Online na calculator.
Pag-squaring ng binomial at pag-factor nito quadratic trinomial.

Yung. ang mga problema ay kumukulo sa paghahanap ng mga numero \(p, q\) at \(n, m\)

Ang programa ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ngunit ipinapakita din ang proseso ng solusyon.

Maaaring maging kapaki-pakinabang ang programang ito para sa mga mag-aaral sa high school mga paaralang sekondarya bilang paghahanda sa mga pagsubok at mga pagsusulit, kapag sinusuri ang kaalaman bago ang Pinag-isang Pagsusulit ng Estado, para makontrol ng mga magulang ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ito sa lalong madaling panahon? takdang aralin sa matematika o algebra? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may mga detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay sa iyong mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng paglutas ng mga problema.

Kung hindi ka pamilyar sa mga patakaran para sa pagpasok ng isang quadratic trinomial, inirerekomenda namin na maging pamilyar ka sa mga ito.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng isang quadratic polynomial

Anumang Latin na titik ay maaaring kumilos bilang isang variable.
Halimbawa: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), atbp.

Maaaring ipasok ang mga numero bilang buo o fractional na mga numero.
Bukod dito, ang mga fractional na numero ay maaaring ipasok hindi lamang sa anyo ng isang decimal, kundi pati na rin sa anyo ng isang ordinaryong fraction.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga decimal fraction.
Sa mga decimal fraction, ang fractional na bahagi ay maaaring ihiwalay mula sa buong bahagi sa pamamagitan ng alinman sa isang tuldok o kuwit.
Halimbawa, maaari kang pumasok mga decimal tulad nito: 2.5x - 3.5x^2

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga ordinaryong fraction.
Isang buong numero lamang ang maaaring kumilos bilang numerator, denominator at integer na bahagi ng isang fraction.

Ang denominator ay hindi maaaring negatibo.

Kapag nagpapasok ng isang numerical fraction, ang numerator ay pinaghihiwalay mula sa denominator sa pamamagitan ng isang tanda ng dibisyon: /
Ang buong bahagi ay pinaghihiwalay mula sa fraction ng ampersand sign: &
Input: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Resulta: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

Kapag nagpapasok ng isang expression maaari kang gumamit ng panaklong. Sa kasong ito, kapag nag-solve, ang ipinakilala na expression ay unang pinasimple.
Halimbawa: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Halimbawa detalyadong solusyon

Paghihiwalay ng parisukat ng isang binomial.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\kaliwa(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Sagot:$$2x^2+2x-4 = 2\kaliwa(x+\frac(1)(2) \kanan)^2-\frac(9)(2) $$ Factorization.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\kaliwa(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \kanan) = $$ $$ 2 \kaliwa(x -1 \kanan) \kaliwa(x +2 \kanan) $$ Sagot:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Natuklasan na ang ilang mga script na kinakailangan upang malutas ang problemang ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.

kasi Maraming mga tao na handang lutasin ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Sa ilang segundo ang solusyon ay lilitaw sa ibaba.
Mangyaring maghintay sec...

kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.

Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Isang maliit na teorya.

Paghihiwalay ng parisukat ng isang binomial mula sa isang parisukat na trinomyal

Kung ang parisukat na trinomial ax 2 +bx+c ay kinakatawan bilang a(x+p) 2 +q, kung saan ang p at q ay tunay na mga numero, pagkatapos ay sinasabi natin na mula sa square trinomial, naka-highlight ang square ng binomial.

Mula sa trinomial 2x 2 +12x+14 kinukuha namin ang parisukat ng binomial.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Upang gawin ito, isipin ang 6x bilang isang produkto ng 2*3*x, at pagkatapos ay idagdag at ibawas ang 3 2. Nakukuha namin ang:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

yun. Kami kunin ang square binomial mula sa square trinomial, at ipinakita na:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Pag-factor ng isang quadratic trinomial

Kung ang square trinomial ax 2 +bx+c ay kinakatawan sa anyong a(x+n)(x+m), kung saan ang n at m ay tunay na mga numero, kung gayon ang operasyon ay sinasabing isinagawa. factorization ng isang quadratic trinomial.

Ipakita natin sa isang halimbawa kung paano ginagawa ang pagbabagong ito.

I-factor natin ang quadratic trinomial 2x 2 +4x-6.

Alisin natin ang coefficient a sa mga bracket, i.e. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Ibahin natin ang expression sa mga bracket.
Upang gawin ito, isipin ang 2x bilang pagkakaiba na 3x-1x, at -3 bilang -1*3. Nakukuha namin ang:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

yun. Kami isinasali ang quadratic trinomial, at ipinakita na:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Tandaan na ang pag-factor ng isang quadratic trinomial ay posible lamang kapag, quadratic equation, na naaayon sa trinomial na ito ay may mga ugat.
Yung. sa aming kaso, posibleng i-factor ang trinomial 2x 2 +4x-6 kung ang quadratic equation na 2x 2 +4x-6 =0 ay may mga ugat. Sa proseso ng factorization, itinatag namin na ang equation na 2x 2 + 4x-6 = 0 ay may dalawang ugat 1 at -3, dahil sa mga halagang ito, ang equation na 2(x-1)(x+3)=0 ay nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay.

Anong nangyari factorization? Ito ay isang paraan upang gawing simple at maganda ang isang hindi maginhawa at kumplikadong halimbawa.) Isang napakalakas na pamamaraan! Ito ay matatagpuan sa bawat hakbang sa parehong elementarya at mas mataas na matematika.

Ang ganitong mga pagbabago sa matematikal na wika ay tinatawag na magkaparehong pagbabago ng mga ekspresyon. Para sa mga hindi nakakaalam, tingnan ang link. Napakakaunti doon, simple at kapaki-pakinabang.) Ang kahulugan ng anumang pagbabago sa pagkakakilanlan ay ang pagtatala ng ekspresyon sa ibang anyo habang pinapanatili ang kakanyahan nito.

Ibig sabihin factorization sobrang simple at malinaw. Mula mismo sa pangalan. Maaaring nakalimutan mo (o hindi alam) kung ano ang multiplier, ngunit maaari mong malaman na ang salitang ito ay nagmula sa salitang "multiply"?) Ang ibig sabihin ng Factoring ay: kumakatawan sa isang ekspresyon sa anyo ng pagpaparami ng isang bagay sa isang bagay. Nawa'y patawarin ako ng matematika at wikang Ruso...) Iyon lang.

Halimbawa, kailangan mong palawakin ang numerong 12. Maaari mong ligtas na isulat ang:

Kaya ipinakita namin ang numero 12 bilang isang multiplikasyon ng 3 sa 4. Pakitandaan na ang mga numero sa kanan (3 at 4) ay ganap na naiiba kaysa sa kaliwa (1 at 2). Ngunit lubos naming naiintindihan na ang 12 at 3 4 pareho. Ang kakanyahan ng numero 12 mula sa pagbabagong-anyo hindi nagbago.

Posible bang mabulok ang 12 sa ibang paraan? Madali lang!

12=3·4=2·6=3·2·2=0.5·24=........

Ang mga pagpipilian sa agnas ay walang katapusan.

Ang pag-factor ng mga numero ay isang kapaki-pakinabang na bagay. Malaki ang naitutulong nito, halimbawa, kapag nagtatrabaho sa mga ugat. Ngunit ang factoring algebraic expression ay hindi lamang kapaki-pakinabang, ito ay kailangan! Halimbawa lang:

Pasimplehin:

Ang mga hindi alam kung paano i-factor ang isang expression ay nasa gilid. Ang mga nakakaalam kung paano - pasimplehin at makuha ang:

Ang epekto ay kamangha-manghang, tama?) Sa pamamagitan ng paraan, ang solusyon ay medyo simple. Makikita mo para sa iyong sarili sa ibaba. O, halimbawa, ang gawaing ito:

Lutasin ang equation:

x 5 - x 4 = 0

Ito ay napagpasyahan sa isip, sa pamamagitan ng paraan. Gamit ang factorization. Lutasin natin ang halimbawang ito sa ibaba. Sagot: x 1 = 0; x 2 = 1.

O, ang parehong bagay, ngunit para sa mga nakatatanda):

Lutasin ang equation:

Sa mga halimbawang ito ay ipinakita ko pangunahing layunin factorization: pagpapasimple ng fractional expression at paglutas ng ilang uri ng equation. Inirerekomenda kong tandaan mo pamantayan:

Kung may nakakatakot sa harap namin fractional expression, maaari mong subukang i-factor ang numerator at denominator. Kadalasan ang fraction ay nababawasan at pinasimple.

Kung mayroon tayong isang equation sa harap natin, kung saan sa kanan ay zero, at sa kaliwa, hindi ko maintindihan kung ano, maaari nating subukang i-factor ang kaliwang bahagi. Minsan nakakatulong ito).

Mga pangunahing pamamaraan ng factorization.

Narito ang mga ito, ang pinakasikat na mga pamamaraan:

4. Pagpapalawak ng isang quadratic trinomial.

Ang mga pamamaraang ito ay dapat tandaan. Eksakto sa ayos na iyon. Ang mga kumplikadong halimbawa ay sinusuri para sa lahat mga posibleng paraan pagkabulok. At mas mabuting mag-check in order para hindi malito... So let's start in order.)

1. Pag-alis ng karaniwang salik sa mga bracket.

Simple at maaasahang paraan. Walang masamang nanggaling sa kanya! It happens either well or not at all.) Kaya naman nauuna siya. Alamin natin ito.

Alam ng lahat (naniniwala ako!) ang panuntunan:

a(b+c) = ab+ac

O higit pang mga pangkalahatang pananaw:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....

Gumagana ang lahat ng pagkakapantay-pantay mula kaliwa hanggang kanan at vice versa, mula kanan hanggang kaliwa. Maaari kang sumulat:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)

Iyan ang buong punto ng pag-alis ng karaniwang kadahilanan sa mga bracket.

Sa kaliwang bahagi A - karaniwang multiplier para sa lahat ng termino. Pinarami ng lahat ng bagay na umiiral). Sa kanan ang pinaka A ay matatagpuan na sa labas ng mga bracket.

Praktikal na paggamit Tingnan natin ang pamamaraan gamit ang mga halimbawa. Sa una ang pagpipilian ay simple, kahit primitive.) Ngunit sa pagpipiliang ito ay mapapansin ko ( berde) Napaka mahahalagang puntos para sa anumang factorization.

I-factorize:

ah+9x

Alin pangkalahatan lalabas ba ang multiplier sa parehong termino? X, siyempre! Ilalabas namin ito sa mga bracket. Gawin natin ito. Agad naming isinusulat ang X sa labas ng mga bracket:

ax+9x=x(

At sa panaklong isinusulat namin ang resulta ng paghahati bawat termino sa mismong X na ito. sa pagkakasunud-sunod:

Iyon lang. Siyempre, hindi na kailangang ilarawan ito nang detalyado, ito ay ginagawa sa isip. Ngunit ipinapayong maunawaan kung ano ang). Nagre-record kami sa memorya:

Isinulat namin ang karaniwang kadahilanan sa labas ng mga bracket. Sa panaklong isinusulat namin ang mga resulta ng paghahati ng lahat ng mga termino sa pamamagitan ng karaniwang salik na ito. Sa pagkakasunud-sunod.

Kaya pinalawak namin ang expression ah+9x sa pamamagitan ng multipliers. Ginawa itong pagpaparami ng x sa (a+9). Pansinin ko na sa orihinal na expression mayroon ding multiplikasyon, kahit dalawa: a·x at 9·x. Ngunit ito hindi factorized! Dahil bilang karagdagan sa multiplikasyon, ang expression na ito ay naglalaman din ng karagdagan, ang "+" sign! At sa pagpapahayag x(a+9) Walang iba kundi pagpaparami!

Paano kaya!? - Naririnig ko ang galit na boses ng mga tao - At sa mga bracket!?)

Oo, mayroong karagdagan sa loob ng mga panaklong. Ngunit ang trick ay na habang ang mga bracket ay hindi binuksan, isinasaalang-alang namin ang mga ito parang isang letra. At ginagawa namin ang lahat ng mga aksyon na may mga bracket nang buo, tulad ng sa isang letra. Sa ganitong kahulugan, sa pagpapahayag x(a+9) Walang iba maliban sa pagpaparami. Ito ang buong punto ng factorization.

Sa pamamagitan ng paraan, posible bang suriin kung ginawa namin ang lahat nang tama? Madali lang! Sapat na upang i-multiply pabalik ang inilagay mo (x) sa pamamagitan ng mga bracket at tingnan kung ito ay gumana orihinal pagpapahayag? Kung ito ay gumagana, ang lahat ay mahusay!)

x(a+9)=ax+9x

Nangyari.)

Walang mga problema sa primitive na halimbawang ito. Ngunit kung mayroong ilang mga termino, at kahit na may iba't ibang palatandaan... Sa madaling salita, bawat ikatlong estudyante ay nagkakagulo). Samakatuwid:

Kung kinakailangan, suriin ang factorization sa pamamagitan ng inverse multiplication.

I-factorize:

3ax+9x

Naghahanap kami ng isang karaniwang kadahilanan. Well, lahat ay malinaw sa X, maaari itong ilabas. meron pa ba pangkalahatan salik? Oo! Ito ay tatlo. Maaari mong isulat ang expression tulad nito:

3ax+3 3x

Dito ay agad na malinaw na ang karaniwang kadahilanan ay magiging 3x. Dito natin ilalabas:

3ax+3 3x=3x(a+3)

Maghiwa-hiwalay.

Ano ang mangyayari kung ilabas mo ito x lang? Normal lang, walang espesyal:

3ax+9x=x(3a+9)

Magiging factorization din ito. Ngunit dito kapana-panabik na proseso Nakaugalian na ilagay ang lahat hangga't maaari habang posible. Dito sa mga bracket ay may pagkakataon na maglabas ng tatlo. Ito ay lalabas:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

Ang parehong bagay, lamang sa isang karagdagang aksyon.) Tandaan:

Kapag inaalis ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket, sinusubukan naming alisin maximum karaniwang multiplier.

Itutuloy ba natin ang saya?)

Salik ang expression:

3akh+9х-8а-24

Ano ang aming dadalhin? Tatlo, X? Hindi... Hindi mo kaya. I remind you na pwede ka lang mag take out pangkalahatan multiplier yan sa lahat mga tuntunin ng pagpapahayag. Kaya pala siya pangkalahatan. Walang ganyang multiplier dito... Ano, hindi mo na kailangang palawakin pa!? Well, oo, napakasaya namin... Meet:

2. Pagpapangkat.

Sa totoo lang, mahirap pangalanan ang grupo sa isang malayang paraan factorization. Ito ay higit pa sa isang paraan upang makalabas kumplikadong halimbawa.) Kailangan nating igrupo ang mga termino para maayos ang lahat. Ito ay maipapakita lamang sa pamamagitan ng halimbawa. Kaya, mayroon kaming expression:

3akh+9х-8а-24

Makikita na mayroong ilang karaniwang mga titik at numero. Pero... Heneral walang multiplier sa lahat ng termino. Huwag tayong mawalan ng loob at hatiin ang ekspresyon sa mga piraso. Pagpapangkat. Upang ang bawat piraso ay may isang karaniwang kadahilanan, mayroong isang bagay na aalisin. Paano natin ito masisira? Oo, naglalagay lang kami ng panaklong.

Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na ang mga panaklong ay maaaring ilagay kahit saan at kahit anong gusto mo. Ang kakanyahan lamang ng halimbawa hindi nagbago. Halimbawa, magagawa mo ito:

3akh+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8а+24)

Mangyaring bigyang-pansin ang pangalawang bracket! Ang mga ito ay pinangungunahan ng isang minus sign, at 8a At 24 naging positive! Kung, upang suriin, bubuksan namin ang mga bracket pabalik, ang mga palatandaan ay magbabago, at makukuha namin orihinal pagpapahayag. Yung. ang kakanyahan ng expression mula sa mga bracket ay hindi nagbago.

Ngunit kung nagpasok ka lang ng mga panaklong nang hindi isinasaalang-alang ang pagbabago ng tanda, halimbawa, tulad nito:

3akh+9х-8а-24=(3ax+9x) -(8a-24 )

ito ay magiging isang pagkakamali. Sa kanan - na iba pa pagpapahayag. Buksan ang mga bracket at lahat ay makikita. Hindi mo na kailangang magdesisyon pa, oo...)

Ngunit bumalik tayo sa factorization. Tingnan natin ang mga unang bracket (3ax+9x) at sa tingin namin, mayroon bang anumang bagay na maaari naming ilabas? Well, nalutas namin ang halimbawang ito sa itaas, maaari naming kunin ito 3x:

(3ax+9x)=3x(a+3)

Pag-aralan natin ang pangalawang bracket, maaari tayong magdagdag ng walo doon:

(8a+24)=8(a+3)

Ang aming buong ekspresyon ay magiging:

(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)

Naka-factor? Hindi. Ang resulta ng agnas ay dapat na pagpaparami lamang Ngunit sa amin ang minus sign ay sumisira sa lahat. Ngunit... Ang parehong mga termino ay may isang karaniwang kadahilanan! Ito (a+3). Ito ay hindi para sa wala na sinabi ko na ang buong bracket ay, kumbaga, isang titik. Nangangahulugan ito na ang mga bracket na ito ay maaaring alisin sa mga bracket. Oo, ganyan talaga ang tunog.)

Ginagawa namin tulad ng inilarawan sa itaas. Sinusulat namin ang karaniwang kadahilanan (a+3), sa pangalawang bracket ay isinusulat namin ang mga resulta ng paghahati ng mga termino sa pamamagitan ng (a+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

Lahat! Walang anuman sa kanan maliban sa pagpaparami! Nangangahulugan ito na matagumpay na nakumpleto ang factorization!) Narito ito:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Ulitin natin sa madaling sabi ang kakanyahan ng grupo.

Kung ang expression ay hindi pangkalahatan multiplier para sa lahat mga tuntunin, sinisira namin ang expression sa mga bracket upang sa loob ng mga bracket ang karaniwang kadahilanan ay. Inilabas namin ito at tingnan kung ano ang mangyayari. Kung ikaw ay mapalad at may ganap na magkaparehong mga expression na natitira sa mga bracket, inililipat namin ang mga bracket na ito mula sa mga bracket.

Idaragdag ko na ang pagpapangkat ay isang malikhaing proseso). Hindi ito palaging gumagana sa unang pagkakataon. ayos lang. Minsan kailangan mong magpalit ng mga termino at isaalang-alang iba't ibang variant grupo hanggang sa matagpuan ang isang matagumpay. Ang pangunahing bagay dito ay hindi mawalan ng puso!)

Mga halimbawa.

Ngayon, sa pagpapayaman sa iyong sarili ng kaalaman, maaari mong lutasin ang mga nakakalito na halimbawa.) Sa simula ng aralin mayroong tatlo sa mga ito...

Pasimplehin:

Sa esensya, nalutas na natin ang halimbawang ito. Lingid sa ating kaalaman.) Ipinaaalala ko sa iyo: kung tayo ay bibigyan ng isang kahila-hilakbot na bahagi, sinusubukan nating i-factor ang numerator at denominator. Iba pang mga pagpipilian sa pagpapasimple hindi lang.

Well, ang denominator dito ay hindi pinalawak, ngunit ang numerator... Pinalawak na natin ang numerator sa panahon ng aralin! Ganito:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Isinulat namin ang resulta ng pagpapalawak sa numerator ng fraction:

Ayon sa tuntunin ng pagbabawas ng mga fraction (ang pangunahing katangian ng isang fraction), maaari nating hatiin (sa parehong oras!) ang numerator at denominator sa parehong numero, o expression. Fraction mula dito hindi nagbabago. Kaya hinati namin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng expression (3x-8). At dito at doon ay makakakuha tayo ng mga. Ang huling resulta ng pagpapasimple:

Gusto kong bigyang-diin lalo na: ang pagbawas ng isang fraction ay posible kung at kung sa numerator at denominator, bilang karagdagan sa pagpaparami ng mga expression walang kahit ano. Iyon ang dahilan kung bakit ang pagbabago ng kabuuan (pagkakaiba) sa pagpaparami napakahalaga para sa pagpapasimple. Siyempre, kung ang mga expression iba, tapos walang mababawasan. Mangyayari ito. Pero factorization nagbibigay ng pagkakataon. Ang pagkakataong ito na walang agnas ay wala doon.

Halimbawa na may equation:

Lutasin ang equation:

x 5 - x 4 = 0

Inalis namin ang karaniwang kadahilanan x 4 wala sa mga bracket. Nakukuha namin ang:

x 4 (x-1)=0

Napagtanto namin na ang produkto ng mga kadahilanan ay katumbas ng zero pagkatapos at pagkatapos lamang, kapag ang alinman sa mga ito ay zero. Kung may pag-aalinlangan, hanapin ako ng ilang di-zero na numero na, kapag pinarami, ay magbibigay ng zero.) Kaya't isinusulat namin, una ang unang kadahilanan:

Sa gayong pagkakapantay-pantay, ang pangalawang kadahilanan ay hindi nag-aalala sa atin. Kahit sino ay maaaring maging, ngunit sa huli ay magiging zero pa rin ito. Anong numero sa ikaapat na kapangyarihan ang ibinibigay ng zero? Zero lang! At walang iba... Samakatuwid:

Nalaman namin ang unang kadahilanan at natagpuan ang isang ugat. Tingnan natin ang pangalawang kadahilanan. Ngayon wala na kaming pakialam sa unang salik.):

Dito nakahanap kami ng solusyon: x 1 = 0; x 2 = 1. Ang alinman sa mga ugat na ito ay umaangkop sa aming equation.

napaka mahalagang paalaala. Pakitandaan na nalutas namin ang equation pira-piraso! Ang bawat salik ay katumbas ng zero, hindi alintana ang iba pang mga kadahilanan. Sa pamamagitan ng paraan, kung sa gayong equation ay walang dalawang kadahilanan, tulad ng sa amin, ngunit tatlo, lima, hangga't gusto mo, malulutas namin katulad. Piraso-piraso. Halimbawa:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

Ang sinumang magbukas ng mga bracket at magparami ng lahat ay mananatili sa equation na ito magpakailanman.) Ang isang tamang mag-aaral ay agad na makikita na walang anuman sa kaliwa maliban sa multiplikasyon, at zero sa kanan. At sisimulan niya (sa isip niya!) na i-equate ang lahat ng bracket para maging zero. At makakatanggap siya (sa 10 segundo!) ang tamang desisyon: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.

Cool, tama?) Ang ganitong eleganteng solusyon ay posible kung ang kaliwang bahagi ng equation factorized. Nakuha mo ba ang pahiwatig?)

Buweno, isang huling halimbawa, para sa mga nakatatanda):

Lutasin ang equation:

Ito ay medyo katulad sa nauna, hindi ba?) Siyempre. Oras na para tandaan na sa ikapitong baitang algebra, sines, logarithms, at anumang bagay ay maaaring maitago sa ilalim ng mga titik! Ang pag-factor ay gumagana sa buong matematika.

Inalis namin ang karaniwang kadahilanan lg 4x wala sa mga bracket. Nakukuha namin ang:

log 4 x=0

Ito ay isang ugat. Tingnan natin ang pangalawang kadahilanan.

Narito ang huling sagot: x 1 = 1; x 2 = 10.

Sana ay natanto mo ang kapangyarihan ng factoring sa pagpapasimple ng mga fraction at paglutas ng mga equation.)

Sa araling ito natutunan natin ang tungkol sa common factoring at grouping. Ito ay nananatiling maunawaan ang mga formula para sa pinaikling multiplikasyon at ang quadratic trinomial.

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)

Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Ang mga konsepto ng "polynomial" at "factorization ng isang polynomial" sa algebra ay madalas na nakatagpo, dahil kailangan mong malaman ang mga ito upang madaling magsagawa ng mga kalkulasyon na may malaking multi-digit na mga numero. Ang artikulong ito ay maglalarawan ng ilang mga paraan ng agnas. Ang lahat ng mga ito ay medyo simpleng gamitin; kailangan mo lamang piliin ang tama para sa bawat partikular na kaso.

Ang konsepto ng isang polynomial

Ang polynomial ay isang kabuuan ng monomials, iyon ay, mga expression na naglalaman lamang ng operasyon ng multiplikasyon.

Halimbawa, ang 2 * x * y ay isang monomial, ngunit ang 2 * x * y + 25 ay isang polynomial na binubuo ng 2 monomials: 2 * x * y at 25. Ang ganitong mga polynomial ay tinatawag na binomials.

Minsan, para sa kaginhawaan ng paglutas ng mga halimbawa sa multi-valued na kahulugan ang expression ay dapat na mabago, halimbawa, decomposed sa isang tiyak na bilang ng mga kadahilanan, iyon ay, mga numero o mga expression sa pagitan ng kung saan ang multiplikasyon aksyon ay ginanap. Mayroong ilang mga paraan upang i-factor ang isang polynomial. Ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang sa kanila, simula sa pinaka primitive, na ginagamit sa elementarya.

Pagpapangkat (record sa pangkalahatang anyo)

Ang formula para sa pag-factor ng isang polynomial gamit ang paraan ng pagpapangkat sa pangkalahatan ay ganito ang hitsura:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Kinakailangang pangkatin ang mga monomial upang ang bawat pangkat ay may iisang salik. Sa unang bracket ito ang salik c, at sa pangalawa - d. Ito ay dapat gawin upang pagkatapos ay ilipat ito sa labas ng bracket, sa gayon ay pinapasimple ang mga kalkulasyon.

Decomposition algorithm gamit ang isang partikular na halimbawa

Ang pinakasimpleng halimbawa ng pag-factor ng isang polynomial gamit ang paraan ng pagpapangkat ay ibinigay sa ibaba:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

Sa unang bracket kailangan mong kunin ang mga tuntunin na may kadahilanan a, na magiging karaniwan, at sa pangalawa - kasama ang kadahilanan b. Bigyang-pansin ang + at - sign sa tapos na expression. Inilagay namin sa harap ng monomial ang sign na nasa unang expression. Iyon ay, kailangan mong magtrabaho hindi sa expression 25a, ngunit sa expression -25. Ang minus sign ay tila "nakadikit" sa expression sa likod nito at palaging isinasaalang-alang kapag nagkalkula.

Sa susunod na hakbang, kailangan mong kunin ang multiplier, na karaniwan, sa labas ng mga bracket. Ito ay eksakto kung ano ang pagpapangkat ay para sa. Ang paglalagay sa labas ng bracket ay nangangahulugang isulat bago ang bracket (inaalis ang multiplication sign) lahat ng mga salik na eksaktong inuulit sa lahat ng mga termino na nasa bracket. Kung walang 2, ngunit 3 o higit pang mga termino sa isang bracket, ang karaniwang kadahilanan ay dapat na nakapaloob sa bawat isa sa kanila, kung hindi, hindi ito maaaring alisin sa bracket.

Sa aming kaso, mayroon lamang 2 termino sa mga bracket. Ang pangkalahatang multiplier ay makikita kaagad. Sa unang bracket ito ay a, sa pangalawa ay b. Dito kailangan mong bigyang-pansin ang mga digital coefficient. Sa unang bracket, ang parehong coefficients (10 at 25) ay multiple ng 5. Nangangahulugan ito na hindi lamang a, kundi pati na rin ang 5a ay maaaring alisin sa bracket. Bago ang bracket, isulat ang 5a, at pagkatapos ay hatiin ang bawat isa sa mga termino sa mga bracket sa pamamagitan ng karaniwang kadahilanan na kinuha, at isulat din ang quotient sa mga bracket, hindi nalilimutan ang tungkol sa mga palatandaan + at - Gawin ang parehong sa pangalawang bracket, kunin out 7b, pati na rin ang 14 at 35 multiple ng 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5).

Nakakuha kami ng 2 termino: 5a(2c - 5) at 7b(2c - 5). Ang bawat isa sa kanila ay naglalaman ng isang karaniwang kadahilanan (ang buong expression sa mga bracket ay pareho dito, na nangangahulugang ito ay isang karaniwang kadahilanan): 2c - 5. Kailangan din itong alisin sa bracket, iyon ay, ang mga termino 5a at 7b ay nananatili sa pangalawang bracket:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Kaya ang buong expression ay:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Kaya, ang polynomial 10ac + 14bc - 25a - 35b ay nabubulok sa 2 salik: (2c - 5) at (5a + 7b). Maaaring tanggalin ang multiplication sign sa pagitan nila kapag nagsusulat

Minsan may ganitong uri ng mga expression: 5a 2 + 50a 3, dito maaari mong alisin ang mga bracket hindi lamang a o 5a, ngunit kahit na 5a 2. Dapat mong palaging subukan na ilagay ang pinakamalaking karaniwang kadahilanan sa labas ng bracket. Sa aming kaso, kung hahatiin namin ang bawat termino sa isang karaniwang kadahilanan, makakakuha kami ng:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(kapag kinakalkula ang quotient ng ilang mga kapangyarihan na may pantay na mga base, ang base ay pinapanatili at ang exponent ay ibabawas). Kaya, ang yunit ay nananatili sa bracket (sa anumang kaso ay hindi mo nakakalimutang magsulat ng isa kung kukuha ka ng isa sa mga termino mula sa bracket) at ang quotient ng dibisyon: 10a. Lumalabas na:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Mga parisukat na formula

Para sa kadalian ng pagkalkula, ilang mga formula ang nakuha. Ang mga ito ay tinatawag na mga pinaikling pormula ng pagpaparami at kadalasang ginagamit. Ang mga formula na ito ay nakakatulong sa mga factor na polynomial na naglalaman ng mga degree. Isa pa ito epektibong paraan factorization. Kaya narito sila:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - isang formula na tinatawag na "square of the sum", dahil bilang isang resulta ng decomposition sa isang parisukat, ang kabuuan ng mga numero na nakapaloob sa mga bracket ay kinuha, iyon ay, ang halaga ng kabuuan na ito ay pinarami ng sarili nitong 2 beses, at samakatuwid ay isang multiplier.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - ang formula para sa parisukat ng pagkakaiba, ito ay katulad ng nauna. Ang resulta ay ang pagkakaiba, na nakapaloob sa mga panaklong, na nakapaloob sa square power.
• a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)- ito ay isang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat, dahil sa simula ang polynomial ay binubuo ng 2 mga parisukat ng mga numero o mga expression, sa pagitan ng kung saan ang pagbabawas ay ginaganap. Marahil, sa tatlong nabanggit, ito ang kadalasang ginagamit.

Mga halimbawa para sa mga kalkulasyon gamit ang mga square formula

Ang mga kalkulasyon para sa kanila ay medyo simple. Halimbawa:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - gamitin ang formula na "square of the sum".
2. Ang 25x 2 ay ang parisukat ng 5x. 20xy - dobleng produkto 2*(5x*2y), at ang 4y 2 ay ang parisukat ng 2y.
3. Kaya, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Ang polynomial na ito ay nabulok sa 2 mga kadahilanan (ang mga kadahilanan ay pareho, kaya ito ay nakasulat bilang isang expression na may isang parisukat na kapangyarihan).

Ang mga pagkilos gamit ang squared difference formula ay isinasagawa nang katulad sa mga ito. Ang natitirang formula ay pagkakaiba ng mga parisukat. Ang mga halimbawa ng formula na ito ay napakadaling tukuyin at hanapin sa iba pang mga expression. Halimbawa:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20). Dahil 25a 2 = (5a) 2, at 400 = 20 2
• 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). Dahil 36x 2 = (6x) 2, at 25y 2 = (5y 2)
• c 2 - 169b 2 = (c - 13b)(c + 13b). Dahil 169b 2 = (13b) 2

Mahalaga na ang bawat isa sa mga termino ay isang parisukat ng ilang expression. Pagkatapos ang polynomial na ito ay dapat i-factorize gamit ang difference ng squares formula. Para dito, hindi kinakailangan na ang pangalawang antas ay mas mataas sa numero. May mga polynomial na naglalaman ng malalaking degree, ngunit angkop pa rin para sa mga formula na ito.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

SA sa halimbawang ito at 8 ay maaaring katawanin bilang (a 4) 2, iyon ay, ang parisukat ng isang tiyak na expression. Ang 25 ay 5 2, at ang 10a ay 4 - ito ang dobleng produkto ng mga terminong 2 * a 4 * 5. Iyon ay, ang expression na ito, sa kabila ng pagkakaroon ng mga degree na may malalaking exponents, ay maaaring mabulok sa 2 mga kadahilanan upang pagkatapos ay gumana sa kanila.

Mga formula ng kubo

Ang parehong mga formula ay umiiral para sa factoring polynomials na naglalaman ng mga cube. Ang mga ito ay medyo mas kumplikado kaysa sa mga may mga parisukat:

• a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)- ang formula na ito ay tinatawag na kabuuan ng mga cube, dahil sa paunang anyo Ang polynomial ay ang kabuuan ng dalawang expression o numero na nakakubo.
• a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2) - ang isang formula na kapareho ng nauna ay itinalaga bilang pagkakaiba ng mga cube.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - cube ng isang kabuuan, bilang isang resulta ng mga kalkulasyon, ang kabuuan ng mga numero o expression ay nakapaloob sa mga bracket at pinarami ng sarili nitong 3 beses, iyon ay, matatagpuan sa isang cube
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - ang formula, na pinagsama-sama ng pagkakatulad sa nauna, binabago lamang ang ilang mga palatandaan ng mga pagpapatakbo ng matematika (plus at minus), ay tinatawag na "kubo ng pagkakaiba".

Ang huling dalawang formula ay halos hindi ginagamit para sa layunin ng pag-factor ng isang polynomial, dahil ang mga ito ay kumplikado, at ito ay sapat na bihirang makahanap ng mga polynomial na ganap na tumutugma sa istrukturang ito upang sila ay mai-factor gamit ang mga formula na ito. Ngunit kailangan mo pa ring malaman ang mga ito, dahil kakailanganin ang mga ito kapag tumatakbo sa kabaligtaran na direksyon - kapag binubuksan ang mga panaklong.

Mga halimbawa sa cube formula

Tingnan natin ang isang halimbawa: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Medyo simpleng mga numero ang kinuha dito, kaya makikita mo kaagad na ang 64a 3 ay (4a) 3, at ang 8b 3 ay (2b) 3. Kaya, ang polynomial na ito ay pinalawak ayon sa pagkakaiba ng formula ng mga cube sa 2 mga kadahilanan. Ang mga pagkilos gamit ang formula para sa kabuuan ng mga cube ay isinasagawa sa pamamagitan ng pagkakatulad.

Mahalagang maunawaan na hindi lahat ng polynomial ay maaaring palawakin sa kahit isang paraan. Ngunit may mga expression na naglalaman ng higit na kapangyarihan kaysa sa isang parisukat o isang kubo, ngunit maaari din silang palawakin sa mga pinaikling anyo ng pagpaparami. Halimbawa: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

Ang halimbawang ito ay naglalaman ng kasing dami ng ika-12 degree. Ngunit kahit na ito ay maaaring i-factorize gamit ang sum of cubes formula. Upang gawin ito, kailangan mong isipin ang x 12 bilang (x 4) 3, iyon ay, bilang isang cube ng ilang expression. Ngayon, sa halip na a, kailangan mong palitan ito sa formula. Well, ang expression na 125y 3 ay isang cube ng 5y. Susunod, kailangan mong bumuo ng produkto gamit ang formula at magsagawa ng mga kalkulasyon.

Sa una, o sa kaso ng pagdududa, maaari mong palaging suriin sa pamamagitan ng inverse multiplication. Kailangan mo lang buksan ang mga panaklong sa resultang expression at magsagawa ng mga aksyon na may mga katulad na termino. Nalalapat ang paraang ito sa lahat ng nakalistang paraan ng pagbabawas: kapwa sa pagtatrabaho sa isang karaniwang kadahilanan at pagpapangkat, at sa pagtatrabaho sa mga formula ng mga cube at quadratic na kapangyarihan.

Ang polynomial ay isang expression na binubuo ng kabuuan ng mga monomial. Ang huli ay ang produkto ng isang pare-pareho (numero) at ang ugat (o mga ugat) ng expression sa kapangyarihan ng k. Sa kasong ito, pinag-uusapan natin ang isang polynomial ng degree k. Ang pagpapalawak ng isang polynomial ay nagsasangkot ng pagbabago ng expression kung saan ang mga termino ay pinapalitan ng mga salik. Isaalang-alang natin ang mga pangunahing paraan upang maisagawa ang ganitong uri ng pagbabago.

Paraan ng pagpapalawak ng polynomial sa pamamagitan ng paghihiwalay ng karaniwang salik

Ang pamamaraang ito ay batay sa mga batas ng batas sa pamamahagi. Kaya, mn + mk = m * (n + k).

• Halimbawa: palawakin ang 7y 2 + 2uy at 2m 3 – 12m 2 + 4lm.

7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u),

2m 3 – 12m 2 + 4lm = 2m(m 2 – 6m + 2l).

Gayunpaman, ang kadahilanan na kinakailangang naroroon sa bawat polynomial ay maaaring hindi palaging matagpuan, kaya ang pamamaraang ito ay hindi pangkalahatan.

Paraan ng pagpapalawak ng polynomial batay sa mga pinaikling formula ng multiplikasyon

Ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon ay may bisa para sa mga polynomial ng anumang antas. Sa pangkalahatan, ganito ang hitsura ng expression ng pagbabagong-anyo:

u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1), kung saan ang k ay kinatawan ng natural na mga numero.

Ang mga formula na kadalasang ginagamit sa pagsasanay ay para sa mga polynomial ng pangalawa at pangatlong order:

u 2 – l 2 = (u – l)(u + l),

u 3 – l 3 = (u – l)(u 2 + ul + l 2),

u 3 + l 3 = (u + l)(u 2 – ul + l 2).

• Halimbawa: palawakin ang 25p 2 – 144b 2 at 64m 3 – 8l 3.

25p 2 – 144b 2 = (5p – 12b)(5p + 12b),

64m 3 – 8l 3 = (4m) 3 – (2l) 3 = (4m – 2l)((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) = (4m – 2l)(16m 2 + 8ml + 4l 2 ).

Polynomial expansion method - pagpapangkat ng mga termino ng isang expression

Ang pamamaraang ito sa ilang paraan ay may isang bagay na karaniwan sa pamamaraan ng pagkuha ng karaniwang kadahilanan, ngunit may ilang mga pagkakaiba. Sa partikular, bago ihiwalay ang isang karaniwang kadahilanan, ang mga monomial ay dapat igrupo. Ang pagpapangkat ay batay sa mga tuntunin ng kumbinasyonal at commutative na mga batas.

Ang lahat ng mga monomial na ipinakita sa expression ay nahahati sa mga grupo, sa bawat isa pangkalahatang kahulugan na ang pangalawang salik ay magiging pareho sa lahat ng grupo. Sa pangkalahatan, ang paraan ng agnas na ito ay maaaring katawanin bilang expression:

pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),

pl + ks + kl + ps = (p + k)(l + s).

• Halimbawa: ikalat ang 14mn + 16ln – 49m – 56l.

14mn + 16ln – 49m – 56l = (14mn – 49m) + (16ln – 56l) = 7m * (2n – 7) + 8l * (2n – 7) = (7m + 8l)(2n – 7).

Paraan ng pagpapalawak ng polynomial - bumubuo ng perpektong parisukat

Ang pamamaraang ito ay isa sa pinakamabisa sa pagpapalawak ng isang polynomial. Sa paunang yugto, kinakailangan upang matukoy ang mga monomial na maaaring "i-collapse" sa parisukat ng pagkakaiba o kabuuan. Upang gawin ito, gamitin ang isa sa mga ugnayan:

(p – b) 2 = p 2 – 2pb + b 2,

• Halimbawa: palawakin ang expression na u 4 + 4u 2 – 1.

Sa mga monomial nito, pipiliin namin ang mga terminong bumubuo ng kumpletong parisukat: u 4 + 4u 2 – 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 – 4 – 1 =

= (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 4 – 1 = (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 5.

Kumpletuhin ang pagbabago gamit ang mga pinaikling tuntunin ng multiplikasyon: (u 2 + 2) 2 – 5 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).

yun. u 4 + 4u 2 – 1 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).

Isinasaalang-alang ang pagpaparami ng mga polynomial, naalala namin ang ilang mga formula, katulad: mga formula para sa (a + b)², para sa (a – b)², para sa (a + b) (a – b), para sa (a + b)³ at para sa (a – b)³.

Kung ang isang binigay na polynomial ay lumalabas na nag-tutugma sa isa sa mga formula na ito, kung gayon posible itong i-factorize. Halimbawa, ang polynomial a² – 2ab + b², alam natin, ay katumbas ng (a – b)² [o (a – b) · (a – b), ibig sabihin, nagawa nating i-factor ang a² – 2ab + b² sa 2 salik ]; Gayundin

Tingnan natin ang pangalawa sa mga halimbawang ito. Nakikita natin na ang polynomial na ibinigay dito ay umaangkop sa formula na nakuha sa pamamagitan ng pag-squaring ng pagkakaiba ng dalawang numero (ang parisukat ng unang numero, binawasan ang produkto ng dalawa sa unang numero at ang pangalawa, kasama ang parisukat ng pangalawang numero): x 6 ay ang parisukat ng unang numero, at samakatuwid , ang unang numero mismo ay x 3, ang parisukat ng pangalawang numero ay ang huling termino ng ibinigay na polynomial, ibig sabihin, 1, ang pangalawang numero mismo ay, samakatuwid, din 1; ang produkto ng dalawa sa unang numero at ang pangalawa ay ang terminong –2x 3, dahil 2x 3 = 2 x 3 1. Samakatuwid, ang aming polynomial ay nakuha sa pamamagitan ng pag-square ng pagkakaiba ng mga numerong x 3 at 1, ibig sabihin, ito ay katumbas ng (x 3 – 12 . Tingnan natin ang isa pang ika-4 na halimbawa. Nakikita natin na ang polynomial na ito a 2 b 2 – 25 ay maaaring ituring na pagkakaiba ng mga parisukat ng dalawang numero, lalo na ang parisukat ng unang numero ay a 2 b 2, samakatuwid, ang unang numero mismo ay ab, ang parisukat ng ang pangalawang numero ay 25, bakit ang pangalawang numero mismo ay 5. Samakatuwid, ang aming polynomial ay maaaring ituring na nakuha mula sa pag-multiply ng kabuuan ng dalawang numero sa kanilang pagkakaiba, i.e.

(ab + 5) (ab – 5).

Minsan nangyayari na sa isang binigay na polynomial ang mga termino ay hindi nakaayos sa pagkakasunud-sunod kung saan tayo nakasanayan, halimbawa.

9a 2 + b 2 + 6ab – sa isip ay maaari nating muling ayusin ang pangalawa at pangatlong termino, at pagkatapos ay magiging malinaw sa atin na ang ating trinomial = (3a + b) 2.

... (inaayos namin sa isip ang una at ikalawang termino).

25a 6 + 1 – 10x 3 = (5x 3 – 1) 2, atbp.

Isaalang-alang natin ang isa pang polynomial

isang 2 + 2ab + 4b 2 .

Nakita natin na ang unang termino nito ay ang parisukat ng numero a at ang ikatlong termino ay ang parisukat ng numero 2b, ngunit ang pangalawang termino ay hindi produkto ng dalawa sa unang numero at ang pangalawa - ang naturang produkto ay magiging katumbas ng 2 a 2b = 4ab. Samakatuwid, imposibleng ilapat ang formula para sa parisukat ng kabuuan ng dalawang numero sa polynomial na ito. Kung may sumulat na ang isang 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2, kung gayon ito ay magiging mali - dapat na maingat na isaalang-alang ang lahat ng mga tuntunin ng polynomial bago ilapat ang factorization dito gamit ang mga formula.

40. Isang kumbinasyon ng parehong mga diskarte. Minsan, kapag nagsasaliksik ng mga polynomial, kailangan mong pagsamahin ang parehong pamamaraan ng pagkuha ng karaniwang kadahilanan sa mga bracket at ang pamamaraan ng paggamit ng mga formula. Narito ang mga halimbawa:

1. 2a 3 – 2ab 2. Alisin muna natin ang karaniwang salik 2a sa mga bracket, at makukuha natin ang 2a (a 2 – b 2). Ang factor a 2 – b 2, naman, ay nabubulok ayon sa formula sa mga salik (a + b) at (a – b).

Minsan kailangan mong gumamit ng formula decomposition technique nang maraming beses:

1. a 4 – b 4 = (a 2 + b 2) (a 2 – b 2)

Nakikita namin na ang unang salik a 2 + b 2 ay hindi magkasya sa alinman sa mga pamilyar na formula; Bukod dito, sa pag-alala sa mga espesyal na kaso ng paghahati (item 37), itatatag namin na ang isang 2 + b 2 (ang kabuuan ng mga parisukat ng dalawang numero) ay hindi maaaring i-factorize sa lahat. Ang pangalawa sa mga nagresultang salik a 2 – b 2 (ang pagkakaiba ng parisukat ng dalawang numero) ay nabubulok sa mga salik (a + b) at (a – b). Kaya,

41. Paglalapat ng mga espesyal na kaso ng dibisyon. Batay sa talata 37, maaari nating isulat kaagad na, halimbawa,