Y - आउटपुट व्हेरिएबल्सचे वेक्टर, Y=t,

Z हा बाह्य प्रभावांचा वेक्टर आहे, Z=t,

टी - वेळ समन्वय.

बांधकाम गणितीय मॉडेलविशिष्ट प्रक्रिया आणि घटना यांच्यातील संबंध निश्चित करणे, एक गणितीय उपकरणे तयार करणे ज्यामुळे एखाद्याला विशिष्ट प्रक्रिया आणि घटना, तज्ञांना स्वारस्य असलेल्या भौतिक प्रमाणात आणि अंतिम परिणामावर परिणाम करणारे घटक यांच्यातील संबंध परिमाणात्मक आणि गुणात्मकपणे व्यक्त करण्यास अनुमती देते.

सहसा त्यापैकी बरेच आहेत की त्यांचे संपूर्ण सेट मॉडेलमध्ये सादर करणे अशक्य आहे. बांधताना गणितीय मॉडेलअभ्यासापूर्वी, अंतिम निकालावर लक्षणीय परिणाम न करणारे घटक ओळखणे आणि त्यातून वगळण्याचे कार्य उद्भवते ( गणितीय मॉडेलसामान्यत: वास्तविकतेपेक्षा कमी घटकांचा समावेश होतो). प्रायोगिक डेटाच्या आधारे, अंतिम परिणाम व्यक्त करणार्‍या परिमाण आणि त्यात समाविष्ट केलेले घटक यांच्यातील संबंधांबद्दल गृहितके मांडली जातात. गणितीय मॉडेल. असे कनेक्शन अनेकदा विभेदक प्रणालीद्वारे व्यक्त केले जाते आंशिक विभेदक समीकरणे(उदाहरणार्थ, घन, द्रव आणि वायूंच्या यांत्रिकी समस्यांमध्ये, गाळण्याचा सिद्धांत, थर्मल चालकता, इलेक्ट्रोस्टॅटिक आणि इलेक्ट्रोडायनामिक फील्डचा सिद्धांत).

या टप्प्याचे अंतिम ध्येय म्हणजे गणितीय समस्येचे सूत्रीकरण, ज्याचे निराकरण आवश्यक अचूकतेसह, तज्ञांना स्वारस्य असलेले परिणाम व्यक्त करते.

सादरीकरणाचे स्वरूप आणि तत्त्वे गणितीय मॉडेलअनेक घटकांवर अवलंबून आहे.

बांधकामाच्या तत्त्वांनुसार गणितीय मॉडेलविभागलेले:

1. विश्लेषणात्मक
2. अनुकरण

विश्लेषणात्मक मॉडेल्समध्ये, वास्तविक वस्तू, प्रक्रिया किंवा प्रणालींच्या कार्याच्या प्रक्रिया स्पष्ट स्वरूपात लिहिल्या जातात. कार्यात्मक अवलंबित्व.

विश्लेषणात्मक मॉडेल गणिताच्या समस्येवर अवलंबून प्रकारांमध्ये विभागले गेले आहे:

1. समीकरणे (बीजगणितीय, अतींद्रिय, विभेदक, अविभाज्य),
2. अंदाजे समस्या (इंटरपोलेशन, एक्सट्रापोलेशन, संख्यात्मक एकीकरणआणि भिन्नता),
3. ऑप्टिमायझेशन समस्या,
4. स्टोकास्टिक समस्या.

तथापि, मॉडेलिंग ऑब्जेक्ट अधिक जटिल होत असताना, विश्लेषणात्मक मॉडेल तयार करणे ही एक गुंतागुंतीची समस्या बनते. मग संशोधकाला वापरण्यास भाग पाडले जाते सिम्युलेशन.

IN सिम्युलेशन मॉडेलिंगवस्तू, प्रक्रिया किंवा प्रणालींचे कार्य अल्गोरिदमच्या संचाद्वारे वर्णन केले जाते. अल्गोरिदम वास्तविक प्राथमिक घटनांचे अनुकरण करतात जे त्यांचे जतन करताना प्रक्रिया किंवा प्रणाली बनवतात तार्किक रचनाआणि कालांतराने घटनेचा क्रम. सिम्युलेशन मॉडेलिंगआपल्याला स्त्रोत डेटाबद्दल माहिती मिळविण्यास अनुमती देते प्रक्रिया अवस्थाकिंवा वेळेच्या ठराविक बिंदूंवर प्रणाली, परंतु वस्तू, प्रक्रिया किंवा प्रणालींच्या वर्तनाचा अंदाज लावणे येथे कठीण आहे. असे म्हणता येईल सिम्युलेशन मॉडेल- हे संगणकावर चालते संगणकीय प्रयोगसह गणितीय मॉडेल, वास्तविक वस्तू, प्रक्रिया किंवा प्रणालींच्या वर्तनाचे अनुकरण करणे.

अभ्यास केल्या जात असलेल्या वास्तविक प्रक्रिया आणि प्रणालींच्या स्वरूपावर अवलंबून गणितीय मॉडेलअसू शकते:

1. निर्धारवादी,
2. स्टोकेस्टिक

निर्धारक मॉडेल्समध्ये, असे गृहीत धरले जाते की कोणतेही यादृच्छिक प्रभाव नाहीत, मॉडेलचे घटक (चल, गणितीय कनेक्शन) अगदी अचूकपणे स्थापित केले आहेत आणि सिस्टमचे वर्तन अचूकपणे निर्धारित केले जाऊ शकते. निर्धारक मॉडेल तयार करताना, बीजगणितीय समीकरणे, अविभाज्य समीकरणे आणि मॅट्रिक्स बीजगणित बहुतेकदा वापरले जातात.

स्टोकास्टिक मॉडेलअभ्यासाधीन वस्तू आणि प्रणालींमधील प्रक्रियांचे यादृच्छिक स्वरूप लक्षात घेते, ज्याचे वर्णन संभाव्यता सिद्धांत आणि गणितीय आकडेवारीच्या पद्धतींद्वारे केले जाते.

इनपुट माहितीच्या प्रकारावर आधारित, मॉडेल्समध्ये विभागले गेले आहेत:

1. सतत,
2. स्वतंत्र

जर माहिती आणि पॅरामीटर्स सतत असतील आणि गणितीय कनेक्शन स्थिर असतील तर मॉडेल सतत आहे. आणि त्याउलट, जर माहिती आणि पॅरामीटर्स वेगळे असतील आणि कनेक्शन अस्थिर असतील तर गणितीय मॉडेल- वेगळे.

कालांतराने मॉडेलच्या वर्तनावर आधारित, ते विभागले गेले आहेत:

1. स्थिर
2. गतिमान

स्थिर मॉडेल्स कोणत्याही वेळी ऑब्जेक्ट, प्रक्रिया किंवा सिस्टमच्या वर्तनाचे वर्णन करतात. डायनॅमिक मॉडेल्स कालांतराने ऑब्जेक्ट, प्रक्रिया किंवा प्रणालीचे वर्तन प्रतिबिंबित करतात.

दरम्यानच्या पत्रव्यवहाराच्या डिग्रीनुसार

सोवेटोव्ह आणि याकोव्हलेव्ह यांच्या पाठ्यपुस्तकानुसार: "मॉडेल (लॅट. मॉड्यूलस - माप) मूळ ऑब्जेक्टसाठी एक पर्यायी वस्तू आहे, जी मूळच्या काही गुणधर्मांचा अभ्यास सुनिश्चित करते." (p. 6) "मॉडेल ऑब्जेक्ट वापरून मूळ ऑब्जेक्टच्या सर्वात महत्वाच्या गुणधर्मांबद्दल माहिती मिळविण्यासाठी एक ऑब्जेक्ट दुसर्‍या वस्तूने बदलणे याला मॉडेलिंग म्हणतात." (पृ. 6) “खाली गणितीय मॉडेलिंगदिलेल्या वास्तविक वस्तूशी विशिष्ट गणितीय वस्तू, ज्याला गणितीय मॉडेल म्हणतात, त्याच्याशी पत्रव्यवहार स्थापित करण्याची प्रक्रिया आणि या मॉडेलचा अभ्यास समजून घेऊ, ज्यामुळे आपल्याला विचाराधीन वास्तविक वस्तूची वैशिष्ट्ये मिळू शकतात. गणितीय मॉडेलचा प्रकार वास्तविक ऑब्जेक्टचे स्वरूप आणि ऑब्जेक्टचा अभ्यास करण्याची कार्ये आणि या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी आवश्यक विश्वासार्हता आणि अचूकता या दोन्हींवर अवलंबून असतो.

शेवटी, गणितीय मॉडेलची सर्वात संक्षिप्त व्याख्या: "एक कल्पना व्यक्त करणारे समीकरण."

मॉडेल वर्गीकरण

मॉडेलचे औपचारिक वर्गीकरण

मॉडेल्सचे औपचारिक वर्गीकरण वापरलेल्या वर्गीकरणावर आधारित आहे गणिती साधने. बहुतेकदा द्विभाजनांच्या स्वरूपात बांधले जाते. उदाहरणार्थ, डिकोटॉमीजच्या लोकप्रिय संचांपैकी एक:

आणि असेच. प्रत्येक तयार केलेले मॉडेल रेखीय किंवा नॉनलाइनर, निर्धारक किंवा स्टॉकेस्टिक आहे,... स्वाभाविकच, मिश्र प्रकार: एका बाबतीत केंद्रित (मापदंडांच्या संदर्भात), दुसर्‍यामध्ये - वितरित मॉडेल इ.

ऑब्जेक्टचे प्रतिनिधित्व करण्याच्या पद्धतीनुसार वर्गीकरण

औपचारिक वर्गीकरणाबरोबरच, मॉडेल्स एखाद्या वस्तूचे प्रतिनिधित्व करण्याच्या पद्धतीमध्ये भिन्न आहेत:

• स्ट्रक्चरल किंवा फंक्शनल मॉडेल

स्ट्रक्चरल मॉडेल्स ऑब्जेक्टची स्वतःची रचना आणि कार्यप्रणाली असलेली प्रणाली म्हणून प्रतिनिधित्व करतात. फंक्शनल मॉडेल्स अशा प्रकारची प्रस्तुती वापरत नाहीत आणि ऑब्जेक्टचे केवळ बाह्यरित्या समजलेले वर्तन (कार्यरत) प्रतिबिंबित करतात. त्यांच्या अत्यंत अभिव्यक्तीमध्ये, त्यांना "ब्लॅक बॉक्स" मॉडेल देखील म्हटले जाते. एकत्रित प्रकारचे मॉडेल देखील शक्य आहेत, ज्यांना कधीकधी "ग्रे बॉक्स" मॉडेल म्हणतात.

सामग्री आणि औपचारिक मॉडेल

गणितीय मॉडेलिंगच्या प्रक्रियेचे वर्णन करणारे जवळजवळ सर्व लेखक सूचित करतात की प्रथम एक विशेष आदर्श रचना तयार केली गेली आहे, सामग्री मॉडेल. येथे कोणतीही स्थापित शब्दावली नाही आणि इतर लेखक याला आदर्श वस्तू म्हणतात संकल्पनात्मक मॉडेल , सट्टा मॉडेलकिंवा प्रीमॉडेल. या प्रकरणात, अंतिम गणितीय बांधकाम म्हणतात औपचारिक मॉडेलकिंवा दिलेल्या अर्थपूर्ण मॉडेलच्या (प्री-मॉडेल) औपचारिकतेच्या परिणामी प्राप्त केलेले गणितीय मॉडेल. अर्थपूर्ण मॉडेलचे बांधकाम तयार आदर्शीकरणाचा संच वापरून केले जाऊ शकते, जसे की यांत्रिकी, जेथे आदर्श झरे, कठोर शरीरे, आदर्श पेंडुलम, लवचिक माध्यम इ. रेडीमेड प्रदान करतात. संरचनात्मक घटकअर्थपूर्ण मॉडेलिंगसाठी. तथापि, ज्ञानाच्या क्षेत्रात जेथे पूर्णतः पूर्ण झालेले औपचारिक सिद्धांत नाहीत (भौतिकशास्त्र, जीवशास्त्र, अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र, मानसशास्त्र आणि इतर बहुतेक क्षेत्रांचा अत्याधुनिक भाग), अर्थपूर्ण मॉडेल्सची निर्मिती नाटकीयदृष्ट्या अधिक कठीण होते.

मॉडेलचे सामग्री वर्गीकरण

विज्ञानातील कोणतीही गृहीते एकदाच सिद्ध करता येत नाहीत. रिचर्ड फेनमन यांनी हे अगदी स्पष्टपणे मांडले आहे:

“आम्हाला नेहमीच एखादा सिद्धांत खोटा ठरवण्याची संधी असते, परंतु लक्षात ठेवा की ते बरोबर आहे हे आपण कधीही सिद्ध करू शकत नाही. चला असे गृहीत धरू की तुम्ही एक यशस्वी गृहीतक मांडले आहे, ते कोठे नेले आहे याची गणना केली आहे आणि असे आढळले आहे की त्याचे सर्व परिणाम प्रायोगिकरित्या पुष्टी झाले आहेत. याचा अर्थ तुमचा सिद्धांत बरोबर आहे का? नाही, याचा सरळ अर्थ असा आहे की तुम्ही त्याचे खंडन करण्यात अयशस्वी झाले.

जर पहिल्या प्रकारचे मॉडेल तयार केले असेल तर याचा अर्थ असा आहे की ते तात्पुरते सत्य म्हणून ओळखले जाते आणि इतर समस्यांवर लक्ष केंद्रित करू शकते. तथापि, हा संशोधनाचा मुद्दा असू शकत नाही, परंतु केवळ तात्पुरता विराम: पहिल्या प्रकारच्या मॉडेलची स्थिती केवळ तात्पुरती असू शकते.

प्रकार २: फेनोमेनोलॉजिकल मॉडेल (आम्ही जसे वागतो…)

इंद्रियगोचर मॉडेलमध्ये घटनेचे वर्णन करण्यासाठी एक यंत्रणा असते. तथापि, ही यंत्रणा पुरेशी खात्रीशीर नाही, उपलब्ध डेटाद्वारे पुरेशी पुष्टी केली जाऊ शकत नाही, किंवा विद्यमान सिद्धांत आणि ऑब्जेक्टबद्दल जमा केलेल्या ज्ञानाशी नीट बसत नाही. म्हणून अपूर्व मॉडेलतात्पुरत्या उपायांची स्थिती आहे. असे मानले जाते की उत्तर अद्याप अज्ञात आहे आणि "खऱ्या यंत्रणा" चा शोध सुरूच ठेवला पाहिजे. Peierls मध्ये, उदाहरणार्थ, उष्मांक मॉडेल आणि प्राथमिक कणांचे क्वार्क मॉडेल दुसरा प्रकार म्हणून समाविष्ट आहे.

संशोधनातील मॉडेलची भूमिका कालांतराने बदलू शकते आणि असे होऊ शकते की नवीन डेटा आणि सिद्धांत अभूतपूर्व मॉडेलची पुष्टी करतात आणि त्यांना गृहीतकाच्या स्थितीत बढती दिली जाते. त्याचप्रमाणे, नवीन ज्ञान हळूहळू पहिल्या प्रकारच्या मॉडेल्स- गृहितकांशी संघर्षात येऊ शकते आणि ते दुसऱ्यामध्ये अनुवादित केले जाऊ शकते. अशा प्रकारे, क्वार्क मॉडेल हळूहळू गृहीतकांच्या श्रेणीत जात आहे; भौतिकशास्त्रातील अणुवाद तात्पुरते उपाय म्हणून उद्भवला, परंतु इतिहासाच्या ओघात तो पहिला प्रकार बनला. परंतु ईथर मॉडेल्सने टाइप 1 ते टाइप 2 पर्यंत मार्ग तयार केला आहे आणि आता ते विज्ञानाच्या बाहेर आहेत.

मॉडेल तयार करताना सरलीकरणाची कल्पना खूप लोकप्रिय आहे. परंतु सरलीकरण वेगवेगळ्या स्वरूपात येते. पियर्ल्स मॉडेलिंगमध्ये तीन प्रकारचे सरलीकरण ओळखतात.

प्रकार 3: अंदाजे (आपण एखादी गोष्ट खूप मोठी किंवा खूप लहान मानतो)

अभ्यासाधीन प्रणालीचे वर्णन करणारी समीकरणे बांधणे शक्य असल्यास, याचा अर्थ असा नाही की ते संगणकाच्या मदतीने सोडवले जाऊ शकतात. या प्रकरणात एक सामान्य तंत्र म्हणजे अंदाजे (प्रकार 3 मॉडेल) वापरणे. त्यापैकी रेखीय प्रतिसाद मॉडेल. समीकरणांची जागा रेखीय समीकरणांनी घेतली आहे. एक प्रमाणित उदाहरण म्हणजे ओमचा नियम.

येथे प्रकार 8 येतो, जो जैविक प्रणालींच्या गणितीय मॉडेल्समध्ये व्यापक आहे.

प्रकार 8: वैशिष्ट्य प्रात्यक्षिक (मुख्य गोष्ट म्हणजे संभाव्यतेची अंतर्गत सुसंगतता दर्शविणे)

हे देखील काल्पनिक घटकांसह विचार प्रयोग आहेत, ते दर्शवितात कथित घटनामूलभूत तत्त्वांशी सुसंगत आणि अंतर्गत सुसंगत. प्रकार 7 च्या मॉडेलमधील हा मुख्य फरक आहे, जो लपलेले विरोधाभास प्रकट करतो.

यापैकी सर्वात प्रसिद्ध प्रयोगांपैकी एक म्हणजे लोबाचेव्हस्कीची भूमिती (लोबाचेव्हस्कीने त्याला "काल्पनिक भूमिती" म्हटले). दुसरे उदाहरण म्हणजे रासायनिक आणि जैविक कंपन, ऑटोवेव्ह इत्यादींच्या औपचारिकपणे गतिज मॉडेल्सचे मोठ्या प्रमाणावर उत्पादन. क्वांटम मेकॅनिक्सची विसंगती दर्शवण्यासाठी आइन्स्टाईन-पोडॉल्स्की-रोसेन विरोधाभास प्रकार 7 मॉडेल म्हणून कल्पित करण्यात आला. पूर्णपणे अनियोजित मार्गाने, ते अखेरीस टाइप 8 मॉडेलमध्ये बदलले - माहितीच्या क्वांटम टेलिपोर्टेशनच्या शक्यतेचे प्रदर्शन.

उदाहरण

एका टोकाला जोडलेले स्प्रिंग आणि वस्तुमान असलेल्या यांत्रिक प्रणालीचा विचार करा मीवसंत ऋतु मुक्त शेवटी संलग्न. आम्ही असे गृहीत धरू की लोड फक्त स्प्रिंग अक्षाच्या दिशेने जाऊ शकते (उदाहरणार्थ, रॉडच्या बाजूने हालचाल होते). चला या प्रणालीचे गणितीय मॉडेल तयार करूया. आम्ही अंतरानुसार प्रणालीच्या स्थितीचे वर्णन करू xलोडच्या केंद्रापासून त्याच्या समतोल स्थितीपर्यंत. स्प्रिंग आणि लोड वापरून परस्परसंवादाचे वर्णन करूया हुकचा कायदा (एफ = − kx ) आणि नंतर न्यूटनचा दुसरा नियम विभेदक समीकरणाच्या रूपात व्यक्त करण्यासाठी वापरा:

जेथे याचा अर्थ दुसरा व्युत्पन्न xवेळेनुसार: .

परिणामी समीकरण विचारात घेतलेल्या भौतिक प्रणालीच्या गणितीय मॉडेलचे वर्णन करते. या मॉडेलला "हार्मोनिक ऑसिलेटर" म्हणतात.

औपचारिक वर्गीकरणानुसार, हे मॉडेल रेखीय, निर्धारवादी, गतिमान, केंद्रित, निरंतर आहे. त्याच्या बांधकामाच्या प्रक्रियेत, आम्ही अनेक गृहितक केले (अनुपस्थितीबद्दल बाह्य शक्ती, घर्षणाची अनुपस्थिती, लहान विचलन इ.), जे प्रत्यक्षात पूर्ण होऊ शकत नाहीत.

वास्तविकतेच्या संबंधात, हे बहुतेकदा प्रकार 4 मॉडेल असते सरलीकरण(“आम्ही स्पष्टतेसाठी काही तपशील वगळू”), कारण काही आवश्यक सार्वत्रिक वैशिष्ट्ये (उदाहरणार्थ, अपव्यय) वगळण्यात आली आहेत. काही अंदाजानुसार (म्हणजे, समतोल पासून भाराचे विचलन लहान असताना, कमी घर्षणासह, जास्त वेळ नसताना आणि काही इतर अटींच्या अधीन असताना), असे मॉडेल वास्तविक यांत्रिक प्रणालीचे चांगले वर्णन करते, कारण टाकून दिलेल्या घटकांमध्ये त्याच्या वर्तनावर नगण्य प्रभाव. तथापि, यापैकी काही घटक लक्षात घेऊन मॉडेल परिष्कृत केले जाऊ शकते. हे नवीन मॉडेलकडे नेईल, ज्यामध्ये लागू होण्याच्या विस्तृत (पुन्हा मर्यादित) व्याप्ती असेल.

तथापि, मॉडेल परिष्कृत करताना, त्याच्या गणितीय संशोधनाची जटिलता लक्षणीय वाढू शकते आणि मॉडेलला अक्षरशः निरुपयोगी बनवू शकते. बर्‍याचदा, एक साधे मॉडेल अधिक जटिल प्रणालीपेक्षा (आणि औपचारिकपणे, "अधिक बरोबर") वास्तविक प्रणालीचे चांगले आणि सखोल अन्वेषण करण्यास अनुमती देते.

जर आपण हार्मोनिक ऑसिलेटर मॉडेल भौतिकशास्त्रापासून दूर असलेल्या वस्तूंवर लागू केले तर त्याची मूळ स्थिती वेगळी असू शकते. उदाहरणार्थ, हे मॉडेल जैविक लोकसंख्येवर लागू करताना, ते बहुधा प्रकार 6 म्हणून वर्गीकृत केले जावे साधर्म्य("फक्त काही वैशिष्ट्ये विचारात घेऊया").

हार्ड आणि मऊ मॉडेल

हार्मोनिक ऑसीलेटर तथाकथित "हार्ड" मॉडेलचे उदाहरण आहे. हे वास्तविक भौतिक प्रणालीच्या मजबूत आदर्शीकरणाच्या परिणामी प्राप्त होते. त्याच्या लागू होण्याच्या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी, आपण दुर्लक्ष केलेले घटक किती महत्त्वाचे आहेत हे समजून घेणे आवश्यक आहे. दुसऱ्या शब्दांत, "मऊ" मॉडेलचा अभ्यास करणे आवश्यक आहे, जे "कठोर" मॉडेलच्या लहान गोंधळाने प्राप्त होते. हे दिले जाऊ शकते, उदाहरणार्थ, खालील समीकरणाद्वारे:

येथे काही कार्ये आहेत जी घर्षण शक्ती किंवा स्प्रिंग कडकपणा गुणांक त्याच्या स्ट्रेचिंगच्या डिग्रीवर अवलंबून असू शकतात - काही लहान पॅरामीटर. स्पष्ट कार्य फॉर्म fआम्हाला मध्ये हा क्षणरस नाही. जर आम्ही हे सिद्ध केले की सॉफ्ट मॉडेलचे वर्तन हे हार्ड मॉडेलच्या वर्तनापेक्षा मूलभूतपणे भिन्न नाही (स्पष्ट प्रकारची पर्वा न करता, जर ते पुरेसे लहान असतील तर), हार्ड मॉडेलचा अभ्यास करण्यात समस्या कमी होईल. अन्यथा, कठोर मॉडेलचा अभ्यास केल्यावर प्राप्त झालेल्या परिणामांच्या अनुप्रयोगासाठी अतिरिक्त संशोधन आवश्यक असेल. उदाहरणार्थ, हार्मोनिक ऑसीलेटरच्या समीकरणाचे समाधान म्हणजे फॉर्मची फंक्शन्स, म्हणजे, स्थिर मोठेपणासह दोलन. यावरून असे घडते का की वास्तविक ऑसिलेटर स्थिर मोठेपणासह अनिश्चित काळासाठी दोलन करेल? नाही, कारण अनियंत्रितपणे लहान घर्षण (नेहमी वास्तविक प्रणालीमध्ये उपस्थित) असलेल्या प्रणालीचा विचार केल्यास, आम्हाला ओलसर दोलन मिळतात. व्यवस्थेचे वर्तन गुणात्मक बदलले आहे.

जर एखाद्या प्रणालीने त्याचे गुणात्मक वर्तन लहान अडथळ्यांखाली राखले तर ते संरचनात्मकदृष्ट्या स्थिर असल्याचे म्हटले जाते. हार्मोनिक ऑसिलेटर हे संरचनात्मकदृष्ट्या अस्थिर (नॉन-रफ) प्रणालीचे उदाहरण आहे. तथापि, हे मॉडेल मर्यादित कालावधीत प्रक्रियांचा अभ्यास करण्यासाठी वापरले जाऊ शकते.

मॉडेल्सची अष्टपैलुत्व

सर्वात महत्वाचे गणितीय मॉडेल सहसा असतात महत्वाची मालमत्ता अष्टपैलुत्व: मूलतः भिन्न वास्तविक घटनांचे वर्णन समान गणितीय मॉडेलद्वारे केले जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, एक हार्मोनिक ऑसीलेटर केवळ स्प्रिंगवरील लोडच्या वर्तनाचेच वर्णन करत नाही तर इतर दोलन प्रक्रियांचे देखील वर्णन करतो, बहुतेकदा पूर्णपणे भिन्न स्वरूपाचे: पेंडुलमचे छोटे दोलन, द्रव पातळीतील चढ-उतार. यू-आकाराचे जहाज किंवा दोलन सर्किटमध्ये वर्तमान सामर्थ्यामध्ये बदल. अशाप्रकारे, एका गणिती मॉडेलचा अभ्यास करून, आपण त्याद्वारे वर्णन केलेल्या घटनांच्या संपूर्ण वर्गाचा त्वरित अभ्यास करतो. वैज्ञानिक ज्ञानाच्या विविध विभागांमध्ये गणितीय मॉडेल्सद्वारे व्यक्त केलेल्या कायद्यांचा हा समरूपता आहे ज्याने लुडविग फॉन बर्टालान्फी यांना "प्रणालींचा सामान्य सिद्धांत" तयार करण्यास प्रेरित केले.

गणितीय मॉडेलिंगच्या थेट आणि व्यस्त समस्या

गणितीय मॉडेलिंगशी संबंधित अनेक समस्या आहेत. प्रथम, आपल्याला मॉडेल केलेल्या ऑब्जेक्टचे मूलभूत आकृतीसह येणे आवश्यक आहे, या विज्ञानाच्या आदर्शीकरणाच्या चौकटीत त्याचे पुनरुत्पादन करणे आवश्यक आहे. अशाप्रकारे, ट्रेन कार वेगवेगळ्या सामग्रीपासून प्लेट्स आणि अधिक जटिल शरीरांच्या प्रणालीमध्ये बदलते, प्रत्येक सामग्रीला त्याचे मानक यांत्रिक आदर्शीकरण (घनता, लवचिक मोड्युली, मानक सामर्थ्य वैशिष्ट्ये) म्हणून निर्दिष्ट केले जाते, ज्यानंतर समीकरणे तयार केली जातात आणि वाटेत. काही तपशील बिनमहत्त्वाचे म्हणून टाकून दिले जातात, मोजमापांच्या तुलनेत मोजणी केली जाते, मॉडेल शुद्ध केले जाते, इत्यादी. तथापि, गणितीय मॉडेलिंग तंत्रज्ञान विकसित करण्यासाठी, या प्रक्रियेला त्याच्या मुख्य घटकांमध्ये वेगळे करणे उपयुक्त आहे.

पारंपारिकपणे, गणितीय मॉडेलशी संबंधित समस्यांचे दोन मुख्य वर्ग आहेत: थेट आणि व्यस्त.

थेट कार्य: मॉडेलची रचना आणि त्याचे सर्व पॅरामीटर्स ज्ञात मानले जातात, मुख्य कार्य म्हणजे काढण्यासाठी मॉडेलचा अभ्यास करणे उपयुक्त ज्ञानऑब्जेक्ट बद्दल. पूल किती स्थिर भार सहन करेल? डायनॅमिक लोडवर त्याची प्रतिक्रिया कशी असेल (उदाहरणार्थ, सैनिकांच्या कंपनीच्या मार्चला किंवा वेगवेगळ्या वेगाने ट्रेनच्या पासवर), विमान कसे मात करेल आवाज अडथळाते फडफडण्यापासून वेगळे होईल की नाही - ही थेट समस्येची विशिष्ट उदाहरणे आहेत. योग्य थेट समस्या सेट करण्यासाठी (योग्य प्रश्न विचारणे) विशेष कौशल्य आवश्यक आहे. जर योग्य प्रश्न विचारले गेले नाहीत, तर पूल कोसळू शकतो, जरी त्याच्या वर्तनासाठी एक चांगले मॉडेल तयार केले गेले असले तरीही. म्हणून, 1879 मध्ये, टे नदीवरील एक धातूचा पूल इंग्लंडमध्ये कोसळला, ज्याच्या डिझाइनरने पुलाचे मॉडेल तयार केले, पेलोडच्या कृतीसाठी 20-पट सुरक्षा घटक असल्याचे मोजले, परंतु सतत वाऱ्याबद्दल विसरले. त्या ठिकाणी फुंकणे. आणि दीड वर्षानंतर ते कोसळले.

सर्वात सोप्या प्रकरणात (उदाहरणार्थ, एक ऑसिलेटर समीकरण), थेट समस्या अगदी सोपी आहे आणि या समीकरणाच्या स्पष्ट समाधानापर्यंत कमी होते.

उलट समस्या: अनेक संभाव्य मॉडेल्स ज्ञात आहेत, ऑब्जेक्टबद्दलच्या अतिरिक्त डेटावर आधारित विशिष्ट मॉडेल निवडणे आवश्यक आहे. बर्याचदा, मॉडेलची रचना ज्ञात आहे, आणि काही अज्ञात पॅरामीटर्स निर्धारित करणे आवश्यक आहे. अतिरिक्त माहितीमध्ये अतिरिक्त अनुभवजन्य डेटा किंवा ऑब्जेक्टसाठी आवश्यकता असू शकते ( डिझाइन समस्या). व्यस्त समस्या सोडवण्याच्या प्रक्रियेकडे दुर्लक्ष करून अतिरिक्त डेटा येऊ शकतो ( निष्क्रिय निरीक्षण) किंवा सोल्यूशन दरम्यान विशेषतः नियोजित केलेल्या प्रयोगाचा परिणाम असू द्या ( सक्रिय पाळत ठेवणे).

उपलब्ध डेटाच्या पूर्ण वापरासह व्यस्त समस्येचे कुशलतेने निराकरण करण्याचे पहिले उदाहरण म्हणजे I. न्यूटनने निरीक्षण केलेल्या ओलसर दोलनांपासून घर्षण शक्तींची पुनर्रचना करण्यासाठी तयार केलेली पद्धत.

अतिरिक्त उदाहरणे

कुठे x s- "समतोल" लोकसंख्येचा आकार, ज्यावर जन्मदर मृत्यू दराने अचूकपणे भरपाई केली जाते. अशा मॉडेलमधील लोकसंख्येचा आकार समतोल मूल्याकडे असतो x s, आणि हे वर्तन संरचनात्मकदृष्ट्या स्थिर आहे.

जेव्हा ससे आणि कोल्ह्यांची संख्या स्थिर असते तेव्हा या प्रणालीमध्ये समतोल स्थिती असते. या अवस्थेपासून विचलनामुळे ससे आणि कोल्ह्यांच्या संख्येत चढउतार होतात, हार्मोनिक ऑसिलेटरच्या चढ-उतारांप्रमाणेच. हार्मोनिक ऑसिलेटर प्रमाणे, हे वर्तन संरचनात्मकदृष्ट्या स्थिर नाही: मॉडेलमध्ये एक छोटासा बदल (उदाहरणार्थ, सशांना आवश्यक असलेली मर्यादित संसाधने लक्षात घेऊन) वर्तनात गुणात्मक बदल होऊ शकतो. उदाहरणार्थ, समतोल स्थिती स्थिर होऊ शकते आणि संख्येतील चढउतार नष्ट होतील. उलट परिस्थिती देखील शक्य आहे, जेव्हा समतोल स्थितीपासून कोणतेही लहान विचलन आपत्तीजनक परिणामांना कारणीभूत ठरेल, प्रजातींपैकी एकाच्या पूर्ण विलोपनापर्यंत. व्होल्टेरा-लोटका मॉडेल यापैकी कोणत्या परिस्थितीची जाणीव होत आहे या प्रश्नाचे उत्तर देत नाही: येथे अतिरिक्त संशोधन आवश्यक आहे.

नोट्स

1. "वास्तवाचे गणितीय प्रतिनिधित्व" (एनसायक्लोपीडिया ब्रिटानिका)
2. नोविक आय. बी., सायबरनेटिक मॉडेलिंगच्या तात्विक समस्यांवर. एम., नॉलेज, 1964.
3. सोवेटोव्ह बी. या., याकोव्हलेव्ह एस.ए., प्रणालीचे मॉडेलिंग: Proc. विद्यापीठांसाठी - 3री आवृत्ती, सुधारित. आणि अतिरिक्त - एम.: उच्च. शाळा, 2001. - 343 पी. ISBN 5-06-003860-2
4. समर्स्की ए.ए., मिखाइलोव्ह ए.पी.गणित मॉडेलिंग. कल्पना. पद्धती. उदाहरणे. . - दुसरी आवृत्ती, सुधारित. - एम.: फिझमॅटलिट, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. मिश्कीस ए.डी., गणितीय मॉडेलच्या सिद्धांताचे घटक. - 3री आवृत्ती, rev. - एम.: कोमकनिगा, 2007. - ISBN 978-5-484-00953-4 सह 192
6. विक्शनरी: गणितीय मॉडेल
7. CliffsNotes
8. मॉडेल रिडक्शन अँड करर्स-ग्रेनिंग ऍप्रोचेस फॉर मल्टीस्केल फेनोमेना, स्प्रिंगर, कॉम्प्लेक्सिटी सीरीज, बर्लिन-हायडलबर्ग-न्यूयॉर्क, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
9. “सिद्धांत कोणत्या प्रकारचे गणितीय उपकरण - रेखीय किंवा नॉनलाइनर - आणि ते कोणत्या प्रकारचे रेखीय किंवा नॉनलाइनर गणितीय मॉडेल वापरते यावर अवलंबून रेखीय किंवा नॉनलाइनर मानले जाते. ... नंतरचे नाकारल्याशिवाय. आधुनिक भौतिकशास्त्रज्ञाला, जर त्याला नॉनलाइनरिटीसारख्या महत्त्वाच्या अस्तित्वाची व्याख्या पुन्हा तयार करायची असेल, तर तो बहुधा वेगळ्या पद्धतीने वागेल, आणि दोन विरुद्धार्थींमध्ये अधिक महत्त्वाचा आणि व्यापक म्हणून नॉनलाइनरिटीला प्राधान्य देऊन, रेखीयतेची व्याख्या “नाही. नॉनलाइनरिटी." डॅनिलोव्ह यू. ए., नॉनलाइनर डायनॅमिक्सवर व्याख्याने. प्राथमिक परिचय. मालिका "सिनर्जेटिक्स: भूतकाळापासून भविष्यापर्यंत." आवृत्ती २. - एम.: यूआरएसएस, 2006. - 208 पी. ISBN 5-484-00183-8
10. “मर्यादित संख्येच्या सामान्य विभेदक समीकरणांच्या आधारे तयार केलेल्या डायनॅमिकल सिस्टीमला केंद्रीत किंवा बिंदू प्रणाली म्हणतात. मर्यादित-आयामी फेज स्पेस वापरून त्यांचे वर्णन केले आहे आणि स्वातंत्र्याच्या मर्यादित संख्येने वैशिष्ट्यीकृत केले आहे. भिन्न परिस्थितींमध्ये समान प्रणाली एकतर केंद्रित किंवा वितरित मानली जाऊ शकते. डिस्ट्रिब्युटेड सिस्टम्सचे गणितीय मॉडेल म्हणजे आंशिक विभेदक समीकरणे, अविभाज्य समीकरणे किंवा सामान्य विलंब समीकरणे. वितरित प्रणालीच्या स्वातंत्र्याच्या अंशांची संख्या अमर्याद आहे आणि तिची स्थिती निश्चित करण्यासाठी अमर्याद डेटा आवश्यक आहे. अनिश्चेंको व्ही. एस., डायनॅमिक सिस्टम्स, सोरोस शैक्षणिक जर्नल, 1997, क्रमांक 11, पी. 77-84.
11. "प्रणाली S मध्ये अभ्यासल्या जाणार्‍या प्रक्रियेच्या स्वरूपावर अवलंबून, सर्व प्रकारचे मॉडेलिंग निर्धारात्मक आणि स्टोकास्टिक, स्थिर आणि गतिमान, स्वतंत्र, सतत आणि स्वतंत्र-सतत विभागले जाऊ शकते. निर्धारक मॉडेलिंग निर्धारवादी प्रक्रिया प्रतिबिंबित करते, म्हणजे, प्रक्रिया ज्यामध्ये कोणत्याही यादृच्छिक प्रभावांची अनुपस्थिती गृहीत धरली जाते; स्टोकास्टिक मॉडेलिंग संभाव्य प्रक्रिया आणि घटना दर्शवते. ... स्टॅटिक मॉडेलिंग कोणत्याही वेळी ऑब्जेक्टच्या वर्तनाचे वर्णन करण्यासाठी कार्य करते आणि डायनॅमिक मॉडेलिंग वेळेनुसार ऑब्जेक्टचे वर्तन प्रतिबिंबित करते. स्वतंत्र मॉडेलिंगचा वापर अशा प्रक्रियांचे वर्णन करण्यासाठी केला जातो ज्यांना स्वतंत्र मानले जाते, अनुक्रमे, सतत मॉडेलिंग आम्हाला सिस्टममध्ये सतत प्रक्रिया प्रतिबिंबित करण्यास अनुमती देते आणि जेव्हा ते स्वतंत्र आणि सतत दोन्ही प्रक्रियांची उपस्थिती हायलाइट करू इच्छितात तेव्हा वेगळ्या-सतत मॉडेलिंगचा वापर केला जातो. " सोवेटोव्ह बी. या., याकोव्हलेव्ह एस.ए., प्रणालीचे मॉडेलिंग: Proc. विद्यापीठांसाठी - 3री आवृत्ती, सुधारित. आणि अतिरिक्त - एम.: उच्च. शाळा, 2001. - 343 पी. ISBN 5-06-003860-2
12. सामान्यतः, गणितीय मॉडेल मॉडेल केलेल्या ऑब्जेक्टची रचना (डिव्हाइस), या ऑब्जेक्टच्या घटकांचे गुणधर्म आणि संबंध प्रतिबिंबित करते जे संशोधनाच्या हेतूंसाठी आवश्यक आहेत; अशा मॉडेलला स्ट्रक्चरल म्हणतात. जर मॉडेल केवळ ऑब्जेक्ट कसे कार्य करते ते प्रतिबिंबित करते - उदाहरणार्थ, ती बाह्य प्रभावांना कशी प्रतिक्रिया देते - तर त्याला कार्यात्मक किंवा लाक्षणिकरित्या, ब्लॅक बॉक्स म्हणतात. एकत्रित मॉडेल देखील शक्य आहेत. मिश्कीस ए.डी., सिद्धांताचे घटक गणितीय मॉडेल. - 3री आवृत्ती, rev. - एम.: कोमकनिगा, 2007. - ISBN 978-5-484-00953-4 सह 192
13. “गणितीय मॉडेल तयार करण्याचा किंवा निवडण्याचा स्पष्ट, परंतु सर्वात महत्वाचा प्रारंभिक टप्पा म्हणजे मॉडेल बनवल्या जाणार्‍या ऑब्जेक्टबद्दल शक्य तितके स्पष्ट चित्र मिळवणे आणि अनौपचारिक चर्चेच्या आधारे त्याचे अर्थपूर्ण मॉडेल सुधारणे. आपण या टप्प्यावर वेळ आणि मेहनत सोडू नये; संपूर्ण अभ्यासाचे यश मुख्यत्वे त्यावर अवलंबून आहे. असे एकापेक्षा जास्त वेळा घडले आहे की गणिताच्या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी खर्च केलेले महत्त्वपूर्ण काम या प्रकरणाच्या या बाजूकडे अपुरे लक्ष दिल्याने कुचकामी ठरले किंवा वाया गेले. मिश्कीस ए.डी., गणितीय मॉडेलच्या सिद्धांताचे घटक. - 3री आवृत्ती, rev. - एम.: कोमकनिगा, 2007. - 192 ISBN 978-5-484-00953-4 सह, पृ. 35.
14. « प्रणालीच्या संकल्पनात्मक मॉडेलचे वर्णन.सिस्टम मॉडेल तयार करण्याच्या या सबस्टेजवर: अ) संकल्पनात्मक मॉडेल एमचे वर्णन अमूर्त संज्ञा आणि संकल्पनांमध्ये केले आहे; b) मानक गणितीय योजना वापरून मॉडेलचे वर्णन दिले आहे; c) गृहीतके आणि गृहितके शेवटी स्वीकारली जातात; ड) मॉडेल तयार करताना अंदाजे वास्तविक प्रक्रियेसाठी प्रक्रियेची निवड न्याय्य आहे. सोवेटोव्ह बी. या., याकोव्हलेव्ह एस.ए., प्रणालीचे मॉडेलिंग: Proc. विद्यापीठांसाठी - 3री आवृत्ती, सुधारित. आणि अतिरिक्त - एम.: उच्च. शाळा, 2001. - 343 पी. ISBN 5-06-003860-2, पृ. ९३.

मॉडेल आणि सिम्युलेशनची संकल्पना.

व्यापक अर्थाने मॉडेल- ही कोणतीही प्रतिमा, मानसिक अॅनालॉग किंवा स्थापित प्रतिमा, वर्णन, आकृती, रेखाचित्र, नकाशा इ. कोणत्याही खंड, प्रक्रिया किंवा घटनेचा पर्याय किंवा प्रतिनिधी म्हणून वापरला जातो. ऑब्जेक्ट, प्रक्रिया किंवा इंद्रियगोचर स्वतःच या मॉडेलचे मूळ म्हटले जाते.

मॉडेलिंग - कोणत्याही वस्तू किंवा वस्तूंचे मॉडेल तयार करून आणि त्यांचा अभ्यास करून त्यांचा हा अभ्यास आहे. वैशिष्ट्ये निश्चित करण्यासाठी किंवा स्पष्ट करण्यासाठी आणि नवीन बांधलेल्या वस्तू तयार करण्याच्या पद्धती तर्कसंगत करण्यासाठी मॉडेलचा वापर आहे.

वैज्ञानिक संशोधनाची कोणतीही पद्धत मॉडेलिंगच्या कल्पनेवर आधारित असते, तर सैद्धांतिक पद्धती विविध प्रकारचे प्रतीकात्मक, अमूर्त मॉडेल वापरतात आणि प्रायोगिक पद्धती विषय मॉडेल वापरतात.

संशोधनादरम्यान, एक जटिल वास्तविक घटना काही सरलीकृत प्रत किंवा आकृतीद्वारे बदलली जाते; काहीवेळा अशी प्रत पुढील बैठकीत इच्छित घटना लक्षात ठेवण्यासाठी आणि ओळखण्यासाठी कार्य करते. कधीकधी तयार केलेला आराखडा काही आवश्यक वैशिष्ट्ये प्रतिबिंबित करतो, एखाद्याला एखाद्या घटनेची यंत्रणा समजून घेण्यास अनुमती देतो आणि त्याच्या बदलाचा अंदाज लावणे शक्य करतो. भिन्न मॉडेल्स समान घटनेशी संबंधित असू शकतात.

संशोधकाचे कार्य म्हणजे घटनेचे स्वरूप आणि प्रक्रियेचा अंदाज लावणे.

कधीकधी असे घडते की एखादी वस्तू उपलब्ध असते, परंतु त्यावरील प्रयोग महाग असतात किंवा गंभीर पर्यावरणीय परिणामांना कारणीभूत ठरतात. मॉडेल्सचा वापर करून अशा प्रक्रियांचे ज्ञान प्राप्त केले जाते.

एक महत्त्वाचा मुद्दा असा आहे की विज्ञानाच्या स्वरूपामध्ये एकापेक्षा जास्त अभ्यासांचा समावेश आहे विशिष्ट घटना, परंतु संबंधित घटनांचा विस्तृत वर्ग. हे काही सामान्य स्पष्ट विधाने तयार करण्याची आवश्यकता गृहीत धरते, ज्यांना कायदे म्हणतात. स्वाभाविकच, अशा सूत्रीकरणासह अनेक तपशील दुर्लक्षित आहेत. पॅटर्न अधिक स्पष्टपणे ओळखण्यासाठी, ते जाणीवपूर्वक खडबडीत, आदर्शीकरण आणि स्केचनेसकडे जातात, म्हणजेच ते घटनेचाच अभ्यास करत नाहीत, तर त्याची कमी-अधिक अचूक प्रत किंवा मॉडेल करतात. सर्व कायदे मॉडेल्सबद्दलचे कायदे आहेत, आणि म्हणूनच हे आश्चर्यकारक नाही की कालांतराने काही वैज्ञानिक सिद्धांतअयोग्य मानले जातात. हे विज्ञानाच्या संकुचित होण्यास कारणीभूत नाही, कारण एका मॉडेलची जागा दुसऱ्या मॉडेलने घेतली आहे अधिक आधुनिक.

गणितीय मॉडेल विज्ञानात विशेष भूमिका बजावतात. बांधकाम साहित्यआणि या मॉडेल्सची साधने गणिती संकल्पना आहेत. ते हजारो वर्षांमध्ये जमा झाले आणि सुधारले. आधुनिक गणित संशोधनाचे अत्यंत शक्तिशाली आणि सार्वत्रिक माध्यम प्रदान करते. गणितातील जवळजवळ प्रत्येक संकल्पना, प्रत्येक गणितीय वस्तू, संख्या संकल्पनेपासून सुरू होणारी, एक गणितीय मॉडेल आहे. ऑब्जेक्ट किंवा इंद्रियगोचरचे गणितीय मॉडेल तयार करताना, त्याची वैशिष्ट्ये, वैशिष्ट्ये आणि तपशील ओळखले जातात की, एकीकडे, ऑब्जेक्टबद्दल कमी-अधिक संपूर्ण माहिती असते आणि दुसरीकडे, गणितीय औपचारिकीकरणास अनुमती देते. गणितीय औपचारिकीकरण म्हणजे एखाद्या वस्तूची वैशिष्ट्ये आणि तपशील योग्य गणितीय संकल्पनांशी संबंधित असू शकतात: संख्या, कार्ये, मॅट्रिक्स इ. मग त्याच्या वैयक्तिक तपशील आणि दरम्यान अभ्यास अंतर्गत ऑब्जेक्ट मध्ये शोधले आणि गृहीत कनेक्शन आणि संबंध घटकगणितीय संबंध वापरून लिहिले जाऊ शकते: समानता, असमानता, समीकरणे. परिणाम म्हणजे अभ्यास केलेल्या प्रक्रियेचे किंवा घटनेचे गणितीय वर्णन, म्हणजेच त्याचे गणितीय मॉडेल.

गणितीय मॉडेलचा अभ्यास नेहमी अभ्यास केलेल्या वस्तूंवरील कृतीच्या काही नियमांशी संबंधित असतो. हे नियम कारणे आणि परिणाम यांच्यातील संबंध प्रतिबिंबित करतात.

गणितीय मॉडेल तयार करणे हा कोणत्याही प्रणालीच्या संशोधनाचा किंवा डिझाइनचा मध्यवर्ती टप्पा असतो. ऑब्जेक्टचे सर्व त्यानंतरचे विश्लेषण मॉडेलच्या गुणवत्तेवर अवलंबून असते. मॉडेल तयार करणे ही औपचारिक प्रक्रिया नाही. हे संशोधक, त्याचा अनुभव आणि चव यावर पूर्णपणे अवलंबून असते आणि नेहमी विशिष्ट प्रायोगिक सामग्रीवर आधारित असते. मॉडेल पुरेसे अचूक, पुरेसे आणि वापरण्यास सोयीचे असले पाहिजे.

गणित मॉडेलिंग.

गणितीय मॉडेल्सचे वर्गीकरण.

गणितीय मॉडेल असू शकतातनिर्धारवादी आणि स्टोकेस्टिक .

निर्धार करा मॉडेल आणि हे मॉडेल आहेत ज्यात ऑब्जेक्ट किंवा घटनेचे वर्णन करणार्या व्हेरिएबल्समध्ये एक-टू-वन पत्रव्यवहार स्थापित केला जातो.

हा दृष्टिकोन ऑब्जेक्ट्सच्या कार्यप्रणालीच्या ज्ञानावर आधारित आहे. अनेकदा मॉडेल केलेले ऑब्जेक्ट क्लिष्ट असते आणि त्याची यंत्रणा उलगडणे खूप श्रम-केंद्रित आणि वेळ घेणारे असू शकते. या प्रकरणात, ते खालीलप्रमाणे पुढे जातात: ते मूळवर प्रयोग करतात, प्राप्त परिणामांवर प्रक्रिया करतात आणि, गणितीय आकडेवारी आणि संभाव्यता सिद्धांताच्या पद्धतींचा वापर करून मॉडेल केलेल्या ऑब्जेक्टच्या यंत्रणा आणि सिद्धांताचा शोध न घेता, वर्णन केलेल्या चलांमधील कनेक्शन स्थापित करतात. वस्तू. या प्रकरणात तुम्हाला मिळेलस्टोकेस्टिक मॉडेल . IN स्टोकेस्टिक मॉडेल, व्हेरिएबल्समधील संबंध यादृच्छिक आहे, कधीकधी ते मूलभूत असते. मोठ्या संख्येने घटकांचा प्रभाव, त्यांचे संयोजन एखाद्या वस्तू किंवा घटनेचे वर्णन करणार्‍या व्हेरिएबल्सच्या यादृच्छिक संचाकडे नेत आहे. मोड्सच्या स्वरूपानुसार, मॉडेल आहेसांख्यिकीय आणि गतिमान.

सांख्यिकीमॉडेलकालांतराने पॅरामीटर्समधील बदल विचारात न घेता स्थिर स्थितीत मॉडेल केलेल्या ऑब्जेक्टच्या मुख्य व्हेरिएबल्समधील संबंधांचे वर्णन समाविष्ट करते.

IN गतिमानमॉडेलएका मोडमधून दुसऱ्या मोडमध्ये संक्रमणादरम्यान मॉडेल केलेल्या ऑब्जेक्टच्या मुख्य व्हेरिएबल्समधील संबंधांचे वर्णन केले आहे.

मॉडेल्स आहेत स्वतंत्रआणि सतत, आणि मिश्र प्रकार IN सतत व्हेरिएबल्स एका विशिष्ट मध्यांतरातून मूल्ये घेतात, मध्येस्वतंत्रव्हेरिएबल्स पृथक मूल्ये घेतात.

रेखीय मॉडेल- मॉडेलचे रेखीय वर्णन करणारी सर्व कार्ये आणि संबंध व्हेरिएबल्सवर अवलंबून असतात आणिरेखीय नाहीअन्यथा.

गणित मॉडेलिंग.

आवश्यकता ,p सादर केले मॉडेल्सना.

1. अष्टपैलुत्व- वास्तविक ऑब्जेक्टच्या अभ्यासलेल्या गुणधर्मांच्या मॉडेलच्या प्रतिनिधित्वाची पूर्णता दर्शवते.

1. पर्याप्तता म्हणजे दिलेल्या गुणापेक्षा जास्त नसलेल्या त्रुटीसह वस्तूचे इच्छित गुणधर्म प्रतिबिंबित करण्याची क्षमता.
2. अचूकतेचे मूल्यमापन वास्तविक ऑब्जेक्टच्या वैशिष्ट्यांच्या मूल्यांमधील करार आणि मॉडेल वापरून प्राप्त केलेल्या या वैशिष्ट्यांच्या मूल्यांद्वारे केले जाते.
3. आर्थिकदृष्ट्या - संगणक मेमरी संसाधनांचा खर्च आणि त्याची अंमलबजावणी आणि ऑपरेशनसाठी वेळ द्वारे निर्धारित.

गणित मॉडेलिंग.

मॉडेलिंगचे मुख्य टप्पे.

1. समस्येचे विधान.

विश्लेषणाचा उद्देश आणि ते साध्य करण्याचा आणि विकसित करण्याचा मार्ग निश्चित करणे सामान्य दृष्टीकोनअभ्यासाधीन समस्येकडे. या टप्प्यावर, कार्याचे सार सखोल समजून घेणे आवश्यक आहे. कधीकधी, समस्या योग्यरित्या सेट करणे हे सोडवण्यापेक्षा कमी कठीण नसते. स्टेजिंग ही औपचारिक प्रक्रिया नाही, सर्वसाधारण नियमनाही.

2. सैद्धांतिक पायाचा अभ्यास करणे आणि मूळ वस्तूबद्दल माहिती गोळा करणे.

या टप्प्यावर, एक योग्य सिद्धांत निवडला जातो किंवा विकसित केला जातो. ते नसल्यास, ऑब्जेक्टचे वर्णन करणार्‍या व्हेरिएबल्समध्ये कारण-आणि-प्रभाव संबंध स्थापित केले जातात. इनपुट आणि आउटपुट डेटा निर्धारित केला जातो आणि सरलीकृत गृहितक केले जातात.

3. औपचारिकीकरण.

यात चिन्हांची प्रणाली निवडणे आणि फॉर्ममध्ये ऑब्जेक्टच्या घटकांमधील संबंध लिहिण्यासाठी त्यांचा वापर करणे समाविष्ट आहे. गणितीय अभिव्यक्ती. ऑब्जेक्टच्या परिणामी गणितीय मॉडेलचे वर्गीकरण केले जाऊ शकते अशा समस्यांचा वर्ग स्थापित केला जातो. या टप्प्यावर काही पॅरामीटर्सची मूल्ये अद्याप निर्दिष्ट केली जाऊ शकत नाहीत.

4. उपाय पद्धत निवडणे.

या टप्प्यावर, ऑब्जेक्टच्या ऑपरेटिंग परिस्थिती लक्षात घेऊन मॉडेल्सचे अंतिम पॅरामीटर्स स्थापित केले जातात. परिणामी गणितीय समस्येसाठी, एक उपाय पद्धत निवडली जाते किंवा विकसित केली जाते विशेष पद्धत. पद्धत निवडताना, वापरकर्त्याचे ज्ञान, त्याची प्राधान्ये आणि विकासकाची प्राधान्ये विचारात घेतली जातात.

5. मॉडेलची अंमलबजावणी.

अल्गोरिदम विकसित केल्यावर, एक प्रोग्राम लिहिला जातो, जो डीबग केला जातो, चाचणी केली जाते आणि इच्छित समस्येचे निराकरण केले जाते.

6. प्राप्त माहितीचे विश्लेषण.

प्राप्त आणि अपेक्षित उपायांची तुलना केली जाते आणि मॉडेलिंग त्रुटीचे परीक्षण केले जाते.

7. वास्तविक वस्तूची पर्याप्तता तपासत आहे.

मॉडेलमधून मिळालेल्या परिणामांची तुलना केली जातेएकतर ऑब्जेक्टबद्दल उपलब्ध माहितीसह, किंवा एखादा प्रयोग केला जातो आणि त्याच्या परिणामांची गणना केलेल्या परिणामांशी तुलना केली जाते.

मॉडेलिंग प्रक्रिया पुनरावृत्ती आहे. टप्प्यांच्या असमाधानकारक परिणामांच्या बाबतीत 6. किंवा 7. पूर्वीच्या टप्प्यांपैकी एकावर परतावा दिला जातो, ज्यामुळे अयशस्वी मॉडेलचा विकास होऊ शकतो. हा टप्पा आणि त्यानंतरचे सर्व परिष्कृत केले जातात आणि स्वीकार्य परिणाम प्राप्त होईपर्यंत मॉडेलचे असे परिष्करण होते.

गणितीय मॉडेल हे गणिताच्या भाषेत वास्तविक जगाच्या घटना किंवा वस्तूंच्या कोणत्याही वर्गाचे अंदाजे वर्णन आहे. मॉडेलिंगचा मुख्य उद्देश या वस्तूंचा शोध घेणे आणि भविष्यातील निरीक्षणांच्या परिणामांचा अंदाज लावणे हा आहे. तथापि, मॉडेलिंग ही आपल्या सभोवतालचे जग समजून घेण्याची एक पद्धत आहे, ज्यामुळे त्यावर नियंत्रण ठेवणे शक्य होते.

गणितीय मॉडेलिंग आणि संबंधित संगणक प्रयोग अशा प्रकरणांमध्ये अपरिहार्य आहेत जेथे पूर्ण-प्रयोग एक किंवा दुसर्या कारणास्तव अशक्य किंवा कठीण आहे. उदाहरणार्थ, इतिहासात "काय झाले असते तर..." तपासण्यासाठी एक नैसर्गिक प्रयोग स्थापित करणे अशक्य आहे, एक किंवा दुसर्या वैश्विक सिद्धांताची शुद्धता तपासणे अशक्य आहे. प्लेग सारख्या रोगाचा प्रादुर्भाव करण्याचा प्रयोग करणे किंवा अमलात आणणे हे तत्त्वतः शक्य आहे, परंतु फारच वाजवी आहे. आण्विक स्फोटत्याचे परिणाम अभ्यासण्यासाठी. तथापि, हे सर्व संगणकावर प्रथम अभ्यासल्या जाणार्‍या घटनांचे गणितीय मॉडेल तयार करून केले जाऊ शकते.

1.1.2 2. गणितीय मॉडेलिंगचे मुख्य टप्पे

1) मॉडेल बिल्डिंग. या टप्प्यावर, काही "गैर-गणितीय" वस्तू निर्दिष्ट केल्या आहेत - एक नैसर्गिक घटना, डिझाइन, आर्थिक योजना, उत्पादन प्रक्रियाइ. या प्रकरणात, एक नियम म्हणून, परिस्थितीचे स्पष्ट वर्णन कठीण आहे.प्रथम, इंद्रियगोचरची मुख्य वैशिष्ट्ये आणि गुणात्मक स्तरावर त्यांच्यातील कनेक्शन ओळखले जातात. मग सापडलेली गुणात्मक अवलंबित्व गणिताच्या भाषेत तयार केली जाते, म्हणजेच एक गणितीय मॉडेल तयार केले जाते. मॉडेलिंगचा हा सर्वात कठीण टप्पा आहे.

२) गणितीय समस्या सोडवणे ज्याकडे मॉडेल नेले आहे. या टप्प्यावर, संगणकावरील समस्या सोडवण्यासाठी अल्गोरिदम आणि संख्यात्मक पद्धतींच्या विकासाकडे जास्त लक्ष दिले जाते, ज्याच्या मदतीने निकाल आवश्यक अचूकतेसह आणि स्वीकार्य वेळेत शोधला जाऊ शकतो.

3) गणितीय मॉडेलमधून प्राप्त परिणामांचे स्पष्टीकरण.गणिताच्या भाषेतील मॉडेलमधून घेतलेल्या परिणामांचा अर्थ क्षेत्रात स्वीकारलेल्या भाषेत केला जातो.

4) मॉडेलची पर्याप्तता तपासत आहे.या टप्प्यावर, प्रायोगिक परिणाम विशिष्ट अचूकतेमध्ये मॉडेलच्या सैद्धांतिक परिणामांशी सहमत आहेत की नाही हे निर्धारित केले जाते.

5) मॉडेलमध्ये बदल.या टप्प्यावर, एकतर मॉडेल क्लिष्ट आहे जेणेकरुन ते वास्तविकतेसाठी अधिक पुरेसे असेल किंवा व्यावहारिकदृष्ट्या स्वीकार्य समाधान मिळविण्यासाठी ते सोपे केले जाईल.

1.1.3 3. मॉडेल वर्गीकरण

विविध निकषांनुसार मॉडेलचे वर्गीकरण केले जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, ज्या समस्यांचे निराकरण केले जात आहे त्यानुसार, मॉडेल्स फंक्शनल आणि स्ट्रक्चरलमध्ये विभागली जाऊ शकतात. पहिल्या प्रकरणात, घटना किंवा वस्तूचे वैशिष्ट्य दर्शविणारे सर्व प्रमाण परिमाणवाचकपणे व्यक्त केले जातात. शिवाय, त्यापैकी काही स्वतंत्र व्हेरिएबल्स म्हणून मानले जातात, तर इतरांना या प्रमाणांचे कार्य मानले जाते. गणितीय मॉडेल ही सहसा समीकरणांची प्रणाली असते वेगळे प्रकार(अंतर, बीजगणित, इ.), विचाराधीन प्रमाणांमधील परिमाणवाचक संबंध प्रस्थापित करणे. दुस-या प्रकरणात, मॉडेल वैयक्तिक भागांचा समावेश असलेल्या जटिल ऑब्जेक्टची रचना दर्शवते, ज्यामध्ये काही विशिष्ट कनेक्शन असतात. सामान्यतः, हे कनेक्शन परिमाणयोग्य नसतात. अशी मॉडेल्स तयार करण्यासाठी, आलेख सिद्धांत वापरणे सोयीचे आहे. आलेख ही एक गणितीय वस्तू आहे जी समतल किंवा अंतराळातील बिंदूंचा (शिरोबिंदू) संच दर्शवते, ज्यापैकी काही रेषा (किनारे) द्वारे जोडलेले असतात.

प्रारंभिक डेटा आणि परिणामांच्या स्वरूपावर आधारित, भविष्यवाणी मॉडेल्सचे निर्धारणात्मक आणि संभाव्य-सांख्यिकीय मध्ये विभागले जाऊ शकते. पहिल्या प्रकारातील मॉडेल्स निश्चित, अस्पष्ट अंदाज लावतात. दुस-या प्रकारचे मॉडेल सांख्यिकीय माहितीवर आधारित आहेत आणि त्यांच्या मदतीने प्राप्त केलेले अंदाज संभाव्य स्वरूपाचे आहेत.

गणितीय मॉडेलिंग आणि सामान्य संगणकीकरण किंवा सिम्युलेशन मॉडेल

आता, जेव्हा देशात जवळजवळ सार्वत्रिक संगणकीकरण होत आहे, तेव्हा आम्ही विविध व्यवसायातील तज्ञांकडून विधाने ऐकतो: "जर आपण संगणक सादर केला तर सर्व समस्या त्वरित सुटतील." हा दृष्टिकोन पूर्णपणे चुकीचा आहे; संगणक स्वतःच, विशिष्ट प्रक्रियेच्या गणिती मॉडेलशिवाय, काहीही करू शकणार नाहीत आणि कोणीही केवळ सार्वत्रिक संगणकीकरणाचे स्वप्न पाहू शकतो.

वरील समर्थनार्थ, आम्ही गणितीय मॉडेलिंगसह मॉडेलिंगची आवश्यकता सिद्ध करण्याचा प्रयत्न करू आणि मानवी आकलन आणि परिवर्तनामध्ये त्याचे फायदे प्रकट करू. बाहेरील जग, चला विद्यमान उणीवा ओळखूया आणि सिम्युलेशन मॉडेलिंगकडे जाऊया, उदा. संगणक वापरून मॉडेलिंग. पण सर्वकाही क्रमाने आहे.

सर्व प्रथम, या प्रश्नाचे उत्तर द्या: मॉडेल म्हणजे काय?

मॉडेल ही एक भौतिक किंवा मानसिकरित्या दर्शविलेली वस्तू आहे, जी अनुभूती (अभ्यास) प्रक्रियेत मूळची जागा घेते, या अभ्यासासाठी महत्त्वपूर्ण असलेल्या काही वैशिष्ट्यपूर्ण गुणधर्मांचे जतन करते.

वास्तविक वस्तूपेक्षा चांगले तयार केलेले मॉडेल संशोधनासाठी अधिक प्रवेशयोग्य आहे. उदाहरणार्थ, शैक्षणिक हेतूंसाठी देशाच्या अर्थव्यवस्थेचे प्रयोग अस्वीकार्य आहेत; एक मॉडेल अपरिहार्य आहे.

जे सांगितले गेले आहे त्याचा सारांश देऊन, आम्ही या प्रश्नाचे उत्तर देऊ शकतो: मॉडेल कशासाठी आहेत? करण्यासाठी

• एखादी वस्तू कशी कार्य करते हे समजून घ्या (तिची रचना, गुणधर्म, विकासाचे नियम, बाह्य जगाशी संवाद).
• एखादी वस्तू (प्रक्रिया) व्यवस्थापित करण्यास शिका आणि सर्वोत्तम धोरणे निश्चित करा
• ऑब्जेक्टवरील प्रभावाच्या परिणामांचा अंदाज लावा.

कोणत्याही मॉडेलबद्दल सकारात्मक काय आहे? हे आपल्याला ऑब्जेक्टबद्दल नवीन ज्ञान प्राप्त करण्यास अनुमती देते, परंतु, दुर्दैवाने, ते एक किंवा दुसर्या अंशापर्यंत अपूर्ण आहे.

मॉडेलगणितीय पद्धतींचा वापर करून गणिताच्या भाषेत तयार केलेल्या मॉडेलला गणितीय मॉडेल म्हणतात.

त्याच्या बांधकामाचा प्रारंभ बिंदू सहसा काही समस्या असतो, उदाहरणार्थ आर्थिक. वर्णनात्मक आणि ऑप्टिमायझेशन दोन्ही गणिते व्यापक आहेत, विविध वैशिष्ट्यीकृत आहेत आर्थिक प्रक्रियाआणि घटना, उदाहरणार्थ:

• संसाधन वाटप
• तर्कशुद्ध कटिंग
• वाहतूक
• उपक्रमांचे एकत्रीकरण
• नेटवर्क नियोजन.

गणितीय मॉडेल कसे तयार केले जाते?

• प्रथम, अभ्यासाचा उद्देश आणि विषय तयार केला जातो.
• दुसरे म्हणजे, या ध्येयाशी संबंधित सर्वात महत्वाची वैशिष्ट्ये हायलाइट केली आहेत.
• तिसरे म्हणजे, मॉडेलच्या घटकांमधील संबंधांचे मौखिक वर्णन केले आहे.
• पुढे, संबंध औपचारिक केले जातात.
• आणि गणितीय मॉडेल वापरून गणना केली जाते आणि परिणामी समाधानाचे विश्लेषण केले जाते.

या अल्गोरिदमचा वापर करून, तुम्ही मल्टीक्रिटेरियासह कोणत्याही ऑप्टिमायझेशन समस्येचे निराकरण करू शकता, म्हणजे. एक ज्यामध्ये एक नाही तर अनेक उद्दिष्टांचा पाठपुरावा केला जातो, ज्यामध्ये विरोधाभासी उद्दिष्टे असतात.

एक उदाहरण देऊ. रांगेचा सिद्धांत - रांगेची समस्या. सेवा उपकरणे राखण्याची किंमत आणि ओळीत राहण्याची किंमत - दोन घटक संतुलित करणे आवश्यक आहे. मॉडेलचे औपचारिक वर्णन तयार केल्यानंतर, विश्लेषणात्मक आणि संगणकीय पद्धती वापरून गणना केली जाते. मॉडेल चांगले असल्यास, त्याच्या मदतीने मिळालेली उत्तरे मॉडेलिंग प्रणालीसाठी पुरेशी आहेत; जर ते खराब असेल तर ते सुधारले पाहिजे आणि बदलले पाहिजे. पर्याप्ततेचा निकष म्हणजे सराव.

ऑप्टिमायझेशन मॉडेल्समध्ये, ज्यामध्ये मल्टीक्रिटेरियाचा समावेश आहे सामान्य मालमत्ता- एक ध्येय (किंवा अनेक उद्दिष्टे) ज्ञात आहे, जे साध्य करण्यासाठी एखाद्याला बर्‍याचदा जटिल प्रणालींना सामोरे जावे लागते, जिथे ते ऑप्टिमायझेशन समस्या सोडवण्याबद्दल इतके नसते, परंतु निवडलेल्या नियंत्रण धोरणांवर अवलंबून राज्यांचा अभ्यास करणे आणि अंदाज करणे याबद्दल असते. आणि इथे पूर्वीची योजना अंमलात आणण्याच्या अडचणींचा सामना करावा लागतो. ते खालीलप्रमाणे आहेत.

• जटिल प्रणालीमध्ये घटकांमधील अनेक कनेक्शन असतात
• वास्तविक प्रणाली यादृच्छिक घटकांनी प्रभावित होते, त्यांना विश्लेषणात्मकपणे विचारात घेणे अशक्य आहे
• मूळची मॉडेलशी तुलना करण्याची शक्यता केवळ सुरुवातीला आणि गणितीय उपकरणे वापरल्यानंतर अस्तित्वात आहे, कारण इंटरमीडिएट परिणामांना वास्तविक प्रणालीमध्ये कोणतेही analogues नसू शकतात.

जटिल प्रणालींचा अभ्यास करताना उद्भवणार्‍या सूचीबद्ध अडचणींच्या संबंधात, सरावासाठी अधिक लवचिक पद्धत आवश्यक आहे आणि ती दिसून आली - "सिमुजेशन मॉडेलिंग".

सामान्यतः, सिम्युलेशन मॉडेलला संगणक प्रोग्रामचा एक संच समजला जातो जो वैयक्तिक सिस्टम ब्लॉक्सचे कार्य आणि त्यांच्यामधील परस्परसंवादाच्या नियमांचे वर्णन करतो. वापर यादृच्छिक चलसिम्युलेशन सिस्टम (संगणकावर) आणि त्यानंतरचे पुनरावृत्ती प्रयोग करणे आवश्यक करते सांख्यिकीय विश्लेषणप्राप्त परिणाम. सिम्युलेशन मॉडेल्स वापरण्याचे एक सामान्य उदाहरण म्हणजे MONTE CARLO पद्धत वापरून रांगेतील समस्या सोडवणे.

अशा प्रकारे, सिम्युलेशन सिस्टमसह कार्य करणे हा संगणकावर केलेला एक प्रयोग आहे. फायदे काय आहेत?

- गणितीय मॉडेल्सपेक्षा वास्तविक प्रणालीची जास्त जवळीक;

-ब्लॉक तत्त्वामुळे प्रत्येक ब्लॉकचा संपूर्ण सिस्टममध्ये समावेश करण्यापूर्वी त्याची पडताळणी करणे शक्य होते;

- अधिक जटिल स्वरूपाच्या अवलंबनांचा वापर ज्याचे वर्णन साध्या गणितीय संबंधांद्वारे केले जाऊ शकत नाही.

सूचीबद्ध फायदे तोटे ठरवतात

- सिम्युलेशन मॉडेल तयार करण्यासाठी जास्त वेळ लागतो, अधिक कठीण आणि अधिक महाग आहे;

- सिम्युलेशन सिस्टमसह कार्य करण्यासाठी, आपल्याकडे वर्गासाठी योग्य संगणक असणे आवश्यक आहे;

- वापरकर्ता आणि सिम्युलेशन मॉडेल (इंटरफेस) यांच्यातील परस्परसंवाद खूप जटिल, सोयीस्कर आणि सुप्रसिद्ध नसावा;

- सिम्युलेशन मॉडेल तयार करण्यासाठी गणितीय मॉडेलिंगपेक्षा वास्तविक प्रक्रियेचा अधिक सखोल अभ्यास आवश्यक आहे.

प्रश्न उद्भवतो: सिम्युलेशन मॉडेलिंग ऑप्टिमायझेशन पद्धती बदलू शकते? नाही, परंतु ते त्यांना सोयीस्करपणे पूरक आहे. सिम्युलेशन मॉडेल हा एक प्रोग्राम आहे जो एक विशिष्ट अल्गोरिदम लागू करतो, ज्याच्या नियंत्रणासाठी ऑप्टिमायझेशन समस्या प्रथम सोडवली जाते.

म्हणून, संगणक किंवा गणिताचे मॉडेल किंवा केवळ त्याच्या अभ्यासासाठी अल्गोरिदम पुरेशी जटिल समस्या सोडवू शकत नाही. परंतु एकत्रितपणे ते त्या शक्तीचे प्रतिनिधित्व करतात जे आपल्याला जाणून घेण्यास अनुमती देतात जग, माणसाच्या हितासाठी ते व्यवस्थापित करा.

1.2 मॉडेल वर्गीकरण

गणितीय मॉडेल म्हणजे काय?

गणितीय मॉडेलची संकल्पना.

गणितीय मॉडेल ही अतिशय सोपी संकल्पना आहे. आणि खूप महत्वाचे. हे गणितीय मॉडेल आहेत जे गणित आणि वास्तविक जीवन जोडतात.

बोलणे सोप्या भाषेत, गणितीय मॉडेल म्हणजे कोणत्याही परिस्थितीचे गणितीय वर्णन.इतकंच. मॉडेल आदिम असू शकते किंवा ते सुपर कॉम्प्लेक्स असू शकते. परिस्थिती काहीही असो, मॉडेल असे आहे.)

कोणत्याही मध्ये (मी पुनरावृत्ती करतो - कुठल्याही!) अशा परिस्थितीत जिथे आपल्याला काहीतरी मोजणे आणि गणना करणे आवश्यक आहे - आम्ही गणितीय मॉडेलिंगमध्ये व्यस्त आहोत. आम्हाला संशय नसला तरीही.)

P = 2 CB + 3 CM

ही नोंद आमच्या खरेदीच्या खर्चाचे गणितीय मॉडेल असेल. मॉडेल पॅकेजिंगचा रंग, कालबाह्यता तारीख, कॅशियरची सभ्यता इत्यादी विचारात घेत नाही. म्हणूनच ती मॉडेल,वास्तविक खरेदी नाही. पण खर्च, म्हणजे. आम्हाला काय हवे आहे- आम्ही निश्चितपणे शोधू. मॉडेल योग्य असल्यास, नक्कीच.

गणितीय मॉडेल काय आहे याची कल्पना करणे उपयुक्त आहे, परंतु ते पुरेसे नाही. ही मॉडेल्स तयार करण्यात सक्षम असणे ही सर्वात महत्त्वाची गोष्ट आहे.

समस्येचे गणितीय मॉडेल काढणे (बांधकाम).

गणितीय मॉडेल तयार करणे म्हणजे समस्येच्या परिस्थितीचे भाषांतर करणे गणितीय फॉर्म. त्या. शब्दांना समीकरण, सूत्र, असमानता इ. मध्ये बदला. शिवाय, त्याचे रूपांतर करा जेणेकरून हे गणित काटेकोरपणे जुळेल मूळ मजकूर. अन्यथा, आम्हाला अज्ञात असलेल्या इतर समस्येचे गणितीय मॉडेल मिळेल.)

अधिक विशेषतः, आपल्याला आवश्यक आहे

जगात असंख्य कार्ये आहेत. म्हणून, स्पष्ट ऑफर करा चरण-दर-चरण सूचनागणितीय मॉडेल काढताना कोणतेहीकार्ये अशक्य आहेत.

परंतु तीन मुख्य मुद्दे आहेत ज्याकडे आपण लक्ष देणे आवश्यक आहे.

1. कोणत्याही समस्येमध्ये मजकूर असतो, विचित्रपणे पुरेसा.) हा मजकूर, नियम म्हणून, समाविष्ट आहे स्पष्ट, खुली माहिती.संख्या, मूल्य इ.

2. कोणतीही समस्या आहे लपलेली माहिती.हा एक मजकूर आहे जो आपल्या डोक्यात अतिरिक्त ज्ञान गृहीत धरतो. त्यांच्याशिवाय मार्ग नाही. शिवाय, गणिती माहिती अनेकदा मागे लपलेली असते सोप्या शब्दातआणि... भूतकाळाचे लक्ष वेधून घेते.

3. कोणतेही कार्य दिले पाहिजे एकमेकांशी डेटा कनेक्शन.हे कनेक्शन दिले जाऊ शकते स्पष्ट मजकुरात(काहीतरी समान आहे), किंवा कदाचित साध्या शब्दांच्या मागे लपलेले आहे. परंतु साध्या आणि स्पष्ट तथ्यांकडे अनेकदा दुर्लक्ष केले जाते. आणि मॉडेल कोणत्याही प्रकारे संकलित केलेले नाही.

मी लगेच म्हणेन: हे तीन मुद्दे लागू करण्यासाठी, तुम्हाला समस्या (आणि काळजीपूर्वक!) अनेक वेळा वाचावी लागेल. नेहमीची गोष्ट.

आणि आता - उदाहरणे.

चला एका सोप्या समस्येपासून सुरुवात करूया:

पेट्रोविच मासेमारीवरून परतला आणि अभिमानाने त्याचा झेल कुटुंबाला सादर केला. जवळून तपासणी केल्यावर, असे दिसून आले की 8 मासे उत्तरेकडील समुद्रातून आले होते, सर्व माशांपैकी 20% दक्षिणेकडील समुद्रातून आले होते आणि पेट्रोविच मासेमारी करत असलेल्या स्थानिक नदीतून एकही आला नाही. सीफूड स्टोअरमध्ये पेट्रोविचने किती मासे खरेदी केले?

हे सर्व शब्द कोणत्या ना कोणत्या समीकरणात बदलले पाहिजेत. हे करण्यासाठी तुम्हाला आवश्यक आहे, मी पुन्हा सांगतो, समस्येतील सर्व डेटा दरम्यान एक गणितीय कनेक्शन स्थापित करा.

कुठून सुरुवात करायची? प्रथम, कार्यातून सर्व डेटा काढू. चला क्रमाने सुरुवात करूया:

चला पहिल्या मुद्द्याकडे लक्ष देऊया.

येथे कोणता आहे? स्पष्टगणिती माहिती? 8 मासे आणि 20%. खूप नाही, पण आम्हाला खूप गरज नाही.)

आपण दुसऱ्या मुद्द्याकडे लक्ष देऊ या.

शोधत आहेत लपलेलेमाहिती इथे आहे. हे शब्द आहेत: "सर्व माशांपैकी 20%"येथे तुम्हाला टक्केवारी काय आहेत आणि त्यांची गणना कशी केली जाते हे समजून घेणे आवश्यक आहे. अन्यथा, समस्या सोडवता येणार नाही. हीच अतिरिक्त माहिती आहे जी तुमच्या डोक्यात असावी.

तसेच आहे गणितीयपूर्णपणे अदृश्य असलेली माहिती. या कार्य प्रश्न: "मी किती मासे विकत घेतले..."हा देखील एक नंबर आहे. आणि त्याशिवाय कोणतेही मॉडेल तयार होणार नाही. म्हणून, ही संख्या अक्षराने दर्शवूया "X". x बरोबर काय आहे हे आम्हाला अद्याप माहित नाही, परंतु हे पद आमच्यासाठी खूप उपयुक्त ठरेल. X साठी काय घ्यावे आणि ते कसे हाताळावे याबद्दल अधिक तपशील धड्यात लिहिलेले आहेत गणितातील समस्या कशा सोडवायच्या? चला ते लगेच लिहू:

x तुकडे - एकूणमासे

आमच्या समस्येमध्ये, दक्षिणी मासे टक्केवारी म्हणून दिले जातात. आपण त्यांना तुकड्यांमध्ये रूपांतरित करणे आवश्यक आहे. कशासाठी? मग काय मध्ये कोणतेहीमॉडेलची समस्या तयार करणे आवश्यक आहे एकाच प्रकारच्या प्रमाणात.तुकडे - म्हणजे सर्व काही तुकड्यांमध्ये आहे. दिले असल्यास, तास आणि मिनिटे म्हणा, आम्ही सर्वकाही एका गोष्टीमध्ये अनुवादित करतो - एकतर फक्त तास किंवा फक्त मिनिटे. ते काय आहे हे महत्त्वाचे नाही. हे महत्वाचे आहे सर्व मूल्ये एकाच प्रकारची होती.

चला माहिती प्रकटीकरणाकडे परत जाऊया. ज्याला टक्केवारी काय आहे हे माहित नाही तो कधीही ते उघड करणार नाही, होय... परंतु ज्याला माहित आहे तो लगेच म्हणेल की येथे टक्केवारी एकूण माशांच्या संख्येवर आधारित आहे. आणि आम्हाला हा नंबर माहित नाही. काहीही चालणार नाही!

आम्ही माशांची एकूण संख्या लिहितो असे काही नाही (तुकडे!) "X"नियुक्त दक्षिणेकडील माशांची संख्या मोजणे शक्य होणार नाही, परंतु आपण ते लिहू शकतो? याप्रमाणे:

0.2 x तुकडे - दक्षिणेकडील समुद्रातील माशांची संख्या.

आता आम्ही टास्कमधून सर्व माहिती डाउनलोड केली आहे. उघड आणि लपलेले दोन्ही.

चला तिसऱ्या मुद्द्याकडे लक्ष देऊया.

शोधत आहेत गणितीय कनेक्शनकार्य डेटा दरम्यान. हे कनेक्शन इतके सोपे आहे की अनेकांच्या लक्षात येत नाही... असे अनेकदा घडते. येथे गोळा केलेला डेटा एका ढीगात लिहून काय आहे ते पहाणे उपयुक्त आहे.

आमच्याकडे काय आहे? खा 8 तुकडेउत्तरेकडील मासे, 0.2 x तुकडे- दक्षिणी मासे आणि x मासे- एकूण रक्कम. हा डेटा कसा तरी एकत्र जोडणे शक्य आहे का? होय सोपे! एकूण माशांची संख्या समानदक्षिण आणि उत्तरेची बेरीज! बरं, कोणी विचार केला असेल...) म्हणून आम्ही ते लिहू:

x = 8 + 0.2x

हे समीकरण आहे आमच्या समस्येचे गणितीय मॉडेल.

कृपया लक्षात घ्या की या समस्येत आम्हाला काहीही फोल्ड करण्यास सांगितले जात नाही!दक्षिणेकडील आणि उत्तरेकडील माशांची बेरीज आपल्याला एकूण संख्या देईल हे आपल्या डोक्यातून आपण स्वतःच ओळखले होते. गोष्ट इतकी उघड आहे की ती कोणाच्याही लक्षात येत नाही. पण या पुराव्याशिवाय गणितीय मॉडेल तयार करता येत नाही. याप्रमाणे.

आता तुम्ही हे समीकरण सोडवण्यासाठी गणिताची पूर्ण शक्ती वापरू शकता). त्यामुळेच गणिताचे मॉडेल संकलित केले गेले. आपण हे रेखीय समीकरण सोडवतो आणि उत्तर मिळवतो.

उत्तर: x=10

चला दुसर्‍या समस्येचे गणितीय मॉडेल बनवू:

त्यांनी पेट्रोविचला विचारले: "तुमच्याकडे खूप पैसे आहेत का?" पेट्रोविच रडायला लागला आणि उत्तर दिले: "होय, थोडेसे. जर मी सर्व पैशांपैकी अर्धा आणि उर्वरित अर्धा खर्च केला, तर माझ्याकडे फक्त एक बॅग शिल्लक राहील..." पेट्रोविचकडे किती पैसे आहेत ?

पुन्हा आम्ही पॉइंट बाय पॉइंट काम करतो.

1. आम्ही स्पष्ट माहिती शोधत आहोत. तुम्हाला ते लगेच सापडणार नाही! स्पष्ट माहिती आहे एकपैशाची पिशवी. आणखी काही अर्धवट आहेत... बरं, आपण दुसऱ्या परिच्छेदात ते पाहू.

2. आम्ही लपलेली माहिती शोधत आहोत. हे अर्धे आहेत. काय? फार स्पष्ट नाही. आम्ही पुढे पाहत आहोत. आणखी एक प्रश्न आहे: "पेट्रोविचकडे किती पैसे आहेत?"पत्राद्वारे पैशाची रक्कम दर्शवूया "X":

एक्स- सर्व पैसे

आणि पुन्हा आम्ही समस्या वाचतो. आधीच माहित आहे की Petrovich एक्सपैसे इथेच अर्धे काम करतील! आम्ही लिहितो:

0.5 x- सर्व पैशांपैकी अर्धा.

उर्वरित देखील अर्धा असेल, म्हणजे. 0.5 x.आणि अर्धा अर्धा असे लिहिले जाऊ शकते:

0.5 0.5 x = 0.25x- उर्वरित अर्धा.

आता सर्व छुपी माहिती उघड झाली आहे आणि रेकॉर्ड केली आहे.

3. आम्ही रेकॉर्ड केलेल्या डेटा दरम्यान कनेक्शन शोधत आहोत. येथे तुम्ही पेट्रोविचचे दुःख वाचू शकता आणि ते गणितीयरित्या लिहू शकता:

जर मी सर्व पैसे अर्धे खर्च केले...

चला ही प्रक्रिया रेकॉर्ड करूया. सर्व पैसे - एक्स.अर्धा - 0.5 x. खर्च करणे म्हणजे काढून घेणे. वाक्यांश रेकॉर्डिंगमध्ये बदलतो:

x - ०.५ x

होय अर्धा बाकी...

उर्वरित अर्धा भाग वजा करू:

x - 0.5 x - 0.25x

मग माझ्याकडे फक्त एकच पैसे शिल्लक असतील...

आणि इथे आम्हाला समानता सापडली आहे! सर्व वजाबाकी केल्यानंतर, पैशाची एक पिशवी उरते:

x - 0.5 x - 0.25x = 1

हे आहे, गणिताचे मॉडेल! हे पुन्हा एक रेखीय समीकरण आहे, आम्ही ते सोडवतो, आम्हाला मिळते:

विचारार्थ प्रश्न. चार म्हणजे काय? रुबल, डॉलर, युआन? आणि आपल्या गणितीय मॉडेलमध्ये पैसे कोणत्या युनिटमध्ये लिहिलेले आहेत? पिशव्यांमध्ये!म्हणजे चार पिशवीपेट्रोविच कडून पैसे. तेही चांगले.)

कार्ये अर्थातच प्राथमिक आहेत. हे विशेषतः गणितीय मॉडेल काढण्याचे सार कॅप्चर करण्यासाठी आहे. काही कार्यांमध्ये अधिक डेटा असू शकतो, ज्यामध्ये गमावणे सोपे असू शकते. हे अनेकदा तथाकथित मध्ये घडते. सक्षमता कार्ये. शब्द आणि संख्यांच्या ढिगाऱ्यातून गणिती सामग्री कशी काढायची ते उदाहरणांसह दाखवले आहे

आणखी एक टीप. क्लासिक शाळेतील समस्यांमध्ये (पाईपमध्ये पूल भरणे, बोटी कुठेतरी तरंगणे इ.), सर्व डेटा, एक नियम म्हणून, अतिशय काळजीपूर्वक निवडला जातो. दोन नियम आहेत:
- समस्येचे निराकरण करण्यासाठी पुरेशी माहिती आहे,
- समस्येमध्ये कोणतीही अनावश्यक माहिती नसते.

हा एक इशारा आहे. गणितीय मॉडेलमध्ये काही मूल्य न वापरलेले राहिल्यास, त्रुटी आहे का याचा विचार करा. पुरेसा डेटा नसल्यास, बहुधा, सर्व लपलेली माहिती ओळखली आणि रेकॉर्ड केलेली नाही.

क्षमता-संबंधित आणि इतर जीवन कार्यांमध्ये, हे नियम काटेकोरपणे पाळले जात नाहीत. सुगावा नाही. पण अशा समस्याही सोडवता येतात. जर, नक्कीच, आपण क्लासिकवर सराव केला.)

जर तुम्हाला ही साइट आवडली असेल तर...

तसे, माझ्याकडे तुमच्यासाठी आणखी काही मनोरंजक साइट्स आहेत.)

तुम्ही उदाहरणे सोडवण्याचा सराव करू शकता आणि तुमची पातळी शोधू शकता. त्वरित पडताळणीसह चाचणी. चला जाणून घेऊ - स्वारस्याने!)

आपण फंक्शन्स आणि डेरिव्हेटिव्ह्जसह परिचित होऊ शकता.

गणित मॉडेलिंग

1. गणितीय मॉडेलिंग म्हणजे काय?

20 व्या शतकाच्या मध्यापासून. मानवी क्रियाकलापांच्या विविध क्षेत्रांमध्ये गणितीय पद्धती आणि संगणक मोठ्या प्रमाणावर वापरले जाऊ लागले. “गणितीय अर्थशास्त्र”, “गणितीय रसायनशास्त्र”, “गणितीय भाषाशास्त्र” इत्यादी, संबंधित वस्तू आणि घटनांच्या गणितीय मॉडेल्सचा अभ्यास करणे, तसेच या मॉडेल्सचा अभ्यास करण्याच्या पद्धती यासारख्या नवीन शाखा उदयास आल्या आहेत.

गणितीय मॉडेल हे गणिताच्या भाषेत वास्तविक जगाच्या घटना किंवा वस्तूंच्या कोणत्याही वर्गाचे अंदाजे वर्णन आहे. मॉडेलिंगचा मुख्य उद्देश या वस्तूंचा शोध घेणे आणि भविष्यातील निरीक्षणांच्या परिणामांचा अंदाज लावणे हा आहे. तथापि, मॉडेलिंग ही आपल्या सभोवतालचे जग समजून घेण्याची एक पद्धत आहे, ज्यामुळे त्यावर नियंत्रण ठेवणे शक्य होते.

गणितीय मॉडेलिंग आणि संबंधित संगणक प्रयोग अशा प्रकरणांमध्ये अपरिहार्य आहेत जेथे पूर्ण-प्रयोग एक किंवा दुसर्या कारणास्तव अशक्य किंवा कठीण आहे. उदाहरणार्थ, इतिहासात "काय झाले असते तर..." तपासण्यासाठी एक नैसर्गिक प्रयोग स्थापित करणे अशक्य आहे, एक किंवा दुसर्या वैश्विक सिद्धांताची शुद्धता तपासणे अशक्य आहे. प्लेगसारख्या रोगाच्या प्रसाराचा प्रयोग करणे किंवा त्याच्या परिणामांचा अभ्यास करण्यासाठी आण्विक स्फोट करणे शक्य आहे, परंतु वाजवी असण्याची शक्यता नाही. तथापि, हे सर्व संगणकावर प्रथम अभ्यासल्या जाणार्‍या घटनांचे गणितीय मॉडेल तयार करून केले जाऊ शकते.

2. गणितीय मॉडेलिंगचे मुख्य टप्पे

1) मॉडेल बिल्डिंग. या टप्प्यावर, काही "गैर-गणितीय" वस्तू निर्दिष्ट केल्या आहेत - एक नैसर्गिक घटना, डिझाइन, आर्थिक योजना, उत्पादन प्रक्रिया इ. या प्रकरणात, नियम म्हणून, परिस्थितीचे स्पष्ट वर्णन करणे कठीण आहे. प्रथम, इंद्रियगोचरची मुख्य वैशिष्ट्ये आणि गुणात्मक स्तरावर त्यांच्यातील कनेक्शन ओळखले जातात. मग सापडलेली गुणात्मक अवलंबित्व गणिताच्या भाषेत तयार केली जाते, म्हणजेच एक गणितीय मॉडेल तयार केले जाते. मॉडेलिंगचा हा सर्वात कठीण टप्पा आहे.

२) गणितीय समस्या सोडवणे ज्याकडे मॉडेल नेले आहे. या टप्प्यावर, संगणकावरील समस्या सोडवण्यासाठी अल्गोरिदम आणि संख्यात्मक पद्धतींच्या विकासाकडे जास्त लक्ष दिले जाते, ज्याच्या मदतीने निकाल आवश्यक अचूकतेसह आणि स्वीकार्य वेळेत शोधला जाऊ शकतो.

3) गणितीय मॉडेलमधून प्राप्त परिणामांचे स्पष्टीकरण.गणिताच्या भाषेतील मॉडेलमधून घेतलेल्या परिणामांचा अर्थ क्षेत्रात स्वीकारलेल्या भाषेत केला जातो.

4) मॉडेलची पर्याप्तता तपासत आहे.या टप्प्यावर, प्रायोगिक परिणाम विशिष्ट अचूकतेमध्ये मॉडेलच्या सैद्धांतिक परिणामांशी सहमत आहेत की नाही हे निर्धारित केले जाते.

5) मॉडेलमध्ये बदल.या टप्प्यावर, एकतर मॉडेल क्लिष्ट आहे जेणेकरुन ते वास्तविकतेसाठी अधिक पुरेसे असेल किंवा व्यावहारिकदृष्ट्या स्वीकार्य समाधान मिळविण्यासाठी ते सोपे केले जाईल.

3. मॉडेलचे वर्गीकरण

विविध निकषांनुसार मॉडेलचे वर्गीकरण केले जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, ज्या समस्यांचे निराकरण केले जात आहे त्यानुसार, मॉडेल्स फंक्शनल आणि स्ट्रक्चरलमध्ये विभागली जाऊ शकतात. पहिल्या प्रकरणात, घटना किंवा वस्तूचे वैशिष्ट्य दर्शविणारे सर्व प्रमाण परिमाणवाचकपणे व्यक्त केले जातात. शिवाय, त्यापैकी काही स्वतंत्र व्हेरिएबल्स म्हणून मानले जातात, तर इतरांना या प्रमाणांचे कार्य मानले जाते. गणितीय मॉडेल ही सामान्यत: विविध प्रकारच्या समीकरणांची एक प्रणाली असते (विभेद, बीजगणित, इ.) जी विचाराधीन प्रमाणांमध्ये परिमाणवाचक संबंध स्थापित करते. दुस-या प्रकरणात, मॉडेल वैयक्तिक भागांचा समावेश असलेल्या जटिल ऑब्जेक्टची रचना दर्शवते, ज्यामध्ये काही विशिष्ट कनेक्शन असतात. सामान्यतः, हे कनेक्शन परिमाणयोग्य नसतात. अशी मॉडेल्स तयार करण्यासाठी, आलेख सिद्धांत वापरणे सोयीचे आहे. आलेख ही एक गणितीय वस्तू आहे जी समतल किंवा अंतराळातील बिंदूंचा (शिरोबिंदू) संच दर्शवते, ज्यापैकी काही रेषा (किनारे) द्वारे जोडलेले असतात.

प्रारंभिक डेटा आणि परिणामांच्या स्वरूपावर आधारित, भविष्यवाणी मॉडेल्सचे निर्धारणात्मक आणि संभाव्य-सांख्यिकीय मध्ये विभागले जाऊ शकते. पहिल्या प्रकारातील मॉडेल्स निश्चित, अस्पष्ट अंदाज लावतात. दुस-या प्रकारचे मॉडेल सांख्यिकीय माहितीवर आधारित आहेत आणि त्यांच्या मदतीने प्राप्त केलेले अंदाज संभाव्य स्वरूपाचे आहेत.

4. गणितीय मॉडेल्सची उदाहरणे

1) प्रक्षेपणाच्या गतीबद्दल समस्या.

खालील यांत्रिक समस्या विचारात घ्या.

प्रक्षेपण पृथ्वीवरून त्याच्या पृष्ठभागाच्या a = 45° कोनात v 0 = 30 m/s या प्रारंभिक गतीने प्रक्षेपित केले जाते; त्याच्या हालचालीचा मार्ग आणि या प्रक्षेपकाच्या सुरुवातीच्या आणि शेवटच्या बिंदूंमधील अंतर S शोधणे आवश्यक आहे.

मग, शालेय भौतिकशास्त्राच्या अभ्यासक्रमातून ओळखल्याप्रमाणे, प्रक्षेपणाची गती सूत्रांद्वारे वर्णन केली जाते:

जेथे t वेळ आहे, g = 10 m/s 2 हा गुरुत्वाकर्षणाचा प्रवेग आहे. ही सूत्रे समस्येचे गणितीय मॉडेल देतात. पहिल्या समीकरणातून x द्वारे t व्यक्त करून ते दुसऱ्या समीकरणात बदलून, आपल्याला प्रक्षेपणाच्या प्रक्षेपणासाठी समीकरण मिळते:

हा वक्र (पॅराबोला) x अक्षाला दोन बिंदूंनी छेदतो: x 1 = 0 (प्रक्षेपणाची सुरुवात) आणि (जेथे प्रक्षेपण पडले ते ठिकाण). v0 आणि a ची दिलेली मूल्ये परिणामी सूत्रांमध्ये बदलून, आम्हाला मिळते

उत्तर: y = x – 90x 2, S = 90 मी.

लक्षात घ्या की हे मॉडेल तयार करताना, अनेक गृहितकांचा वापर केला गेला: उदाहरणार्थ, असे गृहीत धरले जाते की पृथ्वी सपाट आहे आणि हवा आणि पृथ्वीच्या परिभ्रमणाचा प्रक्षेपणाच्या हालचालीवर परिणाम होत नाही.

2) पृष्ठभागाच्या सर्वात लहान क्षेत्रासह टाकीबद्दल समस्या.

V = 30 m 3 आकारमान असलेल्या टिन टाकीची उंची h 0 आणि त्रिज्या r 0 शोधणे आवश्यक आहे, बंद वर्तुळाकार सिलेंडरचा आकार आहे, ज्यावर त्याचे पृष्ठभाग क्षेत्र S किमान आहे (या प्रकरणात, किमान टिनची रक्कम त्याच्या उत्पादनासाठी वापरली जाईल).

h आणि त्रिज्या r च्या सिलेंडरच्या आकारमानासाठी आणि पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळासाठी खालील सूत्रे लिहूया:

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

पहिल्या सूत्रातून r आणि V द्वारे h व्यक्त करणे आणि परिणामी अभिव्यक्ती दुसऱ्यामध्ये बदलल्यास, आपल्याला मिळते:

अशाप्रकारे, गणिताच्या दृष्टिकोनातून, r चे मूल्य निश्चित करण्यात समस्या येते ज्यावर S(r) फंक्शन किमान पोहोचते. r 0 ची ती मूल्ये शोधू ज्यासाठी व्युत्पन्न

शून्यावर जाते: जेव्हा r बिंदू r 0 मधून जातो तेव्हा S(r) फंक्शनचे दुसरे डेरिव्हेटिव्ह वजा ते प्लसचे चिन्ह बदलते हे तुम्ही तपासू शकता. परिणामी, बिंदू r0 वर S(r) फंक्शन किमान आहे. संबंधित मूल्य h 0 = 2r 0 आहे. दिलेले मूल्य V ला r 0 आणि h 0 च्या अभिव्यक्तीमध्ये बदलून, आम्हाला इच्छित त्रिज्या मिळते आणि उंची

3) वाहतूक समस्या.

शहरात दोन पिठाची गोदामे आणि दोन बेकरी आहेत. दररोज, पहिल्या गोदामातून 50 टन मैदा, दुसऱ्या गोदामातून 70 टन, पहिल्या गोदामात 40 टन आणि दुसऱ्या गोदामात 80 टन पीठ नेले जाते.

द्वारे सूचित करूया a i-th गोदामातून 1 टन मैदा नेण्यासाठी ij खर्च j-th वनस्पती(i, j = 1,2). द्या

a 11 = 1.2 रूबल, a 12 = 1.6 रूबल, a२१ = ०.८ घासणे., a 22 = 1 घासणे.

वाहतुकीचे नियोजन कसे केले पाहिजे जेणेकरून त्याची किंमत कमी असेल?

चला या समस्येचे गणितीय सूत्र देऊ. x 1 आणि x 2 ने पहिल्या गोदामातून पहिल्या आणि दुसर्‍या कारखान्यात आणि x 3 आणि x 4 ने अनुक्रमे दुसर्‍या गोदामातून पहिल्या आणि दुसर्‍या कारखान्यात नेले जाणारे पिठाचे प्रमाण दर्शवू. मग:

x १ + x २ = ५०, x ३ + x ४ = ७०, x १ + x ३ = ४०, x २ + x ४ = ८०. (१)

सर्व वाहतुकीची एकूण किंमत सूत्रानुसार निर्धारित केली जाते

f = 1.2x 1 + 1.6x 2 + 0.8x 3 + x 4.

गणिताच्या दृष्टिकोनातून, समस्या म्हणजे चार संख्या शोधणे x 1, x 2, x 3 आणि x 4 जे सर्व दिलेल्या अटी पूर्ण करतात आणि फंक्शनचे किमान f देतात. अज्ञात गोष्टी काढून टाकून xi (i = 1, 2, 3, 4) साठी समीकरणांची प्रणाली (1) सोडवू. आम्हाला ते मिळते

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4, x 3 = 70 – x 4, (2)

आणि x 4 अद्वितीयपणे निर्धारित केले जाऊ शकत नाही. x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4) पासून, हे समीकरण (2) वरून येते की 30Ј x 4 Ј 70. x 1, x 2, x 3 साठी x 1, x 2, x 3 चे सूत्र f च्या सूत्रामध्ये बदलल्यास, आपल्याला मिळते

f = 148 – 0.2x 4.

हे पाहणे सोपे आहे की या फंक्शनचे किमान x 4 च्या जास्तीत जास्त संभाव्य मूल्यावर, म्हणजे x 4 = 70 वर प्राप्त झाले आहे. इतर अज्ञातांची संबंधित मूल्ये सूत्रांद्वारे निर्धारित केली जातात (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) किरणोत्सर्गी क्षयची समस्या.

N(0) ही किरणोत्सर्गी पदार्थाच्या अणूंची प्रारंभिक संख्या असू द्या आणि N(t) ही t वेळी न विरळलेल्या अणूंची संख्या असू द्या. हे प्रायोगिकरित्या स्थापित केले गेले आहे की या अणूंच्या संख्येतील बदलाचा दर N"(t) N(t) च्या प्रमाणात आहे, म्हणजेच N"(t)=–l N(t), l >0 आहे दिलेल्या पदार्थाची किरणोत्सर्गी स्थिरता. गणितीय विश्लेषणाच्या शालेय अभ्यासक्रमात असे दिसून येते की या विभेदक समीकरणाचे समाधान N(t) = N(0)e –l t आहे. ज्या काळात प्रारंभिक अणूंची संख्या निम्मी झाली त्या कालावधीला अर्ध-जीवन म्हणतात, आणि हे पदार्थाच्या किरणोत्सर्गीतेचे एक महत्त्वाचे वैशिष्ट्य आहे. T निश्चित करण्यासाठी, आपण सूत्र ठेवले पाहिजे मग उदाहरणार्थ, रेडॉन l = 2.084 · 10 –6, आणि म्हणून T = 3.15 दिवस.

5) प्रवासी सेल्समनची समस्या.

शहर A 1 मध्ये राहणाऱ्या प्रवासी सेल्समनला A 2, A 3 आणि A 4 या प्रत्येक शहराला एकदाच भेट द्यावी लागते आणि नंतर A 1 ला परत जावे लागते. सर्व शहरे रस्त्यांनी जोडलेली आहेत हे ज्ञात आहे आणि A i आणि A j (i, j = 1, 2, 3, 4) शहरांमधील रस्त्यांची लांबी खालीलप्रमाणे आहे:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

ज्या शहरांमध्ये संबंधित मार्गाची लांबी कमी आहे त्या शहरांना भेट देण्याचा क्रम निश्चित करणे आवश्यक आहे.

आपण प्रत्येक शहराचे समतल बिंदू म्हणून चित्रण करूया आणि त्यास संबंधित Ai (i = 1, 2, 3, 4) लेबलने चिन्हांकित करू या. चला हे बिंदू सरळ रेषांनी जोडूया: ते शहरांमधील रस्ते दर्शवतील. प्रत्येक “रस्त्यासाठी” आम्ही त्याची लांबी किलोमीटरमध्ये दर्शवतो (चित्र 2). परिणाम म्हणजे आलेख - एक गणितीय वस्तू ज्यामध्ये समतल बिंदूंचा एक विशिष्ट संच (ज्याला शिरोबिंदू म्हणतात) आणि या बिंदूंना जोडणाऱ्या रेषांचा विशिष्ट संच (ज्याला कडा म्हणतात). शिवाय, हा आलेख लेबल केलेला आहे, कारण त्याच्या शिरोबिंदू आणि कडांना काही लेबले नियुक्त केली आहेत - संख्या (किनारे) किंवा चिन्हे (शिरोबिंदू). आलेखावरील चक्र हा V 1 , V 2 , ... , V k , V 1 अशा शिरोबिंदूंचा क्रम असतो ज्यामध्ये V 1 , ..., V k हे शिरोबिंदू भिन्न असतात आणि V i , V ची कोणतीही जोडी i+1 (i = 1, ..., k – 1) आणि जोडी V 1, V k एका काठाने जोडलेली आहे. अशाप्रकारे, विचाराधीन समस्या ही आहे की चारही शिरोबिंदूंमधून जाणारे आलेखावर एक चक्र शोधणे ज्यासाठी सर्व काठाच्या वजनांची बेरीज किमान आहे. चार शिरोबिंदूंमधून जाणारी आणि A 1 पासून सुरू होणारी सर्व भिन्न चक्रे शोधू या:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1, A 3, A 4, A 2, A 1.

आता या चक्रांची लांबी (किमीमध्ये) शोधू या: L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. तर, सर्वात लहान लांबीचा मार्ग पहिला आहे.

लक्षात घ्या की जर आलेखामध्ये n शिरोबिंदू असतील आणि सर्व शिरोबिंदू जोड्यांमध्ये कडांनी जोडलेले असतील (अशा आलेखाला पूर्ण म्हणतात), तर सर्व शिरोबिंदूंमधून जाणार्‍या चक्रांची संख्या आहे, म्हणून आमच्या बाबतीत अगदी तीन चक्रे आहेत.

6) पदार्थांची रचना आणि गुणधर्म यांच्यातील संबंध शोधण्याची समस्या.

सामान्य अल्केन नावाच्या अनेक रासायनिक संयुगे पाहू. त्यामध्ये n कार्बन अणू आणि n + 2 हायड्रोजन अणू (n = 1, 2 ...) असतात, n = 3 साठी आकृती 3 मध्ये दर्शविल्याप्रमाणे एकमेकांशी जोडलेले असतात. या संयुगांच्या उकळत्या बिंदूंची प्रायोगिक मूल्ये ओळखू द्या:

y e (3) = – 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

या संयुगांसाठी उत्कलन बिंदू आणि संख्या n यांच्यातील अंदाजे संबंध शोधणे आवश्यक आहे. या अवलंबनाचे स्वरूप आहे असे मानू या

y" a n+b,

कुठे a, b - स्थिरांक निश्चित करणे. शोधण्यासाठी aआणि b आपण या सूत्रामध्ये अनुक्रमे n = 3, 4, 5, 6 आणि उत्कलन बिंदूंची संबंधित मूल्ये बदलतो. आमच्याकडे आहे:

– ४२ » ३ a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+ ब.

सर्वोत्तम ठरवण्यासाठी aआणि b अनेक वेगवेगळ्या पद्धती आहेत. चला त्यापैकी सर्वात सोपा वापरुया. b द्वारे व्यक्त करू aया समीकरणांमधून:

b » – ४२ – ३ a, b " - 4 a, b » २८ - ५ a, b » ६९ – ६ a.

या मूल्यांचा अंकगणितीय माध्य इच्छित b म्हणून घेऊ, म्हणजेच b » 16 – 4.5 ठेवू. a. b चे हे मूल्य समीकरणांच्या मूळ प्रणालीमध्ये बदलू आणि गणना करू a, आम्ही मिळवा aखालील मूल्ये: a» ३७, a» २८, a» २८, a" ३६. आवश्यकतेनुसार घेऊ aया संख्यांचे सरासरी मूल्य, म्हणजे टाकू a" 34. तर, आवश्यक समीकरणाला फॉर्म आहे

y » 34n – 139.

मूळ चार संयुगांवर मॉडेलची अचूकता तपासूया, ज्यासाठी आम्ही परिणामी सूत्र वापरून उकळत्या बिंदूंची गणना करतो:

y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.

अशा प्रकारे, या संयुगांसाठी या गुणधर्माची गणना करताना त्रुटी 5° पेक्षा जास्त नाही. n = 7 असलेल्या कंपाऊंडच्या उत्कल बिंदूची गणना करण्यासाठी आम्ही परिणामी समीकरण वापरतो, जो मूळ सेटमध्ये समाविष्ट नाही, ज्यासाठी आम्ही या समीकरणामध्ये n = 7 बदलतो: y р (7) = 99°. परिणाम अगदी अचूक होता: हे ज्ञात आहे की उकळत्या बिंदूचे प्रायोगिक मूल्य y e (7) = 98° आहे.

7) इलेक्ट्रिकल सर्किटची विश्वासार्हता निश्चित करण्याची समस्या.

येथे आपण संभाव्य मॉडेलचे उदाहरण पाहू. प्रथम, आम्ही संभाव्यता सिद्धांतावरून काही माहिती सादर करतो - एक गणितीय शिस्त जी प्रयोगांच्या वारंवार पुनरावृत्ती दरम्यान आढळलेल्या यादृच्छिक घटनांच्या नमुन्यांची अभ्यास करते. यादृच्छिक घटनेला आपण काही प्रयोगाचा संभाव्य परिणाम म्हणू या. घटना A 1, ..., A k फॉर्म पूर्ण गट, जर अनुभवाच्या परिणामी त्यापैकी एक अपरिहार्यपणे उद्भवते. घटना एका अनुभवात एकाच वेळी घडू शकत नसल्यास त्यांना असंगत म्हणतात. प्रयोगाच्या n-पट पुनरावृत्ती दरम्यान घटना A ला m वेळा येऊ द्या. घटना A ची वारंवारता W = संख्या आहे. अर्थात, n प्रयोगांची मालिका पूर्ण होईपर्यंत W चे मूल्य अचूकपणे सांगता येत नाही. तथापि, यादृच्छिक घटनांचे स्वरूप असे आहे की सराव मध्ये काहीवेळा खालील प्रभाव दिसून येतो: प्रयोगांच्या संख्येत वाढ झाल्यामुळे, मूल्य व्यावहारिकरित्या यादृच्छिकपणे थांबते आणि एका विशिष्ट भोवती स्थिर होते. नॉन-यादृच्छिक संख्या P(A), ज्याला घटना A ची संभाव्यता म्हणतात. अशक्य घटनेसाठी (जे कधीही अनुभवात येत नाही) P(A) = 0, आणि विशिष्ट घटनेसाठी (जे नेहमी अनुभवात येते) P(A) = 1. जर घटना A 1 , ..., A k विसंगत घटनांचा संपूर्ण समूह बनवतात, तर P(A 1)+...P(A k)=1.

उदाहरणार्थ, प्रयोगात एक फासे फेकणे आणि X ने गुंडाळलेल्या गुणांची संख्या पाहणे समाविष्ट आहे. मग आपण खालील यादृच्छिक घटना A i = (X = i), i = 1, ..., 6 सादर करू शकतो. ते विसंगत तितक्याच संभाव्य घटनांचा एक संपूर्ण गट तयार करा, म्हणून P(A i) = (i = 1, ..., 6).

घटनांची बेरीज A आणि B ही घटना A + B आहे, ज्यामध्ये त्यापैकी किमान एक अनुभवात येतो. घटना A आणि B चे उत्पादन AB ही घटना आहे, ज्यामध्ये या घटना एकाच वेळी घडतात. स्वतंत्र घटना A आणि B साठी, खालील सूत्रे सत्य आहेत:

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) आता खालील गोष्टींचा विचार करू कार्य. आपण असे गृहीत धरू की तीन घटक एका इलेक्ट्रिकल सर्किटशी मालिकेत जोडलेले आहेत आणि एकमेकांपासून स्वतंत्रपणे कार्य करतात. 1ल्या, 2ऱ्या आणि 3ऱ्या घटकांच्या अयशस्वी संभाव्यता अनुक्रमे P1 = 0.1, P2 = 0.15, P3 = 0.2 च्या समान आहेत. सर्किटमध्ये विद्युत प्रवाह नसण्याची संभाव्यता 0.4 पेक्षा जास्त नसल्यास आम्ही सर्किट विश्वसनीय मानू. दिलेले सर्किट विश्वसनीय आहे की नाही हे निर्धारित करणे आवश्यक आहे.

घटक मालिकेत जोडलेले असल्याने, किमान एक घटक अयशस्वी झाल्यास सर्किटमध्ये (इव्हेंट A) विद्युतप्रवाह नसेल. A i ही घटना असू द्या जी i-th घटक कार्य करते (i = 1, 2, 3). नंतर P(A1) = 0.9, P(A2) = 0.85, P(A3) = 0.8. अर्थात, A 1 A 2 A 3 ही एक घटना आहे ज्यामध्ये तिन्ही घटक एकाच वेळी कार्य करतात आणि

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0.612.

नंतर P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, तर P(A) = 0.388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

शेवटी, आम्ही लक्षात घेतो की गणितीय मॉडेल्सची (फंक्शनल आणि स्ट्रक्चरल, डिटरमिनिस्टिक आणि संभाव्यता यासह) दिलेली उदाहरणे निसर्गात स्पष्टीकरणात्मक आहेत आणि स्वाभाविकच, नैसर्गिक विज्ञान आणि मानवतेमध्ये उद्भवणारी गणितीय मॉडेल्सची विविधता संपत नाही.