Det gyldne snit. Guddommelige proportioner

Nuværende side: 11 (i alt har bogen 21 sider) [tilgængelig passage til læsning: 14 sider]

Guddommelige proportioner

Søgen efter vores oprindelse er saften af ​​den søde frugt, der bringer så meget tilfredsstillelse til filosoffers sind.

Luca Pacioli (1445-1517)

Kun nogle få store malere i menneskehedens historie var begavede matematikere. Imidlertid betyder udtrykket "renæssancemenneske" i vores ordforråd en person, der legemliggjorde renæssancens ideal om det bredeste syn og uddannelse. Tre af renæssancens mest berømte kunstnere - italienerne Piero della Francesca (ca. 1412-1492) og Leonardo da Vinci og tyskeren Albrecht Durer - ydede også meget betydelige bidrag til matematikken. Måske er det ikke overraskende, at den matematiske forskning af alle tre var forbundet med det gyldne snit. Den mest aktive matematiker i denne geniale trio af virtuoser var Piero della Francesca. Skrifterne af Antonio Maria Graziani, som var en slægtning til Pieros oldebørn og erhvervede kunstnerens hus, vidner om, at Piero blev født i 1412 i Borgo Sansepolcro i det centrale Italien. Hans far Benedetto var en succesrig garver og skomager. Næsten intet andet vides om Pieros barndom, men der blev for nylig opdaget dokumenter, hvoraf det er indlysende, at han indtil 1431 tilbragte nogen tid som lærling hos kunstneren Antonio D'Anghiari, hvis værker ikke er nået frem til os. I slutningen af ​​1430'erne flyttede Piero til Firenze, hvor han begyndte at samarbejde med kunstneren Domenico Veneziano. I Firenze stiftede den unge kunstner bekendtskab med værker af tidlige renæssancekunstnere - herunder Fra Angelico og Masaccio - og med skulpturer af Donatello. Især stærkt indtryk gav ham den majestætiske sindsro i Fra Angelicos værker om religiøse temaer, og hans egen stil afspejler denne indflydelse i alt, der vedrører chiaroscuro og farver. I de efterfølgende år arbejdede Piero utrætteligt i en række byer - herunder Rimini, Arezzo og Rom. Figurerne af Pierrot var enten kendetegnet ved arkitektonisk stringens og monumentalitet, som i Kristi flagelation (nu er maleriet opbevaret i Nationalgalleriet Marche i Urbino; ris. 45), eller var så at sige en naturlig fortsættelse af baggrunden, som i Baptism (i øjeblikket i National Gallery i London; Fig. 46). Den første kunsthistoriker Giorgio Vasari (1511-1574) skriver i hans Lives of the Most Famous Painters, Sculptors and Architects, at Pierrot viste bemærkelsesværdige matematiske evner fra sin tidlige ungdom, og krediterer ham for at have skrevet "talrige" matematiske afhandlinger. Nogle af dem blev skabt i alderdommen, da kunstneren på grund af svaghed ikke længere kunne male. I et dedikationsbrev til hertug Guidobaldo af Urbino nævner Pierrot en af ​​sine bøger, skrevet "så hans sind ikke bliver stiv af misbrug." Tre værker af Pierrot om matematik er kommet ned til os: " De Prospectiva pingndi"(" Om perspektiv i maleri ")," Libellus de Quinque Corporibus Regularibus"(" The Book of Five Regular Polyhedra ") og" Trattato d’Abaco"("Afhandling om regnskaber").

Ris. 45

Ris. 46

Afhandlingen On Perspective (midten af ​​1470 - 1480) indeholder mange referencer til Euklids principper og optik, eftersom Piero della Francesca besluttede at bevise, at teknikken til at formidle perspektiv i maleriet udelukkende er baseret på det visuelle perspektivs matematiske og fysiske egenskaber. I malerierne af kunstneren selv er perspektivet en rummelig beholder, der er i fuld overensstemmelse med de geometriske egenskaber af figurerne indesluttet i den. Faktisk var selve maleriet for Pierrot primært reduceret til at "vise på et plan kroppe af reduceret eller øget størrelse." Denne tilgang er helt synlig i eksemplet med "Flagellationen" (fig. 45 og 47): dette er et af de få malerier fra renæssancen, hvor perspektivet er bygget og bearbejdet meget omhyggeligt. Som samtidskunstner David Hockney skriver i sin bog Secret Knowledge ( David Hockney... Secret Knowledge, 2001), skriver Pierrot figurer "som han mener, de burde være, og ikke som han ser dem."

I anledning af 500-året for Pieros død udførte forskerne Laura Geatti fra Universitetet i Rom og Luciano Fortunati fra National Research Council i Pisa en detaljeret computerstøttet analyse af Scourging. De digitaliserede hele billedet, bestemte koordinaterne for alle punkter, målte alle afstande og lavede en komplet perspektivanalyse baseret på algebraiske beregninger. Dette gav dem mulighed for præcist at bestemme placeringen af ​​"forsvindingspunktet", hvor alle linjer, der strækker sig til horisonten fra beskueren, skærer hinanden (fig. 47), takket være hvilken Pierrot var i stand til at opnå den "dybde", der gør et så stærkt indtryk .

Ris. 47

Pierrots bog om perspektiv, som er bemærkelsesværdig for sin klarhed i præsentationen, blev standardguiden for kunstnere, der forsøgte at tegne flade figurer og geometriske kroppe, og de dele af den, der ikke var overbelastet med matematik (og mere forståelige) blev en del af de fleste efterfølgende arbejde med perspektiv. Vasari hævder, at Pierrot modtog en solid matematisk uddannelse og derfor "forstod bedre end nogen anden geometer, hvordan man bedst tegnede cirkler i almindelige kroppe, og det var ham, der kastede lys over disse spørgsmål" ( herefter trans. A. Gabrichevsky og A. Benediktov). Et eksempel på, hvor omhyggeligt Pierrot udviklede en metode til at tegne en regulær femkant i perspektiv, er vist i fig. 48.

I både sin Treatise on Abacus og The Book of Five Regular Polyhedra, stiller Pjerrot (og løser) mange problemer, der involverer en femkant og fem platoniske faste stoffer. Den beregner side- og diagonallængder, arealer og volumener. Mange beslutninger er baseret på det gyldne snit, og nogle af Pierrots teknikker vidner om hans opfindsomhed og originalitet i tænkningen.

Ris. 48

Piero skrev ligesom sin forgænger Fibonacci A Treatise on Accounts hovedsageligt for at give sine samtidige aritmetiske "opskrifter" og geometriske regler. I den daværende handelsverden var der ikke noget samlet system af mål og vægte, eller endda aftaler om størrelser og former på beholdere, så evnen til at beregne mængden af ​​figurer var uundværlig. Men hans matematiske nysgerrighed tog Pierrot langt ud over rækkevidden af ​​emner, der var reduceret til hverdagens behov. Derfor finder vi også i hans bøger "ubrugelige" opgaver - for eksempel at beregne længden af ​​en kant på et oktaeder indskrevet i en terning, eller diameteren af ​​fem små cirkler indskrevet i en cirkel med større diameter (fig. 49). For at løse det sidste problem bruges en almindelig femkant og dermed det gyldne snit.

Ris. 49

Pierrots algebraiske forskning var hovedsageligt inkluderet i bogen udgivet af Luca Pacioli (1445-1517) med titlen " Summa de aritmetiske, geometrier, proportioner og proportionaliteter"(" Kroppen af ​​viden i aritmetik, geometri, proportioner og proportioner "). Pierrots værker om polyeder, skrevet på latin, blev oversat til italiensk af den samme Luca Pacioli - og igen inkluderet (nå, eller for at sige det mindre delikat, simpelthen stjålet) i hans berømte bog om det gyldne snit kaldet "Om den guddommelige proportion". " (" Divina proportione»).

Hvem var han, denne selvmodsigende matematiker Luca Pacioli? Den største plagiatør i matematikkens historie - eller er det matematikkens store popularisator?

En ubesunget helt fra renæssancen?

Luca Pacioli blev født i 1445 i den samme toscanske by Borgo Sansepolcro, hvor han blev født og holdt Piero della Francescas værksted. I øvrigt, grunduddannelse Luca fik den i Pierrots værksted. Men i modsætning til andre elever, der viste talent for at male - nogle af dem, for eksempel Pietro Perugino, var bestemt til at blive store malere - viste Luca sig at være mere tilbøjelig til matematik. Piero og Pacioli opretholdt venskabelige forbindelser i fremtiden: et bevis på dette er det faktum, at Piero portrætterede Pacioli i form af Sankt Peter af Verona (Peter Martyren) på "Alteret i Montefeltro". Mens han stadig var en relativt ung mand, flyttede Pacioli til Venedig og blev mentor for de tre sønner af en velhavende købmand der. I Venedig fortsatte han sin matematiske uddannelse under vejledning af matematikeren Domenico Bragadino og skrev den første bog om aritmetik.

I 1470'erne studerede Pacioli teologi og blev udnævnt til en franciskanermunk. Siden da er det blevet kutyme at kalde ham Fra Luca Pacioli. I årene efter rejste han meget og underviste i matematik på universiteter i Perugia, Zadar, Napoli og Rom. Pacioli underviste på det tidspunkt sandsynligvis i nogen tid og Guidobaldo Montefeltro, som i 1482 skulle blive hertug af Urbino. Måske er det bedste portræt af matematikeren et maleri af Jacopo de Barbari (1440-1515), der forestiller Luca Pacioli, der giver en geometrilektion (fig. 50, maleriet er i Capodimonte-museet i Napoli). Til højre på Paciolis bog " Summa"Hviler et af de platoniske faste stoffer - dodekaederet. Pacioli selv i en franciskanerkasse (ligner også et regulært polyeder, hvis man ser godt efter) kopierer en tegning fra den XIII bog af Euklids begyndelse. Et gennemsigtigt polyeder kaldet et rhombocuboctahedron (et af de arkimedeiske faste stoffer, et polyeder med 26 flader, hvoraf 18 er firkanter, og 8 er ligesidede trekanter), hængende i luften og halvt fyldt med vand, symboliserer matematikkens renhed og evighed. Kunstneren lykkedes med fantastisk kunst at formidle lysets brydning og reflektion i et glaspolyeder. Identiteten af ​​Paciolis elev afbildet i dette maleri er blevet genstand for kontrovers. Især antages det, at denne unge mand er hertugen af ​​Guidobaldo selv. Den engelske matematiker Nick McKinnon fremsatte en interessant hypotese i 1993. I sin artikel "Portræt af Fra Luca Pacioli" offentliggjort i " Matematisk Tidende”Og baseret på meget solid forskning konkluderer McKinnon, at dette er et portræt af den store tyske maler Albrecht Durer, som var meget interesseret i både geometri og perspektiv (og vi vender tilbage til hans forhold til Pacioli lidt senere). Faktisk ligner elevens ansigt påfaldende Dürers selvportræt.

Ris. 50

I 1489 vendte Pacioli tilbage til Borgo Sansepolcro og modtog nogle privilegier fra paven selv, men det lokale religiøse etablissement hilste ham med jaloux illvilje. I omkring to år fik han endda forbud mod at undervise. I 1494 tog Pacioli til Venedig for at trykke sin bog " Summa", som han dedikerede til hertug Guidobaldo. " Summa Af natur og omfang (ca. 600 sider) - et virkeligt encyklopædisk værk, hvor Pacioli samlede alt, hvad man på det tidspunkt kendte inden for aritmetik, algebra, geometri og trigonometri. I sin bog tøver Pacioli ikke med at låne problemer om icosahedron og dodecahedron fra Piero della Francescas "Treatise" og andre problemer inden for geometri, såvel som algebra, fra Fibonacci og andre videnskabsmænds værker (selvom han normalt udtrykker sin taknemmelighed overfor forfatteren, alt efter hvad der er relevant). Pacioli indrømmer, at hans hovedkilde er Fibonacci, og siger, at hvor der ikke er referencer til en anden, tilhører værkerne Leonardo af Pisa. Et interessant afsnit " Summa»Er et dobbelt bogføringssystem, en metode, der giver dig mulighed for at spore, hvor pengene kom fra, og hvor de blev af. Dette system blev ikke opfundet af Pacioli selv, han samlede kun teknikkerne fra de venetianske købmænd fra renæssancen, men det menes, at dette er den første bog om regnskab i menneskehedens historie. Og så skete det, at Paciolis ønske om at "tillade forretningsmanden straks at modtage information om hans aktiver og passiver" gav ham kaldenavnet "Regnskabsfader", og i 1994 fejrede revisorer over hele verden fem hundrede års jubilæum " Summa”I Sansepolcro, som denne by nu hedder.

I 1480 blev stedet for hertugen af ​​Milano faktisk taget af Ludovico Sforza. Faktisk var han kun regent for den nuværende hertug, som dengang kun var syv år gammel; denne begivenhed markerede afslutningen på en periode med politiske intriger og attentater. Ludovico besluttede at dekorere sin gårdhave med kunstnere og videnskabsmænd, og i 1482 inviterede Leonardo da Vinci til at slutte sig til "højskolen for hertugingeniører". Leonardo var meget interesseret i geometri, især dens praktiske anvendelse inden for mekanik. Ifølge ham er "Mekanik et paradis blandt de matematiske videnskaber, da det er hende, der giver anledning til matematikkens frugter." Og senere, i 1496, var det højst sandsynligt Leonardo, at hertugen inviterede Pacioli til hoffet som lærer i matematik. Leonardo studerede utvivlsomt geometri hos Pacioli og indpodede ham en kærlighed til maleri.

Mens han var i Milano, afsluttede Pacioli arbejdet med trebinds afhandling om guddommelig proportion, som blev udgivet i Venedig i 1509. Det første bind, " Compendio de Divina Proportione"(" Compendium of Divine Proportion "), indeholder en detaljeret oversigt over alle kvaliteterne af det gyldne snit (Pacioli kalder det "guddommelige proportioner") og en undersøgelse af platoniske faste stoffer og andre polyeder. På første side af "On Divine Proportion" erklærer Pacioli noget arrogant, at dette er "arbejde nødvendigt for alle nysgerrige, klare menneskelige sind, hvor enhver, der elsker at studere filosofi, perspektiv, maleri, skulptur, arkitektur, musik og anden matematisk discipliner vil finde en meget subtil, elegant og charmerende undervisning og vil nyde forskellige spørgsmål, der påvirker alle de hemmelige videnskaber."

Det første bind af afhandlingen "Om guddommelig proportion" blev dedikeret af Pacioli til Ludovico Sforza, og i det femte kapitel opregner han fem grunde til, at det gyldne snit efter hans mening bør kaldes intet mindre end guddommelig proportion.

1. "Hun er én, én og altfavnende." Pacioli sammenligner det unikke ved det gyldne snit med det faktum, at "En" er "Herren selvs øverste tilnavn."

2. Pacioli ser en lighed mellem det faktum, at definitionen af ​​det gyldne snit omfatter præcis tre længder (AC, CB og AB i fig. 24), og eksistensen af ​​den hellige treenighed - Fader, Søn og Helligånd.

3. For Pacioli er Guds uforståelighed og det faktum, at det gyldne snit er et irrationelt tal ækvivalente. Sådan skriver han: ”Ligesom Herren ikke kan defineres ordentligt, og det er umuligt at forstå ham gennem ord, således kan vores andel ikke formidles i forståelige tal og udtrykkes i form af nogen rationel mængde, det vil for altid forblive en hemmelighed, skjult for alle, og matematikere kalder det irrationelt."

4. Pacioli sammenligner Guds allestedsnærværelse og uforanderlighed med selvlighed, som er forbundet med det gyldne snit: dets værdi er altid uændret og afhænger ikke af længden af ​​segmentet, som er opdelt i det passende forhold, eller på størrelsen af ​​den regulære femkant, hvori længdeforholdene er beregnet.

5. Den femte grund viser, at Pacioli havde et endnu mere platonisk syn på væren end Platon selv. Pacioli hævder, at ligesom Herren gav liv til universet gennem kvintessensen, som afspejles i dodekaederet, så gav det gyldne snit liv til dodekaederet, da det er umuligt at bygge et dodekaeder uden det gyldne snit. Pacioli tilføjer, at det er umuligt at sammenligne resten af ​​de platoniske faste stoffer (symboler på vand, jord, ild og luft) med hinanden uden at stole på det gyldne snit.

I selve bogen taler Pacioli konstant om det gyldne snits kvaliteter. Han analyserer konsekvent 13 såkaldte "effekter" af "guddommelige proportioner" og tildeler hver af disse "effekter" betegnelser som "umistelig", "unik", "vidunderlig", "højest" osv. For eksempel denne "effekt". ”, at de gyldne rektangler kan indskrives i icosahedron (fig. 22), kalder han "uforståeligt". Han dvæler ved 13 "virkninger" og konkluderer, at "denne liste skulle fuldendes til sjælens frelse", eftersom det var 13 personer, der sad til bords under den sidste nadver.

Der er ingen tvivl om, at Pacioli var meget interesseret i at male, og formålet med at skabe en afhandling "On Divine Proportion" var dels at finpudse matematisk grundlag finere kunst... På bogens første side udtrykker Pacioli sit ønske om at afsløre for kunstnerne "hemmeligheden" af harmoniske former gennem det gyldne snit. For at sikre attraktiviteten af ​​sit værk fik Pacioli den bedste illustrator, nogen forfatter kunne drømme om: Leonardo da Vinci forsynede selv bogen med 60 tegninger af polyedre, både i form af "skeletter" (fig. 51) og i formen af ​​faste legemer (fig. 51). 52). Der var ikke behov for taknemmelighed - Pacioli skrev om Leonardo og hans bidrag til bogen som følger: "Den bedste maler og mester i perspektiv, den bedste arkitekt, musiker, en mand udstyret med alle mulige dyder - Leonardo da Vinci, der opfandt og udførte en cyklus af skematiske repræsentationer af regulære geometriske legemer". Teksten i sig selv når ganske vist ikke de erklærede høje mål. Selvom bogen begynder med opsigtsvækkende tirader, er det følgende et ret almindeligt sæt matematiske formler, tilfældigt udvandet med filosofiske definitioner.

Ris. 51

Ris. 52

Den anden bog i afhandlingen "On Divine Proportion" er afsat til indflydelsen fra det gyldne afsnit på arkitektur og dens manifestationer i strukturen af ​​den menneskelige krop. Grundlæggende er Paciolis afhandling baseret på den romerske arkitekt Marcus Vitruvius Pollios arbejde (ca. 70–25 f.Kr.). Vitruvius skrev:

Menneskekroppens midtpunkt er naturligvis navlen. Når alt kommer til alt, hvis en person ligger tilbøjelig på ryggen og spreder sine arme og ben og lægger et kompas på sin navle, vil hans fingre og tæer røre den omskrevne cirkel. Og ligesom en persons krop passer ind i en cirkel, så kan du få en firkant fra den. Når alt kommer til alt, hvis vi måler afstanden fra sålerne til kronen og derefter anvender dette mål på strakte arme, så viser det sig, at bredden af ​​figuren er nøjagtigt lig med højden, som i tilfældet med flade overflader, der har formen af ​​en perfekt firkant.

Renæssanceforskere anså denne passage for at være endnu et bevis på sammenhængen mellem skønhedens naturlige og geometriske grundlag, og dette førte til skabelsen af ​​konceptet om den vitruvianske mand, som Leonardo så smukt portrætterede (fig. 53, i øjeblikket opbevares tegningen). i Accademia Gallery i Venedig). Ligeledes begynder Paciolis bog med en diskussion af den menneskelige krops proportioner, "da proportioner af enhver art kan findes i den menneskelige krop, åbenbaret af den Almægtiges vilje gennem naturens inderste hemmeligheder."

Ris. 53

I litteraturen kan man ofte finde udsagn om, at Pacioli angiveligt mente, at det gyldne snit bestemmer proportionerne af alle kunstværker, men i virkeligheden er det slet ikke tilfældet. Når man taler om proportioner og ydre struktur, refererer Pacioli hovedsageligt til det Vitruvianske system baseret på simple (rationelle) brøker. Forfatteren Roger Hertz-Fischler sporede den udbredte misforståelse, at det gyldne snit var proportionernes kanon for Pacioli: det går tilbage til en falsk udsagn i 1799-udgaven af ​​History of Mathematics af de franske matematikere Jean Etienne Montucle og Jerome de Laland ( Jean Etienne Montucla, Jérôme de Lalande... Histoire de Mathématiques).

Tredje bind af afhandlingen "Om guddommelig proportion" (en kort bog i tre dele om fem regulære geometriske legemer), er i det væsentlige en bogstavelig oversættelse til italiensk af "Fem regulære polyedre" af Piero della Francesca, skrevet på latin. Den kendsgerning, at Pacioli aldrig nævner, at han kun er oversætter af bogen, har forårsaget den brændende fordømmelse af kunsthistorikeren Giorgio Vasari. Vasari skriver om Piero della Francesca:

Æret som en sjælden mester i at overvinde vanskelighederne ved regulære legemer, såvel som aritmetik og geometri, nåede han, i alderdommen ramt af kropslig blindhed og derefter døden, ikke at udgive sine tapre værker og talrige bøger skrevet af ham, som er stadig holdt i Borgo i sit hjemland. Den, der med al sin magt måtte forsøge at øge sin berømmelse og berømmelse, for han lærte alt, hvad han vidste af ham, forsøgte som en skurk og en ugudelig at ødelægge navnet på Pjerrot, hans mentor, og at gribe hæderen. der skulle have tilhørt Pjerrot alene, frigive under til deres eget navn, nemlig broder Luca fra Borgo [Pacioli], alle værker af denne ærværdige gamle mand, som foruden ovennævnte videnskaber var en fremragende maler. ( Om. M. Globacheva)

Så kan Pacioli betragtes som en plagiat? Det er højst sandsynligt, selvom i " Summa"Han hylder stadig Pjerrot og kalder ham" monarken i vor tids maleri "og en mand, der" er bekendt for læseren fra talrige værker om malerkunsten og linjens styrke i perspektiv."

R. Emmett Taylor (1889-1956) udgav i 1942 en bog med titlen "There is no royal way. Luca Pacioli og hans tid "( R. Emmett Taylor... No Royal Road: Luca Pacioli and His Times). I denne bog behandler Taylor Pacioli med stor sympati og forsvarer det synspunkt, at Pacioli, baseret på stil, sandsynligvis ikke har noget at gøre med tredje bind af afhandlingen Om guddommelig proportion, og dette værk tilskrives kun ham.

Om det er sådan eller ej er uvist, men det er sikkert, at hvis det ikke var for trykt værker af Pacioli, ideer og matematiske konstruktioner af Pierrot, som ikke blev offentliggjort i trykt form sandsynligvis ikke ville have opnået den berømmelse, som de modtog som et resultat. Før Paciolis tid var det gyldne snit desuden kendt under skræmmende navne som "ekstremt og gennemsnitligt forhold" eller "forhold med et gennemsnit og to yderpunkter", og selve dette koncept var kun kendt af matematikere.

Udgivelsen af ​​"On Divine Proportion" i 1509 udløste et nyt udbrud af interesse for emnet det gyldne snit. Nu blev konceptet betragtet, som man siger, med et frisk blik: Da der er udgivet en bog om det, betyder det, at det er værd at respektere. Selve navnet på det gyldne snit var udstyret med en teologisk og filosofisk betydning ( guddommelige proportion), og dette gjorde også det gyldne snit ikke bare til et matematisk spørgsmål, men et emne, som intellektuelle af enhver art kunne fordybe sig i, og denne mangfoldighed blev kun udvidet med tiden. Endelig, med fremkomsten af ​​Paciolis arbejde, begyndte kunstnere at studere det gyldne snit, da det nu ikke kun blev talt om det i ærligt matematiske afhandlinger - Pacioli talte om ham på en sådan måde, at dette koncept kunne bruges.

Tegninger af Leonardo til afhandlingen "On Divine Proportion", tegnet (med Paciolis ord) "med hans ubeskrivelige venstre hånd", havde også en vis indflydelse på læserskaren. Sandsynligvis var disse de første billeder af polyeder i en skematisk skeletform, som gjorde det nemt at forestille sig dem fra alle sider. Det er muligt, at Leonardo tegnede polyeder fra træmodeller, da dokumenterne fra koncilet i Firenze indeholder optegnelser om, at byen erhvervede et sæt Pacioli-træmodeller for at vise dem, så alle kan se. Leonardo tegnede ikke kun diagrammer til Paciolis bog, vi ser skitser af alle slags polyedre overalt i hans noter. Et sted giver Leonardo en omtrentlig metode til at konstruere en regulær femkant. Sammensmeltningen af ​​matematik med billedkunst når sit højdepunkt i " Trattato della pittura"("A Treatise on Painting"), som blev udarbejdet af Francesco Melzi, som arvede Leonardos manuskripter, baseret på hans noter. Afhandlingen begynder med en advarsel: "Den, der ikke er matematiker, må ikke læse mine værker!" - sådan et udsagn kan man næppe finde i moderne lærebøger om billedkunst!

Tegninger af geometriske kroppe fra afhandlingen "On Divine Proportion" inspirerede også Fra Giovanni da Verona til at skabe værker inden for teknologi intarsia... Intarsia er en speciel type træindlæg på træ, skabelsen af ​​komplekse flade mosaikker. Omkring 1520 skabte Fra Giovanni indlagte paneler, der forestillede et icosahedron, og han brugte næsten helt sikkert Leonardos skematiske tegninger som model.

Leonardos og Paciolis veje krydsede flere gange efter afslutningen af ​​afhandlingen om guddommelig proportion. I oktober 1499 flygtede begge fra Milano, da det blev erobret af den franske hær af kong Ludvig XII. Derefter opholdt de sig kortvarigt i Mantua og Venedig og bosatte sig et stykke tid i Firenze. I den periode, hvor de var venner, skabte Pacioli yderligere to værker om matematik, der gjorde hans navn berømt - en latinsk oversættelse af Euklids elementer og en bog om matematisk underholdning, som forblev uudgivet. Paciolis oversættelse af elementerne var en kommenteret version baseret på en tidligere oversættelse af Giovanni Campano (1220-1296), som blev trykt i Venedig i 1482 (dette var den første trykt udgave). Opnå udgivelsen af ​​en samling af underholdende problemer i matematik og ordsprog " De Viribus Quantitatis"(" On the Abilities of Numbers ") Pacioli var aldrig i stand til at gøre det i løbet af sin levetid - han døde i 1517. Dette arbejde var frugten af ​​samarbejdet mellem Pacioli og Leonardo, og Leonardos egne noter indeholder en del opgaver fra afhandlingen “ De Viribus Quantitatis».

Naturligvis var det ikke den videnskabelige tankes originalitet, der forherligede Fra Luca Pacioli, men hans indflydelse på matematikkens udvikling i almindelighed og på historien om det gyldne snit i særdeleshed, og disse fortjenester kan ikke benægtes.

Afskrift

1 Luca Pacioli og hans afhandling "On the Divine Proportion" af AI SHCHETNIKOV Biografisk skitse af LUCA PACIOLI (LUCA PACIOLI eller PACIOLLO) blev født i 1445 i en fattig familie BAR TOLOMEO PACHOLI i den lille by Borgo San Sepolcro, der ligger ved bredden af Tiberen på grænsen til Toscana og Umbrien, og derefter tilhørende den florentinske republik. Som teenager blev han sendt for at studere på et værksted kendt kunstner PIERO DELLA FRANCESCA (ok), som boede i samme by. At studere på værkstedet gjorde ham ikke til kunstner, men det gjorde det. fremragende smag, og vigtigst af alt, her blev han først involveret i matematik, hvilket dybt interesserede hans lærer. Sammen med sin lærer besøgte LUKA ofte retten hos FEDERICO DE MONTEFELTRO, hertug af Urbino. Her blev han bemærket af den store italienske arkitekt LEON BATISTA ALBERTI (), som i 1464 anbefalede den unge mand til den velhavende venetianske købmand AN-TONIO DE ROMPIANZI som huslærer. I Venedig underviste LUKA sønnerne af sin protektor og studerede sig selv og deltog i forelæsninger af den berømte matematiker DOMENICO BRAGADINO på Rialto-skolen. I 1470 kompilerede han sin første bog, en lærebog i kommerciel aritmetik. Samme år forlod han Venedig og flyttede til Rom, hvor han blev modtaget af ALBERTI og slog sig ned i sit hus. Men to år senere forlod PACHOLI Rom og aflagde klosterløfter og blev franciskaner. Efter at have taget tonsuren bor broderen LUKA i nogen tid hjemme i San Sepolcro. Fra 1477 til 1480 underviste han i matematik ved universitetet i Perugia. Derefter boede han i otte år i Zara (nu Zadar i Kroatien), hvor han studerede teologi og matematik, nogle gange foretog han ture til andre byer i Italien for ordenens skyld. I løbet af disse år begyndte PACHOLI at skrive hovedværk hans liv en encyklopædisk sum af aritmetik, geometri, relationer og proportioner. I 1487 blev han igen inviteret til at indtage stolen i Perugia. I de efterfølgende år bor han i Rom, Napoli, Padua. PIERO DELLA FRANCESCA dør den 12. oktober 1492. Året efter blev PA CHOLIs arbejde med Summen endelig afsluttet. Med dette manuskript ankommer han til Venedig, hvor i november 1494 denne bog, dedikeret til den unge GUIDO UBALDO DE MONTEFELTRO (), som blev hertug af Urbino i 1482 efter sin fars død, blev udgivet. Det er bemærkelsesværdigt, at bogen ikke blev skrevet på den sædvanlige latin for lærde, men på italiensk. Nogle forfattere kan læse, at LUKA skrev sine afhandlinger på italiensk, fordi han ikke fik den passende uddannelse og ikke talte latin perfekt. Han var dog en magister i teologi, og latin var det eneste sprog i teologiske afhandlinger; han underviste i matematik ved forskellige universiteter, og der blev alle fag læst på latin; og han oversatte også hele det euklidiske fra latin til italiensk (selvom denne oversættelse aldrig blev udgivet). Derfor, selvom han ikke talte humanistisk latin, var skolelatin hans daglige sprog. Derfor var grunden til, at han foretrak italiensk frem for latin, en anden

2 LUCA AF PACCOLI OG DETS BEHANDLING "PÅ GUDDOMMELIG FORHOLD" 2 g. Her er hvad LUKA selv siger om det i dedikationen til Sum (skrevet på både italiensk og latin): Den korrekte forståelse af vanskelige udtryk blandt latinister er ophørt på grund af, at gode lærere er blevet sjældne. Og selv om for Deres Hertugelige Højhed stilen Cicero eller endnu højere ville være bedre egnet, tror jeg dog, at ikke alle vil kunne bruge denne kilde til veltalenhed. Så, med hensyn til det generelle udbytte af dine respektfulde fag, besluttede jeg at skrive mit essay på det lokale sprog, så både uddannede og ikke-uddannede kan nyde disse sysler. I indledningen til Sum taler PACHOLI om de mennesker, med hvem han blev overbevist om, at matematik betragter "en universel lov, der gælder for alle ting." Han taler om astronomi, om den videnskabelige tilgang til arkitektur, der er inkorporeret i VITRUVIA og ALBERTIs værker, om de talrige malere, der udviklede perspektivkunsten, "som, hvis man ser godt efter, ville være et tomt sted uden brug af matematiske beregninger ," blandt hvilke skiller sig ud "vor tids konge i maleriet "PIERO DELLA FRANCESCA, om vidunderlige billedhuggere. Disse er mestrene "der ved hjælp af beregninger i deres værker ved hjælp af et niveau og et kompas bragte dem til ekstraordinær perfektion." PACHOLI taler også om matematikkens betydning for musik, for kosmografi, for handel, for mekanisk kunst, for militære anliggender. Summen af ​​aritmetik, geometri, relationer og proportioner er et omfattende encyklopædisk værk, trykt på 300 folioblade. Den første del, 224 ark, er afsat til aritmetik og algebra, den anden, 76 ark geometri. Nummereringen af ​​ark i begge dele starter forfra. Hver del er opdelt i afsnit, afsnit i afhandlinger, afhandlinger i kapitler. Den aritmetiske del af summen beskriver teknikkerne til at udføre aritmetiske operationer; denne del trækker på adskillige Abacus-bøger af forskellige forfattere. Algebraiske problemer løst i Summa går ikke ud over rækken af ​​problemer for lineære og kvadratiske ligninger, som betragtes i arabiske afhandlinger om "algebra og almukabala"; i Europa var disse opgaver kendt fra Abacus LEONARDOs Bog fra PISAN (). Af de problemer, der tiltrak sig opmærksomhed fra matematikere fra efterfølgende generationer, skal det bemærkes problemet med at dele indsatsen med et ufærdigt spil, som LUKA selv løste forkert. Den måske vigtigste nyskabelse ved PACHOLI er den systematiske brug af synkoperet algebraisk notation, en slags forgænger for den efterfølgende symbolske regning. Bogen indeholder en tabel over mønter, vægte og mål taget i forskellige dele af Italien, samt en guide til venetiansk dobbelt bogholderi. Hvad angår den geometriske del af summen, følger den den praktiske geometri af LEONARDO i PISAN. I første halvdel af 90'erne bor PACHOLI i Urbino. Det er til denne epoke, at maleriet af JACOPO DE BARBARI hører hjemme, hvor PACHOLI er afbildet ledsaget af en ukendt ung mand. Forskellige hypoteser blev fremsat om denne unge mands personlighed. Det mest plausible synes at være antagelsen om, at dette er hertugen GUIDO UBALDO, skytshelgen for PACHOLI.

3 LØG AF PACCIOLI OG DETS TRAKT "ON DIVINE PROPORTION" 3 Fig. 1. Portræt af LUKA PACCOLI og en ukendt ung mand. Maleri af JACOPO DE BARBARI (Napoli, Nationalmuseet) I 1496 blev lærestolen for matematik oprettet i Milano, og PACHOLI tilbød at tage den. Her læser han pædagogiske foredrag for studerende og offentlige foredrag for alle. Her, ved hertug LODOVIKO MORO SFORZA's hof (), nærmer han sig LEONARDO DA VINCI. I LEONARDOs notesbøger er der optegnelser: "Lær hvordan man formerer rødder fra maestro LUKA", "bed din bror fra Borgo om at vise dig en bog om skæl." PACCOLI udførte vægtberegninger for LEONARDO på det gigantiske ridemonument FRANCHESO SFORZA. I Milano skrev PACHOLI en meddelelse af guddommelig proportion adresseret til hertugen af ​​LODOVICO SFORZA, og LEONARDO lavede illustrationer til den. Afhandlingen blev afsluttet den 14. december 1498. Adskillige håndskrevne kopier af afhandlingen, overdraget til kejserlige personer, var ledsaget af et sæt regulære polyedre og andre geometriske kroppe, om hvilke broder LUKA siger, at han lavede dem med sin egen hånd. (Han skrev om modellerne af regulære polyeder i Summa.) To manuskripter af denne afhandling, en i Offentligt bibliotek i Genève, den anden i Ambrosian Library i Milano. I 1499 besatte den franske hær Milano og hertugen af ​​SFORZA flygtede; LEONARDO og LUKA forlod snart byen. I de efterfølgende år holder LUKA PACCOLI foredrag i Pisa (1500), Perugia (1500), Bologna () og Firenze (). I Firenze er han patroniseret af PIETRO SODERINI, republikkens livslange gonfalonier. Det er dog ikke alle PACHOLIS værker, der udgives, og derfor rejser han igen til Venedig. Her udgiver han i 1508 den latinske oversættelse af Euklides af Giovanni Campano af Novara. Denne oversættelse, lavet tilbage i 1259 med arabisk, udkom allerede i 1482 og blev derefter genoptrykt flere gange, men udgaven var fyldt med tastefejl og fejl. PACHOLI redigerede oversættelsen; på denne udgave, forsynet med talrige kommentarer, læste han sine universitetsforelæsninger. Publikationen viste sig dog at være uanmeldt, da BARTOLOMEO DZAMBERTI i 1505 udgav ny oversættelse Begyndelse lavet direkte fra den græske original. I 1509 blev en anden bog af PACHOLI udgivet i Venedig: Divina proportione. Opera a tutti glingegni perspicaci e curiosi necessaria. Ove ciascun studioso di Philosophia, Prospectiva,

4 LUCA PACCIOLI OG HANS TRAKT "ON DIVINE PROPORTION" 4 Pictura, Sculptura, Architectura, Musica e altre Mathematice suavissima sottile ed admirabile doctrina consequira e delectarassi con varie questione de secretissima meget indsigtsfuldt perspektiv af enhver elev, filosofi, filosofi. , maleri, skulptur, arkitektur, musik eller andre matematiske fag vil uddrage den mest behagelige, vittige og fantastiske undervisning og underholde sig selv med forskellige spørgsmål om den inderste videnskab ”). Denne trykte udgave indeholder en række tekster. Forud for udgivelsen er der en appel til den florentinske Gonfalonier Pietro Soderini. Den første del (33 blade) indeholder et budskab om guddommelig proportion samt en afhandling om arkitektur, om proportionerne af den menneskelige krop og om princippet om at konstruere bogstaver i det latinske alfabet. Den efterfølges af Bogen i tre separate afhandlinger om regulære kroppe (27 ark), hvoraf den første afhandling undersøger flade figurer, den anden regulære kroppe indskrevet i en kugle, den tredje regulære kroppe indskrevet i hinanden. Dernæst er grafiske tabeller trykt på den ene side af arket: proportionerne af et menneskeligt ansigt (1 ark), princippet om at konstruere bogstaver i det latinske alfabet (23 ark), billeder af arkitektoniske elementer (3 ark), baseret på LEONARDOs tegninger , billeder af regelmæssige og andre kroppe (58 ark), og endelig "træet af proportioner og proportioner", som PACHOLI allerede har givet i Summen (1 ark). I budskabet om den guddommelige proportion siger LUCA PACCOLI, at som en gammel mand er det tid for ham at trække sig tilbage for at "tælle årene på et solrigt sted". Denne anmodning blev hørt, og i 1508 blev han locum tenens for klostret i sit hjemland San Sepolcro. Men i december 1509 afleverede to munke fra hans kloster et brev til generalen for ordenen, hvori de påpegede, at "maestro LUKA ikke er den rette person til at bestemme over andre", og bad om at blive fritaget for sine administrative pligter. . Men de fandt ikke støtte fra myndighederne, og i februar 1510 blev LUKA PACHOLI fuldgyldig prior for sit hjemlige kloster. Striden inden for klostret fortsatte dog yderligere. I de sidste år af sit liv fortsatte broder LUKA med at holde foredrag nogle gange; han blev inviteret til Perugia i 1510 og til Rom i 1514, med den sidste invitation fra den nye pave LION X. LUKA PACHOLI døde i en alder af 72, den 19. juni 1517 i Firenze. Oversigt over meddelelsen "Om den guddommelige proportion" I meddelelsen fra LUKA PACCOLI Om den guddommelige proportion er følgende indholdsmæssige dele fremhævet: Introduktion (kap. fjorten). Guddommelige egenskaber, definition og matematiske egenskaber af den andel, der opstår, når værdien divideres i gennemsnits- og ekstremforholdet (kap. 5 23). Om de korrekte kroppe, hvorfor der ikke kan være mere end fem af dem, og hvordan hver af dem passer ind i sfæren (kap.). Om hvordan de korrekte kroppe passer ind i hinanden (kap.). Hvordan en sfære passer ind i hver af disse legemer (kap. 47). Om hvordan afkortede og påbyggede fås fra almindelige kroppe (kap.). Om andre legemer indskrevet i en kugle (kap.). Kugle (kap.). Om søjler og pyramider (ch). Om de præsenterede kroppes materielle former og deres perspektiviske billeder (kap. 70). Ordliste (kap. 71).

5 LUCA PACCIOLI OG DENS traktat "ON DIVINE PROPORTION" 5 Ved "guddommelig proportion" forstår PACHOLI en kontinuerlig geometrisk andel af tre størrelser, som Euklides kalder "deling i mellem- og ekstremforhold", og i det 19. århundrede begyndte man at kalde det. det "gyldne snit". Ved at definere denne andel og beskrive dens egenskaber følger PACHOLI Euclid. Denne andel opstår, når helheden er opdelt i to dele, når helheden refererer til den større del som mest af tilhører de mindre. I sproget om areallighed er det samme forhold givet som følger: kvadratet er for det meste lig med et rektangel, hvis sider er hele og den mindre del. Broder LUKA underbygger den særlige værdi og vægt på forholdet mellem "guddommelige proportioner" blandt andre forhold med argumenter af metafysisk og teologisk karakter. Det unikke og uforanderlige af denne andel sammenlignes med det unikke og uforanderlige af Gud, dets tre medlemmer med tre hypostaser af den hellige treenighed, irrationaliteten i forholdet til Guds uforståelighed og uudsigelighed. Men ud over disse argumenter er der endnu et: procedurerne for at konstruere en regulær flad femkant og et kropsligt dodecahedron og icosahedron er forbundet med denne andel. Men PLATO i Timaeus betragtede fem regulære kroppe som de fem elementer, der udgør universet. Således kombinerer PACHOLIS metafysiske konstruktioner motiverne fra den kristne teologi og Platons kosmologi. Yderligere opstiller LUKE de forskellige egenskaber af "guddommelige proportioner", kendt fra XIII og XIV bøgerne af Principles of Euclides. I alt betragter han tretten sådanne ejendomme, der forbinder dette antal med antallet af deltagere i den sidste nadver. Her er et eksempel på en af ​​disse egenskaber: "Lad en ret linje opdeles i forhold med en midterste og to kanter, så hvis du tilføjer halvdelen af ​​hele den proportionelt opdelte linje til den største del, så vil det nødvendigvis vise sig, at kvadratet af summen vil altid være fem gange, det vil sige 5 gange større end kvadratet af den angivne halvdel." Han ledsager alle disse egenskaber med det samme numeriske eksempel, når længden af ​​hele segmentet er 10, og dets dele er: mindre, og stort eksempel med algebraisk division 10 i det midterste og ekstreme forhold blev lånt af LUKOY PACHOLI fra LEONARDO i PISAN (), og sidstnævnte fra ABU KAMILA () og AL-KHOREZMI (). Beregningen af ​​rødderne af den tilsvarende andengradsligning det er ikke fremstillet i afhandlingen: her henviser LUKA til hans egen Sum, hvor dette resultat er opnået "ifølge reglerne for algebra og almukabala." Og generelt forudbestemmer genren for det budskab, han har valgt, det faktum, at PACHOLI giver alle resultaterne uden bevis, selvom han utvivlsomt er klar over disse beviser. Efter dette undersøger PACHOLI de fem platoniske faste stoffer. Først beviser han teoremet om, at der er præcis fem af disse kroppe, og ikke flere. Derefter giver han konstruktionerne af alle fem kroppe indskrevet i denne sfære i følgende rækkefølge: tetrahedron, terning, oktaeder, icosahedron, dodecahedron. Yderligere overvejes forholdet mellem siderne af disse legemer, der er indskrevet i den samme kugle, og der gives en række sætninger om forholdet mellem deres overflader. Derefter diskuteres nogle af de måder, hvorpå en korrekt krop kan passe ind i en anden. Til sidst diskuteres en sætning om, at en kugle også kan indskrives i enhver regulær krop. Nu forlader PACHOLI Euclid for et stykke tid og går videre til nyt materiale. Han betragter nemlig kroppe, der kan fås fra almindelige kroppe ved "trunkering" eller "overbygning". De kroppe, der opnås fra de korrekte kroppe ved trunkering, er

6 LUCA PACCOLI OG DENS SKATTER "PÅ GUDDELIGE FORHOLD" 6 er nogle af de semi-regulære kroppe af ARCHIMEDES. Der er i alt tretten semi-regulære kroppe, hvilket blev bevist af ARCHIMEDES. Men PACHOLI var ikke bekendt med PAPPs undersøgelse af dette arbejde af ARCHIMEDES. Af de tretten semiregulære kroppe betragter han seks: et afkortet tetraeder, et cuboctahedron, et trunkeret oktaeder, et trunkeret icosahedron, et icosidodecahedron og et trunkeret rhombicuboctahedron. Af en eller anden ukendt årsag savnede han to lig, en afkortet terning og et afkortet dodekaeder, selvom deres konstruktion ligner konstruktionen af ​​et afkortet tetraeder, terning og icosahedron. Hvad angår det afkortede rhombicuboctahedron ("krop med 26 baser"), opdagede PACHOLI det tilsyneladende selv og var meget stolt af denne opdagelse: det er denne krop, lavet af gennemsigtige glasplader og halvt fyldt med vand, afbildet i den øverste venstre del af JACOPO-maleriet DE BARBARI. De påbyggede regulære og opbyggede afkortede legemer i PACHOLI er ikke de samme som de stjerneformede KEPLER-polyedre, som blev undersøgt i efterfølgende matematik. Kepler-legemer opnås ved at udvide de oprindelige polyedres planer; af PACHOLIS krop ved at konstruere en pyramide på hver side af det oprindelige polyeder, hvis sider er ligesidede trekanter. PACHOLI giver en interessant sætning om, at i det opbyggede icosidodecahedron ligger de fem hjørner af de trekantede pyramider og toppunktet af den femkantede pyramide i samme plan; det udeladte bevis "er hævet til et sjældent mærke ved den mest subtile praksis med algebra og almukabala." Yderligere betragtes "legemet med 72 baser", som Euklides brugte som et hjælpestof i de sidste to sætninger i den XII Principbog; denne krop i litteraturen kaldes undertiden "CAMPANOs sfære" (fig. 2). PACHOLI hævder, at formen af ​​denne krop tjente som det geometriske grundlag for Pantheonets kuppel i Rom og for hvælvingerne i en række andre bygninger. Ris. 2. Fig. 3. En af tegningerne af Leonardo da Vinci. Indgravering fra den trykte udgave af afhandlingen. Efter dette siger PACHOLI, at et uendeligt antal mangefacetterede former kan opnås ved trunkering og overbygning, og fortsætter med at overveje sfæren, igen og berører indskrivningen af ​​regulære kroppe i den.

7 LUCA PACCIOLI OG DENS BEHANDLING "PÅ GUDDELIGE PROPORTIONER" 7 Den sidste del af budskabet Om guddommelig proportion bringer os tilbage til euklidisk. Her betragtes polyedriske prismer og en cylinder, derefter polyedriske pyramider og en kegle, så afkortede pyramider... Pacioli giver regler for beregning af volumen af ​​alle disse kroppe, og angiver overalt, hvilke af disse regler der er omtrentlige, og hvilke der er nøjagtige. PACHOLI skriver videre, at de håndskrevne kopier af afhandlingen, der er udleveret til hertugen og hans slægtninge, er ledsaget af tabeller med perspektivtegninger lavet af LEONARDO DA VINCI, samt de "materielle former" af alle de deri nævnte kroppe. Mønstrene og formerne af polyhedroner blev lavet i to versioner: solid, med solide flade kanter og hule, med kun én kant. Om LEONARDO udførte sine tegninger udelukkende ved beregning eller ud fra naturen, ved vi ikke. Nogle af tegningerne er lavet med en fejl, der kan ses af øjet, men det kan forklares med både unøjagtighed i beregninger og en ændring i det punkt, hvorfra den afbildede krop blev set. Beskeden afsluttes med en ordbog, som endnu en gang forklarer de særlige udtryk, der bruges i teksten. Det gyldne snit i den "gamle" og i den "nye" æstetik Talrige populære og specielle bøger og artikler om problemet med proportioner i kunst betragter det gyldne snit som det "mest perfekte" forhold, og denne perfektion fortolkes i disse bøger hovedsageligt psykologisk: et rektangel med parternes "gyldne" holdning anses for at være den mest behagelige for den visuelle opfattelse osv. I disse publikationer er det sædvanligt at overveje en række forskellige kunstværker og arkitektoniske monumenter skabt af antikkens mestre og renæssancen, som eksempler, der bekræfter denne tese. Det skal bemærkes, at ikke en eneste tekst er kommet ned til os fra antikken, hvor værdiopdelingen i gennemsnits- og ekstremforholdet ville blive diskuteret som en formativ begyndelse i finere kunst og arkitektur. Det ser ud til, at sådanne tekster slet ikke eksisterede. Til sammenligning kan vi betragte den såkaldte musikalske proportion 12: 9 = 8: 6, som sætter strukturen for musikalsk harmoni. Denne andel, opdaget af pythagoræerne, er nævnt i snesevis af gamle tekster, der er viet til teorien om musik, både specielle og generelle filosofiske. Det ville være mærkeligt, hvis det gyldne snit spillede en lignende rolle i arkitektur, skulptur og maleri, og de gamle forfattere havde ikke et eneste bevis på dette. Alle antikke tekster, der diskuterer størrelsesfordelingen i middel- og ekstremforhold, er rent matematiske afhandlinger, hvor denne konstruktion udelukkende betragtes i forbindelse med konstruktionen af ​​en regulær femkant, samt to regulære platoniske faste stoffer i icosahedron og dodecahedron (f. en gennemgang af disse tekster, se HERZ-FISHLER 1998). Det er rigtigt, at interessen for regulære kroppe, og dermed for det gyldne snit, ikke var rent matematisk: PLATO begyndte trods alt, efter pythagoræerne, at betragte fem regulære kroppe som universets elementære grundlag, hvilket satte tetraederet i korrespondance. med ild, jordens terning, oktaederet med luft, icosahedron er vand, og han forbandt formen af ​​dodekaederet med universet som helhed. I den forbindelse kan vi naturligvis tale om det gyldne snits æstetiske betydning, ligesom AF LOSEV gjorde i sine værker; men denne "æstetik" i sig selv er på ingen måde psykologisk, men kosmologisk.

8 LUCA PACCIOLI OG DENS TAKTAT OM GUDDOMMELIG FORHOLD det vigtigste monument denne matematisk-spekulative retning. LUKE roser "guddommelige proportioner" i de indledende kapitler af sin afhandling og kalder dets egenskaber "ikke naturlige, men virkelig guddommelige." Imidlertid forbliver hans syn på betydningen af ​​dette forhold knyttet til kosmologien i Platons Timæus, og den "største harmoni", som han taler om, er harmonien i kosmos, og intet andet. Og selvom PACHOLI vedhæftede en afhandling om arkitektur og den menneskelige krops proportioner til budskabet Om guddommelig proportion, sagde han ikke et eneste ord om det gyldne snit i denne afhandling. Derfor havde han ikke noget andet syn på det gyldne snit, bortset fra det matematiske og kosmologiske, og tanken om, at det gyldne snit kunne fungere som den grundlæggende andel af værker inden for arkitektur og maleri faldt ham simpelthen ikke ind. Nøjagtig de samme synspunkter er karakteristiske for JOHANN KEPLER og andre forfattere fra renæssancen, som var interesserede i det gyldne snit og de regulære polyeders rolle i "verdens harmoni". Så at lede efter et bestemt begreb om det gyldne snit, der er forbundet med kunstværkernes æstetik i deres skrifter, er en fuldstændig forgæves øvelse, da det simpelthen ikke var der. Paciolis skrifters skæbne. Spørgsmålet om plagiat Efter PACHOLIS død blev hans skrifter ikke husket for meget lang tid... Æraen med storslåede videnskabelige præstationer begyndte, da nye resultater i videnskaben først og fremmest begyndte at blive værdsat, og PACHOLIs bøger var anmeldelser af, hvad der var blevet gjort i tidligere tider. GIROLAMO CARDANO () kaldte PACHOLI en compiler, hvori han fra sit synspunkt havde ganske ret. En anden fremragende matematiker fra denne æra, RAPHAEL BOMBELLI (), sagde imidlertid, at PACCOLI var den første efter LEONARDO fra PISAN til at "kaste lys på algebravidenskaben." Genoplivningen af ​​interessen for PACHOLIS personlighed og skrifter går tilbage til 1869, da Summa faldt i hænderne på den milanesiske professor i matematik LUCINI, og han opdagede i den en afhandling om regnskaber og optegnelser. Efter denne opdagelse begyndte de at se på PACHOLI som grundlæggeren af ​​videnskaben om regnskab, og det var denne afhandling, der viste sig at være den mest populære del af hans arv, som blev oversat mange gange til andre sprog, herunder russisk. Kort efter de første udgivelser af Treatise on Accounts and Records blussede der dog ophedede debatter op blandt forskere om, hvorvidt LUKA PACHOLI var dens egentlige forfatter. Der blev stillet spørgsmålstegn ved, om en person langt fra kommercielle anliggender kunne have udarbejdet en sådan afhandling. Og hvis han ikke kunne, skulle man så ikke gå ud fra, at der blev begået plagiat her? Det ser ikke desto mindre ud til, at beskyldningen om plagiering i denne sag er upassende. PACHOLI siger aldrig, at han opfandt dobbelt bogholderi; han beskriver kun dens normer "ifølge den venetianske skik." Men hvis vi åbner en moderne regnskabsmanual, vil det være nøjagtig den samme normative beskrivelse, uden henvisninger til forgængere. Og hvis PACHOLI beskriver regnskabssystemet ud fra et eller andet manuskript, han læste, så kom han heller ikke selv med reglerne for multiplikation i en spalte, men i dette tilfælde kan ingen beskylde ham for plagiat

9 LUCA PACCOLI OG DETS BEHANDLING PÅ GUDDOMMELIG PROPORTION 9 kommer til at tænke på. Og han kunne stifte bekendtskab med det dobbelte bogholderi i praksis dengang, han var huslærer i en velhavende købmandsgård. En anden alvorlig anklage om plagiat blev rejst mod PACCOLI allerede i 1550, da GIORGE VAZARI (), i sin bog Biografier over berømte malere, billedhuggere og arkitekter, i kapitlet dedikeret til PIERO DELLA FRANCESCA, skrev følgende: Og selvom han, der havde at gøre sit bedste for at øge sin berømmelse og berømmelse, for han lærte alt, hvad han vidste af ham, forsøgte som en skurk og ugudelig at ødelægge navnet på PIERO, hans mentor, og gribe den hæder, der skulle have tilhørt PIERO alene , under sit eget navn, nemlig broder LUKE fra Borgo, frigiver alle denne ærværdige gamle mands skrifter. PIERO DELLA FRANCESCAs matematiske værker har længe været betragtet som tabt. Men i 1903 J. PITTARELLI opdagede i Vatikanets bibliotek manuskriptet af Petri Pictoris Burgensis de quinque corporibus regularibus ("PETRA, kunstner fra Borgo, omkring fem regulære kroppe"). Noget senere blev yderligere to PIERO-manuskripter opdaget: Perspektiv i maleri (De perspectiva pingendi) og På abacus (De abaco). Samtidig blev det fastslået, at det fundne latinske manuskript Om fem regulære kroppe og tre italienske afhandlinger om regulære kroppe i den trykte udgave af De Divina Proportione er to tætte versioner af samme tekst. Den eksisterende håndskrevne bog af PIERO On Five Regular Bodies er dedikeret til GUIDO UBALDO DE MONTEFELTRO, hertug af Urbino. Han modtog hertugtitlen i 1482 efter sin fars død. PIRO døde i 1492. Det eksemplar af bogen, der er kommet ned til os, blev derfor omskrevet hvidkalket i intervallet mellem årene. Selve bogen kunne dog være blevet til tidligere. LUKA PACCOLI i Sum (VI, I, II) siger, at PIERO skrev bogen om perspektiv på italiensk, og den latinske oversættelse blev udført af hans ven MATTEO DAL BORGO. På samme måde kunne den latinske tekst til bogen On Five Regular Bodies være blevet til. Under alle omstændigheder er det naturligt at betragte den italienske tekst, der senere blev offentliggjort af PACHOLI, som den originale. Med hensyn til denne publikation, der er knyttet til Divine Proportion-udgaven, lyder dens fulde titel som følger: Libellus in tres partialis tractatus divisus quinque corpore regularium e dependentium active per scrutationis. D. Petro Soderino principi perpetuo populi florentinia. M. Luca Paciolo, Burgense Minoritano particulariter dicatus, feliciter incipit ("En bog opdelt i tre separate afhandlinger, om fem regulære og afhængige [af dem] kroppe, betragtet i rækkefølge. Til hr. PETER SODERINI, den konstante leder af det florentinske folk. M [aestro] LUKA PACHOLI, en minorit fra Borgo, dikteret i dele, begynder lykkeligt "). Denne titel siger faktisk ikke noget om noget forhold mellem PIERO DELLA FRANCESCA og afhandlingen. Men PACHOLI betegner sit eget "forfatterskab" på en meget mærkelig måde. Han siger nemlig, at denne bog er en partikulær dicatus, "dikteret i dele (eller delvist?)" Og intet mere. Det får dig til at tænke. LUKA PACCOLI ligner i sine forfatterskab slet ikke en person, der stræbte efter skamløst at tilegne sig andres resultater. Så i I-sektionen af ​​I-kapitlet af Summen skriver han:

10 LUCA PACCIOLI OG HANS TRAKT "OM DIVINE PROPORTION" 10 Og da vi for det meste vil følge L. PIZANSKY, har jeg til hensigt at erklære, at når der er noget forslag uden forfatter, så er det denne L. Og når andre, der har været tilskrevet... Der er en lignende meddelelse i kapitel IV i den guddommelige proportion: Først og fremmest vil jeg bemærke, at når jeg skriver "først i den første", "fjerde i den anden", "tiende i den femte", "20 i 6" og så videre indtil den femtende, skal det første ciffer altid forstås som nummeret på sætningen, og under det andet nummer i vores filosof Euklids bog, som af alle anerkendes som leder af dette fakultet. Når vi taler om den femte i den første, taler jeg om den femte sætning i hans første bog, og også om andre separate bøger, der udgør en hel bog om elementerne og oprindelsen af ​​Aritmetik og Geometri. Men når et andet værk af hans eller en anden forfatters bog nævnes, kaldes dette værk eller denne forfatter ved navn. Det skal ikke glemmes, at han i de perioder, hvor LUKA boede i sin hjemby, havde mulighed for at kommunikere direkte med PIERO. Det er naturligt at tro, at de to matematikeres møder var ret hyppige, og deres kommunikation var meningsfuld. Temaerne i bogen On Five Regular Bodies blev næsten helt sikkert diskuteret i disse samtaler, og derfor kunne de begge i nogen grad se på hende som deres egne, uanset hvem der gav den dens endelige form. Vi ved ikke noget om indflydelsen af ​​den tyske astronom og matematiker JOHANN MÜLLER (), bedre kendt under det latinske navn REGIOMONTAN, på PIERO DELLA FRANCESCA og LUCA PACCOLI. Men han boede meget i Italien og døde i Rom, så italienske matematikere kunne blive fortrolige med ham og hans manuskripter. Blandt hans skrifter var afhandlingen De quinque corporibus aequilateris, quae vulgo regularia nuncupantur, quae videlicet eorum locum impleant naturalem et quae non contra commentatorem Aristotelis Averroem (“Om de fem ligesidede kroppe, normalt kaldet korrekte, nemlig hvilke af dem er ikke, mod AVERROES, kommentatoren af ​​ARISTOTEL "). Den har ikke overlevet den dag i dag, men REGIOMONTAN giver et overblik over den i sit andet arbejde. Denne afhandling betragtede konstruktionen af ​​regulære kroppe, deres transformation til hinanden, og deres volumener blev beregnet. Den indeholdt også ideen, som PACHOLI stødte på, at man ved successive ændringer i regulære kroppe kan opnå et ubegrænset antal semi-regulære. Yderligere blev den første trykte bog om matematik udgivet i 1475. PIERO DELLA FRANCHESCA levede stadig i manuskripternes verden, og den yngre LUKA PACCOLI tilbragte sine modne år i de trykte bøgers verden. Manuskriptet kunne omskrives til eget brug af en anden, men hver gang i ét eksemplar. Hendes skriver gør en gudfrygtig gerning, bare fordi han forlænger manuskriptets levetid, ikke tillader hende at omkomme. Det samme er tilfældet, når det bevarede manuskript forvandles til en trykt bog. Nu kan vi vende tilbage til spørgsmålet om plagiat, med en vurdering mere i tråd med datidens trossystem. Det ser ud til, at i den tid, hvor PIERO DELLA FRANCESCA og LUKA PACCOLI levede, var der simpelthen ikke tale om forfatterskab. (Middelalderen kender i øvrigt slet ikke forfatterskabet: kan vi sige, hvem der var "forfatteren" til de smukke gotiske katedraler? Netop denne formulering af spørgsmålet er åbenbart meningsløs. Så i Euklids begyndelse har de fleste af resultaterne blev omskrevet fra andre matematiske bøger, men vi er af en eller anden grund ikke indignerede over dette, og vi anklager ikke Euklid for plagiat.) PIERO var selv interesseret i matematik og ikke berømmelse i de kommende århundreder. I før-

11 LUCA PACCOLI OG HANS TRAKT "OM GUDDELIGE FORHOLD" 11 I ordene til sin latinske bog skriver han, at den vil være et "pant og monument" for ham, men ikke for efterkommere i almindelighed, men for Hans Hertugelige Højhed. Og hvad angår forfatterskabet som en indikation af, hvem der var den første til at gøre en sådan og sådan opdagelse, så er det ontologiske moment vigtigt her. Matematikeren opdager nogle hidtil ukendte kroppe, og COLUMBUS opdager samtidig nye lande. Men COLUMBUS er ikke "forfatteren" af disse lande, og på samme måde er matematikeren ikke "forfatteren" til de kroppe, han opdagede. Og når alt kommer til alt, da COLUMBUS organiserede sin ekspedition, var hans mål selve de nye lande og ikke erindringen om efterkommere, som han opdagede dem. Luca Pacioli og dannelsen af ​​Institut for Ekspertise Henvender sig til den guddommelige proportion til hertugen af ​​Milano LODOVICO SFORZA, Luca Pacioli anbefaler ingen steder sig selv sådan her: "Jeg er matematiker, fordi jeg kan få nye matematiske resultater." Nej, han taler om sig selv på en helt anden måde: "Jeg er matematiker, fordi jeg kan matematik og kan lære andre det." Så DANTE i den guddommelige komedie kaldte ARISTOTEL "læreren for dem, der ved", og LUKA citerer ikke dette citat for ingenting. For at præcisere dette argument, lad os foretage følgende sammenligning. Lægen kan medicin og kan derfor helbrede. En advokat kender loven og kan derfor være advokat. Kan en matematiker matematik, og hvad er det næste? Kan han lære hende? Men når alt kommer til alt, kan både en læge og en jurist også undervise i deres naturfag, som der er medicinske og juridiske fakulteter til på universitetet. Men hvem kan være matematiker uden for studieretningen? Hvilken færdighed adskiller ham fra andre mennesker og gør ham nyttig for nogen? Astronomen ved, hvordan man beregner himmellegemernes bevægelser og tegner horoskoper. En arkitekt er i stand til at bygge en smuk villa, en militærbygger er en uindtagelig fæstning. Kunstnere skaber smukke værker, der fryder øjet. Og hvad nytter en matematiker? Lad os se, hvordan LUKA selv svarer på dette spørgsmål. Først og fremmest insisterer han på, at matematik, som den mest eksakte videnskab, er grundlaget og prøvestenen for alle andre videnskaber. "I [vores afhandling] taler vi om høje og raffinerede ting, der virkelig tjener som en test og en analysedigel for alle raffinerede videnskaber og discipliner: når alt kommer til alt, udspringer alle andre spekulative handlinger, videnskabelige, praktiske og mekaniske; og uden et forudgående bekendtskab med dem, er det umuligt for en person at hverken erkende eller handle, som det vil blive vist.Som ARISTOTEL og AERROES bekræfter, er vores matematiske videnskaber de mest sande og står på det første niveau af strenghed, efterfulgt af naturligt dem" (kap. JEG). Fra at hylde matematikken som sådan går han videre til at rose matematikerne: ”De forstandige kender ordsproget: Aurum probatur igni et ingenium mathematicis. Det vil sige, at guld testes ved ild, og sindets indsigt af matematiske discipliner. Denne udtalelse fortæller dig, at matematikeres gode sind er mest åbent for enhver videnskab, fordi de er vant til den største abstraktion og subtilitet, fordi de altid har overvejet, hvad der er udenfor fornuftigt stof. Som det toscanske ordsprog siger, er det dem, der flækker deres hår på fluen ”(kapitel II). Men i sig selv vil "hensynet til, hvad der ligger uden for fornuftig sag" næppe kunne interessere de magthavere, som LUKA henvender sig til. Derfor bevæger han sig fra ideelle ting til virkelige ting og hævder, at matematik er det nødvendige grundlag for militær kunst og arkitektur:

12 LUCA PACCIOLI OG HANS TAKT "PÅ GUDDELIGE FORHOLD" 12 "Der er endnu en god herlighed over Deres Hertugelige Højhed, når nære slægtninge og taknemmelige undersåtters tillid vokser til, at de i hendes højeste besiddelse er beskyttet mod alle angreb Fra hverdagens oplevelse af Deres hertuglige Højhed det er ikke skjult, at forsvaret af store og små republikker, også kaldet krigskunst, er umuligt uden kendskab til Geometri, Aritmetik og Proportioner, som er fuldkommen kombineret med ære og gavn. Og ikke en eneste værdig beskæftigelse fra dem, som ingeniører og nye mekanikere beskæftiger sig med, fører ikke til erobringen [af fæstningen] eller til et langt forsvar, som dem, hvor det store geometer ARCHIMEDES of Syracuse praktiserede i gamle dage " (Kapitel II). "De kalder sig selv arkitekter, men jeg har aldrig set i deres hænder den fremragende bog af vores værdige arkitekt og store matematiker VITRUVIA, som kompilerede en afhandling om arkitektur med de bedste beskrivelser af enhver struktur. Og de, til hvem jeg er forbløffet, skriver på vand og bygger på sand, ødslede i hast deres kunst: de er jo kun arkitekter ved navn, fordi de ikke kender forskel på et punkt og en linje og ikke kender forskel på vinkler, uden hvilke det er umuligt at bygge godt. Men der er og dem, der beundrer vores matematiske discipliner, der indfører ægte ledelse af alle bygninger i overensstemmelse med essayet af det førnævnte VITRUVIUM. Afvigelsen fra den er mærkbar, hvis man ser på, hvad vores bygninger er, både kirkelige og verdslige: som er snoet og som er skævt ”(Kap. XLIV). I dagens sprog anbefaler LUKA sig selv til hertugen som en ekspert, og i sager, der ikke faktisk er matematiske (hertugen har slet ikke brug for en sådan ekspert), men rent anvendt, idet den har det mest direkte forhold til bevarelse af magten (militære anliggender). ) og velstand (arkitektur). Med hensyn til evnen til at opnå nye matematiske resultater, blev det i denne æra endnu ikke betragtet som en nødvendig karakteristisk kvalitet for en højklasses matematiker, forbliver et tilfældigt og ikke et væsentligt træk ved sidstnævnte. Litteratur FR GLUSHKOVA, SS GLUSHKOV Geometrisk del af Paciolis "Summa". History and Methodology of Natural Sciences, 29, 1982, med R. COLLINS, S. RESTIVO Pirates and Politicians in Mathematics. Otechestvennye zapiski, 2001, 7. OLSHKI L. Historie videnskabelig litteratur på nye sprog. I 3 bind M. L .: GTTI, (Genoptryk: M .: MCIFI, 2000.) SOKOLOV J. Luca Pacioli en mand og en tænker. I bogen: PACHOLI LUKA. En afhandling om regnskaber og optegnelser. M .: Statistik, YUSHKEVICH AP Matematikkens historie i middelalderen. Moskva: Fizmatgiz, ARRIGHI G. Piero della Francesca og Luca Pacioli. Rassegna della questione del plagio e nuove valutazioni. Atti della Fondazione Giorgio Ronchi, 23, 1968, s. BIAGIOLI M. Den sociale status for italienske matematikere, History of Science, 27, 1989, s. BERTATO F. M. A obra De Divina Proportione (1509) de Frà Luca Pacioli. Anais do V Seminário Nacional de História da Matemática, Rio Claro, BIGGIOGERO G. M. Luca Pacioli e la sua Divina proportione. Rendiconti dell "istituto lombardo di scienze e lettere, 94, 1960, p CASTRUCCI S. Luca Pacioli da l Borgo San Sepolcro. Alpignano: Tallone, DAVIS MD Piero della Francesca s matematiske afhandlinger: The" Trattato d abaco de "and" Libellus corporibus regularibus. "Ravenna: Longo Editore, FIELD JV Rediscovering the Archimedean polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro og Johannes Kepler. Archive for History of Exact Sciences, 50, 1997, s.

13 LUCA PACCOLI OG HANS TRAKT "ON DIVINE PROPORTION" 13 HERZ-FISCHLER R. En matematisk historie om division i ekstremt og middelforhold. Waterloo: Wilfrid Laurier Univ. Press, 1987 (2. udg. NY, Dover, 1998). LUCAS DE BURGO. Summa de Arithmetica, Geometria, Proportione & Proportionalita. Venezia: Paganino de Paganinis, LUCAS DE BURGO. Divina Proportione. Venezia: Paganino de Paganinis, MANCINI G. L opera De corporibus regularibus di Pietro Franceschi detto Della Francesca usurpata da fra Luca Pacioli. Accademia dei Lincei, MORISON S. Fra Luca Pacioli fra Borgo San Sepolcro. New York, PICUTTI E. Sui plagi matematici af frate Luca Pacioli. La Scienze, 246, 1989, p. PIERO DELLA FRANCESCA. Libellus de quinque corporibus regularibus. Eds. M. D. Emiliani e. en. Firenze: Giunti, PITTARELLI G. Luca Pacioli usurpò per se stesso qualche libro di Piero de Franceschi? Atti IV Congresso internazionale dei matematici, Roma, 6 11 arile 1908, III. Rom, 1909, s. PORTOGHESI P. Luca Pacioli e la Divina Proportione. I: Civiltà delle machine, 1957, p REGIOMONTANUS. Kommensorator. Ed. Blaschke W., Schoppe G. Wiesbaden: Verlag der Akademie der Wissenschaften und der Literatur i Mainz, RICCI I. D. Luca Pacioli, l uomo e lo scienziato. Sansepolcro, ROSE P. L. Matematikkens italienske renæssance. Genève: Librairie Droz, SPEZIALI P. Luca Pacioli og søns oeuvre. Sciences of the Renaissance, Paris, 1973, s. TAYLOR R. E. Ingen kongevej: Luca Pacioli og hans tid. Chapel Hill: Univ. af North Carolina Press, WILLIAMS K. Plagiering i renæssancen (Luca Pacioli og Piero della Francesca). Mathematical Intelligencer, 24, 2002, s

Det gyldne snit i oldtidens matematik AI SHCHETNIKOV 1. Opgørelse af problemet. Det ville ikke være en overdrivelse at sige, at ingen publikation om forhold er komplet uden at diskutere det gyldne snit.

PROGRAM FOR OPTAGELSESPRØVER PÅ DISCIPLINEN "MATEMATIK" Grundlæggende matematiske begreber og fakta: Uddannelsens indhold 1. Tal, rødder og grader. Talrækker Naturlige tal. Enkel

Arbejdsprogram for gennemsnittet (komplet) almen uddannelse i matematik (geometri) på MBOU SOSH 30 Penza (10. klasse) Forklarende note Dokumentstatus Arbejdsprogram for sekundær (fuldstændig) almen uddannelse

Programmet for optagelsesprøven i matematik Programmet er udarbejdet på grundlag af den føderale komponent af statsstandarden for grundlæggende almen og sekundær (fuldstændig) almen uddannelse (ordre fra Undervisningsministeriet

Arbejdsprogram i matematik for klassetrin 5-6 PLANLAGTE RESULTATER AF MATEMATIKSTUDIE Rationale tal Eleven lærer: I klassetrin 5-6 1) at forstå decimaltalsystemets træk; 2) egne koncepter,

FORKLARENDE NOTE Dette program i geometri for klasse 0 er kompileret på grundlag af den føderale komponent af statens standard for sekundær almen uddannelse (ordre fra Ministeriet for Undervisning og Videnskab i Den Russiske Føderation af 03/05/2004, 089),

Ministeriet for Uddannelse og Videnskab i Rusland Føderale statsbudgettære uddannelsesinstitution for videregående uddannelse "Syktyvkar State University opkaldt efter Pitirim Sorokin "INDGANGSTESTPROGRAM

Bilag til det grundlæggende uddannelsesprogram for sekundær almen uddannelse MBOU "Sergach gymnasiet 1" godkendt efter ordre fra direktøren den 27. august 2015 64-o Arbejdsprogram for faget "Geometri" 10-11

Pythagoras sætnings formulering Pythagoras sætning siger, at kvadratet på hypotenusen i en retvinklet trekant er lig summen firkanter af hans ben. c 2 = a 2 + b 2 Med andre ord, arealet af kvadratet bygget

Federal State Autonome Institution of Higher Professional Education National Research University Higher School of Economics Adgangsprøveprogram i matematik

MINIBRANAUKI RUSLAND Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Education "Novosibirsk State University of Economics and Management" NINKH "

CHU OOSH "Venda" ARBEJDSPROGRAM Geometri Grade 0 - - Forklarende note Arbejdsprogrammet er udarbejdet på grundlag af: Føderal komponent af statens standard for almen uddannelse, et eksempelprogram

Specifikation for et semesterarbejde i matematik i 10. klasse Sæt, operationer på sæt Numeriske mængder Funktion: Finde definitionsdomænet Finde et værdisæt Forskning på

Programmet for optagelsesprøven i det generelle fag "Matematik" til optagelse på Syktyvkar Forestry Institute i 2016 Programmet er designet til at forberede sig til masseskrivning

Kommunal pædagogisk autonom institution i byen Buzuluk "Secondary school 8" ARBEJDSPROGRAM om det akademiske emne: "Geometri" for det akademiske år 206-207 Klasse: 0- Antal

N.V. Kosinov gyldne proportioner, gyldne konstanter og gyldne sætninger Abstrakt En stor familie af tal er blevet afsløret, som har egenskaber iboende i det gyldne snit (Ф = 1,618). Disse tal er konstanter

Udarbejdet af: Demenkovets Anastasia Elev af klasse 8 B Faglig vejleder: Koneva Natalya Mikhailovna Gymnasium Laboratory Salakhova Surgut, 2014 Formål: At bevise, at arkitektoniske genstande indeholder

Godkendt af suppleanten. Direktør for SD G.I. Belikova Godkendt af direktøren for MCOU "Boryatinskaya sekundær skole" E.A. Martynov 20, kommunale statslige uddannelsesinstitution "Boryatinskaya sekundær skole"

Kommunal budgetuddannelsesinstitution "Lyceum" UDDANNELSESPROGRAM OM GEOMETRI 10 11. klassetrin på sekundær almen uddannelse FORKLARENDE BEMÆRKNING Studieordning om geometri er orienteret

FORBUNDSSTATS BUDGETMÆSSIGE UDDANNELSESINSTITUTION FOR HØJERE PROFESSIONEL UDDANNELSE "UDMURT STATE UNIVERSITY" Institut for Civilbeskyttelse Institut for Generelle Ingeniørdiscipliner

Kommunal budgetuddannelsesinstitution Secondary School 105 opkaldt efter M.I. Runt i bydistriktet Samara ANSES FOR AT GODKENDT på et metodologisk møde Stedfortræder

Foredrag Hvorfor kan vi ikke klare os med heltal og rationelle tal? For i de mest naturlige situationer støder vi på tal, der hverken er heltal eller rationelle. Overvej en enhedsfirkant.

MBOU "Orlovskaya sekundær skole" Anset for aftalt Godkendt på mødet i undervisningsministeriet for lærere Vicedirektør for indre anliggender Direktør for MBOU "Orlovskaya Secondary School" i matematik og naturfag / Efanova I.A./ / Ermolova

FORKLARENDE NOTE Normativt grundlag for undervisning i faget Arbejdsprogrammet i geometri for klassetrin 7-9 blev udarbejdet på grundlag af følgende normative juridiske dokumenter: 1. Forbundsdel af staten

Planlagte resultater af mestring af det akademiske fag, kursus Aritmetik Naturlige tal. Brøker 1) forstå funktionerne i decimaltalsystemet; 2) forstå og bruge de tilknyttede udtryk og symboler

ARBEJDSPROGRAM OM GEOMETRI 10-11 KLASSER Udarbejdet af T.A. Burmistrova Forklarende note Dette arbejdsprogram er baseret på modelprogrammet for sekundær (fuldstændig) almen uddannelse

Anmærkning til arbejdsprogrammet om "Geometri" klasse 10-11 Arbejdsprogrammet i matematik er baseret på følgende normative dokumenter: 1. Uddannelsesprogram for en almen uddannelsesinstitution

Den store tænker A.F. Losev præsentation af den russiske filosofs bøger til 120-året for hans fødsel. Alle bøgerne, der blev præsenteret på udstillingen, er i fonden læsesal SEL (lokale B-303), hvor du kan lære mere

LANDBRUGSMINISTERIET I DEN RUSSISKE FEDERATION AFDELING FOR VIDENSKAB OG TEKNOLOGISK POLITIK OG UDDANNELSE FSBEI HPE "DON STATE AGRARIAN UNIVERSITY"-PROGRAM OM MATEMATIK Persianovsky

Forklarende note. Arbejdsprogrammet i geometri for klasse 11 er udarbejdet på grundlag af den føderale komponent af den statslige standard for grundlæggende almen uddannelse, geometriprogrammer til lærebogen for

AFDELING AF SMOLENSK REGIONEN FOR UDDANNELSE OG VIDENSKAB SOGBOU SPO "ELNINSKY AGRICULTURAL TECHNICUM"

STATENS UDDANNELSESINSTITUTION FOR ADDITIONAL PROFESSIONAL EDUCATION "DONETSK REPUBLICAN INSTITUTE OF ADDITIONAL PEDAGOGICAL EDUCATION" MATHEMATISKA INSTITUT Om kravene til

PROGRAMMET FOR OPTAGELSESPRØVER I MATEMATIK FOR OPTAGELSE I URFU I 2012. GRUNDLÆGGENDE MATEMATISKE KONCEPT OG FAKTA 1. Talsæt. Aritmetiske operationer på tal. Naturlige tal (N).

DEM. Smirnova, V.A. Smirnov FORBEREDELSE TIL BRUG (GEOMETRI) Indskrevne og beskrevne figurer i rummet Moskva 008 INTRODUKTION Hvordan man forbereder sig til eksamen i geometri og lærer at løse stereometriske problemer

1 TALENS MAGISKE I VIDENSKAB OG NATUR Loskovich M.V., Natyaganov V.L., Slepova T.V. Moskva statsuniversitet M.V. Lomonosov, Biologiske, Mekaniske og Matematiske Fakulteter, Rusland, 119899,

Forklarende note til arbejdsprogrammet om geometri i klasse 0 Kun 2 timer om ugen 72 timer om året. Arbejdsprogrammet er baseret på følgende dokumenter: o Den føderale del af staten

UDDANNELSES- OG VIDENSKABSMINISTERIET FOR DEN RUSSISKE FEDERATION Kostroma State University opkaldt efter N.A.Nekrasov T.N. Matytsina DISKRET MATEMATIK LØSNING AF TILBAGEVENDENDE FORHOLD Workshop Kostroma

Kommunal budgetpædagogisk institution, realskole 9 Godkendt Godkendt ved beslutning i det pædagogiske råd;

Faglig fagklasse (parallel) Forklaring til arbejdsprogrammet geometri (grundniveau) 10 B for studieåret 2013-2014 Arbejdsprogrammet i geometri for 10. klasse er baseret på

IVANOVA INNA VALENTINOVNA E-mail: [e-mailbeskyttet] Skype: inna-iva68 Kontakttid: Torsdag 16.50. 19.00. Geometri klasse 10 Lærebog: Geometri 10-11, forfattere L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev

Forklarende note Arbejdsprogrammet er udarbejdet på grundlag af den føderale komponent af den statslige uddannelsesstandard for sekundær (fuldstændig) almen uddannelse i matematik og modelprogrammet

Kommunal budgetuddannelsesinstitution "Skole 11 i Zelenodolsk kommunale distrikt i Republikken Tatarstan" Forskning om emnet: Gyldne snit Udført af: A.M. Akhmetova Tilsynsførende:

Bilag 2.5.2. Tilnærmet planlægning af kurset "Algebra og begyndelsen af ​​matematisk analyse" Lærebog. 1. A.G. Mordkovich, P.V. Semyonov. Algebra og begyndelsen af ​​matematisk analyse (profilniveau). 10. klasse

Kommunal statslig uddannelsesinstitution, gymnasium 3 i byen Pudozh Behandlet på et møde i ministeriet for matematik og informatik Referat 1 af 08/29/2016 Leder af MO Kuptsova

Sergienko P.Ya. BEGYNDELSEN PÅ HARMONI-MATHEMATISERING. PROBLEMET (PROPOSITION II.11) MED EUCLID OG ALGORITMMEN FOR DET LØSNING For at vise min algoritme til at løse det overskriftsmæssige problem blev jeg inviteret af publikationerne: S.A. Yasinsky

ADMINISTRATION AF BYEN NIZHNY NOVGOROD Kommunal budgetpædagogisk institution gymnasium 100 med dybdegående undersøgelse af enkeltfag Godkendt af direktøren for skolen 100

FORKLARENDE NOTE Arbejdsprogrammet om "Geometri" er udarbejdet i overensstemmelse med den føderale komponent af statens uddannelsesstandard for almen uddannelse (2004). Programmet blev udarbejdet

Arbejdsprogram for lærebogen "Geometry 10-11", Atanasyan L.S. og andre, 10 "A"-klasse (grundlæggende niveau), 2 timer om ugen FORKLARENDE BEMÆRK Arbejdsprogrammet er baseret på den føderale komponent

Forklarende note. Dette arbejdsprogram i geometri for den 11. sociale og humanitære klasse er udarbejdet i overensstemmelse med den føderale komponent af den statslige uddannelsesstandard for sekundærskolen

Grad 10 geometri arbejdsprogram Forklarende note Dokument status Arbejdsprogrammet 10 grade geometri er baseret på den føderale komponent af hovedstatsstandarden

Grundlæggende færdigheder og evner. Ansøgeren skal kunne: Udføre aritmetiske operationer på tal angivet i form af almindelige og decimale brøker; runde disse tal og resultater af med den nødvendige præcision

PRIVAT INSTITUTION FOR VIDERE UDDANNELSE "INSTITUTTET FOR STATSADMINISTRATION" Godkendt af A.V. Kakerlakker "12" 11 20_15_y. Forberedende program til optagelsesprøver i matematik

Forklarende note Arbejdsprogrammet er udarbejdet på grundlag af den føderale komponent af statens standard for almen uddannelse, et omtrentligt program i matematik for grundlæggende almen uddannelse, forfatterens

GEOMETRY 11 KLASSE EKSTERN ARBEJDSPROGRAM OM GEOMETRY 11 KLASSE FORKLARENDE NOTE Arbejdsprogrammet er udviklet på basis af den føderale komponent af statens standardgennemsnit (fuldstændig)

1 Anmærkning til arbejdsprogrammet om emnet "Geometri" 10-11 Dette arbejdsprogram om geometri for klassetrin 10-11 er udarbejdet på grundlag af: Føderal komponent af den statslige uddannelsesstandard

Indhold: 1. FORKLARENDE NOTE. 2. PROGRAMMETS GRUNDLÆGGENDE INDHOLD .. 3. KRAV TIL ELEVERNIVEAU 4. KALENDER-TEMA PLANLÆGNING. 5. LISTE OVER UDDANNELSES- OG METODOLOGISK STØTTE.

UDDANNELSES- OG VIDENSKABSMINISTERIET FOR DEN RUSSISKE FEDERATION FGBOU VPO "SOCHINSK STATE UNIVERSITY" "University College of Economics and Technology" Matematik Adgangsprøveprogram

Kommunal statslig uddannelsesinstitution "Usishinskaya gymnasiet 2" Kalender-tematisk planlægning i faget geometri klasse Grundniveau 68 timer. Udarbejdet af: lærer i matematik Hajiyev

Fagmatematisk modul "algebra", klasse 7 Lærer Anastasia Vasilievna Rybalkina Hvad skal man "lære" = studere, mestre "algebra" modulet i 7. klasse i matematiktimer. 1) EMNER (ifølge programmet) I.

S"Aften(skift)gymnasium 2" på PKU IK-4 Emne gruppekonsultation: "Løsning af problemer om emnet" Bind af polyedre "Afsluttet

A.P. Stakhov

Under tegnet med det "gyldne snit":
Bekendelse af elevens søn.
Kapitel 4. Gyldne snit i kulturhistorien.
4.8. "Divine Proportion" af Luca Pacioli

Kulturen i det antikke Grækenland og kulturen i Rom og Byzans er to magtfulde strømme af åndelige værdier, hvis sammensmeltning gav anledning til en ny, renæssancens titaner. Titanium er det mest nøjagtige ord for folk som Leonardo da Vinci, Michelangelo, Nicolaus Copernicus, Albert Durer, Christopher Columbus, Amerigo Vespucci. Matematikeren Luca Pacioli er med rette inkluderet i denne galakse.

Han blev født i 1445 i provinsbyen Borgo San Sepolcro, som i oversættelse fra italiensk ikke lyder særlig glad: "Den Hellige Gravs By".

Vi ved ikke, hvor gammel den fremtidige matematiker var, da han blev sendt for at studere i atelieret hos kunstneren Piero della Francesco, hvis berømmelse rungede i hele Italien. Dette var det første møde unge talent med en stor mand. Piero della Francesco var en kunstner og matematiker, men kun den anden hypostase af læreren fandt et ekko i elevens hjerte. Unge Luke, en matematiker fra Gud, var forelsket i tallenes verden, tallet forekom ham som en slags universel nøgle, der samtidig åbnede adgang til sandhed og skønhed.

Den anden store mand, der mødtes på Luca Paciolis vej, var Leon Battista Alberti - en arkitekt, videnskabsmand, forfatter, musiker. Alberts ord vil synke dybt ind i L. Paciolis bevidsthed:

"Skønhed er en slags overensstemmelse og konsonans af dele i det, de er dele af, som svarer til det strenge antal, begrænsning og placering, som harmoni kræver, det vil sige naturens absolutte og primære princip."

Forelsket i tallenes verden vil L. Pacioli gentage efter Pythagoras ideen om, at tallet er universets grundlag.

I 1472 blev Luca Pacioli tonsureret som munk af franciskanerordenen, hvilket gav ham mulighed for at studere naturvidenskab. Begivenheder viste, at han traf det rigtige valg. I 1477 modtog han et professorat ved universitetet i Perugia.

Luca Pacioli

Følgende portrætbeskrivelse af Luca Pacioli fra den tid har overlevet:

"En smuk, energisk ung mand: hævede og ret brede skuldre afslører medfødt fysisk styrke, en kraftfuld nakke og udviklet kæbe, et udtryksfuldt ansigt og øjne, der udstråler adel og intelligens, understreger karakterens styrke. Sådan en professor kunne tvinge sig selv til at lytte til sig selv og respektere sit emne."

Pacioli kombinerer pædagogisk arbejde med videnskabeligt arbejde: han begynder at skrive et encyklopædisk arbejde om matematik. I 1494 blev dette værk udgivet under titlen "Summen af ​​aritmetik, geometri, læren om proportioner og relationer." Alt materiale i bogen er opdelt i to dele, den første del er afsat til aritmetik og algebra, den anden - geometri. Et af bogens afsnit er viet til anvendelsen af ​​matematik i kommerciel forretning, og i denne del er hans bog en fortsættelse af den berømte bog af Fibonacci "Liber abaci" (1202). I det væsentlige opsummerer dette matematiske værk af L. Pacioli, skrevet i slutningen af ​​det 15. århundrede, den matematiske viden om den italienske renæssance.

L. Paciolis monumentale trykte værk bidrog utvivlsomt til hans berømmelse. Da der i 1496 i Milano - Italiens største by og delstat - blev åbnet en afdeling for matematik på universitetet, blev Luca Pacioli inviteret til at tage den.

På dette tidspunkt var Milano centrum for videnskab og kunst, fremragende videnskabsmænd og kunstnere boede og arbejdede i det – og en af ​​dem var Leonardo da Vinci, som blev den tredje store mand, der mødtes på Luca Paciolis vej. Under direkte indflydelse af Leonardo da Vinci begyndte han at skrive sin anden store bog, De Divine Proportione.

Bogen af ​​L. Pacioli, udgivet i 1509, havde en mærkbar indflydelse på hans samtidige. Paciolis folio blev udgivet i quarto og var et af de første fine eksempler på trykkekunsten i Italien. Historisk betydning bogen bestod i, at det var det første matematiske essay, der helt var helliget det "gyldne snit". Bogen er illustreret med 60 (!) Storslåede tegninger lavet af Leonardo da Vinci selv. Bogen består af tre dele: den første del skitserer egenskaberne ved det gyldne snit, den anden del er viet til regulære polyedre, og den tredje til anvendelser af det gyldne snit i arkitekturen.

L. Pacioli, der appellerer til "Staten", "Love", "Timaeus" af Platon, udleder konsekvent 12 (!) Forskellige egenskaber ved det gyldne snit. Pacioli beskriver disse egenskaber og bruger meget stærke tilnavne: "exceptionel", "fremragende", "vidunderlig", "næsten overnaturlig" osv. Ved at afsløre denne proportion som en universel relation, der udtrykker skønhedens perfektion både i naturen og i kunsten, kalder han den "guddommelig" og er tilbøjelig til at betragte den som et "værktøj til at tænke", "æstetisk kanon", "som et princip for verden og naturen."

Titelbladet til Luca Paciolis bog "Divine Proportion"

Denne bog er et af de første matematiske værker, hvori den kristne doktrin om Gud som universets skaber er videnskabeligt underbygget. Pacioli kalder det gyldne snit "guddommeligt" og identificerer en række egenskaber ved det gyldne snit, som efter hans mening er iboende i Gud selv:

»Den første er, at der kun er én, og det er umuligt at give eksempler på proportioner af en anden art eller i det mindste på nogen måde anderledes end den. Denne unikhed, ifølge politiske og filosofiske lære. Der er den højeste kvalitet af Gud selv. Den anden egenskab er den hellige treenigheds ejendom, nemlig som i guddom en og samme essens er indeholdt i tre personer - faderen, sønnen og den hellige ånd, så den samme andel af denne art kan kun finde sted for tre udtryk, og for der er ikke noget større og mindre udtryk. Den tredje egenskab er, at i detaljer om, hvordan Gud hverken kan defineres eller forklares med et ord, kan vores andel hverken udtrykkes ved det antal, der er tilgængeligt for os, eller ved nogen rationel størrelse, og forbliver skjult og hemmeligt, og derfor af matematikere kaldet irrationel. Den fjerde egenskab er, at ligesom Gud aldrig ændrer og repræsenterer alting i alt og alt i hver del, og vores andel for enhver kontinuerlig og bestemt størrelse er den samme, uanset om disse dele er store eller små, på ingen måde kan hverken ændres , eller på anden måde opfattet af grund. Til de navngivne egenskaber kan man ganske rigtigt tilføje den femte egenskab, som er, at ligesom Gud kaldte den himmelske dyd, ellers kaldet den femte substans, og med dens hjælp - fire andre simple legemer, nemlig fire grundstoffer - jorden , vand , luft og ild, og med deres hjælp fik alle ting i naturen til at være, så vores hellige proportion, ifølge Platon i sin "Timæus", giver formelt væsen til selve himlen, for den tilskrives en kropstype kaldet dodekaederet, som ikke kan bygges uden vores andel."

Dodecahedron, tegnet af Leonardo da Vinci til L. Paciolis bog "Divine Proportion"

I 1510 var Luca Pacioli 65 år gammel. Han er træt, gammel. Universitetsbiblioteket i Bologna indeholder et manuskript af L. Paciolis upublicerede værk "Om kræfter og mængder." I forordet finder vi en trist sætning: "de sidste dage af mit liv nærmer sig." Han døde i 1515 og er begravet på kirkegården i sin hjemby San Sepolcoro.

Efter hans død er den store matematikers værker overgivet til glemsel i næsten fire århundreder. Og da hans værker i slutningen af ​​det 19. århundrede blev verdensberømte, rejste taknemmelige efterkommere efter 370 års glemsel et monument på hans grav, hvorpå de skrev:

"Luque Pacioli, som var ven og rådgiver for Leonardo da Vinci og Leon Battista Alberti, som først gav algebra videnskabens sprog og struktur, som anvendte sin store opdagelse til geometri, opfandt dobbelt bogholderi og i matematiske værker gav grundlaget og uforanderlige normer for efterfølgende generationer." ...

A.P. Stakhov, Under tegnet af det "gyldne snit": Bekendelse af en studerendes søn. Kapitel 4. Gyldne snit i kulturhistorien. 4.8. "Divine proportion" af Luca Pacioli // "Academy of Trinitarianism", M., El No. 77-6567, public. 13547, 12.07.2006

"Skønhed er en slags overensstemmelse og konsonans af dele i det, de er dele af"

Leon Battista Alberti
(matematiker, maler, musiker, digter, offentlig person, stor renæssancearkitekt)

1.
Verdens skønhed og harmoni.
Mennesket finder dem ikke kun i naturen eller genererer dem intuitivt i sit arbejde. Han forsøger at forstå deres inderste hemmelighed, som grundlaget for universet, for at forstå dem mere subtilt og genskabe dem mere præcist.

Når interessen for denne hemmelighed forener store mennesker, desuden på en herlig tid på et vidunderligt sted, så er deres kreative fællesskab allerede i sig selv en skønhed og harmoni. Dens frugter er fantastiske.

Det er muligt, at det i historien skete mere end én gang, men der er en.

2.
Under renæssancen var der i det rigeste hertugdømme Milano et møde mellem to store mennesker - matematikeren Luca Pacioli og skaberen - opfinderen Leonardo da Vinci.

Luka havde en dyb sans for skønhed. Samtidig var han "forelsket i tal" og tiltrak ET område - matematik, der betragtede det som en unik nøgle til sandhed og skønhed, blev et lyspunkt i det. Han overvejede sin mission om at give praktikere inden for forskellige aktivitetsområder, nyttige teknikker og værktøjer til matematik.

Leonardo besad en enorm kreativ intuition, fantasi og opfindsomhed, idet han anvendte sit væld af talenter på MEST FORSKELLIGE områder inden for praksis og kunst. Han strålede med sin egen kreativitet og opfindsomhed og stræbte efter hele tiden at finde nye, originale, storstilede løsninger og fund. Til dette tyede Leonardo til alsidige og subtile observationer af livet og videnskabens muligheder, herunder matematik.

Samfundet af Luca og Leonardo varede ikke længe, ​​omkring 4 år, men efterlod begge et taknemmeligt minde for livet.

3.
Det var den glorværdige æra af renæssancen, æraen for den mest kraftfulde store menneskelige kreative eksplosion, som havde to sider af sin medalje.

På den ene side udviklede kunsten og videnskaberne sig aktivt, humanismen blomstrede: mennesket, dets evner og talenter blev sat på spidsen. Renæssancens æra fødte talentfulde, multilateralt lærde og specialiserede mennesker, der stræbte efter at leve i rigdom i ordets bredeste forstand. På det tidspunkt, major geografiske opdagelser(Columbus, Magellan, Vespuchi, da Gamma), interesse for skønheden i den menneskelige krop steg, en ny forståelse af kosmos (Copernicus), universet og samfundet (Machiavelli, etc.) person.

På den anden side blev åndelig askese udjævnet, den der tidligere skabte de højeste skatte i moralsk kultur (John Climacus, Ephraim the Sirin, Isaac Sirin, Andrew of Crete, etc.). Renæssancens æra blandede sig ikke med andre moraler. Bedrag, sammensværgelser om lig, besværgelser, mord (især forgiftning), dæmonologi var udbredt i et samfund, der ikke gav den moralske side af livet den nødvendige opmærksomhed.

En sådan situation, og ikke kun i den æra, skubbede intelligente mennesker til at finde den rigtige harmoni i deres liv. Ligger det i kreativitetens kraft og skønhed? Eller i den rette balance mellem menneskets kreativitets ønske om magt, der går ud over de givne og små, men vigtige, moralske begrænsninger, som ikke bør overskrides?

Vi vil være opmærksomme på denne side af heltene senere, inden for fortællingens rammer.

4.
Hertugdømmet Milano, hvor Luca og Leonardo mødtes, var på det tidspunkt (slutningen af ​​1400-tallet) det mest økonomisk stærke i Italien (især efter den florentinske hertug Lorenzo Medicis død i 1492, med tilnavnet "Magnificent"). På det tidspunkt var Italien et sæt adskilte, spredte, nogle gange i krig med hinanden, stater. Milano var i disse år et aktivt centrum for det finansielle og økonomiske liv i Italien, mode, centrum for våbensmede og håndværkere. I modsætning til Firenze, hvor hovedvægten var på kunst og tekstiler, blomstrede naturvidenskab, matematik og teknik i hertugdømmet Milano.

Lodovico Sforza il Moro regerede faktisk dette hertugdømme siden 1480 og arbejdede først som regent for sin viljesvage nevø, der ikke var interesseret i offentlige anliggender, Gian Galeazzo, søn af hans ældste myrdede bror Galeazzo Maria Sforza.

Lodovico Sforza var en overdådig, ambitiøs hersker, der ønskede at gøre Milano til den bedste stat i Italien.

Han gjorde en stor indsats for at tage magten i egne hænder efter sin brors død. Det lykkedes ham at fjerne sin brors kone, Bona af Savoyen, en fremtrædende, venlig, men ikke klog kvinde fra hende, og blev i stedet regent for sin mindreårige søn Gian Galeazzo.

Min onkel havde en snedig politik. Udadtil, og meget luksuriøst, blev alle hæder givet til den nominelle hertug af Jan, men alle beslutninger af statslig betydning blev truffet af Lodovico. Onklen nød stor tillid til sin nevø. Han skabte et underholdningsliv for den unge hertug, tog ham væk fra uddannelse, gav frihed til hans laster, demoraliserede ham og tog ham ud af markedet. Da Gian Galleazzo blev unødvendig, døde han hurtigt uventet i en alder af 25. Der var rygter om, at hans onkel havde en hånd i dette, men hans alibi var "jern": på tidspunktet for hans død var han ikke i Milano. På en eller anden måde, men siden 1494 blev Lodovico Sforza il Moro den legitime syvende hertug af Milano.

Kælenavnet il Moro Lodovico fik af to grunde. Moreau stod for Moor. Det var hans navn for hans mørke teint. Men dette er ikke hovedbetydningen. Moro betyder også morbærtræ som et tegn på tapperhed og forsigtighed. Morbærtræet er det sidste, der bliver bladet og det første, der bærer frugt. Lodovico var stolt af dette kaldenavn. Maurens hoved og alkalitræet var afbildet på hans våbenskjold. Desuden havde han en tjener - en rigtig maurer.

Lodovico kom fra en ung familie af Sforza (Sforza på italiensk betyder "stærk"). Hans bedstefar, grundlæggeren af ​​dynastiet, fra en alder af 15, en lejet kriger (condottiere) Muzio (fulde navn Giacomuzzo Attondole) fik dette tilnavn for sin enorme fysiske styrke: han bøjede hesteskoene med hænderne. Lodovicos far Francesco Sforza var lige så stærk og bøjede jernstænger med fingrene. Francesco giftede sig med et andet ægteskab med den uægte datter af Filippo Visconti Maria Bianche, som ikke havde nogen mandlige arvinger. Så den døende gamle Visconti-familie gav stafetten videre til den unge Sforza-familie, som herskere i Milano. Hvad er den vigtige rolle for den tapre og talentfulde Francesco Sforza.

Francesco, far til Lodovico, var en tapper, stærk kriger og nåede rang af general i militærtjenesten. Senere, i løbet af sin regeringstid, opnåede han betydelige politiske og økonomiske succeser gennem balancen (selve harmonien) mellem magt og diplomatiske regeringsmetoder. Han genopbyggede også næsten den monumentale arkitektur i Castello Sforzesco (Sforza-slottet), som blev sæde for Sforza-klanen. Freskoerne og malerierne inde i slottet blev derefter udført af Leonardo da Vinci. Forresten tog de italienske arkitekter, der byggede Moskvas Røde Kreml, Castello Sforzesco som grundlag for projektet.

Lodovico, i modsætning til sin far, blev født som et sygt barn (et af Francescos 8 legitime børn, der var endnu flere uægte børn). Francescos børn fra Maria Bianca gik ikke ind i ham med tapperhed og styrke, men var som deres mor, der arvede specifikke træk Visconti: list, underfundighed, ynde osv. Lodovico oplevede ret stærke religiøse følelser, og viste også respekt, respekt, havde gode følelser for sin far og mor.

Lodovico var snedig, skarpsynet, men på nogle måder ligetil, i offentlige anliggender. Han forstod meget og var ikke ligeglad med smukke og smarte kvinder... Som mange andre indflydelsesrige mennesker på den tid havde han favoritter, mødre til sine bastards (uægte børn). Lodovico belønnede generøst og nedladende sine kvinder. For eksempel, efter afsked med en af ​​dem - Cecilia Gallerani (hendes portræt kan ses på lærredet af Leonardo da Vinci "Dame med en hermelin" (1489-1490) - giftede han hende med grev Bergamino og præsenterede et af slottene. En anden favorit er Lodovico - Lucrezia Crivelli (afbildet på da Vincis maleri "Den smukke Ferroniera (1496)) - blev æret som en af ​​de smukkeste, hvis skønhed blev oprigtigt beundret af Leonardo.

Lodovico var gift (siden 1490) med en af ​​renæssancens smukkeste kvinder - den muntre, energiske, intelligente og uddannede Beatrice d'Este, datter af herskeren af ​​Ferrara. Hun var blandt andet moralsk stabil og var ikke sin mand utro.

Sforza elskede sin kone meget, viste hende respekt, gav hende ømhed, opmærksomhed, luksuriøse gaver. Ægtefællerne var tætte i synet. Beatrice var for ham en værdifuld og intelligent følgesvend, og nogle gange en pædagog, der hjalp med statsanliggender og beslutninger (fordi hun var opmærksom på væsentlige bagateller, som Lodovico ikke kunne være opmærksom på).

Lodovico var 23 år ældre end sin kone (hans forældre havde en tilsvarende aldersandel). Hun fødte ham to sønner, drenge, Massimiliano og Francesco. Hun forventede fødslen af ​​en tredje, men allerede i begyndelsen af ​​januar 1497, efter at have født en stille baby, døde hun. Hun var kun 21 år gammel.

Sorg Lodovico kendte ingen grænser. Hertugens mentale tab og tilstand kan ikke beskrives med nogen ord! Sort drapering på alle vinduer i Castello, liggende i to uger i hans kamre uden Sforzas kræfter. Hver nat vågnede han, tog en mørk kappe på og kom til sin kones grav. Mens hun levede og havde det godt, bad han til Herren om at give ham at dø først, fordi konen er så ung! Efter hendes død bad han Højere effekt om at kunne kommunikere med sin ånd. Historikere antyder, at hvis Beatrice havde holdt sig i live, ville Lodovico ikke have forventet den skæbne, der skete for ham. Men mere om det senere.

5.
Lad os gå tilbage til Pacioli og da Vinci.

I 1496 blev Luca Pacioli inviteret til Milano, til professor i matematik ved universitetet i Pavia, af hertugen af ​​Milano, Lodovico Sforza il Moro. Han var dengang 51 år gammel. I samme by tjente den 44-årige Leonardo da Vinci, som ankom til Milano meget tidligere, i 1482, i ingeniørlauget.

Hvorfor inviterede Sforza matematikeren Luca Pacioli til sit hof?

I 1494 udgav Luca Pacioli i Venedig, i Paganino Paganinis trykkeri, sit mest berømte værk, som han arbejdede på i mange år: Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita "Kundskabens krop i aritmetik, geometri, proportioner og proportionalitet" (kort sagt "Sum").

Det var et sandt nyttigt leksikon med anvendt matematisk viden om forskellige emner. Bogen var dedikeret (som det burde være ifølge datidens kanoner), en indflydelsesrig person - hertugen af ​​Umbrien Guidobaldo Montefeltro, som på et tidspunkt studerede matematik under Pacioli.

Summa blev ikke skrevet på latin (som det var sædvane i disse år for videnskabelige publikationer), men på hans italienske modersmål. Det var sproget for praktikere, købmænd, som bogen var henvendt til (Pacioli boede i sin ungdom hos den venetianske købmand Rompiasi, underviste sine tre børn i matematik; i begyndelsen af ​​70'erne var Luca selv engageret i en lille handel, men til ingen nytte). I "Sum" var en del af "Afhandling om regnskaber og poster", helliget systematisering af viden om regnskab, dobbelt bogføring, regnskab. Denne del af bogen Luca Pacioli skylder ærestitlen "fader til grundlæggeren af ​​moderne regnskab", som blev navngivet af hans efterkommere. Og at skrive det på italiensk fastholdt de grundlæggende regnskabsbetingelser i det: debet, kredit, balance, subconto.

Summa var meget populær i Italien og i udlandet, og forfatteren var også kendt som en fremragende lærer. Dette talent af Pacioli vil blive diskuteret senere.

Leonardo da Vinci læste denne bog, før han mødte Pacioli, men var ikke bekendt med forfatteren. Desuden, før han læste Summa, havde Leonardo, som var glad for matematik, ideen til at skrive sit eget værk om geometri, men efter at have læst det indså han, at han ikke kunne skrive bedre, og at det ikke burde være værre.

Jeg kendte til denne bog og dens forfatter og Lodovico Sforza. Han ville invitere Luka til sit sted for at finde ud af, hvordan han kunne interessere ham: at give professoren for matematik ved det prestigefyldte universitet i Pavia, muligheden for at engagere sig i videnskab, forskning, undervisning, give fritid til at skrive bøger.

Luke accepterede taknemmeligt hertugens forslag.

6.
Lodovico havde en fremragende evne til at tiltrække talentfulde og nødvendige mennesker til sin tjeneste, vælge det bedste og vide, hvordan man interesserer sig. Mange berømte mennesker fra den æra (Bramanto, Fidelfo, Castaldi, Tsaroto osv.) tjente ved hans hof. Sforza vidste, hvordan man kompetent styrede kreative mennesker. En anden stor mand - Leonardo da Vinci - var slet ikke let at styre: ambitiøs, egensindig, frihedskærlig. Men Lodovico fandt en tilgang til ham, gav ham interessante og varierede ordrer og afgjorde de opståede kreative konflikter.

Leonardo arbejdede for Sforza i næsten 17 år, og ville have arbejdet længere, hvis ikke for højden af ​​de italienske krige.

En ambitiøs hersker og en ambitiøs skaber ser ud til at have fundet hinanden! Harmoni?

Den første milanesiske periode af Leonardo da Vincis arbejde ved hertugen af ​​Sforzas hof var en af ​​de mest produktive og bedste i den store Leonardos liv med hensyn til kvaliteten af ​​hans kreationer (for eksempel Madonna Litta, Madonna fra Rocks, Madonna in the Grotto, Vitruvian Man, den mest grandiose "Last Supper", projekter af en ideel by, fly, lysbro, Francesco Sforzas kolossale ridemonument og meget mere) og i antallet af hans kreative manifestationer (musiker, digter, forfatter, arkitekt og billedhugger, ingeniør - meliorator, kulinarisk specialist, skakspiller, arrangør af baneballer og festligheder , maler, opfinder og rationalizer).

7.
Leonardo begyndte at deltage i de fantastiske forelæsninger om matematik af Luca Pacioli, beundrede hans talent som lærer og bredden af ​​hans matematiske lærdom. Leonardo blev ikke venner med enhver person; han kunne godt lide ekstraordinære, store og kompetente mennesker, såsom Pacioli. I da Vincis notesbog fra disse år er der en post: "Lær hvordan man formerer rødder fra Maestro Luca." Eller i en anden: "find ud af vægtmålet fra broder Lukas."

Luca viste en høj klasse i undervisning i matematik. Han kendte emnet dybt og grundigt, var ekspert i det. Pacioli så rigtigt ud. Sådan beskrev Albert Dupont ham: ”En smuk, energisk ung mand; hævede og ret brede skuldre afslører medfødt fysisk styrke, en kraftig nakke og en udviklet kæbe, et udtryksfuldt ansigt og øjne, der udstråler adel og intelligens, understreger karakterstyrken. En sådan lærer kunne tvinge til at lytte til sig selv og respektere sit emne."

Derudover var Pacioli høflig og behagelig i kommunikationen (en egenskab, der hjalp ham ikke kun i undervisningen, men også i at kommunikere med indflydelsesrige personer og venner, som han havde mange, og som han nød succes og protektion med).

Paciolis tilgang til læring var bygget på det deduktive princip - fra komplekst til simpelt: Først forklarede han det sværeste eksempel, de simple blev løst og derefter meget lettere. Pacioli formulerede denne tilgang (undervisningsprincippet): "De, der ikke har smagt bitre, fortjener ikke slik."

Luca Pacioli havde en stærk karakter. I 1477, 32 år gammel, gik han ind i klostervæsenet. For den tid, hvor moralen beskrevet ovenfor var i brug, var dette en bedrift. Pacioli trådte ind i klostervæsenet (nu under navnet Fra Luca af Borgo) og aflagde tre grundlæggende løfter: lydighed, kyskhed og ikke-optagelighed. I 1486 blev han også doktor i teologi (teologi). Men Luke opgav slet ikke sit kald - matematik, men blev tværtimod i hendes navn en omvandrende munkematematiker. Monasticisme tillod Fra Luca at gøre sin yndlingsting og gennem dette tjene Gud med sin gave, at overføre nyttig matematisk viden til interesserede mennesker. Han gjorde, hvad han elskede, ligeglad med, hvor meget han fik ud af det. Dette manifesterede tendensen i den franciskanske orden af ​​minoritterne: ikke at løbe væk fra livet, men at leve i det, at vise deres talenter for at behage Gud, men også at acceptere nyttig forsagelse for at undgå unødvendige fristelser. Forresten, af samme grund kom mange kreative mennesker til denne ordre. Et andet eksempel i historien er komponisten Franz Liszt.

Luca Pacioli blev som matematiker godt betalt for sine forelæsninger, og hans løn blev konstant hævet. Han var ret populær. Troskab mod løfterne tillod ham ikke at falde ind i grådighed om at tjene, men at nyde processen med videnskab og undervisning og udvikle sig i dem. Han forsøgte ikke at "sidde op" for længe ét sted: en af ​​måderne at være i god form, undgå fortrolighed og også udvide rækkevidden af ​​sit publikum. Så han arbejdede som matematiker i Perugia, Zara (Kroatien), Rom, Napoli, Venedig. Er dette ikke et af eksemplerne på en virkelig harmonisk renæssancemand?

Som en parallel, lad os bemærke, at Leonardo da Vinci ikke accepterede klostervæsen og ikke aflagde løfter, men observerede kanonerne for et korrekt liv i det høje samfund i Milano. På et tidspunkt mødtes han gennem Cecilia Gallerani (Sforzas favorit, en mand smuk i ånd og sind, som var en nær ven af ​​Leonardo, skrev poesi og læste i hans litterære klub), og lærte, hvordan at opføre.

Leonardo, der er en udadtil omgængelig person, en fremragende historiefortæller og fabulist, som vidste, hvordan man starter og vedligeholder en samtale om ethvert emne, gør det med lethed og humor, var samtidig hemmelighedsfuld, omhyggelig i kommunikationen. Han skrev aldrig åbent eller talte om tre vigtige ting: hans personlige liv, historien om hans opfindelser og hvad andre ikke burde vide. Han havde en notesbog på denne konto, hvori han førte optegnelser i krypteret form, hvoraf mange endnu ikke er blevet tydet. Leonardo holdt den nødvendige afstand til folk.

Som en berøring var han vegetar og undgik udskejelser i mad (tælle, observerede uformelle faster).

Leonardo behandlede indkomst ikke som Luca, men som en iværksætter: han vidste, hvordan han skulle tilbyde, "sælge" sig selv som mester (hvilket han med succes gjorde i 1482 og i forhold til Il Moreau, efter at have ankommet fra Firenze til Milano), arbejdede for de der betaler mere, og i det speciale, som de betaler mere for. Det var helt i renæssancens ånd. Kreative mennesker arbejdede oftere ikke for uinteresseret inspiration, men for velbetalte ordrer. Men der var masser af ordrer, anderledes og interessante! Protektion var også højt respekteret.

8.
Leonardo da Vinci begyndte at studere matematik med interesse fra Pacioli.

Leonardos store værdighed kan tilskrives det faktum, at han ikke tøvede med at lære nye og nødvendige ting i enhver alder og i enhver status, og gjorde det let uden at krænke sin stolthed.

Og det var nødvendigt at studere.

Leonardo havde ikke en systemisk uddannelse (efter at have studeret i sin tidlige ungdom hos arkitekten og maleren Andrea dell Verrocchio i Firenze og selvlært) og havde mange videnshuller. Hans stærke intuition, der overgik evnerne i hans æra, krævede en afhængighed af solid viden, hvilket ikke altid var sådan.

Til ingeniørarbejde, samt til støbning med bronze voks skulptur et kolossalt ryttermonument af Francesco Sforza (ca. 7 meter højt), havde han brug for viden om matematik. Luca Pacioli blev den person, der hjalp ham med at beregne materialerne til statuen, såvel som i det tekniske design til skabelsen af ​​vandkanaler.

Og hertugen af ​​Sforza krævede de mennesker, der arbejdede for ham. Det, de gjorde, skulle gøres med høj kvalitet, elegant, luksuriøst ned til mindste detalje. Lodovico, og især Beatrice, var meget omhyggelige med kvaliteten af ​​arbejdet hos de mennesker, der tjente dem.

9.
I disse år i Milan var Luca Pacioli allerede begyndt at skrive sit andet monumentale værk med titlen De Divina Proportione (Om guddommelig proportion). Mange ideer blev rejst tidligere, da de skrev "Beløb", og er delvist dækket af det. Temaet om guddommelig proportion som en kode for skønhed og harmoni bragte Luca og Leonardo endnu tættere sammen.

I maleriet, som Leonardo anså for den højeste og primære af kunsten (fordi det, som ingen anden, tillader en straks at fremhæve hele skønheden af ​​det afbildede objekt), var han glad for blandt andet to hovedtemaer: kvaliteten af tegningens linjer (teknikken med slørede linjer, svarende til den, som det menneskelige øje opfatter) og en afspejling af perspektiv og proportioner. Det andet tema var tæt på guddommelig proportion.

Luca Pacioli studerede på et tidspunkt fra så store malermestre som kunstneren, matematikeren og skaberen af ​​ideerne om beskrivende geometri Piero della Francesca (som Luca entusiastisk kaldte "Kongen af ​​maleri"), matematiker, maler, forfatter, arkitekt, arkitekt Leon Battista Alberti (som han udover uddannelse hjalp unge Luke i kontakter med mange indflydelsesrige mennesker og lånere). Pacioli studerede maleri, men blev ikke kunstner. Viden om det hjalp ham med en dybere forståelse af geometri og selvfølgelig skønhed og harmoni.

Den tredje betydningsfulde person i dette område var for Pacioli Leonardo da Vinci. Men det var ikke længere et venskab mellem en lærer og en elev, som før, men to kreative venner, fulde af ideer og design.

Mens Pacioli holdt foredrag om matematik i Pavia, skrev sit værk "On Divine Proportion", oversatte Euklids "Elementer", malede Leonardo den monumentale skønhed og harmoni "Den sidste nadver" i refektoriet i klostret Santa Maria della Grazia, skrev flere afhandlinger sideløbende udførte Sforza's ingeniøropgaver og forberedte den kolossale rytterstatue af Francesco til at hælde bronze.

Leonardo og Luca havde dybe og interessante samtaler om emnet guddommelig proportion, hvor den ekstraordinære kraft og skønhed ved belysning blev født.

Leonardo lavede på Paciolis anmodning også 60 farvetegninger i stereometri af regulære og semiregulære polyedre til afhandlingen. Han gjorde det, som Luke skrev om det i sin afhandling, "med sin guddommelige venstre hånd" (da Vinci vidste, hvordan man skriver og tegnede med begge hænder, og fra venstre mod højre, og omvendt, og i tone til spejlbilledet han udførte især kreativt arbejde med venstre hånd).

Leonardo malede polyedere uden beregning og kompasser og på samme tid smukt, harmonisk og præcist. Luka opbevarede derefter, indtil sin død, omhyggeligt en kopi af tegningerne. Pacioli lavede modeller af almindelige polyeder med sin egen hånd.

De færdige kopier af manuskriptet med tegninger og modeller blev præsenteret for indflydelsesrige personer i Milano (som det skulle være efter datidens regler).

En omfangsrig manuskriptafhandling "De Divina Proportione" i 3 dele (om guddommelig proportion, på regulære polyeder, om arkitektur), blev færdiggjort i december 1498 og dedikeret til hertugen af ​​Milano, Lodovico Sforza il Moro. Trykt i Venedig, i trykkeriet af samme Paganino Paganini, var det kun 11 år senere, i 1509.

10.
Afslutningsvis et par ord om emnet selve den guddommelige proportion, for med ordene om verdens skønhed og harmoni, som universets hemmeligheder, blev denne historie startet.

Luca Pacioli (eller Fra Luca fra Borgo) kaldte den guddommelige proportion, hvad man i den moderne verden kalder det "gyldne snit". Efternavnet fik ham i 1835 af den tyske matematiker Martin Ohm, bror til den berømte fysiker Georg Ohm. Emnet har tiltrukket mange mennesker i historien siden det gamle Babylons og Egyptens dage.

Det "gyldne snit" eller "guddommelige proportioner" forstås som et af universets mysterier, en slags universel og unik kode for skønhed og harmoni. Denne forbindelse af dele af en helhed, opfattet som den bedste (smukkeste) til æstetisk opfattelse human; når den mindre del forholder sig til den større såvel som den større til helheden. Det beskrives med det irrationelle tal Phi (til ære for den antikke græske arkitekt Fidey) og kaldes også Guds tal: 1,6180 .... I procent, betinget, er det 62 og 38 procent.

Andelen af ​​det "gyldne snit" (eller den guddommelige proportion) ses som universel, iboende i de fleste former for naturobjekter (forholdet mellem en firbens krop og hale, den menneskelige krop (Vitruvius, da Vinci, Durer, Zeising) studeret mere detaljeret), et hønseæg, en spiral af en snegl og et DNA-molekyle, arrangementet af blade på en cikoriegren osv.) Og de fremragende resultater af menneskelig kreativitet (i arkitektur og arkitektur, litteratur, maleri, musik, biograf, smukke polyedres geometri osv.).

I sin afhandling "On Divine Proportion" hævdede Luca Pacioli, at dette er den eneste del af skønhed (da Gud er den eneste), og der er ingen kombination, der er bedre end den. Det er derfor, han talte om hende som guddommelig.

Luke beviste konsekvenserne af teoremet, og afslørede 13 egenskaber ved den guddommelige proportion (tallet 13 blev valgt af en grund: 13 mennesker sad ved bordet ved den sidste nadver).

Han underbyggede dets anvendelse i arkitektur og arkitektur, talte om det som grundlaget for at konstruere regulære geometriske legemer (5 Platon-polyeder, der karakteriserer 5 kosmiske elementer: en pyramide (tetraeder), bestående af 4 almindelige trekanter- ildelementet, en terning (hexahedron), bestående af 6 kvadrater - jordelementet, et oktaeder, bestående af 8 regulære trekanter - elementet luft, et icosahedron, bestående af 20 regulære trekanter - elementet vand, et dodekaeder, bestående af 12 regulære femkanter - elementet æter eller universet; og de fleste af de 13 afkortede Archimedes-polytoper).

Pacioli henvendte sig som kilder både til Euklids geometri (bogen "Begyndelser") og til Pythagoras' værker og til Platons "Timaeus" og til Fibonaccis tal og problemer præsenteret i hans bog Abacus (tællebrættet) , og til Vitruvius og til Albertis værker om arkitektur, som afslører betydningen og mulighederne for guddommelig proportion.

Grundlæggende var De Divina Proportione en entusiastisk hymne til det gyldne snit, skrevet i stil med tidlig renæssancematematik (noget kompliceret, nogle gange mystisk snarere end logisk). Men det var en vigtig encyklopædi af matematisk viden om skønhed og harmoni. Den retning, der senere skulle blive kaldt "æstetikkens matematik". Det blev fuldført af Pacioli i en vanskelig historisk periode.

Det var højdepunktet af de italienske krige, tiden var urolig, og folk havde ikke tid til skønhed og dens universelle koder. Enhver krig (ved at den altid spiller en negativ rolle) reducerer nogle gange folks motiver til primitive: at overleve ...

Kun efterkommere, meget senere, værdsatte dette arbejde af Fra Luca fra Borgo.

11.
I 1499 blev Milano erobret af franskmændene. Lodovico tog ikke hensyn til overlegenheden af ​​styrkerne fra den franske konge Ludvig XII. Sforza flygtede fra Milano, samlede en hær af schweiziske lejesoldater og forsøgte at generobre byen, men blev besejret ved Novara. Schweizerne overgav Lodovico til franskmændene for retten til deres frihed. Hertugen af ​​Sforza blev fængslet i det skumle slot Loches i det sydlige Frankrig og tilbragte næsten 8 år der. Under Sforzas nederlag skrev Leonardo ind i sin dagbog: "Hertugen mistede sin stat, ejendom, frihed, og ingen af ​​hans anliggender blev fuldført af ham." Mange initiativer fra Leonardo selv var også ufuldstændige. Den store kolossale statue af Francesco Sforza, som Leonardo arbejdede på så længe, ​​blev aldrig støbt i bronze (for den gik i brug), og dens voksmodel blev lemlæstet og ødelagt af franske pile.

Den franske konge Ludvig XII behandlede Ludovico Sforza alvorligt og nådesløst, fratog ham alt, hvad han havde, og sendte ham i fængsel. Som historikere vidner om, er en af sidste ord af denne, i mange henseender talentfulde, mand, indskrevet af ham på væggene i hans mørke fængselscelle, var "Infelix sum" ("Jeg er ulykkelig"; lat).

Sforza døde i varetægt i en alder af 55. Da han formentlig var en begavet, skarpsynet, til tider hård taktiker, var han ikke så fremsynet og yndefuld i strategien. Da han var initiativtager til franskmændenes ankomst til Italien, for at forene sig med dem mod Napoli og Firenze, blev han besejret af dem. Sådanne fejl bliver ofte ikke tilgivet til denne verdens magtfulde.

12.
Luca og Leonardo flygtede med succes fra Milano til Mantua, under dække af markisen Isabella d'Este (gift med Gonzago), storesøster Lodovico Beatrice d'Estes afdøde hustru. Hun gav dem ikke sin konstante protektion, men tilbød at blive i Mantua i kort tid. Som et tegn på taknemmelighed skrev Luca Pacioli på anmodning af markisen en afhandling om skak til hende på latin (De Ludo Schacorum eller Schifanoia "; Om skakspillet eller Kedsomhedens banner). Leonardo foreslog også en række underholdende problemer i det og færdiggjorde alle tegningerne.

Isabella, markisen af ​​Mantua, som elskede at spille skak, blev præsenteret for en afhandling på 96 ark med 114 underholdende skakproblemer, med tegninger af Leonardo da Vinci (igen lavet af hans "guddommelige" venstre hånd). Proportionerne af skakbrikker blev udført af Leonardo i henhold til reglerne for det "gyldne snit" (guddommelig proportion). Markisen af ​​Gonzago værdsatte gaven med taknemmelighed.

Luca og Leonardo immigrerede snart til Venedig og derefter til Firenze. Yderligere skiltes deres veje og krydsedes ikke længere og efterlod kun gode taknemmelige minder om det Milan, Sforza-familien, mysteriet om guddommelig proportion og hinanden.

* I fotocollagen: på baggrund af Castello Sforzesco (Sforza-slottet) øverst til venstre - Luca Pacioli, øverst til højre - Leonardo da Vinci, nederst til venstre - Platons fem regulære polyedre, nederst til højre - omslaget af afhandlingen "De Divina Proportione".

** 19. juni 2017 markerer 500-året for Luca Paciolis død. Han døde og bliver begravet i den samme by, hvor han blev født - den italienske provins Borgo San Sepolcro (Den Hellige Gravs by).