एक आयताकार समांतर चतुर्भुज की लंबाई का सूत्र। समांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात करने के सूत्र

परिचय:

आप क्या सोचते हैं भारी क्या है: 1 किलो फुलाना या 1 किलो कीलें? वहां किस तरह की अधिक जगह है? इस वर्ष हम इसी बारे में बात करेंगे। आइए जानें कि आयतन और द्रव्यमान में क्या अंतर है।

आयतन का निर्धारण

आयतन यह है कि कोई वस्तु अंतरिक्ष में कितनी जगह घेरती है, और द्रव्यमान यह है कि उसका वजन कितना है। लीटर एक आयतन है या द्रव्यमान? और इसका किलोग्राम-ग्राम से क्या संबंध है? स्टोर में, दूध लीटर की बोतलों में बेचा जाता है, पानी 1.5-2 लीटर की बोतलों में बेचा जाता है -टिल-काह, स्मे-ता-ना प्रो-दा-एट-स्या 250 ग्राम के जार में। 0.33 लीटर क्या है?

आयतन माप

तो चलिए, एक स्केल लें, इसे बोतल में डालें और इसमें 600 ग्राम तेल डालें। फिर उसी आकार की दूसरी बोतल लें और उसमें 600 ग्राम पानी डालें। और अब हम पैनकेक का आटा लेंगे और 600 ग्राम को उसी बोतल में डाल देंगे। देखिए, हमारे पास हर जगह 600 ग्राम हैं - द्रव्यमान समान है, लेकिन तरल पदार्थों का स्तर अलग-अलग हो जाता है, लेकिन द्रव्यमान समान नहीं है -मी-नि-लास (चित्र 1 देखें)।

चावल। 1. तरल स्तर की तुलना: तेल, पानी और पैनकेक बैटर

मुझे क्या हुआ है? मैंने अपनी जगह के लिए बहुत सारा पैसा खो दिया है। यह बिल्कुल स्थान की वह मात्रा है जिसे आयतन कहा जाता है। हमारा द्रव्यमान हर जगह एक जैसा था, लेकिन आयतन अलग था।

तो आप पूछें, एक लीटर क्या है? एक फ्लास्क लें और उसमें 1 किलो पानी डालें। तो 1 किलो पानी यानि कि 1 किलो पानी रखने वाली जगह को लिट-रम कहा जाता था।

चलिए इसे फिर से बनाते हैं. आयतन एक संख्या है जो दर्शाती है कि किसी वस्तु के पास अंतरिक्ष में कितना स्थान है। और किसी वस्तु को मापने के लिए अक्षरों के अलावा किसका उपयोग किया जाता है? लंबाई और क्षेत्रफल की तरह, माप की भी कई अलग-अलग विशेष मात्राएँ होती हैं। उदाहरण के लिए, एक बार-रेल. बैरल-रिल एक बैरल में रखे गए तेल की मात्रा है, जो आकार द्वारा निर्धारित होती है (चित्र 2 देखें)।

चावल। 2. बार-रेल

या फिर गैल-लोन जैसी कोई चीज़ होती है. गैलन-लोन वह मात्रा है जिसका उपयोग इंग्लैंड और अमेरिका में परिवहन के लिए किया जाता है। लेकिन आमतौर पर हम कू-बि-चे-स्की-मी डे-त्सी-मेट-रा-मील, कू-बी-चे-स्की-मी सैन-टी-मेट-रा-मी, कू-बी-चे-स्की- को मापते हैं। मील मेट-रा-मील। लेकिन एक लीटर और कू-बाय-चे-स्काई डे-सी-मीटर या मीटर के संयोजन के बारे में क्या? वास्तव में, एक लीटर एक घन डे-सी-मीटर है (चित्र 3 देखें)।

चावल। 3. लीटर - cu-bi-che-sky de-ci-मीटर

यानी इस क्यूब के अंदर बिल्कुल 1 किलो पानी समा जाता है. मुद्दा यह नहीं है कि बॉक्स किस आकार का है, बल्कि यह है कि वह वहां कितना फिट बैठता है। आइए कू-बी-चे-डे-सी-मीटर में कुछ आटा डालने का प्रयास करें। या आप आटे को एक बैग में डाल सकते हैं - और फिर भी 1 लीटर (या 1 घन डे-सी-मीटर) प्राप्त कर सकते हैं। अंदर जो है वह एक लीटर या क्यू-बाइ-चे-डी-सी-मीटर होगा, क्योंकि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह किस आकार का है, यह महत्वपूर्ण है कि वहां कितनी जगह है।

एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज का आयतन

प्रत्यक्ष कोयले की मात्रा के साथ चीजें बहुत समान हैं।

एक सौ 1 इकाई वाले घन का आयतन 1 घन इकाई है। फिर, मूल रैखिक मात्राएँ कोई भी हो सकती हैं: मिलीमीटर, सेंटीमीटर, इंच।

उदाहरण के लिए, 1 सेमी3 1 सेमी भुजा वाले घन का आयतन है, और 1 किमी3 1 किमी भुजा वाले घन का आयतन है।

आइए सौ-रो-ऑन-मील 7 सेमी, 5 सेमी, 4 सेमी के साथ एक आयताकार पा-राल-ले-ले-पी-पे-दा का आयतन ज्ञात करें (चित्र 7.)

चावल। 7. सीधा-कोण पा-राल-ले-ले-पी-पेड

समाधान

हमारे आयताकार पा-राल-ले-ले-पी-पे-दा का आयतन, अंतरिक्ष में यु-शि-स्या, एकल घनों की संख्या है।

तल पर एक ही घन की एक पंक्ति रखें, जिसकी भुजा लंबी ओर 1 सेमी हो। कुल मिलाकर 7 टुकड़े हैं. पहले से ही सीधे कोयले के साथ काम करने के अनुभव से, हम जानते हैं कि केवल 5 ऐसी पंक्तियाँ तल पर फिट होती हैं, प्रत्येक घर में 7 टुकड़े। यानी कुल मिलाकर:

संक्षेप में, यह एक परत है. हम इनमें से कितनी परतों को एक दूसरे के ऊपर रख सकते हैं?

ये आप पर निर्भर करता है. यह 4 सेमी के बराबर है इसका मतलब है कि प्रत्येक परत में 35 टुकड़ों की 4 परतें रखी गई हैं। कुल:

35 नंबर कहां से आया? यह 75 है। यानी, हमारे पास तीनों भुजाओं की लंबाई के बराबर घन हैं।

लेकिन यह हमारे सीधे-कोयला-नो-गो पा-राल-ले-ले-पी-पे-दा की मात्रा है।

उत्तर: 140

अब हम सूत्र और लिख सकते हैं सामान्य रूप से देखें. (चित्र 8.)

चावल। 8. वॉल्यूम पा-रल-ले-ले-पी-पे-दा

सौ-रो-ऑन-मील के साथ एक आयताकार पार-ले-ले-पी-पे-दा का आयतन, तीनों पक्षों के उत्पादन के बराबर है।

यदि भुजाओं की लंबाई सेंटीमीटर में दी गई है, तो आयतन घन सेंटीमीटर (सेमी3) में दिया गया है।

यदि मीटर में है, तो आयतन घन मीटर (m3) में है।

अनुरूप रूप से, आयतन को घन-द्वि-चे-मिल-ली-मीटर, किलो-मीटर, आदि में मापा जा सकता है।

समस्या 1

1 मीटर का एक सौ मीटर वाला कांच का घन पूरी तरह से पानी से भरा हुआ है। पानी का द्रव्यमान कितना है? (चित्र 9.)

चावल। 9. घन

समाधान

घन अद्वितीय है. एक सौ मीटर - 1 मी. आयतन - 1 m3.

यदि हम जानते हैं कि 1 घन मीटर पानी का वजन कितना होता है (वे कहते हैं घन मीटर), तो फॉर-दा-चा री-शी-ना।

लेकिन अगर हम यह नहीं जानते तो इसकी गणना करना मुश्किल नहीं है।

सौ की लम्बाई.

हम dm3 में आयतन की गणना करते हैं।

लेकिन 1 dm3 का एक अलग नाम है, 1 लीटर। यानी हमारे पास 1000 लीटर पानी है.

हम सभी जानते हैं कि एक लीटर पानी का द्रव्यमान 1 किलोग्राम होता है। यानी हमारे पास 1000 किलो पानी यानी 1 टन है.

यह स्पष्ट है कि पानी से भरे ऐसे घन को कोई भी सामान्य व्यक्ति हिला नहीं सकता।

उत्तर: 1 टी.

समस्या 2

चावल। 10. हो-लो-दिल-निक

हो-लो-दिल-निक की ऊंचाई 2 मीटर, चौड़ाई 60 सेमी और गहराई 50 सेमी है।

समाधान

इससे पहले कि हम आयतन के आकार का उपयोग करें - सभी पक्षों की लंबाई का उत्पादन - यह फिर से करना आवश्यक है - लंबाई माप से समान इकाइयों में हैं।

हम हर चीज़ को मीटर में या हर चीज़ को सेंटीमीटर में बदल सकते हैं।

तदनुसार, हमें आयतन या तो Ku-bi-che-meters, या Ku-bi-che-san-ti-meters में मिलता है।

मैं इसे इस तरह और उस तरह से करूँगा।

उत्तर: या

मुझे लगता है कि आप इस बात से सहमत होंगे कि घन मीटर में आयतन छोटा होता है।

किसी व्यक्ति की आंखों को पांच शून्य वाली संख्या और छह शून्य वाली संख्या में अंतर करने में परेशानी होती है, लेकिन एक संख्या दूसरे से 10 गुना बड़ी होती है।

आयतन इकाइयों का रूपांतरण

अक्सर हमें आयतन की एक इकाई को दूसरी इकाई में स्थानांतरित करने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, कू-बी-चे-स्की डे-सी-मीटर में कू-बो-मीटर। इन सभी कनेक्शनों को याद रखना कठिन है। लेकिन ऐसा करने की कोई जरूरत नहीं है. सामान्य सिद्धांत को समझने के लिए यह पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए, एक कू-बाय-चे-मीटर में कितने कू-बाय-चे-सान-टी-मीटर होते हैं?

आइए देखें कि एक सौ 1 सेंटीमीटर वाले कितने घन एक सौ 1 मीटर वाले घन में फिट होते हैं (चित्र 11.)

चावल। 11. घन

100 टुकड़े एक पंक्ति में रखे गए हैं (आखिरकार, एक मीटर में 100 सेमी होते हैं)।

एक परत में 100 पंक्तियाँ या घन होते हैं।

कुल मिलाकर 100 परतें हैं।

इस प्रकार,

यही है, अगर रैखिक चीजें एक "एक मीटर में 100 सेमी" से जुड़ी होती हैं, तो कू-बी-चे-स्किह वे-ली-चिन्स के लिए समान लेकिन-शी-नी प्राप्त करने के लिए, आपको 100 से बढ़ाने की आवश्यकता है 3 डिग्री ()। और आपको हर बार घन निकालने की आवश्यकता नहीं है।

5वीं कक्षा में गणित का पाठ। (विलेंकिन)

विषय:वॉल्यूम. आयतन आयताकार समांतर चतुर्भुज.

लक्ष्य: 1. समस्याओं को हल करते समय इस विषय पर ज्ञान को समेकित करें। के लिए तैयार परीक्षण कार्य. आयतन इकाइयों का अनुपात दीजिए।

2. गुणन, व्यंजकों के सरलीकरण, समांतर चतुर्भुज के भागों के गुणों को दोहराएँ।

3. पर्यावरणीय पहलू और ध्यान विकसित करें।

उपकरण:बोर्ड पर: विषय, कार्य के लिए मौखिक गिनती; हैंडआउट्स: समांतर चतुर्भुज, घन, माचिस के मॉडल; बच्चों के लिए: चीट शीट, रूलर, दो-रंग सिग्नल सर्कल,

कक्षाओं के दौरान.

आयोजन का समय.

शुभ दोपहर, शुभ समय, हमारे पास गणित है। डेस्क पर: शासक, चीट शीट, नोटबुक, पाठ्यपुस्तकें।

मौखिक गिनती (वार्म-अप)क्रमांक 806 - पंक्तियों में "एक श्रृंखला में",

- गुणन का वितरण गुण लागू करें:

(x + 8) 20 बोर्ड पर

247 123 – 147 123

- सरल बनाएं:

20a – 19a 4x + x – 2x

13वी - 27 + 13वी - 10वी

विषय और उद्देश्य संप्रेषित करें.

— आप किन ज्यामितीय आकृतियों से परिचित हुए? आज हम दोहराएंगे कि एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का आयतन और आयतन की इकाइयाँ कैसे ज्ञात करें। परीक्षण के लिए तैयार हो रहे हैं.

चतुर्थ. जो सीखा गया है उसकी पुनरावृत्ति।घन मॉडल,

- ऊपर, पीछे, नीचे और सामने के किनारे दिखाएँ। समानांतर खात

- दो चेहरे दिखाएँ जिनका किनारा एक समान हो,

— ऊर्ध्वाधर किनारे दिखाएँ.

(2 या 3 छात्र एक ही समय में दिखाते हैं)

खेल "हाँ - नहीं"

— कोई भी घन एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज (+) संकेत है

— एक आयताकार समांतर चतुर्भुज में 10 शीर्ष (-, 8) वृत्त होते हैं

- 6 किनारे (+) - 12 किनारे (+)

- घन का प्रत्येक फलक एक वर्ग (+) है

— यदि किसी आयताकार समान्तर चतुर्भुज की लंबाई उसकी ऊंचाई के बराबर नहीं है, तो वह एक घन (+) नहीं हो सकता

— एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज का आयतन उसके तीन आयामों के गुणनफल के बराबर होता है (+)

सूत्र खोजें.

- माचिस, घन, समान्तर चतुर्भुज के आयतन की गणना करें। दृश्यता

— अतिरिक्त सामग्री"एक व्यक्ति को सांस लेने के लिए कितनी हवा की आवश्यकता होती है?"

प्रत्येक साँस के साथ, एक व्यक्ति 1 मिनट में 9 लीटर हवा अपने फेफड़ों में प्रवेश करता है। यह 9*60 प्रति घंटा यानी 540 लीटर होता है। आइए 500 लीटर या आधा घन मीटर तक चक्कर लगाएं और पता लगाएं कि एक व्यक्ति प्रति दिन 12 वर्ग मीटर हवा अंदर लेता है। यह मात्रा 14 किलो है.

एक दिन में, एक व्यक्ति भोजन से अधिक हवा अपने शरीर से गुजरता है: कोई भी प्रति दिन 3 किलो भी नहीं खाता है, लेकिन हम 14 किलो साँस लेते हैं। यदि हम यह मान लें कि साँस में ली जाने वाली हवा में 4/5 नाइट्रोजन होती है, जो साँस लेने के लिए बेकार है, तो ऐसा लगता है कि हमारा शरीर केवल 3 किलोग्राम यानी भोजन (ठोस और तरल) के बराबर ही मात्रा का उपभोग करता है।

क्या मुझे लिविंग रूम में हवा को नवीनीकृत करने की आवश्यकता का कोई अन्य प्रमाण चाहिए?

- क्रमांक 804, 801 - बोर्ड पर,

— समांतर चतुर्भुज या घन के आयतन की गणना कैसे करें?

— आयतन किन इकाइयों में मापा जाता है?

छठी. आयतन इकाइयों का अनुपात."चीट शीट्स" "चीट शीट्स" में लिखें। मुखपृष्ठ

- गेम "सबसे कमजोर कड़ी" - नंबर 802,

- कार्ड पर कार्य.

- घन सेमी में व्यक्त करें:

6 डीएम³, 287 डीएम³

5 डीएम³ 23 सेमी³ 16000 मिमी³

5 डीएम³ 635 सेमी³ 2 डीएम³ 80 सेमी³

- घन डीएम में व्यक्त करें:

6m³ 580cm³ 7m³ 15dm³

सातवीं. जो सीखा गया है उसकी पुनरावृत्ति। № 808

आठवीं. परिणाम:- आपको पाठ से क्या याद आया?

- 5 के लिए किसने काम किया? 4 से?

नौवीं. गृहकार्य : § 21, संख्या 822 (ए, बी), संख्या 823।

अंक शास्त्र
पाँचवी श्रेणी

21. वॉल्यूम.

यदि आप सांचे को गीली रेत से भरते हैं, और फिर उसे पलट देते हैं और हटा देते हैं, तो आपको समान आयतन वाली आकृतियाँ मिलेंगी (चित्र 83)। यदि सांचे में पानी भरा है तो पानी का आयतन होगा आयतन के बराबरप्रत्येक रेत आकृति.

चावल। 83

दो बर्तनों के आयतन की तुलना करने के लिए, आप उनमें से एक में पानी भरकर दूसरे बर्तन में डाल सकते हैं। यदि दूसरा बर्तन भर गया है और पहले बर्तन में पानी नहीं बचा है, तो बर्तनों का आयतन बराबर हो जाता है। यदि पहले बर्तन में पानी रहता है तो उसका आयतन दूसरे बर्तन के आयतन से अधिक होता है। और यदि दूसरे बर्तन में पानी भरना संभव न हो तो पहले बर्तन का आयतन दूसरे बर्तन के आयतन से कम होता है।

आयतन मापने के लिए निम्नलिखित इकाइयों का उपयोग किया जाता है: घन मिलीमीटर (मिमी3), घन सेंटीमीटर (सेमी3), घन डेसीमीटर (डीएम3), घन मीटर (एम3), घन किलोमीटर (किमी3)।

उदाहरण के लिए: एक घन सेंटीमीटर 1 सेमी किनारे वाले घन का आयतन है (चित्र 84)।

चावल। 84

एक घन डेसीमीटर को लीटर भी कहा जाता है।

चित्र 85 में दिए गए चित्र में 1 सेमी किनारे वाले 4 घन हैं। इसका मतलब है कि इसका आयतन 4 सेमी3 है।

चावल। 85

आइए एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के आयतन की गणना के लिए एक नियम प्राप्त करें।

समांतर चतुर्भुज और घनों के आयतन के सूत्र

मान लीजिए कि एक आयताकार समांतर चतुर्भुज की लंबाई 4 सेमी, चौड़ाई 3 सेमी और ऊंचाई 2 सेमी है (चित्र 86, ए)। आइए इसे 1 सेमी मोटी दो परतों में विभाजित करें (चित्र 86, बी)। इनमें से प्रत्येक परत में 4 सेमी लंबे 3 स्तंभ होते हैं (चित्र 86, सी), और प्रत्येक स्तंभ में 1 सेमी के किनारे वाले 4 घन होते हैं (चित्र 86, डी)। इसका मतलब है कि प्रत्येक स्तंभ का आयतन 4 सेमी3 है, प्रत्येक परत 4 3 (सेमी3) है, और संपूर्ण आयताकार समानांतर चतुर्भुज (4 3) 2 है, यानी 24 सेमी3 है।

चावल। 86

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात करने के लिए, आपको इसकी लंबाई को इसकी चौड़ाई और ऊंचाई से गुणा करना होगा।

एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज के आयतन का सूत्र है

जहाँ V आयतन है; ए, बी, सी - माप।

यदि किसी घन का किनारा 4 सेमी है, तो घन का आयतन 4 4 4 = 43 (सेमी3) अर्थात 64 सेमी3 है।

यदि किसी घन का किनारा a के बराबर है, तो घन का आयतन V a a a = a3 के बराबर है।

इसका मतलब यह है कि घन के आयतन के सूत्र का रूप होता है

इसीलिए प्रविष्टि a3 को a का घन कहा जाता है।

1 मीटर किनारे वाले एक घन का आयतन 1 मीटर3 के बराबर है। और चूँकि 1 m = 10 dm, तो 1 m3 = 103 dm3, अर्थात 1 m3 = 1000 dm3 = 1000 l।

उसी प्रकार हम उसे पाते हैं

1 एल = 1 डीएम3 = 1000 सेमी3; 1 सेमी3 = 1000 मिमी3;

1 किमी3 = 1,000,000,000 एम3 (आंकड़ा देखें)।

स्व-परीक्षण प्रश्न

• आकृति में 1 सेमी की भुजा वाले 19 घन हैं; इस आकृति का आयतन क्या है?
• घन सेंटीमीटर क्या है; घन मापी?
• घन डेसीमीटर का दूसरा नाम क्या है?
• 1 लीटर कितने घन सेंटीमीटर है?
• एक घन मीटर कितने लीटर के बराबर होता है?
• एक घन किलोमीटर में कितने घन मीटर होते हैं?
• एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के आयतन का सूत्र लिखिए।
• इस सूत्र में अक्षर V का क्या अर्थ है; अक्षर ए, बी, सी?
• घन के आयतन का सूत्र लिखिए।

व्यायाम करें

819. आकृतियाँ 1 सेमी किनारे वाले घनों से बनाई जाती हैं (चित्र 87)। इन आकृतियों का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

चावल। 87

820. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात करें यदि:

• ए) ए = 6 सेमी, बी = 10 सेमी, सी = 5 सेमी;
• बी) ए = 30 डीएम, बी = 20 डीएम, सी = 30 डीएम;
• सी) ए = 8 डीएम, बी = 6 मीटर, सी = 12 मीटर;
• डी) ए = 2 डीएम 1 सेमी, बी = 1 डीएम 7 सेमी, सी = 8 सेमी;
• ई) ए = 3 मीटर, बी = 2 डीएम, सी = 15 सेमी।

821. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के निचले किनारे का क्षेत्रफल 24 सेमी2 है। इस समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई निर्धारित करें यदि इसका आयतन 96 सेमी3 है।

822. कमरे का आयतन 60 m3 है। कमरे की ऊंचाई 3 मीटर है, चौड़ाई 4 मीटर है। कमरे की लंबाई और फर्श, छत और दीवारों का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

823. उस घन का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका किनारा 8 dm है; 3 डीएम 6 सेमी.

824. यदि किसी घन का सतह क्षेत्रफल 96 सेमी2 है तो उसका आयतन ज्ञात कीजिए।

825. अभिव्यक्त करना:

• ए) घन सेंटीमीटर में: 5 डीएम3 635 सेमी3; 2 डीएम3 80 सेमी3;
• बी) घन डेसीमीटर में: 6 एम3 580 डीएम3; 7 एम3 15 डीएम3;
• ग) में घन मीटरऔर डेसीमीटर: 3270 डीएम3; 12,540,000 सेमी3.

826. कमरे की ऊंचाई 3 मीटर, चौड़ाई 5 मीटर और लंबाई 6 मीटर है कमरे में कितने घन मीटर हवा है?

827. एक्वेरियम की लंबाई 80 सेमी, चौड़ाई 45 सेमी और ऊंचाई 55 सेमी है। इस एक्वेरियम में कितने लीटर पानी डाला जाना चाहिए ताकि पानी का स्तर एक्वेरियम के ऊपरी किनारे से 10 सेमी नीचे रहे?

828. आयताकार समांतर चतुर्भुज (चित्र 88) दो भागों में विभाजित है। संपूर्ण समांतर चतुर्भुज और उसके दोनों भागों का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। क्या समांतर चतुर्भुज का आयतन उसके भागों के आयतन के योग के बराबर है? क्या उनके पृष्ठीय क्षेत्रफल के बारे में ऐसा कहा जा सकता है? समझाइए क्यों।

चावल। 88

829. मौखिक रूप से गणना करें:

830. गणनाओं की श्रृंखला पुनर्स्थापित करें:

831. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

• ए) 23 + जेड2;
• बी) 33 + 52;
• ग) 43 + 6;
• घ) 103 - 10.

832. भागफल में कितने दहाई होते हैं:

• ए) 1652:7;
• बी) 774: 6;
• ग) 1632:12;
• घ) 2105:5?

833. क्या आप इस कथन से सहमत हैं:

• क) कोई भी घन एक आयताकार समांतर चतुर्भुज भी है;
• बी) यदि एक आयताकार समांतर चतुर्भुज की लंबाई उसकी ऊंचाई के बराबर नहीं है, तो यह एक घन नहीं हो सकता है;
• ग) घन का प्रत्येक फलक एक वर्ग है?

834. चार समान बैरल में 26 बाल्टी पानी आता है। इनमें से 10 बैरल में कितनी बाल्टी पानी आ सकता है?

835. 7 मनकों से कितने प्रकार से अलग - अलग रंगक्या आप एक हार बना सकते हैं (क्लैप के साथ)?

836. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज में नाम (चित्र 89):

• क) एक समान किनारे वाले दो फलक;
• बी) ऊपर, पीछे, सामने और नीचे के किनारे;
• ग) ऊर्ध्वाधर पसलियाँ।

चावल। 89

837. समस्या का समाधान करो:

1. यदि पहले प्लॉट का क्षेत्रफल 5 गुना है तो प्रत्येक प्लॉट का क्षेत्रफल ज्ञात करें अधिक क्षेत्रफलदूसरा, और दूसरे का क्षेत्रफल पहले के क्षेत्रफल से 252 हेक्टेयर कम है।
2. प्रत्येक भूखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि दूसरे भूखंड का क्षेत्रफल पहले भूखंड के क्षेत्रफल से 324 हेक्टेयर अधिक है, और पहले भूखंड का क्षेत्रफल पहले भूखंड के क्षेत्रफल से 7 गुना कम है दूसरा।

838. इन चरणों का पालन करें:

1. 668 (3076 + 5081);
2. 783 (66 161 — 65 752);
3. 2 111 022: (5960 — 5646);
4. 2 045 639: (6700 — 6279).

839. रूस में, पुराने दिनों में, एक बाल्टी (लगभग 12 लीटर), एक श्टोफ़ (एक बाल्टी का दसवां हिस्सा) का उपयोग संयुक्त राज्य अमेरिका, इंग्लैंड और अन्य देशों में एक बैरल (लगभग 159 लीटर) की मात्रा माप की इकाइयों के रूप में किया जाता था; एक गैलन (लगभग 4 लीटर), एक बुशल (लगभग 36 लीटर), पिंट (470 से 568 घन सेंटीमीटर तक)। इन इकाइयों की तुलना करें. कौन सा 1 m3 से बड़ा है?

840. चित्र 90 में दिखाए गए आंकड़ों का आयतन ज्ञात कीजिए। प्रत्येक घन का आयतन 1 सेमी3 है।

चावल। 90

841. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात कीजिए (चित्र 91)।

चावल। 91

842. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात कीजिए यदि इसके आयाम 48 डीएम, 16 डीएम और 12 डीएम हैं।

843. आयताकार समानांतर चतुर्भुज के आकार का खलिहान घास से भरा हुआ है। खलिहान की लंबाई 10 मीटर, चौड़ाई 6 मीटर, ऊंचाई 4 मीटर है। यदि 10 एम3 घास का द्रव्यमान 6 क्विंटल है तो खलिहान में घास का द्रव्यमान ज्ञात करें।

844. घन डेसीमीटर में व्यक्त करें:

• 2 एम3 350 डीएम3;
• 3 एम3 7 डीएम3;
• 4 एम3 30 डीएम3;
• 18,000 सेमी3;
• 210,000 सेमी3.

845. एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज का आयतन 1248 सेमी3 है। इसकी लंबाई 13 सेमी है और इसकी चौड़ाई 8 सेमी है। इस समान्तर चतुर्भुज की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।

846. सूत्र V = abc का उपयोग करके गणना करें:

• ए) वी, यदि ए - 3 डीएम, बी = 4 डीएम, सी = 5 डीएम;
• बी) ए, यदि वी = 2184 सेमी3, बी = 12 सेमी, सी = 13 सेमी;
• सी) बी, यदि वी = 9200 सेमी3, ए = 23 सेमी, सी = 25 सेमी;
• डी) एबी, यदि वी = 1088 डीएम3, सी = 17 सेमी।

अब का मतलब क्या है?

847. पिता मेरे बेटे से भी बड़ा 21 साल के लिए. पिता की आयु को b से पुत्र की आयु तक व्यक्त करने वाला एक सूत्र लिखिए। इस सूत्र का उपयोग करके खोजें:

• ए) ए, यदि बी = 10;
• बी) ए, यदि बी = 18;
• सी) बी, यदि ए = 48.

848. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

• ए) 700,700 - 6054 (47,923 - 47,884) - 65,548;
• बी) 66,509 + 141,400: (39,839 - 39,739) + 1985;
• ग) (851 + 2331) : 74 - 34;
• घ) (14,084: 28 - 23) 27 - 12,060;
• ई) (102 + 112 + 122) : 73 + 895;
• च) 2555: (132 + 142) + 35।

849. तालिका से गणना करें (चित्र 92):

• क) संख्या 9 कितनी बार आती है;
• बी) संख्या 6 और 7 कितनी बार तालिका में दिखाई देती हैं (उन्हें अलग से नहीं गिनना);
• ग) संख्याएँ 5, 6 और 8 कितनी बार आती हैं (उन्हें अलग-अलग गिनकर नहीं)।

चावल। 92

गणित के उद्भव और विकास के इतिहास के बारे में कहानियाँ

200 साल पहले में विभिन्न देशरूस सहित, लंबाई, द्रव्यमान और अन्य मात्राओं को मापने के लिए इकाइयों की विभिन्न प्रणालियों का उपयोग किया जाता था। मापों के बीच संबंध जटिल थे, और माप की इकाइयों के लिए अलग-अलग परिभाषाएँ थीं।

उदाहरण के लिए, ग्रेट ब्रिटेन में आज तक दो अलग-अलग "टन" (2000 और 2940 पाउंड), 50 से अधिक अलग-अलग "बुशेल" आदि हैं। इससे देशों के बीच विज्ञान और व्यापार के विकास में बाधा उत्पन्न हुई, इसलिए इसकी आवश्यकता है इकाइयों के बीच सरल संबंधों के साथ, सभी देशों के लिए सुविधाजनक उपायों की एक एकीकृत प्रणाली शुरू करें।

ऐसी प्रणाली - इसे माप की मीट्रिक प्रणाली कहा जाता था - फ्रांस में विकसित की गई थी। लंबाई की मूल इकाई, 1 मीटर (ग्रीक शब्द "मेट्रोन" से - माप), को पृथ्वी की परिधि के चालीस लाखवें हिस्से के रूप में परिभाषित किया गया था, द्रव्यमान की मूल इकाई, 1 किलोग्राम - 1 डीएम3 के द्रव्यमान के रूप में साफ पानी. इन दोनों के माध्यम से शेष इकाइयों का निर्धारण किया जाता था, समान मूल्य की इकाइयों के बीच अनुपात 10, 100, 1000 आदि के बराबर होता था।

माप की मीट्रिक प्रणाली को दुनिया के अधिकांश देशों द्वारा अपनाया गया है; रूस में इसकी शुरूआत 1899 में शुरू हुई। हमारे देश में उपायों की मीट्रिक प्रणाली की शुरूआत और प्रसार में महान उपलब्धियाँ महान रूसी रसायनज्ञ दिमित्री इवानोविच मेंडेलीव की हैं।

हालाँकि, परंपरा के अनुसार, आज भी कभी-कभी पुरानी इकाइयों का उपयोग किया जाता है। नाविक दूरियां मील (1852 मीटर) और केबल (एक मील का दसवां हिस्सा, यानी लगभग 185 मीटर) में मापते हैं, गति - समुद्री मील (1 मील प्रति घंटा) में मापते हैं। हीरे का द्रव्यमान कैरेट में मापा जाता है (200 मिलीग्राम, यानी एक ग्राम का पांचवां हिस्सा गेहूं के दाने का द्रव्यमान होता है)। तेल की मात्रा बैरल (159 लीटर) आदि में मापी जाती है।

यह संभव है विभिन्न तरीके, यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि हमारे पास कौन सी मात्राएँ और वस्तुएँ हैं।

तो, पहली विधि, जो विशेष रूप से आयताकार समांतर चतुर्भुज के लिए उपयुक्त है।

समांतर चतुर्भुज का आयतन निर्धारित करने के लिए आपको इसकी ऊंचाई, चौड़ाई और लंबाई की आवश्यकता होगी।

चूँकि आयतें एक समान्तर चतुर्भुज बनाती हैं, आइए उनकी लंबाई और चौड़ाई को क्रमशः a और b अक्षरों से चिह्नित करें। फिर आयत के क्षेत्रफल की गणना a*b के रूप में की जाएगी।

समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई ही ऊँचाई है पार्श्व पसली, और चूँकि ऊँचाई एक स्थिर मान है, आयतन ज्ञात करने के लिए आपको समांतर चतुर्भुज के आधार क्षेत्र को ऊँचाई से गुणा करना होगा। इसे निम्नलिखित सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है: V = a*b*c = S*c, जहां c ऊंचाई है।

आइए एक उदाहरण देखें. मान लीजिए कि हमारे पास 5 और 8 सेमी की आधार लंबाई और चौड़ाई वाला एक समानांतर चतुर्भुज है, और इसकी ऊंचाई 11 सेमी है। आयतन की गणना करना आवश्यक है।

आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करें: 5*8=40 वर्ग. सेमी. अब हम परिणामी मान को ऊंचाई 40*11=440 घन मीटर से गुणा करते हैं। सेमी आकृति का आयतन है।

दूसरा तरीका.

चूँकि समांतर चतुर्भुज का आधार है ज्यामितीय आकृतिसमांतर चतुर्भुज, आपको इसका क्षेत्रफल निर्धारित करने की आवश्यकता है। ज्ञात डेटा के आधार पर समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आप निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:

• S = a*h, जहां a समांतर चतुर्भुज की भुजा है, h, a तक खींची गई ऊंचाई है।
• S = a*b*sinα, जहां a और b आकृति की भुजाएं हैं, α इन भुजाओं के बीच का कोण है।

इसके बाद। आपने इसका पता कैसे लगाया? समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें, आप हमारे समांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात करना शुरू कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

वी = एस*एच, जहां एस पहले प्राप्त आधार क्षेत्र है, एच हमारे समानांतर चतुर्भुज की ऊंचाई है।

आइए एक उदाहरण देखें.

हमें 50 सेमी की ऊंचाई वाला एक समांतर चतुर्भुज दिया गया है, जिसके आधार (समांतर चतुर्भुज) की भुजा 23 सेमी के बराबर है और इस तरफ खींची गई ऊंचाई 8 सेमी है। हम उपरोक्त सूत्र को प्रतिस्थापित करते हैं:

एस = 23*8 = 184 वर्ग। सेमी।

अब हम समांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात करने के लिए सूत्र को प्रतिस्थापित करते हैं:

वी = 184*50 = 9,200 घन मीटर

गणित पाठ 'आयताकार समान्तर चतुर्भुज का आयतन' (5वीं कक्षा)

उत्तर: इस समान्तर चतुर्भुज का आयतन 9200 घन सेंटीमीटर है।

तीसरा तरीका.

यह विकल्प केवल आयताकार प्रकार के समान्तर चतुर्भुज के लिए उपयुक्त है, जिसकी भुजाएँ आधार में समान होंगी। ऐसा करने के लिए, आपको बस इन पक्षों को घन करना होगा।

वी = ए3, यानी घन

12 के आधार पक्ष के साथ एक समांतर चतुर्भुज दिया गया है। इसका मतलब है कि इस आकृति की मात्रा की गणना निम्न सूत्र V = 123 = 1728 घन मीटर द्वारा की जाती है। सेमी।

कोई भी तरीका बहुत सरल है. मुख्य बात यह है कि अपने आप को एक कैलकुलेटर से लैस करें और सभी गणनाएँ सही ढंग से करें। आपको कामयाबी मिले!

एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज का आयतन

S1*2 + S2*2 + S3*2 = S

समांतर चतुर्भुज आधार

कैलकुलेटर गणना करेगा और समाधान को विस्तार से और टिप्पणियों के साथ लिखेगा। आपको बस समांतर चतुर्भुज के रेखा समाधान को अपनी नोटबुक में कॉपी करना है। स्पष्टीकरण के साथ एक विस्तृत पाठ समाधान आपको ऐसी समस्याओं को हल करने की पद्धति की समझ प्राप्त करने की अनुमति देगा और यदि आवश्यक हो, तो विस्तृत और सक्षम उत्तर देकर प्रश्नों का उत्तर देगा।

समांतर चतुर्भुज के आयतन और क्षेत्रफल की गणना कई तकनीकी और रोजमर्रा की गणनाओं का प्राथमिक आधार है!

वॉल्यूम. एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज का आयतन

उदाहरण के लिए, किसी कमरे में मरम्मत की गणना करने के लिए, हीटिंग या एयर कंडीशनिंग के लिए डेटा की गणना करें।

आयताकार समांतर चतुर्भुज

हमारे कैलकुलेटर में प्रयुक्त सूत्र मिल जाएगा एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज का आयतन. और यदि आपके समांतर चतुर्भुज में तिरछे किनारे हैं, तो संबंधित तिरछे किनारे की लंबाई के बजाय, आपको आकृति के इस भाग की ऊंचाई का मान दर्ज करना होगा।

एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज के आयतन का सूत्र

इसे खोजने के लिए, आपको पसलियों के आयाम जानने होंगे: ऊंचाई, चौड़ाई और लंबाई। सूत्र के अनुसार, समांतर चतुर्भुज फलकों के आयामों को किसी भी क्रम में गुणा किया जाना चाहिए।

आयतन को लीटर या घन सेमी, घन मिलीमीटर में व्यक्त किया जा सकता है।

समांतर चतुर्भुज के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र

S1*2 + S2*2 + S3*2 = S

समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करते हुए, आपको समांतर चतुर्भुज की सभी भुजाओं का क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा और फिर उन्हें जोड़ना होगा। समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ, फलक और किनारे एक दूसरे के बराबर हैं, इसलिए क्षेत्रफलों की गणना करते समय, आप दो से गुणा का उपयोग कर सकते हैं।

समांतर चतुर्भुज आधार

कुछ मामलों में, समांतर चतुर्भुज का आधार क्षेत्र ज्ञात होता है, तो आयतन ज्ञात करने के लिए आधार क्षेत्र को ऊँचाई से गुणा करना पर्याप्त होता है। ! महत्वपूर्ण! - यह केवल आयताकार समान्तर चतुर्भुज के लिए सत्य है।

समांतर चतुर्भुज का आयतन कैसे ज्ञात करें?

वॉल्यूम पता करने का सबसे आसान तरीका तीन दर्ज करना है ज्ञात मूल्यस्तंभों में ऑनलाइन कैलकुलेटरआयतन! फिर - बटन दबाएं - आपको परिणाम मिलेगा)!

कैलकुलेटर गणना करेगा समान्तर चतुर्भुज abcda1b1c1d1 का आयतनऔर निर्णय का विस्तार से और टिप्पणियों के साथ वर्णन करेंगे।

एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज का आयतन

आपको बस समांतर चतुर्भुज के रेखा समाधान को अपनी नोटबुक में कॉपी करना है। स्पष्टीकरण के साथ एक विस्तृत पाठ समाधान आपको ऐसी समस्याओं को हल करने की पद्धति की समझ प्राप्त करने और यदि आवश्यक हो, तो विस्तृत और सक्षम उत्तर देकर प्रश्नों का उत्तर देने की अनुमति देगा।

समांतर चतुर्भुज के आयतन और क्षेत्रफल की गणना कई तकनीकी और रोजमर्रा की गणनाओं का प्राथमिक आधार है! उदाहरण के लिए, किसी कमरे में मरम्मत की गणना करने के लिए, हीटिंग या एयर कंडीशनिंग के लिए डेटा की गणना करें।

समांतर चतुर्भुज एक त्रि-आयामी ज्यामितीय आकृति है जिसमें छह भुजाएँ होती हैं, प्रत्येक भुजा एक समांतर चतुर्भुज होती है। समान्तर चतुर्भुज की भुजाओं को आमतौर पर फलक कहा जाता है। यदि समान्तर चतुर्भुज के सभी फलकों का आकार आयत जैसा हो, तो यह पहले से ही है आयताकार समांतर चतुर्भुज! यह आकृति abcda1b1c1d1 अक्षरों द्वारा निर्दिष्ट है।

चित्र 175, ए और बी में दिए गए आंकड़े समान संख्या में समान घनों से बने हैं। ऐसे आंकड़ों के बारे में हम कह सकते हैं कि ये हैं संस्करणोंबराबर हैं। चित्र 175, सी और डी में दिखाए गए आयताकार समानांतर चतुर्भुज में क्रमशः 18 और 9 समान घन होते हैं। इसलिए, हम कह सकते हैं कि उनमें से पहले का आयतन दूसरे के आयतन का दोगुना है।

आयतन जैसी मात्रा से आपका अक्सर सामना होता है रोजमर्रा की जिंदगी: ईंधन टैंक की मात्रा, स्विमिंग पूल की मात्रा, कक्षा की मात्रा, मीटर पर गैस या पानी की खपत के संकेतक, आदि।

अनुभव आपको बताता है कि समान कंटेनरों का आयतन समान होता है। उदाहरण के लिए, समान बैरलों का आयतन समान होता है।

यदि कंटेनर को कई भागों में विभाजित किया जाता है, तो पूरे कंटेनर का आयतन योग के बराबरइसके भागों की मात्रा. उदाहरण के लिए, दो-कक्षीय रेफ्रिजरेटर का आयतन उसके कक्षों के आयतन के योग के बराबर होता है।

ये उदाहरण निम्नलिखित दर्शाते हैं किसी आकृति के आयतन के गुण.

1) समान आकृतियों का आयतन समान होता है।

2) किसी आकृति का आयतन उसमें बनी आकृतियों के आयतन के योग के बराबर होता है।

जैसा कि अन्य मात्राओं (लंबाई, क्षेत्रफल) के मामले में होता है, आपको आयतन की एक इकाई दर्ज करनी चाहिए।

आयतन माप की इकाई के लिए, मैं एक घन चुनता हूँ जिसका किनारा एक इकाई खंड के बराबर है। इस घन को कहा जाता है अकेला.

घन मिलीमीटर. वे 1 मिमी 3 लिखते हैं।

मैं 1 सेमी किनारे वाले घन का आयतन कहता हूँ घन सेंटीमीटर. वे 1 सेमी 3 लिखते हैं।

मैं 1 मिमी के किनारे वाले घन का आयतन कहता हूँ घन डेसीमीटर. वे 1 डीएम 3 लिखते हैं।

तरल पदार्थ और गैसों की मात्रा मापते समय 1 डीएम 3 कहा जाता है लीटर. वे लिखते हैं: 1 एल. तो, 1 एल = 1 डीएम 3.

यदि लाल घन का आयतन (चित्र 175, ई देखें) एक के रूप में लिया जाता है, तो चित्र 175, ए, बी, सी और डी में आकृतियों का आयतन क्रमशः 5, 5, 18 और 9 घन के बराबर है। इकाइयाँ।

यदि एक आयताकार समांतर चतुर्भुज की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई क्रमशः 5 सेमी, 6 सेमी, 4 सेमी है, तो इस समांतर चतुर्भुज को 5 * 6 * 4 इकाई घनों में विभाजित किया जा सकता है (चित्र 176)। अत: इसका आयतन 5 * 6 * 4 = 120 सेमी 3 है।

एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज का आयतन उसके तीन आयामों के गुणनफल के बराबर होता है।

वी=एबीसी

जहां V आयतन है, a, b, और c घनाभ के माप हैं, जिन्हें समान इकाइयों में व्यक्त किया गया है।

चूँकि एक घन के सभी किनारे बराबर होते हैं, इसके आयतन की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

वी = ए 3

जहाँ a घन किनारे की लंबाई है। इसीलिए किसी संख्या की तीसरी घात को उस संख्या का घन कहा जाता है।

एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज की लंबाई a और चौड़ाई b का गुणनफल इसके आधार के क्षेत्रफल S के बराबर है: एस = एबी(चित्र 177)। आइए हम आयताकार समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई को अक्षर h से निरूपित करें। तब आयताकार समांतर चतुर्भुज का आयतन V बराबर है व=अभ.

व = अभ = (अब)ह = श.

तो, हमें एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के आयतन की गणना के लिए एक और सूत्र मिला:

व = श

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का आयतन आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है।

उदाहरण।एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज के आकार के टैंक की ऊंचाई कितनी होनी चाहिए ताकि इसका आयतन 324 डीएम 3 हो और इसका निचला क्षेत्रफल 54 डीएम 2 हो?

समाधान। सूत्र V = Sh से यह इस प्रकार है कि h = V: S. फिर टैंक की आवश्यक ऊंचाई h की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

एच = 324: 54 = 6 (डीएम)।

उत्तर: 6 डीएम.

आयत- सबसे सरल सपाट आकृतियों में से एक, और एक आयताकार समांतर चतुर्भुज एक समान है सरल आकृति, लेकिन अंतरिक्ष में (चित्र 1)। वे बहुत समान हैं.

एक वृत्त और एक गेंद के समान।

चावल। 1. आयत और समांतर चतुर्भुज

क्षेत्रों के बारे में बातचीत एक आयत के क्षेत्रफल से शुरू होती है, और आयतन के बारे में - एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के आयतन से।

यदि हम किसी आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करना जानते हैं तो इससे हम किसी भी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।

हम इस आकृति को 3 आयतों में विभाजित कर सकते हैं और प्रत्येक का क्षेत्रफल, और इसलिए संपूर्ण आकृति ज्ञात कर सकते हैं। (अंक 2।)

चावल। 2. चित्र

चावल। 3. एक आकृति जिसका क्षेत्रफल सात आयतों के बराबर है

भले ही आकृति बिल्कुल आयतों में विभाजित न हो, यह किसी भी सटीकता के साथ किया जा सकता है और क्षेत्रफल की गणना लगभग की जा सकती है।

इस आकृति का क्षेत्रफल (चित्र 3) लगभग सात आयतों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है। अशुद्धि ऊपरी छोटे अंकों के कारण है। यदि आप आयतों की संख्या बढ़ाते हैं, तो अशुद्धि कम हो जाएगी।

वह है आयतकिसी भी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए एक उपकरण है।

जब वॉल्यूम की बात आती है तो स्थिति वैसी ही होती है।

किसी भी आकृति को आयताकार समांतर चतुर्भुज या ईंटों से बनाया जा सकता है। ये ईंटें जितनी छोटी होंगी, उतनी ही अधिक सटीकता से हम आयतन की गणना कर सकते हैं (चित्र 4, चित्र 5)।

चावल। 4. घनाकार का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना करना

आयताकार समान्तर चतुर्भुज किसी भी आकृति के आयतन की गणना करने का एक उपकरण है।

चावल। 5. छोटे समान्तर चतुर्भुज का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना करना

आइए थोड़ा याद करें.

1 इकाई भुजा वाले एक वर्ग (चित्र 6) का क्षेत्रफल 1 वर्ग इकाई है। मूल रैखिक इकाई कोई भी हो सकती है: सेंटीमीटर, मीटर, किलोमीटर, मील।

उदाहरण के लिए, 1 सेमी2 1 सेमी भुजा वाले एक वर्ग का क्षेत्रफल है।

चावल। 6. वर्ग और आयत

एक आयत का क्षेत्रफल- यह ऐसे वर्गों की संख्या है जो इसमें फिट होंगे। (चित्र 6.)

आयत की लंबाई के इकाई वर्गों को एक पंक्ति में रखें। यह 5 टुकड़े निकले।

ऊंचाई 3 वर्गों में फिट बैठती है। इसका मतलब है कि कुल तीन पंक्तियाँ हैं, प्रत्येक में पाँच वर्ग हैं।

कुल क्षेत्रफल है.

यह स्पष्ट है कि हर बार आयत के अंदर एकल वर्ग रखने की आवश्यकता नहीं है।

यह एक तरफ की लंबाई को दूसरे की लंबाई से गुणा करने के लिए पर्याप्त है।

या सामान्य तौर पर:

स्थिति एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के आयतन के समान ही है।

1 इकाई भुजा वाले घन का आयतन 1 घन इकाई है। फिर, प्रारंभिक रैखिक मात्राएँ कुछ भी हो सकती हैं: मिलीमीटर, सेंटीमीटर, इंच।

उदाहरण के लिए, 1 सेमी 3 1 सेमी भुजा वाले घन का आयतन है, और 1 किमी 3 1 किमी भुजा वाले घन का आयतन है।

आइए 7 सेमी, 5 सेमी, 4 सेमी भुजाओं वाले एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात करें (चित्र 7.)

चावल। 7. आयताकार समांतर चतुर्भुज

हमारे आयताकार समांतर चतुर्भुज का आयतन उसमें फिट होने वाले इकाई घनों की संख्या है।

तल पर लंबी भुजा के साथ 1 सेमी भुजा वाले एकल घनों की एक पंक्ति रखें। 7 पीस में फिट बैठता है. पहले से ही एक आयत के साथ काम करने के अनुभव से, हम जानते हैं कि केवल 5 ऐसी पंक्तियाँ नीचे फिट होंगी, प्रत्येक में 7 टुकड़े। यानी कुल मिलाकर:

आइए इस परत को कॉल करें। हम इनमें से कितनी परतों को एक दूसरे के ऊपर रख सकते हैं?

यह ऊंचाई पर निर्भर करता है. यह 4 सेमी के बराबर है इसका मतलब है कि प्रत्येक में 35 टुकड़ों की 4 परतें बिछाई जाती हैं। कुल:

हमें 35 नंबर कहां से मिला? यह 75 है। यानी, हमने तीनों भुजाओं की लंबाई को गुणा करके घनों की संख्या प्राप्त की।

लेकिन यह हमारे आयताकार समान्तर चतुर्भुज का आयतन है।

उत्तर: 140

अब हम सूत्र को सामान्य रूप में लिख सकते हैं। (चित्र 8.)

चावल। 8. समांतर चतुर्भुज का आयतन

भुजाओं वाले एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज का आयतन तीनों भुजाओं के गुणनफल के बराबर होता है।

यदि भुजाओं की लंबाई सेंटीमीटर में दी गई है, तो आयतन घन सेंटीमीटर (सेमी 3) में होगा।

यदि मीटर में है, तो आयतन घन मीटर (m3) में है।

इसी प्रकार, आयतन को घन मिलीमीटर, किलोमीटर आदि में मापा जा सकता है।

1 मीटर भुजा वाला एक कांच का घन पूरी तरह से पानी से भरा हुआ है। पानी का द्रव्यमान कितना है? (चित्र 9.)

चावल। 9. घन

घन एक इकाई है. भुजा - 1 मी. आयतन - 1 मी 3.

यदि हम जान लें कि 1 घन मीटर पानी का वजन कितना है (संक्षेप में घन मीटर), तो समस्या हल हो जाती है।

लेकिन अगर हम यह नहीं जानते तो इसकी गणना करना मुश्किल नहीं है।

किनारे की लंबाई।

आइए dm 3 में आयतन की गणना करें।

लेकिन 1 dm3 का एक अलग नाम है, 1 लीटर। यानी हमारे पास 1000 लीटर पानी है.

हम सभी जानते हैं कि एक लीटर पानी का द्रव्यमान 1 किलोग्राम होता है। यानी हमारे पास 1000 किलो पानी यानी 1 टन है.

स्पष्ट है कि पानी से भरे ऐसे घन को कोई सामान्य व्यक्ति हिला नहीं सकता।

उत्तर: 1 टी.

चावल। 10. रेफ्रिजरेटर

रेफ्रिजरेटर 2 मीटर ऊंचा, 60 सेमी चौड़ा और 50 सेमी गहरा है।

इससे पहले कि हम आयतन सूत्र - सभी पक्षों की लंबाई का गुणनफल - का उपयोग करें, लंबाई को माप की समान इकाइयों में परिवर्तित करना आवश्यक है।

हम हर चीज़ को सेंटीमीटर में बदल सकते हैं।

तदनुसार, हमें आयतन घन सेंटीमीटर में मिलेगा।

मुझे लगता है कि आप इस बात से सहमत होंगे कि घन मीटर में आयतन अधिक समझ में आता है।

एक व्यक्ति को पांच शून्य वाली संख्या को छह शून्य वाली संख्या से अलग करने में कठिनाई होती है, लेकिन एक दूसरे से 10 गुना बड़ी होती है।

अक्सर हमें आयतन की एक इकाई को दूसरी इकाई में बदलने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, घन मीटर से घन डेसीमीटर। इन सभी अनुपातों को याद रखना कठिन है। लेकिन ये जरूरी नहीं है. सामान्य सिद्धांत को समझने के लिए यह पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए, एक घन मीटर में कितने घन सेंटीमीटर होते हैं?

आइए देखें कि 1 सेंटीमीटर भुजा वाले कितने घन 1 मीटर भुजा वाले घन में फिट होंगे (चित्र 11.)

चावल। 11. घन

100 टुकड़े एक पंक्ति में रखे गए हैं (आखिरकार, एक मीटर में 100 सेमी होते हैं)।

एक परत में 100 पंक्तियाँ या घन बिछाए जाते हैं।

कुल 100 परतें लगाई जा सकती हैं।

इस प्रकार,

अर्थात्, यदि रैखिक मात्राएँ "एक मीटर में 100 सेमी हैं" संबंध से संबंधित हैं, तो घन मात्राओं के लिए संबंध प्राप्त करने के लिए, आपको 100 को तीसरी घात () तक बढ़ाने की आवश्यकता है। और आपको हर बार घन निकालने की आवश्यकता नहीं है।

निर्देश

यदि कोई छात्र किसी आयत के आयतन की गणना करने का प्रयास कर रहा है, तो स्पष्ट करें: विशिष्ट आकृति के बारे में हम बात कर रहे हैं- या इसका वॉल्यूमेट्रिक एनालॉग, आयताकार। यह भी पता करें: समस्या की स्थितियों के अनुसार वास्तव में क्या खोजने की आवश्यकता है - आयतन या लंबाई। इसके अलावा, पता लगाएं: प्रश्न में आकृति के किस भाग का मतलब है - संपूर्ण आकृति, चेहरा, किनारा, शीर्ष, पक्ष या।

किसी आयताकार के आयतन की गणना करने के लिए उसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई को गुणा करें ()। अर्थात्, सूत्र का उपयोग करें:

जहां: ए, बी और सी समानांतर चतुर्भुज की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई (क्रमशः) हैं, और वी इसका आयतन है।

पहले भुजाओं की सभी लंबाई को माप की एक इकाई तक कम करें, फिर समांतर चतुर्भुज का आयतन संबंधित "घन" इकाइयों में प्राप्त किया जाएगा।

निम्नलिखित आयामों वाली पानी की टंकी की क्षमता क्या होगी:
लंबाई - 2 मीटर;
चौड़ाई - 1 मीटर 50 सेंटीमीटर;
ऊंचाई - 200 सेंटीमीटर.

1. हम पक्षों की लंबाई को मीटर तक कम करते हैं: 2; 1.5; 2.
2. परिणामी संख्याओं को गुणा करें: 2 * 1.5 * 2 = 6 (घन)।

यदि समस्या एक आयत के बारे में है, तो संभवतः आपको इसके क्षेत्रफल की गणना करने की आवश्यकता होगी। ऐसा करने के लिए, बस आयत की लंबाई को उसकी चौड़ाई से गुणा करें। अर्थात्, सूत्र लागू करें:

कहाँ:
a और b आयत की भुजाओं की लंबाई हैं,
S आयत का क्षेत्रफल है.

यदि समस्या एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के फलक की है तो उसी सूत्र का उपयोग करें - परिभाषा के अनुसार, इसका आकार भी एक आयत का है।

घन का आयतन 27 वर्ग मीटर है। घन के फलक से बने आयत का क्षेत्रफल क्या है?

एक समान्तर चतुर्भुज को झुका हुआ कहा जाता है पार्श्व चेहरेजो आधार के फलकों पर लंबवत नहीं हैं। इस मामले में, आयतन आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर है - V=Sh. झुकी हुई ऊंचाई समानांतर खात- किसी भी शीर्ष शीर्ष से चेहरे के आधार के संगत पक्ष तक उतरने वाला एक लंबवत खंड (यानी, किसी भी तरफ के चेहरे की ऊंचाई)।

घन एक समांतर चतुर्भुज है जिसके सभी किनारे बराबर हैं और सभी छह फलक समान हैं। आयतन आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर है - V=Sh. आधार एक वर्ग है, आधार का क्षेत्रफल उसकी दोनों भुजाओं के गुणनफल के बराबर है, अर्थात भुजा का आकार है। घन की ऊंचाई समान मान है, इसलिए इस मामले में आयतन तीसरे तक उठाए गए घन के किनारे का मान होगा - V=a³।

टिप्पणी

समांतर चतुर्भुज के आधार हमेशा एक दूसरे के समानांतर होते हैं, यह प्रिज्म की परिभाषा से पता चलता है।

मददगार सलाह

एक समान्तर चतुर्भुज के आयाम उसके किनारों की लंबाई हैं।

आयतन हमेशा आधार के क्षेत्रफल और समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होता है।

एक झुके हुए समांतर चतुर्भुज के आयतन की गणना पार्श्व किनारे के आकार और उसके लंबवत खंड के क्षेत्र के उत्पाद के रूप में की जा सकती है।

किसी भी पिंड के आयतन की गणना करने के लिए, आपको उसके रैखिक आयामों को जानना होगा। यह प्रिज्म, पिरामिड, गोला, बेलन और शंकु जैसी आकृतियों पर लागू होता है। इनमें से प्रत्येक आंकड़े की मात्रा की अपनी परिभाषा है।

आपको चाहिये होगा

• - शासक;
• - वॉल्यूमेट्रिक आंकड़ों के गुणों का ज्ञान;
• - बहुभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र।

निर्देश

उदाहरण के लिए, वह आयतन ज्ञात करने के लिए जिसका आधार है सही त्रिकोण 4 और 3 सेमी पैरों और 7 सेमी ऊंचाई के साथ, निम्नलिखित गणना करें:
आयताकार के क्षेत्रफल की गणना करें, जो प्रिज्म का आधार है। ऐसा करने के लिए, पैरों की लंबाई को गुणा करें और परिणाम को 2 से विभाजित करें। Sbasn=3∙4/2=6 सेमी²;
आधार के क्षेत्रफल को ऊंचाई से गुणा करें, यह प्रिज्म का आयतन होगा V=6∙7=42 सेमी³.

पिरामिड के आयतन की गणना करने के लिए, उसके आधार के क्षेत्रफल और उसकी ऊँचाई का गुणनफल ज्ञात करें और परिणाम को 1/3 V=1/3∙Sobas∙H से गुणा करें। पिरामिड की ऊंचाई उसके शीर्ष से आधार के तल तक उतारा गया एक खंड है। सबसे आम तथाकथित हैं नियमित पिरामिड, शीर्ष को आधार के केंद्र की ओर प्रक्षेपित किया जाता है, जो सही का प्रतिनिधित्व करता है।

उदाहरण के लिए, 2 सेमी भुजा और 5 सेमी ऊंचाई वाले नियमित षट्भुज पर आधारित पिरामिड का आयतन ज्ञात करने के लिए, निम्न कार्य करें:
सूत्र S=(n/4) a² ctg(180º/n) का उपयोग करके, जहां n एक नियमित बहुभुज की भुजाएं हैं, और एक भुजा की लंबाई है, आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करें। एस=(6/4) 2² सीटीजी(180º/6)≈10.4 सेमी²;
सूत्र V=1/3∙Sbas∙H=1/3∙10.4∙5≈17.33 सेमी³ का उपयोग करके पिरामिड के आयतन की गणना करें।

किसी एक आधार के क्षेत्रफल और उसकी ऊंचाई V=Sbas∙H के गुणनफल के माध्यम से प्रिज्म की तरह ही आयतन ज्ञात करें। गणना करते समय ध्यान रखें कि सिलेंडर का आधार एक वृत्त है, जिसका क्षेत्रफल Sbasn=2∙π∙R² है, जहां π≈3.14 है, और R वृत्त की त्रिज्या है, जो आधार है सिलेंडर का.

पिरामिड के अनुरूप, सूत्र V=1/3∙Sbas∙H का उपयोग करके शंकु का आयतन ज्ञात करें। शंकु का आधार एक वृत्त है, जिसका क्षेत्रफल एक बेलन के लिए वर्णित अनुसार पाया जाता है।

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सबसे सरल चीज़ को गेंद कहते हैं त्रि-आयामी आकृतिज्यामितीय रूप से नियमित आकार, जिसकी सीमाओं के भीतर अंतरिक्ष के सभी बिंदु उसके केंद्र से त्रिज्या से अधिक दूरी पर नहीं हटाए जाते हैं। केंद्र से अधिकतम दूरी पर स्थित बिंदुओं के समूह से बनी सतह को गोला कहा जाता है। किसी गोले के भीतर मौजूद स्थान की माप को मापने के लिए, एक पैरामीटर का उपयोग किया जाता है, जिसे गेंद का आयतन कहा जाता है।

निर्देश

यदि आप किसी गेंद का आयतन सैद्धांतिक रूप से नहीं, बल्कि केवल तात्कालिक साधनों से मापना चाहते हैं, तो यह किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, उसके द्वारा विस्थापित पानी की मात्रा निर्धारित करके। यह विधि तब लागू होती है जब गेंद को उसके अनुरूप किसी कंटेनर में रखना संभव हो - एक बीकर, ग्लास, जार, बाल्टी, बैरल, पूल, आदि। इस मामले में, गेंद को रखने से पहले, पानी के स्तर को चिह्नित करें, पूरी तरह से डूब जाने के बाद इसे दोबारा करें और फिर निशानों के बीच अंतर का पता लगाएं। आमतौर पर, फैक्ट्री-निर्मित मापने वाले कंटेनर में लीटर और उससे प्राप्त इकाइयों में मात्रा दिखाने वाले विभाजन होते हैं - आदि। यदि प्राप्त मूल्य की आवश्यकता मात्रा की इकाइयों में होती है जो इसके गुणज हैं, तो इस तथ्य से आगे बढ़ें कि एक लीटर एक घन डेसीमीटर या एक घन मीटर के एक हजारवें हिस्से से मेल खाता है।

यदि आप उस सामग्री को जानते हैं जिससे गेंद बनाई जाती है, और इस सामग्री का घनत्व पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, किसी संदर्भ पुस्तक से, तो इस वस्तु का वजन करके मात्रा निर्धारित की जा सकती है। बस वज़न परिणाम को संदर्भ विनिर्माण घनत्व से विभाजित करें: V=m/p।

यदि समस्या की स्थितियों से गेंद की त्रिज्या ज्ञात हो या उसे मापा जा सके, तो आयतन की गणना के लिए संबंधित गणितीय सूत्र का उपयोग किया जा सकता है। चतुर्गुण संख्या Pi को त्रिज्या की तीसरी शक्ति से गुणा करें, और परिणामी परिणाम को तीन से विभाजित करें: V=4*π*r³/3। उदाहरण के लिए, 40 सेमी की त्रिज्या के साथ, गेंद का आयतन 4 * 3.14 * 40³/3 = 267946.67 सेमी³ ≈ 0.268 m³ होगा।

त्रिज्या की तुलना में व्यास को मापना अक्सर आसान होता है। इस मामले में, पिछले चरण के सूत्र के साथ उपयोग करने के लिए इसे आधे में विभाजित करने की कोई आवश्यकता नहीं है - सूत्र स्वयं बेहतर है। परिवर्तित सूत्र के अनुसार, संख्या पाई को व्यास से तीसरी शक्ति तक गुणा करें, और परिणाम को छह से विभाजित करें: V=π*d³/6। उदाहरण के लिए, 50 सेमी का आयतन 3.14 * 50³/6 = 65416.67 सेमी³ ≈ 0.654 वर्ग मीटर होना चाहिए।

कुछ परिस्थितियों के कारण आयताकार शीट बनाना आवश्यक हो सकता है वर्गउदाहरण के लिए, ओरिगेमी तकनीक का उपयोग करके कई कागज शिल्पों के निर्माण के दौरान। लेकिन आपके पास हमेशा एक पेंसिल और रूलर नहीं होता है। हालाँकि, ऐसे तरीके हैं जिनसे आप प्राप्त कर सकते हैं वर्ग, सरलता के अलावा कुछ भी नहीं है।

आपको चाहिये होगा

• - आयत;
• - शासक;
• - पेंसिल;
• - कैंची।

निर्देश

आयत एक ज्यामितीय आकृति है जिसके चारों कोने समकोण होते हैं और भुजाओं के जोड़े एक दूसरे के समानांतर होते हैं। विपरीत दिशाएं आयतआपस में लंबाई में, और जोड़ियों के बीच - भिन्न। वर्ग पिछली आकृति से केवल इस मायने में भिन्न है कि सभी चार भुजाएँ समान हैं।

के लिए वर्गसे आयत, आप पेंसिल का भी उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, भुजाएँ आयत 30 सेमी (लंबाई) और 20 सेमी (चौड़ाई) के बराबर। तब वर्गइसकी भुजाएं कम मान वाली होंगी, अर्थात, शीर्ष लंबी भुजा पर मापें आयत 20 सेमी. वही क्रिया करें, लेकिन केवल नीचे की ओर से. एक रूलर का उपयोग करके परिणामी बिंदुओं को कनेक्ट करें। यदि आवश्यक हो, तो परिणामी अतिरिक्त को काट दें वर्ग 20 सेमी की भुजा के साथ.

करना वर्गसे आयतड्राइंग का सामान न होने पर भी यह संभव है। इसे अपने सामने रखें और इसके दाहिने कोने में से एक (यह कोई भी कोना हो सकता है) को बिल्कुल आधा मोड़ लें। यदि आप परिणामी आकृति को लंबी तरफ रखते हैं, तो यह होगा आयताकार समलम्बाकार, दृष्टिगत रूप से एक त्रिभुज और दूसरे से मिलकर बना है आयत. परिणामी आयत को एक त्रिकोण में मोड़ें (मुड़े हुए के कारण यह दोगुना हो जाएगा), इसे अपनी उंगलियों से चिकना करें और इसे काट लें या ध्यान से इसे फाड़ दें। कागज को खोलो, जो प्रतिनिधित्व करेगा वर्ग. बचे हुए छोटे से आयतआप इसे दोबारा प्राप्त कर सकते हैं वर्ग, केवल आकार में छोटा। समान विधियों का उपयोग करने की अनुमति है।