Mühazirə: “Həll üsulları eksponensial tənliklər».

1 . Eksponensial tənliklər.

Göstəricilərdə naməlum olan tənliklərə eksponensial tənliklər deyilir. Onlardan ən sadəsi ax = b tənliyidir, burada a > 0, a ≠ 1.

1) b-də< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) b > 0 üçün funksiyanın monotonluğundan və kök teoremindən istifadə edərək tənliyin unikal kökü olur. Onu tapmaq üçün b b = aс, аx = bс ó x = c və ya x = logab formasında göstərilməlidir.

Cəbri çevrilmələrlə eksponensial tənliklər aşağıdakı üsullardan istifadə etməklə həll olunan standart tənliklərə gətirib çıxarır:

1) bir bazaya endirmə üsulu;

2) qiymətləndirmə metodu;

3) qrafik üsul;

4) yeni dəyişənlərin tətbiqi üsulu;

5) faktorlara ayırma üsulu;

6) göstərici - güc tənlikləri;

7) parametr ilə nümayiş etdirici.

2 . Bir bazaya endirmə üsulu.

Metod əsaslanır aşağıdakı əmlak dərəcələr: əgər iki dərəcə bərabərdirsə və əsasları bərabərdirsə, onda onların göstəriciləri bərabərdir, yəni tənliyi formaya endirməyə çalışmalıyıq.

Nümunələr. Tənliyi həll edin:

1 . 3x = 81;

Təsəvvür edək sağ tərəf tənlikləri 81 = 34 şəklində yazın və orijinal 3 x = 34-ə bərabər olan tənliyi yazın; x = 4. Cavab: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">və 3x+1 = 3 – 5x; 8x = eksponentlər üçün tənliyə keçək. 4;x = 0,5 Cavab: 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" eni="105" hündürlük="47">

Qeyd edək ki, 0.2, 0.04, √5 və 25 rəqəmləri 5-in gücünü ifadə edir. Gəlin bundan faydalanaq və orijinal tənliyi aşağıdakı kimi çevirək:

, buradan 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, buradan x = -1 həllini tapırıq. Cavab: -1.

5. 3x = 5. Loqarifmin tərifinə görə, x = log35. Cavab: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Tənliyi 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8 şəklində yenidən yazaq, yəni..png" width="181" height="49 src="> Deməli, x – 4 =0, x = 4. Cavab: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Qüvvətlərin xassələrindən istifadə edərək tənliyi 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9, sonra 3∙3x = 9, 3x+1 şəklində yazırıq. = 32, yəni x+1 = 2, x =1. Cavab: 1.

1 saylı problem bankı.

Tənliyi həll edin:

Test №1.

Test № 2

3 Qiymətləndirmə metodu.

Kök teoremi: f(x) funksiyası I intervalında artırsa (azalırsa), a ədədi f-nin bu intervalda qəbul etdiyi istənilən qiymətdir, onda f(x) = a tənliyinin I intervalında tək kökü var.

Tənlikləri qiymətləndirmə üsulu ilə həll edərkən bu teoremdən və funksiyanın monotonluq xassələrindən istifadə olunur.

Nümunələr. Tənlikləri həll edin: 1. 4x = 5 - x.

Həll. Tənliyi 4x +x = 5 kimi yenidən yazaq.

1. əgər x = 1 olarsa, 41+1 = 5, 5 = 5 doğrudur, yəni 1 tənliyin köküdür.

f(x) = 4x funksiyası R-də artır, g(x) = x – R-də artır => h(x)= f(x)+g(x) R-də artır, artan funksiyaların cəmi kimi, onda x = 1 4x = 5 – x tənliyinin yeganə köküdür. Cavab: 1.

2.

Həll. Tənliyi formada yenidən yazaq .

1. əgər x = -1 olarsa, onda , 3 = 3 doğrudur, yəni x = -1 tənliyin köküdür.

2. onun yeganə olduğunu sübut etmək.

3. f(x) = - funksiyası R-də azalır, g(x) = - x – R-də azalır=> h(x) = f(x)+g(x) – R-də azalır, cəmi kimi azalan funksiyalar. Bu o deməkdir ki, kök teoreminə görə x = -1 tənliyin yeganə köküdür. Cavab: -1.

2 saylı problem bankı. Tənliyi həll edin

a) 4x + 1 =6 – x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Yeni dəyişənlərin tətbiqi üsulu.

Metod 2.1-ci bənddə təsvir edilmişdir. Yeni dəyişənin (əvəzetmə) tətbiqi adətən tənliyin şərtlərinin çevrilməsindən (sadələşdirilməsindən) sonra həyata keçirilir. Nümunələrə baxaq.

Nümunələr. R Tənliyi həll edin: 1. .

Gəlin bərabərliyi fərqli şəkildə yenidən yazaq: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e.png" width="210" height = "45">

Həll. Tənliyi fərqli şəkildə yenidən yazaq:

https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> təyin edək - uyğun deyil.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - irrasional tənlik.Qeyd edirik ki,

Tənliyin həlli x = 2.5 ≤ 4-dir, yəni 2.5 tənliyin köküdür. Cavab: 2.5.

Həll. Tənliyi yenidən formada yazaq və hər iki tərəfi 56x+6 ≠ 0-a bölək. Tənliyi alırıq.

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" eni="118" hündürlük="56">

Kvadrat tənliyin kökləri t1 = 1 və t2-dir<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Həll . Tənliyi formada yenidən yazaq

və qeyd edək ki, ikinci dərəcəli bircins tənlikdir.

Tənliyi 42x-ə bölün, alırıq

Gəlin əvəz edək https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Cavab: 0; 0.5.

3 saylı problem bankı. Tənliyi həll edin

b)

G)

Test № 3 cavab seçimi ilə. Minimum səviyyə.

Test № 4 cavab seçimi ilə. Ümumi səviyyə.

5. Faktorizasiya üsulu.

1. Tənliyi həll edin: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Həll..png" width="169" height="69"> , haradan

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Həll. Tənliyin sol tərəfində mötərizədə 6x, sağ tərəfdə isə 2x qoyaq. 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x tənliyini alırıq.

Bütün x üçün 2x >0 olduğundan, həll yollarını itirməkdən qorxmadan bu tənliyin hər iki tərəfini 2x-ə bölmək olar. 3x = 1ó x = 0 alırıq.

3.

Həll. Tənliyi faktorlara ayırma üsulu ilə həll edək.

binomialın kvadratını seçək

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" eni="500" hündürlük="181">

x = -2 tənliyin köküdür.

Tənlik x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test № 6 Ümumi səviyyə.

6. Eksponensial – güc tənlikləri.

Eksponensial tənliklərə bitişik eksponensial güc tənlikləri adlanır, yəni (f(x))g(x) = (f(x))h(x) formasında olan tənliklərdir.

f(x)>0 və f(x) ≠ 1 olduğu məlumdursa, eksponensial kimi tənlik də g(x) = f(x) göstəricilərini bərabərləşdirməklə həll edilir.

Əgər şərt f(x)=0 və f(x)=1 imkanlarını istisna etmirsə, eksponensial tənliyi həll edərkən bu halları nəzərə almalıyıq.

1..png" eni="182" hündürlük="116 src=">

2.

Həll. x2 +2x-8 – hər hansı x üçün məna kəsb edir, çünki o, çoxhədlidir, yəni tənlik cəminə ekvivalentdir

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" eni="137" hündürlük="35">

b)

7. Parametrli eksponensial tənliklər.

1. 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) tənliyi p parametrinin hansı qiymətlərinə malikdir tək qərar?

Həll. 2x = t, t > 0 əvəzini təqdim edək, onda (1) tənliyi t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 formasını alacaq. (2)

(2) tənliyinin diskriminantı D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Əgər (2) tənliyinin bir müsbət kökü varsa, (1) tənliyinin unikal həlli var. Bu, aşağıdakı hallarda mümkündür.

1. Əgər D = 0, yəni p = 1 olarsa, (2) tənliyi t2 – 2t + 1 = 0 formasını alacaq, deməli, t = 1, deməli, (1) tənliyinin x = 0 unikal həlli var.

2. Əgər p1, onda 9(p – 1)2 > 0 olarsa, (2) tənliyinin iki fərqli kökü var t1 = p, t2 = 4p – 3. Məsələnin şərtləri sistemlər çoxluğu ilə ödənilir.

Sistemlərdə t1 və t2-ni əvəz edərək, bizdə var

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Həll. Qoy onda (3) tənliyi t2 – 6t – a = 0 formasını alacaq. (4)

(4) tənliyinin ən azı bir kökünün t > 0 şərtini ödədiyi a parametrinin qiymətlərini tapaq.

f(t) = t2 – 6t – a funksiyasını təqdim edək. Aşağıdakı hallar mümkündür.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} kvadrat üçbucaqlı f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Məsələn 2. Tənlik (4) unikaldır müsbət qərar, Əgər

D = 0, əgər a = – 9 olarsa, (4) tənliyi (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1 formasını alacaqdır.

Hal 3. (4) tənliyinin iki kökü var, lakin onlardan biri t > 0 bərabərsizliyini təmin etmir. Bu, o halda mümkündür ki,

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Beləliklə, a 0 üçün (4) tənliyinin tək müsbət kökü var . Onda (3) tənliyinin unikal həlli var

Nə vaxt< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

əgər a< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
a = – 9 olarsa, x = – 1;

a  0 olarsa, onda

(1) və (3) tənliklərinin həlli üsullarını müqayisə edək. Qeyd edək ki, (1) tənliyini həll edərkən diskriminantı mükəmməl kvadrat olan kvadrat tənliyə endirilmişdir; Beləliklə, (2) tənliyinin kökləri kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturdan istifadə etməklə dərhal hesablanmış və sonra bu köklərlə bağlı nəticələr çıxarılmışdır. (3) tənliyi diskriminantı mükəmməl kvadrat olmayan kvadrat tənliyə (4) endirilmişdir, buna görə də (3) tənliyini həll edərkən kvadrat üçhəcmlinin köklərinin yerləşməsi haqqında teoremlərdən istifadə etmək məqsədəuyğundur. və qrafik modeli. Qeyd edək ki, (4) tənliyi Vyeta teoremindən istifadə etməklə həll edilə bilər.

Daha mürəkkəb tənlikləri həll edək.

Məsələ 3: Tənliyi həll edin

Həll. ODZ: x1, x2.

Bir əvəz təqdim edək. 2x = t, t > 0 olsun, onda çevrilmələr nəticəsində tənlik t2 + 2t – 13 – a = 0 formasını alacaq. (*) Ən azı bir kökü olan a-nın qiymətlərini tapaq. (*) tənliyi t > 0 şərtini ödəyir.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Cavab: a > – 13, a  11, a  5 olarsa, a – 13 olarsa,

a = 11, a = 5, onda heç bir kök yoxdur.

Biblioqrafiya.

1. Təhsil texnologiyasının Quzeyev əsasları.

2. Guzeev texnologiyası: qəbuldan fəlsəfəyə qədər.

M. “Məktəb direktoru” No4, 1996

3. Quzeev və təşkilati formalar təlim.

4. Guzeev və inteqral təhsil texnologiyası təcrübəsi.

M. “Xalq təhsili”, 2001

5. Guzeev dərs - seminar formalarından.

2 saylı məktəbdə riyaziyyat, 1987 s.9 – 11.

6. Seleuko təhsil texnologiyaları.

M. “Xalq təhsili”, 1998

7. Episheva məktəbliləri riyaziyyatı öyrənsinlər.

M. “Maarifçilik”, 1990

8. İvanova dərslər - seminarlar hazırlayır.

6 saylı məktəbdə riyaziyyat, 1990 s. 37 - 40.

9. Smirnovun riyaziyyatın tədrisi modeli.

1 saylı məktəbdə riyaziyyat, 1997 s. 32 – 36.

10. Tarasenko praktiki işin təşkili yolları.

1 saylı məktəbdə riyaziyyat, 1993 s. 27 – 28.

11. Fərdi iş növlərindən biri haqqında.

2 saylı məktəbdə riyaziyyat, 1994, s.63 – 64.

12. Xazankin Yaradıcı bacarıqlar məktəblilər.

2 saylı məktəbdə riyaziyyat, 1989 s. 10.

13. Skanavi. Nəşriyyat, 1997

14. və başqaları.Cəbr və təhlilin başlanğıcları. Didaktik materiallarüçün

15. Riyaziyyatda Krivonoqov tapşırıqları.

M. “Birinci sentyabr”, 2002

16. Çerkasov. Ali məktəb tələbələri üçün dərslik və

universitetlərə daxil olmaq. "A S T - mətbuat məktəbi", 2002

17. Universitetlərə daxil olanlar üçün Jevnyak.

Minsk və Rusiya Federasiyası “İcmal”, 1996

18. Yazılı D. Riyaziyyatdan imtahana hazırlaşırıq. M. Rolf, 1999

19. və s. Tənlikləri və bərabərsizlikləri həll etməyi öyrənmək.

M. “İntellekt – Mərkəz”, 2003

20. və s. EGE-yə hazırlıq üçün tədris və təlim materialları.

M. "Kəşfiyyat - Mərkəz", 2003 və 2004.

21 və başqaları.CMM seçimləri. Rusiya Federasiyası Müdafiə Nazirliyinin Test Mərkəzi, 2002, 2003.

22. Qoldberq tənlikləri. “Kvant” №3, 1971-ci il

23. Voloviç M. Riyaziyyatı necə uğurla öyrətmək olar.

Riyaziyyat, 1997 No 3.

Dərs üçün 24 Okunev, uşaqlar! M. Təhsil, 1988

25. Yakimanskaya - məktəbdə yönümlü öyrənmə.

26. Liimets sinifdə işləyir. M. Bilik, 1975

Yekun sınaq imtahanına hazırlıq mərhələsində orta məktəb şagirdləri “İsponensial tənliklər” mövzusunda biliklərini təkmilləşdirməlidirlər. Ötən illərin təcrübəsi göstərir ki, belə tapşırıqlar məktəblilər üçün müəyyən çətinliklər yaradır. Buna görə də orta məktəb şagirdləri hazırlıq səviyyəsindən asılı olmayaraq, nəzəriyyəni hərtərəfli mənimsəməli, düsturları yadda saxlamalı və belə tənliklərin həlli prinsipini başa düşməlidirlər. Bu cür tapşırıqların öhdəsindən gəlməyi öyrəndikdən sonra məzunlar arxalana biləcəklər yüksək ballar riyaziyyatdan Vahid Dövlət İmtahanını verərkən.

Shkolkovo ilə imtahan testinə hazır olun!

Bir çox tələbələr keçdikləri materialları nəzərdən keçirərkən tənlikləri həll etmək üçün lazım olan düsturları tapmaq problemi ilə qarşılaşırlar. Məktəb dərsliyi həmişə əlində deyil və İnternetdə mövzu ilə bağlı lazımi məlumatı seçmək çox vaxt aparır.

Şkolkovo təhsil portalı tələbələri bilik bazamızdan istifadə etməyə dəvət edir. Biz yekun imtahana hazırlaşmağın tamamilə yeni üsulunu tətbiq edirik. Veb saytımızda oxumaqla siz bilik boşluqlarını müəyyən edə və ən çox çətinlik yaradan tapşırıqlara diqqət yetirə biləcəksiniz.

Şkolkovo müəllimləri üçün lazım olan hər şeyi topladı, sistemləşdirdi və təqdim etdi uğurla başa çatması Vahid Dövlət İmtahan materialıən sadə və ən əlçatan formada.

Əsas təriflər və düsturlar “Nəzəri məlumat” bölməsində təqdim olunur.

Materialı daha yaxşı başa düşmək üçün sizə tapşırıqları yerinə yetirmək üçün məşq etməyi tövsiyə edirik. Hesablama alqoritmini başa düşmək üçün bu səhifədə təqdim olunan həllər ilə eksponensial tənliklərin nümunələrini diqqətlə nəzərdən keçirin. Bundan sonra, "Kataloqlar" bölməsində tapşırıqları yerinə yetirməyə davam edin. Siz ən asan tapşırıqlardan başlaya bilərsiniz və ya bir neçə naməlum və ya mürəkkəb eksponensial tənliklərin həllinə birbaşa keçə bilərsiniz. Veb saytımızdakı məşqlər bazası daim əlavə olunur və yenilənir.

Sizə çətinlik yaradan göstəriciləri olan nümunələri “Sevimlilər”ə əlavə etmək olar. Bu yolla siz onları tez tapıb həll yolunu müəlliminizlə müzakirə edə bilərsiniz.

Vahid Dövlət İmtahanını uğurla vermək üçün hər gün Şkolkovo portalında oxuyun!

Nümunələr:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4.8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Eksponensial tənlikləri necə həll etmək olar

Hər hansı eksponensial tənliyi həll edərkən, onu \(a^(f(x))=a^(g(x))\) formasına gətirməyə çalışırıq və sonra eksponentlərin bərabərliyinə keçid edirik, yəni:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Misal üçün:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Vacibdir! Eyni məntiqdən belə bir keçid üçün iki tələb irəli gəlir:
- nömrədə sol və sağ eyni olmalıdır;
- sol və sağdakı dərəcələr "təmiz" olmalıdır, yəni vurma, bölmə və s.

Misal üçün:

Tənliyi azaltmaq üçün \(a^(f(x))=a^(g(x))\) şəklində istifadə edilir.

Misal . \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\) eksponensial tənliyini həll edin
Həll:

Birinci səviyyə

Eksponensial tənliklər. Kompleks Bələdçi (2019)

Salam! Bu gün sizinlə ya elementar ola biləcək tənlikləri necə həll edəcəyinizi müzakirə edəcəyik (və ümid edirəm ki, bu məqaləni oxuduqdan sonra demək olar ki, hamısı sizin üçün belə olacaq) və adətən "doldurmaq üçün" verilən tənliklər. Görünür, nəhayət yuxuya getmək. Ancaq mən mümkün olan hər şeyi etməyə çalışacağam ki, indi bu cür tənliklərlə qarşılaşdığınız zaman problem yaşamayasınız. Mən daha kolun ətrafında döyməyəcəyəm, amma dərhal açacağam kiçik sirr: bu gün dərs oxuyacağıq eksponensial tənliklər.

Onların həlli yollarının təhlilinə keçməzdən əvvəl, bu mövzuya hücum etməyə tələsməzdən əvvəl təkrarlamalı olduğunuz bir sıra sualları (kifayət qədər kiçik) sizə təqdim edəcəyəm. Beləliklə, almaq üçün ən yaxşı nəticə, Xahiş edirəm, təkrarlamaq:

1. Xüsusiyyətlər və
2. Həlli və tənliklər

Təkrarlandı? Heyrətamiz! O zaman tənliyin kökünün ədəd olduğunu fərq etmək sizin üçün çətin olmayacaq. Bunu necə etdiyimi dəqiq başa düşürsən? Doğrudurmu? Sonra davam edək. İndi sualıma cavab ver, üçüncü qüvvə nəyə bərabərdir? Sən tamamilə haqlısan: . İkinin hansı qüvvəsi səkkizdir? Düzdür - üçüncüsü! Çünki. Yaxşı, indi aşağıdakı məsələni həll etməyə çalışaq: Ədədi bir dəfə özünə vurub nəticəni alaq. Sual budur ki, mən özüm neçə dəfə çoxaldım? Əlbəttə ki, bunu birbaşa yoxlaya bilərsiniz:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( düzləşdirmək)

Onda belə nəticəyə gələ bilərsiniz ki, mən özümə dəfələrlə vurdum. Bunu başqa necə yoxlaya bilərsiniz? Budur: birbaşa dərəcə tərifi ilə: . Ancaq etiraf etməlisən ki, ikini əldə etmək üçün özünə neçə dəfə vurmaq lazım olduğunu soruşsam, deyəcəksən: Mən özümü aldatmayacağam və üzüm göyərənə qədər öz-özünə çoxalmayacağam. Və o, tamamilə haqlı olardı. Çünki necə edə bilərsən bütün addımları qısaca yazın(və qısalıq istedadın bacısıdır)

harada - bunlar eynidir "dəfə", özü ilə çoxaldıqda.

Düşünürəm ki, siz bilirsiniz (və əgər bilmirsinizsə, təcili, çox təcili olaraq dərəcələri təkrarlayın!) O zaman mənim problemim formada yazılacaq:

Necə məntiqli nəticə çıxara bilərsiniz:

Beləliklə, fərq etmədən ən sadəini yazdım eksponensial tənlik:

Və hətta onu tapdım kök. Sizə elə gəlmirmi ki, hər şey tamamilə mənasızdır? Mən də eyni fikirdəyəm. Budur sizin üçün başqa bir nümunə:

Amma nə etməli? Axı onu (ağlabatan) ədədin gücü kimi yazmaq olmaz. Ümidsizliyə qapılmayaq və qeyd edək ki, bu rəqəmlərin hər ikisi eyni ədədin gücü ilə mükəmməl ifadə olunur. Hansı? Sağ: . Sonra orijinal tənlik formaya çevrilir:

Harada, artıq başa düşdüyünüz kimi, . Gəlin daha gecikməyək və yazaq tərif:

Bizim vəziyyətimizdə: .

Bu tənliklər onları aşağıdakı formaya endirməklə həll olunur:

sonra tənliyin həlli

Əslində, əvvəlki nümunədə biz bunu etdik: aşağıdakıları əldə etdik: Və ən sadə tənliyi həll etdik.

Mürəkkəb heç nə yoxdur, elə deyilmi? Əvvəlcə ən sadələri üzərində məşq edək nümunələr:

Yenə görürük ki, tənliyin sağ və sol tərəfləri bir ədədin gücü kimi göstərilməlidir. Düzdür, solda bu artıq edilib, amma sağda bir nömrə var. Amma yaxşıdır, çünki mənim tənliyim belədir möcüzəvi şəkildə buna çevriləcək:

Mən burada nə istifadə etməli idim? Hansı qayda? "Dəcələr daxilində dərəcələr" qaydası hansı oxuyur:

Birdən:

Bu suala cavab verməzdən əvvəl aşağıdakı cədvəli dolduraq:

Nə qədər az olsa, bizim üçün fərq etmək asandır az dəyər, lakin buna baxmayaraq, bütün bu dəyərlər sıfırdan böyükdür. VƏ HƏMİŞƏ BELƏ OLACAQ!!! Eyni əmlak HƏR GÖSTERİCİ OLAN HƏR ƏSAS ÜÇÜN doğrudur!! (hər hansı və üçün). Onda tənlik haqqında nə nəticə çıxara bilərik? Budur, budur: o kökləri yoxdur! Hər hansı bir tənliyin kökü olmadığı kimi. İndi məşq edək və Sadə nümunələri həll edək:

yoxlayaq:

1. Burada sizdən dərəcələrin xassələrini bilməkdən başqa heç nə tələb olunmayacaq (yeri gəlmişkən, bunu təkrar etməyinizi xahiş etdim!) Bir qayda olaraq, hər şey ən kiçik bazaya gətirib çıxarır: , . Onda orijinal tənlik aşağıdakılara bərabər olacaq: Mənə lazım olan tək şey güclərin xassələrindən istifadə etməkdir: Eyni əsasları olan ədədləri çoxaldarkən güclər toplanır, bölmək zamanı isə çıxarılır. Sonra əldə edəcəm: Yaxşı, indi təmiz vicdanla eksponensial tənlikdən xətti tənliyə keçəcəyəm: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(düzləşdirmə)

2. İkinci misalda biz daha diqqətli olmalıyıq: problem ondadır ki, sol tərəfdə güclə eyni ədədi təmsil edə bilmərik. Bu vəziyyətdə bəzən faydalıdır ədədləri müxtəlif əsasları olan, lakin eyni eksponentləri olan güclərin məhsulu kimi təmsil edir:

Tənliyin sol tərəfi belə görünəcək: Bu bizə nə verdi? Budur: Əsasları fərqli, lakin göstəriciləri eyni olan ədədləri çoxaltmaq olar.Bu vəziyyətdə əsaslar çoxalır, lakin göstərici dəyişmir:

Mənim vəziyyətimdə bu verəcək:

\başlamaq (hizalamaq)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(düzləşdirmə)

Pis deyil, hə?

3. Tənliyin bir tərəfində lüzumsuz olaraq iki şərtin, digər tərəfində isə heç birinin olmamasından xoşum gəlmir (bəzən, əlbəttə ki, bu, əsaslandırılır, amma indi belə bir hal deyil). Mənfi termini sağa köçürəcəyəm:

İndi, əvvəlki kimi, hər şeyi üç güc baxımından yazacağam:

Soldakı dərəcələri əlavə edirəm və ekvivalent tənlik əldə edirəm

Onun kökünü asanlıqla tapa bilərsiniz:

4. Üçüncü misalda olduğu kimi, mənfi terminin sağ tərəfdə yeri var!

Sol tərəfimdə demək olar ki, hər şey yaxşıdır, nədən başqa? Bəli, ikisinin “yanlış dərəcəsi” məni narahat edir. Ancaq bunu yazmaqla asanlıqla düzəldə bilərəm: . Evrika - solda bütün əsaslar fərqlidir, lakin bütün dərəcələr eynidir! Gəlin dərhal çoxalaq!

Burada yenə hər şey aydındır: (əgər sehrli şəkildə sonuncu bərabərliyi necə əldə etdiyimi başa düşmürsənsə, bir dəqiqəlik fasilə ver, nəfəs al və dərəcənin xassələrini yenidən çox diqqətlə oxu. Kim dedi ki, atlaya bilərsiniz. Mənfi eksponentli dərəcə? İndi alacağam:

\başlamaq (hizalamaq)
& ((2)^(4\sol((x) -9 \sağ)=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(düzləşdirmə)

Burada məşq etməyiniz üçün bəzi problemlər var, mən onlara yalnız cavab verəcəyəm (lakin “qarışıq” formada). Onları həll edin, yoxlayın və siz və mən araşdırmalarımızı davam etdirək!

Hazırsan? Cavablar bunlar kimi:

1. istənilən nömrə

Yaxşı, tamam, zarafat etdim! Budur bəzi həllər eskizləri (bəzi çox qısa!)

Sizə elə gəlmir ki, soldakı bir fraksiya digəri “ters çevrilmişdir”? Bundan istifadə etməmək günah olardı:

Bu qayda eksponensial tənlikləri həll edərkən çox istifadə olunur, yaxşı xatırlayın!

Sonra orijinal tənlik belə olacaq:

Bu kvadrat tənliyi həll etməklə aşağıdakı kökləri əldə edəcəksiniz:

2. Başqa bir həll: tənliyin hər iki tərəfini soldakı (və ya sağdakı) ifadəyə bölmək. Sağda olana bölün, onda mən əldə edirəm:

Harada (niyə?!)

3. Özümü təkrarlamaq belə istəmirəm, artıq hər şey o qədər “çeynəlib”.

4. kvadrat tənliyə ekvivalent, köklər

5. Birinci məsələdə verilmiş düsturdan istifadə etməlisiniz, onda bunu əldə edəcəksiniz:

Tənlik hər kəs üçün doğru olan mənasız bir şəxsiyyətə çevrildi. Onda cavab istənilən real rəqəmdir.

Yaxşı, indi həll etməyə məşq etdiniz sadə eksponensial tənliklər.İndi sizə bir neçəsini vermək istəyirəm həyat nümunələri, bu, prinsipcə nə üçün lazım olduğunu anlamağa kömək edəcəkdir. Burada iki misal verəcəyəm. Onlardan biri olduqca gündəlikdir, lakin digəri praktiki deyil, elmi maraq doğurur.

Nümunə 1 (ticarət) Rublunuz olsun, amma siz onu rubla çevirmək istəyirsiniz. Bank sizə bu pulu sizdən illik faiz dərəcəsi ilə faizlərin aylıq kapitallaşdırılması (aylıq hesablama) ilə almağı təklif edir. Sual budur ki, tələb olunan son məbləğə çatmaq üçün neçə ay ərzində əmanət açmaq lazımdır? Olduqca adi bir iş, elə deyilmi? Buna baxmayaraq, onun həlli müvafiq eksponensial tənliyin qurulması ilə əlaqələndirilir: Qoy - ilkin məbləğ, - son məbləğ, - faiz dərəcəsi dövr başına, - dövrlərin sayı. Sonra:

Bizim vəziyyətimizdə (əgər dərəcə illikdirsə, o zaman ayda hesablanır). Niyə bölünür? Bu sualın cavabını bilmirsinizsə, “” mövzusunu xatırlayın! Sonra bu tənliyi alırıq:

Bu eksponensial tənliyi yalnız kalkulyatordan istifadə etməklə həll etmək olar (onun görünüş buna işarə edir və bunun üçün bir az sonra tanış olacağımız loqarifm bilikləri tələb olunur), mən bunu edəcəm: ... Beləliklə, bir milyon almaq üçün bir ay müddətində depozit qoymalıyıq ( çox tez deyil, elə deyilmi?).

Misal 2 (daha çox elmi). Müəyyən "təcrid" olmasına baxmayaraq, ona diqqət yetirməyi məsləhət görürəm: o, mütəmadi olaraq "Vahid Dövlət İmtahanına girir!! (məsələ “real” variantdan götürülmüşdür) Radioaktiv izotopun parçalanması zamanı onun kütləsi qanuna uyğun olaraq azalır, burada (mq) izotopun ilkin kütləsi, (dəq.) izotopun parçalanmasından keçən vaxtdır. ilkin an, (dəq.) yarımparçalanma dövrüdür. Zamanın başlanğıc anında izotopun kütləsi mq-dır. Onun yarı ömrü min. Neçə dəqiqədən sonra izotopun kütləsi mq-a bərabər olacaq? Əla deyil: biz sadəcə olaraq bütün məlumatları götürüb bizə təklif olunan düsturla əvəz edirik:

Gəlin hər iki hissəni "ümidlə" bölək ki, solda həzm oluna bilən bir şey alacağıq:

Yaxşı, çox şanslıyıq! O, soldadır, sonra ekvivalent tənliyə keçək:

Min haradadır.

Gördüyünüz kimi, eksponensial tənliklərin praktikada çox real tətbiqləri var. İndi mən sizə eksponensial tənlikləri həll etməyin başqa (sadə) yolunu göstərmək istəyirəm ki, bu da mötərizədə ümumi amili çıxarmağa və sonra şərtləri qruplaşdırmağa əsaslanır. Sözlərimdən qorxma, bu üsulla artıq 7-ci sinifdə çoxhədliləri öyrənəndə rastlaşmısan. Məsələn, ifadəni faktorla vurmaq lazımdırsa:

Gəlin qruplaşdıraq: birinci və üçüncü şərtlər, eləcə də ikinci və dördüncü. Aydındır ki, birinci və üçüncü kvadratlar fərqidir:

ikinci və dördüncü isə üç ümumi əmsala malikdir:

Onda orijinal ifadə buna bərabərdir:

Ümumi faktoru haradan əldə etmək artıq çətin deyil:

Beləliklə,

Eksponensial tənlikləri həll edərkən təxminən belə edəcəyik: şərtlər arasında "ümumiliyi" axtarın və onu mötərizədən çıxarın, sonra - nə olursa olsun, şanslı olacağımıza inanıram =)) Məsələn:

Sağda yeddinin gücündən çox uzaqdır (yoxladım!) Solda isə bir az daha yaxşıdır, əlbəttə ki, a faktorunu birinci rübdən ikincidən “kəsmək” olar və sonra məşğul ola bilərsiniz. əldə etdiklərinizlə, amma gəlin sizinlə daha ehtiyatlı olaq. Mən "seçmə" zamanı qaçılmaz olaraq əmələ gələn fraksiyalarla məşğul olmaq istəmirəm, ona görə də onu çıxarmağım lazım deyilmi? Onda məndə heç bir fraksiya olmayacaq: necə deyərlər, canavarlar bəslənir, qoyunlar isə təhlükəsizdir:

Mötərizədə ifadəni hesablayın. Sehrli, sehrli şəkildə belə çıxır (təəccüblü olsa da, başqa nə gözləməliyik?).

Sonra tənliyin hər iki tərəfini bu əmsalla azaldırıq. Alırıq: , -dən.

Budur daha mürəkkəb bir nümunə (bir az, həqiqətən):

Nə problem! Bizim burada ortaq nöqtəmiz yoxdur! İndi nə edəcəyiniz tam aydın deyil. Əlimizdən gələni edək: əvvəlcə “dördləri” bir tərəfə, “beşləri” isə digər tərəfə keçirin:

İndi sol və sağdakı "general"ı çıxaraq:

İndi nə? Belə axmaq qruplaşmanın nə faydası var? İlk baxışdan heç görünmür, amma daha dərindən baxaq:

Yaxşı, indi əmin olacağıq ki, solda yalnız c ifadəsi, sağda isə hər şey var. Bunu necə edirik? Budur: Tənliyin hər iki tərəfini əvvəlcə bölün (beləliklə, sağdakı eksponentdən xilas olaq), sonra hər iki tərəfi bölün (beləliklə, soldakı ədədi amildən xilas olaq). Nəhayət əldə edirik:

İnanılmaz! Solda bir ifadə, sağda isə sadə bir ifadə var. Sonra dərhal nəticəyə gəlirik

Möhkəmləndirmək üçün başqa bir nümunə:

Mən onun qısa həllini verəcəyəm (izahlarla çox narahat olmadan), həllin bütün "incəliklərini" özünüz başa düşməyə çalışın.

İndi əhatə olunan materialın son konsolidasiyası üçün. Aşağıdakı problemləri özünüz həll etməyə çalışın. Mən sadəcə onları həll etmək üçün qısa tövsiyələr və məsləhətlər verəcəyəm:

1. Mötərizədə ümumi amili çıxaraq: Harada:
2. Birinci ifadəni formada təqdim edək: , hər iki tərəfi bölün və onu alın
3. , sonra ilkin tənlik formaya çevrilir: Yaxşı, indi bir ipucu - axtarın ki, siz və mən bu tənliyi artıq harada həll etmişik!
4. Təsəvvür edin, necə, necə, ah, yaxşı, sonra hər iki tərəfi bölün, beləliklə ən sadə eksponensial tənliyi əldə edin.
5. Mötərizədən çıxarın.
6. Mötərizədən çıxarın.

EKSPONENTAR TƏNLƏR. ORTA SƏVİYYƏ

Güman edirəm ki, haqqında danışılan ilk məqaləni oxuduqdan sonra eksponensial tənliklər nədir və onları necə həll etmək olar, siz ən sadə misalları həll etmək üçün lazım olan minimum biliyə yiyələnmisiniz.

İndi eksponensial tənliklərin həlli üçün başqa bir üsula baxacağam, bu

“yeni dəyişənin tətbiqi üsulu” (və ya dəyişdirmə). O, eksponensial tənliklər (və təkcə tənliklər deyil) mövzusunda ən “çətin” məsələləri həll edir. Bu üsul praktikada ən çox istifadə edilənlərdən biridir. Əvvəlcə mövzu ilə tanış olmağı məsləhət görürəm.

Adından artıq başa düşdüyünüz kimi, bu metodun mahiyyəti belə bir dəyişən dəyişikliyini təqdim etməkdir ki, eksponensial tənliyiniz möcüzəvi şəkildə asanlıqla həll edə biləcəyiniz tənliyə çevrilsin. Bu çox "sadələşdirilmiş tənliyi" həll etdikdən sonra sizin üçün qalan yalnız "əks dəyişdirmə" etməkdir: yəni dəyişdiriləndən dəyişdirilənə qayıt. İndi dediklərimizi çox sadə bir misalla izah edək:

Misal 1:

Bu tənlik riyaziyyatçıların təhqiramiz şəkildə adlandırdıqları kimi “sadə əvəzetmə” ilə həll edilir. Əslində buradakı əvəzləmə ən barizdir. Yalnız bunu görmək lazımdır

Sonra orijinal tənlik buna çevriləcək:

Əlavə olaraq necə təsəvvür etsək, nəyin dəyişdirilməsi lazım olduğu tamamilə aydındır: əlbəttə ki, . Sonra orijinal tənlik nə olur? Budur:

Onun köklərini özünüz asanlıqla tapa bilərsiniz: . İndi nə etməliyik? Orijinal dəyişənə qayıtmağın vaxtı gəldi. Nəyi qeyd etməyi unutdum? Məhz: müəyyən bir dərəcəni yeni dəyişənlə əvəz edərkən (yəni bir növü əvəz edərkən) məni maraqlandıracaq. yalnız müsbət köklər! Səbəbini özünüz asanlıqla cavablandıra bilərsiniz. Beləliklə, siz və mən maraqlanmırıq, amma ikinci kök bizim üçün olduqca uyğundur:

Sonra hardan.

Cavab:

Gördüyünüz kimi, əvvəlki nümunədə bir əvəz yalnız əllərimizi istəyirdi. Təəssüf ki, bu həmişə belə olmur. Ancaq gəlin birbaşa kədərli şeylərə getməyək, amma kifayət qədər sadə bir əvəzlə daha bir nümunə ilə məşq edək.

Misal 2.

Aydındır ki, çox güman ki, biz əvəz etməli olacağıq (bu, tənliyimizə daxil olan səlahiyyətlərin ən kiçikidir), lakin əvəzetməni təqdim etməzdən əvvəl tənliyimizi buna “hazırlamaq” lazımdır, yəni: , . Sonra əvəz edə bilərsiniz, nəticədə aşağıdakı ifadəni əldə edirəm:

Oh dəhşət: onu həll etmək üçün tamamilə dəhşətli düsturları olan bir kub tənliyi (yaxşı, ümumi görünüş). Ancaq dərhal ümidsizliyə qapılmayaq, amma nə etməli olduğumuzu düşünək. Mən aldatmağı təklif edəcəm: biz bilirik ki, “gözəl” cavab almaq üçün onu üçlük gücü şəklində almalıyıq (niyə belə olsun?). Gəlin tənliyimizin ən azı bir kökünü təxmin etməyə çalışaq (üçün gücü ilə təxmin etməyə başlayacağam).

İlk təxmin. Kök deyil. Vay və ah...

.
Sol tərəf bərabərdir.
Sağ hissə:!
Yeyin! İlk kökü təxmin etdi. İndi işlər asanlaşacaq!

Siz "künc" bölgü sxemi haqqında bilirsinizmi? Əlbəttə ki, bir nömrəni digərinə böləndə istifadə edirsiniz. Ancaq az adam bilir ki, çoxhədlilərlə eyni şey edilə bilər. Bir gözəl teorem var:

Vəziyyətimə müraciət etsək, bu, onun qalıqsız bölünə biləcəyini söyləyir. Bölmə necə aparılır? Beləcə:

Aydın olmaq üçün hansı monomialla çoxalmalı olduğuma baxıram, onda:

Nəticə ifadəni ondan çıxarıram, alıram:

İndi, almaq üçün nəyə vurmalıyam? Aydındır ki, onda mən alacağam:

və nəticədə qalan ifadəni yenidən çıxarın:

Yaxşı, son addım qalan ifadədən çoxalmaq və çıxmaqdır:

Hurray, bölünmə bitdi! Şəxsi olaraq nə topladıq? Özlüyündə: .

Sonra orijinal polinomun aşağıdakı genişlənməsini əldə etdik:

İkinci tənliyi həll edək:

Onun kökləri var:

Sonra orijinal tənlik:

üç kökü var:

Əlbəttə ki, sonuncu kökü atacağıq, çünki ondan sonra sıfırdan azdır. Və tərs dəyişdirildikdən sonra ilk ikisi bizə iki kök verəcəkdir:

Cavab: ..

Bu misalla mən sizi heç qorxutmaq istəmədim, əksinə, məqsədim kifayət qədər sadə bir əvəzetməmiz olsa da, həlli bizdən bəzi xüsusi bacarıqlar tələb edən kifayət qədər mürəkkəb bir tənliyə səbəb olduğunu göstərmək idi. Yaxşı, heç kim bundan sığortalanmayıb. Ancaq bu vəziyyətdə əvəzetmə olduqca aydın idi.

Budur, bir az daha az aydın bir əvəz ilə bir nümunə:

Nə etməli olduğumuz heç də aydın deyil: problem ondadır ki, bizim tənliyimizdə iki fərqli əsas var və bir baza onu hər hansı (ağlabatan, təbii) gücə qaldıraraq digərindən əldə edilə bilməz. Bununla belə, biz nə görürük? Hər iki əsas yalnız işarə ilə fərqlənir və onların məhsulu birə bərabər olan kvadratların fərqidir:

Tərif:

Beləliklə, nümunəmizdə əsas olan ədədlər birləşir.

Bu vəziyyətdə, ağıllı addım olardı tənliyin hər iki tərəfini konjugat sayı ilə çarpın.

Məsələn, on, onda tənliyin sol tərəfi bərabər olacaq və sağ olacaq. Əvəz etsək, ilkin tənliyimiz belə olacaq:

onun kökləri, sonra və bunu xatırlayaraq, biz bunu əldə edirik.

Cavab: , .

Bir qayda olaraq, əvəzetmə üsulu əksər "məktəb" eksponensial tənlikləri həll etmək üçün kifayətdir. Aşağıdakı tapşırıqlar Vahid Dövlət İmtahanı C1-dən götürülür (yüksək çətinlik səviyyəsi). Bu misalları təkbaşına həll edəcək qədər savadlısınız. Mən yalnız tələb olunan əvəzi verəcəm.

1. Tənliyi həll edin:
2. Tənliyin köklərini tapın:
3. Tənliyi həll edin: . Bu tənliyin seqmentə aid olan bütün köklərini tapın:

İndi bəzi qısa izahatlar və cavablar:

1. Burada qeyd etməyimiz kifayətdir ki... Onda orijinal tənlik buna bərabər olacaq: Bu tənliyi əvəz etməklə həll edilə bilər. Sonrakı hesablamaları özünüz edin. Sonda tapşırığınız sadə triqonometrik məsələlərin həllinə (sinus və ya kosinusdan asılı olaraq) azalacaq. Digər bölmələrdə oxşar nümunələrin həlli yollarına baxacağıq.
2. Burada hətta əvəz etmədən də edə bilərsiniz: sadəcə olaraq, çıxarışı sağa köçürün və hər iki əsası ikinin səlahiyyətləri ilə təmsil edin: , və sonra birbaşa kvadrat tənliyə keçin.
3. Üçüncü tənlik də olduqca standart şəkildə həll olunur: necə olduğunu təsəvvür edək. Sonra, əvəz edərək, kvadrat tənlik alırıq: onda,

   Loqarifmin nə olduğunu artıq bilirsiniz, elə deyilmi? Yox? O zaman mövzunu təcili oxuyun!

   Birinci kök açıq şəkildə seqmentə aid deyil, amma ikincisi aydın deyil! Ancaq çox tezliklə öyrənəcəyik! O zamandan (bu, loqarifmin xassəsidir!) Gəlin müqayisə edək:

   Hər iki tərəfdən çıxırıq, sonra alırıq:

   Sol tərəfi aşağıdakı kimi təmsil etmək olar:

   hər iki tərəfi çarpın:

   ilə vurula bilər, onda

   Sonra müqayisə edin:

   o vaxtdan bəri:

   Sonra ikinci kök tələb olunan intervala aiddir

   Cavab:

Gördüyünüz kimi, eksponensial tənliklərin köklərinin seçilməsi loqarifmlərin xassələri haqqında kifayət qədər dərin bilik tələb edir, buna görə də eksponensial tənlikləri həll edərkən mümkün qədər diqqətli olmağı məsləhət görürəm. Anladığınız kimi, riyaziyyatda hər şey bir-birinə bağlıdır! Riyaziyyat müəllimimin dediyi kimi: “Tarix kimi riyaziyyatı bir gecədə oxumaq olmaz”.

Bir qayda olaraq, hamısı C1 məsələlərinin həllində çətinlik məhz tənliyin köklərinin seçilməsidir. Daha bir misalla məşq edək:

Aydındır ki, tənliyin özü olduqca sadə şəkildə həll olunur. Əvəz etməklə, orijinal tənliyimizi aşağıdakılara endiririk:

Əvvəlcə birinci kökə baxaq. Gəlin müqayisə edək və: o vaxtdan bəri. (əmlak loqarifmik funksiya, at). Onda aydın olur ki, birinci kök bizim intervala aid deyil. İndi ikinci kök: . Aydındır ki, (çünki at funksiyası artır). Qalır müqayisə etmək və...

o vaxtdan bəri, eyni zamanda. Bu yolla mən və arasında “mix sürə” bilərəm. Bu dirək bir nömrədir. Birinci ifadə daha az, ikincisi isə daha böyükdür. Onda ikinci ifadə birincidən böyükdür və kök intervala aiddir.

Cavab: .

Nəhayət, əvəzetmənin olduqca qeyri-standart olduğu başqa bir tənlik nümunəsinə baxaq:

Dərhal nəyin edilə biləcəyi ilə başlayaq və nəyi - prinsipcə, etmək olar, amma bunu etməmək daha yaxşıdır. Üç, iki və altının səlahiyyətləri vasitəsilə hər şeyi təsəvvür edə bilərsiniz. Hara aparır? Bu, heç nəyə gətirib çıxarmayacaq: bəzilərindən qurtulmaq olduqca çətin olacaq dərəcə qarışıqlığı. Bəs onda nə lazımdır? Qeyd edək ki, a Və bu bizə nə verəcək? Və qərarı azalda biləcəyimiz faktı bu misal Sadə bir eksponensial tənliyi həll etmək kifayətdir! Əvvəlcə tənliyimizi yenidən yazaq:

İndi yaranan tənliyin hər iki tərəfini aşağıdakılara bölək:

Evrika! İndi əvəz edə bilərik, əldə edirik:

Yaxşı, indi nümayiş problemlərini həll etmək növbəsi sizdədir və mən onlara yalnız qısa şərhlər verəcəm ki, azmayasınız! Uğurlar!

1. Ən çətini! Burada əvəzedici görmək çox çətindir! Ancaq buna baxmayaraq, bu nümunə istifadə edərək tamamilə həll edilə bilər tam kvadratı vurğulamaq. Bunu həll etmək üçün qeyd etmək kifayətdir:

O zaman sizin əvəziniz budur:

(Qeyd edək ki, burada dəyişdirmə zamanı biz mənfi kökü ləğv edə bilmərik!!! Sizcə niyə?)

İndi nümunəni həll etmək üçün yalnız iki tənliyi həll etməlisiniz:

Onların hər ikisi "standart dəyişdirmə" ilə həll edilə bilər (lakin bir nümunədə ikincisi!)

2. Buna diqqət edin və əvəz edin.

3. Ədədi ümumi amillərə parçalayın və nəticədə ifadəni sadələşdirin.

4. Kəsirin payını və məxrəcini (yaxud istəsəniz) bölün və ya əvəzini edin.

5. Diqqət yetirin ki, və rəqəmləri birləşir.

EKSPONENTAR TƏNLƏR. ƏTRAFLI SƏVİYYƏ

Bundan əlavə, başqa bir yola baxaq - loqarifm üsulu ilə eksponensial tənliklərin həlli. Bu üsuldan istifadə edərək eksponensial tənliklərin həllinin çox populyar olduğunu deyə bilmərəm, lakin bəzi hallarda yalnız bu bizi nəticəyə gətirə bilər düzgün qərar tənliyimiz. Xüsusilə tez-tez sözdə həll etmək üçün istifadə olunur " qarışıq tənliklər ": yəni müxtəlif növ funksiyaların baş verdiyi yerlər.

Məsələn, formanın tənliyi:

ümumi vəziyyətdə, yalnız hər iki tərəfin loqarifmlərini (məsələn, bazaya) götürməklə həll edilə bilər, burada orijinal tənlik aşağıdakılara çevriləcəkdir:

Aşağıdakı misala baxaq:

Aydındır ki, loqarifmik funksiyanın ODZ-nə görə, bizi yalnız maraqlandırır. Bununla belə, bu, yalnız loqarifmin ODZ-dən deyil, daha bir səbəbdən irəli gəlir. Düşünürəm ki, bunun hansı olduğunu təxmin etmək sizin üçün çətin olmayacaq.

Tənliyimizin hər iki tərəfinin loqarifmini bazaya götürək:

Gördüyünüz kimi, ilkin tənliyimizin loqarifmini götürmək bizi tez bir zamanda düzgün (və gözəl!) cavaba apardı. Daha bir misalla məşq edək:

Burada da səhv bir şey yoxdur: gəlin tənliyin hər iki tərəfinin loqarifmini bazaya götürək, onda alırıq:

Əvəz edək:

Ancaq bir şeyi əldən verdik! Harada səhv etdiyimi gördünüzmü? Axı, onda:

tələbi ödəməyən (haradan gəldiyini düşünün!)

Cavab:

Aşağıdakı eksponensial tənliklərin həllini yazmağa çalışın:

İndi qərarınızı bununla müqayisə edin:

1. Bunu nəzərə alaraq hər iki tərəfi bazaya loqarifm edək:

(ikinci kök dəyişdirildiyi üçün bizə uyğun deyil)

2. Əsasa loqarifm:

Nəticə ifadəsini aşağıdakı formaya çevirək:

EKSPONENTAR TƏNLƏR. QISA TƏSVİRİ VƏ ƏSAS FORMULLAR

Eksponensial tənlik

Formanın tənliyi:

çağırdı ən sadə eksponensial tənlik.

Dərəcələrin xüsusiyyətləri

Həllinə yanaşmalar

• Eyni əsasda azalma
• Eyni eksponentə endirmə
• Dəyişən dəyişdirmə
• İfadəni sadələşdirmək və yuxarıdakılardan birini tətbiq etmək.

Eksponensial tənliklərin həlli. Nümunələr.

Diqqət!
Əlavə var
555-ci Xüsusi Bölmədəki materiallar.
Çox "çox deyil..." olanlar üçün.
Və "çox ..." olanlar üçün)

Nə baş verdi eksponensial tənlik? Bu, naməlumların (x) və onlarla ifadələrin olduğu tənlikdir göstəricilər bəzi dərəcələr. Və yalnız orada! Vacibdir.

Buradasan eksponensial tənliklərə nümunələr:

3 x 2 x = 8 x+3

Qeyd! Dərəcələrin əsaslarında (aşağıda) - yalnız rəqəmlər. IN göstəricilər dərəcələr (yuxarıda) - X ilə ifadələrin geniş çeşidi. Əgər birdən tənlikdə göstəricidən başqa yerdə X görünürsə, məsələn:

bu bir tənlik olacaq qarışıq tip. Belə tənliklərin həlli üçün aydın qaydaları yoxdur. Hələlik onları nəzərdən keçirməyəcəyik. Burada biz məşğul olacağıq eksponensial tənliklərin həlliən təmiz formada.

Əslində, hətta təmiz eksponensial tənliklər də həmişə aydın şəkildə həll edilmir. Amma var müəyyən növlər həll edilə bilən və edilməli olan eksponensial tənliklər. Bunlar nəzərdən keçirəcəyimiz növlərdir.

Sadə eksponensial tənliklərin həlli.

Əvvəlcə çox sadə bir şeyi həll edək. Misal üçün:

Heç bir nəzəriyyə olmasa belə, sadə seçimlə x = 2 olduğu aydın olur. Daha heç nə, elə deyilmi!? X-in başqa heç bir dəyəri işləmir. İndi bu çətin eksponensial tənliyin həllinə baxaq:

Biz nə etmişik? Biz, əslində, eyni əsasları (üçlü) atdıq. Tamamilə atılıb. Və yaxşı xəbər budur ki, başımıza mismar vurduq!

Həqiqətən, əgər eksponensial tənlikdə sol və sağ varsa eyni istənilən gücdə olan ədədlər, bu ədədlər çıxarıla və eksponentlər bərabərləşdirilə bilər. Riyaziyyat imkan verir. Daha sadə bir tənliyi həll etmək qalır. Əla, hə?)

Bununla belə, qətiyyətlə xatırlayaq: Siz əsasları yalnız sol və sağdakı əsas nömrələr əla təcrid vəziyyətində olduqda çıxara bilərsiniz! Heç bir qonşu və əmsal olmadan. Tənliklərdə deyək:

2 x +2 x+1 = 2 3 və ya

ikisi çıxarıla bilməz!

Yaxşı, biz ən vacib şeyi mənimsəmişik. Pis eksponensial ifadələrdən daha sadə tənliklərə necə keçmək olar.

"O vaxtlardı!" - deyirsen. “Kim test və imtahanlarda belə primitiv dərs verərdi ki!?”

Razılaşmalıyam. Heç kim etməyəcək. Ancaq indi çətin misalları həll edərkən hara yönələcəyinizi bilirsiniz. Eyni əsas nömrənin solda və sağda olduğu formaya gətirmək lazımdır. Sonra hər şey daha asan olacaq. Əslində bu riyaziyyatın klassikidir. Orijinal nümunəni götürürük və onu istədiyinizə çeviririk bizə ağıl. Təbii ki, riyaziyyatın qaydalarına görə.

Onları ən sadə hala gətirmək üçün bəzi əlavə səylər tələb edən nümunələrə baxaq. Gəlin onları çağıraq sadə eksponensial tənliklər.

Sadə eksponensial tənliklərin həlli. Nümunələr.

Eksponensial tənlikləri həll edərkən əsas qaydalar bunlardır dərəcə ilə hərəkətlər. Bu hərəkətləri bilmədən heç nə işləməyəcək.

Dərəcəli hərəkətlərə şəxsi müşahidə və ixtiraçılıq əlavə edilməlidir. Eyni əsas nömrələrə ehtiyacımız varmı? Beləliklə, biz onları nümunədə açıq və ya şifrələnmiş formada axtarırıq.

Gəlin görək bu praktikada necə həyata keçirilir?

Bir misal verək:

2 2x - 8 x+1 = 0

İlk kəskin baxış bundadır əsaslar. Onlar... Onlar fərqlidirlər! İki və səkkiz. Ancaq ruhdan düşmək üçün hələ tezdir. Bunu xatırlamağın vaxtı gəldi

İki və səkkiz dərəcə qohumdur.) Yazmaq tamamilə mümkündür:

8 x+1 = (2 3) x+1

Düsturu dərəcələrlə əməliyyatlardan xatırlasaq:

(a n) m = a nm,

bu əla işləyir:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Orijinal nümunə belə görünməyə başladı:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Transfer edirik 2 3 (x+1) sağa (heç kim riyaziyyatın elementar əməliyyatlarını ləğv etməmişdir!), alırıq:

2 2x = 2 3(x+1)

Praktiki olaraq hamısı budur. Bazaların çıxarılması:

Bu canavarı həll edirik və alırıq

Bu düzgün cavabdır.

Bu nümunədə ikinin səlahiyyətlərini bilmək bizə kömək etdi. Biz müəyyən edilmişdir səkkizdə şifrələnmiş iki var. Bu texnika (şifrələmə ümumi əsaslar altında müxtəlif nömrələr) eksponensial tənliklərdə çox məşhur bir texnikadır! Bəli və loqarifmlərdə də. Rəqəmlərdəki digər rəqəmlərin gücünü tanıya bilməlisiniz. Bu eksponensial tənliklərin həlli üçün son dərəcə vacibdir.

Fakt budur ki, istənilən rəqəmi istənilən gücə qaldırmaq problem deyil. Çoxaldın, hətta kağız üzərində də, vəssalam. Məsələn, hər kəs 3-ü beşinci gücə qaldıra bilər. Əgər vurma cədvəlini bilsəniz 243 işləyəcək.) Amma eksponensial tənliklərdə daha çox gücə yüksəltmək lazım deyil, əksinə... Tapın hansı rəqəm nə dərəcədə 243 rəqəminin arxasında gizlənir, ya da deyək ki, 343... Burada sizə heç bir kalkulyator kömək etməyəcək.

Bəzi rəqəmlərin gücünü görmədən bilmək lazımdır, hə... Gəlin məşq edək?

Nömrələrin hansı gücləri və hansı nömrələr olduğunu müəyyən edin:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Cavablar (əlbəttə ki, qarışıqlıqda!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Diqqətlə baxsanız görə bilərsiniz qəribə fakt. Tapşırıqlardan əhəmiyyətli dərəcədə daha çox cavab var! Yaxşı, olur... Məsələn, 2 6, 4 3, 8 2 - hamısı 64-dür.

Fərz edək ki, siz rəqəmlərlə tanışlıq haqqında məlumatı qeyd etmisiniz.) Onu da xatırladaq ki, eksponensial tənlikləri həll etmək üçün istifadə edirik. hamısı riyazi biliklər fondu. O cümlədən kiçik və orta siniflərdən olanlar. Sən düz orta məktəbə getməmisən, elə deyilmi?)

Məsələn, eksponensial tənlikləri həll edərkən ümumi amili mötərizədən çıxarmaq çox vaxt kömək edir (7-ci sinifə salam!). Bir misala baxaq:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Və yenə də, ilk baxış təməllərdədir! Dərəcələrin əsasları fərqlidir... Üç və doqquz. Amma biz onların eyni olmasını istəyirik. Yaxşı, bu halda arzu tamamilə yerinə yetirilir!) Çünki:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Dərəcələrlə işləmək üçün eyni qaydalardan istifadə edin:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Əladır, bunu yaza bilərsiniz:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Eyni səbəblərdən misal çəkdik. Yaxşı, bundan sonra nə var!? Üçlük atmaq olmaz... Çıxmaz?

Dəyməz. Ən universal və güclü qərar qaydasını xatırlayın hər kəs riyaziyyat tapşırıqları:

Nəyə ehtiyacınız olduğunu bilmirsinizsə, bacardığınızı edin!

Bax, hər şey düzələcək).

Bu eksponensial tənlikdə nə var Bacarmaq etmək? Bəli, sol tərəfdə sadəcə mötərizədən çıxarılmasını xahiş edir! Ümumi çarpan 3 2x buna aydın şəkildə işarə edir. Gəlin cəhd edək, sonra görəcəyik:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Nümunə getdikcə daha da yaxşılaşır!

Xatırlayırıq ki, əsasları aradan qaldırmaq üçün heç bir əmsal olmadan təmiz dərəcə lazımdır. 70 rəqəmi bizi narahat edir. Beləliklə, tənliyin hər iki tərəfini 70-ə bölürük, alırıq:

Vay! Hər şey yaxşılaşdı!

Bu son cavabdır.

Bununla belə, belə olur ki, eyni əsasda taksiyə nail olunur, lakin onların aradan qaldırılması mümkün deyil. Bu, digər eksponensial tənliklərdə baş verir. Gəlin bu növü öyrənək.

Eksponensial tənliklərin həllində dəyişənin dəyişdirilməsi. Nümunələr.

Tənliyi həll edək:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Birincisi - həmişəki kimi. Gəlin bir bazaya keçək. Deuce üçün.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Tənliyi alırıq:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Və bura bizim əyləşdiyimiz yerdir. Əvvəlki fəndlər nə qədər baxsan da işləməyəcək. Biz arsenalımızdan başqa bir güclü və universal metodu çıxarmalı olacağıq. Bu adlanır dəyişən əvəz.

Metodun mahiyyəti təəccüblü dərəcədə sadədir. Bir mürəkkəb simvolun əvəzinə (bizim vəziyyətimizdə - 2 x) başqa, daha sadə birini (məsələn - t) yazırıq. Belə görünən mənasız əvəzetmə heyrətamiz nəticələrə gətirib çıxarır!) Hər şey sadəcə aydın və başa düşülən olur!

Elə isə qoy

Onda 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Tənliyimizdə bütün gücləri x ilə t ilə əvəz edirik:

Yaxşı, ağlınıza gəlir?) Kvadrat tənliklər Siz hələ də unutmusunuz? Diskriminant vasitəsilə həll edərək əldə edirik:

Burada əsas olan dayanmamaqdır, olduğu kimi... Bu hələ cavab deyil, bizə t yox, x lazımdır. Gəlin X-ə qayıdaq, yəni. tərs əvəz edirik. t 1 üçün ilk:

Yəni,

Bir kök tapıldı. Biz t 2-dən ikincisini axtarırıq:

Hm... 2 x solda, 1 sağda... Problem? Dəyməz! Bir vahid olduğunu xatırlamaq kifayətdir (güclərlə əməliyyatlardan, bəli ...). hər hansı nömrəni sıfır gücə çevirin. Hər hansı. Nə lazımdırsa, onu quraşdıracağıq. Bizə iki lazımdır. Vasitələri:

İndi bu qədər. 2 kök aldıq:

Bu cavabdır.

At eksponensial tənliklərin həlli sonunda bəzən bir növ yöndəmsiz ifadə ilə başa çatırsan. Növ:

Yeddidən ikiyə qədər sadə dərəcə işləmir. Qohum deyillər... Necə olaq? Kimsə çaşa bilər... Amma bu saytda “Loqarifm nədir?” mövzusunu oxuyan şəxs , sadəcə təbəssümlə gülümsəyir və möhkəm əli ilə tamamilə düzgün cavabı yazır:

Vahid Dövlət İmtahanının “B” tapşırıqlarında belə bir cavab ola bilməz. Orada konkret nömrə tələb olunur. Ancaq "C" tapşırıqlarında bu asandır.

Bu dərsdə ən ümumi eksponensial tənliklərin həlli nümunələri verilir. Əsas məqamları vurğulayaq.

Praktik məsləhət:

1. İlk növbədə, biz baxırıq əsaslar dərəcə. Onları düzəltməyin mümkün olub-olmaması ilə maraqlanırıq eyni. Gəlin aktiv istifadə edərək bunu etməyə çalışaq dərəcə ilə hərəkətlər. Unutmayın ki, x olmadan rəqəmlər də gücə çevrilə bilər!

2. Solda və sağda olan zaman eksponensial tənliyi formaya gətirməyə çalışırıq eyni istənilən gücdə olan nömrələr. istifadə edirik dərəcə ilə hərəkətlər Və faktorizasiya. Rəqəmlərlə nə sayıla bilər, biz sayırıq.

3. İkinci ipucu işləmirsə, dəyişənlərin dəyişdirilməsini istifadə etməyə çalışın. Nəticə asanlıqla həll edilə bilən bir tənlik ola bilər. Ən tez-tez - kvadrat. Və ya fraksiya, bu da kvadrata endirilir.

4. Eksponensial tənlikləri uğurla həll etmək üçün bəzi ədədlərin gücünü görmə qabiliyyətinə görə bilmək lazımdır.

Həmişə olduğu kimi, dərsin sonunda bir az qərar verməyə dəvət olunur.) Özünüz. Sadədən mürəkkəbə.

Eksponensial tənlikləri həll edin:

Daha çətin:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Köklərin məhsulunu tapın:

2 3 + 2 x = 9

baş verdi?

Yaxşı onda ən mürəkkəb nümunə(ancaq ağlında qərar verdi...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Daha maraqlısı nədir? O zaman sizə pis bir nümunə var. Artan çətinlik üçün olduqca cazibədar. İcazə verin ki, bu misalda sizi xilas edən ixtiraçılıqdır və bütün riyazi problemləri həll etmək üçün ən universal qaydadır.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

İstirahət üçün daha sadə bir nümunə):

9 2 x - 4 3 x = 0

Və desert üçün. Tənliyin köklərinin cəmini tapın:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Hə hə! Bu qarışıq tipli tənlikdir! Bu dərsdə nəzərə almadıq. Onları niyə nəzərdən keçirək, onları həll etmək lazımdır!) Bu dərs tənliyi həll etmək üçün kifayətdir. Yaxşı, sizə ixtiraçılıq lazımdır... Və yeddinci sinif sizə kömək etsin (bu bir işarədir!).

Cavablar (səliqəsiz, nöqtəli vergüllə ayrılmış):

1; 2; 3; 4; həll yolları yoxdur; 2; -2; -5; 4; 0.

Hər şey uğurludurmu? Əla.

problem var? Problem deyil! Xüsusi Bölmə 555 bütün bu eksponensial tənlikləri ətraflı izahatlarla həll edir. Nə, niyə və niyə. Və təbii ki, bütün növ eksponensial tənliklərlə işləmək üçün əlavə dəyərli məlumatlar var. Tək bunlar deyil.)

Nəzərə almaq üçün son bir əyləncəli sual. Bu dərsdə eksponensial tənliklərlə işlədik. Niyə mən burada ODZ haqqında bir söz demədim? Tənliklərdə bu çox vacib bir şeydir, yeri gəlmişkən...

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Gəlin öyrənək - maraqla!)

Funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.