Pembentangan matematik "Mustahil adalah mungkin. Segitiga Penrose"

rumah / Perasaan

Segitiga Penrose- salah satu tokoh mustahil utama, juga dikenali dengan nama segitiga mustahil dan suku kaum.

Segitiga Penrose (berwarna)

cerita

Angka ini mendapat populariti yang meluas selepas penerbitan artikel mengenai angka mustahil dalam British Journal of Psychology oleh ahli matematik Inggeris Roger Penrose pada tahun 1958. Juga dalam artikel ini, segitiga mustahil digambarkan dalam bentuk yang paling umum - dalam tiga rasuk bersambung antara satu sama lain pada sudut tegak. Terpengaruh dengan artikel ini pelukis Belanda Maurits Escher mencipta salah satu litografi Air Terjunnya yang terkenal.

Cetakan 3D segi tiga Penrose

arca

Sebuah arca 13 meter segi tiga mustahil diperbuat daripada aluminium telah didirikan pada tahun 1999 di bandar Perth (Australia)

Arca yang sama apabila menukar sudut pandangan

Tokoh lain

Walaupun agak mungkin untuk membina analog segitiga Penrose berdasarkan poligon biasa, kesan visualnya tidak begitu mengagumkan. Apabila bilangan sisi bertambah, objek kelihatan bengkok atau berpintal.

lihat juga

Tiga arnab (Bahasa Inggeris) tiga ekor arnab)

Ilusionisme (falsafah)

Ilusionisme - dalam erti kata yang luas, ini adalah nama untuk kedudukan falsafah berhubung dengan fenomena tertentu; untuk cara bagaimana fenomena tersebut dipertimbangkan; dalam erti kata sempit ialah nama untuk beberapa spesifik teori falsafah.

ilusi dinding kafe

Ilusi dinding kafe - ilusi optikal dicipta melalui tindakan bersama tahap yang berbeza mekanisme saraf: neuron retina dan neuron korteks visual.

angka mustahil

Angka yang mustahil adalah salah satu jenis ilusi optik, angka yang pada pandangan pertama seolah-olah merupakan unjuran objek tiga dimensi biasa, apabila diteliti lebih dekat, sambungan bercanggah unsur-unsur rajah menjadi kelihatan. Ilusi dicipta tentang kemustahilan kewujudan sosok sedemikian dalam ruang tiga dimensi.

Kubus mustahil

Kubus mustahil ialah angka mustahil yang dicipta oleh Escher untuk litograf Belvederenya. Ini ialah rajah dua dimensi yang kelihatan seperti perspektif kubus tiga dimensi, tidak serasi dengan kubus sebenar. Dalam litograf Belvedere, seorang budak lelaki yang duduk di dasar bangunan memegang sebuah kiub mustahil. Lukisan kubus Necker yang serupa terletak di kakinya, manakala bangunan itu sendiri mengandungi sifat yang sama dengan kubus mustahil.

Kubus mustahil meminjam kekaburan kubus Necker, di mana tepi dilukis sebagai segmen garis, dan yang boleh ditafsirkan dalam salah satu daripada dua orientasi tiga dimensi yang berbeza.

Kiub mustahil biasanya dilukis sebagai kiub Necker, dengan tepi (segmen) digantikan dengan bar yang kelihatan padat.

Dalam litografi Escher, empat cantuman atas bar dan persimpangan atas bar sepadan dengan salah satu daripada dua tafsiran kubus Necker, manakala empat cantuman bawah dan persimpangan bawah sepadan dengan tafsiran lain. Variasi lain kubus mustahil menggabungkan sifat ini dengan cara lain. Sebagai contoh, salah satu kubus dalam rajah mengandungi kesemua lapan sambungan mengikut satu tafsiran kubus Necker, dan kedua-dua persimpangan sepadan dengan tafsiran lain.

Kepejalan bar yang jelas memberikan kiub mustahil lebih kekaburan visual daripada kiub Necker, yang kurang berkemungkinan dianggap sebagai objek yang mustahil. Ilusi bermain pada tafsiran mata manusia lukisan dua dimensi sebagai objek tiga dimensi. Objek tiga dimensi mungkin kelihatan mustahil apabila dilihat dari sudut tertentu dan sama ada dengan membuat potongan pada objek di tempat yang betul atau dengan menggunakan perspektif yang diubah, tetapi pengalaman manusia dengan objek segi empat tepat menjadikan persepsi mustahil lebih berkemungkinan daripada ilusi dalam realiti.

Artis lain, termasuk Jos De Mey, juga melukis kepingan kiub yang mustahil.

Gambar rekaan kubus yang dikatakan mustahil telah diterbitkan dalam terbitan Scientific American pada bulan Jun 1966, di mana ia dipanggil "sangkar Frimisch". Kubus mustahil diletakkan pada Austria setem pos.

Trident yang mustahil

Lepuhan, juga dikenali sebagai poyut atau garpu rumput syaitan, ialah figura yang tidak dapat dijelaskan, ilusi optik dan figura yang mustahil. Nampaknya tiga batang silinder bertukar menjadi dua bar.

Ruthersward, Oscar

Oskar Rutersvärd (ejaan nama keluarga yang diterima dalam kesusasteraan bahasa Rusia; lebih tepat lagi, Reutersverd), Sweden. Oscar Reutersvärd (29 November 1915, Stockholm, Sweden - 2 Februari 2002, Lund) - "bapa kepada sosok yang mustahil", seorang artis Sweden yang pakar dalam menggambarkan angka mustahil, iaitu, yang boleh digambarkan (diberikan pelanggaran perspektif yang tidak dapat dielakkan apabila mewakili ruang 3 dimensi di atas kertas), tetapi tidak boleh dibuat. Salah seorang tokohnya menerima perkembangan selanjutnya sebagai "segitiga Penrose" (1934). Kerja Rutersvärd boleh dibandingkan dengan kerja Escher, tetapi jika yang kedua digunakan angka mustahil sebagai "rangka" untuk imej dunia fantasi, maka Rutersvärd hanya berminat dengan angka seperti itu. Semasa hayatnya, Rutersvärd menggambarkan kira-kira 2,500 angka dalam unjuran isometrik. Buku Rutersvärd telah diterbitkan dalam banyak bahasa, termasuk bahasa Rusia.

Escher, Maurits Cornelis

Maurits Cornelis Escher (Belanda. Maurits Cornelis Escher [ˈmʌu̯rɪts kɔrˈneːlɪs ˈɛʃər̥]; 17 Jun 1898, Leeuwarden, Belanda - 27 Mac 1972, Hilversum, Belanda) - Artis grafik Belanda. Beliau terkenal dengan litografi konseptual, potongan kayu dan ukiran logam, di mana beliau mahir meneroka aspek plastik konsep infiniti dan simetri, serta ciri persepsi psikologi objek tiga dimensi yang kompleks, yang paling wakil terang seni imp.


Ilusi	Penrose segi tiga

Beberapa angka yang mustahil dicipta - tangga, segitiga dan serampang x. Angka-angka ini sebenarnya agak nyata dalam imej tiga dimensi. Tetapi apabila artis menayangkan kelantangan di atas kertas, objek kelihatan mustahil. Segitiga, yang juga dipanggil "tribar", telah menjadi contoh yang menarik tentang bagaimana yang mustahil menjadi mungkin apabila anda berusaha.

Semua angka ini adalah ilusi yang indah. Pencapaian genius manusia digunakan oleh artis yang melukis dalam gaya seni imp.

Tiada yang mustahil. Perkara yang sama boleh dikatakan mengenai Segitiga Penrose. Ini adalah angka geometri yang mustahil, unsur-unsurnya tidak boleh disambungkan. Namun, segitiga mustahil menjadi mungkin. Pelukis Sweden Oscar Reutersvärd mempersembahkan dunia dengan segi tiga kiub yang mustahil pada tahun 1934. O. Reutersvärd dianggap sebagai penemu ilusi visual ini. Untuk menghormati acara ini, lukisan ini kemudiannya dicetak pada setem pos di Sweden.

Dan pada tahun 1958, ahli matematik Roger Penrose menerbitkan penerbitan dalam jurnal Inggeris tentang angka mustahil. Dialah yang mencipta model saintifik ilusi. Roger Penrose adalah seorang saintis yang luar biasa. Dia melakukan penyelidikan dalam teori relativiti, serta teori kuantum yang menarik. Beliau telah dianugerahkan Hadiah Serigala bersama S. Hawking.

Adalah diketahui bahawa artis Maurits Escher, di bawah pengaruh artikel ini, melukis karyanya yang menakjubkan - litograf "Air Terjun". Tetapi adakah mungkin untuk membuat segitiga Penrose? Bagaimana untuk melakukannya jika boleh?

Tribar dan realiti

Walaupun angka itu dianggap mustahil, membuat segitiga Penrose dengan tangan anda sendiri adalah lebih mudah berbanding sebelum ini. Ia boleh dibuat daripada kertas. Pencinta origami tidak boleh mengabaikan tri-bar dan bagaimanapun menemui cara untuk mencipta dan memegang di tangan mereka sesuatu yang sebelum ini kelihatan seperti fantasi keterlaluan seorang saintis.

Namun, kita tertipu dengan mata kita sendiri apabila melihat unjuran objek tiga dimensi daripada tiga garis serenjang. Ia seolah-olah pemerhati bahawa dia melihat segitiga, walaupun sebenarnya tidak.

geometri DIY

Segitiga suku, seperti yang dikatakan, sebenarnya bukan segitiga. Segitiga Penrose adalah ilusi. Hanya pada sudut tertentu objek itu kelihatan seperti segi tiga sama. Walau bagaimanapun, objek dalam bentuk semula jadi ialah 3 muka kubus. Pada unjuran isometrik sedemikian, 2 sudut bertepatan pada satah: yang paling dekat dari penonton dan yang jauh.

Ilusi optik, sudah tentu, dengan cepat didedahkan, sebaik sahaja anda mengambil objek ini. Dan bayang-bayang itu juga mendedahkan ilusi, kerana bayang-bayang tribar jelas menunjukkan bahawa sudut tidak sepadan dalam realiti.

Tribar kertas. Skim

Bagaimana untuk membuat segitiga Penrose dengan tangan anda sendiri daripada kertas? Adakah terdapat sebarang skema untuk model ini? Sehingga kini, 2 susun atur telah dicipta untuk melipat segitiga yang mustahil itu. Asas geometri memberitahu anda dengan tepat cara melipat objek.

Untuk melipat segitiga Penrose dengan tangan anda sendiri, anda perlu memperuntukkan hanya 10-20 minit. Anda perlu menyediakan gam, gunting untuk beberapa potongan dan kertas di mana gambar rajah dicetak.

Dari kosong sedemikian, segitiga mustahil yang paling popular diperolehi. Kraf origami tidak terlalu sukar untuk dibuat. Oleh itu, ia pasti akan menjadi kali pertama, dan juga untuk seorang budak sekolah yang baru mula belajar geometri.

Seperti yang anda dapat lihat, ia ternyata kraf yang sangat bagus. Kosong kedua kelihatan berbeza dan dilipat berbeza, tetapi segitiga Penrose itu sendiri akhirnya kelihatan sama.

Langkah-langkah untuk mencipta segitiga Penrose kertas.

Pilih satu daripada 2 tempat kosong yang sesuai untuk anda, salin fail dan cetak. Kami memberikan di sini contoh model susun atur kedua, yang dilakukan dengan lebih mudah.

Origami Tribar kosong itu sendiri sudah mengandungi semua petua yang diperlukan. Malah, arahan untuk litar tidak diperlukan. Cukup sekadar memuat turunnya pada pembawa kertas tebal, jika tidak, ia akan menyusahkan untuk berfungsi dan angka itu tidak akan berfungsi. Sekiranya mustahil untuk segera mencetak pada kadbod, maka anda perlu melampirkan lakaran pada bahan baru dan potong lukisan di sepanjang kontur. Untuk kemudahan, anda boleh mengikat dengan klip kertas.

Apa yang perlu dilakukan seterusnya? Bagaimana untuk melipat segitiga Penrose dengan tangan anda sendiri secara berperingkat? Anda perlu mengikuti pelan tindakan ini:

Kami menunjukkan dengan bahagian belakang gunting garis-garis yang anda ingin bengkokkan, mengikut arahan. Bengkokkan semua garisan
Di mana perlu, kami membuat pemotongan.
Kami gam dengan bantuan PVA serpihan yang bertujuan untuk mengikat bahagian menjadi satu keseluruhan.

Model siap boleh dicat semula dalam mana-mana warna, atau anda boleh mengambil kadbod berwarna untuk bekerja terlebih dahulu. Tetapi walaupun objek itu diperbuat daripada kertas putih, bagaimanapun, setiap orang yang pertama kali memasuki ruang tamu anda pasti akan berkecil hati dengan kerajinan seperti itu.

Corak segi tiga

Bagaimana untuk melukis segitiga Penrose? Tidak semua orang suka origami, tetapi ramai orang suka melukis.

Sebagai permulaan, segi empat sama biasa dari sebarang saiz digambarkan. Kemudian segitiga dilukis di dalam, asasnya adalah bahagian bawah persegi. Segi empat tepat kecil sesuai dengan setiap sudut, semua sisinya dipadamkan; hanya sisi yang bersebelahan dengan segi tiga yang kekal. Ini adalah perlu untuk memastikan garis lurus. Ternyata segitiga dengan sudut terpotong.

Peringkat seterusnya ialah imej dimensi kedua. Garis lurus yang ketat dilukis dari sebelah kiri sudut bawah atas. Garis yang sama dilukis bermula dari sudut kiri bawah, dan sedikit tidak dibawa ke garis ukuran pertama 2. Garisan lain dilukis dari sudut kanan selari dengan bahagian bawah rajah utama.

Langkah terakhir ialah melukis dimensi ketiga di dalam dimensi kedua menggunakan tiga lagi garisan kecil. Garisan kecil bermula dari garisan dimensi kedua dan melengkapkan imej isipadu tiga dimensi.

Tokoh Penrose yang lain

Dengan analogi yang sama, anda boleh melukis bentuk lain - segi empat sama atau heksagon. Ilusi akan dikekalkan. Namun begitu, angka-angka ini tidak lagi begitu menakjubkan. Poligon sebegitu nampaknya sangat berpintal. Grafik moden membolehkan anda membuat versi yang lebih menarik bagi segi tiga yang terkenal.

Selain segi tiga, tangga Penrose juga terkenal di dunia. Ideanya adalah untuk menipu mata supaya kelihatan orang itu sentiasa bergerak ke atas apabila bergerak mengikut arah jam, dan jika bergerak mengikut lawan jam, kemudian ke bawah.

Tangga berterusan lebih dikenali dengan kaitan dengan lukisan M. Escher Menaik dan Menurun. Menariknya, apabila seseorang melalui semua 4 penerbangan tangga ilusi ini, dia selalu berakhir di tempat asalnya.

Objek lain diketahui mengelirukan minda manusia, seperti bar yang mustahil. Atau kotak yang dibuat mengikut undang-undang ilusi yang sama dengan tepi bersilang. Tetapi semua objek ini telah dicipta berdasarkan artikel oleh saintis yang luar biasa - Roger Penrose.

Segitiga yang mustahil di Perth

Tokoh yang dinamakan sempena ahli matematik itu dihormati. Dia mendirikan sebuah monumen. Pada tahun 1999, di salah sebuah bandar di Australia (Perth), sebuah segitiga Penrose aluminium besar telah dipasang, iaitu setinggi 13 meter. Pelancong gembira bergambar di sebelah gergasi aluminium itu. Tetapi jika anda memilih sudut pandangan yang berbeza untuk fotografi, maka penipuan menjadi jelas.

Hari ini saya membuka bahagian baharu yang dipanggil "Memotong", di mana saya akan menyiarkan lukisan, templat, serta corak ilusi optik. Hari ini kita akan membuat segitiga mustahil dari kertas. Oleh kerana kita tidak boleh mencipta segitiga mustahil, kita akan mencipta model yang akan kita pertimbangkan dari sudut tertentu.

Muat turun dan cetak
Ikut arahan dalam gambar

Bagaimana untuk mempertimbangkan segitiga mustahil dengan betul?

Oleh kerana ilusi adalah berdasarkan lukisan samar-samar kubus dalam pandangan isometrik. Kemudian dalam orientasi ini, sudut yang paling dekat dengan penonton dan sudut jauh dari penonton akan bertepatan. Ini bermakna apabila menuruni tepi terdekat kubus, dan dua tepi bawah, kita kembali ke titik permulaan, di mana laluan sebenarnya berakhir di sudut jauh.

Segitiga Penrose yang mustahil ini

Di kawasan sebegitu seni bergambar, seperti melukis kulit manusia, trend terkini hari ini ialah angka ilusi optik, khususnya segitiga Penrose, atau tribar, yang juga dipanggil mustahil. Buat pertama kalinya bentuk ini ditemui, atau dicipta, oleh pelukis Sweden Oscar Reutersvärd, yang mempersembahkannya kepada dunia dalam bentuk satu set kiub pada permulaan tahun 1935. Kemudian, sudah pada tahun 80-an abad kita, corak tribar dicetak di Sweden pada setem pos.

Walau bagaimanapun, imej segitiga Penrose yang mustahil, yang tergolong dalam kategori ilusi optik, diketahui secara meluas pada tahun 1958, selepas penerbitan penerbitan ahli matematik Inggeris Roger Penrose mengenai angka mustahil, yang diterbitkan dalam British Journal of Psychology. Diilhamkan oleh siaran ini, pelukis terkenal dari Holland Maurits Escher yang dicipta pada tahun 1961 salah satu karyanya yang paling popular "Waterfall".

Ilusi optikal

Ilusi optik dalam lukisan ialah ilusi visual persepsi gambar sebenar, buatan artis susunan garisan tertentu pada satah. Pada masa yang sama, penonton secara salah menilai saiz sudut angka atau panjang sisinya, yang merupakan subjek kajian subseksyen psikologi seperti, sebagai contoh, terapi gestalt. Selain Escher, seorang lagi gemar mencipta ilusi optik. artis hebat- di seluruh dunia El Salvador yang terkenal Dali. Ilustrasi yang jelas tentang keghairahannya adalah, sebagai contoh, lukisan "Angsa tercermin dalam gajah."

Segitiga yang disebutkan di atas juga merujuk kepada ilusi optik, lebih tepat kepada bahagian itu, yang dipanggil angka mustahil. Mereka dipanggil demikian kerana perasaan yang timbul apabila melihat bentuk sedemikian rupa sehingga kewujudannya dunia sebenar cuma mustahil.

Aplikasi ilusi

Oleh kerana bentuknya yang unik, objek ilusi menjadi subjek perhatian bukan sahaja untuk artis dan artis tatu - segitiga yang dibuat sendiri atau dengan bantuan profesional juga boleh bertindak sebagai logo syarikat. Contoh hebat penggunaan bentuk ilusi ini ialah: logo kumpulan muzik psychedelic yang memainkan muzik rakyat, Conundum in Deed, yang merupakan kiub mustahil, atau jenama pengeluar cip Digilent Inc, yang merupakan imej segi tiga klasik Penrose.

Anda boleh membuat logo anda sendiri tanpa menggunakan profesional. Untuk melakukan ini, hanya ikut arahan, berikutan anda boleh melakukan kedua-dua lukisan mudah di atas kertas atau dalam tablet, dan membuat angka isipadu. Ia boleh diletakkan sebagai tanda atau pengiklanan luar kedai anda.

Bagaimana untuk melakukannya sendiri

Arahan langkah demi langkah tentang cara melukis tribar menggunakan Adobe Illustrator:

Mula-mula anda perlu membuat 3 segi empat sama dengan alat Rectangle. Untuk melakukan ini, anda perlu pergi ke menu Lihat dahulu dan dayakan Panduan Pintar.
Sekarang anda perlu memilih semuanya dan pergi ke menu Objek, kemudian ke Transform dan buka Transform masing-masing, di mana dalam tetingkap Skala anda perlu meletakkan nilai Vertical Scale = 86.6% dan klik OK.
Kini anda perlu menetapkan setiap muka sudut putarannya sendiri, dan untuk ini pergi ke Transform terbuka Tetingkap. Di sana, mula-mula letakkan nilai untuk bevel (Ricih), dan kemudian untuk putaran (Putar): permukaan atas kubus ialah Ricih +30 °, Putar -30 °; permukaan kanan - Ricih +30°, Putar +30°; permukaan kiri — Ricih -30°, Putar -30°.
Sekarang, menggunakan garisan Panduan Pintar, anda perlu mencantumkan semua bahagian kiub bersama-sama: untuk melakukan ini, cangkuk sudut salah satu sisi dengan tetikus dan tariknya ke bahagian lain, selaraskannya.
Pada peringkat ini, anda perlu memutarkan kubus sebanyak 30°: untuk melakukan ini, pergi ke Objek, pilih Transform dan Putar, tetapkan nilai sudut di sana kepada 30° dan klik OK.
Memandangkan anda memerlukan 6 kiub untuk mendapatkan tri-bar, anda harus memilih kiub, tekan Alt dan Shift dan seret objek yang dipilih ke tepi dengan tetikus, meregangkannya ke arah mendatar. Tanpa mengalih keluar pilihan, tekan CMD + D 6 kali. Kami mendapat 6 kiub.
Meninggalkan pilihan pada kiub terakhir, tekan Enter dan dalam tetingkap Move tukar nilai sudut kepada 240 °, kemudian tekan Salin. Kemudian sekali lagi tekan CMD + D sehingga anda mendapat 6 salinan.
Sekarang ulangi segala-galanya: tekan Enter sekali lagi, pilih kiub terakhir, hanya tetapkan sudut kepada 120 ° dan buat hanya 5 salinan.
Menggunakan Alat Pemilihan, anda perlu memilih permukaan atas bentuk (anda boleh mewarnakannya semula untuk menjadikannya lebih jelas), buka menu Objek - Susun - Hantar ke belakang. Sekarang pilih permukaan dicat kubus atas, pergi ke Objek - Susun - Bawa ke Depan.

Ilusi Penrose sudah sedia. Ia boleh disiarkan pada halaman anda dalam rangkaian sosial atau blog, atau digunakan untuk perniagaan.

Segitiga mustahil adalah salah satu paradoks matematik yang menakjubkan. Pada pandangan pertama kepadanya, anda tidak boleh meragui kewujudan sebenar beliau. Namun, ini hanyalah ilusi, penipuan. Dan kemungkinan ilusi sedemikian akan dijelaskan kepada kita oleh matematik!

Penemuan Penroses

Pada tahun 1958, Jurnal Psikologi British menerbitkan artikel oleh L. Penrose dan R. Penrose, di mana mereka memperkenalkan kepada pertimbangan jenis baru ilusi optik, yang mereka panggil "segitiga mustahil".

Segitiga mustahil secara visual dianggap sebagai struktur yang sebenarnya wujud dalam ruang tiga dimensi dan terdiri daripada bar segi empat tepat. Tetapi ini hanyalah ilusi optik. Adalah mustahil untuk membina model sebenar segitiga mustahil.

Artikel Penrose mengandungi beberapa pilihan untuk menggambarkan segitiga mustahil. - persembahan "klasik".

Apakah unsur yang membentuk segitiga mustahil?

Lebih tepat lagi, dari elemen apakah yang nampaknya kita bina? Reka bentuk adalah berdasarkan sudut segi empat tepat, yang diperoleh dengan menyambungkan dua bar segi empat tepat yang sama pada sudut tepat. Tiga sudut sedemikian diperlukan, dan bar, oleh itu, enam keping. Sudut ini mesti "disambungkan" secara visual antara satu sama lain dengan cara tertentu supaya ia membentuk rantai tertutup. Apa yang berlaku ialah segitiga mustahil.

Letakkan sudut pertama dalam satah mendatar. Kami akan melampirkan sudut kedua padanya, mengarahkan salah satu tepinya ke atas. Akhir sekali, kami menambah sudut ketiga pada sudut kedua ini supaya tepinya selari dengan satah mendatar asal. Dalam kes ini, dua tepi sudut pertama dan ketiga akan selari dan diarahkan ke arah yang berbeza.

Jika kita menganggap bar sebagai segmen panjang unit, maka hujung bar sudut pertama mempunyai koordinat, dan, sudut kedua - , dan, ketiga - , dan. Kami mendapat struktur "berpusing" yang sebenarnya wujud dalam ruang tiga dimensi.

Dan sekarang mari kita cuba melihatnya secara mental dari sudut yang berbeza di angkasa. Bayangkan bagaimana ia kelihatan dari satu titik, dari yang lain, dari yang ketiga. Apabila menukar titik pemerhatian, nampaknya kedua-dua tepi "hujung" sudut kita bergerak secara relatif antara satu sama lain. Tidak sukar untuk mencari kedudukan di mana mereka akan berhubung.

Tetapi jika jarak antara rusuk adalah lebih kurang daripada jarak dari sudut ke titik dari mana kita melihat struktur kita, maka kedua-dua rusuk akan mempunyai ketebalan yang sama untuk kita, dan idea akan timbul bahawa kedua-dua rusuk ini sebenarnya adalah kesinambungan antara satu sama lain. Keadaan ini ditunjukkan dalam 4.

Dengan cara ini, jika kita melihat pantulan struktur secara serentak di cermin, maka kita tidak akan melihat litar tertutup di sana.

Dan dari sudut pemerhatian yang dipilih, kita melihat dengan mata kita sendiri keajaiban yang telah berlaku: terdapat rantaian tertutup tiga penjuru. Cuma jangan ubah sudut pemerhatian supaya ilusi ini tidak runtuh. Kini anda boleh melukis objek yang anda lihat atau meletakkan lensa kamera pada titik yang ditemui dan mendapatkan gambar objek yang mustahil.

The Penroses adalah orang pertama yang berminat dengan fenomena ini. Mereka menggunakan kemungkinan yang timbul apabila memetakan ruang tiga dimensi dan objek tiga dimensi pada satah dua dimensi dan menarik perhatian kepada beberapa ketidakpastian reka bentuk - pembinaan terbuka tiga sudut boleh dianggap sebagai rantai tertutup.

Bukti kemustahilan segitiga Penrose

Menganalisis ciri imej dua dimensi objek tiga dimensi pada satah, kami memahami bagaimana ciri paparan ini membawa kepada segitiga mustahil. Mungkin seseorang akan berminat dengan bukti matematik semata-mata.

Sangat mudah untuk membuktikan bahawa segitiga mustahil tidak wujud, kerana setiap sudutnya adalah betul, dan jumlahnya ialah 270 darjah dan bukannya "diletakkan" 180 darjah.

Lebih-lebih lagi, walaupun kita menganggap segitiga mustahil terpaku bersama dari sudut kurang daripada 90 darjah, maka dalam kes ini kita dapat membuktikan bahawa segitiga mustahil tidak wujud.

Kami melihat tiga muka rata. Mereka bersilang secara berpasangan di sepanjang garis lurus. Satah yang mengandungi muka ini berpasangan ortogon, jadi ia bersilang pada satu titik.

Di samping itu, garis persilangan bersama satah mesti melalui titik ini. Oleh itu, garis lurus 1, 2, 3 mesti bersilang pada satu titik.

Tetapi tidak. Oleh itu, pembinaan yang dibentangkan adalah mustahil.

Seni "Mustahil".

Nasib idea ini atau itu - saintifik, teknikal, politik - bergantung pada banyak keadaan. Dan tidak kurang juga pada bentuk di mana idea ini akan dibentangkan, dalam imej apa ia akan muncul kepada orang awam. Sama ada penjelmaan itu akan kering dan sukar untuk dilihat, atau, sebaliknya, manifestasi idea itu akan menjadi terang, menarik perhatian kita walaupun bertentangan dengan kehendak kita.

Segitiga mustahil mempunyai nasib yang bahagia. Pada tahun 1961, artis Belanda Moritz Escher menyiapkan litograf yang dipanggil "Air Terjun". Artis telah datang jauh tetapi pantas dari idea segitiga mustahil kepada penjelmaan artistiknya yang menakjubkan. Ingat bahawa artikel Penrose muncul pada tahun 1958.

Di tengah-tengah "Air Terjun" terdapat dua segitiga mustahil ditunjukkan. Satu segi tiga besar, satu lagi segitiga terletak di dalamnya. Nampaknya tiga segitiga mustahil yang serupa digambarkan. Tetapi ini bukan maksudnya, reka bentuk yang dibentangkan agak rumit.

Sekali pandang, kemustahilannya tidak akan dapat dilihat dengan serta-merta kepada semua orang, kerana setiap sambungan yang dikemukakan adalah mungkin. seperti yang mereka katakan, secara tempatan, iaitu, di kawasan kecil lukisan, reka bentuk sedemikian boleh dilaksanakan ... Tetapi secara umum, ia adalah mustahil! Potongan individunya tidak sesuai bersama, tidak bersetuju antara satu sama lain.

Dan untuk memahami perkara ini, kita mesti menggunakan usaha intelek dan visual tertentu.

Mari kita melakukan perjalanan di sepanjang tepi struktur. Laluan ini luar biasa kerana di sepanjangnya, seperti yang kita lihat, tahap relatif kepada satah mendatar kekal tidak berubah. Bergerak di sepanjang jalan ini, kita tidak naik dan tidak turun.

Dan segala-galanya akan baik-baik saja, biasa, jika di penghujung jalan - iaitu pada titik - kita tidak akan mendapati bahawa, berbanding dengan awal, titik permulaan, kita entah bagaimana secara misterius tidak dapat dibayangkan memanjat menegak!

Untuk mencapai keputusan paradoks ini, kita mesti memilih jalan ini, dan juga memantau tahap relatif kepada satah mendatar ... Bukan tugas yang mudah. Dalam keputusannya, Escher datang untuk membantu ... air. Mari kita ingat lagu tentang pergerakan dari indah kitaran vokal Franz Schubert "The Beautiful Miller"

Dan pertama dalam imaginasi, dan kemudian di tangan tuan yang indah, struktur kosong dan kering berubah menjadi saluran air, di mana aliran air yang bersih dan cepat mengalir. Pergerakan mereka menangkap pandangan kita, dan sekarang, di luar kehendak kita, kita bergegas ke hilir, mengikuti semua selekoh dan selekoh jalan, bersama-sama dengan aliran yang kita pecah, jatuh pada bilah kilang air, kemudian lagi bergegas ke hilir .. .

Kami mengelilingi jalan ini sekali, dua kali, sepertiga ... dan barulah kami sedar: bergerak ke bawah dan s, kami entah bagaimana dengan cara yang hebat mari naik ke puncak! Kejutan awal berkembang menjadi sejenis ketidakselesaan intelektual. Nampaknya kita telah menjadi mangsa beberapa jenis gurauan, objek gurauan yang masih belum difahami.

Dan sekali lagi kita mengulangi laluan ini di sepanjang saluran air yang pelik, kini perlahan-lahan, dengan berhati-hati, seolah-olah takut helah dari gambaran paradoks, secara kritis melihat segala yang berlaku di laluan misteri ini.

Kami cuba merungkai misteri yang telah memukau kami, dan kami tidak dapat melepaskan diri dari kurungannya sehingga kami menemui mata air tersembunyi yang terletak pada dasarnya dan membawa angin puyuh yang tidak dapat dibayangkan ke dalam gerakan yang tidak henti-hentinya.

Seniman secara khusus menekankan, mengenakan kepada kita persepsi lukisannya sebagai imej objek tiga dimensi sebenar. Jumlahnya ditekankan oleh imej polihedron yang agak nyata di menara, kerja bata dengan perwakilan paling tepat setiap bata di dinding saluran air, teres yang meningkat dengan taman di latar belakang. Semuanya direka untuk meyakinkan penonton tentang realiti apa yang berlaku. Dan terima kasih kepada seni dan teknik yang hebat matlamat ini telah tercapai.

Apabila kita keluar dari kurungan di mana kesedaran kita jatuh, kita mula membandingkan, membezakan, menganalisis, kita mendapati bahawa asas, sumber gambar ini tersembunyi dalam ciri reka bentuk.

Dan kami mendapat satu lagi - bukti "fizikal" tentang kemustahilan "segitiga mustahil": jika segitiga sedemikian wujud, maka "Air Terjun" Escher juga akan wujud, yang pada asasnya adalah mesin gerakan kekal. Tetapi mesin gerakan kekal adalah mustahil, oleh itu, "segitiga mustahil" juga mustahil. Dan, mungkin, "bukti" ini adalah yang paling meyakinkan.

Apakah yang menjadikan Moritz Escher sebagai fenomena, seorang yang unik yang tidak mempunyai pendahulu yang jelas dalam seni dan yang tidak boleh ditiru? Ini adalah gabungan satah dan isipadu, perhatian yang teliti kepada bentuk-bentuk pelik mikrokosmos - hidup dan tidak hidup, kepada sudut pandangan luar biasa pada perkara biasa. Kesan utama gubahannya ialah kesan kemunculan hubungan mustahil antara objek biasa. Situasi ini pada pandangan pertama boleh menakutkan dan menyebabkan senyuman. Anda boleh dengan senang hati melihat keseronokan yang ditawarkan oleh artis, atau anda boleh terjun ke kedalaman dialektik dengan serius.

Moritz Escher menunjukkan bahawa dunia mungkin tidak sama sekali seperti yang kita lihat dan sudah biasa melihatnya - anda hanya perlu melihatnya dari sudut pandangan yang berbeza dan baharu!

Moritz Escher

Moritz Escher lebih bertuah sebagai seorang saintis daripada sebagai seorang artis. Ukiran dan litografnya dilihat sebagai kunci untuk membuktikan teorem atau contoh balas asal yang mencabar akal. Paling teruk, mereka dianggap sebagai ilustrasi yang indah kepada risalah saintifik tentang kristalografi, teori kumpulan, psikologi kognitif, atau grafik komputer. Moritz Escher bekerja dalam bidang hubungan ruang-masa dan identiti mereka, dia menggunakan corak asas mozek, menerapkan transformasi kepada mereka. Ini adalah Tuan yang hebat ilusi optik. Ukiran Escher tidak menggambarkan dunia formula, tetapi keindahan dunia. Gudang intelektual mereka pada asasnya menentang ciptaan tidak logik golongan surealis.

Artis Belanda Moritz Cornelius Escher dilahirkan pada 17 Jun 1898 di wilayah Belanda. Rumah tempat Escher dilahirkan kini menjadi muzium.

Sejak 1907, Moritz telah belajar pertukangan dan bermain piano, belajar di sekolah Menengah. Gred Moritz dalam semua mata pelajaran adalah lemah kecuali untuk lukisan. Guru seni menyedari bakat budak lelaki itu dan mengajarnya cara membuat potongan kayu.

Pada tahun 1916 Escher membuat persembahan pertamanya kerja grafik, ukiran pada linoleum ungu - potret bapanya G. A. Escher. Dia melawat bengkel artis Gert Stiegemann, yang mempunyai mesin cetak. Ukiran pertama Escher dicetak pada mesin ini.

Pada 1918-1919 Escher menghadiri Kolej Teknikal di bandar Delft, Belanda. Dia menerima penangguhan daripada perkhidmatan ketenteraan untuk menyambung pelajarannya, tetapi kerana kesihatan yang tidak baik, Moritz tidak menghadapi kurikulum, dan dibuang kerja. Akibatnya, dia tidak pernah menerima pendidikan tinggi. Dia belajar di Sekolah Seni Bina dan Hiasan di Haarlem, di mana dia mengambil pelajaran lukisan daripada Samuel Jeserin de Mesquite, yang mempunyai pengaruh formatif pada kehidupan dan kerja Escher.

Pada tahun 1921 keluarga Escher melawat Riviera dan Itali. Terpesona dengan tumbuh-tumbuhan dan bunga iklim Mediterranean, Moritz membuat lukisan terperinci kaktus dan pokok zaitun. Dia melakar banyak lakaran landskap gunung, yang kemudiannya menjadi asas kerjanya. Kemudian, dia akan sentiasa kembali ke Itali, yang akan menjadi sumber inspirasi untuknya.

Escher mula bereksperimen ke arah yang baru untuk dirinya sendiri, walaupun dalam karyanya terdapat imej cermin, angka kristal dan sfera.

Penghujung tahun dua puluhan terbukti menjadi tempoh yang sangat bermanfaat untuk Moritz. Karya beliau telah ditunjukkan di banyak pameran di Belanda, dan pada tahun 1929 populariti beliau telah mencapai tahap sedemikian rupa sehingga lima pameran solo diadakan dalam satu tahun di Belanda dan Switzerland. Dalam tempoh inilah lukisan Escher pertama kali dipanggil mekanikal dan "logik".

Asher banyak mengembara. Tinggal di Itali dan Switzerland, Belgium. Dia mengkaji mozek Moor, membuat litograf, ukiran. Berdasarkan lakaran perjalanan, dia mencipta lukisan pertamanya tentang realiti mustahil Still Life with Street.

Pada akhir tiga puluhan, Escher terus bereksperimen dengan mozek dan transformasi. Dia mencipta mozek dalam bentuk dua burung terbang ke arah satu sama lain, yang membentuk asas lukisan "Siang dan Malam".

Pada Mei 1940, Nazi menduduki Belanda dan Belgium, dan pada 17 Mei, Brussels juga jatuh ke dalam zon pendudukan, di mana Escher dan keluarganya tinggal pada masa itu. Mereka mencari rumah di Varna dan berpindah ke sana pada Februari 1941. Sehingga akhir zamannya, Escher akan tinggal di kota ini.

Pada tahun 1946, Escher mula berminat dengan teknologi. gravure. Dan walaupun teknologi ini jauh lebih rumit daripada yang digunakan oleh Escher sebelum ini dan memerlukan lebih banyak masa untuk mencipta gambar, hasilnya mengagumkan - garis nipis dan pembiakan bayang-bayang yang tepat. Salah satu yang paling karya terkenal dalam percetakan gravure "Dewdrop" telah siap pada tahun 1948.

Pada tahun 1950, Moritz Escher mendapat populariti sebagai pensyarah. Kemudian, pada tahun 1950, yang pertama pameran peribadi di Amerika Syarikat dan mula membeli kerjanya. 27 April 1955 Moritz Escher bergelar kesatria dan menjadi bangsawan.

Pada pertengahan 1950-an, Escher menggabungkan mozek dengan figura yang mencapai infiniti.

Pada awal 60-an, buku pertama dengan karya Escher, Grafiek en Tekeningen, telah diterbitkan, di mana penulis sendiri mengulas 76 karya. Buku ini telah membantu mendapatkan pemahaman di kalangan ahli matematik dan kristalografi, termasuk beberapa di Rusia dan Kanada.

Pada Ogos 1960 Escher memberikan syarahan mengenai kristalografi di Cambridge. Aspek matematik dan kristalografi karya Escher menjadi sangat popular.

Pada tahun 1970 selepas siri baru Operasi Escher berpindah ke rumah baru di Laren, yang mempunyai sebuah studio, tetapi kesihatan yang tidak baik menjadikannya mustahil untuk bekerja keras.

Moritz Escher meninggal dunia pada tahun 1971 pada usia 73 tahun. Escher hidup cukup lama untuk melihat The World of M.C. Escher diterjemahkan ke dalam Bahasa Inggeris dan sangat berpuas hati dengannya.

Macam-macam gambar yang mustahil terdapat di laman web ahli matematik dan pengaturcara. paling versi penuh dari yang kami lihat, pada pendapat kami, adalah tapak Vlad Alekseev

Laman web ini bukan sahaja membentangkan pelbagai jenis lukisan terkenal, termasuk M. Escher, tetapi juga imej animasi, lukisan lucu haiwan mustahil, syiling, setem, dsb. Laman web ini hidup, ia dikemas kini secara berkala dan diisi semula dengan lukisan yang menakjubkan.