असंभव पेंटिंग। असंभव वास्तविकता

पहली नज़र में ऐसा लगता है कि असंभव आंकड़े केवल एक विमान पर मौजूद हो सकते हैं। वास्तव में, अविश्वसनीय आंकड़े त्रि-आयामी अंतरिक्ष में सन्निहित हो सकते हैं, लेकिन "उसी प्रभाव" के लिए आपको उन्हें एक निश्चित बिंदु से देखना होगा।

विकृत दृष्टिकोण एक सामान्य घटना है पुरानी पेंटिंग... कहीं यह कलाकारों की छवि बनाने में असमर्थता के कारण था, कहीं - यथार्थवाद के प्रति उदासीनता का संकेत, जो प्रतीकवाद को प्राथमिकता देता था। पुनर्जागरण में भौतिक दुनिया का आंशिक रूप से पुनर्वास किया गया था। पुनर्जागरण के उस्तादों ने परिप्रेक्ष्य का पता लगाना शुरू किया और अंतरिक्ष के साथ खेलों की खोज की।

असंभव आकृति की छवियों में से एक को संदर्भित करता है XVI सदी- पीटर ब्रूघेल द एल्डर "द मैगपाई ऑन द गैलोज़" की पेंटिंग में वही फांसी संदिग्ध लगती है।

बीसवीं सदी के असंभव आंकड़ों को बड़ी प्रसिद्धि मिली। स्वीडिश कलाकार ओस्कर रूट्सवर्ड ने 1934 में क्यूब्स से बना एक त्रिकोण "ओपस 1" बनाया, और कुछ साल बाद - "ओपस 2 बी", जिसमें क्यूब्स की संख्या कम हो गई थी। कलाकार खुद नोट करता है कि आंकड़ों के विकास में सबसे मूल्यवान है, जिसे उन्होंने वापस लिया स्कूल वर्ष, यह स्वयं चित्रों का निर्माण नहीं है जिस पर विचार किया जाना चाहिए, बल्कि यह समझने की क्षमता है कि जो खींचा गया है वह विरोधाभासी है और यूक्लिडियन ज्यामिति के नियमों के विपरीत है।

मेरा पहला असंभव आंकड़ा संयोग से तब सामने आया जब मैं 1934 में था अंतिम ग्रेडलैटिन व्याकरण की पाठ्यपुस्तक में "चिरकल" पाठ में व्यायामशाला, इसमें ज्यामितीय आंकड़े खींचना।

ऑस्कर रूट्सवर्ड "असंभव आंकड़े"

बीसवीं शताब्दी के 50 के दशक में, ब्रिटिश गणितज्ञ रोजर पेनरोज़ द्वारा एक लेख प्रकाशित किया गया था, जो एक विमान पर चित्रित स्थानिक रूपों की धारणा की ख़ासियत को समर्पित था। लेख ब्रिटिश जर्नल ऑफ साइकोलॉजी में प्रकाशित हुआ था, जो असंभव आंकड़ों के सार के बारे में बहुत कुछ कहता है। उनमें मुख्य बात विरोधाभासी ज्यामिति भी नहीं है, लेकिन हमारा दिमाग ऐसी घटनाओं को कैसे मानता है। आमतौर पर यह पता लगाने में कुछ सेकंड लगते हैं कि आकृति के साथ "गलत" क्या है।

Rozhdest Penrose के लिए धन्यवाद, इन आंकड़ों को विज्ञान के दृष्टिकोण से विशेष टोपोलॉजिकल विशेषताओं वाली वस्तुओं के रूप में देखा गया था। ऑस्ट्रेलियाई मूर्तिकला, जिसकी चर्चा ऊपर की गई थी, न्यायसंगत है असंभव त्रिकोणपेनरोज़, जिसमें सभी घटक वास्तविक हैं, लेकिन चित्र उस अखंडता को नहीं जोड़ता है जो त्रि-आयामी दुनिया में मौजूद हो सकती है। पेनरोज़ त्रिभुज झूठे दृष्टिकोण से भ्रामक है।

रहस्यमय आंकड़े भौतिकविदों और गणितज्ञों और कलाकारों के लिए प्रेरणा का स्रोत बन गए हैं। पेनरोज़ के लेख से प्रेरित होकर, ग्राफिक कलाकार मौरिट्स एस्चर ने कई लिथोग्राफ बनाए, जिसने उन्हें एक भ्रमवादी कलाकार के रूप में प्रसिद्धि दिलाई, और बाद में विमान पर स्थानिक विकृतियों के साथ प्रयोग करना जारी रखा।

असंभव कांटा

एक असंभव त्रिशूल, ब्लवेट या यहां तक ​​कि, जैसा कि इसे "शैतान का कांटा" भी कहा जाता है, एक आकृति है जिसके एक छोर पर तीन गोल दांत होते हैं और दूसरे पर आयताकार होते हैं। यह पता चलता है कि वस्तु दाएं और बाएं तरफ बिल्कुल सामान्य है, लेकिन परिसर पागलपन का एक रूप बन जाता है।

यह प्रभाव इस तथ्य के कारण प्राप्त होता है कि स्पष्ट रूप से यह कहना मुश्किल है कि अग्रभूमि कहाँ है और पृष्ठभूमि कहाँ है।

अपरिमेय घन

एक असंभव घन (उर्फ "एस्चर का घन") मौरिट्स एस्चर "बेल्वेडियर" के लिथोग्राफ पर दिखाई दिया। ऐसा लगता है कि अपने अस्तित्व से ही यह घन सभी बुनियादी ज्यामितीय नियमों का उल्लंघन करता है। उत्तर, हमेशा की तरह असंभव आंकड़ों के साथ, काफी सरल है: मनुष्य की आंखद्वि-आयामी छवियों को त्रि-आयामी वस्तुओं के रूप में देखना आम बात है।

इस बीच, तीन आयामों में, एक असंभव घन इस तरह दिखेगा और एक निश्चित बिंदु से ऊपर की तस्वीर जैसा ही प्रतीत होगा।

असंभव आंकड़े मनोवैज्ञानिकों, संज्ञानात्मक वैज्ञानिकों और विकासवादी जीवविज्ञानियों के लिए बहुत रुचि रखते हैं, जो हमारी दृष्टि और स्थानिक सोच के बारे में अधिक जानने में मदद करते हैं। आज, कंप्यूटर प्रौद्योगिकी, आभासी वास्तविकता और प्रक्षेपण संभावनाओं का विस्तार कर रहे हैं ताकि परस्पर विरोधी वस्तुओं को नए सिरे से देखा जा सके।

के अलावा क्लासिक उदाहरणजैसा कि हमने उद्धृत किया है, असंभव आंकड़ों के लिए कई अन्य विकल्प हैं, और कलाकार और गणितज्ञ अधिक से अधिक विरोधाभासी विकल्पों के साथ आते हैं। मूर्तिकार और आर्किटेक्ट ऐसे समाधानों का उपयोग करते हैं जो अविश्वसनीय लग सकते हैं, हालांकि उनकी उपस्थिति दर्शकों की टकटकी की दिशा पर निर्भर करती है (जैसा कि एस्चर ने वादा किया था - सापेक्षता!)।

वॉल्यूमेट्रिक असंभवताएं पैदा करने में खुद को आजमाने के लिए आपको एक पेशेवर वास्तुकार होने की आवश्यकता नहीं है। ओरिगेमी असंभव आंकड़े हैं - आप इसे घर पर एक रिक्त स्थान डाउनलोड करके दोहरा सकते हैं।

उपयोगी संसाधन

• असंभव दुनिया - रूसी और अंग्रेजी में संसाधन प्रसिद्ध चित्र, अविश्वसनीय के आत्म-निर्माण के लिए असंभव आंकड़े और कार्यक्रमों के सैकड़ों उदाहरण।
• एम.सी. एस्चर - एम.के. की आधिकारिक वेबसाइट। एस्चर, एमसी एस्चर कंपनी (अंग्रेजी और डच) द्वारा स्थापित।
• - कलाकार के काम, लेख, जीवनी (रूसी)।

एक असंभव आकृति ऑप्टिकल भ्रम के प्रकारों में से एक है, एक ऐसा आंकड़ा जो पहली नज़र में एक साधारण त्रि-आयामी वस्तु का प्रक्षेपण प्रतीत होता है,

बारीकी से जांच करने पर, आकृति के तत्वों के परस्पर विरोधी संबंध दिखाई देते हैं। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में ऐसी आकृति के अस्तित्व की असंभवता का भ्रम पैदा होता है।

असंभव आंकड़े

सबसे प्रसिद्ध असंभव आंकड़े असंभव त्रिकोण, अंतहीन सीढ़ियां और असंभव त्रिशूल हैं।

असंभव पेरोस त्रिकोण

रॉयटर्सवार्ड इल्यूजन (रॉयटर्सवार्ड, 1934)

यह भी ध्यान दें कि फिगर-ग्राउंड संगठन में बदलाव ने केंद्र में स्थित "स्टार" को देखना संभव बना दिया है।
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एस्चर का असंभव घन

वास्तव में, सभी असंभव आंकड़े मौजूद हो सकते हैं असली दुनिया... तो, कागज पर खींची गई सभी वस्तुएं त्रि-आयामी वस्तुओं के प्रक्षेपण हैं, इसलिए, आप ऐसी त्रि-आयामी वस्तु बना सकते हैं, जो एक विमान पर प्रक्षेपित होने पर असंभव लगेगी। ऐसी वस्तु को एक निश्चित बिंदु से देखने पर यह असंभव भी लगेगा, लेकिन किसी अन्य बिंदु से देखने पर असंभवता का प्रभाव समाप्त हो जाएगा।

एक असंभव त्रिकोण की 13 मीटर की एल्यूमीनियम की मूर्ति 1999 में पर्थ (ऑस्ट्रेलिया) शहर में बनाई गई थी। यहाँ असंभव त्रिभुज को उसके सबसे सामान्य रूप में दर्शाया गया है - in तीन का रूपबीम एक दूसरे से समकोण पर जुड़े हुए हैं।

गोड्डम फोर्क
सभी असंभव आकृतियों में, असंभव त्रिशूल ("शैतान का कांटा") एक विशेष स्थान रखता है।

यदि आप इसे अपने हाथ से बंद करते हैं दाईं ओरत्रिशूल, तो हम काफी देखेंगे असली तस्वीर- तीन गोल दांत। यदि हम त्रिशूल के निचले हिस्से को बंद कर दें, तो हमें एक वास्तविक चित्र भी दिखाई देगा - दो आयताकार दांत। लेकिन, अगर हम पूरी आकृति पर विचार करें, तो यह पता चलता है कि तीन गोल दांत धीरे-धीरे दो आयताकार में बदल जाते हैं।

इस प्रकार, आप देख सकते हैं कि इस चित्र की अग्रभूमि और पृष्ठभूमि परस्पर विरोधी हैं। यानी, मूल रूप से क्या था अग्रभूमिवापस चला जाता है, और पृष्ठभूमि (मध्य दांत) आगे निकल आती है। अग्रभूमि और पृष्ठभूमि को बदलने के अलावा, इस आकृति का एक और प्रभाव है - त्रिशूल के दाईं ओर के सपाट किनारे बाईं ओर गोल हो जाते हैं।

असंभव प्रभाव इस तथ्य के कारण प्राप्त होता है कि हमारा मस्तिष्क आकृति के समोच्च का विश्लेषण करता है और दांतों की संख्या गिनने की कोशिश करता है। मस्तिष्क चित्र के बाईं और दाईं ओर की आकृति में दांतों की संख्या की तुलना करता है, जिससे आकृति असंभव लगती है। यदि आकृति में दांतों की संख्या काफी अधिक थी (उदाहरण के लिए, 7 या 8), तो यह विरोधाभास कम स्पष्ट होगा।

कुछ पुस्तकों का दावा है कि असंभव त्रिशूल असंभव आकृतियों के वर्ग से संबंधित है जिन्हें वास्तविक दुनिया में पुन: निर्मित नहीं किया जा सकता है। दरअसल, ऐसा नहीं है। सभी असंभव आंकड़े वास्तविक दुनिया में देखे जा सकते हैं, लेकिन वे केवल एक के साथ असंभव दिखेंगे एकमात्र बिंदुदृष्टि।

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असंभव हाथी


एक हाथी के कितने पैर होते हैं?

स्टैनफोर्ड के मनोवैज्ञानिक रोजर शेपर्ड ने असंभव हाथी की अपनी पेंटिंग के लिए त्रिशूल के विचार का इस्तेमाल किया।

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पेनरोज़ सीढ़ी(अंतहीन सीढ़ी, असंभव सीढ़ियां)

अंतहीन सीढ़ी "सबसे प्रसिद्ध क्लासिक असंभवताओं में से एक है।

यह एक सीढ़ी का ऐसा निर्माण है, जिसमें एक दिशा में आंदोलन के मामले में (लेख के आंकड़े में वामावर्त), एक व्यक्ति अंतहीन रूप से चढ़ेगा, और यदि विपरीत दिशा में आगे बढ़ता है, तो वह लगातार उतरेगा।

दूसरे शब्दों में, हमारे सामने एक सीढ़ी दिखाई देती है, आगे बढ़ती है, ऊपर या नीचे लगती है, लेकिन साथ ही उस पर चलने वाला व्यक्ति नहीं उठता या गिरता नहीं है। अपना दृश्य मार्ग पूरा करने के बाद, वह पथ की शुरुआत में होगा। यदि आपको वास्तव में इन सीढ़ियों से ऊपर जाना होता, तो आप लक्ष्यहीन होकर उस पर अनंत बार चढ़ते और उतरते। आप इसे अंतहीन Sisyphean श्रम कह सकते हैं!

चूंकि पेनरोस ने इस आंकड़े को प्रकाशित किया है, यह किसी भी अन्य असंभव वस्तु की तुलना में अधिक बार प्रिंट में दिखाई देता है। अंतहीन सीढ़ी खेल, पहेली, भ्रम, मनोविज्ञान पाठ्यपुस्तकों और अन्य विषयों के बारे में पुस्तकों में पाई जा सकती है।

"चढ़ाई और उतरना"

"एंडलेस लैडर" "का उपयोग कलाकार मौरिट्स के। एस्चर द्वारा सफलतापूर्वक किया गया था, इस बार उनके करामाती लिथोग्राफ" एसेंट एंड डिसेंट "में, 1960 में बनाया गया था।
इस चित्र में, पेनरोज़ की आकृति की सभी संभावनाओं को दर्शाते हुए, काफी पहचानने योग्य अंतहीन सीढ़ी को बड़े करीने से मठ की छत में अंकित किया गया है। हुड वाले भिक्षु लगातार दक्षिणावर्त और वामावर्त दिशा में सीढ़ियों पर चढ़ते हैं। वे एक दूसरे की ओर एक असंभव रास्ते पर चलते हैं। वे कभी ऊपर या नीचे जाने का प्रबंधन नहीं करते हैं।

तदनुसार, "अंतहीन सीढ़ी" अधिक बार एस्चर के साथ जुड़ी हुई थी, जिसने इसे पेनरोज़ की तुलना में फिर से खींचा, जिसने इसका आविष्कार किया था।

कितनी अलमारियां हैं?

दरवाजा कहाँ खुला है?

बाहर या भीतर?

असंभव आंकड़े कभी-कभी अतीत के उस्तादों के कैनवस पर दिखाई देते हैं, उदाहरण के लिए, पीटर ब्रूगल (द एल्डर) की पेंटिंग में ऐसा फांसी है
"मैगपाई ऑन द फाँसी" (1568)

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असंभव मेहराब

जोस डी मे - फ्लेमिश कलाकार, रॉयल अकादमी में प्रशिक्षित ललित कलागेन्ट (बेल्जियम) में और फिर 39 वर्षों तक छात्रों को इंटीरियर डिजाइन और रंग सिखाया। 1968 से, ड्राइंग उनके ध्यान का केंद्र बन गया है। उन्हें असंभव संरचनाओं के अपने सूक्ष्म और यथार्थवादी प्रतिपादन के लिए जाना जाता है।

कलाकार मौरिस एस्चर के कार्यों में सबसे प्रसिद्ध असंभव आंकड़े हैं। इस तरह के चित्र पर विचार करते समय, प्रत्येक व्यक्तिगत विवरण काफी प्रशंसनीय लगता है, लेकिन जब रेखा का पता लगाने की कोशिश की जाती है, तो यह पता चलता है कि यह रेखा, उदाहरण के लिए, दीवार का बाहरी कोना नहीं है, बल्कि आंतरिक है।

"सापेक्षता"

यह लिथोग्राफ डच कलाकारएस्चर पहली बार 1953 में प्रकाशित हुआ था।

लिथोग्राफ एक विरोधाभासी दुनिया को दर्शाता है जिसमें वास्तविकता के नियम लागू नहीं होते हैं। एक दुनिया में तीन वास्तविकताएं एकजुट होती हैं, तीन गुरुत्वाकर्षण बल एक दूसरे के लंबवत निर्देशित होते हैं।

एक वास्तुशिल्प संरचना बनाई गई है, वास्तविकताएं सीढ़ियों से एकजुट होती हैं। इस दुनिया में रहने वाले लोगों के लिए, लेकिन वास्तविकता के विभिन्न विमानों में, एक ही सीढ़ी को ऊपर या नीचे निर्देशित किया जाएगा।

"झरना"

डच कलाकार एस्चर का यह लिथोग्राफ पहली बार अक्टूबर 1961 में छपा था।

एस्चर के इस काम में, एक विरोधाभास को दर्शाया गया है - एक झरने का गिरता पानी एक पहिया चलाता है जो पानी को झरने के शीर्ष पर ले जाता है। झरने में "असंभव" पेनरोज़ त्रिकोण की संरचना है: लिथोग्राफ ब्रिटिश जर्नल ऑफ साइकोलॉजी में एक लेख के आधार पर बनाया गया था।

संरचना तीन क्रॉसबार से बनी है, जो एक दूसरे के ऊपर समकोण पर रखी गई हैं। लिथोग्राफी में झरना एक सतत गति मशीन की तरह काम करता है। ऐसा भी लगता है कि दोनों मीनारें एक जैसी हैं; वास्तव में, जो दायीं ओर है वह बायें मीनार के नीचे एक मंजिल है।

खैर, और अधिक आधुनिक कार्य: ओ)
अंतहीन फोटोग्राफी

अद्भुत निर्माण

शतरंज बोर्ड

उलटे चित्र

आप क्या देखते हैं: शिकार के साथ एक विशाल कौवा या नाव में मछुआरा, मछली और पेड़ों वाला एक द्वीप?

रासपुतिन और स्टालिन

यौवन और बुढ़ापा

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कुलीन और रानी

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गुस्सा और मीरा

उम्मीदवार तकनीकी विज्ञान D. RAKOV (A. A. Blagonravov Institute of Mechanical Engineering, RAS)।

छवियों का एक बड़ा वर्ग है जिसके बारे में कोई कह सकता है: "हम क्या देखते हैं? कुछ अजीब।" ये एक विकृत परिप्रेक्ष्य के साथ चित्र हैं, और ऐसी वस्तुएं जो हमारी त्रि-आयामी दुनिया में असंभव हैं, और पूरी तरह से वास्तविक वस्तुओं के अकल्पनीय संयोजन हैं। 11वीं शताब्दी की शुरुआत में दिखाई देने वाले ऐसे "अजीब" चित्र और तस्वीरें आज कला का एक संपूर्ण क्षेत्र बन गए हैं, जिसे इम्-आर्ट कहा जाता है।

विलियम होगार्ड। "असंभव परिप्रेक्ष्य", जहां परिप्रेक्ष्य में कम से कम चौदह गलतियां जानबूझकर की जाती हैं।

मैडोना एंड चाइल्ड। 1025 वर्ष।

पीटर ब्रूगल। "फांसी पर मैगपाई"। 1568 वर्ष।

ऑस्कर रूट्सवर्ड। "ओपस 1" (# 293aa)। 1934 वर्ष।

ऑस्कर रूट्सवर्ड। "ओपस 2 बी"। 1940 वर्ष।

मॉरीशस कॉर्नेलियस एस्चर। "चढ़ाई और उतरना"।

रोजर पेनरोज़। "असंभव त्रिकोण"। 1954 वर्ष।

"असंभव त्रिकोण" का निर्माण।

मूर्तिकला "असंभव त्रिभुज", से देखें विभिन्न पक्ष... यह घुमावदार तत्वों से बना है और केवल एक बिंदु से असंभव दिखता है।

अंजीर। 1. रूपात्मक वर्गीकरण तालिका असंभव वस्तु.

व्यक्ति निचले बाएं कोने (1) से चित्र का निरीक्षण करना शुरू करता है, फिर पहले मध्य (2) और फिर बिंदु 3 को देखता है।

हम जिस दिशा में देखते हैं, उसके आधार पर हम विभिन्न वस्तुओं को देखते हैं।

असंभव वर्णमाला संभव और असंभव आकृतियों का एक संयोजन है, जिसके बीच एक फ्रेम तत्व भी होता है। लेखक द्वारा ड्राइंग।

विज्ञान और जीवन // चित्र

"मास्को" (मेट्रो लाइन योजना) और "भाग्य की दो रेखाएं"। लेखक द्वारा चित्र; कंप्यूटर प्रसंस्करण। 2003 वर्ष। आंकड़े आरेखों और आलेखों के निर्माण की नई संभावनाओं को दर्शाते हैं।

विज्ञान और जीवन // चित्र

घन में घन ("तीन घोंघे")। घुमाई गई छवि है अधिकमूल की तुलना में "असंभव"।

"लानत कांटा।" इस आकृति के आधार पर कई असंभव चित्र बनाए गए हैं।

हम क्या देखते हैं - एक पिरामिड या एक उद्घाटन?

इतिहास का हिस्सा

विकृत दृष्टिकोण वाली पेंटिंग पहली सहस्राब्दी की शुरुआत में ही पाई जाती हैं। हेनरी द्वितीय की पुस्तक से एक लघु पर, 1025 से पहले बनाया गया और बवेरियन में संग्रहीत किया गया राज्य पुस्तकालयम्यूनिख में, मैडोना एंड चाइल्ड द्वारा चित्रित। पेंटिंग में तीन स्तंभों से युक्त एक तिजोरी को दर्शाया गया है, और मध्य स्तंभ, परिप्रेक्ष्य के नियमों के अनुसार, मैडोना के सामने स्थित होना चाहिए, लेकिन उसके पीछे है, जो पेंटिंग को अतियथार्थवाद का प्रभाव देता है। दुर्भाग्य से, हम कभी नहीं जान पाएंगे कि यह तकनीक कलाकार का सचेत कार्य था या उसकी गलती।

असंभव आकृतियों की छवियां, पेंटिंग में एक सचेत दिशा के रूप में नहीं, बल्कि उन तकनीकों के रूप में जो छवि की धारणा के प्रभाव को बढ़ाती हैं, मध्य युग के कई चित्रकारों में पाई जाती हैं। पीटर ब्रेघेल द्वारा कैनवास पर, "द मैगपाई ऑन द गैलोज़", 1568 में बनाया गया, एक असंभव डिजाइन का फांसी दिखाई देता है, जो पूरी तस्वीर को समग्र रूप से प्रभाव देता है। एक प्रसिद्ध उत्कीर्णन पर अंग्रेजी कलाकार 18वीं सदी के विलियम होगार्थ "फेक पर्सपेक्टिव" से पता चलता है कि एक कलाकार परिप्रेक्ष्य के नियमों की अज्ञानता को कितना बेतुका बना सकता है।

20 वीं शताब्दी की शुरुआत में, कलाकार मार्सेल डुचैम्प ने एक विज्ञापन पेंटिंग "एपोलिनेरे एनामेल्ड" (1916-1917) चित्रित की, जिसे कला के फिलाडेल्फिया संग्रहालय में रखा गया है। बिस्तर के डिजाइन में, कैनवास पर असंभव त्रिकोण और चतुर्भुज देखे जा सकते हैं।

स्वीडिश कलाकार ऑस्कर रॉयटर्सवर्ड को असंभव कला की दिशा का संस्थापक कहा जाता है - इंप-आर्ट, असंभव कला। पहला असंभव आंकड़ा "ओपस 1" (एन 293एए) 1934 में मास्टर द्वारा तैयार किया गया था। त्रिभुज नौ घनों से बना है। कलाकार ने असामान्य वस्तुओं के साथ अपने प्रयोग जारी रखे और 1940 में "ओपस 2 बी" आकृति बनाई, जो केवल तीन क्यूब्स से मिलकर एक कम असंभव त्रिकोण है। सभी घन वास्तविक हैं, लेकिन त्रि-आयामी अंतरिक्ष में उनकी व्यवस्था असंभव है।

उसी कलाकार ने "असंभव सीढ़ी" (1950) का प्रोटोटाइप बनाया। सबसे प्रसिद्ध शास्त्रीय आकृति "असंभव त्रिभुज" को अंग्रेजी गणितज्ञ रोजर पेनरोज़ ने 1954 में बनाया था। उसने इस्तेमाल किया रेखीय परिदृश्य, और समानांतर नहीं, रूट्सवर्ड की तरह, जिसने तस्वीर को गहराई और अभिव्यक्ति दी और इसलिए, असंभवता की एक बड़ी डिग्री।

अधिकांश प्रसिद्ध कलाकारछोटा सा भूत एम. सी. एस्चर था। उनकी सबसे प्रसिद्ध कृतियों में "वाटरफॉल" (1961) और "आरोही और अवरोही" पेंटिंग हैं। कलाकार ने रूट्सवर्ड द्वारा खोजे गए "अंतहीन सीढ़ी" प्रभाव का उपयोग किया और पेनरोज़ द्वारा आगे बढ़ाया। कैनवास पुरुषों की दो पंक्तियों को दर्शाता है: दक्षिणावर्त चलते समय, पुरुष लगातार उठते हैं, और जब वामावर्त चलते हैं, तो वे उतरते हैं।

थोड़ा सा ज्यामिति

ऑप्टिकल भ्रम पैदा करने के कई तरीके हैं (से लैटिन शब्द"इलियसियो" - त्रुटि, भ्रम - वस्तु और उसके गुणों की अपर्याप्त धारणा)। असंभव आंकड़ों की छवियों के आधार पर, सबसे प्रभावी में से एक है इम्-आर्ट की दिशा। असंभव वस्तुएं एक विमान (दो-आयामी छवियों) पर चित्र हैं, जिन्हें इस तरह से निष्पादित किया जाता है कि दर्शक को यह आभास हो जाता है कि ऐसी संरचना हमारी वास्तविक त्रि-आयामी दुनिया में मौजूद नहीं हो सकती है। शास्त्रीय, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, और इस तरह के सबसे सरल आंकड़ों में से एक असंभव त्रिकोण है। आकृति का प्रत्येक भाग (त्रिभुज के कोण) हमारी दुनिया में अलग-अलग मौजूद है, लेकिन त्रि-आयामी अंतरिक्ष में उनका संयोजन असंभव है। अपने वास्तविक भागों के बीच अनियमित संबंधों की संरचना के रूप में संपूर्ण आकृति की धारणा असंभव संरचना के भ्रामक प्रभाव की ओर ले जाती है। टकटकी एक असंभव आकृति के किनारों के साथ स्लाइड करती है और इसे तार्किक रूप से देखने में असमर्थ है। वास्तव में, नज़र वास्तविक त्रि-आयामी संरचना (आंकड़ा देखें) के पुनर्निर्माण की कोशिश कर रही है, लेकिन यह एक विसंगति का सामना करती है।

साथ ज्यामितीय बिंदुदेखने की दृष्टि से, एक त्रिभुज की असंभवता इस तथ्य में निहित है कि तीन बीम, जो एक दूसरे से जोड़े में जुड़े हुए हैं, लेकिन कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के तीन अलग-अलग अक्षों के साथ, एक बंद आकृति बनाते हैं!

असंभव वस्तुओं की धारणा की प्रक्रिया को दो चरणों में विभाजित किया गया है: एक त्रि-आयामी वस्तु के रूप में आकृति की मान्यता और वस्तु की "गलतता" की प्राप्ति और त्रि-आयामी दुनिया में इसके अस्तित्व की असंभवता।

असंभव आंकड़ों का अस्तित्व

बहुत से लोग मानते हैं कि असंभव आंकड़े वास्तव में असंभव हैं और वास्तविक दुनिया में नहीं बनाए जा सकते हैं। लेकिन हमें यह याद रखना चाहिए कि कागज की शीट पर कोई भी चित्र त्रि-आयामी आकृति का प्रक्षेपण है। इसलिए, कागज के एक टुकड़े पर खींची गई कोई भी आकृति 3डी स्पेस में मौजूद होनी चाहिए। चित्रों में असंभव वस्तुएं त्रि-आयामी वस्तुओं के अनुमान हैं, जिसका अर्थ है कि वस्तुओं को रूप में महसूस किया जा सकता है मूर्तिकला रचनाएं(तीन आयामी वस्तुएं)। इन्हें बनाने के कई तरीके हैं। उनमें से एक असंभव त्रिभुज की भुजाओं के रूप में घुमावदार रेखाओं का उपयोग कर रहा है। बनाई गई मूर्ति केवल एक बिंदु से असंभव लगती है। इस बिंदु से, घुमावदार पक्ष सीधे दिखते हैं, और लक्ष्य प्राप्त किया जाएगा - एक वास्तविक "असंभव" वस्तु बनाई जाती है।

imp-art . के लाभों के बारे में

ऑस्कर रूट्सवर्ड ने मनोचिकित्सा के लिए इम्-आर्ट ड्रॉइंग के उपयोग के बारे में "ओमोजलिगा फिगर" (रूसी अनुवाद उपलब्ध) पुस्तक में बात की। वह लिखते हैं कि चित्र, उनके विरोधाभासों के साथ, आश्चर्य, ध्यान तेज करते हैं और समझने की इच्छा पैदा करते हैं। स्वीडन में, उनका उपयोग दंत चिकित्सा पद्धति में किया जाता है: प्रतीक्षा कक्ष में चित्रों को देखकर, रोगी दंत चिकित्सक के कार्यालय के सामने अप्रिय विचारों से विचलित हो जाते हैं। विभिन्न रूसी नौकरशाही और अन्य संस्थानों में रिसेप्शन के लिए कितने समय तक इंतजार करना पड़ता है, यह याद करते हुए, यह माना जा सकता है कि रिसेप्शन रूम की दीवारों पर असंभव पेंटिंग प्रतीक्षा समय को उज्ज्वल कर सकती हैं, आगंतुकों को शांत कर सकती हैं और इस तरह सामाजिक आक्रामकता को कम कर सकती हैं। एक अन्य विकल्प स्लॉट मशीनों को स्थापित करना होगा या, उदाहरण के लिए, प्राप्त करने वाली मशीनों में डार्ट्स के लक्ष्य के रूप में संबंधित चेहरों के साथ डमी, लेकिन, दुर्भाग्य से, रूस में इस तरह के नवाचारों को कभी प्रोत्साहित नहीं किया गया है।

धारणा की घटना का उपयोग करना

क्या असंभवता के प्रभाव को बढ़ाने का कोई तरीका है? क्या कुछ वस्तुएं दूसरों की तुलना में "अधिक असंभव" हैं? और यहां मानवीय धारणा की विशेषताएं बचाव में आती हैं। मनोवैज्ञानिकों ने पाया है कि आंख निचले बाएं कोने से वस्तु (चित्र) का निरीक्षण करना शुरू करती है, फिर टकटकी केंद्र की ओर दाईं ओर खिसकती है और चित्र के निचले दाएं कोने में जाती है। ऐसा प्रक्षेपवक्र इस तथ्य के कारण हो सकता है कि हमारे पूर्वजों ने, दुश्मन से मिलते समय, सबसे पहले सबसे खतरनाक देखा दायाँ हाथ, और फिर टकटकी बाईं ओर, चेहरे और आकृति पर चली गई। इस प्रकार, कलात्मक धारणायह काफी हद तक इस बात पर निर्भर करेगा कि चित्र की संरचना कैसे बनाई गई है। मध्य युग में यह विशेषता टेपेस्ट्री के निर्माण में स्पष्ट रूप से प्रकट हुई थी: उनका चित्र था दर्पण छविमूल, और टेपेस्ट्री और मूल द्वारा निर्मित छाप अलग है।

असंभव वस्तुओं के साथ रचनाएं बनाते समय, "असंभवता की डिग्री" को बढ़ाने या घटाने के दौरान इस संपत्ति का सफलतापूर्वक उपयोग किया जा सकता है। यह कंप्यूटर प्रौद्योगिकी का उपयोग करके दिलचस्प रचनाएँ प्राप्त करने की संभावना को भी खोलता है या कई चित्रों से घुमाया जाता है (शायद विभिन्न प्रकार की समरूपता का उपयोग करके) एक दूसरे के सापेक्ष, वस्तु की एक अलग छाप पैदा करता है और अवधारणा के सार की गहरी समझ पैदा करता है। दर्शकों, या एक घूर्णन से (लगातार या झटके में) कुछ कोणों पर एक साधारण तंत्र का उपयोग करके।

इस दिशा को बहुभुज (बहुभुज) कहा जा सकता है। चित्र एक दूसरे के सापेक्ष घुमाए गए चित्र दिखाते हैं। रचना इस प्रकार बनाई गई थी: कागज पर एक चित्र, स्याही और पेंसिल में बनाया गया था, एक ग्राफिक संपादक में स्कैन, डिजीटल और संसाधित किया गया था। एक नियमितता को नोट करना संभव है - घुमाए गए चित्र में मूल की तुलना में अधिक "असंभवता की डिग्री" है। यह आसानी से समझाया गया है: काम की प्रक्रिया में कलाकार अवचेतन रूप से एक "सही" छवि बनाना चाहता है।

संयोजन, संयोजन

असंभव वस्तुओं का एक समूह है, जिसकी मूर्तिकला की प्राप्ति असंभव है। शायद उनमें से सबसे प्रसिद्ध "असंभव त्रिशूल" या "शैतान का कांटा" (P3-1) है। यदि आप वस्तु को करीब से देखते हैं, तो आप देखेंगे कि तीन शूल धीरे-धीरे एक सामान्य आधार पर दो में बदल जाते हैं, जिससे धारणा का टकराव होता है। हम ऊपर और नीचे दांतों की संख्या की तुलना करते हैं और इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि वस्तु असंभव है। "कांटा" के आधार पर कई तरह की असंभव वस्तुएं बनाई गई हैं, जिनमें वे भी शामिल हैं जहां एक छोर पर एक बेलनाकार हिस्सा दूसरे पर चौकोर हो जाता है।

इस भ्रम के अतिरिक्त और भी कई प्रकार हैं। दृष्टि संबंधी भ्रमदृष्टि (आकार, गति, रंग, आदि के भ्रम)। गहराई की धारणा का भ्रम सबसे पुराने और सबसे प्रसिद्ध ऑप्टिकल भ्रमों में से एक है। इस समूह में नेकर क्यूब (1832) शामिल है, और 1895 में आर्मंड थियरी ने . के बारे में एक लेख प्रकाशित किया विशेष रूपअसंभव आंकड़े। यह लेख एक ऐसी वस्तु को आकर्षित करने वाला पहला लेख है जिसे बाद में थियरी नाम मिला और इसे ऑप-आर्ट कलाकारों द्वारा अनगिनत बार इस्तेमाल किया गया। वस्तु में 60 और 120 डिग्री के पक्षों के साथ पांच समान समचतुर्भुज होते हैं। आकृति में, आप दो घनों को एक सतह से जुड़े हुए देख सकते हैं। यदि आप नीचे से ऊपर की ओर देखते हैं, तो आप शीर्ष पर दो दीवारों के साथ निचला घन स्पष्ट रूप से देख सकते हैं, और यदि आप ऊपर से नीचे देखते हैं, तो नीचे की दीवारों के साथ ऊपरी घन।

सबसे सरल थियरी जैसी आकृति, जाहिरा तौर पर, "पिरामिड-ओपनिंग" भ्रम है, जो बीच में एक रेखा के साथ एक नियमित समचतुर्भुज है। यह कहना असंभव है कि हम क्या देखते हैं - सतह से ऊपर एक पिरामिड, या उस पर एक उद्घाटन (अवसाद)। इस आशय का उपयोग 2003 "भूलभुलैया (पिरामिड योजना)" ग्राफिक में किया गया है। पेंटिंग ने 2003 में बुडापेस्ट में अंतर्राष्ट्रीय गणितीय सम्मेलन और प्रदर्शनी में डिप्लोमा प्राप्त किया "Ars (Dis) Symmetrica" ​​03। काम गहराई की धारणा और असंभव आंकड़ों के भ्रम के संयोजन का उपयोग करता है।

निष्कर्ष रूप में हम कह सकते हैं कि इम्-आर्ट की दिशा इस प्रकार है अवयवऑप्टिकल कला सक्रिय रूप से विकसित हो रही है, और निकट भविष्य में हम निस्संदेह इस क्षेत्र में नई खोजों की उम्मीद करेंगे।

साहित्य

रूट्सवर्ड ओ। असंभव आंकड़े। - एम।: स्ट्रोइज़्डैट, 1990।

चित्रण कैप्शन

अंजीर। 1. लेख के लेखक द्वारा निर्मित तालिका पूर्ण होने का दावा नहीं करती है और सख्त आदेश, लेकिन असंभव आंकड़ों की पूरी विविधता की सराहना करना संभव बनाता है। तालिका में विभिन्न तत्वों के 300 हजार से अधिक संयोजन हैं। लेख के लेखक के ग्राफिक्स और व्लाद अलेक्सेव की साइट से सामग्री को चित्रण के रूप में इस्तेमाल किया गया था।

परिचय …………………………………………………………………………… ..2

मुख्य हिस्सा। असंभव आंकड़े ………………. ………………………… 4

2.1. थोड़ा सा इतिहास ………………………………………………………… .4

2.2. असंभव अंकों के प्रकार …………………………………………… .6

2.3. ऑस्कर रदरस्वर्ड - एक असंभव व्यक्ति के पिता ……………………… ..11

2.4. असंभव आंकड़े संभव हैं! …………………………………… ..13

2.5. असंभव अंकों का अनुप्रयोग ……………………………………… 14

निष्कर्ष ……………………………………………………………………… ..15

ग्रन्थसूची………………………………………………………………16

परिचय

पिछले कुछ समय से, मुझे ऐसे आंकड़ों में दिलचस्पी है जो पहली नज़र में साधारण लगते हैं, और यदि आप बारीकी से देखते हैं, तो आप देख सकते हैं कि उनमें कुछ गड़बड़ है। मेरे लिए मुख्य रुचि तथाकथित असंभव आंकड़े थे, जिन्हें देखकर ऐसा लगता है कि वे वास्तविक दुनिया में मौजूद नहीं हो सकते। मैं उनके बारे में और जानना चाहता था।

"असंभव आंकड़ों की दुनिया" इनमें से एक है दिलचस्प विषय, जिसने बीसवीं शताब्दी की शुरुआत में ही अपना तेजी से विकास प्राप्त किया। हालाँकि, बहुत पहले, कई वैज्ञानिक और दार्शनिक इस मुद्दे से निपट चुके हैं। यहां तक ​​​​कि क्यूब, पिरामिड, समानांतर चतुर्भुज जैसे सरल त्रि-आयामी रूपों को पर्यवेक्षक की आंखों से अलग-अलग दूरी पर स्थित कई आंकड़ों के संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है। साथ ही, हमेशा एक रेखा होनी चाहिए जिसके साथ अलग-अलग हिस्सों की छवि पूरी तस्वीर में मिलती है।

"एक असंभव आकृति कागज पर बनी एक त्रि-आयामी वस्तु है जो वास्तविकता में मौजूद नहीं हो सकती है, लेकिन जिसे दो-आयामी छवि के रूप में देखा जा सकता है।" यह प्रकारों में से एक है दृष्टि भ्रम, एक आकृति जो पहली नज़र में एक साधारण त्रि-आयामी वस्तु का प्रक्षेपण प्रतीत होती है, जिसकी बारीकी से जांच करने पर, आकृति के तत्वों के परस्पर विरोधी संबंध दिखाई देते हैं। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में ऐसी आकृति के अस्तित्व की असंभवता का भ्रम पैदा होता है।

मेरे सामने सवाल उठा: "क्या वास्तविक दुनिया में असंभव आंकड़े हैं?"

परियोजना के उद्देश्य:

1. पता करेंकैसे बनाया गयाअवास्तविक आंकड़े दिखाई देते हैं।

2. एप्लिकेशन ढूंढेंअसंभव आंकड़े।

परियोजना के उद्देश्यों:

1. "असंभव आंकड़े" विषय पर साहित्य का अध्ययन करना।

2 एक वर्गीकरण बनाएंअसंभव आंकड़े।

3.पीअसंभव आंकड़े बनाने के तरीकों पर विचार करें।

4. बनाना असंभव हैआकृति।

मेरे काम का विषय प्रासंगिक है क्योंकि विरोधाभासों को समझना इस तरह के संकेतों में से एक है रचनात्मकतासर्वश्रेष्ठ गणितज्ञों, वैज्ञानिकों और कलाकारों के पास। अवास्तविक वस्तुओं के साथ कई कार्यों को "बौद्धिक" के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है गणित का खेल". अनुकरण एक दुनिया की तरहयह केवल गणितीय सूत्रों की सहायता से ही संभव है, कोई व्यक्ति इसकी कल्पना ही नहीं कर सकता। और असंभव आंकड़े स्थानिक कल्पना के विकास के लिए उपयोगी होते हैं। एक व्यक्ति मानसिक रूप से अथक रूप से अपने चारों ओर वह बनाता है जो उसके लिए सरल और समझने योग्य होगा। वह कल्पना भी नहीं कर सकता कि उसके आस-पास की कुछ वस्तुएं "असंभव" हो सकती हैं। वास्तव में, दुनिया एक है, लेकिन इसे विभिन्न कोणों से देखा जा सकता है।

असंभवआंकड़ों

इतिहास का हिस्सा

असंभव आंकड़े अक्सर प्राचीन नक्काशी, चित्रों और चिह्नों में पाए जाते हैं - कुछ मामलों में हमारे पास परिप्रेक्ष्य को व्यक्त करने में स्पष्ट त्रुटियां होती हैं, दूसरों में - कलात्मक इरादे के कारण जानबूझकर विकृतियों के साथ।

मध्ययुगीन जापानी और फारसी चित्रकला में, असंभव वस्तुएं प्राच्य कला का एक अभिन्न अंग हैं कलात्मक शैली, जो चित्र की केवल एक सामान्य रूपरेखा देता है, जिसका विवरण दर्शक को "अपनी पसंद के अनुसार" स्वयं सोचना पड़ता है। यहाँ हमारे सामने एक स्कूल है। हमारा ध्यान पृष्ठभूमि में स्थापत्य संरचना की ओर आकर्षित होता है, जिसकी ज्यामितीय असंगति स्पष्ट है। इसकी व्याख्या कमरे की भीतरी दीवार और इमारत की बाहरी दीवार दोनों के रूप में की जा सकती है, लेकिन ये दोनों व्याख्याएं गलत हैं, क्योंकि हम एक ऐसे विमान के साथ काम कर रहे हैं जो बाहरी और बाहरी दीवार दोनों है, यानी चित्र एक विशिष्ट असंभव वस्तु को दर्शाता है।

विकृत दृष्टिकोण वाली पेंटिंग पहली सहस्राब्दी की शुरुआत में ही पाई जाती हैं। हेनरी द्वितीय की पुस्तक से एक लघुचित्र, जिसे 1025 से पहले बनाया गया था और म्यूनिख में बवेरियन स्टेट लाइब्रेरी में रखा गया था, मैडोना और बाल को दर्शाता है। पेंटिंग में तीन स्तंभों से युक्त एक तिजोरी को दर्शाया गया है, और मध्य स्तंभ, परिप्रेक्ष्य के नियमों के अनुसार, मैडोना के सामने स्थित होना चाहिए, लेकिन उसके पीछे है, जो पेंटिंग को असत्य का प्रभाव देता है।

विचारोंअसंभव आंकड़े।

"असंभव आंकड़े" 4 समूहों में विभाजित हैं। तो पहला वाला:

अद्भुत त्रिभुज एक त्रि-पट्टी है।

यह आंकड़ा संभवतः प्रिंट में प्रकाशित होने वाली पहली असंभव वस्तु है। वह 1958 में दिखाई दीं। इसके लेखक, पिता और पुत्र लियोनेल और रोजर पेनरोज़, क्रमशः आनुवंशिकीविद् और गणितज्ञ, ने इस वस्तु को "त्रि-आयामी आयताकार संरचना" के रूप में परिभाषित किया। उसे "जनजाति" नाम भी मिला। पहली नज़र में, ट्राइबर सिर्फ एक समबाहु त्रिभुज प्रतीत होता है। लेकिन आकृति के शीर्ष पर अभिसरण करने वाली भुजाएँ लंबवत दिखाई देती हैं। वहीं, नीचे की ओर बाएँ और दाएँ किनारे भी लंबवत दिखाई देते हैं। यदि आप प्रत्येक विवरण को अलग-अलग देखते हैं, तो यह वास्तविक लगता है, लेकिन सामान्य तौर पर, यह आंकड़ा मौजूद नहीं हो सकता। यह विकृत नहीं है, लेकिन ड्राइंग करते समय सही तत्व सही ढंग से नहीं जुड़े थे।

असंभव आदिवासी-आधारित आकृतियों के कुछ और उदाहरण यहां दिए गए हैं।

अंतहीन सीढ़ी

इसके निर्माता के बाद इस आकृति को अक्सर "अंतहीन सीढ़ी", "अनन्त सीढ़ी" या "पेनरोज़ सीढ़ी" कहा जाता है। इसे "निरंतर आरोही और अवरोही पथ" भी कहा जाता है।

यह आंकड़ा पहली बार 1958 में प्रकाशित हुआ था। हमारे सामने एक सीढ़ी दिखाई देती है, आगे जाती है, ऊपर या नीचे लगती है, लेकिन साथ ही उस पर चलने वाला व्यक्ति न उठता है और न गिरता है। अपना दृश्य मार्ग पूरा करने के बाद, वह पथ की शुरुआत में होगा।

"अंतहीन सीढ़ी" का सफलतापूर्वक कलाकार मौरिट्स के। एस्चर द्वारा उपयोग किया गया था, इस बार 1960 में बनाए गए उनके लिथोग्राफ "एसेंट एंड डिसेंट" में।

चार या सात चरणों वाली सीढ़ी। इस आकृति को कई चरणों के साथ बनाने के लिए, लेखक सामान्य रेलवे स्लीपरों के एक समूह से प्रेरित हो सकता है। जब आप इस सीढ़ी पर चढ़ने वाले होते हैं, तो आपके सामने एक विकल्प होगा: चार या सात सीढ़ियां चढ़ना है या नहीं।

इस सीढ़ी के रचनाकारों ने समान दूरी पर ब्लॉक के अंतिम भागों को डिजाइन करने के लिए समानांतर रेखाओं का लाभ उठाया; भ्रम में फिट होने के लिए कुछ ब्लॉक मुड़े हुए प्रतीत होते हैं।

अंतरिक्ष प्लग।

सामान्य नाम "स्पेस फोर्क" के तहत आंकड़ों का अगला समूह। इस आंकड़े के साथ, हम असंभव के मूल और सार में प्रवेश करते हैं। शायद यह असंभव वस्तुओं का सबसे असंख्य वर्ग है।

1964 में तीन (या दो?) प्रोंग के साथ यह कुख्यात असंभव वस्तु इंजीनियरों और पहेली उत्साही लोगों के साथ लोकप्रिय हो गई। असामान्य आकृति को समर्पित पहला प्रकाशन दिसंबर 1964 में सामने आया। लेखक ने इसे "द ब्रेस कंसिस्टिंग ऑफ थ्री एलिमेंट्स" कहा।

व्यवहारिक दृष्टि से यह विचित्र त्रिशूल या कोष्ठक के रूप में तंत्र बिल्कुल अनुपयुक्त है। कुछ इसे सिर्फ "कष्टप्रद गलती" कहते हैं। एयरोस्पेस उद्योग के प्रतिनिधियों में से एक ने एक अंतर-आयामी अंतरिक्ष ट्यूनिंग कांटा के डिजाइन में इसके गुणों का उपयोग करने का सुझाव दिया।

असंभव बक्से

फोटोग्राफर डॉ. चार्ल्स एफ. कोचरन के मूल प्रयोगों के परिणामस्वरूप 1966 में शिकागो में एक और असंभव वस्तु दिखाई दी। असंभव आंकड़ों के कई प्रशंसकों ने क्रेजी बॉक्स के साथ प्रयोग किया है। लेखक ने मूल रूप से इसे "फ्री बॉक्स" कहा और कहा कि इसे "बड़ी संख्या में असंभव वस्तुओं को भेजने के लिए डिज़ाइन किया गया था।"

"क्रेजी बॉक्स" एक घन फ्रेम है जो अंदर से बाहर निकला है। "क्रेज़ी बॉक्स" का तत्काल पूर्ववर्ती "द इम्पॉसिबल बॉक्स" (एस्चर द्वारा) था, और इसके पूर्ववर्ती, बदले में, नेकर क्यूब था।

यह एक असंभव वस्तु नहीं है, लेकिन यह एक ऐसा आंकड़ा है जिसमें गहराई के पैरामीटर को अस्पष्ट रूप से माना जा सकता है।

जब हम नेकर क्यूब को देखते हैं, तो हम देखते हैं कि एक बिंदु वाला चेहरा या तो अग्रभूमि में है या पृष्ठभूमि में है, यह एक स्थान से दूसरे स्थान पर कूदता है।

ऑस्कर रूटrsward - एक असंभव व्यक्ति के पिता.

असंभव आंकड़ों के "पिता" स्वीडिश कलाकार ओस्कर रदरस्वर्ड माने जाते हैं। स्वीडिश कलाकार ओस्कर रदरस्वर्ड, असंभव आंकड़ों की छवियां बनाने में विशेषज्ञ, ने दावा किया कि वह गणित में खराब पारंगत थे, लेकिन, फिर भी, उन्होंने अपनी कला को विज्ञान के पद तक बढ़ाया, एक निश्चित संख्या के अनुसार असंभव आंकड़े बनाने का एक संपूर्ण सिद्धांत बनाया। टेम्पलेट्स।

उन्होंने आंकड़ों को दो मुख्य समूहों में विभाजित किया। उनमें से एक को उन्होंने "असली असंभव आंकड़े" कहा। ये त्रि-आयामी निकायों की दो-आयामी छवियां हैं जिन्हें कागज पर चित्रित और छायांकित किया जा सकता है, लेकिन उनमें एक अखंड और स्थिर गहराई नहीं होती है।

एक अन्य प्रकार संदिग्ध असंभव आंकड़े हैं। ये आंकड़े एक ठोस शरीर का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं। वे दो या का संयोजन हैं अधिकआंकड़े। उन्हें न तो चित्रित किया जा सकता है और न ही उन पर प्रकाश और छाया लागू की जा सकती है।

एक वास्तविक असंभव आकृति में संभावित तत्वों की एक निश्चित संख्या होती है, और यदि आप अपनी आंखों से उनका पालन करते हैं तो एक संदिग्ध एक निश्चित संख्या में तत्वों को "खो" देता है।

इन असंभव आंकड़ों का एक संस्करण बनाना बहुत आसान है, और उनमें से कई जो यंत्रवत् रूप से ज्यामितीय चित्र बनाते हैं

आंकड़े, फोन पर बात करते समय, यह पहले से ही एक से अधिक बार किया जा चुका है। आपको पांच, छह या सात समानांतर रेखाएं खींचने की जरूरत है, इन पंक्तियों को अलग-अलग छोरों पर अलग-अलग तरीकों से खत्म करें - और असंभव आंकड़ा तैयार है। यदि, उदाहरण के लिए, आप पाँच समानांतर रेखाएँ खींचते हैं, तो उन्हें एक तरफ दो बीम और दूसरी तरफ तीन बीम के रूप में समाप्त किया जा सकता है।

आकृति में, हम संदिग्ध असंभव आंकड़ों के तीन प्रकार देखते हैं। बाईं ओर एक तीन-सात-बार है, जो सात पंक्तियों से बना है, जिसमें तीन बीम सात में बदल जाते हैं। बीच में एक आकृति, तीन रेखाओं से निर्मित, जिसमें एक किरण दो गोल पुंजों में बदल जाती है। दायीं ओर की आकृति, चार रेखाओं से निर्मित, जिसमें दो गोल पुंज दो पुंजों में बदल जाते हैं

अपने जीवन के दौरान, रदरस्वर्ड ने लगभग 2,500 आकृतियों को चित्रित किया। रदरस्वर्ड की पुस्तकें रूसी सहित कई भाषाओं में प्रकाशित हुई हैं।

असंभव आंकड़े संभव हैं!

बहुत से लोग मानते हैं कि असंभव आंकड़े वास्तव में असंभव हैं और वास्तविक दुनिया में नहीं बनाए जा सकते हैं। लेकिन हमें यह याद रखना चाहिए कि कागज की शीट पर कोई भी चित्र त्रि-आयामी आकृति का प्रक्षेपण है। इसलिए, कागज के एक टुकड़े पर खींची गई कोई भी आकृति 3डी स्पेस में मौजूद होनी चाहिए। चित्रों में असंभव वस्तुएं त्रि-आयामी वस्तुओं के अनुमान हैं, जिसका अर्थ है कि वस्तुओं को मूर्तिकला रचनाओं के रूप में महसूस किया जा सकता है। इन्हें बनाने के कई तरीके हैं। उनमें से एक असंभव त्रिभुज की भुजाओं के रूप में घुमावदार रेखाओं का उपयोग कर रहा है। बनाई गई मूर्ति केवल एक बिंदु से असंभव लगती है। इस बिंदु से, घुमावदार पक्ष सीधे दिखते हैं, और लक्ष्य प्राप्त किया जाएगा - एक वास्तविक "असंभव" वस्तु बनाई जाती है।

रूसी कलाकार अनातोली कोनेको, हमारे समकालीन, असंभव आंकड़ों को 2 वर्गों में विभाजित करते हैं: कुछ को वास्तविकता में मॉडल किया जा सकता है, जबकि अन्य नहीं कर सकते। असंभव आकृतियों के मॉडल को एम्स मॉडल कहा जाता है।

मैंने अपने असंभव बॉक्स का एम्स मॉडल बनाया। मैंने बयालीस क्यूब्स लिए और उन्हें एक साथ चिपका दिया, यह एक क्यूब निकला, जिसमें पसली का हिस्सा गायब है। ध्यान दें कि एक पूर्ण भ्रम पैदा करने के लिए, आपको सही कोण और सही रोशनी की आवश्यकता होती है।

मैंने यूलर के प्रमेय का उपयोग करते हुए असंभव आंकड़ों का अध्ययन किया और निम्नलिखित निष्कर्ष पर पहुंचा: यूलर की प्रमेय, जो किसी भी उत्तल पॉलीहेड्रॉन के लिए सच है, असंभव आंकड़ों के लिए सच नहीं है, लेकिन उनके एम्स मॉडल के लिए सच है।

मैं ओ. रदरस्वार्ड की सलाह का उपयोग करके अपने असंभव आंकड़े बनाता हूं। मैंने कागज पर सात समानांतर रेखाएँ खींचीं। मैंने उन्हें नीचे की ओर एक टूटी हुई रेखा से जोड़ा, और शीर्ष पर उन्हें समानांतर चतुर्भुज का आकार दिया। इसे पहले ऊपर से और फिर नीचे से देखें। आप ऐसी अनगिनत संख्याओं के बारे में सोच सकते हैं। संलग्नक देखें।

असंभव आंकड़े लागू करना

असंभव आंकड़े कभी-कभी अप्रत्याशित उपयोग पाते हैं। ऑस्कर रदरस्वर्ड ने "ओमोजलिगा फिगर" पुस्तक में मनोचिकित्सा के लिए इम्-आर्ट ड्रॉइंग के उपयोग के बारे में बात की है। वह लिखते हैं कि चित्र, उनके विरोधाभासों के साथ, आश्चर्य, ध्यान तेज करते हैं और समझने की इच्छा पैदा करते हैं। मनोवैज्ञानिक रोजर शेपर्ड ने असंभव हाथी की अपनी पेंटिंग के लिए त्रिशूल के विचार का इस्तेमाल किया।

स्वीडन में, उनका उपयोग दंत चिकित्सा पद्धति में किया जाता है: प्रतीक्षा कक्ष में चित्रों को देखकर, रोगी दंत चिकित्सक के कार्यालय के सामने अप्रिय विचारों से विचलित हो जाते हैं।

असंभव आंकड़ों ने कलाकारों को पेंटिंग में एक नई दिशा बनाने के लिए प्रेरित किया, जिसे असंभववाद कहा जाता है। डच कलाकार एस्चर को असंभववादी कहा जाता है। उन्होंने प्रसिद्ध लिथोग्राफ "वाटरफॉल", "एसेंट एंड डिसेंट" और "बेल्वेडियर" लिखे। कलाकार ने रूट्सवर्ड द्वारा खोजे गए "अंतहीन सीढ़ी" प्रभाव का उपयोग किया।

विदेश में, शहरों की सड़कों पर, हम असंभव आकृतियों के स्थापत्य अवतार को देख सकते हैं।

असम्भव अंकों का सबसे प्रसिद्ध प्रयोग लोकप्रिय संस्कृति - रेनॉल्ट कार निर्माता लोगो

गणितज्ञों का तर्क है कि जिन महलों में आप सीढ़ियों से नीचे जा सकते हैं, वे मौजूद हो सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको केवल त्रि-आयामी में नहीं, बल्कि चार-आयामी अंतरिक्ष में ऐसी संरचना बनाने की आवश्यकता है। और पहले से ही आभासी दुनिया, जो आधुनिक कंप्यूटर तकनीक हमारे लिए खोलती है, और यह ऐसा कुछ नहीं है जो आप कर सकते हैं। इस तरह एक आदमी के विचार, जो सदी की शुरुआत में, असंभव दुनिया के अस्तित्व में विश्वास करते थे, आज साकार हो रहे हैं।

निष्कर्ष.

असंभव आंकड़े हमारे दिमाग को पहले यह देखने के लिए मजबूर करते हैं कि क्या नहीं होना चाहिए, फिर जवाब की तलाश करें - क्या गलत किया गया है, जिसमें विरोधाभास का उत्साह छिपा है। और कभी-कभी इसका उत्तर खोजना इतना आसान नहीं होता है - यह चित्र की ऑप्टिकल, मनोवैज्ञानिक, तार्किक धारणा में छिपा होता है।

विज्ञान का विकास, नये ढंग से सोचने की आवश्यकता, सुन्दर की खोज - ये सभी आवश्यकताएँ आधुनिक जीवननए तरीकों की तलाश करने के लिए बल जो स्थानिक सोच, कल्पना को बदल सकते हैं।

इस विषय पर साहित्य का अध्ययन करने के बाद, मैं इस प्रश्न का उत्तर देने में सक्षम था कि "क्या वास्तविक दुनिया में असंभव आंकड़े हैं?" मैंने महसूस किया कि असंभव संभव है और अवास्तविक आंकड़े हाथ से बनाए जा सकते हैं। मैंने एम्स इम्पॉसिबल क्यूब मॉडल बनाया और उस पर यूलर के प्रमेय का परीक्षण किया। असंभव आकृतियों के निर्माण के तरीकों को देखने के बाद, मैं अपनी असंभव आकृतियों को बनाने में सक्षम हुआ। मैं यह दिखाने में सक्षम था कि

निष्कर्ष 1: वास्तविक दुनिया में सभी असंभव आंकड़े मौजूद हो सकते हैं।

निष्कर्ष2: यूलर का प्रमेय, किसी भी उत्तल पॉलीहेड्रॉन के लिए सही है, असंभव आंकड़ों के लिए गलत है, लेकिन उनके एम्स मॉडल के लिए सही है।

निष्कर्ष3: और भी कई क्षेत्र होंगे जिनमें असंभव आकृतियों का उपयोग किया जाएगा।

इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि असंभव आंकड़ों की दुनिया बेहद दिलचस्प और विविध है। असंभव आंकड़ों का अध्ययन काफी है आवश्यकज्यामिति के संदर्भ में। छात्रों की स्थानिक सोच विकसित करने के लिए काम का उपयोग गणित की कक्षाओं में किया जा सकता है। के लिये सर्जनात्मक लोग, आविष्कार के लिए इच्छुक, असंभव आंकड़े कुछ नया, असामान्य बनाने के लिए एक प्रकार का लीवर हैं।

ग्रन्थसूची

लेविटिन कार्ल जियोमेट्रिक रैप्सोडी। - एम।: ज्ञान, 1984, -176 पी।

पेनरोज़ एल., पेनरोज़ आर. इम्पॉसिबल ऑब्जेक्ट्स, क्वांट, नंबर 5,1971, पी. 26

रॉयटर्सवर्ड ओ। असंभव आंकड़े। - एम।: स्ट्रोइज़्डैट, 1990, 206 पी।

तकाचेवा एम.वी. घूर्णन क्यूब्स। - एम।: बस्टर्ड, 2002।-- 168 पी।

हमारी आंखें नहीं जानती कैसे
वस्तुओं की प्रकृति।
इसलिए, उन पर थोपें नहीं
कारण का भ्रम।

टाइटस ल्यूक्रेटियस कारी

सामान्य अभिव्यक्ति "ऑप्टिकल भ्रम" स्वाभाविक रूप से गलत है। आंखें हमें धोखा नहीं दे सकतीं, क्योंकि वे वस्तु और मानव मस्तिष्क के बीच केवल एक मध्यवर्ती कड़ी हैं। ऑप्टिकल भ्रम आमतौर पर हम जो देखते हैं उसके कारण नहीं पैदा होते हैं, लेकिन इस तथ्य के कारण कि हम अनजाने में तर्क करते हैं और अनजाने में गलती करते हैं: "आंख के माध्यम से, और आंख से नहीं, मन दुनिया को देखने में सक्षम है।"

सबसे शानदार स्थलों में से एक कलात्मक आंदोलनअसंभव आकृतियों की छवि के आधार पर ऑप्टिकल आर्ट (ऑप-आर्ट) इम्-आर्ट (असंभव कला) है। असंभव वस्तुएं एक विमान पर चित्र हैं (कोई भी विमान द्वि-आयामी है), त्रि-आयामी संरचनाओं का चित्रण करता है, जिसका अस्तित्व वास्तविक त्रि-आयामी दुनिया में असंभव है। शास्त्रीय और सरलतम आकृतियों में से एक असंभव त्रिभुज है।

असम्भव त्रिभुज में प्रत्येक कोण अपने आप संभव होता है, लेकिन जब हम उस पर विचार करते हैं तो एक विरोधाभास उत्पन्न होता है। त्रिभुज की भुजाएँ एक साथ दर्शक की ओर और उससे दूर निर्देशित होती हैं, इसलिए, इसके अलग-अलग भाग वास्तविक त्रि-आयामी वस्तु नहीं बना सकते हैं।

वास्तव में, हमारा मस्तिष्क एक विमान पर एक त्रि-आयामी मॉडल के रूप में एक चित्र की व्याख्या करता है। चेतना "गहराई" निर्धारित करती है जिस पर छवि का प्रत्येक बिंदु स्थित होता है। वास्तविक दुनिया के बारे में हमारे विचार एक निश्चित असंगति के साथ एक अंतर्विरोध का सामना कर रहे हैं, और हमें कुछ धारणाएँ बनानी होंगी:

• सीधी 2D रेखाओं की व्याख्या सीधी 3D रेखाओं के रूप में की जाती है;
• 2डी समानांतर रेखाओं की व्याख्या 3डी समानांतर रेखाओं के रूप में की जाती है;
• न्यून और अधिक कोणों को परिप्रेक्ष्य में समकोण के रूप में व्याख्यायित किया जाता है;
• बाहरी रेखाओं को रूप की सीमा माना जाता है। यह बाहरी सीमा पूरी छवि के निर्माण के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है।

मानव चेतना पहले वस्तु की एक सामान्य छवि बनाती है, और फिर अलग-अलग भागों की जांच करती है। प्रत्येक कोण एक स्थानिक परिप्रेक्ष्य के साथ संगत है, लेकिन जब वे फिर से जुड़ते हैं, तो वे एक स्थानिक विरोधाभास बनाते हैं। यदि आप त्रिभुज के किसी भी कोने को बंद कर देते हैं, तो असंभवता गायब हो जाती है।

असंभव आंकड़ों का इतिहास

एक हजार साल पहले कलाकारों को स्थानिक निर्माण की त्रुटियों का सामना करना पड़ा था। लेकिन असंभव वस्तुओं का निर्माण और विश्लेषण करने वाले पहले स्वीडिश कलाकार ऑस्कर रॉयटर्सवर्ड माने जाते हैं, जिन्होंने 1934 में नौ घनों से मिलकर पहला असंभव त्रिकोण बनाया था।

रॉयटर्सवर्ड से स्वतंत्र रूप से, अंग्रेजी गणितज्ञ और भौतिक विज्ञानी रोजर पेनरोज़ ने असंभव त्रिकोण को फिर से खोला और 1958 में ब्रिटिश जर्नल ऑफ़ साइकोलॉजी में अपनी छवि प्रकाशित की। भ्रम "झूठे परिप्रेक्ष्य" का उपयोग करता है। कभी-कभी इस परिप्रेक्ष्य को चीनी कहा जाता है, क्योंकि ड्राइंग का यह तरीका, जब ड्राइंग की गहराई "अस्पष्ट" होती है, अक्सर चीनी कलाकारों के कार्यों में पाई जाती है।

असंभव घन

1961 में, डचमैन एम। एस्चर (मॉरिट्स सी। एस्चर), असंभव पेनरोज़ त्रिकोण से प्रेरित होकर, प्रसिद्ध लिथोग्राफ "वाटरफॉल" बनाता है। चित्र में पानी अंतहीन रूप से बहता है, पानी के पहिये के बाद यह आगे बढ़ता है और शुरुआती बिंदु पर वापस आ जाता है। वास्तव में, यह एक सतत गति मशीन की एक छवि है, लेकिन वास्तव में इस संरचना को बनाने का कोई भी प्रयास विफलता के लिए बर्बाद है।

तब से, अन्य आचार्यों के कार्यों में असंभव त्रिभुज का एक से अधिक बार उपयोग किया गया है। पहले से उल्लेख किए गए लोगों के अलावा, कोई बेल्जियम जोस डी मे, स्विस सैंड्रो डेल प्रीटे और हंगेरियन इस्तवान ओरोस का नाम ले सकता है।

जैसा कि स्क्रीन पर अलग-अलग पिक्सेल से होता है, चित्र बनते हैं, और मुख्य से ज्यामितीय आकारआप असंभव वास्तविकता की वस्तुएं बना सकते हैं। उदाहरण के लिए, ड्राइंग "मॉस्को", जिसमें मॉस्को मेट्रो की एक असामान्य योजना को दर्शाया गया है। सबसे पहले, हम छवि को समग्र रूप से देखते हैं, लेकिन व्यक्तिगत रेखाओं को एक नज़र से देखते हुए, हम उनके अस्तित्व की असंभवता के बारे में आश्वस्त हैं।

थ्री स्नेल ड्रॉइंग में, छोटे और बड़े क्यूब सामान्य आइसोमेट्रिक प्रोजेक्शन में उन्मुख नहीं होते हैं। एक छोटा घन आगे और पीछे की तरफ एक बड़े के साथ जुड़ता है, जिसका अर्थ है कि त्रि-आयामी तर्क का पालन करते हुए, इसके कुछ पक्षों पर बड़े के समान आयाम होते हैं। सबसे पहले, चित्र एक ठोस का वास्तविक प्रतिनिधित्व प्रतीत होता है, लेकिन जैसे-जैसे विश्लेषण आगे बढ़ता है, इस वस्तु के तार्किक विरोधाभास प्रकट होते हैं।

"तीन घोंघे" का चित्रण दूसरी प्रसिद्ध असंभव आकृति - एक असंभव घन (बॉक्स) की परंपरा को जारी रखता है।

गैर-गंभीर "आईक्यू" (खुफिया भागफल) आकृति में विभिन्न वस्तुओं का संयोजन भी पाया जा सकता है। यह दिलचस्प है कि कुछ लोग असंभव वस्तुओं को इस तथ्य के कारण नहीं समझते हैं कि उनकी चेतना त्रि-आयामी वस्तुओं के साथ सपाट चित्रों की पहचान करने में सक्षम नहीं है।

डोनाल्ड ई। सिमनेक ने तर्क दिया कि दृश्य विरोधाभासों को समझना उस तरह की रचनात्मकता की पहचान है जो सर्वश्रेष्ठ गणितज्ञों, वैज्ञानिकों और कलाकारों के पास है। विरोधाभासी वस्तुओं के साथ कई कार्यों को "बौद्धिक गणितीय खेल" के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है। आधुनिक विज्ञानदुनिया के 7-आयामी या 26-आयामी मॉडल की बात करता है। ऐसी दुनिया केवल गणितीय सूत्रों की मदद से बनाई जा सकती है, कोई व्यक्ति इसकी कल्पना नहीं कर सकता। और यहीं पर असंभव आंकड़े काम आते हैं। दार्शनिक दृष्टिकोण से, वे एक अनुस्मारक के रूप में कार्य करते हैं कि किसी भी घटना (सिस्टम विश्लेषण, विज्ञान, राजनीति, अर्थशास्त्र, आदि में) को सभी जटिल और गैर-स्पष्ट अंतर्संबंधों में माना जाना चाहिए।

"असंभव वर्णमाला" पेंटिंग में विभिन्न असंभव (और संभव) वस्तुओं को प्रस्तुत किया गया है।

तीसरा लोकप्रिय असंभव आंकड़ा पेनरोज़ की अविश्वसनीय सीढ़ी है। आप इसके साथ लगातार या तो चढ़ेंगे (वामावर्त) या नीचे (घड़ी की दिशा में)। पेनरोज़ मॉडल ने बनाया आधार प्रसिद्ध पेंटिंगएम। एस्चर "अप एंड डाउन" ("आरोही और अवरोही")।

वस्तुओं का एक और समूह है जिसे लागू नहीं किया जा सकता है। क्लासिक आकृति असंभव त्रिशूल, या "शैतान का कांटा" है।

तस्वीर की बारीकी से जांच करने पर, आप देखेंगे कि तीन दांत धीरे-धीरे एक ही आधार पर दो में बदल जाते हैं, जिससे संघर्ष होता है। हम ऊपर और नीचे दांतों की संख्या की तुलना करते हैं और इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि वस्तु असंभव है।

असंभव वस्तुओं के बारे में इंटरनेट संसाधन