ඝාතීය සමීකරණවල ගුණ. ඝාතීය සමීකරණයක් යනු කුමක්ද සහ එය විසඳන්නේ කෙසේද

දේශනය: "විසඳුම් ක්රම ඝාතීය සමීකරණ».

1 . ඝාතීය සමීකරණ.

ඝාතකවල නොදන්නා කරුණු අඩංගු සමීකරණ ඝාතීය සමීකරණ ලෙස හැඳින්වේ. ඒවායින් සරලම වන්නේ ax = b යන සමීකරණයයි, මෙහි a > 0, a ≠ 1.

1) බී< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) b > 0 සඳහා, ශ්‍රිතයේ ඒකාකාරී බව සහ මූල ප්‍රමේයය භාවිතා කරමින්, සමීකරණයට අනන්‍ය මූලයක් ඇත. එය සොයා ගැනීමට b = aс, аx = bс ó x = c හෝ x = logab ආකාරයෙන් නිරූපණය කළ යුතුය.

වීජීය පරිවර්තනයන් මගින් ඝාතීය සමීකරණ සම්මත සමීකරණවලට තුඩු දෙයි, ඒවා පහත ක්‍රම භාවිතයෙන් විසඳනු ලැබේ:

1) එක් පදනමක් දක්වා අඩු කිරීමේ ක්රමය;

2) තක්සේරු ක්රමය;

3) ග්රැෆික් ක්රමය;

4) නව විචල්යයන් හඳුන්වාදීමේ ක්රමය;

5) සාධකකරණ ක්රමය;

6) ඇඟවුම් - බල සමීකරණ;

7) පරාමිතියක් සහිත නිරූපණ.

2 . එක් පදනමක් දක්වා අඩු කිරීමේ ක්රමය.

ක්රමය පදනම් වේ පහත දේපලඅංශක: අංශක දෙකක් සමාන නම් සහ ඒවායේ පාද සමාන නම්, ඒවායේ ඝාතකයන් සමාන වේ, එනම්, අපි ආකෘතියට සමීකරණය අඩු කිරීමට උත්සාහ කළ යුතුය

උදාහරණ. සමීකරණය විසඳන්න:

1 . 3x = 81;

අපි හිතමු දකුණු පැත්ත 81 = 34 ආකෘතියේ සමීකරණ සහ මුල් 3 x = 34 ට සමාන සමීකරණය ලියන්න; x = 4. පිළිතුර: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">සහ අපි ඝාතක 3x+1 = 3 – 5x; 8x = සමීකරණය වෙත යමු 4; x = 0.5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

0.2, 0.04, √5 සහ 25 ඉලක්කම් 5 හි බල නියෝජනය කරන බව සලකන්න. අපි මෙයින් ප්‍රයෝජන ගෙන මුල් සමීකරණය පහත පරිදි පරිවර්තනය කරමු:

, කොහෙන්ද 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, එයින් අපි x = -1 විසඳුම සොයා ගනිමු. පිළිතුර:-1.

5. 3x = 5. ලඝුගණක අර්ථ දැක්වීම අනුව, x = log35. පිළිතුර: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

අපි 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, i.e.png" width="181" height="49 src="> එබැවින් x – 4 =0, x = 4 ආකාරයෙන් සමීකරණය නැවත ලියමු. පිළිතුර: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. බලවල ගුණ භාවිතා කරමින්, අපි සමීකරණය ලියන්නේ 6∙ 3x - 2∙ 3x – 3x = 9 පසුව 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, එනම් x+1 = 2, x =1. පිළිතුර: 1.

ගැටළු බැංකුව අංක 1.

සමීකරණය විසඳන්න:

පරීක්ෂණ අංක 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) මුල් නැත
	1) 7;1 2) මුල් නැත 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

පරීක්ෂණ අංක 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) මුල් නැත 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 ඇගයුම් ක්රමය.

මූල ප්‍රමේයය: f(x) ශ්‍රිතය I අන්තරය මත වැඩි (අඩු) නම්, අංකය a යනු මෙම අන්තරය මත f මගින් ගන්නා ඕනෑම අගයකි, එවිට f(x) = a සමීකරණයට I අන්තරය මත තනි මූලයක් ඇත.

ඇස්තමේන්තු ක්‍රමය භාවිතා කරමින් සමීකරණ විසඳන විට, මෙම ප්‍රමේයය සහ ශ්‍රිතයේ ඒකාකාරී ගුණාංග භාවිතා වේ.

උදාහරණ. සමීකරණ විසඳන්න: 1. 4x = 5 – x.

විසඳුමක්. අපි සමීකරණය 4x +x = 5 ලෙස නැවත ලියමු.

1. x = 1 නම්, 41+1 = 5, 5 = 5 සත්‍ය වේ, එයින් අදහස් වන්නේ 1 යනු සමීකරණයේ මූලයයි.

ශ්‍රිතය f(x) = 4x – R මත වැඩි වන අතර g(x) = x – R => h(x)= f(x)+g(x) R මත වැඩි වේ, වැඩිවන ශ්‍රිතවල එකතුව ලෙස, එවිට x = 1 යනු 4x = 5 – x සමීකරණයේ එකම මූලයයි. පිළිතුර: 1.

විසඳුමක්. පෝරමයේ සමීකරණය නැවත ලියමු .

1. x = -1 නම්, එසේ නම් , 3 = 3 සත්‍ය වේ, එනම් x = -1 යනු සමීකරණයේ මුල වේ.

2. ඔහු පමණක් බව ඔප්පු කරන්න.

3. ශ්‍රිතය f(x) = - R මත අඩු වන අතර g(x) = - x – R=> h(x) = f(x)+g(x) මත අඩු වේ – R මත අඩු වේ, එකතුව ලෙස කාර්යයන් අඩු කිරීම . මෙයින් අදහස් කරන්නේ, මූල ප්‍රමේයය අනුව, සමීකරණයේ එකම මූලය x = -1 වේ. පිළිතුර:-1.

ගැටළු බැංකුව අංක 2. සමීකරණය විසඳන්න

a) 4x + 1 =6 - x;

බී)

ඇ) 2x - 2 =1 - x;

4. නව විචල්‍යයන් හඳුන්වා දීමේ ක්‍රමය.

ක්රමය 2.1 ඡේදයේ විස්තර කර ඇත. නව විචල්‍යයක් (ආදේශකයක්) හඳුන්වාදීම සාමාන්‍යයෙන් සිදු කරනු ලබන්නේ සමීකරණයේ නියමයන් පරිවර්තනය කිරීමෙන් (සරල කිරීම) පසුවය. අපි උදාහරණ බලමු.

උදාහරණ. ආර්සමීකරණය විසඳන්න: 1. .

අපි සමීකරණය වෙනස් ලෙස නැවත ලියමු: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

විසඳුමක්. අපි සමීකරණය වෙනස් ආකාරයකින් නැවත ලියමු:

අපි නම් කරමු https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - සුදුසු නොවේ.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - අතාර්කික සමීකරණය. අපි එය සටහන් කරමු

සමීකරණයේ විසඳුම x = 2.5 ≤ 4, එනම් 2.5 යනු සමීකරණයේ මුල වේ. පිළිතුර: 2.5.

විසඳුමක්. පෝරමයේ සමීකරණය නැවත ලියා දෙපැත්තම 56x+6 ≠ 0 න් බෙදමු. අපට සමීකරණය ලැබේ

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන් t1 = 1 සහ t2 වේ<0, т. е..png" width="200" height="24">.

විසඳුමක් . පෝරමයේ සමීකරණය නැවත ලියමු

එය දෙවන උපාධියේ සමජාතීය සමීකරණයක් බව සලකන්න.

සමීකරණය 42x කින් බෙදන්න, අපි ලබා ගනිමු

අපි https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> ආදේශ කරමු.

පිළිතුර: 0; 0.5

ගැටළු බැංකුව අංක 3. සමීකරණය විසඳන්න

බී)

පරීක්ෂණ අංක 3 පිළිතුරු තේරීමක් සමඟ. අවම මට්ටම.

A1	1) -0.2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0.52x – 3 0.5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) මුල් නැත 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) මුල් නැත 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

පරීක්ෂණ අංක 4 පිළිතුරු තේරීමක් සමඟ. සාමාන්ය මට්ටම.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) මුල් නැත

5. සාධකකරණ ක්රමය.

1. සමීකරණය විසඳන්න: 5x+1 - 5x-1 = 24.

විසඳුම..png" width="169" height="69"> , කොහෙන්ද

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

විසඳුමක්. අපි සමීකරණයේ වම් පැත්තේ වරහන් වලින් 6x සහ දකුණු පැත්තේ 2x දමමු. අපට 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x යන සමීකරණය ලැබේ.

සියලුම x සඳහා 2x >0 බැවින්, විසඳුම් අහිමි වේ යැයි බියෙන් තොරව අපට මෙම සමීකරණයේ දෙපැත්තම 2x කින් බෙදිය හැකිය. අපට 3x = 1ó x = 0 ලැබේ.

විසඳුමක්. සාධකකරණ ක්‍රමය භාවිතයෙන් සමීකරණය විසඳමු.

අපි ද්විපදයේ වර්ග තෝරා ගනිමු

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 යනු සමීකරණයේ මුල වේ.

සමීකරණය x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

පරීක්ෂණ අංක 6 සාමාන්ය මට්ටම.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2
A2	1) 2.5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. ඝාතීය - බල සමීකරණ.

ඝාතීය සමීකරණවලට යාබදව ඊනියා ඝාතීය-බල සමීකරණ, එනම් (f(x))g(x) = (f(x))h(x) ආකෘතියේ සමීකරණ වේ.

f(x)>0 සහ f(x) ≠ 1 බව දන්නේ නම්, ඝාතීය එක මෙන් සමීකරණය විසඳනු ලබන්නේ g(x) = f(x) යන ඝාතකයන් සමීකරණය කිරීමෙනි.

කොන්දේසිය f(x)=0 සහ f(x)=1 හි හැකියාව බැහැර නොකරන්නේ නම්, ඝාතීය සමීකරණයක් විසඳීමේදී අපට මෙම අවස්ථා සලකා බැලිය යුතුය.

1..png" width="182" height="116 src=">

විසඳුමක්. x2 +2x-8 – ඕනෑම x සඳහා අර්ථවත් වේ, එය බහුපදයක් වන බැවින්, එනම් සමීකරණය සමස්ථයට සමාන වේ

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

බී)

7. පරාමිතීන් සහිත ඝාතීය සමීකරණ.

1. p පරාමිතියේ කුමන අගයන් සඳහා 4 (5 - 3) සමීකරණය 2 +4p2-3p = 0 (1) සතුව තිබේද? එකම තීරණය?

විසඳුමක්. අපි 2x = t, t > 0 ආදේශනය හඳුන්වා දෙමු, එවිට සමීකරණය (1) t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

සමීකරණයේ වෙනස්කම් කරන්නා (2) D = (5p - 3)2 - 4(4p2 - 3p) = 9(p - 1)2.

(2) සමීකරණයට එක් ධන මූලයක් තිබේ නම් (1) සමීකරණයට අද්විතීය විසඳුමක් ඇත. පහත සඳහන් අවස්ථා වලදී මෙය කළ හැකිය.

1. D = 0, එනම් p = 1 නම්, සමීකරණය (2) t2 – 2t + 1 = 0 ආකාරය ගනී, එබැවින් t = 1, එබැවින් සමීකරණයට (1) අද්විතීය විසඳුමක් x = 0 ඇත.

2. p1 නම්, 9(p - 1)2 > 0, එවිට සමීකරණය (2) ට විවිධ මූලයන් දෙකක් තිබේ t1 = p, t2 = 4p - 3. ගැටලුවේ කොන්දේසි පද්ධති සමූහයකින් තෘප්තිමත් වේ.

පද්ධති තුලට t1 සහ t2 ආදේශ කිරීම, අප සතුව ඇත

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

විසඳුමක්. ඉඩ එවිට සමීකරණය (3) t2 – 6t – a = 0 ආකාරය ගනී. (4)

අවම වශයෙන් එක් සමීකරණ මූලයක් (4) t > 0 කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කරන පරාමිතියේ අගයන් අපි සොයා ගනිමු.

අපි f(t) = t2 – 6t – a ශ්‍රිතය හඳුන්වා දෙමු. පහත සඳහන් අවස්ථා හැකි ය.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} චතුරස්රාකාර ත්රිකෝණය f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

නඩුව 2. සමීකරණය (4) අද්විතීය එකක් ඇත ධනාත්මක තීරණය, නම්

D = 0, a = – 9 නම්, (4) සමීකරණය (t – 3) 2 = 0, t = 3, x = – 1 පෝරමය ගනී.

අවස්ථාව 3. සමීකරණය (4) මූලයන් දෙකක් ඇත, නමුත් ඉන් එකක් අසමානතාවය තෘප්තිමත් නොවේ t > 0. මෙය කළ හැකි නම්

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

මේ අනුව, a 0 සඳහා, (4) සමීකරණයට තනි ධන මූලයක් ඇත . එවිට (3) සමීකරණයට අද්විතීය විසඳුමක් ඇත

විට අ< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

නම් a< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
a = – 9 නම්, x = – 1;

 0 නම්, එසේ නම්

සමීකරණ (1) සහ (3) විසඳීමේ ක්රම අපි සංසන්දනය කරමු. සමීකරණය විසඳන විට (1) චතුරස්රාකාර සමීකරණයකට අඩු කරන ලද අතර, එහි වෙනස්කම් කිරීම පරිපූර්ණ චතුරස්රයක් වේ; මේ අනුව, චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන් සඳහා වන සූත්‍රය භාවිතයෙන් සමීකරණයේ මූලයන් (2) වහාම ගණනය කරන ලද අතර පසුව මෙම මූලයන් සම්බන්ධයෙන් නිගමනවලට එළඹුණි. සමීකරණය (3) චතුරස්‍ර සමීකරණයකට (4) අඩු කර ඇත, එහි වෙනස් කොට සැලකීම පරිපූර්ණ චතුරස්‍රයක් නොවේ, එබැවින් සමීකරණය (3) විසඳන විට චතුරස්‍ර ත්‍රිකෝණයක මූලයන් පිහිටීම පිළිබඳ ප්‍රමේය භාවිතා කිරීම සුදුසුය. සහ චිත්රක ආකෘතියක්. සමීකරණය (4) වියේටා ප්‍රමේයය භාවිතයෙන් විසඳිය හැකි බව සලකන්න.

අපි වඩාත් සංකීර්ණ සමීකරණ විසඳමු.

ගැටළුව 3: සමීකරණය විසඳන්න

විසඳුමක්. ODZ: x1, x2.

අපි ආදේශකයක් හඳුන්වා දෙමු. 2x = t, t > 0 ඉඩ දෙන්න, එවිට පරිවර්තනවල ප්‍රතිඵලයක් ලෙස සමීකරණය t2 + 2t – 13 – a = 0 ආකාරය ගනී. (*) අපි අවම වශයෙන් එක් මූලයක් සඳහා a හි අගයන් සොයා ගනිමු. සමීකරණය (*) t > 0 කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කරයි.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

පිළිතුර: a > – 13, a  11, a  5 නම්, a – 13 නම්,

a = 11, a = 5, එවිට මූලයන් නොමැත.

ග්‍රන්ථ නාමාවලිය.

1. අධ්යාපනික තාක්ෂණයේ Guzeev පදනම්.

2. Guzeev තාක්ෂණය: පිළිගැනීමේ සිට දර්ශනය දක්වා.

M. "පාසල් අධ්යක්ෂ" අංක 4, 1996

3. Guzeev සහ සංවිධානාත්මක ආකෘතිපුහුණුව.

4. Guzeev සහ සමෝධානික අධ්‍යාපනික තාක්ෂණයේ භාවිතය.

එම්. "රාජ්‍ය අධ්‍යාපනය", 2001

5. Guzeev පාඩමක ආකෘති වලින් - සම්මන්ත්රණය.

පාසලේ ගණිතය අංක 2, 1987 පි. 9 - 11.

6. Seleuko අධ්යාපනික තාක්ෂණයන්.

එම්. "රාජ්‍ය අධ්‍යාපනය", 1998

7. Episheva පාසල් සිසුන් ගණිතය හැදෑරීමට.

එම්. "බුද්ධත්වය", 1990

8. ඉවානෝවා පාඩම් සූදානම් - වැඩමුළු.

පාසලේ ගණිතය අංක 6, 1990 පි. 37 - 40.

9. ස්මිර්නොව්ගේ ගණිතය ඉගැන්වීමේ ආකෘතිය.

පාසලේ ගණිතය අංක 1, 1997 පි. 32 - 36.

10. ප්රායෝගික වැඩ සංවිධානය කිරීමේ Tarasenko ක්රම.

පාසලේ ගණිතය අංක 1, 1993 පි. 27 - 28.

11. තනි වැඩ වර්ග වලින් එකක් ගැන.

පාසලේ ගණිතය අංක 2, 1994, පිටු 63 - 64.

12. Khazankin නිර්මාණාත්මක කුසලතාපාසල් දරුවන්.

පාසලේ ගණිතය අංක 2, 1989 පි. 10.

13. ස්කැනවි. ප්‍රකාශක, 1997

14. සහ අනෙකුත් වීජ ගණිතය සහ විශ්ලේෂණයේ ආරම්භය. උපදේශාත්මක ද්රව්යසදහා

15. ගණිතයේ Krivonogov කාර්යයන්.

එම්. "සැප්තැම්බර් පළමු", 2002

16. චර්කසොව්. උසස් පාසල් සිසුන් සඳහා අත්පොත සහ

විශ්වවිද්‍යාලවලට ඇතුල් වෙනවා. "ඒ එස් ටී - පුවත්පත් පාසල", 2002

17. විශ්ව විද්‍යාලවලට ඇතුළු වන අය සඳහා Zhevnyak.

මින්ස්ක් සහ රුසියානු සමූහාණ්ඩුව "සමාලෝචනය", 1996

18. ලිඛිත D. ගණිතය පිළිබඳ විභාගය සඳහා සූදානම් වීම. M. Rolf, 1999

19. ආදිය සමීකරණ සහ අසමානතා විසඳීමට ඉගෙනීම.

එම්. "බුද්ධිය - මධ්යස්ථානය", 2003

20. ආදිය EGE සඳහා සූදානම් කිරීම සඳහා අධ්යාපනික සහ පුහුණු ද්රව්ය.

එම්. "බුද්ධි - මධ්යස්ථානය", 2003 සහ 2004.

21 සහ අනෙකුත් CMM විකල්ප. රුසියානු සමූහාණ්ඩුවේ ආරක්ෂක අමාත්යාංශයේ පරීක්ෂණ මධ්යස්ථානය, 2002, 2003.

22. ගෝල්ඩ්බර්ග් සමීකරණ. "ක්වොන්ටම්" අංක 3, 1971

23. Volovich M. ගණිතය සාර්ථකව උගන්වන ආකාරය.

ගණිතය, 1997 අංක 3.

24 පාඩම සඳහා Okunev, ළමයි! M. අධ්යාපනය, 1988

25. Yakimanskaya - පාසැලේ දිශානත ඉගෙනීම.

26. Liimets පන්තියේ වැඩ කරයි. M. දැනුම, 1975

අවසාන පරීක්ෂණය සඳහා සූදානම් වීමේ අදියරේදී, උසස් පාසැල් සිසුන් "ඝාතීය සමීකරණ" යන මාතෘකාව පිළිබඳ ඔවුන්ගේ දැනුම වැඩිදියුණු කළ යුතුය. පසුගිය වසරවල අත්දැකීම් පෙන්නුම් කරන්නේ එවැනි කාර්යයන් පාසල් සිසුන්ට යම් යම් දුෂ්කරතා ඇති කරන බවයි. එමනිසා, උසස් පාසැල් සිසුන්, ඔවුන්ගේ සූදානම් වීමේ මට්ටම කුමක් වුවත්, න්යාය හොඳින් ප්රගුණ කිරීම, සූත්ර මතක තබා ගැනීම සහ එවැනි සමීකරණ විසඳීමේ මූලධර්මය අවබෝධ කර ගැනීම අවශ්ය වේ. මෙම ආකාරයේ කාර්යය සමඟ සාර්ථකව කටයුතු කිරීමට ඉගෙන ගත් පසු, උපාධිධාරීන්ට ගණන් කිරීමට හැකි වනු ඇත ඉහළ ලකුණුගණිතයේ ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගය සමත් වන විට.

Shkolkovo සමඟ විභාග පරීක්ෂණ සඳහා සූදානම් වන්න!

ඔවුන් ආවරණය කර ඇති ද්රව්ය සමාලෝචනය කරන විට, බොහෝ සිසුන් සමීකරණ විසඳීමට අවශ්ය සූත්ර සොයා ගැනීමේ ගැටලුවට මුහුණ දී සිටිති. පාසල් පෙළ පොතසෑම විටම අත ළඟ නැති අතර, අන්තර්ජාලයේ මාතෘකාවක් පිළිබඳ අවශ්ය තොරතුරු තෝරාගැනීමට බොහෝ කාලයක් ගත වේ.

Shkolkovo අධ්‍යාපනික ද්වාරය අපගේ දැනුම පදනම භාවිතා කිරීමට සිසුන්ට ආරාධනා කරයි. අවසාන පරීක්ෂණය සඳහා සූදානම් වීමේ සම්පූර්ණයෙන්ම නව ක්රමයක් අපි ක්රියාත්මක කරන්නෙමු. අපගේ වෙබ් අඩවියේ අධ්‍යයනය කිරීමෙන්, ඔබට දැනුමේ හිඩැස් හඳුනා ගැනීමටත්, වඩාත්ම දුෂ්කරතාවයට හේතු වන එම කාර්යයන් කෙරෙහි අවධානය යොමු කිරීමටත් ඔබට හැකි වේ.

Shkolkovo ගුරුවරු අවශ්‍ය සියල්ල එකතු කර, ක්‍රමානුකූල කර ඉදිරිපත් කළහ සාර්ථකව නිම කිරීම ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාග ද්රව්යසරලම හා වඩාත්ම ප්රවේශ විය හැකි ආකාරයෙන්.

මූලික නිර්වචන සහ සූත්‍ර "න්‍යායාත්මක පසුබිම" කොටසේ ඉදිරිපත් කෙරේ.

ද්රව්යය වඩා හොඳින් අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා, පැවරුම් සම්පූර්ණ කිරීමට ඔබ පුරුදු වන ලෙස අපි නිර්දේශ කරමු. ගණනය කිරීමේ ඇල්ගොරිතම අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා මෙම පිටුවේ ඉදිරිපත් කර ඇති විසඳුම් සමඟ ඝාතීය සමීකරණවල උදාහරණ ප්රවේශමෙන් සමාලෝචනය කරන්න. ඊට පසු, "ඩිරෙක්ටරි" කොටසෙහි කාර්යයන් ඉටු කිරීමට ඉදිරියට යන්න. ඔබට පහසුම කර්තව්‍යයන් සමඟින් ආරම්භ කිරීමට හෝ නොදන්නා කරුණු කිහිපයක් සමඟින් සංකීර්ණ ඝාතීය සමීකරණ විසඳීමට කෙළින්ම ගමන් කළ හැකිය. අපගේ වෙබ් අඩවියේ අභ්‍යාසවල දත්ත සමුදාය නිරන්තරයෙන් පරිපූරක සහ යාවත්කාලීන වේ.

ඔබට දුෂ්කරතා ඇති කළ දර්ශක සහිත එම උදාහරණ "ප්රියතම" වෙත එකතු කළ හැකිය. මේ ආකාරයෙන් ඔබට ඉක්මනින් ඔවුන් සොයා ගැනීමට සහ ඔබේ ගුරුවරයා සමඟ විසඳුම සාකච්ඡා කළ හැකිය.

ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගය සාර්ථකව සමත් වීමට, සෑම දිනකම Shkolkovo ද්වාරය මත අධ්යයනය කරන්න!

උදාහරණ:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4.8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

ඝාතීය සමීකරණ විසඳන්නේ කෙසේද?

ඕනෑම ඝාතීය සමීකරණයක් විසඳන විට, අපි එය \(a^(f(x))=a^(g(x))\) ආකෘතියට ගෙන ඒමට උත්සාහ කරමු, ඉන්පසු ඝාතක සමානාත්මතාවයට සංක්‍රමණය කරන්න, එනම්:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

උදාහරණ වශයෙන්:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

වැදගත්! එකම තර්කයෙන්, එවැනි සංක්‍රාන්තියක් සඳහා අවශ්‍යතා දෙකක් පහත දැක්වේ:
- අංකය තුළ වම් සහ දකුණ සමාන විය යුතුය;
- වම් සහ දකුණෙහි අංශක "පිරිසිදු" විය යුතුය, එනම් ගුණ කිරීම, බෙදීම ආදිය නොතිබිය යුතුය.

උදාහරණ වශයෙන්:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) ආකෘතියට සමීකරණය අඩු කිරීමට සහ භාවිතා වේ.

උදාහරණයක් . ඝාතීය සමීකරණය විසඳන්න \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
විසඳුමක්:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)

අපි දන්නවා \(27 = 3^3\). මෙය සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපි සමීකරණය පරිවර්තනය කරමු.

\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)

\(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) මූලයේ ගුණයෙන් අපි \(\sqrt(3^3)=((3^3) ලබා ගනිමු. )^( \frac(1)(2))\). ඊළඟට, උපාධියේ ගුණය භාවිතා කරමින් \((a^b)^c=a^(bc)\), අපි \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ ලබා ගනිමු. (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).

\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

\(a^b·a^c=a^(b+c)\) බවද අපි දනිමු. මෙය වම් පැත්තට යෙදීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1.5 + x-1)=3^(x+0.5)\).

\(3^(x+0.5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

දැන් එය මතක තබා ගන්න: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). මෙම සූත්රය ද භාවිතා කළ හැකිය ආපසු පැත්තේ: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). එවිට \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).

\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\)

දේපල \((a^b)^c=a^(bc)\) දකුණු පැත්තට යෙදීමෙන්, අපි ලබා ගන්නේ: \((3^(-1))^(2x)=3^(-1) 2x) =3^(-2x)\).

\(3^(x+0.5)=3^(-2x)\)

දැන් අපගේ පදනම් සමාන වන අතර බාධා කරන සංගුණක ආදිය නොමැත. එබැවින් අපට සංක්රමණය කළ හැකිය.

උදාහරණයක් . ඝාතීය සමීකරණය විසඳන්න \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\)
විසඳුමක්:

\(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\)		අපි නැවතත් බලයේ ගුණය \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) ප්‍රතිවිරුද්ධ දිශාවට භාවිතා කරමු.
\(4^x 4^(0.5)-5 2^x+2=0\)		දැන් මතක තියාගන්න \(4=2^2\).
\((2^2)^x·(2^2)^(0.5)-5·2^x+2=0\)		අංශක වල ගුණාංග භාවිතා කරමින්, අපි පරිවර්තනය කරමු: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.\)
\(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\)		අපි සමීකරණය දෙස හොඳින් බලා \(t=2^x\) ප්‍රතිස්ථාපනය යෝජනා කරන බව දකිමු.

\(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\)		කෙසේ වෙතත්, අපි \(t\) හි අගයන් සොයාගෙන ඇති අතර අපට \(x\) අවශ්‍ය වේ. අපි ප්‍රතිලෝම ආදේශනයක් කරමින් X වෙත ආපසු යන්නෙමු.
\(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\)		සෘණ බල ගුණය භාවිතයෙන් දෙවන සමීකරණය පරිවර්තනය කරමු...
\(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\)		...අපි පිළිතුර අවසන් කරමු.
\(x_1=1\) \(x_2=-1\)

පිළිතුර : \(-1; 1\).

ප්රශ්නය ඉතිරිව පවතී - කුමන ක්රමය භාවිතා කළ යුතුද යන්න තේරුම් ගන්නේ කෙසේද? මෙය අත්දැකීම් සමඟ පැමිණේ. ඔබ එය සකස් කරන තුරු, විසඳීමට පොදු නිර්දේශය භාවිතා කරන්න සංකීර්ණ කාර්යයන්- "ඔබ කුමක් කළ යුතු දැයි නොදන්නේ නම්, ඔබට කළ හැකි දේ කරන්න." එනම්, ඔබට ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන් සමීකරණය පරිවර්තනය කරන්නේ කෙසේදැයි සොයා බලන්න, එය කිරීමට උත්සාහ කරන්න - කුමක් සිදුවේද? ප්රධාන දෙය වන්නේ ගණිතමය වශයෙන් පදනම් වූ පරිවර්තනයන් පමණක් සිදු කිරීමයි.

විසඳුම් නොමැතිව ඝාතීය සමීකරණ

සිසුන් බොහෝ විට ව්‍යාකූල කරන තවත් අවස්ථා දෙකක් දෙස බලමු:
- ධනාත්මක අංකයශුන්‍යයට සමාන බලයට, උදාහරණයක් ලෙස, \(2^x=0\);
- බලයට ධනාත්මක අංකයක් සමාන වේ සෘණ අංකය, උදාහරණයක් ලෙස, \(2^x=-4\).

තිරිසන් බලයෙන් විසඳා ගැනීමට උත්සාහ කරමු. x යනු ධන අංකයක් නම්, x වර්ධනය වන විට, සම්පූර්ණ බලය \(2^x\) වැඩි වනු ඇත:

\(x=1\); \(2^1=2\)
\(x=2\); \(2^2=4\)
\(x=3\); \(2^3=8\).

\(x=0\); \(2^0=1\)

විසින් ද. සෘණ X ඉතිරිව ඇත. දේපල මතක තබා ගනිමින් \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), අපි පරීක්ෂා කරමු:

\(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\)
\(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\)
\(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\)

සෑම පියවරක් සමඟම සංඛ්‍යාව කුඩා වුවද, එය කිසි විටෙකත් බිංදුවට ළඟා නොවනු ඇත. එබැවින් සෘණ උපාධිය අපව බේරා ගත්තේ නැත. අපි තාර්කික නිගමනයකට පැමිණෙමු:

ඕනෑම අංශකයකට ධන අංකයක් ධන අංකයක් ලෙස පවතිනු ඇත.

මේ අනුව, ඉහත සමීකරණ දෙකටම විසඳුම් නොමැත.

විවිධ පදනම් සහිත ඝාතීය සමීකරණ

ප්‍රායෝගිකව, සමහර විට අපට එකිනෙකට අඩු කළ නොහැකි විවිධ භෂ්ම සහිත ඝාතීය සමීකරණ හමුවෙයි, ඒ සමඟම එකම ඝාතකයන් සමඟ. ඒවා මේ ආකාරයට පෙනේ: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), \(a\) සහ \(b\) යනු ධන සංඛ්‍යා වේ.

උදාහරණ වශයෙන්:

\(7^(x)=11^(x)\)
\(5^(x+2)=3^(x+2)\)
\(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\)

එවැනි සමීකරණ සමීකරණයේ ඕනෑම පැත්තකින් බෙදීමෙන් පහසුවෙන් විසඳිය හැකිය (සාමාන්‍යයෙන් දකුණෙන් බෙදීම, එනම් \(b^(f(x))\) ධන අංකයක් නිසා ඔබට මේ ආකාරයෙන් බෙදිය හැක. ඕනෑම බලයකට ධනාත්මක වේ (එනම්, අපි බිංදුවෙන් බෙදන්නේ නැත).

\(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\)

උදාහරණයක් . ඝාතීය සමීකරණය විසඳන්න \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
විසඳුමක්:

\(5^(x+7)=3^(x+7)\)		මෙහිදී අපට පහක් තුනක් බවට පත් කිරීමට නොහැකි වනු ඇත, නැතහොත් අනෙක් අතට (අනුව අවම වශයෙන්, භාවිතයෙන් තොරව ). මෙයින් අදහස් කරන්නේ අපට \(a^(f(x))=a^(g(x))\) ආකෘතියට පැමිණිය නොහැකි බවයි. කෙසේ වෙතත්, දර්ශක සමාන වේ. අපි සමීකරණය දකුණු පැත්තෙන් බෙදමු, එනම් \(3^(x+7)\) (තුනක් කිසිදු අංශකයකට ශුන්‍ය නොවන බව දන්නා නිසා අපට මෙය කළ හැකිය).
\(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\)		දැන් \(\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) දේපල මතක තබාගෙන එය වමේ සිට ප්‍රතිවිරුද්ධ දිශාවට භාවිතා කරන්න. දකුණු පසින්, අපි සරලව භාගය අඩු කරමු.
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\)		දේවල් හොඳ අතට හැරී නැති බව පෙනේ. නමුත් බලයේ තවත් එක් ගුණාංගයක් මතක තබා ගන්න: \(a^0=1\), වෙනත් වචනවලින් කිවහොත්: "ශුන්‍ය බලයට ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් \(1\) ට සමාන වේ." ප්‍රතිලෝමය ද සත්‍ය වේ: "එකක් ශුන්‍ය බලයට ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් ලෙස නිරූපණය කළ හැක." අපි මෙය භාවිතා කරන්නේ දකුණු පස ඇති පාදය වම් පස ඇති ආකාරයටම සාදා ගැනීමෙනි.
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\)		Voila! අපි පදනම් ඉවත් කරමු.
		අපි ප්‍රතිචාරයක් ලියනවා.

පිළිතුර : \(-7\).

සමහර විට ඝාතකවල “සමත්වය” පැහැදිලි නැත, නමුත් ඝාතකවල ගුණාංග දක්ෂ ලෙස භාවිතා කිරීම මෙම ගැටළුව විසඳයි.

උදාහරණයක් . ඝාතීය සමීකරණය විසඳන්න \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
විසඳුමක්:

\(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		සමීකරණය ඉතා කණගාටුදායක ලෙස පෙනේ... පාද එකම සංඛ්‍යාවකට අඩු කළ නොහැක (හත කිසිම ආකාරයකින් \(\frac(1)(3)\) ට සමාන නොවේ), නමුත් ඝාතක ද වෙනස් වේ. .. කෙසේ වෙතත්, වම් ඝාතීය ඩියුස් භාවිතා කරමු.
\(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		දේපල මතක තබා ගනිමින් \((a^b)^c=a^(b·c)\) , අපි වමේ සිට පරිවර්තනය කරමු: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\).
\(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		දැන්, සෘණ උපාධියේ ගුණය මතක තබා ගනිමින් \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), අපි දකුණෙන් පරිවර්තනය කරමු: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\)
\(49^(x-2)=3^(x-2)\)		හලෙලූයා! දර්ශක සමාන වේ! දැනටමත් අපට හුරුපුරුදු යෝජනා ක්රමයට අනුව ක්රියා කිරීම, පිළිතුරට පෙර අපි විසඳන්නෙමු.

පිළිතුර : \(2\).

පළමු මට්ටම

ඝාතීය සමීකරණ. විස්තීරණ මාර්ගෝපදේශය (2019)

ආයුබෝවන්! අද අපි ඔබ සමඟ සාකච්ඡා කරන්නේ ප්‍රාථමික විය හැකි සමීකරණ විසඳන්නේ කෙසේද යන්නයි (සහ මෙම ලිපිය කියවීමෙන් පසු ඒවා සියල්ලම පාහේ ඔබට එසේ වනු ඇතැයි මම බලාපොරොත්තු වෙමි), සහ සාමාන්‍යයෙන් “පිරවීම සඳහා” ලබා දී ඇති ඒවා. පෙනෙන විදිහට, අවසානයේ නින්දට වැටේ. නමුත් මේ ආකාරයේ සමීකරණවලට මුහුණ දෙන විට දැන් ඔබට කරදරයක් නොවන පරිදි හැකි සෑම දෙයක්ම කිරීමට මම උත්සාහ කරමි. මම තවදුරටත් පඳුර වටා පහර නොදෙනු ඇත, නමුත් මම එය වහාම විවෘත කරමි කුඩා රහසක්: අද අපි පාඩම් කරන්නෙමු ඝාතීය සමීකරණ.

ඒවා විසඳීමේ ක්‍රම විශ්ලේෂණය කිරීමට පෙර, මෙම මාතෘකාවට පහර දීමට ඉක්මන් වීමට පෙර ඔබ නැවත නැවතත් කළ යුතු ප්‍රශ්න මාලාවක් (තරමක් කුඩා) මම ඔබට වහාම ගෙනහැර දක්වමි. ඉතින්, ලබා ගැනීමට හොඳම ප්රතිඵලය, කරුණාකර, නැවත:

දේපල සහ
විසඳුම සහ සමීකරණ

නැවත නැවතත්? අරුම පුදුම! එවිට සමීකරණයේ මූලය සංඛ්‍යාවක් බව ඔබට හඳුනා ගැනීම අපහසු නොවනු ඇත. මම එය කළ ආකාරය ඔබට හරියටම තේරෙනවාද? එය ඇත්තක්ද? එහෙනම් දිගටම කරගෙන යමු. දැන් මගේ ප්‍රශ්නයට පිළිතුරු දෙන්න, තුන්වන බලයට සමාන වන්නේ කුමක්ද? ඔබ සම්පුර්ණයෙන්ම හරි: . අටක් යනු දෙකේ බලය කුමක්ද? ඒක හරි - තුන්වෙනි එක! නිසා. හොඳයි, දැන් අපි පහත ගැටලුව විසඳා ගැනීමට උත්සාහ කරමු: මට අංකය තනියම ගුණ කර ප්රතිඵලය ලබා ගැනීමට ඉඩ දෙන්න. ප්‍රශ්නය නම්, මා විසින්ම කොපමණ වාර ගණනක් ගුණ කළාද යන්නයි. ඔබට මෙය සෘජුවම පරීක්ෂා කළ හැකිය:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \ end( පෙළගස්වන්න)

එවිට ඔබට නිගමනය කළ හැක්කේ මම මා විසින්ම ගුණ කළ බවයි. ඔබට මෙය පරීක්ෂා කළ හැක්කේ කෙසේද? මෙන්න මෙහෙමයි: කෙලින්ම උපාධියේ නිර්වචනය අනුව: . නමුත්, ඔබ පිළිගත යුතුය, ලබා ගැනීම සඳහා කොපමණ වාර ගණනක් දෙකක් ගුණ කළ යුතුදැයි මම ඇසුවොත්, කියන්න, ඔබ මට කියනු ඇත: මම මා රවටා නොගෙන තනිවම ගුණ නොකරමි. තවද ඔහු සම්පූර්ණයෙන්ම නිවැරදි වනු ඇත. මොකද ඔයාට කොහොමද සියලුම පියවර කෙටියෙන් ලියන්න(සහ කෙටිකතාව දක්ෂතාවයේ සහෝදරියයි)

කොහෙද - මේවා එකම ඒවා "වාර", ඔබ විසින්ම ගුණ කරන විට.

මම හිතන්නේ ඔබ දන්නවා (සහ ඔබ නොදන්නේ නම්, හදිසියේ, ඉතා කඩිනමින් උපාධි නැවත කරන්න!) එවිට මගේ ගැටලුව පෝරමයේ ලියා ඇති බව:

ඔබට එය සාධාරණ ලෙස නිගමනය කළ හැක්කේ කෙසේද:

ඉතින්, නොදැනුවත්වම, මම සරලම දේ ලිව්වා ඝාතීය සමීකරණය:

ඒ වගේම මම ඔහුව පවා සොයාගත්තා මූල. ඔබ සිතන්නේ නැද්ද සෑම දෙයක්ම සම්පූර්ණයෙන්ම සුළු දෙයක් කියා? මමත් හිතන්නේ හරියටම ඒකමයි. මෙන්න ඔබට තවත් උදාහරණයක්:

නමුත් කුමක් කරන්නද? සියල්ලට පසු, එය (සාධාරණ) අංකයක බලයක් ලෙස ලිවිය නොහැක. අපි බලාපොරොත්තු සුන් නොකර, මෙම සංඛ්‍යා දෙකම එකම සංඛ්‍යාවේ බලය හරහා පරිපූර්ණ ලෙස ප්‍රකාශ වන බව සටහන් කරමු. කුමන එක ද? දකුණ:. එවිට මුල් සමීකරණය ආකෘතියට පරිවර්තනය වේ:

කොහෙද, ඔබ දැනටමත් තේරුම් ගෙන ඇති පරිදි, . තවත් ප්‍රමාද නොවී ලියා තබමු අර්ථ දැක්වීම:

අපගේ නඩුවේදී: .

මෙම සමීකරණ පෝරමයට අඩු කිරීමෙන් විසඳනු ලැබේ:

සමීකරණය විසඳීමෙන් පසුව

ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි මෙය පෙර උදාහරණයේදී කළෙමු: අපට පහත දේ ලැබුණි: ඒ වගේම අපි සරලම සමීකරණය විසඳුවා.

එය කිසිවක් සංකීර්ණ නොවන බව පෙනේ, හරිද? අපි මුලින්ම සරලම ඒවා ගැන පුහුණු වෙමු උදාහරණ:

සමීකරණයේ දකුණු සහ වම් පැති එක් අංකයක බල ලෙස නිරූපණය කළ යුතු බව අපි නැවතත් දකිමු. ඇත්ත, වම් පසින් මෙය දැනටමත් සිදු කර ඇත, නමුත් දකුණු පසින් අංකයක් ඇත. නමුත් කමක් නැහැ, මොකද මගේ සමීකරණය ආශ්චර්යමත් ලෙසමෙය බවට පරිවර්තනය වනු ඇත:

මට මෙහි භාවිතා කිරීමට සිදු වූයේ කුමක්ද? කුමන රීතියද? "අංශක තුළ උපාධි" රීතියඑහි කියවෙන්නේ:

එහෙම වුණොත් මොකක්ද:

මෙම ප්රශ්නයට පිළිතුරු දීමට පෙර, පහත වගුව පුරවන්න:

එය අඩු බව අපට දැකීමට පහසුය අඩු වටිනාකමක්, නමුත් කෙසේ වෙතත්, මෙම සියලු අගයන් ශුන්යයට වඩා වැඩි ය. සහ එය සැමවිටම එසේ වනු ඇත !!! ඕනෑම දර්ශකයක් සහිත ඕනෑම පදනමක් සඳහා එකම දේපල සත්‍ය වේ!! (ඕනෑම සඳහා සහ). එවිට සමීකරණය ගැන අපට නිගමනය කළ හැක්කේ කුමක්ද? මෙන්න එය කුමක්ද: එය මූලයන් නැත! ඕනෑම සමීකරණයකට මූලයන් නොමැති සේම. දැන් අපි පුරුදු කරමු සහ අපි සරල උදාහරණ විසඳමු:

අපි පරීක්ෂා කරමු:

1. මෙහිදී ඔබට බලයේ ගුණාංග පිළිබඳ දැනුම හැර වෙනත් කිසිවක් අවශ්ය නොවනු ඇත (මාර්ගය වන විට, මම නැවත නැවත කිරීමට ඔබෙන් ඉල්ලා සිටියෙමි!) රීතියක් ලෙස, සෑම දෙයක්ම කුඩාම පදනම වෙත යොමු කරයි: , . එවිට මුල් සමීකරණය පහත සඳහන් දේට සමාන වනු ඇත: මට අවශ්‍ය වන්නේ බලවල ගුණාංග භාවිතා කිරීමයි: එකම පාද සහිත සංඛ්‍යා ගුණ කිරීමේදී බල එකතු වන අතර බෙදීමේදී ඒවා අඩු කරනු ලැබේ.එවිට මට ලැබෙනු ඇත: හොඳයි, දැන් පැහැදිලි හෘද සාක්ෂියක් ඇතිව මම ඝාතීය සමීකරණයේ සිට රේඛීය එක දක්වා ගමන් කරමි: \begin(align)
සහ 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
සහ 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)

2. දෙවන උදාහරණයේ දී, අපි වඩාත් පරෙස්සම් විය යුතුය: කරදරය වන්නේ වම් පැත්තේ අපට බලයක් ලෙස එකම අංකයක් නිරූපණය කළ නොහැකි වීමයි. මෙම අවස්ථාවේ දී, එය සමහර විට ප්රයෝජනවත් වේ විවිධ භෂ්ම සහිත, නමුත් එකම ඝාතකයන් සහිත බලවල නිෂ්පාදනයක් ලෙස සංඛ්‍යා නියෝජනය කරයි:

සමීකරණයේ වම් පැත්ත පෙනෙනු ඇත: මෙය අපට ලබා දුන්නේ කුමක්ද? මෙන්න දේ: විවිධ පාද ඇති නමුත් එකම ඝාතක සංඛ්‍යා ගුණ කළ හැක.මෙම අවස්ථාවේදී, පාදයන් ගුණ කරනු ලැබේ, නමුත් දර්ශකය වෙනස් නොවේ:

මගේ තත්වය තුළ මෙය ලබා දෙනු ඇත:

\ආරම්භ (පෙළගැසෙන්න)
සහ 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
සහ 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)

නරක නැහැ නේද?

3. අනවශ්‍ය ලෙස, මට සමීකරණයේ එක් පැත්තක පද දෙකක් ඇති අතර අනෙක් පැත්තෙන් කිසිවක් නොමැති විට මම එයට කැමති නැත (සමහර විට, ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙය යුක්ති සහගත ය, නමුත් දැන් එවැනි අවස්ථාවක් නොවේ). මම අඩු පදය දකුණට ගෙන යන්නෙමි:

දැන්, පෙර මෙන්, මම තුනේ බල අනුව සියල්ල ලියන්නෙමි:

මම වම් පසින් අංශක එකතු කර සමාන සමීකරණයක් ලබා ගන්නෙමි

ඔබට එහි මූලය පහසුවෙන් සොයාගත හැකිය:

4. උදාහරණ තුනේ මෙන්, ඍණ පදයට දකුණු පැත්තේ තැනක් තිබේ!

මගේ වම් පසින්, සියල්ල පාහේ හොඳයි, කුමක් හැර? ඔව්, දෙන්නගේ "වැරදි උපාධිය" මට වද දෙනවා. නමුත් මට මෙය ලිවීමෙන් පහසුවෙන් නිවැරදි කළ හැකිය: . යුරේකා - වම් පසින් සියලුම පාද වෙනස් වේ, නමුත් සියලු උපාධි සමාන වේ! වහාම ගුණ කරමු!

මෙතනත් ඔක්කොම පැහැදිලියි: (උඹට තේරෙන්නෙ නැත්තම් මම අන්තිම සමානාත්මතාවය මායාකාරීව ගත්තෙ කොහොමද කියල, විනාඩියක් විවේකයක් අරන්, හුස්මක් අරන්, ආයෙම හොඳට උපාධියේ ගුණ ටික හොඳට කියවන්න. කව්ද කිව්වෙ skip කරන්න පුළුවන් කියල. ඍණාත්මක ඝාතන සමඟ උපාධිය? දැන් මට ලැබෙන්නේ:

\ආරම්භ (පෙළගැසෙන්න)
& ((2)^(4\වම((x) -9 \දකුණ)))=((2)^(-1)) \\
සහ 4((x) -9)=-1 \\
සහ x=\frac(35)(4). \\
\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)

ඔබට පුහුණු වීමට ඇති ගැටළු කිහිපයක් මෙන්න, මම පිළිතුරු පමණක් දෙන්නෙමි (නමුත් "මිශ්‍ර" ආකාරයෙන්). ඒවා විසඳන්න, ඒවා පරීක්ෂා කරන්න, ඔබ සහ මම අපගේ පර්යේෂණ දිගටම කරගෙන යන්නෙමු!

සූදානම්ද? පිළිතුරුමේ වගේ:

ඕනෑම අංකයක්

හරි, හරි, මම විහිළුවක් කළේ! මෙන්න විසඳුම් කිහිපයක් (ඉතා කෙටියෙන්!)

වම් පැත්තේ එක් කොටසක් අනෙක් කොටස "ප්‍රතිලෝම" වීම අහම්බයක් නොවේ යැයි ඔබ සිතන්නේ නැද්ද? මෙයින් ප්‍රයෝජන නොගැනීම පාපයකි:

ඝාතීය සමීකරණ විසඳීමේදී මෙම රීතිය බොහෝ විට භාවිතා වේ, එය හොඳින් මතක තබා ගන්න!

එවිට මුල් සමීකරණය මේ වගේ වනු ඇත:

මෙම චතුරස්රාකාර සමීකරණය විසඳීමෙන්, ඔබට පහත මූලයන් ලැබෙනු ඇත:

2. තවත් විසඳුමක්: වම් (හෝ දකුණේ) ප්රකාශනය මගින් සමීකරණයේ දෙපැත්තම බෙදීම. දකුණේ ඇති දේ අනුව බෙදන්න, එවිට මට ලැබෙන්නේ:

කොහෙද (ඇයි?!)

3. මට නැවත නැවත කිරීමට පවා අවශ්ය නැත, සෑම දෙයක්ම දැනටමත් බොහෝ "චූව්" කර ඇත.

4. චතුරස්රාකාර සමීකරණයකට සමාන, මූලයන්

5. ඔබ පළමු ගැටලුවේ දී ඇති සූත්‍රය භාවිතා කළ යුතුය, එවිට ඔබට එය ලැබෙනු ඇත:

සමීකරණය ඕනෑම කෙනෙකුට සත්‍ය වන සුළු අනන්‍යතාවයක් බවට පත්ව ඇත. එවිට පිළිතුර ඕනෑම සැබෑ අංකයකි.

හොඳයි, දැන් ඔබ විසඳීමට පුරුදු වී ඇත සරල ඝාතීය සමීකරණ.දැන් මම ඔබට කිහිපයක් දෙන්න කැමතියි ජීවිත උදාහරණ, ඒවා ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන් අවශ්‍ය වන්නේ මන්දැයි තේරුම් ගැනීමට ඔබට උපකාරී වනු ඇත. මෙන්න මම උදාහරණ දෙකක් දෙන්නම්. ඔවුන්ගෙන් එක් කෙනෙක් එදිනෙදා, නමුත් අනෙක ප්‍රායෝගික උනන්දුවට වඩා විද්‍යාත්මක වීමට ඉඩ ඇත.

උදාහරණ 1 (වෙළඳ)ඔබට රුබල් ලබා ගැනීමට ඉඩ දෙන්න, නමුත් ඔබට එය රුබල් බවට පත් කිරීමට අවශ්ය වේ. මාසික පොලී ප්‍රාග්ධනීකරණය (මාසික උපචිත) සමඟ වාර්ෂික අනුපාතයකට මෙම මුදල් ඔබෙන් ලබා ගැනීමට බැංකුව ඔබට ඉදිරිපත් කරයි. ප්‍රශ්නය නම්, අවශ්‍ය අවසාන මුදල ලබා ගැනීම සඳහා ඔබට තැන්පතුවක් විවෘත කිරීමට මාස කීයක් අවශ්‍යද? තරමක් ලෞකික කාර්යයක්, එසේ නොවේ ද? එසේ වුවද, එහි විසඳුම අනුරූප ඝාතීය සමීකරණය ගොඩනැගීම හා සම්බන්ධ වේ: Let - ආරම්භක මුදල, - අවසාන මුදල, - පොලී අනුපාතයඑක් කාල පරිච්ඡේදයකට, - කාල පරිච්ඡේද ගණන. ඉන්පසු:

අපගේ නඩුවේදී (අනුපාතය වාර්ෂික නම්, එය මසකට ගණනය කරනු ලැබේ). එය බෙදී ඇත්තේ ඇයි? ඔබ මෙම ප්රශ්නයට පිළිතුර නොදන්නේ නම්, මාතෘකාව "" මතක තබා ගන්න! එවිට අපට මෙම සමීකරණය ලැබේ:

මෙම ඝාතීය සමීකරණය විසඳිය හැක්කේ කැල්කියුලේටරය භාවිතයෙන් පමණි (එහි පෙනුමමේ පිළිබඳව ඉඟි කරන අතර, මේ සඳහා ලඝුගණක පිළිබඳ දැනුමක් අවශ්‍ය වේ, එය අපි ටික වේලාවකට පසුව දැන හඳුනා ගනිමු), මම එය කරන්නෙමි: ... මේ අනුව, මිලියනයක් ලබා ගැනීම සඳහා, අපට මාසයක් සඳහා තැන්පතුවක් කිරීමට අවශ්‍ය වනු ඇත ( ඉතා ඉක්මනින් නොවේ, හරිද?).

උදාහරණ 2 (තරමක් විද්‍යාත්මක).ඔහුගේ නිශ්චිත “හුදකලා” තිබියදීත්, ඔබ ඔහු කෙරෙහි අවධානය යොමු කරන ලෙස මම නිර්දේශ කරමි: ඔහු නිතිපතා “ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගයට ලිස්සා යයි !! (ගැටලුව "සැබෑ" අනුවාදයෙන් ලබාගෙන ඇත) විකිරණශීලී සමස්ථානික ක්ෂය වීමේදී, එහි ස්කන්ධය නීතියට අනුව අඩු වේ, එහිදී (mg) සමස්ථානිකයේ ආරම්භක ස්කන්ධය වේ, (min.) යනු සමස්ථානිකයේ සිට ගත වූ කාලයයි. ආරම්භක මොහොත, (මිනි.) යනු අර්ධ ආයු කාලයයි. ආරම්භක මොහොතේ සමස්ථානිකයේ ස්කන්ධය mg වේ. එහි අර්ධ ආයු කාලය මිනිත්තු වේ. මිනිත්තු කීයකට පසු සමස්ථානිකයේ ස්කන්ධය mg ට සමාන වේවිද? එය කමක් නැත: අපි අපට යෝජනා කර ඇති සූත්‍රයට සියලු දත්ත ගෙන ආදේශ කරමු:

අපි කොටස් දෙකම බෙදමු, "බලාපොරොත්තුවෙන්" වම් පසින් අපට ජීර්ණය කළ හැකි යමක් ලැබෙනු ඇත:

හොඳයි, අපි ඉතා වාසනාවන්තයි! එය වම් පසින් ඇත, පසුව අපි සමාන සමීකරණය වෙත යමු:

මිනි කොහෙද.

ඔබට පෙනෙන පරිදි, ඝාතීය සමීකරණ ප්රායෝගිකව ඉතා සැබෑ යෙදුම් ඇත. දැන් මට ඔබට ඝාතීය සමීකරණ විසඳීමට තවත් (සරල) ක්‍රමයක් පෙන්වීමට අවශ්‍යය, එය පොදු සාධකය වරහන් වලින් ඉවතට ගෙන පසුව නියමයන් කාණ්ඩගත කිරීම මත පදනම් වේ. මගේ වචන වලට බිය නොවන්න, ඔබ දැනටමත් 7 වන ශ්‍රේණියේ දී බහුපද ඉගෙන ගන්නා විට මෙම ක්‍රමය හමු වී ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, ඔබට ප්‍රකාශනය සාධක කිරීමට අවශ්‍ය නම්:

අපි කණ්ඩායම් කරමු: පළමු සහ තුන්වන පද, මෙන්ම දෙවන සහ සිව්වන. පළමු හා තෙවන වර්ගවල වෙනස බව පැහැදිලිය:

දෙවන සහ හතරවන පොදු සාධක තුනක ඇත:

එවිට මුල් ප්‍රකාශනය මෙයට සමාන වේ:

පොදු සාධකය ව්‍යුත්පන්න කරන්නේ කොතැනින්ද යන්න තවදුරටත් අපහසු නොවේ:

එබැවින්,

ඝාතීය සමීකරණ විසඳීමේදී දළ වශයෙන් අප කරන්නේ මෙයයි: නියමයන් අතර “සාමාන්‍යභාවය” සොයා එය වරහන් වලින් ඉවත් කරන්න, පසුව - කුමක් වුවත්, අපි වාසනාවන්ත වනු ඇතැයි මම විශ්වාස කරමි =)) උදාහරණයක් ලෙස:

දකුණු පසින් හතක බලයට වඩා බොහෝ දුරයි (මම පරීක්ෂා කළෙමි!) සහ වම් පසින් - එය ටිකක් හොඳයි, ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබට පළමු වාරයේ සිට දෙවැන්නේ සිට a සාධකය “කපා දමන්න”, ඉන්පසු ගනුදෙනු කරන්න. ඔබට ලැබුණු දේ සමඟ, නමුත් අපි ඔබ සමඟ වඩාත් කල්පනාකාරී වෙමු. "තෝරන විට" නොවැළැක්විය හැකි ලෙස ඇති වන කොටස් සමඟ කටයුතු කිරීමට මට අවශ්‍ය නැත, එබැවින් මම එය ඉවත් කළ යුතු නොවේද? එවිට මට කිසිදු භාගයක් නොමැත: ඔවුන් පවසන පරිදි, වෘකයන් පෝෂණය වන අතර බැටළුවන් ආරක්ෂිතයි:

වරහන් තුළ ප්රකාශනය ගණනය කරන්න. ඉන්ද්‍රජාලිකව, ඉන්ද්‍රජාලිකව, එය හැරෙන්නේ (පුදුමයට කරුණක් වුවද, අප අපේක්ෂා කළ යුත්තේ කුමක්ද?).

එවිට අපි මෙම සාධකය මගින් සමීකරණයේ දෙපැත්තම අඩු කරමු. අපට ලැබෙන්නේ: , වෙතින්.

මෙන්න වඩාත් සංකීර්ණ උදාහරණයක් (ටිකක්, ඇත්තටම):

මොනතරම් ගැටලුවක්ද! අපට මෙහි එක පොදු පදනමක් නැත! දැන් කුමක් කළ යුතුද යන්න සම්පූර්ණයෙන්ම පැහැදිලි නැත. අපට කළ හැකි දේ කරමු: පළමුව, "හතර" එක පැත්තකට සහ "පහ" අනෙක් පැත්තට ගෙන යන්න:

දැන් අපි වම් සහ දකුණු පස ඇති "සාමාන්ය" ඉවත් කරමු:

ඉතින් දැන් මොකද? මෙවන් මෝඩ පිරිසකගෙන් ඇති ප්‍රයෝජනය කුමක්ද? මුලින්ම බැලූ බැල්මට එය කිසිසේත් නොපෙනේ, නමුත් අපි ගැඹුරින් බලමු:

හොඳයි, දැන් අපි වම් පසින් අපට ඇත්තේ c ප්‍රකාශනය පමණක් බවත්, දකුණේ - අනෙක් සියල්ල ඇති බවටත් අපි සහතික වෙමු. අපි මෙය කරන්නේ කෙසේද? මෙන්න මෙහෙමයි: සමීකරණයේ දෙපැත්තම පළමුවෙන් බෙදන්න (එබැවින් අපි දකුණු පස ඇති ඝාතකයා ඉවත් කරමු), ඉන්පසු දෙපැත්තෙන් බෙදන්න (එබැවින් අපි වම් පස ඇති සංඛ්‍යාත්මක සාධකය ඉවත් කරමු). අවසානයේ අපට ලැබෙන්නේ:

ඇදහිය නොහැකි! වම් පසින් අපට ප්‍රකාශනයක් ඇත, දකුණු පසින් අපට සරල ප්‍රකාශනයක් ඇත. එවිට අපි වහාම එය නිගමනය කරමු

ඔබට ශක්තිමත් කිරීමට තවත් උදාහරණයක් මෙන්න:

මම ඔහුගේ කෙටි විසඳුම ලබා දෙන්නෙමි (පැහැදිලි කිරීම් සමඟ මට කරදර නොකර), විසඳුමේ සියලුම “සූක්ෂම” ඔබම තේරුම් ගැනීමට උත්සාහ කරන්න.

දැන් ආවරණය කරන ලද ද්රව්යයේ අවසාන ඒකාබද්ධ කිරීම සඳහා. පහත ගැටළු ඔබම විසඳා ගැනීමට උත්සාහ කරන්න. ඒවා විසඳීම සඳහා මම කෙටි නිර්දේශ සහ ඉඟි ලබා දෙන්නෙමි:

අපි පොදු සාධකය වරහන් වලින් ඉවත් කරමු: කොහෙද:
අපි පළමු ප්‍රකාශනය පෝරමයේ ඉදිරිපත් කරමු: , දෙපැත්තෙන්ම බෙදා එය ලබා ගන්න
, එවිට මුල් සමීකරණය ආකෘතියට පරිවර්තනය වේ: හොඳයි, දැන් ඉඟියක් - ඔබ සහ මම දැනටමත් මෙම සමීකරණය විසඳා ඇත්තේ කොතැනදැයි සොයා බලන්න!
කොහොමද, කොහොමද, අහ්, හොඳයි, පසුව දෙපැත්තෙන්ම බෙදන්න, එවිට ඔබට සරලම ඝාතීය සමීකරණය ලැබේ.
එය වරහන් වලින් පිටතට ගෙන එන්න.
එය වරහන් වලින් පිටතට ගෙන එන්න.

ඝාතීය සමීකරණ. සාමාන්‍ය මට්ටම

ගැන කතා කළ පළමු ලිපිය කියවීමෙන් පසු මම උපකල්පනය කරමි ඝාතීය සමීකරණ යනු කුමක්ද සහ ඒවා විසඳන්නේ කෙසේද, සරලම උදාහරණ විසඳීමට අවශ්‍ය අවම දැනුම ඔබ ප්‍රගුණ කර ඇත.

දැන් මම ඝාතීය සමීකරණ විසඳීම සඳහා වෙනත් ක්‍රමයක් දෙස බලමි, මෙයයි

"නව විචල්‍යයක් හඳුන්වා දීමේ ක්‍රමය" (හෝ ප්‍රතිස්ථාපනය).ඔහු ඝාතීය සමීකරණ (සහ සමීකරණ පමණක් නොව) මාතෘකාව පිළිබඳ "දුෂ්කර" ගැටළු බොහොමයක් විසඳයි. මෙම ක්රමය ප්රායෝගිකව බහුලව භාවිතා වන එකකි. පළමුව, මාතෘකාව සමඟ ඔබ හුරුපුරුදු වන ලෙස මම නිර්දේශ කරමි.

ඔබ දැනටමත් නමෙන් තේරුම් ගෙන ඇති පරිදි, මෙම ක්‍රමයේ සාරය නම් එවැනි විචල්‍ය වෙනසක් හඳුන්වා දීමයි, ඔබේ ඝාතීය සමීකරණය ආශ්චර්යමත් ලෙස ඔබට පහසුවෙන් විසඳිය හැකි එකක් බවට පරිවර්තනය වේ. මෙම "සරල සමීකරණය" විසඳීමෙන් පසු ඔබට ඉතිරිව ඇත්තේ "ප්‍රතිලෝම ප්‍රතිස්ථාපනය" කිරීම පමණි: එනම්, ප්‍රතිස්ථාපනයෙන් ප්‍රතිස්ථාපනය වෙත ආපසු යාමයි. අපි දැන් කියපු දේ ඉතා සරල උදාහරණයකින් පැහැදිලි කරමු.

උදාහරණ 1:

මෙම සමීකරණය විසඳනු ලබන්නේ ගණිතඥයින් එය නින්දිත ලෙස හඳුන්වන පරිදි "සරල ආදේශනයක්" භාවිතා කරමිනි. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙහි ආදේශනය වඩාත් පැහැදිලිය. කෙනෙකුට බලන්න තියෙන්නේ ඒක විතරයි

එවිට මුල් සමීකරණය මෙයට හැරෙනු ඇත:

අපි අතිරේකව සිතන්නේ කෙසේදැයි සිතන්නේ නම්, ප්‍රතිස්ථාපනය කළ යුත්තේ කුමක්ද යන්න සම්පූර්ණයෙන්ම පැහැදිලිය: ඇත්ත වශයෙන්ම, . එවිට මුල් සමීකරණය වන්නේ කුමක්ද? මෙන්න දේ:

ඔබට පහසුවෙන්ම එහි මූලයන් සොයාගත හැකිය: . අපි දැන් කුමක් කළ යුතුද? මුල් විචල්‍යය වෙත ආපසු යාමට කාලයයි. මට සඳහන් කිරීමට අමතක වූයේ කුමක්ද? එනම්: යම් උපාධියක් නව විචල්‍යයක් සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කරන විට (එනම් වර්ගයක් ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමේදී), මම උනන්දු වනු ඇත ධනාත්මක මූලයන් පමණි!එයට හේතුව ඔබටම පහසුවෙන් පිළිතුරු දිය හැක. මේ අනුව, ඔබ සහ මම උනන්දු නොවෙමු, නමුත් දෙවන මූල අපට බෙහෙවින් සුදුසු ය:

එහෙනම් කොහෙන්ද.

පිළිතුර:

ඔබට පෙනෙන පරිදි, පෙර උදාහරණයේදී, ආදේශකයක් අපගේ දෑත් ඉල්ලා සිටියේය. අවාසනාවකට මෙන්, මෙය සැමවිටම නොවේ. කෙසේ වෙතත්, අපි කෙලින්ම දුක්ඛිත දේ වෙත නොයමු, නමුත් තරමක් සරල ආදේශකයක් සමඟ තවත් එක් උදාහරණයක් සමඟ පුහුණු වෙමු

උදාහරණය 2.

බොහෝ දුරට අපට ප්‍රතිස්ථාපනයක් කිරීමට සිදුවනු ඇති බව පැහැදිලිය (මෙය අපගේ සමීකරණයට ඇතුළත් කර ඇති කුඩාම බලතල වේ), නමුත් ප්‍රතිස්ථාපනයක් හඳුන්වා දීමට පෙර, අපගේ සමීකරණය ඒ සඳහා “සූදානම්” කළ යුතුය, එනම්: , . එවිට ඔබට ප්‍රතිස්ථාපනය කළ හැක, ප්‍රතිඵලයක් ලෙස මට පහත ප්‍රකාශනය ලැබේ:

ඔහ් භීෂණය: එය විසඳීම සඳහා පරම භයානක සූත්‍ර සහිත ඝන සමීකරණයක් (හොඳයි, කතා කිරීම සාමාන්ය දැක්ම) නමුත් අපි වහාම බලාපොරොත්තු සුන් නොකරමු, නමුත් අප කළ යුතු දේ ගැන සිතා බලමු. මම වංචා කිරීමට යෝජනා කරමි: “ලස්සන” පිළිතුරක් ලබා ගැනීමට, අපි එය තුනක බලයක ස්වරූපයෙන් ලබා ගත යුතු බව අපි දනිමු (එය එසේ වන්නේ ඇයි, ඊහ්?). අපි අපේ සමීකරණයේ අවම වශයෙන් එක් මූලයක් අනුමාන කිරීමට උත්සාහ කරමු (මම බලය තුනකින් අනුමාන කිරීමට පටන් ගනිමි).

පළමු අනුමානය. මූලයක් නොවේ. අහෝ අහෝ...

.
වම් පැත්ත සමාන වේ.
දකුණු කොටස:!
කන්න! පළමු මූලය අනුමාන කළා. දැන් දේවල් පහසු වනු ඇත!

"කෝනර්" බෙදීමේ යෝජනා ක්රමය ගැන ඔබ දන්නවාද? ඇත්ත වශයෙන්ම ඔබ කරන්නේ, ඔබ එක් අංකයකින් තවත් අංකයක් බෙදන විට එය භාවිතා කරයි. නමුත් බහුපද සමඟද එය කළ හැකි බව ස්වල්ප දෙනෙක් දනිති. එක් අපූරු ප්‍රමේයයක් තිබේ:

මගේ තත්වයට අදාළව, මෙය මට පවසන්නේ එය ඉතිරියකින් තොරව බෙදිය හැකි බවයි. බෙදීම සිදු කරන්නේ කෙසේද? ඒ මෙසේය.

පැහැදිලිව ලබා ගැනීමට මා ගුණ කළ යුත්තේ කුමන මොනොනියල් දැයි මම බලමි, එවිට:

මම ලැබෙන ප්‍රකාශනය එයින් අඩු කරමි, මට ලැබෙන්නේ:

දැන්, ලබා ගැනීමට මා ගුණ කළ යුත්තේ කුමක් ද? මත බව පැහැදිලිය, එවිට මට ලැබෙන්නේ:

සහ ඉතිරි එකින් ලැබෙන ප්‍රකාශනය නැවත අඩු කරන්න:

හොඳයි, අවසාන පියවර වන්නේ ඉතිරි ප්‍රකාශනයෙන් ගුණ කිරීම සහ අඩු කිරීමයි:

හුරේ, බෙදීම අවසන්! අපි පුද්ගලිකව රැස්කරගෙන ඇත්තේ මොනවාද? එය විසින්ම: .

එවිට අපට මුල් බහුපදයේ පහත ප්‍රසාරණය ලැබුණි:

අපි දෙවන සමීකරණය විසඳමු:

එහි මූලයන් ඇත:

එවිට මුල් සමීකරණය:

මූල තුනක් ඇත:

ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි අවසාන මූලය ඉවතලන්නෙමු ශුන්යයට වඩා අඩුය. ප්‍රතිලෝම ප්‍රතිස්ථාපනයෙන් පසු පළමු දෙක අපට මූලයන් දෙකක් ලබා දෙනු ඇත:

පිළිතුර: ..

මෙම උදාහරණය සමඟින්, මට ඔබව බිය ගැන්වීමට කිසිසේත් අවශ්‍ය නොවීය, ඒ වෙනුවට, මගේ ඉලක්කය වූයේ අපට තරමක් සරල ආදේශනයක් තිබුණද, එය තරමක් සංකීර්ණ සමීකරණයකට මඟ පෑදූ බවත්, එයට අපෙන් විශේෂ කුසලතා අවශ්‍ය වූ බවත්ය. හොඳයි, කිසිවෙකු මෙයින් නිදහස් නොවේ. නමුත් මෙම නඩුවේ ප්රතිස්ථාපනය බෙහෙවින් පැහැදිලි විය.

තරමක් අඩු පැහැදිලි ආදේශනයක් සහිත උදාහරණයක් මෙන්න:

අප කුමක් කළ යුතුද යන්න කිසිසේත්ම පැහැදිලි නැත: ගැටළුව වන්නේ අපගේ සමීකරණයේ විවිධ පදනම් දෙකක් ඇති අතර එක් පදනමක් ඕනෑම (සාධාරණ, ඇත්ත වශයෙන්ම) බලයකට ඔසවා තැබීමෙන් අනෙකෙන් ලබා ගත නොහැකි වීමයි. කෙසේ වෙතත්, අප දකින්නේ කුමක්ද? පාද දෙකම වෙනස් වන්නේ ලකුණෙන් පමණක් වන අතර ඒවායේ නිෂ්පාදිතය එකකට සමාන වර්ගවල වෙනස වේ:

අර්ථ දැක්වීම:

මේ අනුව, අපගේ උදාහරණයේ පාදක වන සංඛ්‍යා සංයුක්ත වේ.

මෙම අවස්ථාවේ දී, බුද්ධිමත් පියවර වනු ඇත සමීකරණයේ දෙපැත්තම සංයුජ අංකයෙන් ගුණ කරන්න.

උදාහරණයක් ලෙස, on, එවිට සමීකරණයේ වම් පැත්ත සමාන වනු ඇත, සහ දකුණ. අපි ආදේශනයක් කරන්නේ නම්, අපගේ මුල් සමීකරණය මේ වගේ වනු ඇත:

එහි මූලයන්, පසුව, සහ එය මතක තබා ගැනීමෙන්, අපට එය ලැබේ.

පිළිතුර: , .

රීතියක් ලෙස, බොහෝ "පාසල්" ඝාතීය සමීකරණ විසඳීමට ප්රතිස්ථාපන ක්රමය ප්රමාණවත් වේ. පහත සඳහන් කාර්යයන් ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගය C1 (දුෂ්කරතා මට්ටම වැඩි) වෙතින් ලබාගෙන ඇත. මෙම උදාහරණ ඔබ විසින්ම විසඳා ගැනීමට ඔබ දැනටමත් සාක්ෂරතාවයෙන් යුක්තය. මම අවශ්‍ය ආදේශනය පමණක් දෙන්නම්.

සමීකරණය විසඳන්න:
සමීකරණයේ මූලයන් සොයන්න:
සමීකරණය විසඳන්න: . ඛණ්ඩයට අයත් මෙම සමීකරණයේ සියලු මූලයන් සොයන්න:

දැන් කෙටි පැහැදිලි කිරීම් සහ පිළිතුරු කිහිපයක්:

මෙන්න එය අපට සටහන් කිරීම ප්රමාණවත්ය ... එවිට මුල් සමීකරණය මෙයට සමාන වනු ඇත: මෙම සමීකරණය ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් විසඳිය හැකිය වැඩිදුර ගණනය කිරීම් ඔබම කරන්න. අවසානයේදී, ඔබගේ කාර්යය සරල ත්රිකෝණමිතික ගැටළු විසඳීමට අඩු කරනු ඇත (සයින් හෝ කොසයින් මත පදනම්ව). අපි වෙනත් කොටස්වල සමාන උදාහරණ සඳහා විසඳුම් දෙස බලමු.
මෙහිදී ඔබට ආදේශ කිරීමකින් තොරව පවා කළ හැකිය: යන්තම් යන්තම් දකුණට ගෙනයාම සහ දෙකේ බල හරහා පාද දෙකම නියෝජනය කරන්න: , ඉන්පසු සෘජුව චතුරස්රාකාර සමීකරණයට යන්න.
තුන්වන සමීකරණය ද තරමක් සම්මත ලෙස විසඳා ඇත: කෙසේ දැයි සිතමු. එවිට, ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන්, අපට චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් ලැබේ: එවිට,
ලඝුගණකයක් යනු කුමක්දැයි ඔබ දැනටමත් දන්නවා නේද? නැත? එවිට මාතෘකාව ඉක්මනින් කියවන්න!

පළමු මූලය පැහැදිලිවම කොටසට අයත් නොවේ, නමුත් දෙවැන්න අපැහැදිලි ය! නමුත් අපි ඉතා ඉක්මනින් සොයා ගන්නෙමු! එතැන් සිට (මෙය ලඝුගණකයේ ගුණයකි!) අපි සංසන්දනය කරමු:

දෙපැත්තෙන්ම අඩු කරන්න, එවිට අපට ලැබෙන්නේ:

වම් පැත්ත මෙසේ දැක්විය හැක.

දෙපස ගුණ කරන්න:

එවිට ගුණ කළ හැක

ඉන්පසු සසඳන්න:

එදින සිට:

එවිට දෙවන මූලය අවශ්‍ය පරතරයට අයත් වේ

පිළිතුර:

ඔබ දකින අයුරින්, ඝාතීය සමීකරණවල මූලයන් තෝරාගැනීමට ලඝුගණකවල ගුණ පිළිබඳ තරමක් ගැඹුරු දැනුමක් අවශ්‍ය වේ, එබැවින් ඝාතීය සමීකරණ විසඳීමේදී හැකිතාක් ප්‍රවේශම් වන ලෙස මම ඔබට උපදෙස් දෙමි. ඔබ තේරුම් ගත් පරිදි, ගණිතයේ සෑම දෙයක්ම එකිනෙකට සම්බන්ධ වේ! මගේ ගණිත ගුරුවරයා පැවසූ පරිදි: "ඉතිහාසය මෙන් ගණිතය ද එක රැයකින් කියවිය නොහැක."

රීතියක් ලෙස, සියල්ල C1 ගැටළු විසඳීමේ දුෂ්කරතාවය හරියටම සමීකරණයේ මූලයන් තෝරාගැනීමයි.අපි තවත් එක් උදාහරණයක් සමඟ පුහුණු වෙමු:

සමීකරණය ඉතා සරලව විසඳා ඇති බව පැහැදිලිය. ආදේශනයක් සිදු කිරීමෙන් අපි අපගේ මුල් සමීකරණය පහත දක්වා අඩු කරමු:

මුලින්ම බලමු පළමු මූලය ගැන. අපි සංසන්දනය කරමු: එතැන් සිට. (දේපල ලඝුගණක ශ්රිතය, හිදී). එවිට පළමු මූලය අපේ අන්තරයට අයත් නොවන බව පැහැදිලිය. දැන් දෙවන මූල: . (කාර්යය වැඩි වන බැවින්) බව පැහැදිලිය. ඉතිරිව ඇත්තේ සංසන්දනය කිරීම පමණි.

එතැන් සිට, ඒ සමගම. මේ ආකාරයෙන් මට සහ අතර "ඇණක් ධාවනය" කළ හැකිය. මෙම ඇණ අංකයකි. පළමු ප්‍රකාශනය අඩු වන අතර දෙවැන්න විශාල වේ. එවිට දෙවන ප්‍රකාශනය පළමු ප්‍රකාශනයට වඩා විශාල වන අතර මූලය අන්තරයට අයත් වේ.

පිළිතුර: .

අවසාන වශයෙන්, ආදේශනය තරමක් සම්මත නොවන සමීකරණයක තවත් උදාහරණයක් බලමු:

කළ හැකි දේ සමඟ වහාම ආරම්භ කරමු, සහ ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන් කළ හැකි දේ, නමුත් එය නොකිරීමට වඩා හොඳය. තුනේ, දෙකේ සහ හයයේ බලයෙන් ඔබට සියල්ල සිතාගත හැකිය. එය යොමු කරන්නේ කොතැනටද? එය කිසිම දෙයකට මඟ පාදන්නේ නැත: අංශක වල අවුල් ජාලයක්, සමහර ඒවා ඉවත් කිරීම තරමක් අපහසු වනු ඇත. එවිට අවශ්ය වන්නේ කුමක්ද? අපි සටහන් කරමු a සහ මෙය අපට ලබා දෙන්නේ කුමක්ද? ඒ වගේම අපිට තීරණය අඩු කරන්න පුළුවන් කියන කාරණය මෙම උදාහරණයසරල ඝාතීය සමීකරණයක් විසඳීමට ප්රමාණවත්ය! පළමුව, අපි අපගේ සමීකරණය මෙසේ නැවත ලියමු:

දැන් ලැබෙන සමීකරණයේ දෙපැත්තම බෙදමු:

යුරේකා! දැන් අපට ප්‍රතිස්ථාපනය කළ හැකිය, අපට ලැබෙන්නේ:

හොඳයි, දැන් එය නිරූපණ ගැටළු විසඳීමට ඔබේ වාරය වන අතර, ඔබ නොමඟ නොයන ලෙස මම ඔවුන්ට කෙටි අදහස් පමණක් දෙන්නෙමි! වාසනාව!

1. වඩාත්ම දුෂ්කර! මෙහි ආදේශකයක් දැකීම ඉතා අපහසුය! කෙසේ වෙතත්, මෙම උදාහරණය භාවිතයෙන් සම්පූර්ණයෙන්ම විසඳා ගත හැකිය සම්පූර්ණ චතුරස්රයක් උද්දීපනය කිරීම. එය විසඳීම සඳහා, එය සටහන් කිරීම ප්රමාණවත්ය:

එහෙනම් මෙන්න ඔබේ ආදේශකය:

(මෙහි අපගේ ප්‍රතිස්ථාපනයේදී අපට සෘණ මූලය ඉවත දැමිය නොහැකි බව කරුණාවෙන් සලකන්න!!! ඔබ සිතන්නේ ඇයි?)

දැන් උදාහරණය විසඳීම සඳහා ඔබට විසඳිය යුත්තේ සමීකරණ දෙකක් පමණි:

ඒ දෙකම "සම්මත ආදේශකයක්" මගින් විසඳිය හැකිය (නමුත් එක් උදාහරණයකින් දෙවැන්න!)

2. එය සටහන් කර ආදේශකයක් කරන්න.

3. අංකය coprime සාධක බවට වියෝජනය කර ලැබෙන ප්‍රකාශනය සරල කරන්න.

4. භාගයේ සංඛ්‍යාව සහ හරය (හෝ, ඔබ කැමති නම්) මගින් බෙදා ආදේශ කිරීම හෝ කරන්න.

5. ඉලක්කම් සහ සංයෝජන බව සලකන්න.

ඝාතීය සමීකරණ. උසස් පෙළ

ඊට අමතරව, අපි තවත් ක්රමයක් බලමු - ලඝුගණක ක්‍රමය භාවිතයෙන් ඝාතීය සමීකරණ විසඳීම. මෙම ක්‍රමය භාවිතා කර ඝාතීය සමීකරණ විසඳීම ඉතා ජනප්‍රිය යැයි මට පැවසිය නොහැක, නමුත් සමහර අවස්ථාවලදී පමණක් එය අපව ගෙන යා හැකිය නිවැරදි තීරණයඅපගේ සමීකරණය. එය විශේෂයෙන් බොහෝ විට ඊනියා "" විසඳීමට භාවිතා කරයි මිශ්ර සමීකරණ ": එනම්, විවිධ වර්ගවල කාර්යයන් සිදුවන ඒවා වේ.

උදාහරණයක් ලෙස, පෝරමයේ සමීකරණය:

සාමාන්‍ය අවස්ථාවෙහිදී, එය විසඳිය හැක්කේ දෙපාර්ශවයේම ලඝුගණක (උදාහරණයක් ලෙස, පාදයට) ගැනීමෙන් පමණි, එහි මුල් සමීකරණය පහත පරිදි හැරෙනු ඇත:

පහත උදාහරණය දෙස බලමු:

ලඝුගණක ශ්රිතයේ ODZ අනුව, අපි උනන්දු වන්නේ පමණක් බව පැහැදිලිය. කෙසේ වෙතත්, මෙය ලඝුගණකයේ ODZ වලින් පමණක් නොව, තවත් එක් හේතුවක් නිසා අනුගමනය කරයි. එය කුමන එකක්දැයි අනුමාන කිරීම ඔබට අපහසු නොවනු ඇතැයි මම සිතමි.

අපගේ සමීකරණයේ දෙපැත්තේම ලඝුගණකය පාදයට ගනිමු:

ඔබට පෙනෙන පරිදි, අපගේ මුල් සමීකරණයේ ලඝුගණකය ගැනීම ඉක්මනින් නිවැරදි (සහ ලස්සන!) පිළිතුර වෙත අපව ගෙන ගියේය. අපි තවත් එක් උදාහරණයක් සමඟ පුහුණු වෙමු:

මෙහි ද වරදක් නැත: සමීකරණයේ දෙපැත්තේ ලඝුගණකය පාදයට ගනිමු, එවිට අපට ලැබෙන්නේ:

අපි ආදේශකයක් කරමු:

කෙසේ වෙතත්, අපට යමක් මග හැරී ඇත! මට වැරදුනේ කොතනදැයි ඔබ දුටුවාද? සියල්ලට පසු, එසේ නම්:

අවශ්‍යතාවය තෘප්තිමත් නොකරන (එය පැමිණියේ කොහෙන්දැයි සිතන්න!)

පිළිතුර:

පහත ඝාතීය සමීකරණ සඳහා විසඳුම ලිවීමට උත්සාහ කරන්න:

දැන් ඔබේ තීරණය මෙය සමඟ සසඳන්න:

1. එය සැලකිල්ලට ගනිමින් අපි දෙපසම පාදයට ලඝුගණක කරමු:

(ආදේශ කිරීම නිසා දෙවන මූලය අපට සුදුසු නොවේ)

2. පාදයට ලඝුගණකය:

ලැබෙන ප්‍රකාශනය පහත ආකෘතියට පරිවර්තනය කරමු:

ඝාතීය සමීකරණ. සංක්ෂිප්ත විස්තරය සහ මූලික සූත්‍ර

ඝාතීය සමීකරණය

පෝරමයේ සමීකරණය:

කියලා සරලම ඝාතීය සමීකරණය.

උපාධි වල ගුණාංග

විසඳුම සඳහා ප්රවේශයන්

එකම පදනමට අඩු කිරීම
එකම ඝාතකයට අඩු කිරීම
විචල්ය ප්රතිස්ථාපනය
ප්‍රකාශනය සරල කිරීම සහ ඉහත එකක් යෙදීම.

ඝාතීය සමීකරණ විසඳීම. උදාහරණ.

අවධානය!
අතිරේක ඇත
555 විශේෂ වගන්තියේ ඇති ද්‍රව්‍ය.
ඉතා "බොහෝ නොවේ..." සිටින අය සඳහා
සහ "ඉතා ..." කරන අය සඳහා)

සිදුවුයේ කුමක් ද ඝාතීය සමීකරණය? මෙය නොදන්නා (x) සහ ඒවා සමඟ ප්‍රකාශන ඇති සමීකරණයකි දර්ශකසමහර උපාධි. සහ එහි පමණි! එය වැදගත් වේ.

ඔන්න ඔහේ ඉන්නවා ඝාතීය සමීකරණ සඳහා උදාහරණ:

3 x 2 x = 8 x+3

සටහන! අංශකවල පාදවල (පහළ) - ඉලක්කම් පමණි. තුල දර්ශකඅංශක (ඉහළ) - X සමඟ විවිධ ප්‍රකාශන. හදිසියේම, දර්ශකයක් හැර වෙනත් තැනක සමීකරණයේ X එකක් දිස්වන්නේ නම්, උදාහරණයක් ලෙස:

මෙය සමීකරණයක් වනු ඇත මිශ්ර වර්ගය. එවැනි සමීකරණවලට ඒවා විසඳීම සඳහා පැහැදිලි නීති නොමැත. අපි ඒවා දැනට සලකන්නේ නැහැ. මෙන්න අපි සමඟ කටයුතු කරන්නෙමු ඝාතීය සමීකරණ විසඳීමඑහි පිරිසිදු ස්වරූපයෙන්.

ඇත්ත වශයෙන්ම, පිරිසිදු ඝාතීය සමීකරණ පවා සෑම විටම පැහැදිලිව විසඳනු නොලැබේ. නමුත් තියෙනවා ඇතැම් වර්ගවිසඳිය හැකි සහ විසඳිය යුතු ඝාතීය සමීකරණ. මෙම වර්ග අපි සලකා බලමු.

සරල ඝාතීය සමීකරණ විසඳීම.

පළමුව, අපි ඉතා මූලික දෙයක් විසඳා ගනිමු. උදාහරණ වශයෙන්:

න්‍යායන් නොමැතිව වුවද, සරල තේරීමෙන් x = 2 බව පැහැදිලිය. වෙන මුකුත් නෑ නේද! X හි වෙනත් අගයක් ක්‍රියා නොකරයි. දැන් අපි මෙම උපක්‍රමශීලී ඝාතීය සමීකරණයට විසඳුම බලමු:

අපි මොනවද කරලා තියෙන්නේ? ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි එකම පදනම (ත්‍රිත්ව) ඉවතට විසි කළෙමු. සම්පූර්ණයෙන්ම ඉවතට විසිවී ඇත. සහ, ශුභාරංචිය නම්, අපි හිස මත නිය පහර!

ඇත්ත වශයෙන්ම, ඝාතීය සමීකරණයක වම් සහ දකුණ තිබේ නම් ඒකමයිඕනෑම බලයක සංඛ්‍යා, මෙම සංඛ්‍යා ඉවත් කර ඝාතක සමාන කළ හැක. ගණිතය ඉඩ දෙයි. වඩා සරල සමීකරණයක් විසඳීමට එය ඉතිරිව ඇත. නියමයි නේද?)

කෙසේ වෙතත්, අපි තරයේ මතක තබා ගනිමු: ඔබට පාද ඉවත් කළ හැක්කේ වම් සහ දකුණු පස ඇති පාදක සංඛ්‍යා විශිෂ්ට ලෙස හුදකලා වූ විට පමණි!අසල්වැසියන් සහ සංගුණක නොමැතිව. අපි සමීකරණවල කියමු:

2 x +2 x+1 = 2 3, හෝ

දෙකක් ඉවත් කළ නොහැක!

හොඳයි, අපි වැදගත්ම දේ ප්‍රගුණ කර ඇත්තෙමු. නරක ඝාතීය ප්‍රකාශනවල සිට සරල සමීකරණ වෙත ගමන් කරන්නේ කෙසේද?

"ඒවා තමයි වෙලාවල්!" - ඔබ කියන්නෙ. "පරීක්ෂණ සහ විභාග ගැන එවැනි ප්‍රාථමික පාඩමක් දෙන්නේ කවුද!?"

මම එකඟ විය යුතුයි. කවුරුවත් දෙන්නේ නැහැ. නමුත් දැන් ඔබ දන්නවා උපක්‍රමශීලී උදාහරණ විසඳීමේදී ඉලක්ක කළ යුත්තේ කොතැනද කියා. එය එකම පාදක අංකය වම් සහ දකුණු පස ඇති පෝරමයට ගෙන යා යුතුය. එවිට සෑම දෙයක්ම පහසු වනු ඇත. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙය ගණිතයේ සම්භාව්‍යයකි. අපි මුල් උදාහරණය ගෙන එය අපේක්ෂිත එකක් බවට පරිවර්තනය කරමු අපමනස. ගණිතයේ නීති වලට අනුව, ඇත්ත වශයෙන්ම.

ඒවා සරලම ලෙස අඩු කිරීමට අමතර වෑයමක් අවශ්‍ය වන උදාහරණ දෙස බලමු. අපි ඔවුන්ට කතා කරමු සරල ඝාතීය සමීකරණ.

සරල ඝාතීය සමීකරණ විසඳීම. උදාහරණ.

ඝාතීය සමීකරණ විසඳන විට, ප්රධාන නීති වේ උපාධි සමඟ ක්රියා.මෙම ක්රියාවන් පිළිබඳ දැනුමක් නොමැතිව කිසිවක් ක්රියා නොකරනු ඇත.

උපාධි සමඟ ක්‍රියා කිරීමට, යමෙකු පුද්ගලික නිරීක්ෂණ සහ දක්ෂතාවය එක් කළ යුතුය. අපට එකම පාද අංක අවශ්‍යද? එබැවින් අපි ඒවා පැහැදිලි හෝ සංකේතාත්මක ආකාරයෙන් උදාහරණයෙන් සොයමු.

අපි බලමු මේක ප්‍රායෝගිකව කරන්නේ කොහොමද කියලා?

අපි උදාහරණයක් දෙමු:

2 2x - 8 x+1 = 0

පළමු තියුණු බැල්ම වන්නේ භූමිය.ඔවුන් ... ඔවුන් වෙනස්! දෙක සහ අට. නමුත් අධෛර්යමත් වීමට කල් වැඩියි. එය මතක තබා ගැනීමට කාලයයි

දෙක සහ අට උපාධියේ ඥාතීන් වේ.) එය ලිවිය හැකිය:

8 x+1 = (2 3) x+1

අංශක සහිත මෙහෙයුම් වලින් අපි සූත්‍රය සිහිපත් කරන්නේ නම්:

(a n) m = a nm,

මෙය විශිෂ්ට ලෙස ක්‍රියා කරයි:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

මුල් උදාහරණය මේ ආකාරයට පෙනෙන්නට පටන් ගත්තේය:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

අපි මාරු කරනවා 2 3 (x+1)දකුණට (කිසිවෙක් ගණිතයේ මූලික මෙහෙයුම් අවලංගු කර නැත!), අපට ලැබෙන්නේ:

2 2x = 2 3(x+1)

ප්‍රායෝගිකව එච්චරයි. පදනම් ඉවත් කිරීම:

අපි මේ රකුසා විසඳා ගන්නෙමු

මෙය නිවැරදි පිළිතුරයි.

මෙම උදාහරණයේදී, දෙදෙනෙකුගේ බලතල දැනගැනීම අපට උපකාර විය. අප හඳුනාගෙන ඇතඅට තුළ සංකේතාත්මක දෙකක් ඇත. මෙම තාක්ෂණය (සංකේතනය පොදු හේතුයටතේ විවිධ සංඛ්යා) ඝාතීය සමීකරණවල ඉතා ජනප්‍රිය තාක්‍ෂණයකි! ඔව්, සහ ලඝුගණක වලද. ඔබට වෙනත් සංඛ්‍යාවල බලය සංඛ්‍යා තුළ හඳුනා ගැනීමට හැකි විය යුතුය. ඝාතීය සමීකරණ විසඳීම සඳහා මෙය අතිශයින් වැදගත් වේ.

කාරණය වන්නේ ඕනෑම අංකයක් ඕනෑම බලයකට නැංවීම ගැටළුවක් නොවන බවයි. කඩදාසි මත පවා ගුණ කරන්න, එය එයයි. උදාහරණයක් ලෙස, ඕනෑම කෙනෙකුට 3 සිට පස්වන බලය දක්වා ඉහළ නැංවිය හැකිය. ඔබ ගුණ කිරීමේ වගුව දන්නේ නම් 243 ක්‍රියා කරයි.) නමුත් ඝාතීය සමීකරණවලදී, බොහෝ විට එය බලයකට නැංවීම අවශ්‍ය නොවේ, නමුත් අනෙක් අතට... සොයා බලන්න කුමන අංකයට කුමන මට්ටමටඅංක 243 පිටුපස සැඟවී ඇත, නැතහොත්, කියන්න, 343... කිසිදු ගණක යන්ත්‍රයක් ඔබට මෙහි උදව් නොකරනු ඇත.

සමහර සංඛ්‍යාවල බලතල දැකීමෙන් දැනගන්න ඕන නේද... පුරුදු වෙමුද?

කුමන බලතල සහ ඉලක්කම් මොනවාද යන්න තීරණය කරන්න:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

පිළිතුරු (අවුලක් තුළ, ඇත්ත වශයෙන්ම!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

හොඳට බැලුවොත් පේනවා අමුතු කරුණක්. කාර්යයන්ට වඩා සැලකිය යුතු පිළිතුරු තිබේ! හොඳයි, එය සිදු වේ ... උදාහරණයක් ලෙස, 2 6, 4 3, 8 2 - එපමණයි 64.

ඔබ සංඛ්‍යා සමඟ හුරුපුරුදු බව පිළිබඳ තොරතුරු සැලකිල්ලට ගෙන ඇති බව අපි උපකල්පනය කරමු.) අප භාවිතා කරන ඝාතීය සමීකරණ විසඳීමට එය ඔබට මතක් කර දෙමි. සෑමගණිත දැනුම තොගය. කනිෂ්ඨ සහ මධ්‍යම පන්තික අය ඇතුළුව. ඔබ කෙලින්ම උසස් පාසලට ගියේ නැත, හරිද?)

උදාහරණයක් ලෙස, ඝාතීය සමීකරණ විසඳන විට, පොදු සාධකය වරහන් වලින් පිටතට දැමීම බොහෝ විට උපකාරී වේ (7 වන ශ්‍රේණියට ආයුබෝවන්!). අපි උදාහරණයක් බලමු:

3 2x+4 -11 9 x = 210

නැවතත්, පළමු බැල්ම පදනම් වේ! උපාධි වල පාද වෙනස්... තුනයි නවයයි. නමුත් අපි ඔවුන්ව සමාන වීමට කැමතියි. හොඳයි, මේ අවස්ථාවේ දී ආශාව සම්පූර්ණයෙන්ම ඉටු වේ!) මන්ද:

9 x = (3 2) x = 3 2x

උපාධි සමඟ කටයුතු කිරීම සඳහා එකම නීති භාවිතා කිරීම:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

එය විශිෂ්ටයි, ඔබට එය ලිවිය හැකිය:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

අපි එකම හේතු නිසා උදාහරණයක් දුන්නා. ඉතින්, ඊළඟට කුමක්ද!? ඔබට ත්‍රිත්වය ඉවතට විසි කළ නොහැක... ඩෙඩ් එන්ඩ්?

කොහෙත්ම නැහැ. වඩාත්ම විශ්වීය හා බලවත් තීරණ රීතිය මතක තබා ගන්න හැමෝමගණිත කාර්යයන්:

ඔබට අවශ්‍ය දේ ඔබ නොදන්නේ නම්, ඔබට කළ හැකි දේ කරන්න!

බලන්න, සියල්ල සාර්ථක වනු ඇත).

මොකක්ද මේ ඝාතීය සමීකරණයේ තියෙන්නේ පුළුවන්කරන්නද? ඔව්, වම් පැත්තේ එය වරහන් වලින් ඉවත් කරන ලෙස ඉල්ලා සිටී! 3 2x හි සමස්ත ගුණකය මේ පිළිබඳව පැහැදිලිව ඉඟි කරයි. අපි උත්සාහ කරමු, පසුව අපි බලමු:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

ආදර්ශය හොඳ අතට හැරෙමින් පවතී!

කිසිදු සංගුණකයක් නොමැතිව, හේතු ඉවත් කිරීමට අපට පිරිසිදු උපාධියක් අවශ්‍ය බව අපට මතකයි. අංක 70 අපට කරදර කරයි. එබැවින් අපි සමීකරණයේ දෙපැත්තම 70 න් බෙදන්න, අපට ලැබෙන්නේ:

අපොයි! හැම දෙයක්ම හොඳ වුණා!

මෙය අවසාන පිළිතුරයි.

කෙසේ වෙතත්, එය සිදු වන්නේ එකම පදනම මත ටැක්සි පැදීම සාක්ෂාත් කර ගැනීමයි, නමුත් ඒවා ඉවත් කිරීම කළ නොහැකි ය. මෙය වෙනත් ආකාරයේ ඝාතීය සමීකරණවල සිදු වේ. අපි මේ වර්ගය ප්‍රගුණ කරමු.

ඝාතීය සමීකරණ විසඳීමේදී විචල්‍යයක් ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීම. උදාහරණ.

අපි සමීකරණය විසඳමු:

4 x - 3 2 x +2 = 0

පළමු - සුපුරුදු පරිදි. අපි එක පදනමකට යමු. ඩියුස් එකකට.

4 x = (2 2) x = 2 2x

අපි සමීකරණය ලබා ගනිමු:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

අනික මේක තමයි අපි එල්ලිලා ඉන්නේ. පෙර උපක්රමකොහොම බැලුවත් වැඩක් වෙන්නේ නෑ. අපගේ අවි ගබඩාවෙන් තවත් බලගතු සහ විශ්වීය ක්‍රමයක් අපට ඉවත් කිරීමට සිදුවනු ඇත. එය හැඳින්වේ විචල්ය ප්රතිස්ථාපනය.

ක්රමයේ සාරය පුදුම සහගත ලෙස සරල ය. එක් සංකීර්ණ අයිකනයක් වෙනුවට (අපගේ නඩුවේ - 2 x) අපි තවත් සරල එකක් ලියන්නෙමු (උදාහරණයක් ලෙස - t). එවැනි පෙනෙන පරිදි අර්ථ විරහිත ආදේශකයක් විශ්මයජනක ප්රතිඵලවලට මග පාදයි!) සෑම දෙයක්ම පැහැදිලි සහ තේරුම් ගත හැකිය!

ඉතින් ඉඩ දෙන්න

එවිට 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

අපගේ සමීකරණයේදී අපි සියලු බල x සමඟ t මගින් ප්‍රතිස්ථාපනය කරමු:

හොඳයි, එය ඔබට උදාවෙමින් තිබේද?) චතුරස්රාකාර සමීකරණඔබට තවමත් අමතකද? වෙනස්කම් කරන්නා හරහා විසඳීම, අපට ලැබෙන්නේ:

මෙහි ප්රධානතම දෙය වන්නේ, සිදු වන පරිදි නතර කිරීම නොවේ ... මෙය තවමත් පිළිතුර නොවේ, අපට අවශ්ය වන්නේ x මිස t නොවේ. අපි X වෙත ආපසු යමු, i.e. අපි ප්‍රතිලෝම ආදේශනයක් කරන්නෙමු. t 1 සඳහා පළමුව:

එනම්,

එක් මූලයක් හමු විය. අපි t 2 සිට දෙවැන්න සොයන්නෙමු:

හ්ම්... වම් පසින් 2 x, දකුණේ 1... ප්‍රශ්නයක්ද? කොහෙත්ම නැහැ! ඒකකයක් යනු (බල සහිත මෙහෙයුම් වලින්, ඔව්...) මතක තබා ගැනීම ප්රමාණවත්ය ඕනෑමඅංකය ශුන්‍ය බලයට. ඕනෑම. අවශ්ය ඕනෑම දෙයක්, අපි එය ස්ථාපනය කරන්නෙමු. අපිට දෙකක් ඕනේ. අදහස්:

දැන් එච්චරයි. අපට මූලයන් 2 ක් ඇත:

පිළිතුර මෙයයි.

හිදී ඝාතීය සමීකරණ විසඳීමඅවසානයේදී සමහර විට ඔබ යම් ආකාරයක අමුතු ප්‍රකාශයකින් අවසන් වේ. වර්ගය:

හතේ සිට දෙක දක්වා සරල උපාධියවැඩ කරන්නේ නෑ. ඒ අය නෑදෑයෝ නෙවෙයි... අපි කොහොමද? යමෙකු ව්‍යාකූල විය හැක... නමුත් මෙම වෙබ් අඩවියේ “ලඝුගණකයක් යනු කුමක්ද?” යන මාතෘකාව කියවන පුද්ගලයා. , අරපිරිමැස්මෙන් සිනාසෙන අතර ස්ථිර අතින් නිවැරදි පිළිතුර ලියන්න:

ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගයේ "B" කාර්යයන්හි එවැනි පිළිතුරක් තිබිය නොහැක. එහිදී නිශ්චිත අංකයක් අවශ්ය වේ. නමුත් "C" කාර්යයන් වලදී එය පහසුය.

මෙම පාඩම වඩාත් පොදු ඝාතීය සමීකරණ විසඳීම සඳහා උදාහරණ සපයයි. ප්රධාන කරුණු ඉස්මතු කරමු.

ප්රායෝගික උපදෙස්:

1. මුලින්ම අපි බලමු භූමියඋපාධි. ඒවා හදන්න පුළුවන්ද කියලා අපි කල්පනා කරනවා සමාන.සක්රියව භාවිතා කිරීමෙන් මෙය කිරීමට උත්සාහ කරමු උපාධි සමඟ ක්රියා. x නැති සංඛ්‍යා බල බවට පරිවර්තනය කළ හැකි බව අමතක කරන්න එපා!

2. වමේ සහ දකුණේ ඇති විට ඝාතීය සමීකරණය පෝරමයට ගෙන ඒමට අපි උත්සාහ කරමු. ඒකමයිඕනෑම බලයක සංඛ්යා. අපි පාවිච්චි කරන්නේ උපාධි සමඟ ක්රියාසහ සාධකකරණය.ඉලක්කම් වලින් ගණන් කළ හැකි දේ, අපි ගණන් කරමු.

3. දෙවන ඉඟිය ක්රියා නොකරන්නේ නම්, විචල්ය ප්රතිස්ථාපනය භාවිතා කිරීමට උත්සාහ කරන්න. ප්රතිඵලය පහසුවෙන් විසඳිය හැකි සමීකරණයක් විය හැකිය. බොහෝ විට - හතරැස්. හෝ භාගික, එය ද හතරැස් දක්වා අඩු කරයි.

4. ඝාතීය සමීකරණ සාර්ථකව විසඳීමට, ඔබ පෙනීම මගින් සමහර සංඛ්යා වල බලයන් දැනගත යුතුය.

සුපුරුදු පරිදි, පාඩම අවසානයේ ඔබට ටිකක් තීරණය කිරීමට ආරාධනා කරනු ලැබේ.) ඔබම. සරල සිට සංකීර්ණ දක්වා.

ඝාතීය සමීකරණ විසඳන්න:

වඩා දුෂ්කර:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5x+1 - 8 = 0

මුල්වල නිෂ්පාදනය සොයන්න:

2 3's + 2 x = 9

සිදුවීද?

හොඳයි එහෙනම් වඩාත්ම සංකීර්ණ උදාහරණය(තීරණය, කෙසේ වෙතත්, මනසින් ...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

වඩා රසවත් කුමක්ද? එහෙනම් මෙන්න ඔබට නරක ආදර්ශයක්. වැඩිවන දුෂ්කරතාවයට බෙහෙවින් සුදුසු ය. මෙම උදාහරණයේ දී, ඔබව ගලවා ගන්නේ දක්ෂතාවය සහ සියලු ගණිතමය ගැටළු විසඳීම සඳහා වඩාත්ම විශ්වීය රීතිය බව මට ඉඟි කිරීමට ඉඩ දෙන්න.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

ලිහිල් කිරීම සඳහා සරල උදාහරණයක්:

9 2 x - 4 3 x = 0

සහ අතුරුපස සඳහා. සමීකරණයේ මූලයන්ගේ එකතුව සොයන්න:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

ඔව් ඔව්! මෙය මිශ්‍ර ආකාරයේ සමීකරණයකි! මෙම පාඩමේදී අප සලකා බැලූයේ නැත. ඒවා සලකා බලන්නේ ඇයි, ඒවා විසඳිය යුතුය!) මෙම පාඩම සමීකරණය විසඳීමට ප්රමාණවත්ය. හොඳයි, ඔබට දක්ෂතාවය අවශ්‍යයි... සහ හත්වන ශ්‍රේණිය ඔබට උපකාර වේවා (මෙය ඉඟියකි!).

පිළිතුරු (අවුල් සහගතව, අර්ධ කොමා වලින් වෙන් කර ඇත):

1; 2; 3; 4; විසඳුම් නැත; 2; -2; -5; 4; 0.

සියල්ල සාර්ථකද? මහා.

ගැටලුවක් තිබේද? ප්රශ්නයක් නැහැ! විශේෂ වගන්තිය 555 මෙම සියලු ඝාතීය සමීකරණ සවිස්තරාත්මක පැහැදිලි කිරීම් සමඟ විසඳයි. කුමක්ද, ඇයි සහ ඇයි. තවද, ඇත්ත වශයෙන්ම, සියලු වර්ගවල ඝාතීය සමීකරණ සමඟ වැඩ කිරීම පිළිබඳ අමතර වටිනා තොරතුරු තිබේ. මේවා පමණක් නොවේ.)

සලකා බැලිය යුතු අවසාන විනෝද ප්‍රශ්නයක්. මෙම පාඩමේදී අපි ඝාතීය සමීකරණ සමඟ වැඩ කළෙමු. ඇයි මම මෙතන ODZ ගැන වචනයක් කිව්වේ නැත්තේ?සමීකරණවලදී, මෙය ඉතා වැදගත් දෙයක්, මාර්ගයෙන් ...

ඔබ මෙම අඩවියට කැමති නම්...

මාර්ගය වන විට, මට ඔබ සඳහා තවත් රසවත් අඩවි කිහිපයක් තිබේ.)

ඔබට උදාහරණ විසඳීමට පුරුදු වී ඔබේ මට්ටම සොයා ගත හැකිය. ක්ෂණික සත්‍යාපනය සමඟ පරීක්ෂා කිරීම. අපි ඉගෙන ගනිමු - උනන්දුවෙන්!)

ඔබට කාර්යයන් සහ ව්‍යුත්පන්නයන් සමඟ දැන හඳුනා ගත හැකිය.