असंभव त्रिभुज कैसे बनाये। एक असंभव त्रिकोण बनाएं

पर्यवेक्षक

गणित शिक्षक

1.परिचय ………………………………………………………3

2. ऐतिहासिक पृष्ठभूमि…………………………………..…4

3. मुख्य भाग…………………………………………….7

4. पेनरोज़ त्रिभुज की असंभवता का प्रमाण ...... 9

5. निष्कर्ष………………………………………………………………11

6. साहित्य…………………………………………………… 12

प्रासंगिकता:गणित एक ऐसा विषय है जिसका अध्ययन पहली से अंतिम कक्षा तक किया जाता है। कई छात्रों को यह कठिन, रुचिकर और अनावश्यक लगता है। लेकिन अगर आप पाठ्यपुस्तक के पन्नों से परे देखते हैं, तो पढ़ें अतिरिक्त साहित्य, गणितीय परिष्कार और विरोधाभास, तो गणित का विचार बदल जाएगा, स्कूली गणित के पाठ्यक्रम में जितना अध्ययन किया जाता है, उससे अधिक अध्ययन करने की इच्छा होगी।

उद्देश्य:

यह दिखाने के लिए कि असंभव आंकड़ों के अस्तित्व से किसी के क्षितिज का विस्तार होगा, स्थानिक कल्पना का विकास होगा, इसका उपयोग न केवल गणितज्ञों द्वारा किया जाता है, बल्कि कलाकारों द्वारा भी किया जाता है।

कार्य :

1. इस विषय पर साहित्य का अध्ययन करें।

2. असम्भव आकृतियों पर विचार कीजिए, असम्भव त्रिभुज का एक मॉडल बनाइए, सिद्ध कीजिए कि असंभव त्रिकोणविमान पर मौजूद नहीं है।

3. असंभव त्रिकोण को खोलो।

4. ललित कला में असंभव त्रिभुज के उपयोग के उदाहरणों पर विचार करें।

परिचय

ऐतिहासिक रूप से, गणित ने खेला है महत्वपूर्ण भूमिकादृश्य कलाओं में, विशेष रूप से परिप्रेक्ष्य के चित्रण में, जिसका तात्पर्य एक सपाट कैनवास या कागज़ की शीट पर त्रि-आयामी दृश्य का यथार्थवादी प्रतिनिधित्व है। आधुनिक विचारों के अनुसार गणित और कलाएक दूसरे से बहुत दूर विषयों, पहला - विश्लेषणात्मक, दूसरा - भावनात्मक। अधिकांश नौकरियों में गणित स्पष्ट भूमिका नहीं निभाता है समकालीन कलाऔर, वास्तव में, कई कलाकार शायद ही कभी या कभी भी परिप्रेक्ष्य का उपयोग नहीं करते हैं। हालांकि, ऐसे कई कलाकार हैं जो गणित पर ध्यान केंद्रित करते हैं। दृश्य कला में कई महत्वपूर्ण शख्सियतों ने इन व्यक्तियों के लिए मार्ग प्रशस्त किया।

सामान्य तौर पर, गणितीय कला में विभिन्न विषयों के उपयोग पर कोई नियम या प्रतिबंध नहीं हैं, जैसे कि असंभव आंकड़े, मोबियस पट्टी, विरूपण या परिप्रेक्ष्य की असामान्य प्रणाली, और भग्न।

असंभव आंकड़ों का इतिहास

असंभव आंकड़े - खास तरहगणितीय विरोधाभास, एक अनियमित परिसर में जुड़े नियमित भागों से मिलकर। यदि आप "असंभव वस्तुओं" शब्द की परिभाषा तैयार करने का प्रयास करते हैं, तो यह शायद कुछ इस तरह से सुनाई देगा - एक असंभव रूप में एकत्रित शारीरिक रूप से संभव आंकड़े। लेकिन उन्हें देखना और अधिक सुखद है, परिभाषाएँ बनाना।

एक हजार साल पहले कलाकारों द्वारा स्थानिक निर्माण में त्रुटियों का सामना करना पड़ा था। लेकिन असंभव वस्तुओं का निर्माण और विश्लेषण करने वाले पहले स्वीडिश कलाकार ऑस्कर रॉयटर्सवार्ड को माना जाता है, जिन्होंने 1934 में पेंटिंग की थी। नौ घनों से मिलकर बना पहला असंभव त्रिभुज।

रॉयटर्सवार्ड त्रिकोण

रॉयटर्सवार्ड से स्वतंत्र, अंग्रेजी गणितज्ञ और भौतिक विज्ञानी रोजर पेनरोज़ ने असंभव त्रिकोण को फिर से खोजा और 1958 में ब्रिटिश साइकोलॉजी जर्नल में अपनी छवि प्रकाशित की। भ्रम "झूठे परिप्रेक्ष्य" का उपयोग करता है। कभी-कभी इस तरह के परिप्रेक्ष्य को चीनी कहा जाता है, क्योंकि इसी तरह की ड्राइंग, जब ड्राइंग की गहराई "अस्पष्ट" होती है, अक्सर चीनी कलाकारों के कार्यों में पाई जाती थी।

एस्चर फॉल्स

1961 में असंभव पेनरोज़ त्रिकोण से प्रेरित डचमैन एम। एस्चर, प्रसिद्ध लिथोग्राफ "वाटरफॉल" बनाता है। चित्र में पानी अंतहीन रूप से बहता है, पानी के पहिये के बाद यह आगे बढ़ता है और वापस शुरुआती बिंदु पर गिर जाता है। वास्तव में, यह एक सतत गति मशीन की एक छवि है, लेकिन वास्तव में इस डिजाइन को बनाने का कोई भी प्रयास विफलता के लिए बर्बाद है।

असंभव आंकड़ों का एक और उदाहरण ड्राइंग "मॉस्को" में प्रस्तुत किया गया है, जो मॉस्को मेट्रो की एक असामान्य योजना को दर्शाता है। सबसे पहले, हम छवि को समग्र रूप से देखते हैं, लेकिन अपनी आंखों से अलग-अलग रेखाओं को देखते हुए, हम उनके अस्तित्व की असंभवता के बारे में आश्वस्त हैं।

« मॉस्को", ग्राफिक्स (स्याही, पेंसिल), 50x70 सेमी, 2003

"तीन घोंघे" का चित्रण दूसरी प्रसिद्ध असंभव आकृति की परंपराओं को जारी रखता है - एक असंभव घन (बॉक्स)।

"तीन घोंघे" असंभव घन

विभिन्न वस्तुओं का संयोजन गैर-गंभीर "IQ" (खुफिया भागफल) आकृति में भी पाया जा सकता है। यह दिलचस्प है कि कुछ लोग असंभव वस्तुओं को इस तथ्य के कारण नहीं समझते हैं कि उनकी चेतना त्रि-आयामी वस्तुओं के साथ सपाट चित्रों की पहचान करने में सक्षम नहीं है।

डोनाल्ड सिमानेक ने कहा कि दृश्य विरोधाभासों को समझना उस तरह के लक्षणों में से एक है रचनात्मकतासर्वश्रेष्ठ गणितज्ञों, वैज्ञानिकों और कलाकारों के पास। विरोधाभासी वस्तुओं के साथ कई कार्यों को "बौद्धिक" के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है गणित का खेल». आधुनिक विज्ञानदुनिया के 7-आयामी या 26-आयामी मॉडल की बात करता है। अनुकरण समान दुनियागणितीय सूत्रों की सहायता से ही संभव है, व्यक्ति इसकी कल्पना ही नहीं कर पाता है। यहां असंभव आंकड़े काम आते हैं।

तीसरा लोकप्रिय असंभव आंकड़ा पेनरोज़ द्वारा बनाई गई अविश्वसनीय सीढ़ी है। आप इसके साथ लगातार या तो चढ़ेंगे (वामावर्त) या नीचे (घड़ी की दिशा में)। पेनरोज़ मॉडल ने आधार बनाया प्रसिद्ध पेंटिंगएम. एस्चर "ऊपर और नीचे" अतुल्य पेनरोज़ सीढ़ियाँ

असंभव त्रिशूल

"लानत कांटा"

वस्तुओं का एक और समूह है जिसे लागू नहीं किया जा सकता है। क्लासिक फिगरअसंभव त्रिशूल है, या "शैतान का कांटा।" तस्वीर का ध्यानपूर्वक अध्ययन करने पर, आप देख सकते हैं कि तीन दांत धीरे-धीरे एक ही आधार पर दो में बदल जाते हैं, जिससे संघर्ष होता है। हम ऊपर और नीचे से दांतों की संख्या की तुलना करते हैं और इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि वस्तु असंभव है। अगर आप अपना हाथ बंद करते हैं ऊपरी हिस्सात्रिशूल, तब हम एक बहुत ही वास्तविक तस्वीर देखेंगे - तीन गोल दांत। यदि हम त्रिशूल के निचले हिस्से को बंद कर दें, तो हमें एक वास्तविक चित्र भी दिखाई देगा - दो आयताकार दांत। लेकिन, अगर हम पूरी आकृति पर विचार करें, तो यह पता चलता है कि तीन गोल दांत धीरे-धीरे दो आयताकार में बदल जाते हैं।

इस प्रकार, आप देख सकते हैं कि इस चित्र की अग्रभूमि और पृष्ठभूमि परस्पर विरोधी हैं। यानी मूल रूप से क्या था अग्रभूमिवापस चला जाता है, और पृष्ठभूमि (मध्य दांत) आगे रेंगती है। अग्रभूमि और पृष्ठभूमि को बदलने के अलावा, इस चित्र का एक और प्रभाव है - त्रिशूल के ऊपरी भाग के सपाट किनारे नीचे की ओर गोल हो जाते हैं।

मुख्य हिस्सा।

त्रिकोण- 3 आसन्न भागों से युक्त एक आकृति, जो इन भागों के अस्वीकार्य कनेक्शन की मदद से गणितीय दृष्टिकोण से एक असंभव संरचना का भ्रम पैदा करती है। दूसरे तरीके से इस तीन-बार को भी कहा जाता है वर्ग Penrose

इस भ्रम के पीछे का ग्राफिक सिद्धांत एक मनोवैज्ञानिक और उनके बेटे रोजर, एक भौतिक विज्ञानी के लिए तैयार है। पेनरुज़ोव वर्ग में वर्ग खंड के 3 बार होते हैं, जो 3 परस्पर लंबवत दिशाओं में स्थित होते हैं; हर एक समकोण पर अगले से जुड़ता है, जो सभी त्रि-आयामी अंतरिक्ष में फिट होते हैं। पेनरोज़ वर्ग के इस आइसोमेट्रिक दृश्य को कैसे आकर्षित किया जाए, इसके लिए एक सरल नुस्खा यहां दिया गया है:

एक समबाहु त्रिभुज के कोनों को पक्षों के समानांतर रेखाओं के साथ ट्रिम करें;

काटे गए त्रिभुज के अंदर की भुजाओं के समानांतर ड्रा करें;

कोनों को फिर से ट्रिम करें

एक बार फिर, समानांतरों के अंदर ड्रा करें;

एक कोने में दो संभावित घनों में से एक की कल्पना करें;

· इसे एल-आकार की "चीज़" के साथ जारी रखें;

इस डिज़ाइन को एक गोले में चलाएँ।

यदि हम एक और घन चुनते हैं, तो वर्ग दूसरी दिशा में "मुड़" जाएगा .

एक असंभव त्रिकोण का विकास।

अंतराल वाली लकीर

प्रतिच्छेदन रेखा

कौन से तत्व असंभव त्रिभुज बनाते हैं? अधिक सटीक रूप से, यह हमें किन तत्वों से लगता है (ऐसा लगता है!) निर्मित? डिजाइन एक आयताकार कोने पर आधारित है, जो दो समान आयताकार सलाखों को एक समकोण पर जोड़कर प्राप्त किया जाता है। ऐसे तीन कोनों की आवश्यकता होती है, और छड़ें, इसलिए, छह टुकड़े। इन कोनों को एक निश्चित तरीके से एक दूसरे से "जुड़ा हुआ" होना चाहिए ताकि वे एक बंद श्रृंखला बना सकें। क्या होता है असंभव त्रिकोण।

पहले कोने को क्षैतिज तल में रखें। हम इसके एक किनारे को ऊपर की ओर निर्देशित करते हुए दूसरे कोने को इसमें संलग्न करेंगे। अंत में, हम इस दूसरे कोने में एक तीसरा कोना जोड़ते हैं ताकि इसका किनारा मूल क्षैतिज तल के समानांतर हो। इस स्थिति में, पहले और तीसरे कोने के दो किनारे समानांतर और दिशा की ओर होंगे विभिन्न पक्ष.

और अब आइए अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से आकृति को देखने का प्रयास करें (या तार का वास्तविक मॉडल बनाएं)। कल्पना कीजिए कि यह एक बिंदु से, दूसरे से, तीसरे से कैसा दिखता है ... जब अवलोकन बिंदु बदलता है (या - जो समान है - जब संरचना को अंतरिक्ष में घुमाया जाता है), ऐसा प्रतीत होगा कि दो "अंत" किनारों हमारे कोने एक दूसरे के सापेक्ष चलते हैं। ऐसी स्थिति खोजना मुश्किल नहीं है जिसमें वे जुड़ेंगे (बेशक, इस मामले में, निकट का कोना हमें लंबे समय से अधिक मोटा लगेगा)।

लेकिन अगर पसलियों के बीच की दूरी कोनों से उस बिंदु तक की दूरी से बहुत कम है जहां से हम अपनी संरचना देख रहे हैं, तो दोनों पसलियों की मोटाई हमारे लिए समान होगी, और यह विचार उत्पन्न होगा कि ये दोनों पसलियों वास्तव में एक हैं एक दूसरे की निरंतरता।

वैसे, अगर हम एक साथ दर्पण में संरचना के प्रदर्शन को देखते हैं, तो हमें वहां एक बंद सर्किट नहीं दिखाई देगा।

और अवलोकन के चुने हुए बिंदु से, हम अपनी आंखों से देखते हैं कि एक चमत्कार हुआ है: तीन कोनों की एक बंद श्रृंखला है। बस अवलोकन के बिंदु को मत बदलो ताकि यह भ्रम (वास्तव में, यह एक भ्रम है!) पतन न हो। अब आप किसी ऐसी वस्तु को खींच सकते हैं जिसे आप देखते हैं या पाए गए बिंदु पर कैमरा लेंस लगा सकते हैं और एक असंभव वस्तु की तस्वीर प्राप्त कर सकते हैं।

इस घटना में सबसे पहले पेनरोज़ ने दिलचस्पी दिखाई। उन्होंने त्रि-आयामी अंतरिक्ष और त्रि-आयामी वस्तुओं को दो-आयामी विमान (यानी, डिजाइन करते समय) पर मैप करते समय उत्पन्न होने वाली संभावनाओं का उपयोग किया और कुछ डिजाइन अनिश्चितता पर ध्यान आकर्षित किया - तीन कोनों के खुले निर्माण को बंद के रूप में माना जा सकता है सर्किट।

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, सबसे सरल मॉडल आसानी से तार से बनाया जा सकता है, जो सिद्धांत रूप में देखे गए प्रभाव की व्याख्या करता है। तार का एक सीधा टुकड़ा लें और इसे तीन बराबर भागों में विभाजित करें। फिर चरम भागों को मोड़ें ताकि वे मध्य भाग के साथ एक समकोण बना सकें, और एक दूसरे के सापेक्ष 900 घुमाएँ। अब इस मूर्ति को घुमाकर एक आंख से देखें। एक निश्चित स्थिति में ऐसा लगेगा कि यह एक बंद तार के टुकड़े से बना है। टेबल लैंप को चालू करते हुए, आप टेबल पर पड़ने वाली छाया को देख सकते हैं, जो अंतरिक्ष में आकृति की एक निश्चित स्थिति पर एक त्रिकोण में भी बदल जाती है।

हालाँकि, यह डिज़ाइन सुविधा किसी अन्य स्थिति में देखी जा सकती है। यदि आप तार की एक अंगूठी बनाते हैं, और फिर इसे अलग-अलग दिशाओं में फैलाते हैं, तो आपको एक बेलनाकार सर्पिल का एक मोड़ मिलता है। बेशक, यह लूप खुला है। लेकिन जब इसे एक विमान पर प्रक्षेपित किया जाता है, तो आप एक बंद रेखा प्राप्त कर सकते हैं।

हमने एक बार फिर देखा है कि विमान पर प्रक्षेपण, ड्राइंग के अनुसार, त्रि-आयामी आकृति को अस्पष्ट रूप से बहाल किया जाता है। यही है, प्रक्षेपण में कुछ अस्पष्टता, ख़ामोशी है, जो "असंभव त्रिकोण" को जन्म देती है।

और हम कह सकते हैं कि पेनरोस का "असंभव त्रिकोण", कई अन्य ऑप्टिकल भ्रम की तरह, तार्किक विरोधाभासों और वाक्यों के बराबर है।

पेनरोज़ त्रिभुज की असंभवता का प्रमाण

एक समतल पर त्रि-आयामी वस्तुओं की द्वि-आयामी छवि की विशेषताओं का विश्लेषण करते हुए, हमने समझा कि इस प्रदर्शन की विशेषताएं कैसे एक असंभव त्रिकोण की ओर ले जाती हैं।

यह साबित करना बेहद आसान है कि एक असंभव त्रिभुज मौजूद नहीं है, क्योंकि इसका प्रत्येक कोण सही है, और उनका योग 1800 के "रखने" के बजाय 2700 है।

इसके अलावा, यदि हम 900 से कम कोनों से एक साथ चिपके हुए एक असंभव त्रिभुज पर विचार करें, तो इस मामले में यह साबित किया जा सकता है कि असंभव त्रिभुज मौजूद नहीं है।

एक अन्य त्रिभुज पर विचार करें, जिसमें कई भाग हैं। यदि इसके भागों को अलग तरह से व्यवस्थित किया जाता है, तो ठीक वही त्रिभुज प्राप्त होगा, लेकिन एक छोटे से दोष के साथ। एक वर्ग गायब हो जाएगा। यह कैसे हो सकता है? या यह सिर्फ एक भ्रम है।

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धारणा की घटना का उपयोग करना

क्या असंभवता प्रभाव को बढ़ाने का कोई तरीका है? क्या कुछ वस्तुएं दूसरों की तुलना में "असंभव" हैं? और यहां मानवीय धारणा की विशेषताएं बचाव में आती हैं। मनोवैज्ञानिकों ने स्थापित किया है कि आंख निचले बाएं कोने से वस्तु (चित्र) की जांच करना शुरू करती है, फिर टकटकी केंद्र की ओर दाईं ओर खिसकती है और चित्र के निचले दाएं कोने में उतरती है। ऐसा प्रक्षेपवक्र इस तथ्य के कारण हो सकता है कि हमारे पूर्वजों ने, दुश्मन से मिलते समय, सबसे पहले सबसे खतरनाक देखा दायाँ हाथ, और फिर टकटकी बाईं ओर, चेहरे और आकृति पर चली गई। इस तरह, कलात्मक धारणायह काफी हद तक इस बात पर निर्भर करेगा कि चित्र की संरचना कैसे बनाई गई है। मध्य युग में यह विशेषता टेपेस्ट्री के निर्माण में स्पष्ट रूप से प्रकट हुई थी: उनका पैटर्न था दर्पण छविमूल, और टेपेस्ट्री और मूल द्वारा बनाई गई छाप अलग है।

के साथ रचनाएँ बनाते समय इस गुण का सफलतापूर्वक उपयोग किया जा सकता है असंभव वस्तु, "असंभवता की डिग्री" को बढ़ाना या घटाना। यह कंप्यूटर तकनीक का उपयोग करके या घुमाए गए कई चित्रों से दिलचस्प रचनाएँ प्राप्त करने की संभावना को भी खोलता है (शायद उपयोग करके कुछ अलग किस्म कासमरूपता) एक दूसरे के सापेक्ष, दर्शकों के लिए वस्तु का एक अलग प्रभाव पैदा करना और विचार के सार की गहरी समझ, या एक से जो कुछ कोणों पर एक सरल तंत्र की मदद से (लगातार या झटके से) घूमता है।

ऐसी दिशा को बहुभुज (बहुभुज) कहा जा सकता है। चित्र दिखाते हैं कि चित्र एक के सापेक्ष दूसरे में घुमाए गए हैं। रचना इस प्रकार बनाई गई थी: कागज पर एक चित्र, स्याही और पेंसिल में बनाया गया था, एक ग्राफिक्स संपादक में स्कैन, डिजीटल और संसाधित किया गया था। हम एक नियमितता को नोट कर सकते हैं - घुमाए गए चित्र में मूल की तुलना में अधिक "असंभवता की डिग्री" है। यह आसानी से समझाया गया है: काम की प्रक्रिया में, कलाकार अवचेतन रूप से "सही" छवि बनाना चाहता है।

निष्कर्ष

विभिन्न गणितीय आंकड़ों और कानूनों का उपयोग उपरोक्त उदाहरणों तक ही सीमित नहीं है। उपरोक्त सभी आंकड़ों का ध्यानपूर्वक अध्ययन करके, आप इस लेख में उल्लिखित अन्य लोगों को पा सकते हैं, ज्यामितीय निकायया गणितीय कानूनों की दृश्य व्याख्या।

गणितीय दृश्य कला आज फल-फूल रही है, और कई कलाकार एस्चर की शैली में और अपनी शैली में पेंटिंग बनाते हैं। ये कलाकार मूर्तिकला, सपाट और त्रि-आयामी सतहों पर पेंटिंग, लिथोग्राफी और सहित विभिन्न माध्यमों में काम करते हैं कंप्यूटर ग्राफिक्स. और गणितीय कला के सबसे लोकप्रिय विषय पॉलीहेड्रा, असंभव आंकड़े, मोबियस स्ट्रिप्स, परिप्रेक्ष्य की विकृत प्रणाली और फ्रैक्टल हैं।

निष्कर्ष:

1. तो, असंभव आंकड़ों पर विचार करने से हमारी स्थानिक कल्पना विकसित होती है, विमान को त्रि-आयामी अंतरिक्ष में "बाहर निकलने" में मदद मिलती है, जो स्टीरियोमेट्री के अध्ययन में मदद करेगी।

2. असंभव आंकड़ों के मॉडल विमान पर अनुमानों पर विचार करने में मदद करते हैं।

3. गणितीय परिष्कार और विरोधाभासों पर विचार करने से गणित में रुचि पैदा होती है।

यह काम करते समय

1. मैंने सीखा कि कैसे, कब, कहाँ और किसके द्वारा सबसे पहले असंभव आकृतियों पर विचार किया गया, कि ऐसी कई आकृतियाँ हैं, कलाकार लगातार इन आकृतियों को चित्रित करने का प्रयास कर रहे हैं।

2. अपने पिता के साथ, मैंने एक असंभव त्रिकोण का एक मॉडल बनाया, एक विमान पर इसके अनुमानों की जांच की, इस आंकड़े के विरोधाभास को देखा।

3. कलाकारों के पुनरुत्पादन की जांच की, जो इन आंकड़ों को दर्शाते हैं

4. मेरी पढ़ाई में मेरे सहपाठियों की दिलचस्पी थी।

भविष्य में, मैं अर्जित ज्ञान का उपयोग गणित के पाठों में करूँगा और मुझे दिलचस्पी थी, लेकिन क्या अन्य विरोधाभास हैं?

साहित्य

1. उम्मीदवार तकनीकी विज्ञानडी. राकोवी असंभव आंकड़ों का इतिहास

2. रूट्सवर्ड ओ. असंभव आंकड़े।- एम .: स्ट्रोइज़्डैट, 1990।

3. वी. अलेक्सेव भ्रम की वेबसाइट · 7 टिप्पणियाँ

4. जे टिमोथी अनाराच। - अद्भुत आंकड़े।
(एलएलसी "पब्लिशिंग हाउस एएसटी", एलएलसी "पब्लिशिंग हाउस एस्ट्रेल", 2002, 168 पी।)

5. . - ग्राफिक्स।
(कला-वसंत, 2001)

6. डगलस हॉफस्टैटर। - गोडेल, एस्चर, बाख: यह अंतहीन माला। (प्रकाशन गृह "बहराख-एम", 2001)

7. ए कोनेको - असंभव आंकड़ों का राज
(ओम्स्क: लेफ्टी, 199)

आज मैं "कटिंग" नामक एक नया खंड खोल रहा हूं, जहां मैं चित्र, टेम्पलेट, साथ ही ऑप्टिकल भ्रम का एक पैटर्न पोस्ट करूंगा। आज हम कागज से एक असंभव त्रिकोण बनाएंगे। चूंकि हम एक असंभव त्रिकोण नहीं बना सकते हैं, हम एक मॉडल बनाएंगे जिस पर हम एक निश्चित कोण से विचार करेंगे।

1. डाउनलोड करें और प्रिंट करें
2. चित्र में दिए गए निर्देशों का पालन करें

असंभव त्रिभुज पर सही ढंग से विचार कैसे करें?

चूंकि भ्रम घन के अस्पष्ट चित्र पर आधारित है सममितीय देखें। फिर इस ओरिएंटेशन में, व्यूअर के सबसे नज़दीक के कोने और व्यूअर से सबसे दूर के कोने मेल खाएँगे। इसका मतलब यह है कि जब हम घन के निकटतम किनारे और नीचे के दो किनारों से नीचे जाते हैं, तो हम वापस आ जाते हैं प्रारंभिक बिंदु, जहां पथ वास्तव में दूर कोने पर समाप्त होता है।

यह असंभव पेनरोज़ त्रिभुज

ऐसे क्षेत्र में चित्रमय कला, मानव त्वचा को चित्रित करने की तरह, आज नवीनतम प्रवृत्ति ऑप्टिकल भ्रम के आंकड़े हैं, विशेष रूप से पेनरोज़ त्रिकोण, या ट्राइबर, जिसे असंभव भी कहा जाता है। स्वीडिश चित्रकार ऑस्कर रॉयटर्सवार्ड द्वारा पहली बार इस रूप की खोज या आविष्कार किया गया था, जिन्होंने इसे 1935 के मोड़ पर क्यूब्स के एक सेट के रूप में दुनिया के सामने पेश किया था। बाद में, हमारी सदी के 80 के दशक में, स्वीडन में ट्राइबर पैटर्न एक डाक टिकट पर छपा था।

हालांकि, असंभव पेनरोज़ त्रिकोण की छवि, जो ऑप्टिकल भ्रम की श्रेणी से संबंधित है, 1958 में अंग्रेजी गणितज्ञ रोजर पेनरोज़ के बारे में प्रकाशन के प्रकाशन के बाद व्यापक रूप से ज्ञात हुई। असंभव आंकड़ेब्रिटिश जर्नल ऑफ साइकोलॉजी में प्रकाशित। इस पोस्ट से प्रेरित होकर, प्रसिद्ध चित्रकारहॉलैंड से मॉरिट्स एस्चर ने 1961 में उनकी सबसे लोकप्रिय कृतियों में से एक "वाटरफॉल" बनाया।

ऑप्टिकल भ्रम

पेंटिंग में ऑप्टिकल भ्रम हैं दृश्य भ्रमअनुभूति असली तस्वीर, कलाकार-निर्मितएक विमान पर लाइनों की एक निश्चित व्यवस्था। उसी समय, दर्शक गलत तरीके से आकृति के कोणों के आकार या उसके पक्षों की लंबाई का आकलन करता है, जो मनोविज्ञान के ऐसे उपखंडों के अध्ययन का विषय है, उदाहरण के लिए, जेस्टाल्ट थेरेपी। एस्चर के अलावा, एक अन्य ऑप्टिकल भ्रम पैदा करने का शौकीन था। महान कलाकार- दुनिया भर प्रसिद्ध अल सल्वाडोरडाली। उनके जुनून का एक ज्वलंत उदाहरण, उदाहरण के लिए, पेंटिंग "हाथियों में हंसों का प्रतिबिंब" है।

उपरोक्त त्रिभुज पर भी लागू होता है दृष्टिभ्रम, अधिक सटीक रूप से उनमें से उस हिस्से के लिए, जिसे असंभव आंकड़े कहा जाता है। उन्हें ऐसा इसलिए कहा जाता है क्योंकि उस भावना के कारण जो किसी ऐसे रूप को देखने पर उत्पन्न होती है कि उसका अस्तित्व में होता है असली दुनियाबस असंभव।

भ्रम का अनुप्रयोग

अपने अद्वितीय आकार के कारण, भ्रामक वस्तुएं न केवल कलाकारों और टैटू कलाकारों के लिए निकट ध्यान का विषय हैं - स्वयं द्वारा या पेशेवरों की सहायता से बनाया गया त्रिभुज कंपनी लोगो के रूप में भी कार्य कर सकता है। भ्रामक रूपों के इस प्रयोग के महान उदाहरण हैं: लोक संगीत बजाने वाले एक साइकेडेलिक संगीत बैंड का लोगो, डीड में कॉनंडम, जो एक असंभव घन है, या चिप निर्माता डिजिलेंट इंक का ब्रांड, जो पेनरोज़ की क्लासिक त्रिकोणीय छवि है।

आप पेशेवरों का सहारा लिए बिना अपना लोगो बना सकते हैं। ऐसा करने के लिए, बस निर्देशों का पालन करें, जिसके बाद आप कागज पर या टैबलेट में एक साधारण चित्र बना सकते हैं, और बना सकते हैं बड़ा आंकड़ा. इसे एक चिन्ह के रूप में रखा जा सकता है या बाहर विज्ञापनआपकी दुकान।

इसे स्वयं कैसे करें

एडोब इलस्ट्रेटर का उपयोग करके ट्राइबार कैसे बनाएं, इस पर चरण-दर-चरण निर्देश:

1. सबसे पहले आपको रेक्टेंगल टूल से 3 वर्ग बनाने होंगे। ऐसा करने के लिए, आपको सबसे पहले व्यू मेन्यू में जाकर स्मार्ट गाइड्स को इनेबल करना होगा।
2. अब आपको सब कुछ का चयन करने और ऑब्जेक्ट मेनू पर जाने की आवश्यकता है, फिर प्रत्येक को ट्रांसफ़ॉर्म और ओपन करने के लिए, जहां स्केल विंडो में आपको वर्टिकल स्केल = 86.6% मान डालना होगा और ओके पर क्लिक करना होगा।
3. अब आपको प्रत्येक चेहरे को रोटेशन का अपना कोण सेट करने की आवश्यकता है, और इसके लिए विंडो ओपन ट्रांसफॉर्म पर जाएं। वहां, पहले बेवल (कतरनी) के लिए मान नीचे रखें, और फिर घूर्णन (घुमाएँ) के लिए: घन की ऊपरी सतह कतरनी +30 °, घुमाएँ -30 ° है; दाहिनी सतह - कतरनी +30°, घुमाएँ +30°; बाईं सतह - कतरनी -30 °, घुमाएँ -30 °।
4. अब, स्मार्ट गाइड लाइनों का उपयोग करते हुए, आपको क्यूब के सभी हिस्सों को एक साथ जोड़ने की जरूरत है: ऐसा करने के लिए, माउस के साथ एक तरफ के कोने को हुक करें और उन्हें संरेखित करते हुए दूसरे पर खींचें।
5. इस स्तर पर, आपको क्यूब को 30 डिग्री घुमाने की जरूरत है: ऐसा करने के लिए, ऑब्जेक्ट पर जाएं, ट्रांसफॉर्म और रोटेट का चयन करें, वहां कोण मान 30 डिग्री पर सेट करें और ओके पर क्लिक करें।
6. चूंकि आपको त्रि-बार प्राप्त करने के लिए 6 क्यूब्स की आवश्यकता होती है, आपको क्यूब का चयन करना चाहिए, Alt और Shift दबाएं और चयनित ऑब्जेक्ट को माउस के साथ क्षैतिज दिशा में खींचकर किनारे पर खींचें। चयन को हटाए बिना, सीएमडी + डी को 6 बार दबाएं। हमें 6 क्यूब्स मिले।
7. चयन को अंतिम क्यूब पर छोड़कर, एंटर दबाएं और मूव विंडो में कोण मान को 240 ° में बदलें, फिर कॉपी दबाएं। फिर सीएमडी + डी को तब तक दबाएं जब तक कि आपको 6 प्रतियां न मिल जाएं।
8. अब सब कुछ दोहराएं: फिर से एंटर दबाएं, अंतिम क्यूब का चयन करें, केवल कोण को 120 ° पर सेट करें और केवल 5 प्रतियां बनाएं।
9. चयन उपकरण का उपयोग करके, आपको आकृति की ऊपरी सतह का चयन करने की आवश्यकता है (आप इसे स्पष्ट करने के लिए इसे फिर से रंग सकते हैं), मेनू खोलें ऑब्जेक्ट - अरेंज - बैक टू बैक। अब टॉप क्यूब की पेंट की हुई सतह को चुनें, ऑब्जेक्ट - अरेंज - ब्रिंग टू फ्रंट पर जाएं।

पेनरोज़ इल्यूजन तैयार है। इसे आपके पेज पर सोशल नेटवर्क या ब्लॉग में पोस्ट किया जा सकता है, या व्यवसाय के लिए उपयोग किया जा सकता है।

नमस्ते, ब्लॉग साइट के प्रिय पाठकों। रुस्तम जकीरोव संपर्क में हैं और मेरे पास आपके लिए एक और लेख है, जिसका विषय है कि पेनरोज़ त्रिकोण कैसे बनाया जाए। आज मैं आपको दिखाना चाहता हूं कि असंभव त्रिभुज बनाना कितना आसान है। हम इस त्रिभुज के दो चित्र बनाएंगे, एक साधारण होगा, और दूसरा वास्तविक 3D चित्र होगा। और यह सब आश्चर्यजनक रूप से सरल होगा। आप इस त्रिभुज की वास्तविक 3डी ड्राइंग प्राप्त कर सकते हैं। मुझे संदेह है कि यह आपको कहीं और दिखाया जाएगा, इसलिए लेख को अंत तक और बहुत ध्यान से पढ़ें।

हमारे चित्र के लिए, हमेशा की तरह, हमें चाहिए: कागज का एक टुकड़ा साधारण पेंसिल(अधिमानतः एक "मध्यम", "अन्य नरम") और कुछ रंगीन पेंसिल या महसूस-टिप पेन।

किसी भी 3D चित्र को बनाना कितना आसान है।

मैंने इस असंभव त्रिकोण को इस साधारण तस्वीर से खींचा, जो मुझे अभी-अभी इंटरनेट पर मिला है। वहाँ है वो।

और फिर कुछ ही मिनटों में मैंने इसे 3D . में अनुवादित किया . तो आप लगभग किसी भी इमेज को 3D में ट्रांसलेट कर सकते हैं। जो लोग इसे सीखना चाहते हैं, उनके लिए यहां क्लिक करें।

और हम अपनी ड्राइंग पर आगे बढ़ते हैं।

हम एक त्रिभुज का सामान्य चित्र बनाते हैं।

स्टेप 1। हम मॉनिटर स्क्रीन से अनुवाद करते हैं।

एक त्रिभुज बनाने के लिए, आपको निम्न कार्य करने होंगे। आप अपना कागज़ का टुकड़ा लें और उसे मॉनिटर स्क्रीन पर त्रिभुज के सामने झुकाएं और बस उसका अनुवाद करें।

और चूंकि हमारा त्रिभुज बिल्कुल भी जटिल नहीं है, इसलिए इसके सभी कोनों में केवल मुख्य बिंदुओं को ही डालना पर्याप्त है।

और फिर हम मूल को देखते हैं और इन बिंदुओं को एक शासक से जोड़ते हैं। मुझे यह इस तरह मिला।

हमारा पूरा त्रिकोण तैयार है। आप इसे ऐसे ही छोड़ सकते हैं, लेकिन चलिए इसे थोड़ा और सजाते हैं। मैंने इसे रंगीन पेंसिल से किया। अपने त्रिभुज को पूरी तरह से रंगने के बाद, हम इसे एक साधारण नरम पेंसिल से फिर से पूरी तरह से रेखांकित करते हैं।

इस पर हमारा सामान्य पेनरोज़ त्रिभुज पूरी तरह से तैयार है, और हम उसी त्रिभुज की ओर बढ़ते हैं।

हम एक त्रिभुज का 3D चित्र बनाते हैं।

स्टेप 1। हम अनुवाद करते हैं।

हम सामान्य पैटर्न की तरह ही योजना के अनुसार कार्य करते हैं। मैं आपको पहले से ही 3D प्रारूप में अनुवादित एक तैयार त्रिकोण देता हूं। यही पर है।

और आप इसका अनुवाद करते हैं। हम सब कुछ उसी तरह करते हैं जैसे एक नियमित ड्राइंग के साथ। आप अपनी शीट लेते हैं, इसे मॉनिटर स्क्रीन पर झुकाते हैं, शीट चमकती है, और आप बस तैयार 3D ड्राइंग को अपनी शीट पर स्थानांतरित करते हैं।

यहाँ मेरे साथ क्या हुआ है।

त्रिभुज का आकार बढ़ाया या घटाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको बस अपने मॉनिटर के पैमाने को बदलने की जरूरत है। Ctrl कुंजी दबाए रखें और अपने माउस व्हील को रोल करें।

हम सुरक्षित रूप से कह सकते हैं कि हमारी 3डी ड्राइंग पहले से ही तैयार है। इसे करने में मुझे लगभग 3 मिनट लगे। इस पर, सिद्धांत रूप में, हम सुरक्षित रूप से समाप्त कर सकते हैं, लेकिन आइए अपने त्रिकोण को फिर से सजाएं।

नामों से भी जाना जाता है असंभव त्रिकोणतथा आदिवासी.

कहानी

1958 में अंग्रेजी गणितज्ञ रोजर पेनरोस द्वारा ब्रिटिश जर्नल ऑफ साइकोलॉजी में असंभव आंकड़ों पर एक लेख के प्रकाशन के बाद इस आंकड़े को व्यापक लोकप्रियता मिली। इस लेख में असंभव त्रिभुज को उसके सबसे सामान्य रूप में दर्शाया गया है - in तीनबीम एक दूसरे से समकोण पर जुड़े हुए हैं। इस लेख से प्रभावित डच चित्रकारमौरिट्स एस्चर ने अपने प्रसिद्ध वाटरफॉल लिथोग्राफ में से एक बनाया।

मूर्तियों

एल्यूमीनियम से बने एक असंभव त्रिकोण की 13 मीटर की मूर्ति 1999 में पर्थ (ऑस्ट्रेलिया) शहर में बनाई गई थी।

डॉयचेस टेक्निकम्यूजियम बर्लिन फरवरी 2008 0004.JPG

नजरिया बदलते समय वही मूर्ति

अन्य आंकड़े

यद्यपि नियमित बहुभुजों के आधार पर पेनरोज़ त्रिभुज के एनालॉग्स बनाना काफी संभव है, लेकिन उनका दृश्य प्रभाव इतना प्रभावशाली नहीं है। जैसे-जैसे भुजाओं की संख्या बढ़ती है, वस्तु बस मुड़ी हुई या मुड़ी हुई दिखाई देती है।

यह सभी देखें

• तीन खरगोश (अंग्रेज़ी) तीन खरगोश )

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पेनरोज़ त्रिभुज की विशेषता वाला एक अंश