problem deyil! Xüsusi Bölmə 555 bütün bu eksponensial tənlikləri ətraflı izahatlarla həll edir. Nə, niyə və niyə. Və təbii ki, bütün növ eksponensial tənliklərlə işləmək üçün əlavə dəyərli məlumatlar var. Tək bunlar deyil.)

Nəzərə almaq üçün son bir əyləncəli sual. Bu dərsdə eksponensial tənliklərlə işlədik. Niyə mən burada ODZ haqqında bir söz demədim? Tənliklərdə bu çox vacib bir şeydir, yeri gəlmişkən...

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Gəlin öyrənək - maraqla!)

Funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.

Yekun sınaq imtahanına hazırlıq mərhələsində orta məktəb şagirdləri “İsponensial tənliklər” mövzusunda biliklərini təkmilləşdirməlidirlər. Ötən illərin təcrübəsi göstərir ki, belə tapşırıqlar məktəblilər üçün müəyyən çətinliklər yaradır. Buna görə də orta məktəb şagirdləri hazırlıq səviyyəsindən asılı olmayaraq, nəzəriyyəni hərtərəfli mənimsəməli, düsturları yadda saxlamalı və belə tənliklərin həlli prinsipini başa düşməlidirlər. Bu cür tapşırıqların öhdəsindən gəlməyi öyrənən məzunlar arxalana biləcəklər yüksək ballar riyaziyyatdan Vahid Dövlət İmtahanını verərkən.

Shkolkovo ilə imtahan testinə hazır olun!

Öyrəndikləri materialları nəzərdən keçirərkən bir çox tələbələr tənlikləri həll etmək üçün lazım olan düsturları tapmaq problemi ilə qarşılaşırlar. Məktəb dərsliyi həmişə əlində deyil və İnternetdə mövzu ilə bağlı lazımi məlumatı seçmək çox vaxt aparır.

Şkolkovo təhsil portalı tələbələri bilik bazamızdan istifadə etməyə dəvət edir. Biz yekun imtahana hazırlaşmağın tamamilə yeni üsulunu tətbiq edirik. Veb saytımızda oxumaqla siz bilik boşluqlarını müəyyən edə və ən çox çətinlik yaradan tapşırıqlara diqqət yetirə biləcəksiniz.

Şkolkovo müəllimləri üçün lazım olan hər şeyi topladı, sistemləşdirdi və təqdim etdi uğurla başa çatması Vahid Dövlət İmtahan materialıən sadə və ən əlçatan formada.

Əsas təriflər və düsturlar “Nəzəri məlumat” bölməsində təqdim olunur.

Materialı daha yaxşı başa düşmək üçün sizə tapşırıqları yerinə yetirmək üçün məşq etməyi tövsiyə edirik. Hesablama alqoritmini başa düşmək üçün bu səhifədə təqdim olunan həllər ilə eksponensial tənliklərin nümunələrini diqqətlə nəzərdən keçirin. Bundan sonra, "Kataloqlar" bölməsində tapşırıqları yerinə yetirməyə davam edin. Siz ən asan tapşırıqlardan başlaya bilərsiniz və ya bir neçə naməlum və ya mürəkkəb eksponensial tənliklərin həllinə birbaşa keçə bilərsiniz. Veb saytımızdakı məşqlər bazası daim əlavə olunur və yenilənir.

Sizə çətinlik yaradan göstəriciləri olan nümunələri “Sevimlilər”ə əlavə etmək olar. Bu yolla siz onları tez tapıb həll yolunu müəlliminizlə müzakirə edə bilərsiniz.

Vahid Dövlət İmtahanını uğurla vermək üçün hər gün Şkolkovo portalında oxuyun!