दशमलव लघुगणक के गुण. लघुगणक की परिभाषा और उसके गुण: सिद्धांत और समस्या समाधान

मुख्य गुण.

1. लॉगैक्स + लॉगे = लॉगा(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

समान आधार

लॉग6 4 + लॉग6 9.

अब कार्य को थोड़ा जटिल बनाते हैं।

लघुगणक हल करने के उदाहरण

क्या होगा यदि लघुगणक का आधार या तर्क एक शक्ति है? फिर इस डिग्री के घातांक को निम्नलिखित नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है:

निःसंदेह, यदि लघुगणक का ODZ देखा जाए तो ये सभी नियम समझ में आते हैं: a > 0, a ≠ 1, x >

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

एक नई नींव में परिवर्तन

मान लीजिए लघुगणक लघुगणक दिया गया है। फिर किसी भी संख्या c के लिए जैसे कि c > 0 और c ≠ 1, समानता सत्य है:

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

यह भी देखें:

लघुगणक के मूल गुण

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प्रतिपादक 2.718281828 है... प्रतिपादक को याद रखने के लिए, आप नियम का अध्ययन कर सकते हैं: प्रतिपादक 2.7 के बराबर है और लियो निकोलाइविच टॉल्स्टॉय के जन्म के वर्ष का दोगुना है।

लघुगणक के मूल गुण

इस नियम को जानकर आप जान जायेंगे और सही मूल्यप्रदर्शक, और लियो टॉल्स्टॉय की जन्म तिथि।

लघुगणक के उदाहरण

लघुगणक अभिव्यक्तियाँ

उदाहरण 1.
ए)। x=10ac^2 (a>0,c>0).

गुण 3.5 का उपयोग करके हम गणना करते हैं

2.

3.

4. कहाँ .

उदाहरण 2. यदि x ज्ञात करें

उदाहरण 3. मान लीजिए लघुगणक का मान दिया गया है

यदि लॉग(x) की गणना करें

लघुगणक के मूल गुण

लघुगणक, किसी भी संख्या की तरह, हर तरह से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लघुगणक बिल्कुल सामान्य संख्याएं नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है मुख्य गुण.

आपको निश्चित रूप से इन नियमों को जानने की आवश्यकता है - इनके बिना, एक भी गंभीर लघुगणकीय समस्या का समाधान नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - आप एक दिन में सब कुछ सीख सकते हैं। तो चलो शुरू हो जाओ।

लघुगणक जोड़ना और घटाना

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: लॉगैक्स और लॉगे। फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

1. लॉगैक्स + लॉगे = लॉगा(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल के लघुगणक के बराबर है। कृपया ध्यान दें: मुख्य बिंदुयहाँ - समान आधार. यदि कारण भिन्न हों तो ये नियम काम नहीं करते!

ये सूत्र आपको एक लघुगणकीय अभिव्यक्ति की गणना करने में मदद करेंगे, भले ही इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार न किया गया हो (पाठ "लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

चूँकि लघुगणक का आधार समान होता है, हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग6 4 + लॉग6 9 = लॉग6 (4 9) = लॉग6 36 = 2।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log2 48 − log2 3.

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग2 48 - लॉग2 3 = लॉग2 (48:3) = लॉग2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log3 135 − log3 5.

फिर से आधार वही हैं, इसलिए हमारे पास है:
लॉग3 135 - लॉग3 5 = लॉग3 (135:5) = लॉग3 27 = 3।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल अभिव्यक्तियाँ "खराब" लघुगणक से बनी हैं, जिनकी गणना अलग से नहीं की जाती है। लेकिन परिवर्तनों के बाद, पूरी तरह से सामान्य संख्याएँ प्राप्त होती हैं। कई लोग इस तथ्य पर आधारित हैं परीक्षण. हाँ, एकीकृत राज्य परीक्षा में परीक्षण जैसी अभिव्यक्तियाँ पूरी गंभीरता से (कभी-कभी वस्तुतः बिना किसी बदलाव के) पेश की जाती हैं।

लघुगणक से घातांक निकालना

इसे नोटिस करना आसान है अंतिम नियमपहले दो का अनुसरण करता है। लेकिन फिर भी इसे याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणनाओं की मात्रा को काफी कम कर देगा।

बेशक, ये सभी नियम तब समझ में आते हैं जब लघुगणक का ODZ देखा जाता है: a > 0, a ≠ 1, x > 0. और एक और बात: सभी सूत्रों को न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी लागू करना सीखें , यानी आप लघुगणक पर हस्ताक्षर करने से पहले की संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं। इसकी सबसे अधिक आवश्यकता होती है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log7 496।

आइए पहले सूत्र का उपयोग करके तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लॉग7 496 = 6 लॉग7 49 = 6 2 = 12

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ध्यान दें कि हर में एक लघुगणक होता है, जिसका आधार और तर्क सटीक घात हैं: 16 = 24; 49 = 72. हमारे पास है:

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण के लिए कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए? बहुत तक अंतिम क्षणहम केवल हर के साथ काम करते हैं।

लघुगणक सूत्र. लघुगणक उदाहरण समाधान.

हमने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को घातों के रूप में प्रस्तुत किया और घातांक निकाले - हमें एक "तीन-कहानी" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश पर नजर डालें। अंश और हर में समान संख्या होती है: log2 7. चूँकि log2 7 ≠ 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो कि किया गया था। परिणाम यह उत्तर था: 2.

एक नई नींव में परिवर्तन

लघुगणक जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल समान आधारों के साथ काम करते हैं। यदि कारण भिन्न हों तो क्या होगा? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक घातें नहीं हैं?

नई नींव में परिवर्तन के सूत्र बचाव में आते हैं। आइए हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करें:

मान लीजिए लघुगणक लघुगणक दिया गया है। फिर किसी भी संख्या c के लिए जैसे कि c > 0 और c ≠ 1, समानता सत्य है:

विशेष रूप से, यदि हम c = x सेट करते हैं, तो हमें मिलता है:

दूसरे सूत्र से यह पता चलता है कि लघुगणक के आधार और तर्क की अदला-बदली की जा सकती है, लेकिन इस मामले में संपूर्ण अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में प्रकट होता है।

ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। वे कितने सुविधाजनक हैं इसका मूल्यांकन केवल निर्णय लेने से ही संभव है लघुगणकीय समीकरणऔर असमानताएँ.

हालाँकि, ऐसी समस्याएँ हैं जिन्हें नई नींव पर जाने के अलावा बिल्कुल भी हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर नजर डालें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log5 16 log2 25.

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्कों में सटीक शक्तियाँ होती हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग5 16 = लॉग5 24 = 4लॉग5 2; लॉग2 25 = लॉग2 52 = 2लॉग2 5;

अब दूसरे लघुगणक को "उल्टा" करते हैं:

चूंकि कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने पर उत्पाद नहीं बदलता है, इसलिए हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक से निपटा।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log9 100 lg 3.

प्रथम लघुगणक का आधार और तर्क सटीक घात हैं। आइए इसे लिखें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

अक्सर समाधान प्रक्रिया में किसी संख्या को किसी दिए गए आधार पर लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, निम्नलिखित सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या n तर्क में घातांक बन जाती है। संख्या n बिल्कुल कुछ भी हो सकती है, क्योंकि यह केवल एक लघुगणक मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक संक्षिप्त परिभाषा है। इसे ही कहते हैं: .

वास्तव में, यदि संख्या b को इतनी घात तक बढ़ा दिया जाए कि इस घात की संख्या b, संख्या a दे दे तो क्या होगा? यह सही है: परिणाम वही संख्या है। इस पैराग्राफ को दोबारा ध्यान से पढ़ें - कई लोग इस पर अटक जाते हैं।

नए आधार पर जाने के सूत्रों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभावित समाधान होती है।

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ध्यान दें कि लॉग25 64 = लॉग5 8 - बस लघुगणक के आधार और तर्क से वर्ग लिया। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं:

यदि कोई नहीं जानता है, तो यह एकीकृत राज्य परीक्षा का एक वास्तविक कार्य था :)

लघुगणकीय इकाई और लघुगणकीय शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें शायद ही गुण कहा जा सकता है - बल्कि, वे लघुगणक की परिभाषा के परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में दिखाई देते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

1. लोगा = 1 है. एक बार और हमेशा के लिए याद रखें: किसी भी आधार का लघुगणक स्वयं एक के बराबर होता है।
2. लॉगा 1 = 0 है. आधार कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क में एक है, तो लघुगणक शून्य के बराबर है! क्योंकि a0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

बस इतनी ही संपत्ति है. उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास अवश्य करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।

यह भी देखें:

आधार a के लिए b का लघुगणक अभिव्यक्ति को दर्शाता है। लघुगणक की गणना करने का अर्थ है एक घात x() ज्ञात करना जिस पर समानता संतुष्ट होती है

लघुगणक के मूल गुण

उपरोक्त गुणों को जानना आवश्यक है, क्योंकि लघुगणक से संबंधित लगभग सभी समस्याओं एवं उदाहरणों का समाधान इन्हीं के आधार पर किया जाता है। शेष विदेशी गुण इन सूत्रों के साथ गणितीय हेरफेर के माध्यम से प्राप्त किए जा सकते हैं

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लघुगणक (3.4) के योग और अंतर के सूत्र की गणना करते समय आपका सामना अक्सर होता है। बाकी कुछ हद तक जटिल हैं, लेकिन कई कार्यों में वे जटिल अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और उनके मूल्यों की गणना करने के लिए अपरिहार्य हैं।

लघुगणक के सामान्य मामले

कुछ सबसे सामान्य लघुगणक वे हैं जिनमें आधार दस, घातांकीय या दो के बराबर होता है।
आधार दस के लघुगणक को आमतौर पर दशमलव लघुगणक कहा जाता है और इसे केवल lg(x) द्वारा दर्शाया जाता है।

रिकॉर्डिंग से साफ है कि रिकॉर्डिंग में मूल बातें नहीं लिखी गई हैं. उदाहरण के लिए

एक प्राकृतिक लघुगणक एक लघुगणक है जिसका आधार एक घातांक है (ln(x) द्वारा दर्शाया गया है)।

प्रतिपादक 2.718281828 है... प्रतिपादक को याद रखने के लिए, आप नियम का अध्ययन कर सकते हैं: प्रतिपादक 2.7 के बराबर है और लियो निकोलाइविच टॉल्स्टॉय के जन्म के वर्ष का दोगुना है। इस नियम को जानने से आपको प्रतिपादक का सही मान और लियो टॉल्स्टॉय की जन्म तिथि दोनों पता चल जाएगी।

और आधार दो को एक और महत्वपूर्ण लघुगणक द्वारा दर्शाया गया है

किसी फ़ंक्शन के लघुगणक का व्युत्पन्न चर द्वारा विभाजित एक के बराबर होता है

अभिन्न या प्रतिअवकलन लघुगणक संबंध द्वारा निर्धारित होता है

दी गई सामग्री आपके लिए लघुगणक और लघुगणक से संबंधित विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए पर्याप्त है। सामग्री को समझने में आपकी मदद करने के लिए, मैं केवल कुछ सामान्य उदाहरण दूंगा स्कूल के पाठ्यक्रमऔर विश्वविद्यालय.

लघुगणक के उदाहरण

लघुगणक अभिव्यक्तियाँ

उदाहरण 1.
ए)। x=10ac^2 (a>0,c>0).

गुण 3.5 का उपयोग करके हम गणना करते हैं

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हमारे पास लघुगणक के अंतर के गुण के आधार पर

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गुण 3.5 का उपयोग करके हम पाते हैं

4. कहाँ .

देखने में जटिल अभिव्यक्तिकई नियमों का उपयोग करके इसे बनाना सरल बनाया गया है

लघुगणक मान ढूँढना

उदाहरण 2. यदि x ज्ञात करें

समाधान। गणना के लिए, हम अंतिम पद 5 और 13 गुणों पर लागू होते हैं

हम इसे रिकॉर्ड पर रखते हैं और शोक मनाते हैं

चूँकि आधार बराबर हैं, हम व्यंजकों को बराबर करते हैं

लघुगणक. प्रवेश के स्तर पर।

मान लीजिए लघुगणक का मान दिया गया है

यदि लॉग(x) की गणना करें

समाधान: आइए चर के पदों के योग के माध्यम से लघुगणक लिखने के लिए चर का एक लघुगणक लें

यह लघुगणक और उनके गुणों से हमारे परिचय की शुरुआत मात्र है। गणनाओं का अभ्यास करें, अपने व्यावहारिक कौशल को समृद्ध करें - लघुगणकीय समीकरणों को हल करने के लिए आपको जल्द ही ज्ञान की आवश्यकता होगी। ऐसे समीकरणों को हल करने की बुनियादी विधियों का अध्ययन करने के बाद, हम आपके ज्ञान को और अधिक बढ़ाएँगे महत्वपूर्ण विषय- लघुगणकीय असमानताएँ...

लघुगणक के मूल गुण

लघुगणक, किसी भी संख्या की तरह, हर तरह से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लघुगणक बिल्कुल सामान्य संख्याएं नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है मुख्य गुण.

आपको निश्चित रूप से इन नियमों को जानने की आवश्यकता है - इनके बिना, एक भी गंभीर लघुगणकीय समस्या का समाधान नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - आप एक दिन में सब कुछ सीख सकते हैं। तो चलो शुरू हो जाओ।

लघुगणक जोड़ना और घटाना

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: लॉगैक्स और लॉगे। फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

1. लॉगैक्स + लॉगे = लॉगा(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल के लघुगणक के बराबर है। कृपया ध्यान दें: यहां मुख्य बिंदु यह है समान आधार. यदि कारण भिन्न हों तो ये नियम काम नहीं करते!

ये सूत्र आपको एक लघुगणकीय अभिव्यक्ति की गणना करने में मदद करेंगे, भले ही इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार न किया गया हो (पाठ "लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log6 4 + log6 9।

चूँकि लघुगणक का आधार समान होता है, हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग6 4 + लॉग6 9 = लॉग6 (4 9) = लॉग6 36 = 2।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log2 48 − log2 3.

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग2 48 - लॉग2 3 = लॉग2 (48:3) = लॉग2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log3 135 − log3 5.

फिर से आधार वही हैं, इसलिए हमारे पास है:
लॉग3 135 - लॉग3 5 = लॉग3 (135:5) = लॉग3 27 = 3।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल अभिव्यक्तियाँ "खराब" लघुगणक से बनी हैं, जिनकी गणना अलग से नहीं की जाती है। लेकिन परिवर्तनों के बाद, पूरी तरह से सामान्य संख्याएँ प्राप्त होती हैं। कई परीक्षण इसी तथ्य पर आधारित होते हैं. हाँ, एकीकृत राज्य परीक्षा में परीक्षण जैसी अभिव्यक्तियाँ पूरी गंभीरता से (कभी-कभी वस्तुतः बिना किसी बदलाव के) पेश की जाती हैं।

लघुगणक से घातांक निकालना

अब कार्य को थोड़ा जटिल बनाते हैं। क्या होगा यदि लघुगणक का आधार या तर्क एक शक्ति है? फिर इस डिग्री के घातांक को निम्नलिखित नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है:

यह देखना आसान है कि अंतिम नियम पहले दो का पालन करता है। लेकिन फिर भी इसे याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणनाओं की मात्रा को काफी कम कर देगा।

बेशक, ये सभी नियम तब समझ में आते हैं जब लघुगणक का ODZ देखा जाता है: a > 0, a ≠ 1, x > 0. और एक और बात: सभी सूत्रों को न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी लागू करना सीखें , यानी आप लघुगणक पर हस्ताक्षर करने से पहले की संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं।

लघुगणक कैसे हल करें

इसकी सबसे अधिक आवश्यकता होती है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log7 496।

आइए पहले सूत्र का उपयोग करके तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लॉग7 496 = 6 लॉग7 49 = 6 2 = 12

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ध्यान दें कि हर में एक लघुगणक होता है, जिसका आधार और तर्क सटीक घात हैं: 16 = 24; 49 = 72. हमारे पास है:

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण के लिए कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए? अंतिम क्षण तक हम केवल हर के साथ काम करते हैं। हमने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को घातों के रूप में प्रस्तुत किया और घातांक निकाले - हमें एक "तीन-कहानी" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश पर नजर डालें। अंश और हर में समान संख्या होती है: log2 7. चूँकि log2 7 ≠ 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो कि किया गया था। परिणाम यह उत्तर था: 2.

एक नई नींव में परिवर्तन

लघुगणक जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल समान आधारों के साथ काम करते हैं। यदि कारण भिन्न हों तो क्या होगा? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक घातें नहीं हैं?

नई नींव में परिवर्तन के सूत्र बचाव में आते हैं। आइए हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करें:

मान लीजिए लघुगणक लघुगणक दिया गया है। फिर किसी भी संख्या c के लिए जैसे कि c > 0 और c ≠ 1, समानता सत्य है:

विशेष रूप से, यदि हम c = x सेट करते हैं, तो हमें मिलता है:

दूसरे सूत्र से यह पता चलता है कि लघुगणक के आधार और तर्क की अदला-बदली की जा सकती है, लेकिन इस मामले में संपूर्ण अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में प्रकट होता है।

ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही यह मूल्यांकन करना संभव है कि वे कितने सुविधाजनक हैं।

हालाँकि, ऐसी समस्याएँ हैं जिन्हें नई नींव पर जाने के अलावा बिल्कुल भी हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर नजर डालें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log5 16 log2 25.

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्कों में सटीक शक्तियाँ होती हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग5 16 = लॉग5 24 = 4लॉग5 2; लॉग2 25 = लॉग2 52 = 2लॉग2 5;

अब दूसरे लघुगणक को "उल्टा" करते हैं:

चूंकि कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने पर उत्पाद नहीं बदलता है, इसलिए हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक से निपटा।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log9 100 lg 3.

प्रथम लघुगणक का आधार और तर्क सटीक घात हैं। आइए इसे लिखें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

अक्सर समाधान प्रक्रिया में किसी संख्या को किसी दिए गए आधार पर लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, निम्नलिखित सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या n तर्क में घातांक बन जाती है। संख्या n बिल्कुल कुछ भी हो सकती है, क्योंकि यह केवल एक लघुगणक मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक संक्षिप्त परिभाषा है। इसे ही कहते हैं: .

वास्तव में, यदि संख्या b को इतनी घात तक बढ़ा दिया जाए कि इस घात की संख्या b, संख्या a दे दे तो क्या होगा? यह सही है: परिणाम वही संख्या है। इस पैराग्राफ को दोबारा ध्यान से पढ़ें - कई लोग इस पर अटक जाते हैं।

नए आधार पर जाने के सूत्रों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभावित समाधान होती है।

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ध्यान दें कि लॉग25 64 = लॉग5 8 - बस लघुगणक के आधार और तर्क से वर्ग लिया। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं:

यदि कोई नहीं जानता है, तो यह एकीकृत राज्य परीक्षा का एक वास्तविक कार्य था :)

लघुगणकीय इकाई और लघुगणकीय शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें शायद ही गुण कहा जा सकता है - बल्कि, वे लघुगणक की परिभाषा के परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में दिखाई देते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

1. लोगा = 1 है. एक बार और हमेशा के लिए याद रखें: किसी भी आधार का लघुगणक स्वयं एक के बराबर होता है।
2. लॉगा 1 = 0 है. आधार कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क में एक है, तो लघुगणक शून्य के बराबर है! क्योंकि a0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

बस इतनी ही संपत्ति है. उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास अवश्य करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।

जैसे-जैसे समाज विकसित हुआ और उत्पादन अधिक जटिल होता गया, गणित का भी विकास हुआ। सरल से जटिल की ओर गति. जोड़ और घटाव की विधि का उपयोग करके सामान्य लेखांकन से, उनकी बार-बार पुनरावृत्ति के साथ, हम गुणा और भाग की अवधारणा पर आए। गुणन की बार-बार होने वाली क्रिया को कम करना घातांक की अवधारणा बन गई। आधार पर संख्याओं की निर्भरता और घातांक की संख्या की पहली सारणी 8वीं शताब्दी में भारतीय गणितज्ञ वरसेना द्वारा संकलित की गई थी। उनसे आप लघुगणक के घटित होने का समय गिन सकते हैं।

ऐतिहासिक रेखाचित्र

16वीं शताब्दी में यूरोप के पुनरुद्धार ने भी यांत्रिकी के विकास को प्रेरित किया। टी बड़ी मात्रा में गणना की आवश्यकता हैगुणा और भाग से सम्बंधित बहु-अंकीय संख्याएँ. प्राचीन मेज़ें बहुत उपयोगी थीं। उन्होंने जटिल संक्रियाओं को सरल संक्रियाओं - जोड़ और घटाव - से बदलना संभव बना दिया। 1544 में प्रकाशित गणितज्ञ माइकल स्टिफ़ेल का काम एक बड़ा कदम था, जिसमें उन्होंने कई गणितज्ञों के विचार को साकार किया। इससे न केवल फॉर्म में डिग्री के लिए तालिकाओं का उपयोग करना संभव हो गया प्रमुख संख्या, लेकिन मनमाने ढंग से तर्कसंगत लोगों के लिए भी।

1614 में, स्कॉट्समैन जॉन नेपियर ने इन विचारों को विकसित करते हुए पहली बार पेश किया नया शब्द"किसी संख्या का लघुगणक।" नया जटिल तालिकाएँसाइन और कोसाइन के लघुगणक, साथ ही स्पर्शरेखा की गणना के लिए। इससे खगोलशास्त्रियों का काम बहुत कम हो गया।

नई तालिकाएँ दिखाई देने लगीं, जिनका वैज्ञानिकों द्वारा पूरे क्षेत्र में सफलतापूर्वक उपयोग किया गया तीन शतक. पहले काफी समय बीत गया नया ऑपरेशनबीजगणित में इसने अपना पूर्ण रूप प्राप्त कर लिया। लघुगणक की परिभाषा दी गई तथा उसके गुणों का अध्ययन किया गया।

केवल 20वीं शताब्दी में, कैलकुलेटर और कंप्यूटर के आगमन के साथ, मानवता ने उन प्राचीन तालिकाओं को त्याग दिया जो 13वीं शताब्दी में सफलतापूर्वक काम करती थीं।

आज हम संख्या x को आधार बनाने के लिए b का लघुगणक कहते हैं जो कि b बनाने के लिए a की शक्ति है। इसे एक सूत्र के रूप में लिखा गया है: x = log a(b)।

उदाहरण के लिए, लॉग 3(9) 2 के बराबर होगा। यदि आप परिभाषा का पालन करते हैं तो यह स्पष्ट है। यदि हम 3 को 2 की घात तक बढ़ा दें, तो हमें 9 प्राप्त होता है।

इस प्रकार, तैयार की गई परिभाषा केवल एक प्रतिबंध लगाती है: संख्या ए और बी वास्तविक होनी चाहिए।

लघुगणक के प्रकार

क्लासिक परिभाषा को वास्तविक लघुगणक कहा जाता है और यह वास्तव में समीकरण a x = b का समाधान है। विकल्प a = 1 सीमा रेखा है और रुचिकर नहीं है। ध्यान दें: किसी भी घात के लिए 1, 1 के बराबर होता है।

लघुगणक का वास्तविक मानकेवल तभी परिभाषित किया जाता है जब आधार और तर्क 0 से अधिक हों, और आधार 1 के बराबर नहीं होना चाहिए।

गणित के क्षेत्र में विशेष स्थानलघुगणक खेलें, जिन्हें उनके आधार के आकार के आधार पर नाम दिया जाएगा:

नियम और प्रतिबंध

लघुगणक का मूल गुण नियम है: किसी उत्पाद का लघुगणक लघुगणक योग के बराबर होता है। लॉग एबीपी = लॉग ए(बी) + लॉग ए(पी)।

इस कथन के एक प्रकार के रूप में यह होगा: लॉग सी(बी/पी) = लॉग सी(बी) - लॉग सी(पी), भागफल फ़ंक्शन फ़ंक्शन के अंतर के बराबर है।

पिछले दो नियमों से यह देखना आसान है कि: लॉग ए(बी पी) = पी * लॉग ए(बी)।

अन्य संपत्तियों में शामिल हैं:

टिप्पणी। कोई सामान्य गलती न करें - योग का लघुगणक नहीं है योग के बराबरलघुगणक.

कई शताब्दियों तक, लघुगणक खोजने का कार्य काफी समय लेने वाला कार्य था। गणितज्ञों ने बहुपद विस्तार के लघुगणकीय सिद्धांत के प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग किया:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), जहां n - प्राकृतिक संख्या 1 से अधिक, जो गणना की सटीकता निर्धारित करता है।

अन्य आधारों वाले लघुगणक की गणना एक आधार से दूसरे आधार पर संक्रमण और किसी उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति पर प्रमेय का उपयोग करके की गई थी।

चूंकि यह विधि बहुत श्रमसाध्य है और व्यावहारिक समस्याओं को हल करते समयकार्यान्वयन में कठिनाई के कारण, हमने लघुगणक की पूर्व-संकलित तालिकाओं का उपयोग किया, जिससे सभी कार्यों में काफी तेजी आई।

कुछ मामलों में, लघुगणक के विशेष रूप से संकलित ग्राफ़ का उपयोग किया गया, जिससे कम सटीकता मिली, लेकिन वांछित मान की खोज में काफी तेजी आई। फ़ंक्शन का वक्र y = log a(x), जो कई बिंदुओं पर बना है, आपको किसी अन्य बिंदु पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करने के लिए एक नियमित रूलर का उपयोग करने की अनुमति देता है। इंजीनियर्स लंबे समय तकइन उद्देश्यों के लिए, तथाकथित ग्राफ़ पेपर का उपयोग किया गया था।

17वीं शताब्दी में, पहली सहायक एनालॉग कंप्यूटिंग स्थितियाँ सामने आईं, जो 19 वीं सदीएक पूर्ण रूप प्राप्त कर लिया। सबसे सफल उपकरण को स्लाइड रूल कहा गया। डिवाइस की सादगी के बावजूद, इसकी उपस्थिति ने सभी इंजीनियरिंग गणनाओं की प्रक्रिया को काफी तेज कर दिया, और इसे कम करके आंकना मुश्किल है। फिलहाल इस डिवाइस से कम ही लोग परिचित हैं।

कैलकुलेटर और कंप्यूटर के आगमन ने किसी भी अन्य उपकरण के उपयोग को निरर्थक बना दिया।

समीकरण और असमानताएँ

लघुगणक का उपयोग करके विभिन्न समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए, निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग किया जाता है:

• एक आधार से दूसरे आधार पर जाना: लॉग ए(बी) = लॉग सी(बी) / लॉग सी(ए);
• पिछले विकल्प के परिणामस्वरूप: लॉग ए(बी) = 1 / लॉग बी(ए)।

असमानताओं को हल करने के लिए यह जानना उपयोगी है:

• लघुगणक का मान तभी सकारात्मक होगा जब आधार और तर्क दोनों एक से अधिक या कम हों; यदि कम से कम एक शर्त का उल्लंघन किया जाता है, तो लघुगणक मान ऋणात्मक होगा।
• यदि लघुगणक फ़ंक्शन को असमानता के दाएं और बाएं पक्षों पर लागू किया जाता है, और लघुगणक का आधार एक से अधिक है, तो असमानता का संकेत संरक्षित रहता है; अन्यथा यह बदल जाता है.

नमूना समस्याएँ

आइए लघुगणक और उनके गुणों का उपयोग करने के लिए कई विकल्पों पर विचार करें। समीकरणों को हल करने वाले उदाहरण:

लघुगणक को घात में रखने के विकल्प पर विचार करें:

• समस्या 3. 25^लॉग 5(3) की गणना करें। समाधान: समस्या की स्थितियों में, प्रविष्टि निम्नलिखित (5^2)^लॉग5(3) या 5^(2 * लॉग 5(3)) के समान है। आइए इसे अलग तरीके से लिखें: 5^लॉग 5(3*2), या फ़ंक्शन तर्क के रूप में किसी संख्या का वर्ग फ़ंक्शन के वर्ग के रूप में ही लिखा जा सकता है (5^लॉग 5(3))^2। लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, यह अभिव्यक्ति 3^2 के बराबर है। उत्तर: गणना के परिणामस्वरूप हमें 9 मिलता है।

व्यावहारिक अनुप्रयोग

विशुद्ध रूप से गणितीय उपकरण होने के नाते, यह बहुत दूर लगता है वास्तविक जीवनवह लघुगणक अचानक प्राप्त हो गया बड़ा मूल्यवानवस्तुओं का वर्णन करने के लिए असली दुनिया. ऐसा विज्ञान खोजना मुश्किल है जहां इसका उपयोग न किया जाता हो। यह न केवल प्राकृतिक, बल्कि ज्ञान के मानवीय क्षेत्रों पर भी पूरी तरह लागू होता है।

लघुगणकीय निर्भरताएँ

यहां संख्यात्मक निर्भरता के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

यांत्रिकी और भौतिकी

ऐतिहासिक रूप से, यांत्रिकी और भौतिकी हमेशा गणितीय अनुसंधान विधियों का उपयोग करके विकसित हुए हैं और साथ ही लघुगणक सहित गणित के विकास के लिए एक प्रोत्साहन के रूप में कार्य करते हैं। भौतिकी के अधिकांश नियमों का सिद्धांत गणित की भाषा में लिखा गया है। आइए विवरण के केवल दो उदाहरण दें भौतिक नियमलघुगणक का उपयोग करना।

रॉकेट की गति जैसी जटिल मात्रा की गणना करने की समस्या को त्सोल्कोव्स्की सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है, जिसने अंतरिक्ष अन्वेषण के सिद्धांत की नींव रखी:

वी = आई * एलएन (एम1/एम2), कहां

• V विमान की अंतिम गति है।
• मैं - इंजन का विशिष्ट आवेग.
• एम 1 - रॉकेट का प्रारंभिक द्रव्यमान।
• एम 2 - अंतिम द्रव्यमान।

एक और महत्वपूर्ण उदाहरण - इसका उपयोग एक अन्य महान वैज्ञानिक मैक्स प्लैंक के सूत्र में किया जाता है, जो थर्मोडायनामिक्स में संतुलन स्थिति का मूल्यांकन करने का कार्य करता है।

एस = के * एलएन (Ω), कहां

• एस - थर्मोडायनामिक संपत्ति।
• k - बोल्ट्जमैन स्थिरांक।
• Ω विभिन्न राज्यों का सांख्यिकीय भार है।

रसायन विज्ञान

रसायन विज्ञान में लघुगणक के अनुपात वाले सूत्रों का उपयोग कम स्पष्ट है। आइए केवल दो उदाहरण दें:

• नर्नस्ट समीकरण, पदार्थों की गतिविधि और संतुलन स्थिरांक के संबंध में माध्यम की रेडॉक्स क्षमता की स्थिति।
• ऑटोलिसिस सूचकांक और समाधान की अम्लता जैसे स्थिरांक की गणना भी हमारे कार्य के बिना नहीं की जा सकती है।

मनोविज्ञान और जीव विज्ञान

और यह बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं है कि मनोविज्ञान का इससे क्या लेना-देना है। यह पता चला है कि संवेदना की ताकत को इस फ़ंक्शन द्वारा उत्तेजना तीव्रता मूल्य और निम्न तीव्रता मूल्य के व्युत्क्रम अनुपात के रूप में अच्छी तरह से वर्णित किया गया है।

उपरोक्त उदाहरणों के बाद, अब यह आश्चर्य की बात नहीं है कि लघुगणक का विषय जीव विज्ञान में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। लघुगणकीय सर्पिलों के अनुरूप जैविक रूपों के बारे में संपूर्ण खंड लिखे जा सकते हैं।

अन्य क्षेत्र

ऐसा लगता है कि इस फ़ंक्शन के संबंध के बिना दुनिया का अस्तित्व असंभव है, और यह सभी कानूनों को नियंत्रित करता है। विशेषकर जब प्रकृति के नियमों से संबंधित हो ज्यामितीय अनुक्रम. यह MatProfi वेबसाइट की ओर रुख करने लायक है, और गतिविधि के निम्नलिखित क्षेत्रों में ऐसे कई उदाहरण हैं:

सूची अंतहीन हो सकती है. इस फ़ंक्शन के बुनियादी सिद्धांतों में महारत हासिल करने के बाद, आप अनंत ज्ञान की दुनिया में उतर सकते हैं।

इस लेख का फोकस है लोगारित्म. यहां हम लघुगणक की परिभाषा देंगे, स्वीकृत अंकन दिखाएंगे, लघुगणक के उदाहरण देंगे, और प्राकृतिक और दशमलव लघुगणक के बारे में बात करेंगे। इसके बाद हम मूल लघुगणकीय पहचान पर विचार करेंगे।

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लघुगणक की परिभाषा

किसी समस्या को हल करते समय लघुगणक की अवधारणा उत्पन्न होती है एक निश्चित अर्थ मेंउलटा, जब आपको इसका प्रतिपादक खोजने की आवश्यकता हो ज्ञात मूल्यडिग्री और ज्ञात आधार.

लेकिन बहुत हो चुकी प्रस्तावनाएं, अब इस प्रश्न का उत्तर देने का समय आ गया है कि "लघुगणक क्या है"? आइए हम संबंधित परिभाषा दें।

परिभाषा।

आधार ए से बी का लघुगणक, जहां a>0, a≠1 और b>0 वह घातांक है जिसके परिणामस्वरूप b प्राप्त करने के लिए आपको संख्या a बढ़ाने की आवश्यकता है।

इस स्तर पर, हम ध्यान दें कि बोले गए शब्द "लघुगणक" से तुरंत दो अनुवर्ती प्रश्न उठने चाहिए: "कौन सी संख्या" और "किस आधार पर।" दूसरे शब्दों में, कोई लघुगणक नहीं है, बल्कि केवल किसी संख्या का किसी आधार का लघुगणक है।

आइए तुरंत प्रवेश करें लघुगणक संकेतन: किसी संख्या b से आधार a का लघुगणक आमतौर पर लघुगणक a b के रूप में दर्शाया जाता है। किसी संख्या b से आधार e के लघुगणक और आधार 10 के लघुगणक के क्रमशः अपने विशेष पदनाम lnb और logb होते हैं, अर्थात, वे log e b नहीं, बल्कि lnb लिखते हैं, और log 10 b नहीं, बल्कि lgb लिखते हैं।

अब हम दे सकते हैं: .
और रिकार्ड कोई मतलब नहीं है, क्योंकि उनमें से पहले में लघुगणक के चिह्न के नीचे है ऋणात्मक संख्या, दूसरे में आधार में एक ऋणात्मक संख्या है, और तीसरे में लघुगणक चिह्न के नीचे एक ऋणात्मक संख्या है और आधार में एक इकाई है।

अब बात करते हैं लघुगणक पढ़ने के नियम. नोटेशन लॉग ए बी को "बी से आधार ए का लघुगणक" के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, लॉग 2 3 आधार 2 से तीन का लघुगणक है, और आधार 2 से दो दशमलव दो तिहाई का लघुगणक है। वर्गमूलपांच में से. आधार ई का लघुगणक कहलाता है प्राकृतिक, और एलएनबी प्रविष्टि में लिखा है " प्राकृतिकबी"। उदाहरण के लिए, ln7 सात का प्राकृतिक लघुगणक है, और हम इसे पाई के प्राकृतिक लघुगणक के रूप में पढ़ेंगे। आधार 10 लघुगणक का एक विशेष नाम भी है - दशमलव लघुगणक, और एलजीबी को "बी का दशमलव लघुगणक" के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, lg1 एक का दशमलव लघुगणक है, और lg2.75 दो दशमलव सात पाँच सौवें भाग का दशमलव लघुगणक है।

शर्तों a>0, a≠1 और b>0 पर अलग से ध्यान देना उचित है, जिसके तहत लघुगणक की परिभाषा दी गई है। आइए हम बताएं कि ये प्रतिबंध कहां से आते हैं। नामक प्रपत्र की समानता, जो ऊपर दी गई लघुगणक की परिभाषा से सीधे अनुसरण करती है, हमें ऐसा करने में मदद करेगी।

आइए a≠1 से शुरू करें। चूँकि किसी भी घात का एक, एक के बराबर होता है, समानता केवल तभी सत्य हो सकती है जब b=1, लेकिन लघुगणक 1 1 कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है। इस अस्पष्टता से बचने के लिए, a≠1 मान लिया गया है।

आइए हम शर्त a>0 की समीचीनता को उचित ठहराएँ। a=0 के साथ, लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास एक समानता होगी जो केवल b=0 के साथ संभव है। लेकिन फिर लॉग 0 0 कोई भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या हो सकती है, क्योंकि शून्य से किसी भी गैर-शून्य घात शून्य है। शर्त a≠0 हमें इस अस्पष्टता से बचने की अनुमति देती है। और जब ए<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

अंत में, स्थिति b>0 असमानता a>0 से अनुसरण करती है, क्योंकि, और सकारात्मक आधार वाली शक्ति का मान हमेशा सकारात्मक होता है।

इस बिंदु को समाप्त करने के लिए, मान लें कि लघुगणक की बताई गई परिभाषा आपको लघुगणक के मान को तुरंत इंगित करने की अनुमति देती है जब लघुगणक चिह्न के नीचे की संख्या आधार की एक निश्चित शक्ति होती है। वास्तव में, लघुगणक की परिभाषा हमें यह बताने की अनुमति देती है कि यदि b=ap, तो आधार a पर संख्या b का लघुगणक p के बराबर है। अर्थात्, समानता लॉग a a p =p सत्य है। उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि 2 3 =8, तो लघुगणक 2 8=3। हम लेख में इसके बारे में अधिक बात करेंगे।

लघुगणक क्या है?

ध्यान!
अतिरिक्त भी हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो बहुत "बहुत नहीं..." हैं
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

लघुगणक क्या है? लघुगणक कैसे हल करें? ये प्रश्न कई स्नातकों को भ्रमित करते हैं। परंपरागत रूप से, लघुगणक का विषय जटिल, समझ से बाहर और डरावना माना जाता है। विशेषकर लघुगणक वाले समीकरण।

यह बिल्कुल सच नहीं है। बिल्कुल! मुझ पर विश्वास नहीं है? अच्छा। अब, केवल 10-20 मिनट में आप:

1. आप समझ जायेंगे लघुगणक क्या है.

2. पूरी कक्षा को हल करना सीखें घातीय समीकरण. भले ही आपने उनके बारे में कुछ नहीं सुना हो.

3. सरल लघुगणक की गणना करना सीखें।

इसके अलावा, इसके लिए आपको केवल गुणन सारणी और किसी संख्या को घात तक कैसे बढ़ाया जाए, यह जानने की आवश्यकता होगी...

मुझे लगता है कि आपको संदेह है... ठीक है, ठीक है, समय चिह्नित करें! चल दर!

सबसे पहले, इस समीकरण को अपने दिमाग में हल करें:

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वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। त्वरित सत्यापन के साथ परीक्षण। आइए जानें - रुचि के साथ!)

आप फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

(ग्रीक λόγος से - "शब्द", "संबंध" और ἀριθμός - "संख्या") संख्याएं बीपर आधारित ए(लॉग α बी) ऐसी संख्या कहलाती है सी, और बी= एक सी, यानी, रिकॉर्ड लॉग α बी=सीऔर बी=एसीसमतुल्य हैं. यदि a > 0, a ≠ 1, b > 0 हो तो लघुगणक समझ में आता है।

दूसरे शब्दों में लोगारित्मनंबर बीपर आधारित एएक प्रतिपादक के रूप में तैयार किया गया है जिसके लिए एक संख्या बढ़ाई जानी चाहिए एनंबर पाने के लिए बी(लघुगणक केवल सकारात्मक संख्याओं के लिए मौजूद है)।

इस सूत्रीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि गणना x= log α बी, समीकरण a x =b को हल करने के बराबर है।

उदाहरण के लिए:

लॉग 2 8 = 3 क्योंकि 8 = 2 3।

आइए हम इस बात पर जोर दें कि लघुगणक का संकेतित सूत्रीकरण तुरंत निर्धारित करना संभव बनाता है लघुगणक मान, जब लघुगणक चिह्न के नीचे की संख्या आधार की एक निश्चित शक्ति के रूप में कार्य करती है। वास्तव में, लघुगणक का निरूपण इसे उचित ठहराना संभव बनाता है यदि बी=ए सी, फिर संख्या का लघुगणक बीपर आधारित एके बराबर होती है साथ. यह भी स्पष्ट है कि लघुगणक का विषय विषय से निकटता से संबंधित है किसी संख्या की शक्तियां.

लघुगणक की गणना करना कहलाता है लोगारित्म. लघुगणक लघुगणक लेने की गणितीय संक्रिया है। लघुगणक लेते समय, कारकों के उत्पाद पदों के योग में बदल जाते हैं।

पोटेंशिएशनलघुगणक के विपरीत एक गणितीय संक्रिया है। पोटेंशिएशन के दौरान, किसी दिए गए आधार को अभिव्यक्ति की डिग्री तक बढ़ाया जाता है जिस पर पोटेंशिएशन किया जाता है। इस स्थिति में, पदों का योग कारकों के उत्पाद में बदल जाता है।

अक्सर, वास्तविक लघुगणक का उपयोग आधार 2 (बाइनरी), यूलर संख्या ई ≈ 2.718 (प्राकृतिक लघुगणक) और 10 (दशमलव) के साथ किया जाता है।

पर इस स्तर परइस पर विचार करना उचित है लघुगणक नमूनेलॉग 7 2 , एल.एन √ 5, एलजी0.0001.

और प्रविष्टियाँ lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि उनमें से पहले में लघुगणक के चिह्न के नीचे एक ऋणात्मक संख्या रखी गई है, दूसरे में एक ऋणात्मक संख्या है आधार में, और तीसरे में लघुगणक चिह्न और आधार पर इकाई के नीचे एक ऋणात्मक संख्या है।

लघुगणक निर्धारित करने की शर्तें.

शर्तों a > 0, a ≠ 1, b > 0 पर अलग से विचार करना उचित है, जिसके तहत हमें मिलता है लघुगणक की परिभाषा.आइये विचार करें कि ये प्रतिबंध क्यों लिये गये। x = log α के रूप की समानता इसमें हमारी सहायता करेगी बी, जिसे मूल लघुगणकीय पहचान कहा जाता है, जो सीधे ऊपर दी गई लघुगणक की परिभाषा का अनुसरण करती है।

आइए शर्त लेते हैं a≠1. चूँकि एक से किसी भी घात का मान एक के बराबर होता है, तो समानता x=log α बीतभी अस्तित्व में रह सकता है जब बी=1, लेकिन लॉग 1 1 कोई वास्तविक संख्या होगी। इस अस्पष्टता को खत्म करने के लिए, हम लेते हैं a≠1.

आइए हम शर्त की आवश्यकता सिद्ध करें ए>0. पर ए=0लघुगणक के निरूपण के अनुसार तभी अस्तित्व में रह सकता है बी=0. और तदनुसार फिर लॉग 0 0कोई भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या हो सकती है, क्योंकि शून्य से किसी भी गैर-शून्य घात शून्य होता है। इस अस्पष्टता को शर्त द्वारा समाप्त किया जा सकता है a≠0. और जब ए<0 हमें लघुगणक के तर्कसंगत और अपरिमेय मूल्यों के विश्लेषण को अस्वीकार करना होगा, क्योंकि तर्कसंगत और अपरिमेय घातांक वाली डिग्री केवल गैर-नकारात्मक आधारों के लिए परिभाषित की जाती है। इसी कारण से यह शर्त निर्धारित की गई है ए>0.

और आखिरी शर्त बी>0असमानता से अनुसरण करता है ए>0, चूँकि x=log α बी, और सकारात्मक आधार के साथ डिग्री का मूल्य एहमेशा ही सकारात्मक।

लघुगणक की विशेषताएँ.

लघुगणकविशिष्ट द्वारा विशेषता विशेषताएँ, जिसके कारण श्रमसाध्य गणनाओं को सुविधाजनक बनाने के लिए उनका व्यापक उपयोग हुआ। "लघुगणक की दुनिया में" जाने पर, गुणन को बहुत आसान जोड़ में बदल दिया जाता है, विभाजन को घटाव में बदल दिया जाता है, और घातांक और मूल निष्कर्षण को क्रमशः घातांक द्वारा गुणन और विभाजन में बदल दिया जाता है।

लघुगणक का निरूपण और उनके मानों की तालिका (के लिए)। त्रिकोणमितीय कार्य) पहली बार 1614 में स्कॉटिश गणितज्ञ जॉन नेपियर द्वारा प्रकाशित किया गया था। अन्य वैज्ञानिकों द्वारा विस्तारित और विस्तृत लॉगरिदमिक तालिकाओं का वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग गणनाओं में व्यापक रूप से उपयोग किया गया था, और इलेक्ट्रॉनिक कैलकुलेटर और कंप्यूटर के उपयोग तक प्रासंगिक बने रहे।