Hvordan man løser ligninger med negativ potens. Potens- eller eksponentialligninger

hjem / skænderi

Udstyr:

computer,
multimedieprojektor,
skærm,
Bilag 1(PowerPoint-diaspræsentation) "Metoder til løsning af eksponentielle ligninger"
Bilag 2(Løsning af en ligning som "Tre forskellige magtbaser" i Word)
Bilag 3(uddelingsark i Word for praktisk arbejde).
Bilag 4(uddelingsark i Word til lektier).

Under timerne

1. Organisationsstadie

besked om lektionens emne (skrevet på tavlen),
behovet for en generel lektion i klasse 10-11:

Stadiet med at forberede eleverne til aktiv læring

Gentagelse

Definition.

En eksponentiel ligning er en ligning, der indeholder en variabel med en eksponent (elevbesvarelser).

Lærerens notat. Eksponentialligninger hører til klassen af transcendentale ligninger. Dette uudtalelige navn antyder, at sådanne ligninger generelt ikke kan løses i form af formler.

De kan kun løses tilnærmelsesvis med numeriske metoder på computere. Men hvad med eksamensopgaver? Tricket er, at eksaminator rammer problemet på en sådan måde, at det giver mulighed for en analytisk løsning. Med andre ord, du kan (og bør!) udføre identiske transformationer, der reducerer denne eksponentielle ligning til den enkleste eksponentielle ligning. Denne enkleste ligning kaldes: den enkleste eksponentialligning. Det er ved at blive løst ved logaritme.

Situationen med at løse en eksponentiel ligning minder om at rejse gennem en labyrint, som er specielt opfundet af problemets forfatter. Ud fra disse meget generelle argumenter følger meget specifikke anbefalinger.

For at kunne løse eksponentialligninger skal du:

1. Kender ikke kun aktivt alle eksponentielle identiteter, men find også de sæt af variable værdier, som disse identiteter er defineret på, så du ikke får unødvendige rødder ved brug af disse identiteter, og endnu mere ikke mister løsninger til ligningen.

2. Kend aktivt alle eksponentielle identiteter.

3. Udfør tydeligt, detaljeret og uden fejl, matematiske transformationer af ligninger (overfør udtryk fra en del af ligningen til en anden, ikke at glemme at ændre tegnet, bringe brøker til en fællesnævner osv.). Dette kaldes matematisk kultur. Samtidig skal selve beregningerne udføres automatisk i hånden, og hovedet skal tænke på løsningens generelle ledetråd. Transformationer skal udføres så omhyggeligt og detaljeret som muligt. Kun dette garanterer en korrekt, fejlfri beslutning. Og husk: en lille regnefejl kan simpelthen skabe en transcendental ligning, som i princippet ikke kan løses analytisk. Det viser sig, at du er gået vild og har ramt labyrintens væg.

4. Kend metoder til at løse problemer (det vil sige kende alle veje gennem løsningslabyrinten). For at navigere korrekt på hvert trin skal du (bevidst eller intuitivt!):

Definere ligningstype;
husk den tilsvarende type løsningsmetode opgaver.

Stadiet for generalisering og systematisering af det undersøgte materiale.

Læreren laver sammen med elever ved hjælp af en computer en gennemgang af alle typer eksponentialligninger og metoder til at løse dem, kompilerer almindelig ordning. (Brugt træning computerprogram L.Ya. Borevsky "Matematikkursus - 2000", forfatteren til PowerPoint-præsentationen er T.N. Kuptsova.)

Ris. 1. Figuren viser et generelt diagram over alle typer eksponentialligninger.

Som det kan ses af dette diagram, er strategien til løsning af eksponentialligninger at reducere den givne eksponentialligning til ligningen, først og fremmest, med de samme grader , og så – og med samme gradsindikatorer.

Efter at have modtaget en ligning med de samme baser og eksponenter, erstatter du denne eksponent med en ny variabel og får en simpel algebraisk ligning (normalt brøk-rationel eller kvadratisk) med hensyn til denne nye variabel.

Når du har løst denne ligning og lavet den omvendte substitution, ender du med et sæt simple eksponentialligninger, der kan løses i generel opfattelse ved hjælp af logaritme.

Ligninger, hvor kun produkter af (del)potenser findes, skiller sig ud. Ved at bruge eksponentielle identiteter er det muligt at reducere disse ligninger umiddelbart til én base, især til den enkleste eksponentielle ligning.

Lad os se på, hvordan man løser en eksponentielligning med tre forskellige baser.

(Hvis læreren har det pædagogiske computerprogram af L.Ya. Borevsky "Course of Mathematics - 2000", så arbejder vi naturligvis med disken, hvis ikke, kan du lave en udskrift af denne form for ligning fra den for hvert skrivebord, præsenteret nedenfor.)

Ris. 2. Plan for løsning af ligningen.

Ris. 3. Begynd at løse ligningen

Ris. 4. Afslut med at løse ligningen.

udfører praktisk arbejde

Bestem typen af ligning og løs den.

1.
2.
3. 0,125
4.
5.
6.

Opsummering af lektionen

Bedømmelse til lektionen.

Afslutning på lektion

For læreren

Øv svarskema.

Dyrke motion: fra listen over ligninger, vælg ligninger af den angivne type (indtast svarnummeret i tabellen):

Tre forskellige gradsbaser
To forskellige baser - forskellige indikatorer grader
Potensgrundlag - potenser af ét tal
Samme baser – forskellige eksponenter
De samme grader - de samme indikatorer for grader
Produkt af magter
To forskellige gradsbaser - de samme indikatorer
De enkleste eksponentialligninger

1. (produkt af magter)

2. (samme baser – forskellige eksponenter)

Foredrag: "Metoder til løsning af eksponentialligninger."

1 . Eksponentialligninger.

Ligninger, der indeholder ukendte i eksponenter, kaldes eksponentielle ligninger. Den enkleste af dem er ligningen ax = b, hvor a > 0, a ≠ 1.

1) Ved b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) For b > 0, ved at bruge monotoniteten af funktionen og rodsætningen, har ligningen en unik rod. For at finde den skal b være repræsenteret på formen b = aс, аx = bс ó x = c eller x = logab.

Eksponentialligninger ved algebraiske transformationer fører til standardligninger, som løses ved hjælp af følgende metoder:

1) metode til reduktion til én base;

2) vurderingsmetode;

3) grafisk metode;

4) metode til at introducere nye variabler;

5) faktoriseringsmetode;

6) vejledende – potensligninger;

7) demonstrativ med en parameter.

2 . Metode til reduktion til én base.

Metoden er baseret på følgende ejendom grader: hvis to grader er ens og deres baser er ens, så er deres eksponenter ens, dvs. vi skal forsøge at reducere ligningen til formen

Eksempler. Løs ligningen:

1 . 3x = 81;

Lad os repræsentere højre side af ligningen på formen 81 = 34 og skrive ligningen svarende til den oprindelige 3 x = 34; x = 4. Svar: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">og lad os gå videre til ligningen for eksponenter 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Svar: 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Bemærk, at tallene 0,2, 0,04, √5 og 25 repræsenterer potenser af 5. Lad os udnytte dette og transformere den oprindelige ligning som følger:

, hvorfra 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, hvorfra vi finder løsningen x = -1. Svar: -1.

5. 3x = 5. Per definition af logaritme er x = log35. Svar: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Lad os omskrive ligningen i formen 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, dvs..png" width="181" height="49 src="> Derfor x – 4 =0, x = 4. Svar: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Ved hjælp af potensers egenskaber skriver vi ligningen på formen 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 derefter 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, dvs. dvs. x+1 = 2, x =1. Svar: 1.

Problembank nr. 1.

Løs ligningen:

Test nr. 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) ingen rødder
	1) 7;1 2) ingen rødder 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test nr. 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) ingen rødder 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Evalueringsmetode.

Rodsætning: hvis funktionen f(x) stiger (falder) på intervallet I, er tallet a en hvilken som helst værdi taget af f på dette interval, så har ligningen f(x) = a en enkelt rod på intervallet I.

Ved løsning af ligninger ved hjælp af estimeringsmetoden anvendes denne sætning og funktionens monotoniske egenskaber.

Eksempler. Løs ligninger: 1. 4x = 5 – x.

Løsning. Lad os omskrive ligningen som 4x +x = 5.

1. hvis x = 1, så er 41+1 = 5, 5 = 5 sandt, hvilket betyder, at 1 er roden af ligningen.

Funktion f(x) = 4x – stiger på R, og g(x) = x – stiger på R => h(x)= f(x)+g(x) stiger på R, som summen af stigende funktioner, så er x = 1 den eneste rod af ligningen 4x = 5 – x. Svar: 1.

Løsning. Lad os omskrive ligningen i formen .

1. hvis x = -1, så , 3 = 3 er sandt, hvilket betyder, at x = -1 er roden af ligningen.

2. bevise, at han er den eneste.

3. Funktion f(x) = - aftager på R, og g(x) = - x – aftager på R=> h(x) = f(x)+g(x) – aftager på R, som summen af faldende funktioner. Det betyder ifølge rodsætningen, at x = -1 er ligningens eneste rod. Svar: -1.

Problembank nr. 2. Løs ligningen

a) 4x + 1 =6 – x;

c) 2x - 2 = 1 - x;

4. Metode til indførelse af nye variabler.

Metoden er beskrevet i afsnit 2.1. Introduktionen af en ny variabel (substitution) udføres normalt efter transformationer (simplificering) af ligningens vilkår. Lad os se på eksempler.

Eksempler. R Løs ligningen: 1. .

Lad os omskrive ligningen anderledes: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> dvs..png" width="210" højde = "45">

Løsning. Lad os omskrive ligningen anderledes:

Lad os udpege https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - ikke egnet.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - irrationel ligning. Vi bemærker, at

Løsningen til ligningen er x = 2,5 ≤ 4, hvilket betyder, at 2,5 er roden af ligningen. Svar: 2.5.

Løsning. Lad os omskrive ligningen i formen og dividere begge sider med 56x+6 ≠ 0. Vi får ligningen

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

Rødderne til andengradsligningen er t1 = 1 og t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Løsning . Lad os omskrive ligningen i formen

og bemærk, at det er en homogen ligning af anden grad.

Divider ligningen med 42x, får vi

Lad os erstatte https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Svar: 0; 0,5.

Problembank nr. 3. Løs ligningen

Test nr. 3 med et valg af svar. Minimum niveau.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) ingen rødder 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) ingen rødder 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Test nr. 4 med et valg af svar. Generelt niveau.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) ingen rødder

5. Faktoriseringsmetode.

1. Løs ligningen: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solution..png" width="169" height="69"> , hvorfra

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Løsning. Lad os sætte 6x ud af parenteser i venstre side af ligningen og 2x i højre side. Vi får ligningen 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Da 2x >0 for alle x, kan vi dividere begge sider af denne ligning med 2x uden frygt for at miste løsninger. Vi får 3x = 1ó x = 0.

Løsning. Lad os løse ligningen ved hjælp af faktoriseringsmetoden.

Lad os vælge kvadratet af binomialet

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 er roden af ligningen.

Ligning x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test nr. 6 Generelt niveau.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1; 3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Eksponentiel – potensligninger.

Ved siden af eksponentialligninger er de såkaldte eksponential-potensligninger, det vil sige ligninger på formen (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Hvis man ved, at f(x)>0 og f(x) ≠ 1, så løses ligningen, ligesom den eksponentielle, ved at sidestille eksponenterne g(x) = f(x).

Hvis betingelsen ikke udelukker muligheden for f(x)=0 og f(x)=1, så er vi nødt til at overveje disse tilfælde, når vi løser en eksponentiel ligning.

1..png" width="182" height="116 src=">

Løsning. x2 +2x-8 – giver mening for enhver x, da det er et polynomium, hvilket betyder, at ligningen er ækvivalent med totaliteten

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

7. Eksponentialligninger med parametre.

1. For hvilke værdier af parameteren p har ligning 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) eneste beslutning?

Løsning. Lad os introducere erstatningen 2x = t, t > 0, så vil ligning (1) have formen t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Diskriminerende af ligning (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Ligning (1) har en unik løsning, hvis ligning (2) har én positiv rod. Dette er muligt i følgende tilfælde.

1. Hvis D = 0, det vil sige p = 1, så vil ligning (2) have formen t2 – 2t + 1 = 0, derfor t = 1, derfor har ligning (1) en unik løsning x = 0.

2. Hvis p1, så 9(p – 1)2 > 0, så har ligning (2) to forskellige rødder t1 = p, t2 = 4p – 3. Betingelserne for problemet er opfyldt af et sæt systemer

Vi har erstattet t1 og t2 i systemerne

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Løsning. Lade så vil ligning (3) have formen t2 – 6t – a = 0. (4)

Lad os finde værdierne af parameteren a, for hvilken mindst en rod af ligning (4) opfylder betingelsen t > 0.

Lad os introducere funktionen f(t) = t2 – 6t – a. Følgende tilfælde er mulige.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} kvadratisk trinomium f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Tilfælde 2. Ligning (4) har en unik positiv beslutning, hvis

D = 0, hvis a = – 9, så vil ligning (4) have formen (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Tilfælde 3. Ligning (4) har to rødder, men en af dem opfylder ikke uligheden t > 0. Dette er muligt, hvis

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

For a 0 har ligning (4) således en enkelt positiv rod . Så har ligning (3) en unik løsning

Når en< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

hvis en< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
hvis a = – 9, så er x = – 1;

hvis a  0, så

Lad os sammenligne metoderne til løsning af ligning (1) og (3). Bemærk, at når løsning af ligning (1) blev reduceret til en andengradsligning, hvis diskriminant er et perfekt kvadrat; Således blev rødderne af ligning (2) umiddelbart beregnet ved hjælp af formlen for rødderne af en andengradsligning, og derefter blev der draget konklusioner vedrørende disse rødder. Ligning (3) er blevet reduceret til en andengradsligning (4), hvis diskriminant ikke er et perfekt kvadrat, derfor er det tilrådeligt, når man løser ligning (3), at bruge sætninger om placeringen af rødderne af et kvadratisk trinomium og en grafisk model. Bemærk, at ligning (4) kan løses ved hjælp af Vietas sætning.

Lad os løse mere komplekse ligninger.

Opgave 3: Løs ligningen

Løsning. ODZ: x1, x2.

Lad os introducere en erstatning. Lad 2x = t, t > 0, så som et resultat af transformationer vil ligningen have formen t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Lad os finde værdierne af a, for hvilke mindst en rod af ligningen (*) opfylder betingelsen t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Svar: hvis a > – 13, a  11, a  5, så hvis a – 13,

a = 11, a = 5, så er der ingen rødder.

Bibliografi.

1. Guzeev grundlaget for uddannelsesteknologi.

2. Guzeev-teknologi: fra reception til filosofi.

M. "Skoledirektør" nr. 4, 1996

3. Guzeev og organisatoriske former uddannelse.

4. Guzeev og praksis med integreret pædagogisk teknologi.

M. "Public Education", 2001

5. Guzeev fra formerne af en lektion - seminar.

Matematik i skolen nr. 2, 1987 s. 9 – 11.

6. Seleuko uddannelsesteknologier.

M. "Public Education", 1998

7. Episheva skolebørn til at studere matematik.

M. "Oplysning", 1990

8. Ivanova forberede lektioner - workshops.

Matematik i skolen nr. 6, 1990 s. 37 – 40.

9. Smirnovs model for undervisning i matematik.

Matematik i skolen nr. 1, 1997 s. 32 – 36.

10. Tarasenko måder at organisere praktisk arbejde.

Matematik i skolen nr. 1, 1993 s. 27 – 28.

11. Om en af typerne af individuelt arbejde.

Matematik i skolen nr. 2, 1994, s. 63 – 64.

12. Khazankin Kreative færdigheder skolebørn.

Matematik i skolen nr. 2, 1989 s. 10.

13. Scanavi. Forlag, 1997

14. og andre Algebra og begyndelsen af analysen. Didaktiske materialer Til

15. Krivonogov opgaver i matematik.

M. "First of September", 2002

16. Cherkasov. Håndbog for gymnasieelever og

ind på universiteterne. "A S T - presseskole", 2002

17. Zhevnyak for dem, der kommer ind på universiteter.

Minsk og Den Russiske Føderation "Review", 1996

18. Skriftlig D. Vi forbereder os til eksamen i matematik. M. Rolf, 1999

19. osv. At lære at løse ligninger og uligheder.

M. "Intellekt - Center", 2003

20. osv. Uddannelses- og træningsmaterialer til forberedelse til EGE.

M. "Intelligence - Center", 2003 og 2004.

21 m.fl. CMM-muligheder. Testcenter under Den Russiske Føderations Forsvarsministerium, 2002, 2003.

22. Goldberg-ligninger. "Quantum" nr. 3, 1971

23. Volovich M. Hvordan man med succes underviser i matematik.

Matematik, 1997 nr. 3.

24 Okunev til lektionen, børn! M. Education, 1988

25. Yakimanskaya - orienteret læring i skolen.

26. Liimets arbejder i klassen. M. Knowledge, 1975

Gå til youtube-kanalen på vores hjemmeside for at holde dig opdateret med alle de nye videolektioner.

Lad os først huske de grundlæggende formler for magter og deres egenskaber.

Produkt af et nummer -en forekommer på sig selv n gange, kan vi skrive dette udtryk som a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Potens- eller eksponentialligninger– det er ligninger, hvor variablerne er i potenser (eller eksponenter), og grundfladen er et tal.

Eksempler på eksponentialligninger:

I i dette eksempel tallet 6 er basen, det er altid nederst og variablen x grad eller indikator.

Lad os give flere eksempler på eksponentialligninger.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Lad os nu se på, hvordan eksponentielle ligninger løses?

Lad os tage en simpel ligning:

2 x = 2 3

Dette eksempel kan løses selv i dit hoved. Det kan ses, at x=3. Efter alt, så venstre og højre del var ens, skal du erstatte x med tallet 3.
Lad os nu se, hvordan man formaliserer denne beslutning:

2 x = 2 3
x = 3

For at løse sådan en ligning fjernede vi identiske grunde(altså toere) og skrev ned hvad der var tilbage, det er grader. Vi fik det svar, vi ledte efter.

Lad os nu opsummere vores beslutning.

Algoritme til løsning af eksponentialligningen:
1. Skal tjekkes det samme om ligningen har baser til højre og venstre. Hvis årsagerne ikke er de samme, leder vi efter muligheder for at løse dette eksempel.
2. Efter at baserne er blevet de samme, sidestille grader og løs den resulterende nye ligning.

Lad os nu se på et par eksempler:

Lad os starte med noget simpelt.

Baserne på venstre og højre side er lig med tallet 2, hvilket betyder, at vi kan kassere basen og sidestille deres grader.

x+2=4 Den enkleste ligning opnås.
x=4 – 2
x=2
Svar: x=2

I det følgende eksempel kan du se, at baserne er forskellige: 3 og 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Flyt først de ni til højre, så får vi:

Nu skal du lave de samme bunde. Vi ved, at 9=3 2. Lad os bruge potensformlen (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Vi får 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 nu kan du se det i venstre og højre side baserne er ens og lig med tre, hvilket betyder, at vi kan kassere dem og sidestille graderne.

3x=2x+16 får vi den enkleste ligning
3x - 2x=16
x=16
Svar: x=16.

Lad os se på følgende eksempel:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Først og fremmest ser vi på baserne, base to og fire. Og vi har brug for, at de er de samme. Vi transformerer de fire ved at bruge formlen (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Og vi bruger også en formel a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Tilføj til ligningen:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Vi gav et eksempel af samme årsager. Men andre tal 10 og 24 generer os. Hvad skal vi gøre med dem? Hvis du ser godt efter kan du se, at vi i venstre side har 2 2x gentaget, her er svaret - vi kan sætte 2 2x ud af parentes:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Lad os beregne udtrykket i parentes:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Vi dividerer hele ligningen med 6:

Lad os forestille os 4=2 2:

2 2x = 2 2 baser er ens, vi kasserer dem og sætter lighedstegn mellem graderne.
2x = 2 er den enkleste ligning. Divider det med 2 og vi får
x = 1
Svar: x = 1.

Lad os løse ligningen:

9 x – 12*3 x +27= 0

Lad os transformere:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Vi får ligningen:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Vores baser er de samme, lig med 3. I dette eksempel kan du se, at de tre første har en grad to gange (2x) end den anden (kun x). I dette tilfælde kan du løse udskiftningsmetode. Vi erstatter tallet med den mindste grad:

Så 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Vi erstatter alle x potenser i ligningen med t:

t2 - 12t+27 = 0
Vi får en andengradsligning. Løser vi gennem diskriminanten, får vi:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Vender tilbage til variablen x.

Tag t 1:
t1 = 9 = 3 x

Det er,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

En rod blev fundet. Vi leder efter den anden fra t 2:
t2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Svar: x 1 = 2; x 2 = 1.

På hjemmesiden kan du stille de spørgsmål, du måtte have, i afsnittet HJÆLP BESLUT, vi vil helt sikkert svare dig.

Deltag i gruppen

Løsning af eksponentialligninger. Eksempler.

Opmærksomhed!
Der er yderligere
materialer i specialafsnit 555.
For dem, der er meget "ikke meget..."
Og for dem, der "meget...")

Hvad er der sket eksponentiel ligning? Dette er en ligning, hvor de ukendte (x'er) og udtryk med dem er med indikatorer nogle grader. Og kun der! Det er vigtigt.

Der er du eksempler på eksponentialligninger:

3 x 2 x = 8 x+3

Bemærk! I basis af grader (nedenfor) - kun tal. I indikatorer grader (over) - en bred vifte af udtryk med et X. Hvis der pludselig dukker et X op i ligningen et andet sted end en indikator, for eksempel:

dette vil være en ligning blandet type. Sådanne ligninger har ikke klare regler for løsning af dem. Vi vil ikke overveje dem lige nu. Her vil vi beskæftige os med løsning af eksponentialligninger i sin reneste form.

Faktisk løses selv rene eksponentielle ligninger ikke altid klart. Men der er visse typer eksponentialligninger, der kan og bør løses. Det er disse typer, vi vil overveje.

Løsning af simple eksponentialligninger.

Lad os først løse noget meget grundlæggende. For eksempel:

Selv uden nogen teorier, ved simpel udvælgelse er det klart, at x = 2. Ikke mere, vel!? Ingen anden værdi af X virker. Lad os nu se på løsningen på denne vanskelige eksponentielle ligning:

Hvad har vi gjort? Vi smed faktisk simpelthen de samme baser ud (tripler). Fuldstændig smidt ud. Og den gode nyhed er, at vi rammer sømmet på hovedet!

Faktisk, hvis der i en eksponentiel ligning er venstre og højre det samme tal i enhver potens, kan disse tal fjernes, og eksponenterne kan udlignes. Matematik tillader. Det er tilbage at løse en meget enklere ligning. Fantastisk, ikke?)

Men lad os huske bestemt: Du kan kun fjerne baser, når basistallene til venstre og højre er i glimrende isolation! Uden nogen naboer og koefficienter. Lad os sige i ligningerne:

2 x +2 x+1 = 2 3, eller

toer kan ikke fjernes!

Nå, vi har mestret det vigtigste. Hvordan man bevæger sig fra onde eksponentielle udtryk til enklere ligninger.

"Det er tiderne!" - du siger. "Hvem ville give sådan en primitiv lektion om prøver og eksamener!?"

Jeg må være enig. Ingen vil. Men nu ved du, hvor du skal sigte, når du skal løse vanskelige eksempler. Det skal bringes til den form, hvor det samme grundtal er til venstre og højre. Så bliver alt nemmere. Faktisk er dette en klassiker inden for matematik. Vi tager det originale eksempel og transformerer det til det ønskede os sind. Efter matematikkens regler, selvfølgelig.

Lad os se på eksempler, der kræver en ekstra indsats for at reducere dem til de enkleste. Lad os ringe til dem simple eksponentialligninger.

Løsning af simple eksponentialligninger. Eksempler.

Ved løsning af eksponentialligninger er hovedreglerne handlinger med grader. Uden viden om disse handlinger vil intet fungere.

Til handlinger med grader skal man tilføje personlig iagttagelse og opfindsomhed. Har vi brug for de samme grundtal? Så vi leder efter dem i eksemplet i eksplicit eller krypteret form.

Lad os se, hvordan dette gøres i praksis?

Lad os få et eksempel:

2 2x - 8 x+1 = 0

Det første skarpe blik er kl grunde. De... De er forskellige! To og otte. Men det er for tidligt at blive modløs. Det er tid til at huske det

To og otte er slægtninge i grad.) Det er sagtens muligt at skrive:

8 x+1 = (2 3) x+1

Hvis vi husker formlen fra operationer med grader:

(a n) m = a nm ,

dette fungerer godt:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Det oprindelige eksempel begyndte at se sådan ud:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Vi overfører 2 3 (x+1) til højre (ingen har annulleret matematikkens elementære operationer!), får vi:

2 2x = 2 3(x+1)

Det er praktisk talt alt. Fjernelse af baserne:

Vi løser dette monster og får

Dette er det rigtige svar.

I dette eksempel hjalp det os at kende tos kræfter. Vi identificeret i otte er der en krypteret to. Denne teknik (kryptering fælles grundlag under forskellige tal) er en meget populær teknik i eksponentialligninger! Ja, og også i logaritmer. Du skal kunne genkende potenser af andre tal i tal. Dette er ekstremt vigtigt for at løse eksponentielle ligninger.

Faktum er, at det ikke er et problem at hæve et hvilket som helst tal til enhver magt. Multiplicer, selv på papiret, og det er det. For eksempel kan enhver hæve 3 til femte potens. 243 vil fungere, hvis du kender multiplikationstabellen.) Men i eksponentialligninger er det meget oftere ikke nødvendigt at hæve til en potens, men omvendt... Find ud af hvilket tal i hvilken grad er gemt bag tallet 243, eller f.eks. 343... Ingen lommeregner vil hjælpe dig her.

Du skal kende nogle tals kræfter ved synet, ikke sandt... Lad os øve os?

Bestem hvilke potenser og hvilke tal tallene er:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Svar (i et rod, selvfølgelig!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Hvis du ser godt efter, kan du se mærkeligt faktum. Der er væsentligt flere svar end opgaver! Nå, det sker... For eksempel 2 6, 4 3, 8 2 - det er alle 64.

Lad os antage, at du har noteret dig informationen om kendskab til tal.) Lad mig også minde dig om, at vi bruger til at løse eksponentialligninger alle lager af matematisk viden. Inklusiv dem fra junior- og middelklassen. Du gik ikke direkte i gymnasiet, vel?)

For eksempel, når man løser eksponentialligninger, hjælper det ofte at sætte den fælles faktor ud af parentes (hej til 7. klasse!). Lad os se på et eksempel:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Og igen, det første blik er på fundamentet! Grundlaget for graderne er forskellige... Tre og ni. Men vi ønsker, at de skal være de samme. Nå, i dette tilfælde er ønsket fuldstændig opfyldt!) Fordi:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Brug de samme regler for håndtering af grader:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Det er fantastisk, du kan skrive det ned:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Vi gav et eksempel af samme årsager. Så hvad er det næste!? Du kan ikke smide treere ud... blindgyde?

Slet ikke. Husk den mest universelle og magtfulde beslutningsregel alle sammen matematiske opgaver:

Hvis du ikke ved, hvad du har brug for, så gør hvad du kan!

Se, alt ordner sig).

Hvad er der i denne eksponentielle ligning Kan gøre? Ja, i venstre side beder den bare om at blive taget ud af beslag! Den samlede multiplikator på 3 2x antyder tydeligt dette. Lad os prøve, og så får vi se:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Eksemplet bliver bedre og bedre!

Vi husker, at for at eliminere grunde har vi brug for en ren grad, uden nogen koefficienter. Tallet 70 generer os. Så vi dividerer begge sider af ligningen med 70, får vi:

Ups! Alt blev bedre!

Dette er det endelige svar.

Det sker dog, at taxa på samme grundlag opnås, men deres eliminering er ikke mulig. Dette sker i andre typer eksponentialligninger. Lad os mestre denne type.

Udskiftning af en variabel ved løsning af eksponentialligninger. Eksempler.

Lad os løse ligningen:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Først - som sædvanligt. Lad os gå videre til én base. Til en toer.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Vi får ligningen:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Og det er her, vi hænger ud. Tidligere tricks vil ikke virke, uanset hvor hårdt du kigger. Vi bliver nødt til at trække en anden kraftfuld og universel metode ud af vores arsenal. Det hedder variabel udskiftning.

Essensen af metoden er overraskende enkel. I stedet for et komplekst ikon (i vores tilfælde - 2 x) skriver vi et andet, enklere (for eksempel - t). Sådan en tilsyneladende meningsløs erstatning fører til fantastiske resultater!) Alt bliver bare klart og forståeligt!

Så lad

Så 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

I vores ligning erstatter vi alle potenser med x'er med t:

Nå, går det op for dig?) Kvadratiske ligninger Har du glemt det endnu? Løser vi gennem diskriminanten, får vi:

Det vigtigste her er ikke at stoppe, som det sker... Dette er ikke svaret endnu, vi skal bruge x, ikke t. Lad os vende tilbage til X'erne, dvs. vi foretager en omvendt udskiftning. Først for t 1:

Det er,

En rod blev fundet. Vi leder efter den anden fra t 2:

Hm... 2 x til venstre, 1 til højre... Problem? Slet ikke! Det er nok at huske (fra operationer med beføjelser, ja...), at en enhed er nogen tal til nul potens. Nogen. Uanset hvad der er nødvendigt, installerer vi det. Vi skal bruge en toer. Midler:

Det er det nu. Vi har 2 rødder:

Dette er svaret.

På løsning af eksponentialligninger til sidst ender man nogle gange med en form for akavet udtryk. Type:

Fra syv til to til simpel grad virker ikke. De er ikke pårørende... Hvordan kan vi være det? Nogen kan være forvirret... Men den person, der læste på dette websted emnet "Hvad er en logaritme?" , smiler bare sparsomt og skriver med fast hånd det helt rigtige svar ned:

Der kan ikke være et sådant svar i opgave "B" på Unified State Examination. Der kræves et bestemt nummer. Men i opgave "C" er det nemt.

Denne lektion giver eksempler på løsning af de mest almindelige eksponentialligninger. Lad os fremhæve hovedpunkterne.

Praktiske råd:

1. Først og fremmest ser vi på grunde grader. Vi spekulerer på, om det er muligt at lave dem identisk. Lad os prøve at gøre dette ved aktivt at bruge handlinger med grader. Glem ikke, at tal uden x'er også kan konverteres til potenser!

2. Vi forsøger at bringe eksponentialligningen til formen, når der til venstre og højre er det samme tal i enhver potens. Vi bruger handlinger med grader Og faktorisering. Hvad der kan tælles i tal, tæller vi.

3. Hvis det andet tip ikke virker, så prøv at bruge variabel erstatning. Resultatet kan være en ligning, der let kan løses. Oftest - firkantet. Eller fraktioneret, som også reduceres til kvadratisk.

4. For at kunne løse eksponentialligninger skal du kende potenserne af nogle tal ved synet.

Som sædvanlig bliver du i slutningen af lektionen inviteret til at bestemme lidt.) På egen hånd. Fra simpelt til komplekst.

Løs eksponentialligninger:

Sværere:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Find produktet af rødder:

2 3'ere + 2 x = 9

sket?

Okay så det mest komplicerede eksempel(besluttede dog i sindet...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Hvad er mere interessant? Så er her et dårligt eksempel til dig. Ret fristende for øget sværhedsgrad. Lad mig antyde, at i dette eksempel er det, der redder dig, opfindsomhed og den mest universelle regel for at løse alle matematiske problemer.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Et enklere eksempel til afslapning):

9 2 x - 4 3 x = 0

Og til dessert. Find summen af ligningens rødder:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Ja Ja! Dette er en ligning af blandet type! Hvilket vi ikke overvejede i denne lektion. Hvorfor overveje dem, de skal løses!) Denne lektion er ganske nok til at løse ligningen. Nå, du har brug for opfindsomhed... Og må syvende klasse hjælpe dig (dette er et tip!).

Svar (i uorden, adskilt af semikolon):

1; 2; 3; 4; der er ingen løsninger; 2; -2; -5; 4; 0.

Er alt vellykket? Store.

Der er et problem? Intet problem! Special Section 555 løser alle disse eksponentialligninger med detaljerede forklaringer. Hvad, hvorfor og hvorfor. Og selvfølgelig er der yderligere værdifuld information om at arbejde med alle mulige eksponentielle ligninger. Ikke kun disse.)

Et sidste sjovt spørgsmål at overveje. I denne lektion arbejdede vi med eksponentialligninger. Hvorfor sagde jeg ikke et ord om ODZ her? I ligninger er dette i øvrigt en meget vigtig ting...

Hvis du kan lide denne side...

Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)

Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lad os lære - med interesse!)

Du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.

På forberedelsesstadiet til den afsluttende test skal gymnasieelever forbedre deres viden om emnet "Eksponentielle ligninger." De seneste års erfaringer viser, at sådanne opgaver volder visse vanskeligheder for skolebørn. Derfor skal gymnasieelever, uanset deres forberedelsesniveau, grundigt mestre teorien, huske formlerne og forstå princippet om at løse sådanne ligninger. Efter at have lært at klare denne type opgaver, vil dimittender kunne regne med høje scores når du har bestået Unified State Examination i matematik.

Gør dig klar til eksamenstest med Shkolkovo!

Når de gennemgår de materialer, de har dækket, står mange elever over for problemet med at finde de nødvendige formler til at løse ligninger. Skole lærebog er ikke altid lige ved hånden, og det tager lang tid at vælge de nødvendige oplysninger om et emne på internettet.

Shkolkovo uddannelsesportal inviterer studerende til at bruge vores vidensbase. Vi implementerer en helt ny metode til at forberede den endelige test. Ved at studere på vores hjemmeside vil du være i stand til at identificere huller i viden og være opmærksom på de opgaver, der volder de største vanskeligheder.

Shkolkovo lærere indsamlede, systematiserede og præsenterede alt nødvendigt for vellykket afslutning Unified State eksamensmateriale i den enkleste og mest tilgængelige form.

Grundlæggende definitioner og formler er præsenteret i afsnittet "Teoretisk baggrund".

For bedre at forstå materialet, anbefaler vi, at du øver dig i at udføre opgaverne. Gennemgå omhyggeligt eksemplerne på eksponentialligninger med løsninger præsenteret på denne side for at forstå beregningsalgoritmen. Fortsæt derefter med at udføre opgaver i sektionen "Mappen". Du kan starte med de nemmeste opgaver eller gå direkte til at løse komplekse eksponentialligninger med flere ukendte eller . Databasen med øvelser på vores hjemmeside bliver løbende suppleret og opdateret.

Disse eksempler med indikatorer, der voldte dig vanskeligheder, kan føjes til "Favoritter". På denne måde kan du hurtigt finde dem og diskutere løsningen med din lærer.

For at bestå Unified State-eksamenen skal du studere på Shkolkovo-portalen hver dag!