Komplekse udtryk med brøker. Procedure

For at udtrykke en del som en brøkdel af helheden skal du dele delen op i helheden.

Opgave 1. Der er 30 elever i klassen, fire er fraværende. Hvor stor en andel af eleverne er fraværende?

Løsning:

Svar: Der er ingen elever i klassen.

At finde en brøk fra et tal

For at løse problemer, hvor du skal finde en del af en helhed, gælder følgende regel:

Hvis en del af en helhed er udtrykt som en brøk, så kan du for at finde denne del dividere helheden med brøkens nævner og gange resultatet med dens tæller.

Opgave 1. Der var 600 rubler, dette beløb blev brugt. Hvor mange penge brugte du?

Løsning: for at finde 600 rubler eller mere, skal vi opdele dette beløb i 4 dele, hvorved vi finder ud af, hvor mange penge en fjerde del er:

600: 4 = 150 (r.)

Svar: brugte 150 rubler.

Opgave 2. Der var 1000 rubler, dette beløb blev brugt. Hvor mange penge blev der brugt?

Løsning: fra problemformuleringen ved vi, at 1000 rubler består af fem lige store dele. Lad os først finde ud af, hvor mange rubler der er en femtedel af 1000, og så finder vi ud af, hvor mange rubler der er to femtedele:

1) 1000: 5 = 200 (r.) - en femtedel.

2) 200 · 2 = 400 (r.) - to femtedele.

Disse to handlinger kan kombineres: 1000: 5 · 2 = 400 (r.).

Svar: 400 rubler blev brugt.

Den anden måde at finde en del af en helhed på:

For at finde en del af en helhed kan du gange helheden med den brøk, der udtrykker den del af helheden.

Opgave 3. For at rapporteringsmødet er gyldigt, skal der ifølge andelsforeningens vedtægter mindst være medlemmer af organisationen til stede. Andelsforeningen har 120 medlemmer. Hvilken sammensætning kan et rapporteringsmøde finde sted?

Løsning:

Svar: rapporteringsmødet kan finde sted, hvis der er 80 medlemmer af organisationen.

At finde et tal ved dets brøk

For at løse problemer, hvor du skal finde en helhed fra sin side, gælder følgende regel:

Hvis en del af den ønskede helhed udtrykkes som en brøk, så for at finde denne helhed, kan du dividere denne del med brøkens tæller og gange resultatet med dens nævner.

Opgave 1. Vi brugte 50 rubler, hvilket var mindre end det oprindelige beløb. Find det oprindelige beløb.

Løsning: fra beskrivelsen af ​​problemet ser vi, at 50 rubler er 6 gange mindre end det oprindelige beløb, dvs. det oprindelige beløb er 6 gange mere end 50 rubler. For at finde dette beløb skal du gange 50 med 6:

50 · 6 = 300 (r.)

Svar: det oprindelige beløb er 300 rubler.

Opgave 2. Vi brugte 600 rubler, hvilket var mindre end det oprindelige beløb. Find det oprindelige beløb.

Løsning: Vi vil antage, at det nødvendige antal består af tre tredjedele. Ifølge betingelsen svarer to tredjedele af antallet til 600 rubler. Lad os først finde en tredjedel af det oprindelige beløb, og derefter hvor mange rubler er tre tredjedele (det oprindelige beløb):

1) 600: 2 3 = 900 (r.)

Svar: det oprindelige beløb er 900 rubler.

Den anden måde at finde en helhed fra sin del:

For at finde en helhed ved den værdi, der udtrykker dens del, kan du dividere denne værdi med den brøk, der udtrykker denne del.

Opgave 3. Linjestykke AB, lig med 42 cm, er længden af ​​segmentet CD. Find længden af ​​segmentet CD.

Løsning:

Svar: segmentlængde CD 70 cm.

Opgave 4. Vandmeloner blev bragt til butikken. Inden frokost solgte butikken de medbragte vandmeloner, og efter frokost var der 80 vandmeloner tilbage at sælge. Hvor mange vandmeloner tog du med til butikken?

Løsning: Lad os først finde ud af, hvilken del af de medbragte vandmeloner, der er tallet 80. For at gøre dette, lad os tage det samlede antal medbragte vandmeloner som én og trække antallet af vandmeloner, der blev solgt (solgt):

Og så lærte vi, at 80 vandmeloner er fra samlet antal medbragte vandmeloner. Nu finder vi ud af, hvor mange vandmeloner af den samlede mængde udgør, og så hvor mange vandmeloner udgør (antallet af medbragte vandmeloner):

2) 80: 4 15 = 300 (vandmeloner)

Svar: I alt blev der bragt 300 vandmeloner til butikken.

Eleverne introduceres til brøker i 5. klasse. Tidligere blev folk, der vidste, hvordan man udfører operationer med fraktioner, betragtet som meget smarte. Den første fraktion var 1/2, det vil sige halvdelen, derefter dukkede 1/3 op osv. I flere århundreder blev eksemplerne betragtet som for komplekse. Nu udviklet detaljerede regler om omregning af brøker, addition, multiplikation og andre operationer. Det er nok at forstå materialet lidt, og løsningen bliver nem.

En almindelig brøk, kaldet en simpel brøk, skrives som divisionen af ​​to tal: m og n.

M er udbyttet, det vil sige brøkens tæller, og divisor n kaldes nævneren.

Identificer rigtige brøker (m< n) а также неправильные (m >n).

En egentlig brøk er mindre end én (f.eks. 5/6 - det betyder, at 5 dele er taget fra én; 2/8 - 2 dele er taget fra én). En uægte brøk er lig med eller større end 1 (8/7 - enheden er 7/7 og en del mere tages som et plus).

Så det ene er, når tælleren og nævneren falder sammen (3/3, 12/12, 100/100 og andre).

Operationer med almindelige brøker, grad 6

Du kan gøre følgende med simple brøker:

• Udvid en brøkdel. Hvis du multiplicerer den øvre og nedre del af brøken med et vilkårligt identisk tal (bare ikke med nul), så ændres brøkens værdi ikke (3/5 = 6/10 (simpelthen ganget med 2).
• At reducere brøker svarer til at udvide, men her divideres de med et tal.
• Sammenligne. Hvis to brøker har de samme tællere, så vil brøken med den mindre nævner være større. Hvis nævnerne er ens, så vil brøken med den største tæller være større.
• Udfør addition og subtraktion. Med de samme nævnere er dette nemt at gøre (vi opsummerer de øverste dele, men den nederste del ændres ikke). Hvis de er forskellige, bliver du nødt til at finde en fællesnævner og yderligere faktorer.
• Gang og divider brøker.

Lad os se på eksempler på operationer med brøker nedenfor.

Reducerede fraktioner grad 6

At reducere er at dividere toppen og bunden af ​​en brøk med et lige stort antal.

Figuren viser simple eksempler på reduktion. I den første mulighed kan du umiddelbart gætte, at tælleren og nævneren er delelige med 2.

På en note! Hvis tallet er lige, så er det alligevel deleligt med 2. Lige tal- det er 2, 4, 6...32 8 (slutter med et lige tal) osv.

I det andet tilfælde, når man dividerer 6 med 18, er det umiddelbart klart, at tallene er delelige med 2. Ved at dividere får vi 3/9. Denne brøk divideres yderligere med 3. Så er svaret 1/3. Hvis man ganger begge divisorer: 2 med 3, får man 6. Det viser sig, at brøken blev divideret med seks. Denne gradvise opdeling kaldes successiv reduktion af brøker med fælles divisorer.

Nogle mennesker vil straks dividere med 6, andre bliver nødt til at dividere med dele. Det vigtigste er, at der til sidst er en brøkdel tilbage, som ikke kan reduceres på nogen måde.

Bemærk, at hvis et tal består af cifre, hvis tilføjelse resulterer i et tal, der er deleligt med 3, så kan det oprindelige tal også reduceres med 3. Eksempel: tal 341. Tilføj tallene: 3 + 4 + 1 = 8 (8) er ikke deleligt med 3, Det betyder, at tallet 341 ikke kan reduceres med 3 uden en rest). Et andet eksempel: 264. Tilføj: 2 + 6 + 4 = 12 (deles med 3). Vi får: 264: 3 = 88. Dette vil gøre det lettere at reducere store tal.

Ud over metoden til sekventiel reduktion af fraktioner ved fælles divisorer, er der andre metoder.

GCD er den største divisor for et tal. Når du har fundet gcd'en for nævneren og tælleren, kan du straks reducere brøken med det rigtige nummer. Søgningen udføres ved gradvist at dividere hvert tal. Dernæst ser de på, hvilke divisorer der falder sammen; hvis der er flere af dem (som på billedet nedenfor), så skal du gange.

Blandede brøker klasse 6

Alle ukorrekte fraktioner kan omdannes til blandede fraktioner ved at adskille hele delen fra dem. Hele tallet er skrevet til venstre.

Kommer ofte fra ukorrekt fraktion lav et blandet nummer. Konverteringsprocessen er vist i eksemplet nedenfor: 22/4 = 22 divideret med 4, vi får 5 heltal (5 * 4 = 20). 22 - 20 = 2. Vi får 5 heltal og 2/4 (nævneren ændres ikke). Da brøken kan reduceres, dividerer vi den øvre og nedre del med 2.

Det er nemt at omdanne et blandet tal til en uægte brøk (dette er nødvendigt, når man dividerer og multiplicerer brøker). For at gøre dette: gange hele tallet med den nederste del af brøken og læg tælleren til det. Parat. Nævneren ændrer sig ikke.

Udregninger med brøker 6. klasse

Blandede tal kan tilføjes. Hvis nævnerne er de samme, så er dette nemt at gøre: Tilføj heltalsdelene og tællere, nævneren forbliver på plads.

Når man tilføjer tal med forskellige nævnere, er processen mere kompliceret. Først reducerer vi tallene til en mindste nævner (LSD).

I eksemplet nedenfor vil nævneren for tallene 9 og 6 være 18. Herefter er der behov for yderligere faktorer. For at finde dem skal du dividere 18 med 9, sådan finder du ekstra nummer- 2. Vi gange det med tælleren 4 for at få brøken 8/18). De gør det samme med den anden fraktion. Vi tilføjer allerede de konverterede brøker (heltal og tællere separat, vi ændrer ikke nævneren). I eksemplet skulle svaret omregnes til en egen brøk (i første omgang viste tælleren sig at være større end nævneren).

Bemærk venligst, at når brøker er forskellige, er algoritmen for handlinger den samme.

Når du multiplicerer brøker, er det vigtigt at placere begge under samme linje. Hvis nummeret er blandet, så gør vi det til simpel brøk. Dernæst skal du gange den øverste og nederste del og skrive svaret ned. Hvis det er klart, at fraktioner kan reduceres, så reducerer vi dem med det samme.

I ovenstående eksempel behøvede du ikke at klippe noget, du skrev bare svaret ned og fremhævede hele delen.

I dette eksempel var vi nødt til at reducere tallene under én linje. Selvom du kan forkorte det færdige svar.

Ved opdeling er algoritmen næsten den samme. Først transformerer vi blandet fraktion til den forkerte, og skriv derefter tallene under én linje, og erstat division med multiplikation. Glem ikke at bytte den øverste og nederste del af den anden brøk (dette er reglen for at dividere brøker).

Om nødvendigt reducerer vi tallene (i eksemplet nedenfor reducerede vi dem med fem og to). Vi konverterer den uægte brøk ved at fremhæve hele delen.

Grundlæggende brøkopgaver 6. klasse

Videoen viser nogle flere opgaver. Brugt for klarhed grafiske billeder løsninger, der hjælper dig med at visualisere brøker.

Eksempler på at gange brøker klasse 6 med forklaringer

Multiplikerende brøker skrives under én linje. De reduceres derefter ved at dividere med de samme tal (for eksempel kan 15 i nævneren og 5 i tælleren divideres med fem).

Sammenligning af fraktioner klasse 6

For at sammenligne brøker skal du huske to enkle regler.

Regel 1. Hvis nævnerne er forskellige

Regel 2. Når nævnerne er ens

Sammenlign f.eks. brøkerne 7/12 og 2/3.

1. Vi ser på nævnerne, de stemmer ikke overens. Så du skal finde en fælles.
2. For brøker er fællesnævneren 12.
3. Vi dividerer først 12 med den nederste del af den første brøk: 12: 12 = 1 (dette er en ekstra faktor for 1. brøk).
4. Nu deler vi 12 med 3, vi får 4 - ekstra. faktor af 2. fraktion.
5. Vi multiplicerer de resulterende tal med tællerne for at omregne brøker: 1 x 7 = 7 (første brøk: 7/12); 4 x 2 = 8 (anden fraktion: 8/12).
6. Nu kan vi sammenligne: 7/12 og 8/12. Det viste sig: 7/12< 8/12.

For bedre at repræsentere brøker, kan du bruge billeder til klarhed, hvor et objekt er opdelt i dele (for eksempel en kage). Hvis du vil sammenligne 4/7 og 2/3, så er kagen i det første tilfælde opdelt i 7 dele, og 4 af dem er udvalgt. I den anden deler de sig i 3 dele og tager 2. Med det blotte øje vil det være klart, at 2/3 vil være større end 4/7.

Eksempler med brøker karakter 6 til træning

Du kan udføre følgende opgaver som praksis.

• Sammenlign brøker

• udføre multiplikation

Tip: Hvis det er svært at finde den laveste fællesnævner for brøker (især hvis deres værdier er små), så kan du gange nævneren for første og anden brøk. Eksempel: 2/8 og 5/9. Det er nemt at finde deres nævner: gange 8 med 9, du får 72.

Løsning af ligninger med brøker 6. klasse

Løsning af ligninger kræver at huske operationer med brøker: multiplikation, division, subtraktion og addition. Hvis en af ​​faktorerne er ukendt, så divideres produktet (totalt) med den kendte faktor, det vil sige, at brøkerne ganges (den anden vendes).

Hvis udbyttet er ukendt, så ganges nævneren med divisoren, og for at finde divisoren skal du dividere udbyttet med kvotienten.

Lad os forestille os simple eksempler løsninger til ligninger:

Her skal du kun fremstille brøkforskellen, uden at det fører til en fællesnævner.

Svaret kom ud som en upassende brøk. Det kan konverteres til 1 hel og 3/5.

I den anden metode blev tælleren og nævneren ganget med 4 for at annullere den nederste del i stedet for at vende nævneren.

Denne artikel undersøger operationer på brøker. Regler for addition, subtraktion, multiplikation, division eller eksponentiering af brøker af formen A B vil blive dannet og begrundet, hvor A og B kan være tal, numeriske udtryk eller udtryk med variable. Afslutningsvis vil eksempler på løsninger med detaljerede beskrivelser blive overvejet.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Regler for udførelse af operationer med generelle numeriske brøker

Numeriske brøker generel opfattelse har en tæller og nævner, hvori der er heltal eller numeriske udtryk. Hvis vi betragter brøker som 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π, 2 0, 5 ln 3, så er det klart, at tæller og nævner ikke kun kan have tal, men også udtryk af forskellige typer.

Definition 1

Der er regler, efter hvilke operationer med almindelige fraktioner udføres. Det er også velegnet til generelle fraktioner:

• Når man trækker brøker med ens nævnere, tilføjes kun tællere, og nævneren forbliver den samme, nemlig: a d ± c d = a ± c d, værdierne a, c og d ≠ 0 er nogle tal eller numeriske udtryk.
• Når man adderer eller subtraherer en brøk med forskellige nævnere, er det nødvendigt at reducere den til en fællesnævner og derefter addere eller subtrahere de resulterende brøker med de samme eksponenter. Bogstaveligt talt ser det sådan ud: a b ± c d = a · p ± c · r s, hvor værdierne a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 er reelle tal, og b · p = d · r = s. Når p = d og r = b, så er a b ± c d = a · d ± c · d b · d.
• Ved multiplikation af brøker udføres handlingen med tællere, hvorefter med nævnere, så får vi a b · c d = a · c b · d, hvor a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 fungerer som reelle tal.
• Når vi dividerer en brøk med en brøk, ganger vi den første med den anden inverse, det vil sige, vi bytter tæller og nævner: a b: c d = a b · d c.

Begrundelse for reglerne

Der er følgende matematiske punkter, som du bør stole på, når du beregner:

• skråstreg betyder divisionstegnet;
• division med et tal behandles som multiplikation med dens gensidige værdi;
• anvendelse af egenskaben ved operationer med reelle tal;
• anvendelse af den grundlæggende egenskab ved brøker og numeriske uligheder.

Med deres hjælp kan du udføre transformationer af formularen:

a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± c · r s; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c b · d

Eksempler

I det foregående afsnit blev det sagt om operationer med brøker. Det er herefter, at fraktionen skal forenkles. Dette emne blev diskuteret detaljeret i afsnittet om konvertering af brøker.

Lad os først se på et eksempel på at addere og trække brøker fra med samme nævner.

Eksempel 1

Givet brøkerne 8 2, 7 og 1 2, 7, så er det ifølge reglen nødvendigt at tilføje tælleren og omskrive nævneren.

Løsning

Så får vi en brøkdel af formen 8 + 1 2, 7. Efter at have udført tilføjelsen får vi en brøkdel af formen 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3. Så 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3.

Svar: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Der er en anden løsning. Til at begynde med skifter vi til formen af ​​en almindelig brøk, hvorefter vi udfører en forenkling. Det ser sådan ud:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Eksempel 2

Lad os trække fra 1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 en brøkdel af formen 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 .

Da der er givet lige nævnere, betyder det, at vi udregner en brøk med samme nævner. Det forstår vi

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Der er eksempler på udregning af brøker med forskellige nævnere. En vigtig pointe er reduktion til en fællesnævner. Uden dette vil vi ikke være i stand til at gennemføre yderligere tiltag med fraktioner.

Processen minder vagt om reduktion til en fællesnævner. Det vil sige, at der søges efter den mindste fælles divisor i nævneren, hvorefter de manglende faktorer lægges til brøkerne.

Hvis fraktionerne, der tilsættes, ikke har fælles faktorer, kan deres produkt blive en.

Eksempel 3

Lad os se på eksemplet med at tilføje brøk 2 3 5 + 1 og 1 2.

Løsning

I dette tilfælde er fællesnævneren produktet af nævnerne. Så får vi 2 · 3 5 + 1. Så, når vi indstiller yderligere faktorer, har vi, at for den første brøk er den lig med 2, og for den anden er den 3 5 + 1. Efter multiplikation reduceres brøkerne til formen 4 2 · 3 5 + 1. Den generelle reduktion på 1 2 vil være 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1. Modtaget brøkudtryk lægge det sammen, og vi får det

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Svar: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Når vi har at gøre med generelle brøker, så taler vi normalt ikke om den laveste fællesnævner. Det er urentabelt at tage produktet af tællere som nævner. Først skal du tjekke, om der er et tal, der er mindre i værdi end deres produkt.

Eksempel 4

Lad os betragte eksemplet med 1 6 · 2 1 5 og 1 4 · 2 3 5, når deres produkt er lig med 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5. Så tager vi 12 · 2 3 5 som fællesnævner.

Lad os se på eksempler på multiplikation af generelle brøker.

Eksempel 5

For at gøre dette skal du gange 2 + 1 6 og 2 · 5 3 · 2 + 1.

Løsning

Efter reglen er det nødvendigt at omskrive og skrive produktet af tællere som en nævner. Vi får at 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1. Når en brøk er blevet ganget, kan du lave reduktioner for at forenkle den. Derefter 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10.

Ved at bruge reglen for overgang fra division til multiplikation med en reciprok brøk får vi en brøk, der er den reciproke af den givne. For at gøre dette byttes tæller og nævner. Lad os se på et eksempel:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Så skal de gange og forenkle den resulterende brøk. Slip eventuelt for irrationalitet i nævneren. Det forstår vi

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Svar: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Dette afsnit er anvendeligt, når et tal eller numerisk udtryk kan repræsenteres som en brøk med en nævner lig med 1, så betragtes operationen med en sådan brøk som et separat afsnit. For eksempel viser udtrykket 1 6 · 7 4 - 1 · 3, at roden af ​​3 kan erstattes af et andet 3 1-udtryk. Så vil denne post se ud som at gange to brøker af formen 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1.

Udførelse af operationer på fraktioner, der indeholder variable

Reglerne diskuteret i den første artikel gælder for operationer med fraktioner, der indeholder variable. Overvej subtraktionsreglen, når nævnerne er ens.

Det er nødvendigt at bevise, at A, C og D (D ikke lig med nul) kan være ethvert udtryk, og ligheden A D ± C D = A ± C D er ækvivalent med dens række af tilladte værdier.

Det er nødvendigt at tage et sæt ODZ-variabler. Så skal A, C, D tage de tilsvarende værdier a 0 , c 0 og d 0. Substitution af formen A D ± C D resulterer i en forskel på formen a 0 d 0 ± c 0 d 0, hvor vi ved hjælp af additionsreglen får en formel på formen a 0 ± c 0 d 0. Hvis vi erstatter udtrykket A ± C D, får vi den samme brøkdel af formen a 0 ± c 0 d 0. Herfra konkluderer vi, at den valgte værdi, der opfylder ODZ, A ± C D og A D ± C D betragtes som ens.

For enhver værdi af variablerne vil disse udtryk være ens, det vil sige, at de kaldes identisk lige. Dette betyder, at dette udtryk betragtes som en beviselig lighed af formen A D ± C D = A ± C D .

Eksempler på at addere og trække brøker fra med variable

Når du har de samme nævnere, skal du kun tilføje eller trække tællerne fra. Denne fraktion kan forenkles. Nogle gange skal man arbejde med brøker, der er identisk lige, men ved første øjekast er det ikke mærkbart, da nogle transformationer skal udføres. For eksempel x 2 3 x 1 3 + 1 og x 1 3 + 1 2 eller 1 2 sin 2 α og sin a cos a. Oftest kræves en forenkling af det oprindelige udtryk for at se de samme nævnere.

Eksempel 6

Beregn: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Løsning

1. For at lave udregningen skal du trække brøker fra, der har samme nævner. Så får vi at x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Hvorefter du kan udvide parenteserne og tilføje lignende udtryk. Vi får, at x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Da nævnerne er de samme, er der kun tilbage at tilføje tællere, så nævneren efterlader: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   Tilføjelsen er gennemført. Det kan ses, at det er muligt at reducere fraktionen. Dens tæller kan foldes ved hjælp af formlen for kvadratet af summen, så får vi (l g x + 2) 2 fra forkortede multiplikationsformler. Så får vi det
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Givet brøker af formen x - 1 x - 1 + x x + 1 med forskellige nævnere. Efter transformationen kan du gå videre til addition.

Lad os overveje en todelt løsning.

Den første metode er, at nævneren af ​​den første brøk faktoriseres ved hjælp af kvadrater med dens efterfølgende reduktion. Vi får en brøkdel af formen

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Altså x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

I dette tilfælde er det nødvendigt at slippe af med irrationalitet i nævneren.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Den anden metode er at gange tælleren og nævneren af ​​den anden brøk med udtrykket x - 1. Dermed slipper vi for irrationalitet og går videre til at lægge brøker sammen med samme nævner. Derefter

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x · x - x x - 1

Svar: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 .

I det sidste eksempel fandt vi ud af, at reduktion til en fællesnævner er uundgåelig. For at gøre dette skal du forenkle brøkerne. Når du adderer eller trækker fra, skal du altid kigge efter en fællesnævner, som ligner produktet af nævnerne med yderligere faktorer tilføjet til tællerne.

Eksempel 7

Beregn værdierne af brøkerne: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4), 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Løsning

1. Nævneren kræver ingen komplekse beregninger, så du skal vælge deres produkt af formen 3 x 7 + 2 · 2, derefter vælge x 7 + 2 · 2 for den første brøk som en ekstra faktor og 3 for den anden. Ved multiplikation får vi en brøkdel af formen x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Det kan ses, at nævnerne præsenteres i form af et produkt, hvilket betyder, at yderligere transformationer er unødvendige. Fællesnævneren vil blive anset for at være et produkt af formen x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Derfor x 4 er en ekstra faktor til den første brøk, og ln(x + 1) til den anden. Så trækker vi fra og får:
   x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1) ) · 2 x - 4 - sin x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​​​x - 4) = = x + 1 · x 4 - sin x · ln (x + 1) ) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​​​x - 4) = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4)
3. Dette eksempel giver mening, når du arbejder med brøknævnere. Det er nødvendigt at anvende formlerne for forskellen mellem kvadrater og kvadratet af summen, da de vil gøre det muligt at gå videre til et udtryk på formen 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x) 2. Det kan ses, at brøkerne er reduceret til en fællesnævner. Vi får at cos x - x · cos x + x 2 .

Så får vi det

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x 2

Svar:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2 .

Eksempler på at gange brøker med variable

Når brøker ganges, ganges tælleren med tælleren og nævneren med nævneren. Så kan du anvende reduktionsejendommen.

Eksempel 8

Gang brøkerne x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 og 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x.

Løsning

Multiplikation skal udføres. Det forstår vi

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Tallet 3 flyttes til førstepladsen for at lette beregningerne, og du kan reducere brøken med x 2, så får vi et udtryk for formen

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Svar: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · sin (2 · x - x) .

Division

Division af brøker svarer til multiplikation, da den første brøk ganges med den anden reciproke. Hvis vi for eksempel tager brøken x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 og dividerer med 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, så kan det skrives som

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) , erstat derefter med et produkt af formen x + 2 · x x 2 · ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x)

Eksponentiering

Lad os gå videre til at overveje operationer med generelle brøker med eksponentiering. Hvis der er en potens med en naturlig eksponent, betragtes handlingen som multiplikation af lige store brøker. Men det anbefales at bruge generel tilgang, baseret på egenskaberne ved grader. Ethvert udtryk A og C, hvor C ikke er identisk lig med nul, og enhver reel r på ODZ for et udtryk på formen A C r er ligheden A C r = A r C r gyldig. Resultatet er en brøkdel hævet til en potens. Overvej for eksempel:

x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5

Fremgangsmåde for udførelse af operationer med brøker

Operationer på fraktioner udføres efter visse regler. I praksis bemærker vi, at et udtryk kan indeholde flere brøker eller brøkudtryk. Så er det nødvendigt at udføre alle handlinger i i streng rækkefølge: hæve til en potens, gange, dividere, derefter addere og trække fra. Hvis der er parenteser, udføres den første handling i dem.

Eksempel 9

Beregn 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Løsning

Siden vi har samme nævner, derefter 1 - x cos x og 1 c o s x , men subtraktioner kan ikke udføres ifølge reglen, først udføres operationerne i parentes, derefter multiplikation og derefter addition. Så når vi beregner, får vi det

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Når udtrykket erstattes med det oprindelige, får vi 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Når vi multiplicerer brøker, har vi: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x. Efter at have foretaget alle substitutionerne får vi 1 - x cos x - x + 1 cos x · x. Nu skal du arbejde med brøker, der har forskellige nævnere. Vi får:

x · 1 - x cos x · x - x + 1 cos x · x = x · 1 - x - 1 + x cos x · x = = x - x - x - 1 cos x · x = - x + 1 cos x x

Svar: 1 - x cos x - 1 cos x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x .

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Instruktioner

Reduktion til en fællesnævner.

Lad brøkerne a/b og c/d være givet.

Tælleren og nævneren for den første brøk ganges med LCM/b

Den anden brøks tæller og nævner ganges med LCM/d

Et eksempel er vist på figuren.

For at sammenligne brøker skal du tilføje dem til en fællesnævner og derefter sammenligne tællere. For eksempel 3/4< 4/5, см. .

Addere og trække brøker fra.

For at finde summen af ​​to almindelige brøker de skal bringes til en fællesnævner, så tilføjes tællere, nævneren forbliver uændret. Et eksempel på tilføjelse af brøk 1/2 og 1/3 er vist i figuren.

Forskellen på brøker findes på lignende måde; efter at have fundet fællesnævneren trækkes brøkernes tællere fra, se figuren.

Når man multiplicerer almindelige brøker, ganges tællere og nævnere sammen.

For at dele to brøker er en brøkdel af den anden brøk nødvendig, dvs. ændre dens tæller og nævner, og gange derefter de resulterende brøker.

Video om emnet

Kilder:

• brøker grad 5 ved hjælp af et eksempel
• Grundlæggende brøkproblemer

modul repræsenterer udtrykkets absolutte værdi. Lige parenteser bruges til at betegne et modul. Værdierne indeholdt i dem betragtes som modulo. Løsning af modulet består i at åbne parenteser efter bestemte regler og finde sættet af udtryksværdier. I de fleste tilfælde udvides modulet på en sådan måde, at det submodulære udtryk modtager en række positive og negative værdier, herunder en nulværdi. Baseret på modulets egenskaber kompileres og løses yderligere ligninger og uligheder i det oprindelige udtryk.

Instruktioner

Skriv den oprindelige ligning med . For at gøre dette skal du åbne modulet. Overvej hvert submodulært udtryk. Bestem, ved hvilken værdi af de ukendte mængder, der er inkluderet i det, udtrykket i modulære parenteser bliver nul.

For at gøre dette, lig det submodulære udtryk til nul og find den resulterende ligning. Skriv de værdier ned, du finder. Bestem på samme måde værdierne af den ukendte variabel for hvert modul i den givne ligning.

Tegn en tallinje og plot de resulterende værdier på den. Værdierne af variablen i nulmodulet vil tjene som begrænsninger ved løsning af den modulære ligning.

I den oprindelige ligning skal du udvide de modulære og ændre tegnet, så variablens værdier svarer til dem, der vises på tallinjen. Løs den resulterende ligning. Kontroller den fundne værdi af variablen i forhold til den begrænsning, der er angivet af modulet. Hvis løsningen opfylder betingelsen, er det sandt. Rødder, der ikke opfylder begrænsningerne, skal kasseres.

Udvid på samme måde modulerne i det oprindelige udtryk under hensyntagen til tegnet, og beregn rødderne af den resulterende ligning. Skriv alle de resulterende rødder ned, der opfylder begrænsningsulighederne.

Brøktal kan udtrykkes på forskellige måder præcise værdi mængder. Du kan lave de samme matematiske operationer med brøker, som du kan med hele tal: subtraktion, addition, multiplikation og division. At lære at bestemme brøker, skal vi huske nogle af deres funktioner. De afhænger af typen brøker, tilstedeværelsen af ​​en heltal del, en fællesnævner. Nogle aritmetiske operationer efter udførelse kræver de reduktion af brøkdelen af ​​resultatet.

Du får brug for

• - lommeregner

Instruktioner

Se nøje på tallene. Hvis der blandt brøkerne er decimaler og uregelmæssige, er det nogle gange mere bekvemt først at udføre operationer med decimaler og derefter konvertere dem til den uregelmæssige form. Kan du oversætte brøker i denne form til at begynde med, skrive værdien efter decimaltegnet i tælleren og sætte 10 i nævneren. Om nødvendigt reduceres brøken ved at dividere tallene over og under med én divisor. Brøker, hvori hele delen er isoleret, skal konverteres til den forkerte form ved at gange den med nævneren og lægge tælleren til resultatet. Givet værdi bliver den nye tæller brøker. At vælge en hel del fra en oprindeligt forkert brøker, skal du dividere tælleren med nævneren. Skriv hele resultatet fra brøker. Og resten af ​​divisionen bliver den nye tæller, nævner brøker det ændrer sig ikke. For brøker med en heltalsdel er det muligt at udføre handlinger separat, først for hele tallet og derefter for brøkdelene. For eksempel kan summen af ​​1 2/3 og 2 ¾ beregnes:
- Konvertering af brøker til den forkerte form:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Summation af separat heltal og brøkdele af led:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

For med værdier under linjen, find fællesnævneren. For 5/9 og 7/12 vil f.eks. fællesnævneren være 36. For dette er tælleren og nævneren for den første brøker du skal gange med 4 (du får 28/36), og den anden - med 3 (du får 15/36). Nu kan du udføre beregningerne.

Hvis du skal beregne summen eller forskellen af ​​brøker, skal du først skrive den fundne fællesnævner under linjen. Udfør de nødvendige handlinger mellem tællere, og skriv resultatet over den nye linje brøker. Den nye tæller vil således være forskellen eller summen af ​​tællerne for de oprindelige brøker.

For at beregne produktet af brøker skal du gange brøkernes tællere og skrive resultatet i stedet for tælleren i den endelige brøker. Gør det samme for nævnerne. Når man deler en brøker skriv den ene brøk ned på den anden, og gang derefter dens tæller med nævneren af ​​den anden. I dette tilfælde nævneren af ​​den første brøker ganges tilsvarende med den anden tæller. I dette tilfælde sker der en slags revolution brøker(divisor). Den endelige brøk vil være resultatet af at gange tællere og nævnere af begge brøker. Det er ikke svært at lære brøker, skrevet i tilstanden i form af "fire-etagers" brøker. Hvis den adskiller to brøker, omskriv dem ved hjælp af ":"-separatoren og fortsæt med normal division.

For at få endeligt resultat Reducer den resulterende brøk ved at dividere tælleren og nævneren med et helt tal, det størst mulige i dette tilfælde. I dette tilfælde skal der være heltal over og under linjen.

Bemærk

Udfør ikke aritmetik med brøker, hvis nævnere er forskellige. Vælg et tal, således at når du multiplicerer tælleren og nævneren for hver brøk med det, er resultatet, at nævnerne i begge brøker er lige store.

Nyttige råd

Når man skriver brøktal, skrives udbyttet over stregen. Denne mængde er angivet som tælleren for brøken. Brøkens divisor eller nævner er skrevet under linjen. For eksempel vil halvandet kilogram ris som en fraktion blive skrevet som følger: 1½ kg ris. Hvis nævneren for en brøk er 10, kaldes brøken en decimal. I dette tilfælde er tælleren (udbytte) skrevet til højre for hele delen, adskilt af et komma: 1,5 kg ris. For at lette beregningen kan en sådan brøk altid skrives i den forkerte form: 1 2/10 kg kartofler. For at forenkle kan du reducere tæller- og nævnerværdierne ved at dividere dem med et heltal. I i dette eksempel kan divideres med 2. Resultatet bliver 1 1/5 kg kartofler. Sørg for, at de tal, du skal regne med, præsenteres i samme form.

Instruktioner

Klik én gang på menupunktet "Indsæt", og vælg derefter "Symbol". Dette er en af ​​de mest enkle måder indsætter brøker ind i teksten. Den består i det følgende. Sættet af færdige symboler inkluderer brøker. Deres antal er som regel lille, men hvis du skal skrive ½ i teksten i stedet for 1/2, så vil denne mulighed være den mest optimale for dig. Derudover kan antallet af brøktegn afhænge af skrifttypen. For eksempel er der for Times New Roman-skrifttypen lidt færre brøker end for den samme Arial. Varier skrifttyper for at finde den bedste mulighed, når det kommer til simple udtryk.

Klik på menupunktet "Indsæt", og vælg underpunktet "Objekt". Et vindue vises foran dig med en liste over mulige objekter, du kan indsætte. Vælg blandt dem Microsoft Equation 3.0. Denne app hjælper dig med at skrive brøker. Og ikke kun brøker, men også komplekse matematiske udtryk, indeholdende div trigonometriske funktioner og andre elementer. Dobbeltklik på dette objekt med venstre museknap. Et vindue vises foran dig med mange symboler.

For at udskrive en brøk skal du vælge symbolet, der repræsenterer en brøk med en tom tæller og nævner. Klik på den én gang med venstre museknap. Der vises en ekstra menu, der tydeliggør selve skemaet. brøker. Der kan være flere muligheder. Vælg den, der passer dig bedst, og klik på den én gang med venstre museknap.

Multiplicere og dividere brøker.

Opmærksomhed!
Der er yderligere
materialer i specialafsnit 555.
For dem, der er meget "ikke meget..."
Og for dem, der "meget...")

Denne operation er meget bedre end addition-subtraktion! For det er nemmere. Som en påmindelse, for at gange en brøk med en brøk, skal du gange tællere (dette vil være tælleren for resultatet) og nævnerne (dette vil være nævneren). Det er:

For eksempel:

Alt er ekstremt enkelt. Og led venligst ikke efter en fællesnævner! Der er ikke brug for ham her...

For at dividere en brøk med en brøk, skal du vende anden(dette er vigtigt!) brøk og gange dem, dvs.:

For eksempel:

Hvis du støder på multiplikation eller division med heltal og brøker, er det okay. Ligesom med addition laver vi en brøk af et helt tal med en i nævneren - og gå videre! For eksempel:

I gymnasiet skal du ofte beskæftige dig med tre-etagers (eller endda fire-etagers!) brøker. For eksempel:

Hvordan kan jeg få denne fraktion til at se anstændig ud? Ja, meget simpelt! Brug to-punkts division:

Men glem ikke rækkefølgen af ​​opdeling! I modsætning til multiplikation er dette meget vigtigt her! Vi vil selvfølgelig ikke forveksle 4:2 eller 2:4. Men det er nemt at lave en fejl i en tre-etagers brøk. Bemærk f.eks.:

I det første tilfælde (udtryk til venstre):

I det andet (udtryk til højre):

Mærker du forskellen? 4 og 1/9!

Hvad bestemmer rækkefølgen af ​​division? Enten med parenteser eller (som her) med længden af ​​vandrette linjer. Udvikl dit øje. Og hvis der ikke er nogen parenteser eller bindestreger, som:

divider og gange derefter i rækkefølge, fra venstre mod højre!

Og en anden meget enkel og vigtig teknik. I handlinger med grader vil det være så nyttigt for dig! Lad os dividere en med en hvilken som helst brøk, for eksempel med 13/15:

Skuddet er vendt! Og dette sker altid. Når man dividerer 1 med en hvilken som helst brøk, er resultatet den samme brøk, kun på hovedet.

Det er det for operationer med fraktioner. Sagen er ret enkel, men den giver mere end nok fejl. Bemærk praktiske råd, og der vil være færre af dem (fejl)!

Praktiske tips:

1. Det vigtigste, når man arbejder med brøkudtryk, er nøjagtighed og opmærksomhed! Det er ikke generelle ord, ikke gode ønsker! Dette er en dyb nødvendighed! Udfør alle beregninger på Unified State Exam som en fuldgyldig opgave, fokuseret og klar. Det er bedre at skrive to ekstra linjer i din kladde end at rode, når du laver hovedberegninger.

2. I eksempler med forskellige typer brøker - gå til almindelige brøker.

3. Vi reducerer alle fraktioner, indtil de stopper.

4. Vi reducerer brøkudtryk på flere niveauer til almindelige udtryk ved hjælp af division gennem to punkter (vi følger rækkefølgen af ​​division!).

5. Divider en enhed med en brøk i dit hoved, vend blot brøken om.

Her er de opgaver, som du helt sikkert skal udføre. Der gives svar efter alle opgaver. Brug materialerne om dette emne og praktiske tips. Estimer, hvor mange eksempler du var i stand til at løse korrekt. Den første gang! Uden lommeregner! Og drag de rigtige konklusioner...

Husk - det rigtige svar er modtaget fra anden (især tredje) gang tæller ikke! Sådan er det barske liv.

Så, løse i eksamenstilstand ! Dette er forresten allerede forberedelse til Unified State-eksamenen. Vi løser eksemplet, tjek det, løser det næste. Vi besluttede alt - tjekkede igen fra først til sidst. Men kun Derefter se på svarene.

Beregn:

Har du besluttet dig?

Vi leder efter svar, der matcher dine. Jeg skrev dem bevidst ned i uorden, væk fra fristelser, så at sige... Her er de svarene, skrevet med semikolon.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Nu drager vi konklusioner. Hvis alt lykkedes, er jeg glad på dine vegne! Grundlæggende beregninger med brøker er ikke dit problem! Du kan gøre mere seriøse ting. Hvis ikke...

Så du har et af to problemer. Eller begge dele på én gang.) Mangel på viden og (eller) uopmærksomhed. Men dette løselig Problemer.

Hvis du kan lide denne side...

Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)

Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lad os lære - med interesse!)

Du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.