अशक्य त्रिकोण कसा बनवायचा. एक अशक्य त्रिकोण तयार करणे

पर्यवेक्षक

गणिताचे शिक्षक

1.परिचय………………………………………………………

2. ऐतिहासिक पार्श्वभूमी ……………………………………….. …4

3. मुख्य भाग ……………………………………………………………….7

4. पेनरोज त्रिकोणाच्या अशक्यतेचा पुरावा......9

5. निष्कर्ष………………………………………………………………………………११

6. साहित्य ……………………………………………………… 12

प्रासंगिकता:गणित हा पहिली ते हायस्कूलपर्यंत शिकलेला विषय आहे. अनेक विद्यार्थ्यांना ते अवघड, रसहीन आणि अनावश्यक वाटते. पण जर तुम्ही पाठ्यपुस्तकाच्या पानांच्या पलीकडे बघितले तर वाचा पुढील वाचन, गणितीय sophisms आणि विरोधाभास, नंतर गणिताची कल्पना बदलेल, आणि शालेय गणित अभ्यासक्रमात अभ्यास करण्यापेक्षा जास्त अभ्यास करण्याची इच्छा असेल.

कामाचे ध्येय:

हे दर्शवा की अशक्य आकृत्यांचे अस्तित्व क्षितिजे विस्तृत करते, अवकाशीय कल्पनाशक्ती विकसित करते आणि केवळ गणितज्ञच नव्हे तर कलाकारांद्वारे देखील वापरले जाते.

कार्ये :

1. या विषयावरील साहित्याचा अभ्यास करा.

2. अशक्य आकृत्यांचा विचार करा, अशक्य त्रिकोणाचे मॉडेल बनवा, हे सिद्ध करा अशक्य त्रिकोणविमानात अस्तित्वात नाही.

3. अशक्य त्रिकोणाचा विकास करा.

4. व्हिज्युअल आर्ट्समध्ये अशक्य त्रिकोणाच्या वापराची उदाहरणे विचारात घ्या.

परिचय

ऐतिहासिकदृष्ट्या, गणित खेळले आहे महत्वाची भूमिकाव्हिज्युअल आर्ट्समध्ये, विशेषत: दृष्टीकोन पेंटिंगमध्ये, ज्यामध्ये सपाट कॅनव्हास किंवा कागदाच्या शीटवर त्रिमितीय दृश्याचे वास्तववादी चित्रण समाविष्ट असते. आधुनिक विचारांनुसार, गणित आणि कलाशिस्त एकमेकांपासून खूप दूर आहे, पहिला विश्लेषणात्मक आहे, दुसरा भावनिक आहे. गणित बहुतेक नोकऱ्यांमध्ये स्पष्ट भूमिका बजावत नाही समकालीन कला, आणि, खरं तर, बरेच कलाकार क्वचितच किंवा कधीच दृष्टीकोन वापरत नाहीत. तथापि, असे अनेक कलाकार आहेत ज्यांचे लक्ष गणितावर आहे. व्हिज्युअल आर्ट्समधील अनेक महत्त्वपूर्ण व्यक्तींनी या व्यक्तींसाठी मार्ग मोकळा केला.

सर्वसाधारणपणे, गणितीय कलेत विविध थीम वापरण्यावर कोणतेही नियम किंवा निर्बंध नाहीत, जसे की अशक्य आकृत्या, मोबियस पट्ट्या, विकृती किंवा असामान्य दृष्टीकोन प्रणाली आणि फ्रॅक्टल्स.

अशक्य आकृत्यांचा इतिहास

अशक्य आकडे - विशिष्ट प्रकारअनियमित कॉम्प्लेक्समध्ये जोडलेले नियमित भाग असलेले गणितीय विरोधाभास. जर आपण "अशक्य वस्तू" या शब्दाची व्याख्या तयार करण्याचा प्रयत्न केला तर कदाचित ते असे काहीतरी वाटेल - भौतिकदृष्ट्या संभाव्य आकृत्या अशक्य स्वरूपात एकत्रित केल्या आहेत. परंतु व्याख्या तयार करून त्यांच्याकडे पाहणे अधिक आनंददायी आहे.

हजार वर्षांपूर्वीही स्थानिक बांधकामातील त्रुटी कलाकारांनी अनुभवल्या होत्या. परंतु स्वीडिश कलाकार ऑस्कर रॉयटर्सवार्ड, ज्याने 1934 मध्ये चित्रे काढली, अशक्य वस्तूंचे बांधकाम आणि विश्लेषण करणारे पहिले मानले जाते. नऊ चौकोनी तुकडे असलेला पहिला अशक्य त्रिकोण.

रॉयटर्सवार्डचा त्रिकोण

रॉयटर्सपासून स्वतंत्र, इंग्लिश गणितज्ञ आणि भौतिकशास्त्रज्ञ रॉजर पेनरोज यांनी अशक्य त्रिकोण पुन्हा शोधला आणि 1958 मध्ये ब्रिटीश मानसशास्त्र जर्नलमध्ये त्याची प्रतिमा प्रकाशित केली. भ्रम "खोटा दृष्टीकोन" वापरतो. कधीकधी या दृष्टीकोनाला चिनी म्हटले जाते, कारण रेखाचित्राची समान पद्धत, जेव्हा रेखाचित्राची खोली "संदिग्ध" असते तेव्हा बहुतेकदा चिनी कलाकारांच्या कामात आढळते.

Escher फॉल्स

1961 मध्ये डचमन M. Escher, अशक्य पेनरोज त्रिकोणाने प्रेरित होऊन, प्रसिद्ध लिथोग्राफ “वॉटरफॉल” तयार करतो. चित्रातील पाणी अविरतपणे वाहते, वॉटर व्हील नंतर ते पुढे जाते आणि सुरुवातीच्या बिंदूवर परत संपते. मूलत:, ही शाश्वत गती यंत्राची प्रतिमा आहे, परंतु प्रत्यक्षात ही रचना तयार करण्याचा कोणताही प्रयत्न अयशस्वी ठरतो.

अशक्य आकृत्यांचे आणखी एक उदाहरण "मॉस्को" रेखांकनात सादर केले आहे, जे मॉस्को मेट्रोचे असामान्य आकृती दर्शवते. सुरुवातीला आपल्याला प्रतिमा संपूर्णपणे समजते, परंतु जेव्हा आपण आपल्या टक लावून वैयक्तिक रेषा शोधतो तेव्हा आपल्याला त्यांच्या अस्तित्वाच्या अशक्यतेची खात्री पटते.

« मॉस्को", ग्राफिक्स (शाई, पेन्सिल), 50x70 सेमी, 2003.

"तीन गोगलगाय" रेखाचित्र दुसऱ्या प्रसिद्ध अशक्य आकृतीची परंपरा चालू ठेवते - अशक्य घन (बॉक्स).

"तीन गोगलगाय" अशक्य घन

संपूर्णपणे गंभीर नसलेल्या “IQ” (बुद्धिमत्ता भाग) रेखांकनामध्ये विविध वस्तूंचे संयोजन देखील आढळू शकते. विशेष म्हणजे, काही लोकांना अशक्य वस्तू समजत नाहीत कारण त्यांचे मन त्रिमितीय वस्तूंसह सपाट चित्रे ओळखू शकत नाहीत.

डोनाल्ड सिमानेक यांनी असे सुचवले आहे की व्हिज्युअल विरोधाभास समजून घेणे हे अशा प्रकारच्या वैशिष्ट्यांपैकी एक आहे. सर्जनशील क्षमता, जे सर्वोत्तम गणितज्ञ, शास्त्रज्ञ आणि कलाकारांच्या ताब्यात आहे. विरोधाभासी वस्तूंसह अनेक कामे "बौद्धिक" म्हणून वर्गीकृत केली जाऊ शकतात. गणिताचे खेळ». आधुनिक विज्ञानजगाच्या 7-मितीय किंवा 26-आयामी मॉडेलबद्दल बोलतो. अनुकरण करा समान जगहे केवळ गणितीय सूत्रांच्या मदतीने शक्य आहे; एखादी व्यक्ती त्याची कल्पना करू शकत नाही. इथेच अशक्य आकडे हातात येतात.

तिसरी लोकप्रिय अशक्य आकृती पेनरोजने तयार केलेली अविश्वसनीय पायर्या आहे. तुम्ही सतत एकतर चढता (घड्याळाच्या विरुद्ध दिशेने) किंवा खाली (घड्याळाच्या दिशेने) त्या बाजूने. पेनरोज मॉडेलने आधार तयार केला प्रसिद्ध चित्रकलाएम. एशर "वर आणि खाली" अविश्वसनीय पेनरोज जिना

अशक्य त्रिशूळ

"सैतानाचा काटा"

ऑब्जेक्ट्सचा आणखी एक गट आहे ज्याची अंमलबजावणी केली जाऊ शकत नाही. क्लासिक आकृतीअशक्य त्रिशूळ किंवा “सैतानाचा काटा” आहे. जर तुम्ही चित्राचा बारकाईने अभ्यास केला तर तुमच्या लक्षात येईल की एकाच पायावर तीन दात हळूहळू दोन बनतात, ज्यामुळे संघर्ष होतो. आम्ही वरील आणि खाली दातांच्या संख्येची तुलना करतो आणि निष्कर्षापर्यंत पोहोचतो की ऑब्जेक्ट अशक्य आहे. हाताने बंद केले तर वरचा भागत्रिशूल, मग आपण एक अतिशय वास्तविक चित्र पाहू - तीन गोल दात. जर आपण त्रिशूलाचा खालचा भाग बंद केला तर आपल्याला वास्तविक चित्र देखील दिसेल - दोन आयताकृती दात. परंतु, जर आपण संपूर्ण आकृतीचा संपूर्ण विचार केला तर असे दिसून येते की तीन गोल दात हळूहळू दोन आयताकृती दात बनतात.

अशा प्रकारे, आपण पाहू शकता की या रेखांकनाचा अग्रभाग आणि पार्श्वभूमी संघर्षात आहे. म्हणजेच, जे मूळवर होते अग्रभागमागे जातो आणि मागचा (मधला दात) पुढे येतो. अग्रभाग आणि पार्श्वभूमी बदलण्याव्यतिरिक्त, या रेखांकनात आणखी एक प्रभाव आहे - त्रिशूलाच्या वरच्या भागाच्या सपाट कडा तळाशी गोलाकार बनतात.

मुख्य भाग.

त्रिकोण- 3 समीप भागांचा समावेश असलेली एक आकृती, जी या भागांच्या अस्वीकार्य कनेक्शनद्वारे, गणितीयदृष्ट्या अशक्य संरचनेचा भ्रम निर्माण करते. या तीन-बीम संरचनेला वेगळ्या पद्धतीने देखील म्हणतात चौरस पेनरोसेस

या भ्रमामागील ग्राफिक तत्त्व एक मानसशास्त्रज्ञ आणि त्याचा मुलगा रॉजर, एक भौतिकशास्त्रज्ञ यांच्याकडे आहे. पेनरुझोव्ह स्क्वेअरमध्ये 3 परस्पर लंब दिशांमध्ये स्थित 3 चौरस बार असतात; प्रत्येक उजव्या कोनात पुढीलशी जोडतो, हे सर्व त्रिमितीय जागेत ठेवलेले आहे. पेनरोज स्क्वेअरचे हे आयसोमेट्रिक प्रोजेक्शन कसे काढायचे याची एक सोपी रेसिपी येथे आहे:

· समभुज त्रिकोणाचे कोपरे बाजूंच्या समांतर रेषांसह ट्रिम करा;

ट्रिम केलेल्या त्रिकोणाच्या आतील बाजूंना समांतर काढा;

· कोपरे पुन्हा ट्रिम करा;

· पुन्हा आतून समांतर काढा;

· दोन संभाव्य चौकोनी तुकड्यांपैकी एका कोपऱ्यात कल्पना करा;

एल-आकाराच्या "वस्तू" सह ते सुरू ठेवा;

हे डिझाइन वर्तुळात चालवा.

· जर आपण वेगळा क्यूब निवडला असता, तर चौकोन दुसर्‍या दिशेला "वळवले" गेले असते .

अशक्य त्रिकोणाचा विकास.

इन्फ्लेक्शन लाइन

ओळ कट करा

अशक्य त्रिकोण तयार करण्यासाठी कोणते घटक वापरले जातात? अधिक तंतोतंत, ते आपल्याला कोणत्या घटकांपासून बनवलेले दिसते (तंतोतंत असे दिसते!)? डिझाइन आयताकृती कोपऱ्यावर आधारित आहे, जे उजव्या कोनात दोन समान आयताकृती बार जोडून प्राप्त केले जाते. असे तीन कोपरे आवश्यक आहेत, आणि म्हणून बारचे सहा तुकडे. हे कोपरे एका विशिष्ट प्रकारे एकमेकांशी दृष्यदृष्ट्या "कनेक्ट" असले पाहिजेत जेणेकरून ते एक बंद साखळी तयार करतात. जे घडते ते एक अशक्य त्रिकोण आहे.

क्षैतिज विमानात पहिला कोपरा ठेवा. आम्ही त्यास दुसरा कोपरा जोडू, त्याच्या एका काठाला वरच्या दिशेने निर्देशित करू. शेवटी, आम्ही या दुसऱ्या कोपर्यात तिसरा कोपरा जोडतो जेणेकरून त्याची धार मूळ क्षैतिज विमानाशी समांतर असेल. या प्रकरणात, पहिल्या आणि तिसऱ्या कोपऱ्याच्या दोन कडा समांतर आणि दिशेने निर्देशित केले जातील वेगवेगळ्या बाजू.

आता अंतराळातील वेगवेगळ्या बिंदूंमधून आकृती पाहण्याचा प्रयत्न करूया (किंवा वास्तविक वायर मॉडेल बनवा). एका बिंदूपासून, दुसर्‍यापासून, तिसऱ्यापासून ते कसे दिसते याची कल्पना करा... जेव्हा निरीक्षण बिंदू बदलतो (किंवा - जी समान गोष्ट आहे - जेव्हा रचना अवकाशात फिरवली जाते), तेव्हा असे दिसते की दोन "शेवट" आमच्या कोपऱ्यांच्या कडा एकमेकांच्या सापेक्ष हलत आहेत. ज्या स्थितीत ते कनेक्ट होतील ते निवडणे कठीण नाही (अर्थातच, जवळचा कोपरा लांबपेक्षा जास्त जाड वाटेल).

पण ज्या कोपऱ्यापासून आपण आपली रचना पाहतो त्या बिंदूपर्यंतच्या अंतरापेक्षा जर फासळ्यांमधले अंतर खूपच कमी असेल, तर आपल्यासाठी दोन्ही फास्यांची जाडी सारखीच असेल आणि या दोन फासळ्या प्रत्यक्षात एक निरंतरता आहेत अशी कल्पना येईल. एकमेकांचे.

तसे, जर आपण एकाच वेळी आरशातील संरचनेचे प्रदर्शन पाहिले तर आपल्याला तेथे बंद सर्किट दिसणार नाही.

आणि निवडलेल्या निरीक्षण बिंदूपासून आपण घडलेला चमत्कार आपल्या स्वतःच्या डोळ्यांनी पाहतो: तीन कोपऱ्यांची एक बंद साखळी आहे. केवळ निरीक्षणाचा मुद्दा बदलू नका जेणेकरून हा भ्रम (खरे तर तो भ्रम आहे!) कोसळू नये. आता तुम्ही एखादी वस्तू काढू शकता जी तुम्ही पाहू शकता किंवा सापडलेल्या बिंदूवर कॅमेरा लेन्स लावू शकता आणि अशक्य वस्तूचे छायाचित्र मिळवू शकता.

पेनरोसेस या इंद्रियगोचरमध्ये रस घेणारे पहिले होते. त्रिमितीय जागा आणि त्रिमितीय वस्तूंचे द्विमितीय समतल (म्हणजे डिझाइन) मॅपिंग करताना उद्भवणाऱ्या शक्यतांचा त्यांनी फायदा घेतला आणि डिझाइनच्या काही अनिश्चिततेकडे लक्ष वेधले - तीन कोपऱ्यांची खुली रचना असू शकते. बंद सर्किट म्हणून ओळखले जाते.

आधीच नमूद केल्याप्रमाणे, एक साधे मॉडेल सहजपणे वायरपासून बनवले जाऊ शकते, जे तत्त्वतः निरीक्षण केलेल्या प्रभावाचे स्पष्टीकरण देते. वायरचा सरळ तुकडा घ्या आणि त्याचे तीन समान भाग करा. नंतर बाहेरील भाग वाकवा जेणेकरून ते मधल्या भागासह काटकोन बनतील आणि एकमेकांच्या सापेक्ष 900 ने फिरवा. आता ही आकृती फिरवून एका डोळ्याने पहा. काही स्थितीत असे दिसते की ते वायरच्या बंद तुकड्यातून तयार झाले आहे. टेबल दिवा चालू करून, आपण टेबलवर पडणारी सावली पाहू शकता, जी अंतराळातील आकृतीच्या एका विशिष्ट ठिकाणी त्रिकोणात बदलते.

तथापि, हे डिझाइन वैशिष्ट्य दुसर्या परिस्थितीत पाहिले जाऊ शकते. जर तुम्ही वायरची रिंग बनवली आणि नंतर ती वेगवेगळ्या दिशेने पसरवली, तर तुम्हाला बेलनाकार सर्पिलचे एक वळण मिळेल. ही पळवाट अर्थातच खुली आहे. परंतु ते विमानात प्रक्षेपित करताना, आपण एक बंद रेषा मिळवू शकता.

आम्हाला पुन्हा एकदा खात्री पटली की विमानावरील प्रक्षेपणातून, रेखाचित्रातून, त्रिमितीय आकृती अस्पष्टपणे पुनर्रचना केली जाते. म्हणजेच, प्रोजेक्शनमध्ये काही अस्पष्टता, अधोरेखितता आहे, ज्यामुळे "अशक्य त्रिकोण" निर्माण होतो.

आणि आपण असे म्हणू शकतो की पेनरोसेसचा “अशक्य त्रिकोण”, इतर अनेक ऑप्टिकल भ्रमांप्रमाणे, तार्किक विरोधाभास आणि श्लेषांच्या बरोबरीने आहे.

पेनरोज त्रिकोणाच्या अशक्यतेचा पुरावा

विमानावरील त्रि-आयामी वस्तूंच्या द्विमितीय प्रतिमेच्या वैशिष्ट्यांचे विश्लेषण करून, आम्हाला समजले की या डिस्प्लेच्या वैशिष्ट्यांमुळे एक अशक्य त्रिकोण कसा बनतो.

अशक्य त्रिकोण अस्तित्वात नाही हे सिद्ध करणे अत्यंत सोपे आहे, कारण त्याचा प्रत्येक कोन बरोबर आहे आणि त्यांची बेरीज 1800 ऐवजी 2700 आहे.

शिवाय, 900 पेक्षा कमी कोनातून एकत्र चिकटलेल्या अशक्य त्रिकोणाचा जरी विचार केला, तरी या प्रकरणात अशक्य त्रिकोण अस्तित्वात नाही हे आपण सिद्ध करू शकतो.

चला दुसर्या त्रिकोणाचा विचार करूया, ज्यामध्ये अनेक भाग आहेत. त्यात ज्या भागांचा समावेश आहे ते वेगळ्या पद्धतीने मांडले असल्यास, तुम्हाला अगदी समान त्रिकोण मिळेल, परंतु एका लहान दोषासह. एक चौकोन गहाळ असेल. हे कसे शक्य आहे? किंवा तो अजूनही एक भ्रम आहे?

https://pandia.ru/text/80/021/images/image016_2.jpg" alt="अशक्य त्रिकोण" width="298" height="161">!}

धारणा च्या इंद्रियगोचर वापरणे

अशक्यतेचा प्रभाव वाढवण्याचा कोणताही मार्ग आहे का? काही वस्तू इतरांपेक्षा अधिक "अशक्य" आहेत का? आणि येथे मानवी आकलनाची वैशिष्ट्ये बचावासाठी येतात. मानसशास्त्रज्ञांना असे आढळले आहे की डोळा खालच्या डाव्या कोपर्यातून एखाद्या वस्तूचे (चित्र) परीक्षण करण्यास सुरवात करतो, नंतर टक लावून उजवीकडे मध्यभागी सरकते आणि चित्राच्या खालच्या उजव्या कोपर्यात जाते. हे प्रक्षेपण या वस्तुस्थितीमुळे असू शकते की आपल्या पूर्वजांनी, शत्रूला भेटताना, सर्वात धोकादायक गोष्टीकडे पहिले. उजवा हात, आणि नंतर टक लावून डावीकडे, चेहऱ्याकडे आणि आकृतीकडे सरकले. अशा प्रकारे, कलात्मक धारणाचित्राची रचना कशी तयार केली जाते यावर लक्षणीयपणे अवलंबून असेल. हे वैशिष्ट्य मध्य युगात टेपेस्ट्रीच्या निर्मितीमध्ये स्पष्टपणे प्रकट झाले: त्यांची रचना होती प्रतिबिंबमूळ, आणि टेपेस्ट्री आणि मूळ द्वारे उत्पादित छाप भिन्न आहे.

यासह क्रिएशन तयार करताना ही मालमत्ता यशस्वीरित्या वापरली जाऊ शकते अशक्य वस्तू, "अशक्‍यतेची डिग्री" वाढवणे किंवा कमी करणे. संगणक तंत्रज्ञानाचा वापर करून किंवा अनेक फिरवलेल्या पेंटिंगमधून मनोरंजक रचना मिळण्याची शक्यता देखील आहे (कदाचित विविध प्रकारसममिती) एक दुस-याशी सापेक्ष, दर्शकांमध्ये ऑब्जेक्टची वेगळी छाप आणि डिझाइनच्या साराबद्दल सखोल समज निर्माण करते किंवा विशिष्ट कोनांवर साधी यंत्रणा वापरून (सतत किंवा धक्कादायक) फिरते.

या दिशेला बहुभुज (बहुभुज) म्हणता येईल. चित्रे एकमेकांच्या सापेक्ष फिरवलेल्या प्रतिमा दर्शवतात. रचना खालीलप्रमाणे तयार केली गेली: कागदावरील रेखाचित्र, शाई आणि पेन्सिलमध्ये बनविलेले, स्कॅन केले गेले, डिजिटल स्वरूपात रूपांतरित केले गेले आणि ग्राफिक्स संपादकात प्रक्रिया केली गेली. एक नियमितता लक्षात घेतली जाऊ शकते - फिरवलेल्या चित्रात मूळ चित्रापेक्षा "अशक्‍यतेची डिग्री" असते. हे सहजपणे स्पष्ट केले आहे: कलाकार, कामाच्या प्रक्रियेत, अवचेतनपणे "योग्य" प्रतिमा तयार करण्याचा प्रयत्न करतो.

निष्कर्ष

विविध गणिती आकृत्या आणि नियमांचा वापर वरील उदाहरणांपुरता मर्यादित नाही. दिलेल्या सर्व आकृत्यांचा काळजीपूर्वक अभ्यास करून, आपण या लेखात उल्लेख न केलेले इतर शोधू शकता. भौमितिक संस्थाकिंवा गणितीय नियमांचे दृश्य अर्थ लावणे.

गणितीय ललित कला आज भरभराटीला येत आहेत आणि अनेक कलाकार एशरच्या शैलीत आणि स्वतःच्या शैलीत चित्रे तयार करतात. हे कलाकार शिल्पकला, सपाट आणि त्रिमितीय पृष्ठभागावरील चित्रकला, लिथोग्राफी आणि संगणक ग्राफिक्स. आणि गणितीय कलेतील सर्वात लोकप्रिय विषय म्हणजे पॉलीहेड्रा, अशक्य आकृत्या, मोबियस पट्ट्या, विकृत दृष्टीकोन प्रणाली आणि फ्रॅक्टल्स.

निष्कर्ष:

1. त्यामुळे, अशक्य आकृत्यांचा विचार केल्याने आपली अवकाशीय कल्पनाशक्ती विकसित होते, आपल्याला विमानातून त्रिमितीय जागेत "बाहेर" जाण्यास मदत होते, ज्यामुळे स्टिरिओमेट्रीच्या अभ्यासात मदत होईल.

2. अशक्य आकृत्यांचे मॉडेल विमानावरील अंदाज विचारात घेण्यास मदत करतात.

3. गणितातील सोफिझम आणि विरोधाभास यांचा विचार केल्याने गणितात रस निर्माण होतो.

हे काम करताना

1. अशक्य आकृत्या कशा, केव्हा, कुठे आणि कोणाच्या द्वारे प्रथम विचारात घेतल्या गेल्या, अशा अनेक आकृत्या आहेत, कलाकार सतत या आकृत्यांचे चित्रण करण्याचा प्रयत्न करत असतात.

2. माझ्या वडिलांसोबत, मी एक अशक्य त्रिकोणाचे मॉडेल बनवले, त्याचे प्रक्षेपण एका विमानात तपासले आणि या आकृतीचा विरोधाभास पाहिला.

3. या आकृत्यांचे चित्रण करणाऱ्या कलाकारांच्या पुनरुत्पादनाचे परीक्षण केले

4. माझ्या वर्गमित्रांना माझ्या संशोधनात रस होता.

भविष्यात, मी प्राप्त केलेले ज्ञान गणिताच्या धड्यांमध्ये वापरेन आणि मला यात रस होता की इतर विरोधाभास आहेत का?

साहित्य

1. उमेदवार तांत्रिक विज्ञानडी. राकोव अशक्य आकृत्यांचा इतिहास

2. रुत्सवर्ड ओ. अशक्य आकडे.- एम.: स्ट्रॉइझदात, 1990.

3. V. Alekseev Illusions ची वेबसाइट · 7 टिप्पण्या

4. जे. टिमोथी अनराच. - आश्चर्यकारक आकडे.
(एएसटी पब्लिशिंग हाऊस एलएलसी, एस्ट्रेल पब्लिशिंग हाऊस एलएलसी, 2002, 168 पी.)

5. . - ग्राफिक आर्ट्स.
(आर्ट-रॉडनिक, 2001)

6. डग्लस हॉफस्टॅडर. - गॉडेल, एशर, बाख: ही अंतहीन माला. (पब्लिशिंग हाऊस "बखरख-एम", 2001)

7. ए. कोनेन्को - अशक्य व्यक्तींचे रहस्य
(ओम्स्क: लेव्हशा, 199)

आज मी “कट” नावाचा एक नवीन विभाग उघडत आहे, जिथे मी रेखाचित्रे, टेम्पलेट्स, तसेच ऑप्टिकल भ्रमांसाठी नमुने पोस्ट करेन. आज आपण कागदापासून एक अशक्य त्रिकोण बनवू. आपण अशक्य त्रिकोण तयार करू शकत नसल्यामुळे, आपण एक मॉडेल तयार करू जे आपण एका विशिष्ट कोनातून पाहू.

1. डाउनलोड करा आणि प्रिंट करा
2. चित्रातील सूचनांचे अनुसरण करा

अशक्य त्रिकोणाचा योग्य प्रकारे विचार कसा करायचा?

तर, भ्रम क्यूब इनच्या अस्पष्ट रेखांकनावर आधारित आहे आयसोमेट्रिक प्रोजेक्शन. मग या अभिमुखतेमध्ये दर्शकाच्या सर्वात जवळचे कोन आणि दर्शकापासून सर्वात दूरचे कोन एकरूप होतील. याचा अर्थ असा की जेव्हा आपण क्यूबच्या सर्वात जवळच्या कडा आणि दोन खालच्या कडा खाली जातो तेव्हा आपण परत येतो प्रारंभ बिंदू जेथे मार्ग खरोखर दूरच्या कोपर्यात संपतो.

हे अशक्य पेनरोज त्रिकोण

अशा परिसरात चित्रकला कलामानवी त्वचेच्या पेंटिंगप्रमाणे, आज सर्वात नवीन प्रवृत्ती म्हणजे ऑप्टिकल भ्रम आकृत्या, विशेषतः पेनरोझ त्रिकोण किंवा ट्रायबार, ज्याला अशक्य देखील म्हटले जाते. हा फॉर्म प्रथम स्वीडिश चित्रकार ऑस्कर रॉयटर्सवर्डने शोधला होता, किंवा शोध लावला होता, ज्याने 1935 च्या शेवटी क्यूब्सच्या संचाच्या रूपात जगासमोर सादर केले होते. नंतर, आमच्या शतकाच्या 80 च्या दशकात, आदिवासी पॅटर्न होता. टपाल तिकिटावर स्वीडनमध्ये छापलेले.

तथापि, अशक्य पेनरोज त्रिकोणाची प्रतिमा, जी ऑप्टिकल भ्रमांच्या श्रेणीशी संबंधित आहे, 1958 मध्ये इंग्रजी गणितज्ञ रॉजर पेनरोज यांच्या प्रकाशनानंतर मोठ्या प्रमाणावर प्रसिद्ध झाली. अशक्य आकडे, ब्रिटिश जर्नल ऑफ सायकॉलॉजी मध्ये प्रकाशित. या पोस्टने प्रेरित होऊन, प्रसिद्ध चित्रकारहॉलंडमधून, मॉरिट्स एशरने 1961 मध्ये "वॉटरफॉल" हे त्यांच्या सर्वात लोकप्रिय कामांपैकी एक तयार केले.

ऑप्टिकल भ्रम

चित्रकलेतील ऑप्टिकल भ्रम आहेत दृश्य भ्रमसमज वास्तविक चित्र, कलाकार-निर्मितविमानात ओळींची विशिष्ट व्यवस्था. या प्रकरणात, दर्शक आकृतीच्या कोनांच्या आकाराचा किंवा त्याच्या बाजूंच्या लांबीचा चुकीचा अंदाज लावतो, जे मानसशास्त्राच्या अशा उपक्षेत्रांच्या अभ्यासाचा विषय म्हणून काम करते, उदाहरणार्थ, जेस्टाल्ट थेरपी. एशर व्यतिरिक्त, दुसर्या व्यक्तीला ऑप्टिकल भ्रम निर्माण करण्यात रस होता महान कलाकार- जगभरात प्रसिद्ध एल साल्वाडोरदळी. त्याच्या उत्कटतेचे एक उल्लेखनीय उदाहरण आहे, उदाहरणार्थ, “हंस हत्तींमध्ये प्रतिबिंबित” हे चित्र.

वरील त्रिकोण देखील लागू होतो ऑप्टिकल भ्रम, अधिक तंतोतंत त्यांच्या त्या भागाला अशक्य आकृत्या म्हणतात. अशा स्वरूपाकडे पाहताना उद्भवणाऱ्या भावनांमुळे त्यांना असे म्हणतात खरं जगहे फक्त अशक्य आहे.

भ्रमाचा अर्ज

त्यांच्या अनन्य आकाराबद्दल धन्यवाद, भ्रामक वस्तू केवळ कलाकार आणि टॅटू कलाकारांद्वारेच लक्ष देत नाहीत - आपल्या स्वत: च्या हातांनी किंवा व्यावसायिकांच्या मदतीने बनवलेला त्रिकोण, कंपनीचा लोगो म्हणून देखील कार्य करू शकतो. भ्रामक आकारांच्या या वापराच्या उत्तम उदाहरणांमध्ये सायकेडेलिक लोक बँड Conundum in Deed चा लोगो, जो एक अशक्य क्यूब आहे, किंवा चिप निर्माता डिजिलेंट इंकचा ब्रँड, जो क्लासिक पेनरोज त्रिकोणी प्रतिमा आहे.

व्यावसायिकांकडे न वळता तुम्ही तुमचा स्वतःचा लोगो स्वतः बनवू शकता. हे करण्यासाठी, फक्त सूचनांचे अनुसरण करा, ज्याचे अनुसरण करून आपण कागदावर किंवा टॅब्लेटवर एक साधे रेखाचित्र बनवू शकता किंवा बनवू शकता. त्रिमितीय आकृती. हे चिन्ह किंवा चिन्ह म्हणून ठेवले जाऊ शकते मैदानी जाहिराततुमचे दुकान.

ते स्वतः कसे करावे

Adobe Illustrator वापरून ट्रायबार कसा काढायचा याबद्दल चरण-दर-चरण सूचना:

1. प्रथम तुम्हाला आयत टूल वापरून 3 चौरस बनवावे लागतील. हे करण्यासाठी, तुम्हाला प्रथम दृश्य मेनूवर जाणे आणि स्मार्ट मार्गदर्शक सक्षम करणे आवश्यक आहे.
2. आता तुम्हाला सर्वकाही सिलेक्ट करून ऑब्जेक्ट मेनूवर जाणे आवश्यक आहे, त्यानंतर ट्रान्सफॉर्म करण्यासाठी आणि ट्रान्सफॉर्म प्रत्येक उघडण्यासाठी, जेथे स्केल विंडोमध्ये तुम्हाला व्हर्टिकल स्केल = 86.6% मूल्य प्रविष्ट करणे आवश्यक आहे आणि ओके क्लिक करा.
3. आता तुम्हाला प्रत्येक चेहऱ्याचा स्वतःचा रोटेशन कोन सेट करणे आवश्यक आहे आणि हे करण्यासाठी, विंडोवर जा आणि ट्रान्सफॉर्म उघडा. तेथे, प्रथम बेव्हल (शिअर) साठी मूल्य प्रविष्ट करा आणि नंतर रोटेशनसाठी (फिरवा): क्यूबचा वरचा पृष्ठभाग शिअर +30°, रोटेट -30° आहे; उजवीकडील पृष्ठभाग - कातरणे +30°, फिरवा +30°; डावा पृष्ठभाग - कातरणे -30°, फिरवा -30°.
4. आता, स्मार्ट मार्गदर्शक ओळींचा वापर करून, तुम्हाला क्यूबचे सर्व भाग एकत्र डॉक करणे आवश्यक आहे: हे करण्यासाठी, तुम्ही एका बाजूच्या कोपऱ्यावर माउसला हुक केले पाहिजे आणि ते संरेखित करून दुसऱ्याकडे खेचले पाहिजे.
5. या टप्प्यावर, तुम्हाला क्यूब 30° ने फिरवावे लागेल: हे करण्यासाठी, ऑब्जेक्टवर जा, ट्रान्सफॉर्म आणि रोटेट निवडा, तेथे 30° चे कोन मूल्य प्रविष्ट करा आणि ओके क्लिक करा.
6. ट्रायबार मिळविण्यासाठी तुम्हाला 6 क्यूब्सची आवश्यकता असल्याने, तुम्ही क्यूब निवडा, Alt आणि Shift दाबा आणि निवडलेल्या ऑब्जेक्टला माउसच्या सहाय्याने बाजूला ड्रॅग करा, आडव्या दिशेने ताणून घ्या. निवड न काढता, CMD + D 6 वेळा दाबा. आम्हाला 6 क्यूब्स मिळतात.
7. शेवटच्या क्यूबवर निवड सोडून, ​​एंटर दाबा आणि मूव्ह विंडोमध्ये कोन मूल्य 240° वर बदला, नंतर कॉपी दाबा. नंतर तुम्हाला 6 प्रती मिळेपर्यंत CMD + D पुन्हा दाबा.
8. आता सर्वकाही पुन्हा करा: पुन्हा एंटर दाबा, शेवटचा क्यूब निवडा, फक्त कोन 120° वर सेट करा आणि फक्त 5 कॉपी करा.
9. सिलेक्शन टूल वापरून, तुम्हाला आकाराचा वरचा पृष्ठभाग निवडणे आवश्यक आहे (ते स्पष्ट करण्यासाठी तुम्ही ते पुन्हा रंगवू शकता), मेनू उघडा ऑब्जेक्ट - व्यवस्थित करा - मागे पाठवा. आता वरच्या क्यूबची पेंट केलेली पृष्ठभाग निवडा, ऑब्जेक्टवर जा – व्यवस्था करा – समोर आणा.

पेनरोज भ्रम पूर्ण झाला. तुम्ही ते तुमच्या सोशल मीडिया पेजवर किंवा ब्लॉगवर पोस्ट करू शकता किंवा व्यवसायासाठी वापरू शकता.

ब्लॉग साइटच्या प्रिय वाचकांनो, शुभेच्छा. रुस्तम झाकिरोव्ह संपर्कात आहे आणि माझ्याकडे तुमच्यासाठी आणखी एक लेख आहे, ज्याचा विषय पेनरोझ त्रिकोण कसा काढायचा आहे. आज मी तुम्हाला दाखवू इच्छितो की अशक्य त्रिकोण काढणे किती सोपे आणि सोपे आहे. आम्ही या त्रिकोणाची दोन रेखाचित्रे काढू, एक नियमित असेल आणि दुसरे वास्तविक 3D रेखाचित्र असेल. आणि हे सर्व आश्चर्यकारकपणे सोपे असेल. आपण या त्रिकोणाचे वास्तविक 3D रेखाचित्र मिळवू शकता. मला शंका आहे की हे तुम्हाला इतर कोठेही दर्शविले जाईल, म्हणून लेख शेवटपर्यंत आणि काळजीपूर्वक वाचा.

आमच्या रेखाचित्रांसाठी, नेहमीप्रमाणे, आम्हाला आवश्यक असेल: कागदाचा तुकडा साध्या पेन्सिल(शक्यतो एक "मध्यम", "दुसरा मऊ") आणि अनेक रंगीत पेन्सिल किंवा मार्कर.

कोणतीही 3D रेखाचित्रे सहजपणे कशी काढायची.

मी या सामान्य चित्रातून हा अशक्य त्रिकोण काढला, जो मला इंटरनेटवर सहज सापडला. इथे ती आहे.

आणि मग काही मिनिटांत मी ते 3D मध्ये रूपांतरित केले . अशा प्रकारे तुम्ही जवळजवळ कोणतीही प्रतिमा 3D मध्ये रूपांतरित करू शकता. तुम्हालाही असेच शिकायचे असेल तर येथे क्लिक करा.

आणि आम्ही आमच्या रेखांकनाकडे जाऊ.

एक नियमित त्रिकोण नमुना काढा.

1 ली पायरी. आम्ही मॉनिटर स्क्रीनवरून भाषांतर करतो.

त्रिकोण काढण्यासाठी, आपल्याला पुढील गोष्टी करण्याची आवश्यकता असेल. तुम्ही तुमच्या कागदाचा तुकडा घ्या आणि मॉनिटर स्क्रीनवरील त्रिकोणासमोर झुका आणि फक्त भाषांतर करा.

आणि आपला त्रिकोण अजिबात गुंतागुंतीचा नसल्यामुळे, त्याच्या सर्व कोपऱ्यांमध्ये फक्त मुख्य बिंदू ठेवणे पुरेसे आहे.

आणि मग आम्ही मूळ पाहतो आणि या बिंदूंना शासक वापरून जोडतो. मला हे असे मिळाले.

आमचा त्रिकोण तयार आहे. आपण हे असे सोडू शकता, परंतु आपण ते थोडे अधिक सजवूया. मी रंगीत पेन्सिल वापरून हे केले. आम्ही आमचा त्रिकोण पूर्णपणे सजवल्यानंतर, आम्ही पुन्हा एका साध्या मऊ पेन्सिलने पूर्णपणे रूपरेषा करतो.

या टप्प्यावर, आपला नेहमीचा पेनरोज त्रिकोण पूर्णपणे तयार आहे, आणि आपण त्याच त्रिकोणाकडे जाऊ.

त्रिकोणाचे 3D रेखाचित्र काढा.

1 ली पायरी. आम्ही भाषांतर करतो.

आम्ही नियमित नमुना प्रमाणेच त्याच योजनेनुसार पुढे जाऊ. मी तुम्हाला एक रेडीमेड त्रिकोण देतो, जो आधीपासून 3D फॉरमॅटमध्ये अनुवादित आहे. येथे तो आहे.

आणि तुम्ही त्याचे भाषांतर करा. आम्ही नेहमीच्या नमुन्याप्रमाणेच सर्वकाही करतो. तुम्ही तुमचा कागद घ्या, मॉनिटर स्क्रीनवर झुकता, कागदाची शीट चमकते आणि तुम्ही तयार झालेले 3D रेखाचित्र तुमच्या कागदाच्या शीटवर हस्तांतरित करता.

माझ्या बाबतीत असे घडले आहे.

त्रिकोणाचा आकार वाढवला किंवा कमी केला जाऊ शकतो. हे करण्यासाठी, आपल्याला फक्त आपल्या मॉनिटरचे स्केल बदलण्याची आवश्यकता आहे. Ctrl की दाबून ठेवा आणि माउस व्हील फिरवा.

आम्ही सुरक्षितपणे म्हणू शकतो की आमचे 3D रेखाचित्र आधीच तयार आहे. मला सुमारे 3 मिनिटे लागली. तत्वतः, आपण येथे सुरक्षितपणे समाप्त करू शकतो, परंतु आपण आपला त्रिकोण आणखी काही सजवूया.

त्याला असे सुद्धा म्हणतात अशक्य त्रिकोणआणि आदिवासी.

कथा

1958 मध्ये इंग्लिश गणितज्ञ रॉजर पेनरोज यांनी ब्रिटिश जर्नल ऑफ सायकॉलॉजीमध्ये अशक्य व्यक्तींवरील लेख प्रकाशित केल्यानंतर ही आकडेवारी व्यापकपणे प्रसिद्ध झाली. या लेखात, अशक्य त्रिकोण त्याच्या सर्वात सामान्य स्वरूपात चित्रित केले गेले होते - मध्ये तीनचे स्वरूपएकमेकांना काटकोनात जोडलेले बीम. मधील या लेखाने प्रभावित डच कलाकारमॉरिट्स एशर यांनी त्यांचे एक प्रसिद्ध लिथोग्राफ "वॉटरफॉल" तयार केले.

शिल्पे

पर्थ (ऑस्ट्रेलिया) येथे 1999 मध्ये अॅल्युमिनियमपासून बनवलेल्या अशक्य त्रिकोणाचे 13 मीटरचे शिल्प उभारण्यात आले.

Deutsches Technikmuseum Berlin फेब्रुवारी 2008 0004.JPG

दृष्टिकोन बदलताना तेच शिल्प

इतर आकडे

नियमित बहुभुजांच्या आधारे पेनरोझ त्रिकोणाचे अॅनालॉग तयार करणे शक्य असले तरी, त्यांच्याकडून होणारा दृश्य प्रभाव इतका प्रभावी नाही. जसजशी बाजूंची संख्या वाढते तसतसे वस्तू वाकलेली किंवा वळलेली दिसते.

देखील पहा

• तीन ससे (इंग्रजी) तीन ससा )

"पेनरोज त्रिकोण" या लेखाबद्दल पुनरावलोकन लिहा

पेनरोज त्रिकोणाचे वैशिष्ट्य दर्शविणारा उतारा