Egenskaber for decimallogaritmer. Definition af logaritmen og dens egenskaber: teori og problemløsning

hovedejendomme.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

identiske grunde

Log6 4 + log6 9.

Lad os nu komplicere opgaven lidt.

Eksempler på løsning af logaritmer

Hvad hvis basen eller argumentet for en logaritme er en potens? Så kan eksponenten for denne grad tages ud af logaritmens fortegn efter følgende regler:

Selvfølgelig giver alle disse regler mening, hvis ODZ for logaritmen overholdes: a > 0, a ≠ 1, x >

Opgave. Find betydningen af ​​udtrykket:

Overgang til en ny fond

Lad logaritmen logaks være givet. Så for ethvert tal c, således at c > 0 og c ≠ 1, er ligheden sand:

Opgave. Find betydningen af ​​udtrykket:

Se også:

Grundlæggende egenskaber for logaritmen

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponenten er 2,718281828…. For at huske eksponenten kan du studere reglen: eksponenten er lig med 2,7 og to gange fødselsåret for Leo Nikolaevich Tolstoy.

Grundlæggende egenskaber ved logaritmer

Når du kender denne regel, vil du vide og præcise værdi udstillere, og Leo Tolstojs fødselsdato.

Eksempler på logaritmer

Logaritme udtryk

Eksempel 1.
EN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Ved hjælp af egenskaber 3.5 beregner vi

2.

3.

4. Hvor .

Eksempel 2. Find x if

Eksempel 3. Lad værdien af ​​logaritmer angives

Beregn log(x) if

Grundlæggende egenskaber ved logaritmer

Logaritmer, som alle tal, kan tilføjes, trækkes fra og transformeres på alle måder. Men da logaritmer ikke er helt almindelige tal, er der regler her, som kaldes hovedejendomme.

Du skal helt sikkert kende disse regler - uden dem kan ikke et eneste alvorligt logaritmisk problem løses. Derudover er der meget få af dem – du kan lære alt på én dag. Så lad os komme i gang.

Tilføjelse og subtrahering af logaritmer

Overvej to logaritmer med de samme baser: logax og logay. Derefter kan de lægges til og trækkes fra, og:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Så summen af ​​logaritmer er lig med logaritmen af ​​produktet, og forskellen er lig med logaritmen af ​​kvotienten. Bemærk: nøglemoment Her - identiske grunde. Hvis årsagerne er forskellige, virker disse regler ikke!

Disse formler hjælper dig med at beregne et logaritmisk udtryk, selv når dets individuelle dele ikke tages i betragtning (se lektionen "Hvad er en logaritme"). Tag et kig på eksemplerne og se:

Da logaritmer har de samme baser, bruger vi sumformlen:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log2 48 − log2 3.

Baserne er de samme, vi bruger forskelsformlen:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log3 135 − log3 5.

Igen er baserne de samme, så vi har:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Som du kan se, er de oprindelige udtryk opbygget af "dårlige" logaritmer, som ikke beregnes separat. Men efter transformationerne opnås helt normale tal. Mange er bygget på dette faktum prøvepapirer. Ja, testlignende udtryk tilbydes i fuld alvor (nogle gange med stort set ingen ændringer) på Unified State Examination.

Udtræk af eksponenten fra logaritmen

Det er nemt at bemærke det sidste regel følger de to første. Men det er bedre at huske det alligevel - i nogle tilfælde vil det reducere mængden af ​​beregninger betydeligt.

Selvfølgelig giver alle disse regler mening, hvis ODZ af logaritmen overholdes: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Og en ting mere: lær at anvende alle formler ikke kun fra venstre mod højre, men også omvendt , dvs. Du kan indtaste tallene før logaritmetegnet i selve logaritmen. Det er det, der oftest kræves.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log7 496.

Lad os slippe af med graden i argumentet ved at bruge den første formel:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Opgave. Find betydningen af ​​udtrykket:

Bemærk, at nævneren indeholder en logaritme, hvis basis og argument er nøjagtige potenser: 16 = 24; 49 = 72. Vi har:

Jeg synes, det sidste eksempel kræver en vis afklaring. Hvor er logaritmerne blevet af? Indtil selve sidste øjeblik vi arbejder kun med nævneren.

Logaritme formler. Logaritmer eksempler på løsninger.

Vi præsenterede basen og argumentet for logaritmen, der stod der i form af potenser og tog eksponenterne ud - vi fik en "tre-etagers" brøk.

Lad os nu se på hovedbrøken. Tælleren og nævneren indeholder det samme tal: log2 7. Da log2 7 ≠ 0, kan vi reducere brøken - 2/4 bliver i nævneren. Ifølge regnereglerne kan de fire overføres til tælleren, hvilket er hvad der blev gjort. Resultatet blev svaret: 2.

Overgang til en ny fond

Når jeg taler om reglerne for at addere og subtrahere logaritmer, understregede jeg specifikt, at de kun fungerer med de samme baser. Hvad hvis årsagerne er forskellige? Hvad hvis de ikke er nøjagtige potenser af samme tal?

Formler for overgang til et nyt fundament kommer til undsætning. Lad os formulere dem i form af en sætning:

Lad logaritmen logaks være givet. Så for ethvert tal c, således at c > 0 og c ≠ 1, er ligheden sand:

Især hvis vi sætter c = x, får vi:

Af den anden formel følger det, at logaritmens basis og argument kan byttes, men i dette tilfælde "vendes hele udtrykket", dvs. logaritmen vises i nævneren.

Disse formler findes sjældent i almindelige numeriske udtryk. Det er kun muligt at vurdere, hvor bekvemme de er ved at beslutte logaritmiske ligninger og uligheder.

Der er dog problemer, som slet ikke kan løses, undtagen ved at flytte til en ny fond. Lad os se på et par af disse:

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log5 16 log2 25.

Bemærk, at argumenterne for begge logaritmer indeholder nøjagtige potenser. Lad os tage indikatorerne ud: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Lad os nu "vende" den anden logaritme:

Da produktet ikke ændrer sig ved omarrangering af faktorer, gangede vi roligt fire og to og behandlede derefter logaritmer.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log9 100 lg 3.

Grundlaget og argumentet for den første logaritme er nøjagtige potenser. Lad os skrive dette ned og slippe af med indikatorerne:

Lad os nu slippe af med decimallogaritmen ved at flytte til en ny base:

Grundlæggende logaritmisk identitet

Ofte er det i løsningsprocessen nødvendigt at repræsentere et tal som en logaritme til en given base. I dette tilfælde vil følgende formler hjælpe os:

I det første tilfælde bliver tallet n eksponenten i argumentet. Tallet n kan være absolut hvad som helst, fordi det kun er en logaritmeværdi.

Den anden formel er faktisk en omskrevet definition. Det hedder det: .

Faktisk, hvad sker der, hvis tallet b hæves til en sådan potens, at tallet b i denne potens giver tallet a? Det er rigtigt: resultatet er det samme tal a. Læs dette afsnit omhyggeligt igen - mange mennesker bliver hængende i det.

Ligesom formler for at flytte til en ny base, er den grundlæggende logaritmiske identitet nogle gange den eneste mulige løsning.

Opgave. Find betydningen af ​​udtrykket:

Bemærk at log25 64 = log5 8 - tog blot kvadratet fra logaritmens grundtal og argument. Under hensyntagen til reglerne for multiplikation af potenser med den samme base, får vi:

Hvis nogen ikke ved det, var dette en rigtig opgave fra Unified State Exam :)

Logaritmisk enhed og logaritmisk nul

Afslutningsvis vil jeg give to identiteter, der næppe kan kaldes egenskaber - derimod er de konsekvenser af definitionen af ​​logaritmen. De optræder konstant i problemer og skaber overraskende problemer selv for "avancerede" elever.

1. logaa = 1 er. Husk én gang for alle: logaritmen til en hvilken som helst grundtal a af selve basen er lig med én.
2. loga 1 = 0 er. Grundlaget a kan være hvad som helst, men hvis argumentet indeholder en, er logaritmen lig nul! Fordi a0 = 1 er en direkte konsekvens af definitionen.

Det er alle egenskaberne. Sørg for at øve dig i at omsætte dem i praksis! Download snydearket i begyndelsen af ​​lektionen, print det ud og løs problemerne.

Se også:

Logaritmen af ​​b til at basere a angiver udtrykket. At beregne logaritmen betyder at finde en potens x (), hvor ligheden er opfyldt

Grundlæggende egenskaber for logaritmen

Det er nødvendigt at kende ovenstående egenskaber, da næsten alle problemer og eksempler relateret til logaritmer er løst på deres grundlag. Resten af ​​de eksotiske egenskaber kan udledes gennem matematiske manipulationer med disse formler

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Når man beregner formlen for sum og forskel af logaritmer (3.4) støder man ret ofte på. Resten er noget komplekse, men i en række opgaver er de uundværlige for at forenkle komplekse udtryk og beregne deres værdier.

Almindelige tilfælde af logaritmer

Nogle af de almindelige logaritmer er dem, hvor basen er lige ti, eksponentiel eller to.
Logaritmen til basis ti kaldes normalt decimallogaritmen og betegnes blot med lg(x).

Det fremgår tydeligt af optagelsen, at det grundlæggende ikke er skrevet i optagelsen. For eksempel

En naturlig logaritme er en logaritme, hvis basis er en eksponent (angivet med ln(x)).

Eksponenten er 2,718281828…. For at huske eksponenten kan du studere reglen: eksponenten er lig med 2,7 og to gange fødselsåret for Leo Nikolaevich Tolstoy. Når du kender denne regel, vil du kende både den nøjagtige værdi af eksponenten og fødselsdatoen for Leo Tolstoy.

Og en anden vigtig logaritme til base to er angivet med

Den afledte af logaritmen af ​​en funktion er lig med én divideret med variablen

Integral- eller antiderivatlogaritmen bestemmes af forholdet

Det givne materiale er nok til, at du kan løse en bred klasse af problemer relateret til logaritmer og logaritmer. For at hjælpe dig med at forstå materialet vil jeg give nogle få almindelige eksempler fra skolepensum og universiteter.

Eksempler på logaritmer

Logaritme udtryk

Eksempel 1.
EN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Ved hjælp af egenskaber 3.5 beregner vi

2.
Ved egenskaben af ​​forskel af logaritmer har vi

3.
Ved hjælp af egenskaber 3.5 finder vi

4. Hvor .

Ved udseendet komplekst udtryk ved hjælp af en række regler er forenklet til form

Finde logaritmeværdier

Eksempel 2. Find x if

Løsning. Til beregning anvender vi på sidste termin 5 og 13 ejendomme

Vi registrerer det og sørger

Da baserne er ens, sidestiller vi udtrykkene

Logaritmer. Første niveau.

Lad værdien af ​​logaritmer angives

Beregn log(x) if

Løsning: Lad os tage en logaritme af variablen for at skrive logaritmen gennem summen af ​​dens led

Dette er kun begyndelsen på vores bekendtskab med logaritmer og deres egenskaber. Øv dig i beregninger, berig dine praktiske færdigheder - du får snart brug for den viden, du får til at løse logaritmiske ligninger. Efter at have studeret de grundlæggende metoder til løsning af sådanne ligninger, vil vi udvide din viden til en anden ikke mindre vigtigt emne- logaritmiske uligheder...

Grundlæggende egenskaber ved logaritmer

Logaritmer, som alle tal, kan tilføjes, trækkes fra og transformeres på alle måder. Men da logaritmer ikke er helt almindelige tal, er der regler her, som kaldes hovedejendomme.

Du skal helt sikkert kende disse regler - uden dem kan ikke et eneste alvorligt logaritmisk problem løses. Derudover er der meget få af dem – du kan lære alt på én dag. Så lad os komme i gang.

Tilføjelse og subtrahering af logaritmer

Overvej to logaritmer med de samme baser: logax og logay. Derefter kan de lægges til og trækkes fra, og:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Så summen af ​​logaritmer er lig med logaritmen af ​​produktet, og forskellen er lig med logaritmen af ​​kvotienten. Bemærk venligst: det vigtigste her er identiske grunde. Hvis årsagerne er forskellige, virker disse regler ikke!

Disse formler hjælper dig med at beregne et logaritmisk udtryk, selv når dets individuelle dele ikke tages i betragtning (se lektionen "Hvad er en logaritme"). Tag et kig på eksemplerne og se:

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log6 4 + log6 9.

Da logaritmer har de samme baser, bruger vi sumformlen:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log2 48 − log2 3.

Baserne er de samme, vi bruger forskelsformlen:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log3 135 − log3 5.

Igen er baserne de samme, så vi har:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Som du kan se, er de oprindelige udtryk opbygget af "dårlige" logaritmer, som ikke beregnes separat. Men efter transformationerne opnås helt normale tal. Mange test er baseret på dette faktum. Ja, testlignende udtryk tilbydes i fuld alvor (nogle gange med stort set ingen ændringer) på Unified State Examination.

Udtræk af eksponenten fra logaritmen

Lad os nu komplicere opgaven lidt. Hvad hvis basen eller argumentet for en logaritme er en potens? Så kan eksponenten for denne grad tages ud af logaritmens fortegn efter følgende regler:

Det er let at se, at den sidste regel følger de to første. Men det er bedre at huske det alligevel - i nogle tilfælde vil det reducere mængden af ​​beregninger betydeligt.

Selvfølgelig giver alle disse regler mening, hvis ODZ af logaritmen overholdes: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Og en ting mere: lær at anvende alle formler ikke kun fra venstre mod højre, men også omvendt , dvs. Du kan indtaste tallene før logaritmetegnet i selve logaritmen.

Sådan løses logaritmer

Det er det, der oftest kræves.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log7 496.

Lad os slippe af med graden i argumentet ved at bruge den første formel:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Opgave. Find betydningen af ​​udtrykket:

Bemærk, at nævneren indeholder en logaritme, hvis basis og argument er nøjagtige potenser: 16 = 24; 49 = 72. Vi har:

Jeg synes, det sidste eksempel kræver en vis afklaring. Hvor er logaritmerne blevet af? Indtil sidste øjeblik arbejder vi kun med nævneren. Vi præsenterede basen og argumentet for logaritmen, der stod der i form af potenser og tog eksponenterne ud - vi fik en "tre-etagers" brøk.

Lad os nu se på hovedbrøken. Tælleren og nævneren indeholder det samme tal: log2 7. Da log2 7 ≠ 0, kan vi reducere brøken - 2/4 bliver i nævneren. Ifølge regnereglerne kan de fire overføres til tælleren, hvilket er hvad der blev gjort. Resultatet blev svaret: 2.

Overgang til en ny fond

Når jeg taler om reglerne for at addere og subtrahere logaritmer, understregede jeg specifikt, at de kun fungerer med de samme baser. Hvad hvis årsagerne er forskellige? Hvad hvis de ikke er nøjagtige potenser af samme tal?

Formler for overgang til et nyt fundament kommer til undsætning. Lad os formulere dem i form af en sætning:

Lad logaritmen logaks være givet. Så for ethvert tal c, således at c > 0 og c ≠ 1, er ligheden sand:

Især hvis vi sætter c = x, får vi:

Af den anden formel følger det, at logaritmens basis og argument kan byttes, men i dette tilfælde "vendes hele udtrykket", dvs. logaritmen vises i nævneren.

Disse formler findes sjældent i almindelige numeriske udtryk. Det er kun muligt at vurdere, hvor praktiske de er, når man løser logaritmiske ligninger og uligheder.

Der er dog problemer, som slet ikke kan løses, undtagen ved at flytte til en ny fond. Lad os se på et par af disse:

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log5 16 log2 25.

Bemærk, at argumenterne for begge logaritmer indeholder nøjagtige potenser. Lad os tage indikatorerne ud: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Lad os nu "vende" den anden logaritme:

Da produktet ikke ændrer sig ved omarrangering af faktorer, gangede vi roligt fire og to og behandlede derefter logaritmer.

Opgave. Find værdien af ​​udtrykket: log9 100 lg 3.

Grundlaget og argumentet for den første logaritme er nøjagtige potenser. Lad os skrive dette ned og slippe af med indikatorerne:

Lad os nu slippe af med decimallogaritmen ved at flytte til en ny base:

Grundlæggende logaritmisk identitet

Ofte er det i løsningsprocessen nødvendigt at repræsentere et tal som en logaritme til en given base. I dette tilfælde vil følgende formler hjælpe os:

I det første tilfælde bliver tallet n eksponenten i argumentet. Tallet n kan være absolut hvad som helst, fordi det kun er en logaritmeværdi.

Den anden formel er faktisk en omskrevet definition. Det hedder det: .

Faktisk, hvad sker der, hvis tallet b hæves til en sådan potens, at tallet b i denne potens giver tallet a? Det er rigtigt: resultatet er det samme tal a. Læs dette afsnit omhyggeligt igen - mange mennesker bliver hængende i det.

Ligesom formler for at flytte til en ny base, er den grundlæggende logaritmiske identitet nogle gange den eneste mulige løsning.

Opgave. Find betydningen af ​​udtrykket:

Bemærk at log25 64 = log5 8 - tog blot kvadratet fra logaritmens grundtal og argument. Under hensyntagen til reglerne for multiplikation af potenser med den samme base, får vi:

Hvis nogen ikke ved det, var dette en rigtig opgave fra Unified State Exam :)

Logaritmisk enhed og logaritmisk nul

Afslutningsvis vil jeg give to identiteter, der næppe kan kaldes egenskaber - derimod er de konsekvenser af definitionen af ​​logaritmen. De optræder konstant i problemer og skaber overraskende problemer selv for "avancerede" elever.

1. logaa = 1 er. Husk én gang for alle: logaritmen til en hvilken som helst grundtal a af selve basen er lig med én.
2. loga 1 = 0 er. Grundlaget a kan være hvad som helst, men hvis argumentet indeholder en, er logaritmen lig nul! Fordi a0 = 1 er en direkte konsekvens af definitionen.

Det er alle egenskaberne. Sørg for at øve dig i at omsætte dem i praksis! Download snydearket i begyndelsen af ​​lektionen, print det ud og løs problemerne.

Efterhånden som samfundet udviklede sig og produktionen blev mere kompleks, udviklede matematikken sig også. Bevægelse fra simpel til kompleks. Fra almindeligt regnskab ved hjælp af metoden til addition og subtraktion, med deres gentagne gentagelser, kom vi til begrebet multiplikation og division. At reducere den gentagne operation af multiplikation blev begrebet eksponentiering. De første tabeller over tallenes afhængighed af basen og antallet af eksponentiering blev udarbejdet tilbage i det 8. århundrede af den indiske matematiker Varasena. Fra dem kan du tælle tidspunktet for forekomsten af ​​logaritmer.

Historisk skitse

Genoplivningen af ​​Europa i det 16. århundrede stimulerede også mekanikkens udvikling. T krævede en stor mængde beregning relateret til multiplikation og division flercifrede tal. De gamle borde var til stor tjeneste. De gjorde det muligt at erstatte komplekse operationer med simplere - addition og subtraktion. Et stort skridt fremad var matematikeren Michael Stiefels arbejde, udgivet i 1544, hvor han realiserede ideen om mange matematikere. Dette gjorde det muligt at bruge tabeller ikke kun til grader i formen Primtal, men også for vilkårlige rationelle.

I 1614 blev skotten John Napier, der udviklede disse ideer, først introduceret ny sigt"logaritme af et tal." Ny komplekse tabeller til beregning af logaritmer af sinus og cosinus, samt tangenter. Dette reducerede i høj grad astronomernes arbejde.

Nye tabeller begyndte at dukke op, som blev brugt med succes af videnskabsmænd hele vejen igennem tre århundreder. Der gik meget tid før ny operation i algebra fik den sin fuldstændige form. Definitionen af ​​logaritmen blev givet, og dens egenskaber blev undersøgt.

Først i det 20. århundrede, med fremkomsten af ​​lommeregneren og computeren, forlod menneskeheden de gamle tabeller, der havde fungeret med succes gennem det 13. århundrede.

I dag kalder vi logaritmen af ​​b til at basere a for tallet x, der er potensen af ​​a for at gøre b. Dette skrives som en formel: x = log a(b).

For eksempel vil log 3(9) være lig med 2. Dette er indlysende, hvis du følger definitionen. Hvis vi hæver 3 til 2, får vi 9.

Den formulerede definition sætter således kun én begrænsning: tallene a og b skal være reelle.

Typer af logaritmer

Den klassiske definition kaldes den reelle logaritme og er faktisk løsningen på ligningen a x = b. Mulighed a = 1 er grænseoverskridende og er ikke af interesse. Bemærk: 1 til enhver potens er lig med 1.

Realværdi af logaritme defineres kun, når grundtallet og argumentet er større end 0, og grundtallet ikke må være lig med 1.

Særlig plads inden for matematik spille logaritmer, som vil blive navngivet afhængigt af størrelsen på deres base:

Regler og restriktioner

Den grundlæggende egenskab ved logaritmer er reglen: logaritmen af ​​et produkt er lig med den logaritmiske sum. log abp = log a(b) + log a(p).

Som en variant af denne sætning vil der være: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), kvotientfunktionen er lig med forskellen mellem funktionerne.

Ud fra de to foregående regler er det let at se: log a(b p) = p * log a(b).

Andre ejendomme omfatter:

Kommentar. Lav ikke en almindelig fejl - logaritmen af ​​summen er det ikke lig med summen logaritmer.

I mange århundreder var operationen med at finde en logaritme en ret tidskrævende opgave. Matematikere brugte den velkendte formel for den logaritmiske teori om polynomiel ekspansion:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), hvor n - naturligt tal større end 1, hvilket bestemmer nøjagtigheden af ​​beregningen.

Logaritmer med andre baser blev beregnet ved hjælp af sætningen om overgangen fra en base til en anden og egenskaben for produktets logaritme.

Da denne metode er meget arbejdskrævende og ved løsning af praktiske problemer vanskeligt at implementere, brugte vi prækompilerede tabeller med logaritmer, hvilket fremskyndede alt arbejdet markant.

I nogle tilfælde blev der brugt specialdesignede grafer af logaritmer, som gav mindre nøjagtighed, men fremskyndede søgningen efter den ønskede værdi betydeligt. Kurven for funktionen y = log a(x), konstrueret over flere punkter, giver dig mulighed for at bruge en regulær lineal til at finde værdien af ​​funktionen på ethvert andet punkt. Ingeniører lang tid Til disse formål blev der brugt såkaldt millimeterpapir.

I det 17. århundrede dukkede de første ekstra analoge beregningsbetingelser op, som 19. århundrede fået et færdigt udseende. Den mest succesrige enhed blev kaldt diasreglen. På trods af enhedens enkelhed accelererede dens udseende markant processen med alle tekniske beregninger, og det er svært at overvurdere. I øjeblikket er de færreste bekendt med denne enhed.

Fremkomsten af ​​lommeregnere og computere gjorde brugen af ​​andre enheder meningsløs.

Ligninger og uligheder

For at løse forskellige ligninger og uligheder ved hjælp af logaritmer bruges følgende formler:

• Flytning fra en base til en anden: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Som en konsekvens af den foregående mulighed: log a(b) = 1 / log b(a).

For at løse uligheder er det nyttigt at vide:

• Værdien af ​​logaritmen vil kun være positiv, hvis basen og argumentet begge er større eller mindre end én; hvis mindst én betingelse er overtrådt, vil logaritmeværdien være negativ.
• Hvis logaritmefunktionen anvendes på højre og venstre side af en ulighed, og logaritmen er større end én, så bevares ulighedens fortegn; ellers ændrer det sig.

Prøveproblemer

Lad os overveje flere muligheder for at bruge logaritmer og deres egenskaber. Eksempler på løsning af ligninger:

Overvej muligheden for at placere logaritmen i en potens:

• Opgave 3. Beregn 25^log 5(3). Løsning: under betingelserne for problemet ligner indgangen følgende (5^2)^log5(3) eller 5^(2 *log 5(3)). Lad os skrive det anderledes: 5^log 5(3*2), eller kvadratet af et tal som funktionsargument kan skrives som kvadratet af selve funktionen (5^log 5(3))^2. Ved at bruge logaritmers egenskaber er dette udtryk lig med 3^2. Svar: Som et resultat af beregningen får vi 9.

Praktisk brug

Da det er et rent matematisk værktøj, virker det langt fra I virkeligheden at logaritmen pludselig fik stor betydning at beskrive objekter virkelige verden. Det er svært at finde en videnskab, hvor den ikke bliver brugt. Dette gælder fuldt ud ikke kun for naturlige, men også for humanitære vidensområder.

Logaritmiske afhængigheder

Her er nogle eksempler på numeriske afhængigheder:

Mekanik og fysik

Historisk set har mekanik og fysik altid udviklet sig ved hjælp af matematiske forskningsmetoder og har samtidig tjent som et incitament til udvikling af matematik, herunder logaritmer. Teorien om de fleste fysiklove er skrevet på matematikkens sprog. Lad os kun give to eksempler på beskrivelser fysiske love ved hjælp af logaritme.

Problemet med at beregne en så kompleks mængde som en rakets hastighed kan løses ved at bruge Tsiolkovsky-formlen, som lagde grundlaget for teorien om rumudforskning:

V = I * In (M1/M2), hvor

• V er flyets endelige hastighed.
• I – specifik impuls af motoren.
• M 1 – rakettens begyndelsesmasse.
• M 2 – endelig masse.

En anden vigtigt eksempel - dette bruges i formlen for en anden stor videnskabsmand Max Planck, som tjener til at evaluere ligevægtstilstanden i termodynamik.

S = k * ln (Ω), hvor

• S – termodynamisk egenskab.
• k – Boltzmann konstant.
• Ω er den statistiske vægt af forskellige tilstande.

Kemi

Mindre indlysende er brugen af ​​formler i kemi, der indeholder forholdet mellem logaritmer. Lad os kun give to eksempler:

• Nernst-ligning, tilstanden af ​​mediets redoxpotentiale i forhold til stoffers aktivitet og ligevægtskonstanten.
• Beregningen af ​​sådanne konstanter som autolyseindekset og opløsningens surhedsgrad kan heller ikke udføres uden vores funktion.

Psykologi og biologi

Og det er slet ikke klart, hvad psykologi har med det at gøre. Det viser sig, at sansningsstyrken er godt beskrevet af denne funktion som det omvendte forhold mellem stimulusintensitetsværdien og den lavere intensitetsværdi.

Efter ovenstående eksempler er det ikke længere overraskende, at emnet logaritmer er meget udbredt i biologien. Der kunne skrives hele bind om biologiske former svarende til logaritmiske spiraler.

Andre områder

Det ser ud til, at verdens eksistens er umulig uden forbindelse med denne funktion, og den styrer alle love. Især når naturlovene er relateret til geometrisk progression. Det er værd at henvende sig til MatProfi-webstedet, og der er mange sådanne eksempler inden for følgende aktivitetsområder:

Listen kan være uendelig. Efter at have mestret de grundlæggende principper for denne funktion, kan du kaste dig ud i en verden af ​​uendelig visdom.

Fokus i denne artikel er logaritme. Her vil vi give en definition af en logaritme, vise den accepterede notation, give eksempler på logaritmer og tale om naturlige og decimale logaritmer. Herefter vil vi overveje den grundlæggende logaritmiske identitet.

Sidenavigation.

Definition af logaritme

Begrebet logaritme opstår, når man løser et problem i i en vis forstand omvendt, når du skal finde eksponenten for kendt værdi grad og kendt grundlag.

Men nok forord, det er tid til at besvare spørgsmålet "hvad er en logaritme"? Lad os give den tilsvarende definition.

Definition.

Logaritme af b til grundtal a, hvor a>0, a≠1 og b>0 er eksponenten, som du skal hæve tallet a til for at få b som et resultat.

På dette stadium bemærker vi, at det talte ord "logaritme" straks bør rejse to opfølgende spørgsmål: "hvilket tal" og "på hvilket grundlag." Med andre ord er der simpelthen ingen logaritme, men kun logaritmen af ​​et tal til en eller anden base.

Lad os gå ind med det samme logaritme notation: logaritmen af ​​et tal b til base a betegnes normalt som log a b. Logaritmen af ​​et tal b til grundtal e og logaritmen til grundtal 10 har deres egne specielle betegnelser henholdsvis lnb og logb, det vil sige, at de ikke skriver log e b, men lnb, og ikke log 10 b, men lgb.

Nu kan vi give:.
Og optegnelserne giver ikke mening, da i den første af dem under tegnet af logaritmen der er et negativt tal, i det andet er der et negativt tal i grundtallet, og i det tredje er der et negativt tal under logaritmetegnet og en enhed i grundtallet.

Lad os nu tale om regler for aflæsning af logaritmer. Log a b læses som "logaritmen af ​​b til base a". For eksempel er log 2 3 logaritmen af ​​tre til grundtal 2, og er logaritmen af ​​to komma to tredjedele til grundtal 2 Kvadrat rod ud af fem. Logaritmen til basis e kaldes naturlig logaritme, og lnb-indgangen lyder " naturlig logaritme b". For eksempel er ln7 den naturlige logaritme af syv, og vi vil læse den som den naturlige logaritme af pi. Basis 10-logaritmen har også et særligt navn - decimal logaritme, og lgb læses som "decimal logaritme af b". For eksempel er lg1 decimallogaritmen af ​​én, og lg2.75 er decimallogaritmen af ​​to komma syv fem hundrededele.

Det er værd at dvæle separat ved betingelserne a>0, a≠1 og b>0, under hvilke definitionen af ​​logaritmen er givet. Lad os forklare, hvor disse begrænsninger kommer fra. En lighed af formen kaldet , som direkte følger af definitionen af ​​logaritme ovenfor, vil hjælpe os med at gøre dette.

Lad os starte med a≠1. Da en i enhver potens er lig med en, kan ligheden kun være sand, når b=1, men log 1 1 kan være et hvilket som helst reelt tal. For at undgå denne tvetydighed antages a≠1.

Lad os begrunde det hensigtsmæssige i betingelsen a>0. Med a=0, ved definitionen af ​​en logaritme, ville vi have lighed, hvilket kun er muligt med b=0. Men så kan log 0 0 være et hvilket som helst reelt tal, der ikke er nul, da nul til enhver potens, der ikke er nul, er nul. Betingelsen a≠0 giver os mulighed for at undgå denne tvetydighed. Og når en<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Endelig følger betingelsen b>0 af uligheden a>0, da , og værdien af ​​en potens med en positiv base a altid er positiv.

For at konkludere dette punkt, lad os sige, at den angivne definition af logaritmen giver dig mulighed for straks at angive værdien af ​​logaritmen, når tallet under logaritmetegnet er en vis styrke af basen. Faktisk giver definitionen af ​​en logaritme os mulighed for at sige, at hvis b=a p, så er logaritmen af ​​tallet b til grunden a lig med p. Det vil sige, at lighedsloggen a a p =p er sand. For eksempel ved vi, at 2 3 =8, så log 2 8=3. Vi vil tale mere om dette i artiklen.

Hvad er en logaritme?

Opmærksomhed!
Der er yderligere
materialer i specialafsnit 555.
For dem, der er meget "ikke meget..."
Og for dem, der "meget...")

Hvad er en logaritme? Hvordan løser man logaritmer? Disse spørgsmål forvirrer mange kandidater. Traditionelt betragtes emnet logaritmer som komplekst, uforståeligt og skræmmende. Især ligninger med logaritmer.

Dette er absolut ikke sandt. Absolut! Tror du mig ikke? Bøde. Nu, på kun 10 - 20 minutter:

1. Forstå hvad er en logaritme.

2. Lær at løse en hel klasse eksponentielle ligninger. Også selvom du ikke har hørt noget om dem.

3. Lær at beregne simple logaritmer.

Desuden behøver du kun at kende multiplikationstabellen og hvordan man hæver et tal til en potens...

Jeg føler, at du er i tvivl... Nå, okay, sæt tiden af! Gå!

Løs først denne ligning i dit hoved:

Hvis du kan lide denne side...

Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)

Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lad os lære - med interesse!)

Du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.

(fra græsk λόγος - "ord", "relation" og ἀριθμός - "tal") tal b baseret på -en(log α b) kaldes sådan et nummer c, Og b= en c, dvs. registrerer log α b=c Og b=ac er ækvivalente. Logaritmen giver mening, hvis a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Med andre ord logaritme tal b baseret på EN formuleret som en eksponent, hvortil et tal skal hæves -en for at få nummeret b(logaritme findes kun for positive tal).

Af denne formulering følger, at beregningen x= log α b, svarer til at løse ligningen a x =b.

For eksempel:

log 2 8 = 3 fordi 8 = 2 3 .

Lad os understrege, at den angivne formulering af logaritmen gør det muligt umiddelbart at bestemme logaritmeværdi, når tallet under logaritmetegnet fungerer som en bestemt potens af grundtallet. Formuleringen af ​​logaritmen gør det faktisk muligt at retfærdiggøre, at if b=a c, derefter logaritmen af ​​tallet b baseret på -en lige med Med. Det er også tydeligt, at emnet logaritmer er tæt forbundet med emnet potens af et tal.

Beregning af logaritmen kaldes logaritme. Logaritme er den matematiske operation for at tage en logaritme. Når man tager logaritmer, omdannes produkter af faktorer til summe af led.

Potentiering er den omvendte matematiske operation af logaritmen. Under potensering hæves en given base til den ekspressionsgrad, som potentieringen udføres over. I dette tilfælde omdannes summen af ​​termer til et produkt af faktorer.

Reelle logaritmer bruges ofte med grundtal 2 (binær), Eulers tal e ≈ 2,718 (naturlig logaritme) og 10 (decimal).

På på dette tidspunkt det er tilrådeligt at overveje logaritmeprøver log 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

Og indtastningerne lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 giver ikke mening, da i den første af dem er et negativt tal placeret under logaritmens fortegn, i det andet er der et negativt tal i grundtallet, og i det tredje er der et negativt tal under logaritmetegnet og enhed ved basen.

Betingelser for bestemmelse af logaritmen.

Det er værd at overveje særskilt betingelserne a > 0, a ≠ 1, b > 0. under hvilke vi får definition af logaritme. Lad os overveje, hvorfor disse begrænsninger blev taget. En lighed på formen x = log α vil hjælpe os med dette b, kaldet den grundlæggende logaritmiske identitet, som direkte følger af definitionen af ​​logaritme givet ovenfor.

Lad os tage betingelsen a≠1. Da én i enhver potens er lig med én, så er ligheden x=log α b kan kun eksistere når b=1, men log 1 1 vil være et hvilket som helst reelt tal. For at fjerne denne tvetydighed tager vi a≠1.

Lad os bevise nødvendigheden af ​​betingelsen a>0. På a=0 ifølge formuleringen af ​​logaritmen kan kun eksistere når b=0. Og i overensstemmelse hermed log 0 0 kan være et hvilket som helst reelt tal, der ikke er nul, da nul til enhver potens, der ikke er nul, er nul. Denne tvetydighed kan elimineres af betingelsen a≠0. Og når -en<0 vi ville være nødt til at afvise analysen af ​​rationelle og irrationelle værdier af logaritmen, da en grad med en rationel og irrationel eksponent kun er defineret for ikke-negative baser. Det er derfor, at betingelsen er fastsat a>0.

Og den sidste betingelse b>0 følger af ulighed a>0, da x=log α b, og værdien af ​​graden med et positivt grundlag -en altid positiv.

Funktioner af logaritmer.

Logaritmer præget af særpræg funktioner, hvilket førte til deres udbredte brug for betydeligt at lette omhyggelige beregninger. Når man bevæger sig "ind i logaritmernes verden", omdannes multiplikation til en meget lettere addition, division omdannes til subtraktion, og eksponentiering og rodekstraktion transformeres til henholdsvis multiplikation og division af eksponenten.

Formulering af logaritmer og tabel over deres værdier (for trigonometriske funktioner) blev første gang udgivet i 1614 af den skotske matematiker John Napier. Logaritmiske tabeller, forstørret og detaljeret af andre videnskabsmænd, blev meget brugt i videnskabelige og tekniske beregninger og forblev relevante indtil brugen af ​​elektroniske regnemaskiner og computere.