උපකරණ:

• පරිගණක,
• බහුමාධ්‍ය ප්‍රොජෙක්ටරය,
• තිරය,
• ඇමුණුම 1(PowerPoint විනිවිදක ඉදිරිපත් කිරීම) “ඝාතීය සමීකරණ විසඳීමේ ක්‍රම”
• උපග්රන්ථය 2(Word හි "විවිධ බල පදනම් තුනක්" වැනි සමීකරණයක් විසඳීම)
• උපග්රන්ථය 3(වර්ඩ් හි අත් පත්‍රිකාව සඳහා ප්රායෝගික වැඩ).
• උපග්රන්ථය 4(ගෙදර වැඩ සඳහා Word හි අත් පත්‍රිකාව).

පන්ති අතරතුර

• පාඩම් මාතෘකාවේ පණිවිඩය (පුවරුවේ ලියා ඇත),
• 10-11 ශ්‍රේණිවල සාමාන්‍ය පාඩමක අවශ්‍යතාවය:

ක්රියාකාරී ඉගෙනීම සඳහා සිසුන් සූදානම් කිරීමේ අදියර

පුනරාවර්තනය

අර්ථ දැක්වීම.

ඝාතීය සමීකරණයක් යනු ඝාතකයක් සහිත විචල්‍යයක් අඩංගු සමීකරණයකි (ශිෂ්‍ය පිළිතුරු).

ගුරුවරයාගේ සටහන. ඝාතීය සමීකරණ අයත් වන්නේ ලෝකෝත්තර සමීකරණ පන්තියට ය. මෙම උච්චාරණය කළ නොහැකි නම යෝජනා කරන්නේ එවැනි සමීකරණ, සාමාන්යයෙන් කථා කිරීම, සූත්ර ආකාරයෙන් විසඳිය නොහැකි බවයි.

ඒවා විසඳිය හැක්කේ පරිගණකවල සංඛ්‍යාත්මක ක්‍රම මගින් පමණි. නමුත් විභාග කාර්යයන් ගැන කුමක් කිව හැකිද? උපක්‍රමය නම් පරීක්ෂකවරයා ගැටලුව විශ්ලේෂණාත්මක විසඳුමකට ඉඩ දෙන ආකාරයට රාමු කිරීමයි. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ඔබට මෙම ඝාතීය සමීකරණය සරලම ඝාතීය සමීකරණයට අඩු කරන සමාන පරිවර්තන සිදු කළ හැකිය (සහ කළ යුතුය!). මෙම සරලම සමීකරණය හැඳින්වේ: සරලම ඝාතීය සමීකරණය. ඒක විසඳෙනවා ලඝුගණක මගින්.

ඝාතීය සමීකරණයක් විසඳීමේ තත්වය ගැටලුවේ කතුවරයා විසින් විශේෂයෙන් නිර්මාණය කරන ලද ලිබ්රින්ත් හරහා ගමන් කිරීම සිහිපත් කරයි. මෙම ඉතා පොදු තර්ක වලින් ඉතා නිශ්චිත නිර්දේශ අනුගමනය කරන්න.

1. සියලුම ඝාතීය අනන්‍යතා සක්‍රීයව දැන ගැනීම පමණක් නොව, මෙම අනන්‍යතා නිර්වචනය කර ඇති විචල්‍ය අගයන් කට්ටල සොයා ගන්න, එවිට මෙම අනන්‍යතා භාවිතා කරන විට ඔබ අනවශ්‍ය මූලයන් ලබා නොගන්නා අතර ඊටත් වඩා විසඳුම් නැති නොකරන්න. සමීකරණයට.

2. සියලුම ඝාතීය අනන්‍යතා ක්‍රියාකාරීව දැන ගන්න.

3. පැහැදිලිව, සවිස්තරාත්මකව සහ දෝෂ නොමැතිව, සමීකරණවල ගණිතමය පරිවර්තනයන් සිදු කරන්න (සමීකරණයේ එක් කොටසක සිට තවත් කොටසකට පද මාරු කිරීම, ලකුණ වෙනස් කිරීමට අමතක නොකර, භාග පොදු හරයකට ගෙන ඒම යනාදිය). මෙය ගණිත සංස්කෘතිය ලෙස හැඳින්වේ. ඒ අතරම, ගණනය කිරීම් තමන් විසින්ම අතින් සිදු කළ යුතු අතර, විසඳුමේ සාමාන්ය මාර්ගෝපදේශ නූල් ගැන හිස සිතා බැලිය යුතුය. පරිවර්තනයන් හැකි තරම් ප්රවේශමෙන් හා සවිස්තරාත්මකව සිදු කළ යුතුය. මෙය පමණක් නිවැරදි, දෝෂ රහිත තීරණයක් සහතික කරනු ඇත. තවද මතක තබා ගන්න: කුඩා ගණිතමය දෝෂයක් සරලව, ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන්, විශ්ලේෂණාත්මකව විසඳාගත නොහැකි අතිඋත්කෘෂ්ටික සමීකරණයක් නිර්මාණය කළ හැකිය. ඔබ ඔබේ මාර්ගය අහිමි වී ඇති අතර labyrinth බිත්තියේ වැදී ඇති බව හැරෙනවා.

4. ගැටළු විසඳීම සඳහා ක්‍රම දැන ගන්න (එනම්, විසඳුම් වංකගිරිය හරහා සියලු මාර්ග දැන ගන්න). සෑම අදියරකදීම නිවැරදිව සැරිසැරීමට, ඔබට (දැනුවත්ව හෝ බුද්ධියෙන්!):

• නිර්වචනය කරන්න සමීකරණ වර්ගය;
• අනුරූප වර්ගය මතක තබා ගන්න විසඳුම් ක්රමයකාර්යයන්.

අධ්යයනය කරන ලද ද්රව්යයේ සාමාන්යකරණය සහ ක්රමානුකූල කිරීමේ අදියර.

ගුරුවරයා, පරිගණකයක් භාවිතා කරන සිසුන් සමඟ එක්ව, සියලු වර්ගවල ඝාතීය සමීකරණ සහ ඒවා විසඳීම සඳහා ක්‍රම පිළිබඳ සමාලෝචනයක් පවත්වයි, සම්පාදනය කරයි. සාමාන්ය යෝජනා ක්රමය. (භාවිත පුහුණුව පරිගණක වැඩසටහනක් L.Ya Borevsky "ගණිත පාඨමාලාව - 2000", PowerPoint ඉදිරිපත් කිරීමේ කතුවරයා T.N. කුප්ට්සෝවා.)

සහල්. 1.රූපයේ දැක්වෙන්නේ සියලු වර්ගවල ඝාතීය සමීකරණවල සාමාන්ය රූප සටහනකි.

මෙම රූප සටහනෙන් දැකිය හැකි පරිදි, ඝාතීය සමීකරණ විසඳීමේ උපාය මාර්ගය වන්නේ ලබා දී ඇති ඝාතීය සමීකරණය සමීකරණයට අඩු කිරීමයි, පළමුව, සමාන උපාධි පදනම් සමඟ , සහ පසුව - සහ එකම උපාධි දර්ශක සමඟ.

එකම පාද සහ ඝාතන සහිත සමීකරණයක් ලැබුණු පසු, ඔබ මෙම ඝාතකය නව විචල්‍යයක් සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කර මෙම නව විචල්‍යයට අදාළව සරල වීජීය සමීකරණයක් (සාමාන්‍යයෙන් භාගික-තාර්කීය හෝ චතුරස්‍ර) ලබා ගනී.

මෙම සමීකරණය විසඳා ප්‍රතිලෝම ආදේශනය සිදු කිරීමෙන් පසු, ඔබට විසඳිය හැකි සරල ඝාතීය සමීකරණ සමූහයක් අවසන් වේ. සාමාන්ය දැක්මලඝුගණක භාවිතා කරමින්.

(අර්ධ) බලවල නිෂ්පාදන පමණක් දක්නට ලැබෙන සමීකරණ කැපී පෙනේ. ඝාතීය අනන්‍යතා භාවිතා කරමින්, මෙම සමීකරණ වහාම එක් පදනමකට, විශේෂයෙන් සරලම ඝාතීය සමීකරණයට අඩු කළ හැකිය.

වෙනස් පාද තුනක් සහිත ඝාතීය සමීකරණයක් විසඳන්නේ කෙසේදැයි බලමු.

(ගුරුවරයාට L.Ya. Borevsky "ගණිත පාඨමාලා - 2000" විසින් අධ්‍යාපනික පරිගණක වැඩසටහනක් තිබේ නම්, ස්වාභාවිකවම අපි තැටිය සමඟ වැඩ කරන්නෙමු, එසේ නොවේ නම්, ඔබට එක් එක් මේසය සඳහා එයින් මේ ආකාරයේ සමීකරණයක් මුද්‍රණය කළ හැකිය. පහත ඉදිරිපත් කර ඇත.)

සහල්. 2.සමීකරණය විසඳීම සඳහා සැලසුම් කරන්න.

සහල්. 3.සමීකරණය විසඳීම ආරම්භ කරන්න

සහල්. 4.සමීකරණය විසඳීම අවසන් කරන්න.

ප්‍රායෝගික වැඩ කරනවා

සමීකරණයේ වර්ගය තීරණය කර එය විසඳන්න.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

පාඩම සාරාංශ කිරීම

පාඩම සඳහා ශ්රේණිගත කිරීම.

පාඩමේ අවසානය

ගුරුවරයා සඳහා

පිළිතුරු යෝජනා ක්‍රමය පුහුණු වන්න.

ව්යායාම:සමීකරණ ලැයිස්තුවෙන්, නිශ්චිත වර්ගයේ සමීකරණ තෝරන්න (වගුවෙහි පිළිතුරු අංකය ඇතුළත් කරන්න):

1. විවිධ උපාධි පදනම් තුනක්
2. වෙනස් පදනම් දෙකක් - විවිධ දර්ශකඋපාධි
3. බල පදනම් - එක් අංකයක බල
4. එකම පදනම් - විවිධ ඝාතක
5. අංශකවල එකම පාද - අංශකවල එකම දර්ශක
6. බල නිෂ්පාදනය
7. විවිධ උපාධි පදනම් දෙකක් - එකම දර්ශක
8. සරලම ඝාතීය සමීකරණ

1. (බල නිෂ්පාදන)

2. (එකම පදනම් - විවිධ ඝාතක)

දේශනය: "ඝාතීය සමීකරණ විසඳීම සඳහා ක්රම."

1 . ඝාතීය සමීකරණ.

ඝාතකවල නොදන්නා කරුණු අඩංගු සමීකරණ ඝාතීය සමීකරණ ලෙස හැඳින්වේ. ඒවායින් සරලම වන්නේ ax = b යන සමීකරණයයි, මෙහි a > 0, a ≠ 1.

1) බී< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) b > 0 සඳහා, ශ්‍රිතයේ ඒකාකාරී බව සහ මූල ප්‍රමේයය භාවිතා කරමින්, සමීකරණයට අනන්‍ය මූලයක් ඇත. එය සොයා ගැනීමට b = aс, аx = bс ó x = c හෝ x = logab ආකාරයෙන් නිරූපණය කළ යුතුය.

වීජීය පරිවර්තනයන් මගින් ඝාතීය සමීකරණ සම්මත සමීකරණවලට තුඩු දෙයි, ඒවා පහත ක්‍රම භාවිතයෙන් විසඳනු ලැබේ:

1) එක් පදනමක් දක්වා අඩු කිරීමේ ක්රමය;

2) තක්සේරු ක්රමය;

3) ග්රැෆික් ක්රමය;

4) නව විචල්යයන් හඳුන්වාදීමේ ක්රමය;

5) සාධකකරණ ක්රමය;

6) ඇඟවුම් - බල සමීකරණ;

7) පරාමිතියක් සහිත නිරූපණ.

2 . එක් පදනමක් දක්වා අඩු කිරීමේ ක්රමය.

ක්රමය පදනම් වේ පහත දේපලඅංශක: අංශක දෙකක් සමාන නම් සහ ඒවායේ පාද සමාන නම්, ඒවායේ ඝාතකයන් සමාන වේ, එනම්, අපි ආකෘතියට සමීකරණය අඩු කිරීමට උත්සාහ කළ යුතුය

උදාහරණ. සමීකරණය විසඳන්න:

1 . 3x = 81;

81 = 34 ආකෘතියේ සමීකරණයේ දකුණු පැත්ත නියෝජනය කර මුල් 3 x = 34 ට සමාන සමීකරණය ලියන්න; x = 4. පිළිතුර: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">සහ අපි ඝාතක 3x+1 = 3 – 5x; 8x = සමීකරණය වෙත යමු 4; x = 0.5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

0.2, 0.04, √5 සහ 25 ඉලක්කම් 5 හි බල නියෝජනය කරන බව සලකන්න. අපි මෙයින් ප්‍රයෝජන ගෙන මුල් සමීකරණය පහත පරිදි පරිවර්තනය කරමු:

, කොහෙන්ද 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, එයින් අපි x = -1 විසඳුම සොයා ගනිමු. පිළිතුර:-1.

5. 3x = 5. ලඝුගණක අර්ථ දැක්වීම අනුව, x = log35. පිළිතුර: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

අපි 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, i.e.png" width="181" height="49 src="> එබැවින් x – 4 =0, x = 4 ආකාරයෙන් සමීකරණය නැවත ලියමු. පිළිතුර: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. බලවල ගුණ භාවිතා කරමින්, අපි සමීකරණය ලියන්නේ 6∙ 3x - 2∙ 3x – 3x = 9 පසුව 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, එනම් x+1 = 2, x =1. පිළිතුර: 1.

ගැටළු බැංකුව අංක 1.

සමීකරණය විසඳන්න:

පරීක්ෂණ අංක 1.

පරීක්ෂණ අංක 2

3 ඇගයුම් ක්රමය.

මූල ප්‍රමේයය: f(x) ශ්‍රිතය I අන්තරය මත වැඩි (අඩු) නම්, අංකය a යනු මෙම අන්තරය මත f මගින් ගන්නා ඕනෑම අගයකි, එවිට f(x) = a සමීකරණයට I අන්තරය මත තනි මූලයක් ඇත.

ඇස්තමේන්තු ක්‍රමය භාවිතා කරමින් සමීකරණ විසඳන විට, මෙම ප්‍රමේයය සහ ශ්‍රිතයේ ඒකාකාරී ගුණාංග භාවිතා වේ.

උදාහරණ. සමීකරණ විසඳන්න: 1. 4x = 5 – x.

විසඳුමක්. අපි සමීකරණය 4x +x = 5 ලෙස නැවත ලියමු.

1. x = 1 නම්, 41+1 = 5, 5 = 5 සත්‍ය වේ, එයින් අදහස් වන්නේ 1 යනු සමීකරණයේ මූලයයි.

ශ්‍රිතය f(x) = 4x – R මත වැඩි වන අතර g(x) = x – R => h(x)= f(x)+g(x) R මත වැඩි වේ, වැඩිවන ශ්‍රිතවල එකතුව ලෙස, එවිට x = 1 යනු 4x = 5 – x සමීකරණයේ එකම මූලයයි. පිළිතුර: 1.

2.

විසඳුමක්. පෝරමයේ සමීකරණය නැවත ලියමු .

1. x = -1 නම්, එසේ නම් , 3 = 3 සත්‍ය වේ, එනම් x = -1 යනු සමීකරණයේ මුල වේ.

2. ඔහු පමණක් බව ඔප්පු කරන්න.

3. ශ්‍රිතය f(x) = - R මත අඩු වන අතර g(x) = - x – R=> h(x) = f(x)+g(x) මත අඩු වේ – R මත අඩු වේ, එකතුව ලෙස කාර්යයන් අඩු කිරීම . මෙයින් අදහස් කරන්නේ, මූල ප්‍රමේයය අනුව, සමීකරණයේ එකම මූලය x = -1 වේ. පිළිතුර:-1.

ගැටළු බැංකුව අංක 2. සමීකරණය විසඳන්න

a) 4x + 1 =6 - x;

බී)

ඇ) 2x - 2 =1 - x;

4. නව විචල්‍යයන් හඳුන්වා දීමේ ක්‍රමය.

ක්රමය 2.1 ඡේදයේ විස්තර කර ඇත. නව විචල්‍යයක් (ආදේශකයක්) හඳුන්වාදීම සාමාන්‍යයෙන් සිදු කරනු ලබන්නේ සමීකරණයේ නියමයන් පරිවර්තනය කිරීමෙන් (සරල කිරීම) පසුවය. අපි උදාහරණ බලමු.

උදාහරණ. ආර්සමීකරණය විසඳන්න: 1. .

අපි සමීකරණය වෙනස් ලෙස නැවත ලියමු: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

විසඳුමක්. අපි සමීකරණය වෙනස් ආකාරයකින් නැවත ලියමු:

අපි නම් කරමු https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - සුදුසු නොවේ.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - අතාර්කික සමීකරණය. අපි එය සටහන් කරමු

සමීකරණයේ විසඳුම x = 2.5 ≤ 4, එනම් 2.5 යනු සමීකරණයේ මුල වේ. පිළිතුර: 2.5.

විසඳුමක්. පෝරමයේ සමීකරණය නැවත ලියා දෙපැත්තම 56x+6 ≠ 0 න් බෙදමු. අපට සමීකරණය ලැබේ

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන් t1 = 1 සහ t2 වේ<0, т. е..png" width="200" height="24">.

විසඳුමක් . පෝරමයේ සමීකරණය නැවත ලියමු

එය දෙවන උපාධියේ සමජාතීය සමීකරණයක් බව සලකන්න.

සමීකරණය 42x කින් බෙදන්න, අපි ලබා ගනිමු

අපි https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> ආදේශ කරමු.

පිළිතුර: 0; 0.5

ගැටළු බැංකුව අංක 3. සමීකරණය විසඳන්න

බී)

G)

පරීක්ෂණ අංක 3 පිළිතුරු තේරීමක් සමඟ. අවම මට්ටම.

පරීක්ෂණ අංක 4 පිළිතුරු තේරීමක් සමඟ. සාමාන්ය මට්ටම.

5. සාධකකරණ ක්රමය.

1. සමීකරණය විසඳන්න: 5x+1 - 5x-1 = 24.

විසඳුම..png" width="169" height="69"> , කොහෙන්ද

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

විසඳුමක්. අපි සමීකරණයේ වම් පැත්තේ වරහන් වලින් 6x සහ දකුණු පැත්තේ 2x දමමු. අපට 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x යන සමීකරණය ලැබේ.

සියලුම x සඳහා 2x >0 බැවින්, විසඳුම් අහිමි වේ යැයි බියෙන් තොරව අපට මෙම සමීකරණයේ දෙපැත්තම 2x කින් බෙදිය හැකිය. අපට 3x = 1ó x = 0 ලැබේ.

3.

විසඳුමක්. සාධකකරණ ක්‍රමය භාවිතයෙන් සමීකරණය විසඳමු.

අපි ද්විපදයේ වර්ග තෝරා ගනිමු

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 යනු සමීකරණයේ මුල වේ.

සමීකරණය x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

පරීක්ෂණ අංක 6 සාමාන්ය මට්ටම.

6. ඝාතීය - බල සමීකරණ.

ඝාතීය සමීකරණවලට යාබදව ඊනියා ඝාතීය-බල සමීකරණ, එනම් (f(x))g(x) = (f(x))h(x) ආකෘතියේ සමීකරණ වේ.

f(x)>0 සහ f(x) ≠ 1 බව දන්නේ නම්, ඝාතීය එක මෙන් සමීකරණය විසඳනු ලබන්නේ g(x) = f(x) යන ඝාතකයන් සමීකරණය කිරීමෙනි.

කොන්දේසිය f(x)=0 සහ f(x)=1 හි හැකියාව බැහැර නොකරන්නේ නම්, ඝාතීය සමීකරණයක් විසඳීමේදී අපට මෙම අවස්ථා සලකා බැලිය යුතුය.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

විසඳුමක්. x2 +2x-8 – ඕනෑම x සඳහා අර්ථවත් වේ, එය බහුපදයක් වන බැවින්, එනම් සමීකරණය සමස්ථයට සමාන වේ

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

බී)

7. පරාමිතීන් සහිත ඝාතීය සමීකරණ.

1. p පරාමිතියේ කුමන අගයන් සඳහා 4 (5 - 3) සමීකරණය 2 +4p2-3p = 0 (1) සතුව තිබේද? එකම තීරණය?

විසඳුමක්. අපි 2x = t, t > 0 ආදේශනය හඳුන්වා දෙමු, එවිට සමීකරණය (1) t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

සමීකරණයේ වෙනස්කම් කරන්නා (2) D = (5p - 3)2 - 4(4p2 - 3p) = 9(p - 1)2.

(2) සමීකරණයට එක් ධන මූලයක් තිබේ නම් (1) සමීකරණයට අද්විතීය විසඳුමක් ඇත. පහත සඳහන් අවස්ථා වලදී මෙය කළ හැකිය.

1. D = 0, එනම් p = 1 නම්, සමීකරණය (2) t2 – 2t + 1 = 0 ආකාරය ගනී, එබැවින් t = 1, එබැවින් සමීකරණයට (1) අද්විතීය විසඳුමක් x = 0 ඇත.

2. p1 නම්, 9(p - 1)2 > 0, එවිට සමීකරණය (2) ට විවිධ මූලයන් දෙකක් තිබේ t1 = p, t2 = 4p - 3. ගැටලුවේ කොන්දේසි පද්ධති සමූහයකින් තෘප්තිමත් වේ.

පද්ධති තුලට t1 සහ t2 ආදේශ කිරීම, අප සතුව ඇත

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

විසඳුමක්. ඉඩ එවිට සමීකරණය (3) t2 – 6t – a = 0 ආකාරය ගනී. (4)

අවම වශයෙන් එක් සමීකරණ මූලයක් (4) t > 0 කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කරන පරාමිතියේ අගයන් අපි සොයා ගනිමු.

අපි f(t) = t2 – 6t – a ශ්‍රිතය හඳුන්වා දෙමු. පහත සඳහන් අවස්ථා හැකි ය.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} චතුරස්රාකාර ත්රිකෝණය f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

නඩුව 2. සමීකරණය (4) අද්විතීය එකක් ඇත ධනාත්මක තීරණය, නම්

D = 0, a = – 9 නම්, (4) සමීකරණය (t – 3) 2 = 0, t = 3, x = – 1 පෝරමය ගනී.

අවස්ථාව 3. සමීකරණය (4) මූලයන් දෙකක් ඇත, නමුත් ඉන් එකක් අසමානතාවය තෘප්තිමත් නොවේ t > 0. මෙය කළ හැකි නම්

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

මේ අනුව, a 0 සඳහා, (4) සමීකරණයට තනි ධන මූලයක් ඇත . එවිට (3) සමීකරණයට අද්විතීය විසඳුමක් ඇත

විට අ< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

නම් a< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
a = – 9 නම්, x = – 1;

 0 නම්, එසේ නම්

සමීකරණ (1) සහ (3) විසඳීමේ ක්රම අපි සංසන්දනය කරමු. සමීකරණය විසඳන විට (1) චතුරස්රාකාර සමීකරණයකට අඩු කරන ලද අතර, එහි වෙනස්කම් කිරීම පරිපූර්ණ චතුරස්රයක් වේ; මේ අනුව, චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන් සඳහා වන සූත්‍රය භාවිතයෙන් සමීකරණයේ මූලයන් (2) වහාම ගණනය කරන ලද අතර පසුව මෙම මූලයන් සම්බන්ධයෙන් නිගමනවලට එළඹුණි. සමීකරණය (3) චතුරස්‍ර සමීකරණයකට (4) අඩු කර ඇත, එහි වෙනස් කොට සැලකීම පරිපූර්ණ චතුරස්‍රයක් නොවේ, එබැවින් සමීකරණය (3) විසඳන විට චතුරස්‍ර ත්‍රිකෝණයක මූලයන් පිහිටීම පිළිබඳ ප්‍රමේය භාවිතා කිරීම සුදුසුය. සහ චිත්රක ආකෘතියක්. සමීකරණය (4) වියේටා ප්‍රමේයය භාවිතයෙන් විසඳිය හැකි බව සලකන්න.

අපි වඩාත් සංකීර්ණ සමීකරණ විසඳමු.

ගැටළුව 3: සමීකරණය විසඳන්න

විසඳුමක්. ODZ: x1, x2.

අපි ආදේශකයක් හඳුන්වා දෙමු. 2x = t, t > 0 ඉඩ දෙන්න, එවිට පරිවර්තනවල ප්‍රතිඵලයක් ලෙස සමීකරණය t2 + 2t – 13 – a = 0 ආකාරය ගනී. (*) අපි අවම වශයෙන් එක් මූලයක් සඳහා a හි අගයන් සොයා ගනිමු. සමීකරණය (*) t > 0 කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කරයි.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

පිළිතුර: a > – 13, a  11, a  5 නම්, a – 13 නම්,

a = 11, a = 5, එවිට මූලයන් නොමැත.

ග්‍රන්ථ නාමාවලිය.

1. අධ්යාපනික තාක්ෂණයේ Guzeev පදනම්.

2. Guzeev තාක්ෂණය: පිළිගැනීමේ සිට දර්ශනය දක්වා.

M. "පාසල් අධ්යක්ෂ" අංක 4, 1996

3. Guzeev සහ සංවිධානාත්මක ආකෘතිපුහුණුව.

4. Guzeev සහ සමෝධානික අධ්‍යාපනික තාක්ෂණයේ භාවිතය.

එම්. "රාජ්‍ය අධ්‍යාපනය", 2001

5. Guzeev පාඩමක ආකෘති වලින් - සම්මන්ත්රණය.

පාසලේ ගණිතය අංක 2, 1987 පි. 9 - 11.

6. Seleuko අධ්යාපනික තාක්ෂණයන්.

එම්. "රාජ්‍ය අධ්‍යාපනය", 1998

7. Episheva පාසල් සිසුන් ගණිතය හැදෑරීමට.

එම්. "බුද්ධත්වය", 1990

8. ඉවානෝවා පාඩම් සූදානම් - වැඩමුළු.

පාසලේ ගණිතය අංක 6, 1990 පි. 37 - 40.

9. ස්මිර්නොව්ගේ ගණිතය ඉගැන්වීමේ ආකෘතිය.

පාසලේ ගණිතය අංක 1, 1997 පි. 32 - 36.

10. ප්රායෝගික වැඩ සංවිධානය කිරීමේ Tarasenko ක්රම.

පාසලේ ගණිතය අංක 1, 1993 පි. 27 - 28.

11. තනි වැඩ වර්ග වලින් එකක් ගැන.

පාසලේ ගණිතය අංක 2, 1994, පිටු 63 - 64.

12. Khazankin නිර්මාණාත්මක කුසලතාපාසල් දරුවන්.

පාසලේ ගණිතය අංක 2, 1989 පි. 10.

13. ස්කැනවි. ප්‍රකාශක, 1997

14. සහ අනෙකුත් වීජ ගණිතය සහ විශ්ලේෂණයේ ආරම්භය. උපදේශාත්මක ද්රව්යසදහා

15. ගණිතයේ Krivonogov කාර්යයන්.

එම්. "සැප්තැම්බර් පළමු", 2002

16. චර්කසොව්. උසස් පාසල් සිසුන් සඳහා අත්පොත සහ

විශ්වවිද්‍යාලවලට ඇතුල් වෙනවා. "ඒ එස් ටී - පුවත්පත් පාසල", 2002

17. විශ්ව විද්‍යාලවලට ඇතුළු වන අය සඳහා Zhevnyak.

මින්ස්ක් සහ රුසියානු සමූහාණ්ඩුව "සමාලෝචනය", 1996

18. ලිඛිත D. ගණිතය පිළිබඳ විභාගය සඳහා සූදානම් වීම. M. Rolf, 1999

19. ආදිය සමීකරණ සහ අසමානතා විසඳීමට ඉගෙනීම.

එම්. "බුද්ධිය - මධ්යස්ථානය", 2003

20. ආදිය EGE සඳහා සූදානම් කිරීම සඳහා අධ්යාපනික සහ පුහුණු ද්රව්ය.

එම්. "බුද්ධි - මධ්යස්ථානය", 2003 සහ 2004.

21 සහ අනෙකුත් CMM විකල්ප. රුසියානු සමූහාණ්ඩුවේ ආරක්ෂක අමාත්යාංශයේ පරීක්ෂණ මධ්යස්ථානය, 2002, 2003.

22. ගෝල්ඩ්බර්ග් සමීකරණ. "ක්වොන්ටම්" අංක 3, 1971

23. Volovich M. ගණිතය සාර්ථකව උගන්වන ආකාරය.

ගණිතය, 1997 අංක 3.

24 පාඩම සඳහා Okunev, ළමයි! M. අධ්යාපනය, 1988

25. Yakimanskaya - පාසැලේ දිශානත ඉගෙනීම.

26. Liimets පන්තියේ වැඩ කරයි. M. දැනුම, 1975

සියලුම නව වීඩියෝ පාඩම් සමඟ යාවත්කාලීනව සිටීමට අපගේ වෙබ් අඩවියේ youtube නාලිකාව වෙත යන්න.

පළමුව, බලයන් සහ ඒවායේ ගුණාංගවල මූලික සූත්ර මතක තබා ගනිමු.

අංකයක නිෂ්පාදනයක් ඒ n වාරයක් සිදු වේ, අපට මෙම ප්‍රකාශනය a ... a=a n ලෙස ලිවිය හැක

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

බලය හෝ ඝාතීය සමීකරණ– මේවා විචල්‍යයන් බලවල (හෝ ඝාතක) ඇති සමීකරණ වන අතර පාදය සංඛ්‍යාවක් වේ.

ඝාතීය සමීකරණ සඳහා උදාහරණ:

තුල මෙම උදාහරණයේඅංක 6 යනු පාදම වේ, එය සෑම විටම පතුලේ ඇති අතර විචල්‍යය වේ xඋපාධිය හෝ දර්ශකය.

අපි ඝාතීය සමීකරණ සඳහා තවත් උදාහරණ ලබා දෙමු.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

දැන් අපි බලමු ඝාතීය සමීකරණ විසඳන ආකාරය?

අපි සරල සමීකරණයක් ගනිමු:

2 x = 2 3

මෙම උදාහරණය ඔබේ හිස තුළ පවා විසඳිය හැකිය. x=3 බව දැකිය හැක. සියල්ලට පසු, එසේ වම් සහ දකුණු කොටසසමාන විය, ඔබ x අංකය 3 සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කළ යුතුය.
මෙම තීරණය විධිමත් කරන්නේ කෙසේදැයි දැන් අපි බලමු:

2 x = 2 3
x = 3

එවැනි සමීකරණයක් විසඳීම සඳහා අපි ඉවත් කළා සමාන බිම්(එනම් දෙකක්) ඉතිරි වූ දේ ලියා තැබුවේ ය, මේවා උපාධි ය. අපි සොයන පිළිතුර අපට ලැබුණා.

දැන් අපි අපේ තීරණය සාරාංශ කරමු.

ඝාතීය සමීකරණය විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතම:
1. පරීක්ෂා කිරීමට අවශ්යයි ඒකමයිසමීකරණයට දකුණේ සහ වමෙහි පාද තිබේද යන්න. හේතු සමාන නොවේ නම්, අපි මෙම උදාහරණය විසඳීමට විකල්ප සොයමින් සිටිමු.
2. පාද සමාන වූ පසු, සමාන කරන්නඅංශක සහ ප්රතිඵලය වන නව සමීකරණය විසඳන්න.

දැන් අපි උදාහරණ කිහිපයක් බලමු:

අපි සරල දෙයකින් පටන් ගනිමු.

වම් සහ දකුණු පැතිවල ඇති පාදයන් අංක 2 ට සමාන වේ, එයින් අදහස් කරන්නේ අපට පාදය ඉවත දැමිය හැකි අතර ඒවායේ බලතල සමාන කළ හැකිය.

x+2=4 සරලම සමීකරණය ලබා ගනී.
x=4 - 2
x=2
පිළිතුර: x=2

පහත උදාහරණයේ පදනම වෙනස් බව ඔබට පෙනෙනු ඇත: 3 සහ 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

පළමුව, නවය දකුණු පැත්තට ගෙන යන්න, අපට ලැබෙන්නේ:

දැන් ඔබට එකම පදනමක් සෑදිය යුතුය. අපි දන්නවා 9=3 2 කියලා. බල සූත්‍රය (a n) m = a nm භාවිතා කරමු.

3 3x = (3 2) x+8

අපට 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16 ලැබේ

3 3x = 3 2x+16 දැන් ඔබට එය වම් සහ දකුණු පැත්තපාදයන් සමාන වන අතර තුනකට සමාන වේ, එයින් අදහස් කරන්නේ අපට ඒවා ඉවත දමා අංශක සමාන කළ හැකි බවයි.

3x=2x+16 අපට සරලම සමීකරණය ලැබේ
3x - 2x=16
x=16
පිළිතුර: x=16.

පහත උදාහරණය දෙස බලමු:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

පළමුවෙන්ම, අපි පදනම්, පාද දෙක සහ හතර දෙස බලමු. ඒවගේම අපිත් ඒවගේම වෙන්න ඕන. අපි (a n) m = a nm සූත්‍රය භාවිතා කරමින් හතර පරිවර්තනය කරමු.

4 x = (2 2) x = 2 2x

තවද අපි එක් සූත්‍රයක් a n a m = a n + m ද භාවිතා කරමු:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

සමීකරණයට එකතු කරන්න:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

අපි එකම හේතු නිසා උදාහරණයක් දුන්නා. නමුත් වෙනත් අංක 10 සහ 24 ඔවුන් සමඟ කුමක් කළ යුතුද? ඔබ සමීපව බැලුවහොත් ඔබට වම් පැත්තේ 2 2x නැවත නැවත ඇති බව ඔබට පෙනේ, මෙන්න පිළිතුර - අපට වරහන් වලින් 2 2x දැමිය හැකිය:

2 2x (2 4 - 10) = 24

වරහන් තුළ ප්‍රකාශනය ගණනය කරමු:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

අපි සම්පූර්ණ සමීකරණය 6 න් බෙදන්නෙමු:

අපි හිතමු 4=2 2:

2 2x = 2 2 පදනම් සමාන වේ, අපි ඒවා ඉවත දමා අංශක සමාන කරමු.
2x = 2 යනු සරලම සමීකරණයයි. එය 2 න් බෙදන්න, අපි ලබා ගනිමු
x = 1
පිළිතුර: x = 1.

අපි සමීකරණය විසඳමු:

9 x – 12*3 x +27= 0

අපි පරිවර්තනය කරමු:
9 x = (3 2) x = 3 2x

අපි සමීකරණය ලබා ගනිමු:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

අපගේ පාදයන් සමාන වේ, මෙම උදාහරණයේ දී, පළමු තුනට දෙවන (පමණක් x) ට වඩා දෙගුණයක් (2x) ඇති බව ඔබට පෙනේ. මෙම අවස්ථාවේදී, ඔබට විසඳා ගත හැකිය ආදේශන ක්රමය. අපි අංකය කුඩාම උපාධිය සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කරමු:

එවිට 3 2x = (3 x) 2 = t 2

අපි සමීකරණයේ සියලුම x බල t සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කරමු:

t 2 - 12t+27 = 0
අපට චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් ලැබේ. වෙනස්කම් කරන්නා හරහා විසඳීම, අපට ලැබෙන්නේ:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

විචල්‍යය වෙත ආපසු යාම x.

t 1 ගන්න:
t 1 = 9 = 3 x

එනම්,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

එක් මූලයක් හමු විය. අපි t 2 සිට දෙවැන්න සොයන්නෙමු:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
පිළිතුර: x 1 = 2; x 2 = 1.

වෙබ් අඩවියේ ඔබට උදව් තීරණය කොටසේ උනන්දුවක් දක්වන ප්‍රශ්න ඇසීමට හැකිය, අපි ඔබට අනිවාර්යයෙන්ම පිළිතුරු දෙන්නෙමු.

කණ්ඩායමට එකතු වන්න

ඝාතීය සමීකරණ විසඳීම. උදාහරණ.

අවධානය!
අතිරේක ඇත
555 විශේෂ වගන්තියේ ඇති ද්‍රව්‍ය.
ඉතා "බොහෝ නොවේ..." සිටින අය සඳහා
සහ "ඉතා ..." කරන අය සඳහා)

සිදුවුයේ කුමක් ද ඝාතීය සමීකරණය? මෙය නොදන්නා (x) සහ ඒවා සමඟ ප්‍රකාශන ඇති සමීකරණයකි දර්ශකසමහර උපාධි. සහ එහි පමණි! එය වැදගත් වේ.

ඔන්න ඔහේ ඉන්නවා ඝාතීය සමීකරණ සඳහා උදාහරණ:

3 x 2 x = 8 x+3

සටහන! අංශකවල පාදවල (පහළ) - ඉලක්කම් පමණි. තුල දර්ශකඅංශක (ඉහළ) - X සමඟ විවිධ ප්‍රකාශන. හදිසියේම, දර්ශකයක් හැර වෙනත් තැනක සමීකරණයේ X එකක් දිස්වන්නේ නම්, උදාහරණයක් ලෙස:

මෙය සමීකරණයක් වනු ඇත මිශ්ර වර්ගය. එවැනි සමීකරණවලට ඒවා විසඳීම සඳහා පැහැදිලි නීති නොමැත. අපි ඒවා දැනට සලකන්නේ නැහැ. මෙන්න අපි සමඟ කටයුතු කරන්නෙමු ඝාතීය සමීකරණ විසඳීමඑහි පිරිසිදු ස්වරූපයෙන්.

ඇත්ත වශයෙන්ම, පිරිසිදු ඝාතීය සමීකරණ පවා සෑම විටම පැහැදිලිව විසඳනු නොලැබේ. නමුත් තියෙනවා ඇතැම් වර්ගවිසඳිය හැකි සහ විසඳිය යුතු ඝාතීය සමීකරණ. මෙම වර්ග අපි සලකා බලමු.

සරල ඝාතීය සමීකරණ විසඳීම.

පළමුව, අපි ඉතා මූලික දෙයක් විසඳා ගනිමු. උදාහරණ වශයෙන්:

න්‍යායන් නොමැතිව වුවද, සරල තේරීමෙන් x = 2 බව පැහැදිලිය. වෙන මුකුත් නෑ නේද! X හි වෙනත් අගයක් ක්‍රියා නොකරයි. දැන් අපි මෙම උපක්‍රමශීලී ඝාතීය සමීකරණයට විසඳුම බලමු:

අපි මොනවද කරලා තියෙන්නේ? ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි එකම පදනම (ත්‍රිත්ව) ඉවතට විසි කළෙමු. සම්පූර්ණයෙන්ම ඉවතට විසිවී ඇත. සහ, ශුභාරංචිය නම්, අපි හිස මත නිය පහර!

ඇත්ත වශයෙන්ම, ඝාතීය සමීකරණයක වම් සහ දකුණ තිබේ නම් ඒකමයිඕනෑම බලයක සංඛ්‍යා, මෙම සංඛ්‍යා ඉවත් කර ඝාතක සමාන කළ හැක. ගණිතය ඉඩ දෙයි. වඩා සරල සමීකරණයක් විසඳීමට එය ඉතිරිව ඇත. නියමයි නේද?)

කෙසේ වෙතත්, අපි තරයේ මතක තබා ගනිමු: ඔබට පාද ඉවත් කළ හැක්කේ වම් සහ දකුණු පස ඇති පාදක සංඛ්‍යා විශිෂ්ට ලෙස හුදකලා වූ විට පමණි!අසල්වැසියන් සහ සංගුණක නොමැතිව. අපි සමීකරණවල කියමු:

2 x +2 x+1 = 2 3, හෝ

දෙකක් ඉවත් කළ නොහැක!

හොඳයි, අපි වැදගත්ම දේ ප්‍රගුණ කර ඇත්තෙමු. නරක ඝාතීය ප්‍රකාශනවල සිට සරල සමීකරණ වෙත ගමන් කරන්නේ කෙසේද?

"ඒවා තමයි වෙලාවල්!" - ඔබ කියන්නෙ. "පරීක්ෂණ සහ විභාග ගැන එවැනි ප්‍රාථමික පාඩමක් දෙන්නේ කවුද!?"

මම එකඟ විය යුතුයි. කවුරුවත් දෙන්නේ නැහැ. නමුත් දැන් ඔබ දන්නවා උපක්‍රමශීලී උදාහරණ විසඳීමේදී ඉලක්ක කළ යුත්තේ කොතැනද කියා. එය එකම පාදක අංකය වම් සහ දකුණු පස ඇති පෝරමයට ගෙන යා යුතුය. එවිට සෑම දෙයක්ම පහසු වනු ඇත. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙය ගණිතයේ සම්භාව්‍යයකි. අපි මුල් උදාහරණය ගෙන එය අපේක්ෂිත එකක් බවට පරිවර්තනය කරමු අපමනස. ගණිතයේ නීති වලට අනුව, ඇත්ත වශයෙන්ම.

ඒවා සරලම ලෙස අඩු කිරීමට අමතර වෑයමක් අවශ්‍ය වන උදාහරණ දෙස බලමු. අපි ඔවුන්ට කතා කරමු සරල ඝාතීය සමීකරණ.

සරල ඝාතීය සමීකරණ විසඳීම. උදාහරණ.

ඝාතීය සමීකරණ විසඳන විට, ප්රධාන නීති වේ උපාධි සමඟ ක්රියා.මෙම ක්රියාවන් පිළිබඳ දැනුමක් නොමැතිව කිසිවක් ක්රියා නොකරනු ඇත.

උපාධි සමඟ ක්‍රියා කිරීමට, යමෙකු පුද්ගලික නිරීක්ෂණ සහ දක්ෂතාවය එක් කළ යුතුය. අපට එකම පාද අංක අවශ්‍යද? එබැවින් අපි ඒවා පැහැදිලි හෝ සංකේතාත්මක ආකාරයෙන් උදාහරණයෙන් සොයමු.

අපි බලමු මේක ප්‍රායෝගිකව කරන්නේ කොහොමද කියලා?

අපි උදාහරණයක් දෙමු:

2 2x - 8 x+1 = 0

පළමු තියුණු බැල්ම වන්නේ භූමිය.ඔවුන් ... ඔවුන් වෙනස්! දෙක සහ අට. නමුත් අධෛර්යමත් වීමට කල් වැඩියි. එය මතක තබා ගැනීමට කාලයයි

දෙක සහ අට උපාධියේ ඥාතීන් වේ.) එය ලිවිය හැකිය:

8 x+1 = (2 3) x+1

අංශක සහිත මෙහෙයුම් වලින් අපි සූත්‍රය සිහිපත් කරන්නේ නම්:

(a n) m = a nm,

මෙය විශිෂ්ට ලෙස ක්‍රියා කරයි:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

මුල් උදාහරණය මේ ආකාරයට පෙනෙන්නට පටන් ගත්තේය:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

අපි මාරු කරනවා 2 3 (x+1)දකුණට (කිසිවෙක් ගණිතයේ මූලික මෙහෙයුම් අවලංගු කර නැත!), අපට ලැබෙන්නේ:

2 2x = 2 3(x+1)

ප්‍රායෝගිකව එච්චරයි. පදනම් ඉවත් කිරීම:

අපි මේ රකුසා විසඳා ගන්නෙමු

මෙය නිවැරදි පිළිතුරයි.

මෙම උදාහරණයේදී, දෙදෙනෙකුගේ බලතල දැනගැනීම අපට උපකාර විය. අප හඳුනාගෙන ඇතඅට තුළ සංකේතාත්මක දෙකක් ඇත. මෙම තාක්ෂණය (සංකේතනය පොදු හේතුයටතේ විවිධ සංඛ්යා) ඝාතීය සමීකරණවල ඉතා ජනප්‍රිය තාක්‍ෂණයකි! ඔව්, සහ ලඝුගණක වලද. ඔබට වෙනත් සංඛ්‍යාවල බලය සංඛ්‍යා තුළ හඳුනා ගැනීමට හැකි විය යුතුය. ඝාතීය සමීකරණ විසඳීම සඳහා මෙය අතිශයින් වැදගත් වේ.

කාරණය වන්නේ ඕනෑම අංකයක් ඕනෑම බලයකට නැංවීම ගැටළුවක් නොවන බවයි. කඩදාසි මත පවා ගුණ කරන්න, එය එයයි. උදාහරණයක් ලෙස, ඕනෑම කෙනෙකුට 3 සිට පස්වන බලය දක්වා ඉහළ නැංවිය හැකිය. ඔබ ගුණ කිරීමේ වගුව දන්නේ නම් 243 ක්‍රියා කරයි.) නමුත් ඝාතීය සමීකරණවලදී, බොහෝ විට එය බලයකට නැංවීම අවශ්‍ය නොවේ, නමුත් අනෙක් අතට... සොයා බලන්න කුමන අංකයට කුමන මට්ටමටඅංක 243 පිටුපස සැඟවී ඇත, නැතහොත්, කියන්න, 343... කිසිදු ගණක යන්ත්‍රයක් ඔබට මෙහි උදව් නොකරනු ඇත.

සමහර සංඛ්‍යාවල බලතල දැකීමෙන් දැනගන්න ඕන නේද... පුරුදු වෙමුද?

කුමන බලතල සහ ඉලක්කම් මොනවාද යන්න තීරණය කරන්න:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

පිළිතුරු (අවුලක් තුළ, ඇත්ත වශයෙන්ම!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

හොඳට බැලුවොත් පේනවා අමුතු කරුණක්. කාර්යයන්ට වඩා සැලකිය යුතු පිළිතුරු තිබේ! හොඳයි, එය සිදු වේ ... උදාහරණයක් ලෙස, 2 6, 4 3, 8 2 - එපමණයි 64.

ඔබ සංඛ්‍යා සමඟ හුරුපුරුදු බව පිළිබඳ තොරතුරු සැලකිල්ලට ගෙන ඇති බව අපි උපකල්පනය කරමු.) අප භාවිතා කරන ඝාතීය සමීකරණ විසඳීමට එය ඔබට මතක් කර දෙමි. සෑමගණිත දැනුම තොගය. කනිෂ්ඨ සහ මධ්‍යම පන්තික අය ඇතුළුව. ඔබ කෙලින්ම උසස් පාසලට ගියේ නැත, හරිද?)

උදාහරණයක් ලෙස, ඝාතීය සමීකරණ විසඳන විට, පොදු සාධකය වරහන් වලින් පිටතට දැමීම බොහෝ විට උපකාරී වේ (7 වන ශ්‍රේණියට ආයුබෝවන්!). අපි උදාහරණයක් බලමු:

3 2x+4 -11 9 x = 210

නැවතත්, පළමු බැල්ම පදනම් වේ! උපාධි වල පාද වෙනස්... තුනයි නවයයි. නමුත් අපි ඔවුන්ව සමාන වීමට කැමතියි. හොඳයි, මේ අවස්ථාවේ දී ආශාව සම්පූර්ණයෙන්ම ඉටු වේ!) මන්ද:

9 x = (3 2) x = 3 2x

උපාධි සමඟ කටයුතු කිරීම සඳහා එකම නීති භාවිතා කිරීම:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

එය විශිෂ්ටයි, ඔබට එය ලිවිය හැකිය:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

අපි එකම හේතු නිසා උදාහරණයක් දුන්නා. ඉතින්, ඊළඟට කුමක්ද!? ඔබට ත්‍රිත්වය ඉවතට විසි කළ නොහැක... ඩෙඩ් එන්ඩ්?

කොහෙත්ම නැහැ. වඩාත්ම විශ්වීය හා බලවත් තීරණ රීතිය මතක තබා ගන්න හැමෝමගණිත කාර්යයන්:

ඔබට අවශ්‍ය දේ ඔබ නොදන්නේ නම්, ඔබට කළ හැකි දේ කරන්න!

බලන්න, සියල්ල සාර්ථක වනු ඇත).

මොකක්ද මේ ඝාතීය සමීකරණයේ තියෙන්නේ පුළුවන්කරන්නද? ඔව්, වම් පැත්තේ එය වරහන් වලින් ඉවත් කරන ලෙස ඉල්ලා සිටී! 3 2x හි සමස්ත ගුණකය මේ පිළිබඳව පැහැදිලිව ඉඟි කරයි. අපි උත්සාහ කරමු, පසුව අපි බලමු:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

ආදර්ශය හොඳ අතට හැරෙමින් පවතී!

කිසිදු සංගුණකයක් නොමැතිව, හේතු ඉවත් කිරීමට අපට පිරිසිදු උපාධියක් අවශ්‍ය බව අපට මතකයි. අංක 70 අපට කරදර කරයි. එබැවින් අපි සමීකරණයේ දෙපැත්තම 70 න් බෙදන්න, අපට ලැබෙන්නේ:

අපොයි! හැම දෙයක්ම හොඳ වුණා!

මෙය අවසාන පිළිතුරයි.

කෙසේ වෙතත්, එය සිදු වන්නේ එකම පදනම මත ටැක්සි පැදීම සාක්ෂාත් කර ගැනීමයි, නමුත් ඒවා ඉවත් කිරීම කළ නොහැකි ය. මෙය වෙනත් ආකාරයේ ඝාතීය සමීකරණවල සිදු වේ. අපි මේ වර්ගය ප්‍රගුණ කරමු.

ඝාතීය සමීකරණ විසඳීමේදී විචල්‍යයක් ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීම. උදාහරණ.

අපි සමීකරණය විසඳමු:

4 x - 3 2 x +2 = 0

පළමු - සුපුරුදු පරිදි. අපි එක පදනමකට යමු. ඩියුස් එකකට.

4 x = (2 2) x = 2 2x

අපි සමීකරණය ලබා ගනිමු:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

අනික මේක තමයි අපි එල්ලිලා ඉන්නේ. පෙර උපක්රමකොහොම බැලුවත් වැඩක් වෙන්නේ නෑ. අපගේ අවි ගබඩාවෙන් තවත් බලගතු සහ විශ්වීය ක්‍රමයක් අපට ඉවත් කිරීමට සිදුවනු ඇත. එය හැඳින්වේ විචල්ය ප්රතිස්ථාපනය.

ක්රමයේ සාරය පුදුම සහගත ලෙස සරල ය. එක් සංකීර්ණ අයිකනයක් වෙනුවට (අපගේ නඩුවේ - 2 x) අපි තවත් සරල එකක් ලියන්නෙමු (උදාහරණයක් ලෙස - t). එවැනි පෙනෙන පරිදි අර්ථ විරහිත ආදේශකයක් විශ්මයජනක ප්රතිඵලවලට මග පාදයි!) සෑම දෙයක්ම පැහැදිලි සහ තේරුම් ගත හැකිය!

ඉතින් ඉඩ දෙන්න

එවිට 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

අපගේ සමීකරණයේදී අපි සියලු බල x සමඟ t මගින් ප්‍රතිස්ථාපනය කරමු:

හොඳයි, එය ඔබට උදාවෙමින් තිබේද?) චතුරස්රාකාර සමීකරණඔබට තවමත් අමතකද? වෙනස්කම් කරන්නා හරහා විසඳීම, අපට ලැබෙන්නේ:

මෙහි ප්රධානතම දෙය වන්නේ, සිදු වන පරිදි නතර කිරීම නොවේ ... මෙය තවමත් පිළිතුර නොවේ, අපට අවශ්ය වන්නේ x මිස t නොවේ. අපි X වෙත ආපසු යමු, i.e. අපි ප්‍රතිලෝම ආදේශනයක් කරන්නෙමු. t 1 සඳහා පළමුව:

එනම්,

එක් මූලයක් හමු විය. අපි t 2 සිට දෙවැන්න සොයන්නෙමු:

හ්ම්... වම් පසින් 2 x, දකුණේ 1... ප්‍රශ්නයක්ද? කොහෙත්ම නැහැ! ඒකකයක් යනු (බල සහිත මෙහෙයුම් වලින්, ඔව්...) මතක තබා ගැනීම ප්රමාණවත්ය ඕනෑමඅංකය ශුන්‍ය බලයට. ඕනෑම. අවශ්ය ඕනෑම දෙයක්, අපි එය ස්ථාපනය කරන්නෙමු. අපිට දෙකක් ඕනේ. අදහස්:

දැන් එච්චරයි. අපට මූලයන් 2 ක් ඇත:

පිළිතුර මෙයයි.

හිදී ඝාතීය සමීකරණ විසඳීමඅවසානයේදී සමහර විට ඔබ යම් ආකාරයක අමුතු ප්‍රකාශයකින් අවසන් වේ. වර්ගය:

හතේ සිට දෙක දක්වා සරල උපාධියවැඩ කරන්නේ නෑ. ඒ අය නෑදෑයෝ නෙවෙයි... අපි කොහොමද? යමෙකු ව්‍යාකූල විය හැක... නමුත් මෙම වෙබ් අඩවියේ “ලඝුගණකයක් යනු කුමක්ද?” යන මාතෘකාව කියවන පුද්ගලයා. , අරපිරිමැස්මෙන් සිනාසෙන අතර ස්ථිර අතින් නිවැරදි පිළිතුර ලියන්න:

ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගයේ "B" කාර්යයන්හි එවැනි පිළිතුරක් තිබිය නොහැක. එහිදී නිශ්චිත අංකයක් අවශ්ය වේ. නමුත් "C" කාර්යයන් වලදී එය පහසුය.

මෙම පාඩම වඩාත් පොදු ඝාතීය සමීකරණ විසඳීම සඳහා උදාහරණ සපයයි. ප්රධාන කරුණු ඉස්මතු කරමු.

ප්රායෝගික උපදෙස්:

1. මුලින්ම අපි බලමු භූමියඋපාධි. ඒවා හදන්න පුළුවන්ද කියලා අපි කල්පනා කරනවා සමාන.සක්රියව භාවිතා කිරීමෙන් මෙය කිරීමට උත්සාහ කරමු උපාධි සමඟ ක්රියා. x නැති සංඛ්‍යා බල බවට පරිවර්තනය කළ හැකි බව අමතක කරන්න එපා!

2. වමේ සහ දකුණේ ඇති විට ඝාතීය සමීකරණය පෝරමයට ගෙන ඒමට අපි උත්සාහ කරමු. ඒකමයිඕනෑම බලයක සංඛ්යා. අපි පාවිච්චි කරන්නේ උපාධි සමඟ ක්රියාසහ සාධකකරණය.ඉලක්කම් වලින් ගණන් කළ හැකි දේ, අපි ගණන් කරමු.

3. දෙවන ඉඟිය ක්රියා නොකරන්නේ නම්, විචල්ය ප්රතිස්ථාපනය භාවිතා කිරීමට උත්සාහ කරන්න. ප්රතිඵලය පහසුවෙන් විසඳිය හැකි සමීකරණයක් විය හැකිය. බොහෝ විට - හතරැස්. හෝ භාගික, එය ද හතරැස් දක්වා අඩු කරයි.

4. ඝාතීය සමීකරණ සාර්ථකව විසඳීමට, ඔබ පෙනීම මගින් සමහර සංඛ්යා වල බලයන් දැනගත යුතුය.

සුපුරුදු පරිදි, පාඩම අවසානයේ ඔබට ටිකක් තීරණය කිරීමට ආරාධනා කරනු ලැබේ.) ඔබම. සරල සිට සංකීර්ණ දක්වා.

ඝාතීය සමීකරණ විසඳන්න:

වඩා දුෂ්කර:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5x+1 - 8 = 0

මුල්වල නිෂ්පාදනය සොයන්න:

2 3's + 2 x = 9

සිදුවීද?

හොඳයි එහෙනම් වඩාත්ම සංකීර්ණ උදාහරණය(තීරණය, කෙසේ වෙතත්, මනසින් ...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

වඩා රසවත් කුමක්ද? එහෙනම් මෙන්න ඔබට නරක ආදර්ශයක්. වැඩිවන දුෂ්කරතාවයට බෙහෙවින් සුදුසු ය. මෙම උදාහරණයේ දී, ඔබව ගලවා ගන්නේ දක්ෂතාවය සහ සියලු ගණිතමය ගැටළු විසඳීම සඳහා වඩාත්ම විශ්වීය රීතිය බව මට ඉඟි කිරීමට ඉඩ දෙන්න.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

ලිහිල් කිරීම සඳහා සරල උදාහරණයක්:

9 2 x - 4 3 x = 0

සහ අතුරුපස සඳහා. සමීකරණයේ මූලයන්ගේ එකතුව සොයන්න:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

ඔව් ඔව්! මෙය මිශ්‍ර ආකාරයේ සමීකරණයකි! මෙම පාඩමේදී අප සලකා බැලූයේ නැත. ඒවා සලකා බලන්නේ ඇයි, ඒවා විසඳිය යුතුය!) මෙම පාඩම සමීකරණය විසඳීමට ප්රමාණවත්ය. හොඳයි, ඔබට දක්ෂතාවය අවශ්‍යයි... සහ හත්වන ශ්‍රේණිය ඔබට උපකාර වේවා (මෙය ඉඟියකි!).

පිළිතුරු (අවුල් සහගතව, අර්ධ කොමා වලින් වෙන් කර ඇත):

1; 2; 3; 4; විසඳුම් නැත; 2; -2; -5; 4; 0.

සියල්ල සාර්ථකද? මහා.

ගැටලුවක් තිබේද? ප්රශ්නයක් නැහැ! විශේෂ වගන්තිය 555 මෙම සියලු ඝාතීය සමීකරණ සවිස්තරාත්මක පැහැදිලි කිරීම් සමඟ විසඳයි. කුමක්ද, ඇයි සහ ඇයි. තවද, ඇත්ත වශයෙන්ම, සියලු වර්ගවල ඝාතීය සමීකරණ සමඟ වැඩ කිරීම පිළිබඳ අමතර වටිනා තොරතුරු තිබේ. මේවා පමණක් නොවේ.)

සලකා බැලිය යුතු අවසාන විනෝද ප්‍රශ්නයක්. මෙම පාඩමේදී අපි ඝාතීය සමීකරණ සමඟ වැඩ කළෙමු. ඇයි මම මෙතන ODZ ගැන වචනයක් කිව්වේ නැත්තේ?සමීකරණවලදී, මෙය ඉතා වැදගත් දෙයක්, මාර්ගයෙන් ...

ඔබ මෙම අඩවියට කැමති නම්...

මාර්ගය වන විට, මට ඔබ සඳහා තවත් රසවත් අඩවි කිහිපයක් තිබේ.)

ඔබට උදාහරණ විසඳීමට පුරුදු වී ඔබේ මට්ටම සොයා ගත හැකිය. ක්ෂණික සත්‍යාපනය සමඟ පරීක්ෂා කිරීම. අපි ඉගෙන ගනිමු - උනන්දුවෙන්!)

ඔබට කාර්යයන් සහ ව්‍යුත්පන්නයන් සමඟ දැන හඳුනා ගත හැකිය.

අවසාන පරීක්ෂණය සඳහා සූදානම් වීමේ අදියරේදී, උසස් පාසැල් සිසුන් "ඝාතීය සමීකරණ" යන මාතෘකාව පිළිබඳ ඔවුන්ගේ දැනුම වැඩිදියුණු කළ යුතුය. පසුගිය වසරවල අත්දැකීම් පෙන්නුම් කරන්නේ එවැනි කාර්යයන් පාසල් සිසුන්ට යම් යම් දුෂ්කරතා ඇති කරන බවයි. එමනිසා, උසස් පාසැල් සිසුන්, ඔවුන්ගේ සූදානම් වීමේ මට්ටම කුමක් වුවත්, න්යාය හොඳින් ප්රගුණ කිරීම, සූත්ර මතක තබා ගැනීම සහ එවැනි සමීකරණ විසඳීමේ මූලධර්මය අවබෝධ කර ගැනීම අවශ්ය වේ. මෙම ආකාරයේ කාර්යය සමඟ සාර්ථකව කටයුතු කිරීමට ඉගෙන ගත් පසු, උපාධිධාරීන්ට ගණන් කිරීමට හැකි වනු ඇත ඉහළ ලකුණුගණිතයේ ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගය සමත් වන විට.

Shkolkovo සමඟ විභාග පරීක්ෂණ සඳහා සූදානම් වන්න!

ඔවුන් ආවරණය කර ඇති ද්රව්ය සමාලෝචනය කරන විට, බොහෝ සිසුන් සමීකරණ විසඳීමට අවශ්ය සූත්ර සොයා ගැනීමේ ගැටලුවට මුහුණ දී සිටිති. පාසල් පෙළ පොතසෑම විටම අත ළඟ නැති අතර, අන්තර්ජාලයේ මාතෘකාවක් පිළිබඳ අවශ්ය තොරතුරු තෝරාගැනීමට බොහෝ කාලයක් ගත වේ.

Shkolkovo අධ්‍යාපනික ද්වාරය අපගේ දැනුම පදනම භාවිතා කිරීමට සිසුන්ට ආරාධනා කරයි. අවසාන පරීක්ෂණය සඳහා සූදානම් වීමේ සම්පූර්ණයෙන්ම නව ක්රමයක් අපි ක්රියාත්මක කරන්නෙමු. අපගේ වෙබ් අඩවියේ අධ්‍යයනය කිරීමෙන්, ඔබට දැනුමේ හිඩැස් හඳුනා ගැනීමටත්, වඩාත්ම දුෂ්කරතාවයට හේතු වන එම කාර්යයන් කෙරෙහි අවධානය යොමු කිරීමටත් ඔබට හැකි වේ.

Shkolkovo ගුරුවරු අවශ්‍ය සියල්ල එකතු කර, ක්‍රමානුකූල කර ඉදිරිපත් කළහ සාර්ථකව නිම කිරීම ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාග ද්රව්යසරලම හා වඩාත්ම ප්රවේශ විය හැකි ආකාරයෙන්.

මූලික නිර්වචන සහ සූත්‍ර "න්‍යායාත්මක පසුබිම" කොටසේ ඉදිරිපත් කෙරේ.

ද්රව්යය වඩා හොඳින් අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා, පැවරුම් සම්පූර්ණ කිරීමට ඔබ පුරුදු වන ලෙස අපි නිර්දේශ කරමු. ගණනය කිරීමේ ඇල්ගොරිතම අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා මෙම පිටුවේ ඉදිරිපත් කර ඇති විසඳුම් සමඟ ඝාතීය සමීකරණවල උදාහරණ ප්රවේශමෙන් සමාලෝචනය කරන්න. ඊට පසු, "ඩිරෙක්ටරි" කොටසෙහි කාර්යයන් ඉටු කිරීමට ඉදිරියට යන්න. ඔබට පහසුම කර්තව්‍යයන් සමඟින් ආරම්භ කිරීමට හෝ නොදන්නා කරුණු කිහිපයක් සමඟින් සංකීර්ණ ඝාතීය සමීකරණ විසඳීමට කෙළින්ම ගමන් කළ හැකිය. අපගේ වෙබ් අඩවියේ අභ්‍යාසවල දත්ත සමුදාය නිරන්තරයෙන් පරිපූරක සහ යාවත්කාලීන වේ.

ඔබට දුෂ්කරතා ඇති කළ දර්ශක සහිත එම උදාහරණ "ප්රියතම" වෙත එකතු කළ හැකිය. මේ ආකාරයෙන් ඔබට ඉක්මනින් ඔවුන් සොයා ගැනීමට සහ ඔබේ ගුරුවරයා සමඟ විසඳුම සාකච්ඡා කළ හැකිය.

ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගය සාර්ථකව සමත් වීමට, සෑම දිනකම Shkolkovo ද්වාරය මත අධ්යයනය කරන්න!