गणितीय मॉडेल म्हणजे काय?

गणितीय मॉडेलची संकल्पना.

गणितीय मॉडेल ही अतिशय सोपी संकल्पना आहे. आणि खूप महत्वाचे. हे गणितीय मॉडेल आहेत जे गणित आणि वास्तविक जीवन जोडतात.

बोलणे सोप्या भाषेत, गणितीय मॉडेल म्हणजे कोणत्याही परिस्थितीचे गणितीय वर्णन.इतकंच. मॉडेल आदिम असू शकते किंवा ते सुपर कॉम्प्लेक्स असू शकते. परिस्थिती काहीही असो, मॉडेल असे आहे.)

कोणत्याही मध्ये (मी पुनरावृत्ती करतो - कुठल्याही!) अशा परिस्थितीत जिथे आपल्याला काहीतरी मोजणे आणि गणना करणे आवश्यक आहे - आम्ही गणितीय मॉडेलिंगमध्ये व्यस्त आहोत. आम्हाला संशय नसला तरीही.)

P = 2 CB + 3 CM

ही नोंद आमच्या खरेदीच्या खर्चाचे गणितीय मॉडेल असेल. मॉडेल पॅकेजिंगचा रंग, कालबाह्यता तारीख, कॅशियरची सभ्यता इत्यादी विचारात घेत नाही. म्हणूनच ती मॉडेल,वास्तविक खरेदी नाही. पण खर्च, म्हणजे. आम्हाला काय हवे आहे- आम्ही निश्चितपणे शोधू. मॉडेल योग्य असल्यास, नक्कीच.

गणितीय मॉडेल काय आहे याची कल्पना करणे उपयुक्त आहे, परंतु ते पुरेसे नाही. ही मॉडेल्स तयार करण्यात सक्षम असणे ही सर्वात महत्त्वाची गोष्ट आहे.

समस्येचे गणितीय मॉडेल काढणे (बांधकाम).

गणितीय मॉडेल तयार करणे म्हणजे समस्येच्या परिस्थितीचे भाषांतर करणे गणितीय फॉर्म. त्या. शब्दांना समीकरण, सूत्र, असमानता इ. मध्ये बदला. शिवाय, त्याचे रूपांतर करा जेणेकरून हे गणित काटेकोरपणे जुळेल मूळ मजकूर. अन्यथा, आम्हाला अज्ञात असलेल्या इतर समस्येचे गणितीय मॉडेल मिळेल.)

अधिक विशेषतः, आपल्याला आवश्यक आहे

जगात असंख्य कार्ये आहेत. म्हणून, स्पष्ट ऑफर करा चरण-दर-चरण सूचनागणितीय मॉडेल काढताना कोणतेहीकार्ये अशक्य आहेत.

परंतु तीन मुख्य मुद्दे आहेत ज्याकडे आपण लक्ष देणे आवश्यक आहे.

1. कोणत्याही समस्येमध्ये मजकूर असतो, विचित्रपणे पुरेसा.) हा मजकूर, नियम म्हणून, समाविष्ट आहे स्पष्ट, खुली माहिती.संख्या, मूल्य इ.

2. कोणतीही समस्या आहे लपलेली माहिती.हा एक मजकूर आहे जो आपल्या डोक्यात अतिरिक्त ज्ञान गृहीत धरतो. त्यांच्याशिवाय मार्ग नाही. शिवाय, गणिती माहिती अनेकदा मागे लपलेली असते सोप्या शब्दातआणि... भूतकाळाचे लक्ष वेधून घेते.

3. कोणतेही कार्य दिले पाहिजे एकमेकांशी डेटा कनेक्शन.हे कनेक्शन दिले जाऊ शकते स्पष्ट मजकुरात(काहीतरी समान आहे), किंवा कदाचित साध्या शब्दांच्या मागे लपलेले आहे. परंतु साध्या आणि स्पष्ट तथ्यांकडे अनेकदा दुर्लक्ष केले जाते. आणि मॉडेल कोणत्याही प्रकारे संकलित केलेले नाही.

मी लगेच म्हणेन: हे तीन मुद्दे लागू करण्यासाठी, तुम्हाला समस्या (आणि काळजीपूर्वक!) अनेक वेळा वाचावी लागेल. नेहमीची गोष्ट.

आणि आता - उदाहरणे.

चला एका सोप्या समस्येपासून सुरुवात करूया:

पेट्रोविच मासेमारीवरून परतला आणि अभिमानाने त्याचा झेल कुटुंबाला सादर केला. जवळून तपासणी केल्यावर असे दिसून आले की 8 मासे उत्तरेकडील समुद्रातून आले होते, 20% सर्व मासे दक्षिणेकडील समुद्रातून आले होते आणि पेट्रोविच मासेमारी करत असलेल्या स्थानिक नदीतून एकही आला नाही. सीफूड स्टोअरमध्ये पेट्रोविचने किती मासे खरेदी केले?

हे सर्व शब्द कोणत्या ना कोणत्या समीकरणात बदलले पाहिजेत. हे करण्यासाठी तुम्हाला आवश्यक आहे, मी पुन्हा सांगतो, समस्येतील सर्व डेटा दरम्यान एक गणितीय कनेक्शन स्थापित करा.

कुठून सुरुवात करायची? प्रथम, कार्यातून सर्व डेटा काढू. चला क्रमाने सुरुवात करूया:

चला पहिल्या मुद्द्याकडे लक्ष देऊया.

येथे कोणता आहे? स्पष्टगणिती माहिती? 8 मासे आणि 20%. खूप नाही, पण आम्हाला खूप गरज नाही.)

आपण दुसऱ्या मुद्द्याकडे लक्ष देऊ या.

शोधत आहेत लपलेलेमाहिती इथे आहे. हे शब्द आहेत: "सर्व माशांपैकी 20%". येथे तुम्हाला टक्केवारी म्हणजे काय आणि ते कसे मोजले जातात हे समजून घेणे आवश्यक आहे. अन्यथा, समस्या सोडवता येणार नाही. नेमके हेच आहे. अतिरिक्त माहिती, जे तुमच्या डोक्यात असावे.

तसेच आहे गणितीयपूर्णपणे अदृश्य असलेली माहिती. या कार्य प्रश्न: "मी किती मासे विकत घेतले..."हा देखील एक नंबर आहे. आणि त्याशिवाय कोणतेही मॉडेल तयार होणार नाही. म्हणून, ही संख्या अक्षराने दर्शवूया "X". x बरोबर काय आहे हे आम्हाला अद्याप माहित नाही, परंतु हे पद आमच्यासाठी खूप उपयुक्त ठरेल. X साठी काय घ्यावे आणि ते कसे हाताळावे याबद्दल अधिक तपशील धड्यात लिहिलेले आहेत गणितातील समस्या कशा सोडवायच्या? चला ते लगेच लिहू:

x तुकडे - एकूणमासे

आमच्या समस्येमध्ये, दक्षिणी मासे टक्केवारी म्हणून दिले जातात. आपण त्यांना तुकड्यांमध्ये रूपांतरित करणे आवश्यक आहे. कशासाठी? मग काय मध्ये कोणतेहीमॉडेलची समस्या काढणे आवश्यक आहे समान प्रकारच्या प्रमाणात.तुकडे - म्हणजे सर्व काही तुकड्यांमध्ये आहे. दिले असल्यास, तास आणि मिनिटे म्हणा, आम्ही सर्वकाही एका गोष्टीमध्ये अनुवादित करतो - एकतर फक्त तास किंवा फक्त मिनिटे. ते काय आहे हे महत्त्वाचे नाही. हे महत्त्वाचे आहे सर्व मूल्ये एकाच प्रकारची होती.

चला माहिती प्रकटीकरणाकडे परत जाऊया. ज्याला टक्केवारी काय आहे हे माहित नाही तो कधीही ते उघड करणार नाही, होय... परंतु ज्याला माहित आहे तो लगेच म्हणेल की येथे टक्केवारी एकूण माशांच्या संख्येवर आधारित आहे. आणि आम्हाला हा नंबर माहित नाही. काहीही चालणार नाही!

आम्ही माशांची एकूण संख्या लिहितो असे काही नाही (तुकडे!) "X"नियुक्त दक्षिणेकडील माशांची संख्या मोजणे शक्य होणार नाही, परंतु आपण ते लिहू शकतो? याप्रमाणे:

0.2 x तुकडे - दक्षिणेकडील समुद्रातील माशांची संख्या.

आता आम्ही टास्कमधून सर्व माहिती डाउनलोड केली आहे. उघड आणि लपलेले दोन्ही.

चला तिसऱ्या मुद्द्याकडे लक्ष देऊया.

शोधत आहेत गणितीय कनेक्शनकार्य डेटा दरम्यान. हे कनेक्शन इतके सोपे आहे की अनेकांच्या लक्षात येत नाही... असे अनेकदा घडते. येथे गोळा केलेला डेटा एका ढीगात लिहून घेणे आणि काय आहे ते पहाणे उपयुक्त आहे.

आमच्याकडे काय आहे? खा 8 तुकडेउत्तर मासे, 0.2 x तुकडे- दक्षिणी मासे आणि x मासे- एकूण रक्कम. हा डेटा कसा तरी एकत्र जोडणे शक्य आहे का? होय सोपे! एकूण माशांची संख्या समानदक्षिण आणि उत्तरेची बेरीज! बरं, कोणी विचार केला असेल...) म्हणून आम्ही ते लिहू:

x = 8 + 0.2x

हे समीकरण आहे आमच्या समस्येचे गणितीय मॉडेल.

कृपया लक्षात घ्या की या समस्येत आम्हाला काहीही फोल्ड करण्यास सांगितले जात नाही!दक्षिणेकडील आणि उत्तरेकडील माशांची बेरीज आपल्याला एकूण संख्या देईल हे आपल्या डोक्यातून आपण स्वतःच ओळखले होते. गोष्ट इतकी उघड आहे की ती कोणाच्याही लक्षात येत नाही. पण या पुराव्याशिवाय गणितीय मॉडेल तयार करता येत नाही. याप्रमाणे.

आता तुम्ही हे समीकरण सोडवण्यासाठी गणिताची पूर्ण शक्ती वापरू शकता). त्यामुळेच गणिताचे मॉडेल संकलित केले गेले. आपण हे रेखीय समीकरण सोडवतो आणि उत्तर मिळवतो.

उत्तर: x=10

चला दुसऱ्या समस्येचे गणितीय मॉडेल बनवू:

त्यांनी पेट्रोविचला विचारले: "तुमच्याकडे खूप पैसे आहेत का?" पेट्रोविच रडायला लागला आणि उत्तर दिले: "हो, थोडेसे. जर मी सर्व पैशांपैकी अर्धा खर्च केला आणि उरलेल्या रकमेपैकी अर्धा, तर माझ्याकडे फक्त एक बॅग शिल्लक राहील..." पेट्रोविचकडे किती पैसे आहेत ?

पुन्हा आम्ही पॉइंट बाय पॉइंट काम करतो.

1. आम्ही स्पष्ट माहिती शोधत आहोत. तुम्हाला ते लगेच सापडणार नाही! स्पष्ट माहिती आहे एकपैशाची पिशवी. आणखी काही अर्धवट आहेत... बरं, आपण त्या दुसऱ्या मुद्द्यामध्ये पाहू.

2. आम्ही लपलेली माहिती शोधत आहोत. हे अर्धे आहेत. काय? फार स्पष्ट नाही. आम्ही पुढे पाहत आहोत. आणखी एक प्रश्न आहे: "पेट्रोविचकडे किती पैसे आहेत?"पत्राद्वारे पैशाची रक्कम दर्शवूया "X":

एक्स- सर्व पैसे

आणि पुन्हा आम्ही समस्या वाचतो. आधीच माहित आहे की Petrovich एक्सपैसे इथेच अर्धे काम करतील! आम्ही लिहितो:

0.5 x- सर्व पैशांपैकी अर्धा.

उर्वरित देखील अर्धा असेल, म्हणजे. 0.5 x.आणि अर्धा अर्धा असे लिहिले जाऊ शकते:

0.5 0.5 x = 0.25x- उर्वरित अर्धा.

आता सर्व छुपी माहिती उघड झाली आहे आणि रेकॉर्ड केली आहे.

3. आम्ही रेकॉर्ड केलेल्या डेटा दरम्यान कनेक्शन शोधत आहोत. येथे तुम्ही फक्त पेट्रोविचचे दुःख वाचू शकता आणि ते गणितीयपणे लिहू शकता:

जर मी सर्व पैसे अर्धे खर्च केले...

चला ही प्रक्रिया रेकॉर्ड करूया. सर्व पैसे - एक्स.अर्धा - 0.5 x. खर्च करणे म्हणजे काढून घेणे. वाक्यांश रेकॉर्डिंगमध्ये बदलतो:

x - ०.५ x

होय अर्धा बाकी...

उर्वरित अर्धा भाग वजा करू:

x - 0.5 x - 0.25x

मग माझ्याकडे फक्त एकच पैसे शिल्लक असतील...

आणि इथे आम्हाला समानता सापडली आहे! सर्व वजाबाकी केल्यानंतर, पैशाची एक पिशवी उरते:

x - 0.5 x - 0.25x = 1

हे आहे, गणिताचे मॉडेल! हे पुन्हा एक रेखीय समीकरण आहे, आम्ही ते सोडवतो, आम्हाला मिळते:

विचारार्थ प्रश्न. चार म्हणजे काय? रुबल, डॉलर, युआन? आणि आपल्या गणिताच्या मॉडेलमध्ये पैसे कोणत्या युनिटमध्ये लिहिलेले आहेत? पिशव्यांमध्ये!म्हणजे चार पिशवीपेट्रोविच कडून पैसे. तेही चांगले.)

कार्ये अर्थातच प्राथमिक आहेत. हे विशेषतः गणितीय मॉडेल काढण्याचे सार कॅप्चर करण्यासाठी आहे. काही कार्यांमध्ये अधिक डेटा असू शकतो, ज्यामध्ये गमावणे सोपे असू शकते. हे अनेकदा तथाकथित मध्ये घडते. सक्षमता कार्ये. कसे बाहेर काढायचे गणितीय सामग्रीउदाहरणांसह दर्शविलेल्या अनेक शब्द आणि संख्यांमधून

आणखी एक टीप. क्लासिक मध्ये शाळेची कामे(पाईप पूल भरतात, बोटी कुठेतरी तरंगत आहेत इ.) सर्व डेटा, नियम म्हणून, अतिशय काळजीपूर्वक निवडला जातो. दोन नियम आहेत:
- समस्येचे निराकरण करण्यासाठी पुरेशी माहिती आहे,
- समस्येमध्ये कोणतीही अनावश्यक माहिती नसते.

हा एक इशारा आहे. गणितीय मॉडेलमध्ये काही मूल्य न वापरलेले राहिल्यास, त्रुटी आहे का याचा विचार करा. पुरेसा डेटा नसल्यास, बहुधा, सर्व लपलेली माहिती ओळखली आणि रेकॉर्ड केलेली नाही.

क्षमता-संबंधित आणि इतर जीवन कार्यांमध्ये, हे नियम काटेकोरपणे पाळले जात नाहीत. सुगावा नाही. पण अशा समस्याही सोडवता येतात. जर, नक्कीच, आपण क्लासिकवर सराव केला.)

जर तुम्हाला ही साइट आवडली असेल तर...

तसे, माझ्याकडे तुमच्यासाठी आणखी काही मनोरंजक साइट्स आहेत.)

तुम्ही उदाहरणे सोडवण्याचा सराव करू शकता आणि तुमची पातळी शोधू शकता. त्वरित पडताळणीसह चाचणी. चला जाणून घेऊ - स्वारस्याने!)

आपण फंक्शन्स आणि डेरिव्हेटिव्ह्जसह परिचित होऊ शकता.

गणिती मॉडेल गणितीय संबंधांची एक प्रणाली आहे - सूत्रे, समीकरणे, असमानता इ. आवश्यक गुणधर्मवस्तू किंवा घटना.

प्रत्येक नैसर्गिक घटना त्याच्या जटिलतेमध्ये असीम आहे. व्ही.एन.च्या पुस्तकातून घेतलेल्या उदाहरणाने हे स्पष्ट करू. ट्रोस्टनिकोव्ह "मॅन अँड इन्फॉर्मेशन" (पब्लिशिंग हाऊस "नौका", 1970).

सरासरी व्यक्ती खालीलप्रमाणे गणितीय समस्या तयार करते: "200 मीटर उंचीवरून दगड पडायला किती वेळ लागेल?"गणितज्ञ या समस्येची स्वतःची आवृत्ती तयार करण्यास सुरवात करेल: "चला असे गृहीत धरू की दगड शून्यात पडतो आणि गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारा प्रवेग 9.8 मीटर प्रति सेकंद प्रति सेकंद आहे. मग..."

- मला द्या- "ग्राहक" म्हणू शकतो, - मी या सरलीकरणावर खूश नाही. दगड पडायला नक्की किती वेळ लागेल हे मला जाणून घ्यायचे आहे वास्तविक परिस्थिती, आणि अस्तित्वात नसलेल्या शून्यात नाही.

- ठीक आहे,- गणितज्ञ सहमत होईल. - समजू या दगडाला गोलाकार आकार आणि व्यास आहे... अंदाजे त्याचा व्यास किती आहे?

- सुमारे पाच सेंटीमीटर. पण ते अजिबात गोलाकार नसून आयताकृती आहे.

- मग आपण गृहीत धरू की तोएक लंबवर्तुळाकार आकार आहे एक्सल शाफ्टसह चार, तीन आणि तीन सेंटीमीटर आणि तेपडतो जेणेकरून अर्ध-प्रमुख अक्ष नेहमी उभ्या राहतो . हवेचा दाब बरोबरीचा घेऊ760 मिमी एचजी , येथून आपल्याला हवेची घनता आढळते...

जर "मानवी" भाषेत समस्या मांडणाऱ्याने गणितज्ञांच्या विचारांच्या ट्रेनमध्ये आणखी व्यत्यय आणला नाही, तर नंतरचे काही काळानंतर संख्यात्मक उत्तर देईल. परंतु "ग्राहक" अजूनही आक्षेप घेऊ शकतात: दगड खरं तर लंबवर्तुळाकार नाही, त्या ठिकाणी हवेचा दाब आणि त्या क्षणी 760 मिमी एचजी, इ. त्याला गणितज्ञ काय उत्तर देणार?

त्याचे उत्तर तो देईल अचूक उपाय वास्तविक समस्याअजिबात अशक्य. एवढेच नाही दगडाचा आकार, जे हवेच्या प्रतिकारावर परिणाम करते, कोणत्याही गणितीय समीकरणाने वर्णन केले जाऊ शकत नाही; त्याचे उड्डाणातील फिरणे देखील गणिताच्या नियंत्रणाबाहेर आहेत्याच्या जटिलतेमुळे. पुढील, हवा एकसंध नाही,कारण, यादृच्छिक घटकांच्या कृतीचा परिणाम म्हणून, त्यात घनतेच्या चढउतारांमध्ये चढउतार उद्भवतात. अजून खोलात जाऊन विचार केला तर त्याचा विचार करायला हवा सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षणाच्या नियमानुसार, प्रत्येक शरीर इतर प्रत्येक शरीरावर कार्य करते. तो अगदी एक लोलक खालील भिंतीवरचे घड्याळदगडाचा मार्ग त्याच्या हालचालीसह बदलतो.

थोडक्यात, जर आपल्याला कोणत्याही वस्तूच्या वर्तनाचा गांभीर्याने अभ्यास करायचा असेल, तर आपल्याला प्रथम विश्वातील इतर सर्व वस्तूंचे स्थान आणि गती जाणून घ्यावी लागेल. आणि हे, अर्थातच. अशक्य

सर्वात प्रभावीपणे, गणितीय मॉडेल संगणकावर अल्गोरिदमिक मॉडेलच्या स्वरूपात लागू केले जाऊ शकते - तथाकथित "संगणकीय प्रयोग" (पहा [1], परिच्छेद 26).

अर्थात, जर मॉडेलने वास्तविकतेच्या काही महत्त्वाच्या बाबी विचारात घेतल्या नाहीत तर संगणकीय प्रयोगाचे परिणाम वास्तविकतेशी सुसंगत नसतील.

म्हणून, एखाद्या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी गणितीय मॉडेल तयार करताना, आपण हे करणे आवश्यक आहे:

1. गणितीय मॉडेल ज्या गृहीतकांवर आधारित असेल ते हायलाइट करा;
2. प्रारंभिक डेटा आणि परिणाम काय मानले जाते ते निर्धारित करा;
3. मूळ डेटासह निकाल जोडणारे गणितीय संबंध लिहा.

बांधताना गणितीय मॉडेलडेटाद्वारे इच्छित प्रमाण स्पष्टपणे व्यक्त करणारी सूत्रे शोधणे नेहमीच शक्य नसते. अशा प्रकरणांमध्ये, वेगवेगळ्या प्रमाणात अचूकतेची उत्तरे देण्यासाठी गणितीय पद्धती वापरल्या जातात. कोणत्याही घटनेचे केवळ गणितीय मॉडेलिंग नाही, तर व्हिज्युअल-नैसर्गिक मॉडेलिंग देखील आहे, जे संगणक ग्राफिक्स वापरून या घटना प्रदर्शित करून प्रदान केले जाते, म्हणजे. रिअल टाइममध्ये चित्रित केलेले एक प्रकारचे “संगणक कार्टून” संशोधकासमोर दाखवले जाते. येथे दृश्यमानता खूप जास्त आहे.

इतर नोंदी

06/10/2016. ८.३. सॉफ्टवेअर डेव्हलपमेंट प्रक्रियेचे मुख्य टप्पे कोणते आहेत? ८.४. प्रोग्रामचा मजकूर संगणकावर रिलीझ होण्यापूर्वी तो कसा नियंत्रित करायचा?

८.३. सॉफ्टवेअर डेव्हलपमेंट प्रक्रियेचे मुख्य टप्पे कोणते आहेत? प्रोग्राम डेव्हलपमेंट प्रक्रिया खालील सूत्राद्वारे व्यक्त केली जाऊ शकते: नवीन विकसित प्रोग्राममध्ये त्रुटींची उपस्थिती अगदी सामान्य आहे ...

06/10/2016. ८.५. डीबगिंग आणि चाचणी का आवश्यक आहे? ८.६. डीबगिंग म्हणजे काय? ८.७. चाचणी आणि चाचणी म्हणजे काय? ८.८. चाचणी डेटा काय असावा? ८.९. चाचणी प्रक्रियेचे टप्पे काय आहेत?

८.५. डीबगिंग आणि चाचणी का आवश्यक आहे? प्रोग्राम डीबग करणे ही प्रोग्राममधील त्रुटी शोधून काढून टाकण्याची प्रक्रिया आहे, जी संगणकावर चालवण्याच्या परिणामांवर आधारित आहे. चाचणी करत आहे…

06/10/2016. ८.१०. सामान्य प्रोग्रामिंग त्रुटी काय आहेत? ८.११. वाक्यरचना त्रुटींची अनुपस्थिती हा प्रोग्राम योग्य असल्याचा पुरावा आहे का? ८.१२. अनुवादकाद्वारे कोणत्या त्रुटी आढळत नाहीत? ८.१३. कार्यक्रमाचे समर्थन काय आहे?

८.१०. काय आहेत ठराविक चुकाप्रोग्रामिंग? समस्या सोडवण्याच्या सर्व टप्प्यांवर चुका केल्या जाऊ शकतात - त्याच्या निर्मितीपासून ते अंमलबजावणीपर्यंत. त्रुटींचे प्रकार आणि तत्सम उदाहरणे दिली आहेत...

उदाहरण 1.5.1.

विशिष्ट आर्थिक प्रदेशाला अनेक (n) प्रकारची उत्पादने केवळ स्वतःच आणि केवळ या प्रदेशाच्या लोकसंख्येसाठी तयार करू द्या. असे गृहीत धरले जाते की तांत्रिक प्रक्रिया पूर्ण केली गेली आहे आणि या वस्तूंसाठी लोकसंख्येच्या मागणीचा अभ्यास केला गेला आहे. उत्पादनाच्या उत्पादनाची वार्षिक मात्रा निश्चित करणे आवश्यक आहे, हे वस्तुस्थिती लक्षात घेऊन या खंडाने अंतिम आणि औद्योगिक वापर दोन्ही प्रदान करणे आवश्यक आहे.

चला या समस्येचे गणितीय मॉडेल बनवू. त्याच्या अटींनुसार, खालील गोष्टी दिल्या आहेत: उत्पादनांचे प्रकार, त्यांची मागणी आणि तांत्रिक प्रक्रिया; तुम्हाला प्रत्येक प्रकारच्या उत्पादनाचे आउटपुट व्हॉल्यूम शोधण्याची आवश्यकता आहे.

ज्ञात प्रमाण दर्शवूया:

c i- लोकसंख्येची मागणी iवा उत्पादन ( i=1,...,n); a ij- प्रमाण iदिलेल्या तंत्रज्ञानाचा वापर करून j व्या उत्पादनाचे एकक तयार करण्यासाठी आवश्यक असलेले उत्पादन ( i=1,...,n ; j=1,...,n);

एक्स i - आउटपुट व्हॉल्यूम i-वे उत्पादन ( i=1,...,n); संपूर्णता सह =(c 1 ,..., c n ) मागणी वेक्टर, संख्या म्हणतात a ij- तांत्रिक गुणांक आणि संपूर्णता एक्स =(एक्स 1 ,..., एक्स n ) - रिलीज व्हेक्टर.

समस्या परिस्थितीनुसार, वेक्टर एक्स दोन भागांमध्ये वितरीत: अंतिम वापरासाठी (वेक्टर सह ) आणि पुनरुत्पादनासाठी (वेक्टर x-s ). चला व्हेक्टरचा तो भाग काढू एक्स जे पुनरुत्पादनात जाते. उत्पादनासाठी आमच्या पदनामांनुसार एक्स jपुरवठा केलेल्या jth उत्पादनाची मात्रा a ij · एक्स jप्रमाण i-वे उत्पादन.

मग रक्कम a i1 · एक्स 1 +...+ a मध्ये · एक्स nते मूल्य दाखवते i-वे उत्पादन, जे संपूर्ण प्रकाशनासाठी आवश्यक आहे एक्स =(एक्स 1 ,..., एक्स n ).

म्हणून, समानता समाधानी असणे आवश्यक आहे:

हा तर्क सर्व प्रकारच्या उत्पादनांसाठी विस्तारित करून, आम्ही इच्छित मॉडेलवर पोहोचतो:

साठी n रेखीय समीकरणांची ही प्रणाली सोडवणे एक्स 1 ,...,एक्स nआणि आवश्यक रिलीझ वेक्टर शोधा.

हे मॉडेल अधिक संक्षिप्त (वेक्टर) स्वरूपात लिहिण्यासाठी, आम्ही खालील नोटेशन सादर करतो:

चौरस (
) -मॅट्रिक्स एतंत्रज्ञान मॅट्रिक्स म्हणतात. आमचे मॉडेल आता असे लिहिले जाईल हे तपासणे सोपे आहे: x-s=आहकिंवा

(1.6)

आम्हाला क्लासिक मॉडेल प्राप्त झाले " इनपुट - आउटपुट ", ज्याचे लेखक प्रसिद्ध अमेरिकन अर्थशास्त्रज्ञ व्ही. लिओन्टिएव्ह आहेत.

उदाहरण 1.5.2.

ऑइल रिफायनरीमध्ये तेलाचे दोन ग्रेड आहेत: ग्रेड ए 10 युनिट्सच्या प्रमाणात, ग्रेड IN- 15 युनिट्स. तेल शुद्ध करताना, दोन साहित्य मिळतात: गॅसोलीन (आम्ही सूचित करतो बी) आणि इंधन तेल ( एम). प्रक्रिया तंत्रज्ञान प्रक्रियेसाठी तीन पर्याय आहेत:

आय: 1 युनिट ए+ 2 युनिट IN 3 युनिट देते. बी+ 2 युनिट एम

II: 2 युनिट. ए+ 1 युनिट IN 1 युनिट देते. बी+ 5 युनिट्स एम

III: 2 युनिट ए+ 2 युनिट IN 1 युनिट देते. बी+ 2 युनिट एम

गॅसोलीनची किंमत $10 प्रति युनिट आहे, इंधन तेल $1 प्रति युनिट आहे.

उपलब्ध प्रमाणात तेलावर प्रक्रिया करण्यासाठी तांत्रिक प्रक्रियेचे सर्वात फायदेशीर संयोजन निश्चित करणे आवश्यक आहे.

मॉडेलिंग करण्यापूर्वी, आपण खालील मुद्दे स्पष्ट करूया. समस्येच्या परिस्थितीवरून असे दिसून येते की वनस्पतीच्या तांत्रिक प्रक्रियेची "नफा" त्याच्या तयार उत्पादनांच्या (गॅसोलीन आणि इंधन तेल) विक्रीतून जास्तीत जास्त उत्पन्न मिळविण्याच्या अर्थाने समजली पाहिजे. या संदर्भात, हे स्पष्ट आहे की वनस्पतीच्या "निवड (निर्णय) निर्णय" मध्ये कोणते तंत्रज्ञान आणि किती वेळा लागू करायचे हे निर्धारित करणे समाविष्ट आहे. अर्थात, असे बरेच संभाव्य पर्याय आहेत.

अज्ञात प्रमाण दर्शवूया:

एक्स i- वापराचे प्रमाण iतांत्रिक प्रक्रिया (i=1,2,3). इतर मॉडेल पॅरामीटर्स (तेल साठे, पेट्रोल आणि इंधन तेलाच्या किमती) ज्ञात.

आता एक गोष्ट विशिष्ट उपायवनस्पती एक वेक्टर निवडण्यासाठी खाली येते एक्स =(x 1 ,एक्स 2 ,एक्स 3 ) , ज्यासाठी वनस्पतीचे उत्पन्न समान आहे (३२x 1 +15x 2 +12x 3 ) डॉलर्स. येथे, 32 डॉलर हे पहिल्या तांत्रिक प्रक्रियेच्या एका अर्जातून मिळालेले उत्पन्न आहे ($10 3 युनिट्स. बी+ 1 डॉलर · 2 युनिट. एम= $32). दुसऱ्या आणि तिसऱ्या तांत्रिक प्रक्रियेसाठी अनुक्रमे 15 आणि 12 गुणांकांचा समान अर्थ आहे. तेल साठ्याचे लेखांकन खालील अटींना कारणीभूत ठरते:

विविधतेसाठी ए:

विविधतेसाठी IN:,

जेथे पहिल्या असमानता गुणांकांमध्ये 1, 2, 2 हे तांत्रिक प्रक्रियेच्या एक वेळच्या वापरासाठी ग्रेड A तेलाचे वापर दर आहेत आय,II,IIIअनुक्रमे द्वितीय असमानतेच्या गुणांकांचा अर्थ ग्रेड बी तेलासाठी समान आहे.

संपूर्णपणे गणितीय मॉडेलचे स्वरूप आहे:

असा वेक्टर शोधा x = (x 1 ,एक्स 2 ,एक्स 3 ) जास्तीत जास्त करणे

f(x) = 32x 1 +15x 2 +12x 3

खालील अटींच्या अधीन:

या प्रवेशाचे संक्षिप्त रूप आहे:

निर्बंध अंतर्गत

(1.7)

आम्हाला तथाकथित रेखीय प्रोग्रामिंग समस्या मिळाली.

मॉडेल (1.7.) हे निर्धारक प्रकाराच्या (सु-परिभाषित घटकांसह) ऑप्टिमायझेशन मॉडेलचे उदाहरण आहे.

उदाहरण 1.5.3.

गुंतवणूकदाराने स्टॉक, बाँड्स आणि इतर सिक्युरिटीजचा सर्वोत्तम संच निश्चित करणे आवश्यक आहे जेणेकरुन त्यांना विशिष्ट रकमेसाठी खरेदी करता यावे. किमान धोकामाझ्यासाठी सिक्युरिटीमध्ये गुंतवलेला प्रति डॉलर नफा j- प्रकार, दोन निर्देशकांद्वारे वैशिष्ट्यीकृत: अपेक्षित नफा आणि वास्तविक नफा. गुंतवणुकदारासाठी, गुंतवणुकीच्या प्रति डॉलर अपेक्षित नफा संपूर्ण सेटसाठी असणे इष्ट आहे मौल्यवान कागदपत्रेनिर्दिष्ट मूल्यापेक्षा कमी नाही b.

लक्षात घ्या की या समस्येचे योग्य मॉडेल करण्यासाठी, एका गणितज्ञाला सिक्युरिटीजच्या पोर्टफोलिओ सिद्धांताच्या क्षेत्रातील काही मूलभूत ज्ञान असणे आवश्यक आहे.

चला समस्येचे ज्ञात पॅरामीटर्स दर्शवूया:

n- सिक्युरिटीजच्या प्रकारांची संख्या; ए j- j-th प्रकारच्या सुरक्षिततेतून वास्तविक नफा (यादृच्छिक संख्या); - पासून अपेक्षित नफा j-व्या प्रकारची सुरक्षा.

अज्ञात प्रमाण दर्शवू :

y j - प्रकारच्या सिक्युरिटीजच्या खरेदीसाठी वाटप केलेला निधी j.

आमच्या नोटेशनचा वापर करून, गुंतवलेली संपूर्ण रक्कम म्हणून व्यक्त केली जाते . मॉडेल सुलभ करण्यासाठी, आम्ही नवीन परिमाण सादर करतो

.

अशा प्रकारे, एक्स i- या प्रकारच्या सिक्युरिटीजच्या संपादनासाठी वाटप केलेल्या सर्व निधीचा हा हिस्सा आहे j.

हे स्पष्ट आहे

समस्येच्या परिस्थितीवरून हे स्पष्ट होते की गुंतवणूकदाराचे ध्येय किमान जोखमीसह विशिष्ट स्तरावरील नफा प्राप्त करणे आहे. थोडक्यात, जोखीम हे अपेक्षित नफ्यापासून वास्तविक नफ्याच्या विचलनाचे मोजमाप आहे. म्हणून, प्रकार i आणि प्रकार j च्या सिक्युरिटीजसाठी नफ्याच्या सहविभाजनाने ते ओळखले जाऊ शकते. येथे M हे गणितीय अपेक्षेचे पद आहे.

मूळ समस्येच्या गणितीय मॉडेलचे स्वरूप आहे:

निर्बंध अंतर्गत

,
,
,
. (1.8)

सिक्युरिटीज पोर्टफोलिओची रचना ऑप्टिमाइझ करण्यासाठी आम्ही सुप्रसिद्ध मार्कोविट्झ मॉडेल प्राप्त केले आहे.

मॉडेल (1.8.) हे स्टोकास्टिक प्रकाराच्या (यादृच्छिकतेच्या घटकांसह) ऑप्टिमायझेशन मॉडेलचे उदाहरण आहे.

उदाहरण 1.5.4.

ट्रेड ऑर्गनायझेशनच्या आधारावर किमान वर्गीकरण उत्पादनांपैकी एकाचे n प्रकार आहेत. दिलेल्या उत्पादनाचा फक्त एक प्रकार स्टोअरमध्ये आणणे आवश्यक आहे. आपल्याला स्टोअरमध्ये आणण्यासाठी योग्य असलेल्या उत्पादनाचा प्रकार निवडण्याची आवश्यकता आहे. जर उत्पादनाचा प्रकार jमागणी असेल, स्टोअर त्याच्या विक्रीतून नफा कमवेल आर j, मागणी नसल्यास - तोटा q j .

मॉडेलिंग करण्यापूर्वी आपण काही मूलभूत मुद्द्यांवर चर्चा करू. या समस्येमध्ये, निर्णय घेणारा (DM) स्टोअर आहे. तथापि, परिणाम (जास्तीत जास्त नफा) केवळ त्याच्या निर्णयावर अवलंबून नाही, तर आयात केलेल्या उत्पादनास मागणी असेल की नाही यावर देखील अवलंबून असते, म्हणजेच ते लोकसंख्येद्वारे खरेदी केले जाईल की नाही (असे गृहित धरले जाते की काही कारणास्तव स्टोअरमध्ये नाही लोकसंख्येच्या मागणीचा अभ्यास करण्याची संधी आहे). म्हणून, लोकसंख्येचा दुसरा निर्णय घेणारा म्हणून विचार केला जाऊ शकतो, त्यांच्या आवडीनुसार उत्पादनाचा प्रकार निवडतो. स्टोअरसाठी लोकसंख्येचा सर्वात वाईट "निर्णय" आहे: "आयात केलेल्या वस्तूंना मागणी नाही." म्हणून, सर्व संभाव्य परिस्थिती विचारात घेण्यासाठी, स्टोअरने लोकसंख्येचा “शत्रू” (सशर्त) म्हणून विचार करणे आवश्यक आहे, उलट ध्येयाचा पाठपुरावा करणे - स्टोअरचा नफा कमी करणे.

त्यामुळे, दोन सहभागी परस्परविरोधी ध्येयांचा पाठपुरावा करत असताना आम्हाला निर्णय घेण्याची समस्या आहे. आपण हे स्पष्ट करूया की स्टोअर विक्रीसाठी वस्तूंच्या प्रकारांपैकी एक निवडतो (त्यात निर्णय पर्याय आहेत) आणि लोकसंख्या सर्वाधिक मागणी असलेल्या वस्तूंपैकी एक निवडते ( nउपाय पर्याय).

गणितीय मॉडेल संकलित करण्यासाठी, एक सारणी काढू nओळी आणि nस्तंभ (एकूण n 2 सेल) आणि सहमत आहेत की पंक्ती स्टोअरच्या निवडीशी संबंधित आहेत आणि स्तंभ लोकसंख्येच्या निवडीशी संबंधित आहेत. मग सेल (i, j)जेव्हा स्टोअर निवडते तेव्हा परिस्थितीशी संबंधित असते iउत्पादनाचा वा प्रकार ( i-वी ओळ), आणि लोकसंख्या निवडते jउत्पादनाचा वा प्रकार ( j-वा स्तंभ). प्रत्येक सेलमध्ये आम्ही स्टोअरच्या दृष्टिकोनातून संबंधित परिस्थितीचे संख्यात्मक मूल्यांकन (नफा किंवा तोटा) लिहितो:

संख्या q iस्टोअरचे नुकसान प्रतिबिंबित करण्यासाठी वजा सह लिहिलेले; प्रत्येक परिस्थितीत, लोकसंख्येचा "लाभ" (सशर्त) विरुद्ध चिन्हासह घेतलेल्या स्टोअरच्या "लाभ" सारखा असतो.

या मॉडेलचे संक्षिप्त रूप आहे:

(1.9)

आम्हाला तथाकथित मॅट्रिक्स गेम मिळाला. मॉडेल (1.9.) हे गेम निर्णय घेण्याच्या मॉडेलचे उदाहरण आहे.

गणितीय मॉडेल तयार करण्यासाठी आपल्याला आवश्यक आहे:

1. वास्तविक वस्तू किंवा प्रक्रियेचे काळजीपूर्वक विश्लेषण करा;
2. त्याची सर्वात लक्षणीय वैशिष्ट्ये आणि गुणधर्म हायलाइट करा;
3. व्हेरिएबल्स परिभाषित करा, म्हणजे पॅरामीटर्स ज्यांची मूल्ये ऑब्जेक्टची मुख्य वैशिष्ट्ये आणि गुणधर्मांवर परिणाम करतात;
4. तार्किक-गणितीय संबंध (समीकरण, समानता, असमानता, तार्किक-गणितीय रचना) वापरून चलांच्या मूल्यांवर ऑब्जेक्ट, प्रक्रिया किंवा प्रणालीच्या मूलभूत गुणधर्मांच्या अवलंबनाचे वर्णन करा;
5. निर्बंध, समीकरणे, समानता, असमानता, तार्किक आणि गणितीय रचना वापरून ऑब्जेक्ट, प्रक्रिया किंवा प्रणालीचे अंतर्गत कनेक्शन हायलाइट करा;
6. बाह्य कनेक्शन ओळखा आणि निर्बंध, समीकरणे, समानता, असमानता, तार्किक आणि गणितीय रचना वापरून त्यांचे वर्णन करा.

गणित मॉडेलिंग, ऑब्जेक्ट, प्रक्रिया किंवा प्रणालीचा अभ्यास करण्याव्यतिरिक्त आणि त्यांचे गणितीय वर्णन रेखाटण्याव्यतिरिक्त, हे देखील समाविष्ट आहे:

1. एक अल्गोरिदम तयार करणे जे ऑब्जेक्ट, प्रक्रिया किंवा सिस्टमचे वर्तन मॉडेल करते;
2. संगणकीय आणि पूर्ण-प्रयोगांवर आधारित मॉडेल आणि ऑब्जेक्ट, प्रक्रिया किंवा प्रणालीची पर्याप्तता तपासणे;
3. मॉडेल समायोजन;
4. मॉडेल वापरून.

अभ्यासाधीन प्रक्रिया आणि प्रणालींचे गणितीय वर्णन यावर अवलंबून आहे:

1. वास्तविक प्रक्रियेचे किंवा प्रणालीचे स्वरूप आणि भौतिकशास्त्र, रसायनशास्त्र, यांत्रिकी, थर्मोडायनामिक्स, हायड्रोडायनामिक्स, इलेक्ट्रिकल अभियांत्रिकी, प्लॅस्टिकिटी सिद्धांत, लवचिकता सिद्धांत इत्यादींच्या नियमांच्या आधारे संकलित केले जाते.
2. वास्तविक प्रक्रिया आणि प्रणालींचा अभ्यास आणि संशोधनाची आवश्यक विश्वसनीयता आणि अचूकता.

गणितीय मॉडेलचे बांधकाम सहसा विचाराधीन ऑब्जेक्ट, प्रक्रिया किंवा प्रणालीच्या सर्वात सोप्या, अत्यंत क्रूड गणितीय मॉडेलच्या बांधकाम आणि विश्लेषणाने सुरू होते. भविष्यात, आवश्यक असल्यास, मॉडेल परिष्कृत केले जाते आणि ऑब्जेक्टशी त्याचे पत्रव्यवहार अधिक पूर्ण केले जाते.

एक साधे उदाहरण घेऊ. आपल्याला पृष्ठभागाचे क्षेत्र निश्चित करणे आवश्यक आहे डेस्क. सामान्यतः, हे त्याची लांबी आणि रुंदी मोजून आणि नंतर परिणामी संख्यांचा गुणाकार करून केले जाते. या प्राथमिक प्रक्रियेचा अर्थ खालीलप्रमाणे आहे: वास्तविक वस्तू (टेबल पृष्ठभाग) अमूर्त गणितीय मॉडेलने बदलली जाते - एक आयत. सारणीच्या पृष्ठभागाची लांबी आणि रुंदी मोजून प्राप्त केलेली परिमाणे आयताला नियुक्त केली जातात आणि अशा आयताचे क्षेत्रफळ अंदाजे टेबलचे आवश्यक क्षेत्र मानले जाते. तथापि, डेस्कसाठी आयत मॉडेल सर्वात सोपा, सर्वात क्रूड मॉडेल आहे. आपण समस्येकडे अधिक गंभीर दृष्टीकोन घेतल्यास, टेबलचे क्षेत्रफळ निर्धारित करण्यासाठी आयत मॉडेल वापरण्यापूर्वी, हे मॉडेल तपासणे आवश्यक आहे. तपासण्या खालीलप्रमाणे केल्या जाऊ शकतात: टेबलच्या विरुद्ध बाजूंच्या लांबी तसेच त्याच्या कर्णांची लांबी मोजा आणि त्यांची एकमेकांशी तुलना करा. जर, आवश्यक प्रमाणात अचूकतेसह, विरुद्ध बाजूंची लांबी आणि कर्णांची लांबी जोड्यांमध्ये समान असेल, तर सारणीची पृष्ठभाग खरोखरच आयत मानली जाऊ शकते. अन्यथा, आयत मॉडेल नाकारावे लागेल आणि चतुर्भुज मॉडेलने बदलले जाईल सामान्य दृश्य. अचूकतेसाठी उच्च आवश्यकता असल्यास, मॉडेलला आणखी परिष्कृत करणे आवश्यक असू शकते, उदाहरणार्थ, टेबलच्या कोपऱ्यांचे गोलाकार विचारात घेणे.

या साध्या उदाहरणाचा वापर करून, असे दर्शविले गेले की गणितीय मॉडेल विशिष्टपणे ऑब्जेक्ट, प्रक्रिया किंवा द्वारे निर्धारित केले जात नाही. प्रणाली.

किंवा (उद्या स्पष्ट केले जाईल)

गणित सोडवण्याचे मार्ग. मॉडेल:

1, निसर्गाच्या नियमांवर आधारित मॉडेलचे बांधकाम (विश्लेषणात्मक पद्धत)

2. सांख्यिकीय पद्धती वापरून औपचारिक मार्ग. प्रक्रिया आणि मापन परिणाम (सांख्यिकीय दृष्टीकोन)

3. घटकांच्या मॉडेलवर आधारित मॉडेलचे बांधकाम (जटिल प्रणाली)

1, विश्लेषणात्मक - पुरेशा अभ्यासासह वापरा. सामान्य नमुना ज्ञात आहे. मॉडेल्स.

2. प्रयोग. माहितीच्या अभावी.

3. अनुकरण m. - वस्तूचे गुणधर्म शोधते. साधारणपणे.

गणितीय मॉडेल तयार करण्याचे उदाहरण.

गणिती मॉडेल- हे गणितीय प्रतिनिधित्ववास्तव

गणित मॉडेलिंगगणितीय मॉडेल्स तयार करण्याची आणि अभ्यासण्याची प्रक्रिया आहे.

सर्व नैसर्गिक आणि सामाजिक विज्ञान जे गणित वापरतात ते मूलत: गणितीय मॉडेलिंगमध्ये गुंतलेले असतात: ते एखाद्या वस्तूला त्याच्या गणितीय मॉडेलने बदलतात आणि नंतरचा अभ्यास करतात. गणितीय मॉडेल आणि वास्तविकता यांच्यातील संबंध गृहितके, आदर्शीकरण आणि सरलीकरणांच्या साखळीचा वापर करून केले जातात. गणितीय पद्धतींचा वापर करून, एक नियम म्हणून, अर्थपूर्ण मॉडेलिंगच्या टप्प्यावर तयार केलेल्या आदर्श वस्तूचे वर्णन केले आहे.

मॉडेल्सची गरज का आहे?

कोणत्याही वस्तूचा अभ्यास करताना अनेकदा अडचणी येतात. मूळ स्वतःच कधीकधी अनुपलब्ध असते, किंवा त्याचा वापर सल्ला दिला जात नाही किंवा मूळ आकर्षित करणे महाग असते. या सर्व समस्या सिम्युलेशन वापरून सोडवता येतात. मध्ये मॉडेल एका विशिष्ट अर्थानेअभ्यासा अंतर्गत ऑब्जेक्ट पुनर्स्थित करू शकता.

मॉडेल्सची सर्वात सोपी उदाहरणे

§ छायाचित्राला एखाद्या व्यक्तीचे मॉडेल म्हणता येईल. एखाद्या व्यक्तीला ओळखण्यासाठी, त्याचे छायाचित्र पाहणे पुरेसे आहे.

§ आर्किटेक्टने नवीन निवासी क्षेत्राचे मॉडेल तयार केले. तो हाताच्या हालचालीने उंच इमारतीला एका भागातून दुसऱ्या भागात हलवू शकतो. प्रत्यक्षात हे शक्य होणार नाही.

मॉडेल प्रकार

मॉडेल्समध्ये विभागले जाऊ शकतात साहित्य"आणि परिपूर्ण. वरील उदाहरणे भौतिक मॉडेल आहेत. आदर्श मॉडेलअनेकदा प्रतीकात्मक स्वरूप असते. वास्तविक संकल्पना काही चिन्हांद्वारे बदलल्या जातात, ज्या सहजपणे कागदावर, संगणक मेमरी इत्यादीमध्ये रेकॉर्ड केल्या जाऊ शकतात.

गणित मॉडेलिंग

गणितीय मॉडेलिंग प्रतीकात्मक मॉडेलिंगच्या वर्गाशी संबंधित आहे. शिवाय, कोणत्याही गणितीय वस्तूंमधून मॉडेल तयार केले जाऊ शकतात: संख्या, कार्ये, समीकरणे इ.

गणितीय मॉडेल तयार करणे

§ गणितीय मॉडेल तयार करण्याचे अनेक टप्पे लक्षात घेतले जाऊ शकतात:

1. समस्या समजून घेणे, आमच्यासाठी सर्वात महत्वाचे गुण, गुणधर्म, प्रमाण आणि मापदंड ओळखणे.

2. नोटेशनचा परिचय.

3. निर्बंधांची एक प्रणाली तयार करणे जी प्रविष्ट केलेली मूल्ये पूर्ण करणे आवश्यक आहे.

4. इच्छित इष्टतम समाधानाने समाधानी असले पाहिजे अशा अटी तयार करणे आणि रेकॉर्ड करणे.

मॉडेलिंग प्रक्रिया मॉडेलच्या निर्मितीसह समाप्त होत नाही, परंतु केवळ त्यापासून सुरू होते. एक मॉडेल संकलित केल्यावर, ते उत्तर शोधण्यासाठी आणि समस्येचे निराकरण करण्यासाठी एक पद्धत निवडतात. उत्तर सापडल्यानंतर त्याची वास्तवाशी तुलना केली जाते. आणि हे शक्य आहे की उत्तर समाधानकारक नाही, अशा परिस्थितीत मॉडेल सुधारित केले आहे किंवा अगदी पूर्णपणे भिन्न मॉडेल निवडले आहे.

गणितीय मॉडेलचे उदाहरण

कार्य

उत्पादन संघटना, ज्यामध्ये दोन फर्निचर कारखान्यांचा समावेश आहे, त्याचे मशीन पार्क अद्यतनित करणे आवश्यक आहे. शिवाय, पहिल्या फर्निचर फॅक्टरीला तीन मशीन्स आणि दुसरी - सात बदलण्याची आवश्यकता आहे. दोन मशीन टूल कारखान्यांमध्ये ऑर्डर दिली जाऊ शकते. पहिला प्लांट 6 पेक्षा जास्त मशिन्स तयार करू शकत नाही आणि दुसरा प्लांट त्यापैकी किमान तीन असल्यास ऑर्डर स्वीकारेल. तुम्हाला ऑर्डर कशी द्यावी हे ठरवावे लागेल.

पहिला स्तर

OGE आणि युनिफाइड स्टेट परीक्षा (2019) साठी गणितीय मॉडेल

गणितीय मॉडेलची संकल्पना

विमानाची कल्पना करा: पंख, धड, शेपटी, हे सर्व एकत्र - एक वास्तविक विशाल, अफाट, संपूर्ण विमान. किंवा आपण विमानाचे एक मॉडेल बनवू शकता, लहान, परंतु वास्तविक जीवनात जसे, तेच पंख इत्यादी, परंतु कॉम्पॅक्ट. तसेच गणितीय मॉडेल आहे. एक मजकूर समस्या आहे, अवजड आहे, आपण ते पाहू शकता, वाचू शकता, परंतु ते पूर्णपणे समजत नाही आणि त्याहूनही अधिक म्हणजे ते कसे सोडवायचे ते स्पष्ट नाही. जर तुम्ही मोठ्या शब्दाच्या समस्येचे एक लहान मॉडेल, गणिताचे मॉडेल बनवले तर? गणिताचा अर्थ काय? याचा अर्थ, गणितीय नोटेशनचे नियम आणि कायदे वापरून, संख्या आणि अंकगणितीय चिन्हे वापरून मजकूराचे तार्किकदृष्ट्या योग्य प्रतिनिधित्वामध्ये रूपांतर करणे. तर, गणितीय मॉडेल हे गणितीय भाषेचा वापर करून वास्तविक परिस्थितीचे प्रतिनिधित्व करते.

चला सोप्या गोष्टीपासून सुरुवात करूया: संख्या अधिक संख्यावर. आपल्याला हे शब्द न वापरता लिहावे लागेल, परंतु केवळ गणिताची भाषा. जर जास्त असेल, तर असे दिसून येते की जर आपण वजा केले तर या संख्यांचा समान फरक समान राहील. त्या. किंवा. तुम्हाला मुद्दा समजला का?

आता हे अधिक कठीण आहे, आता एक मजकूर असेल जो आपण गणिताच्या मॉडेलच्या रूपात दर्शविण्याचा प्रयत्न केला पाहिजे, मी ते कसे करू ते अद्याप वाचा नाही, स्वतः प्रयत्न करा! चार संख्या आहेत: , आणि. उत्पादनापेक्षा दुप्पट मोठे उत्पादन आहे.

काय झालं?

गणितीय मॉडेलच्या स्वरूपात ते असे दिसेल:

त्या. उत्पादन दोन ते एक असे संबंधित आहे, परंतु हे आणखी सरलीकृत केले जाऊ शकते:

बरं, ठीक आहे, सोप्या उदाहरणांनी तुम्हाला मुद्दा कळतो, मला वाटतं. चला पूर्ण समस्यांकडे वळूया ज्यामध्ये हे गणितीय मॉडेल देखील सोडवायचे आहेत! येथे आव्हान आहे.

सराव मध्ये गणिती मॉडेल

समस्या १

पावसानंतर विहिरीतील पाण्याची पातळी वाढू शकते. मुलगा विहिरीत लहान खडे पडण्याची वेळ मोजतो आणि फॉर्म्युला वापरून पाण्याचे अंतर मोजतो, मीटरमध्ये अंतर कुठे आहे आणि सेकंदात पडण्याची वेळ आहे. पावसापूर्वी खडे पडण्याची वेळ एस. s मध्ये बदलण्यासाठी मोजलेल्या वेळेसाठी पावसानंतर पाण्याची पातळी किती वाढली पाहिजे? तुमचे उत्तर मीटरमध्ये व्यक्त करा.

अरे देवा! कोणती सूत्रे, कसली विहीर, काय चाललंय, काय करायचं? मी तुमचे मन वाचले का? आराम करा, या प्रकारच्या समस्यांमध्ये आणखी भयानक परिस्थिती आहेत, मुख्य गोष्ट लक्षात ठेवा की या समस्येमध्ये आपल्याला सूत्रे आणि व्हेरिएबल्समधील संबंधांमध्ये स्वारस्य आहे आणि बहुतेक प्रकरणांमध्ये या सर्वांचा अर्थ काय आहे हे फार महत्वाचे नाही. तुम्हाला येथे काय उपयुक्त वाटते? मी ते वैयक्तिकरित्या पाहतो. या समस्यांचे निराकरण करण्याचे तत्त्व खालीलप्रमाणे आहे: तुम्ही सर्व ज्ञात प्रमाण घ्या आणि त्यांना बदला.पण, कधी कधी विचार करायला हवा!

माझ्या पहिल्या सल्ल्याचे अनुसरण करून, आणि समीकरणामध्ये ज्ञात असलेल्या सर्व गोष्टी बदलून, आम्हाला मिळते:

मीच दुसऱ्या वेळेची जागा घेतली आणि पावसापूर्वी दगड उडून गेलेली उंची शोधली. आता पावसानंतर मोजून फरक शोधायचा आहे!

आता दुसरा सल्ला ऐका आणि त्याबद्दल विचार करा, प्रश्न निर्दिष्ट करतो "पावसाची पातळी s मध्ये बदलण्यासाठी मोजलेली वेळ पावसानंतर किती वाढली पाहिजे." आपणास ताबडतोब हे समजणे आवश्यक आहे की पावसानंतर पाण्याची पातळी वाढते, याचा अर्थ असा आहे की दगड पाण्याच्या पातळीपर्यंत पडण्याची वेळ कमी आहे आणि येथे अलंकृत वाक्यांश "जेणेकरुन मोजलेली वेळ बदलेल" विशिष्ट अर्थ घेते: पडणे वेळ वाढत नाही, परंतु सूचित सेकंदांनी कमी होतो. याचा अर्थ असा की पावसानंतर फेकण्याच्या बाबतीत, आपल्याला सुरुवातीच्या काळातील c मधून फक्त c वजा करणे आवश्यक आहे आणि पावसानंतर दगड किती उंचीवर उडेल याचे समीकरण आपल्याला मिळते:

आणि शेवटी, पावसानंतर पाण्याची पातळी s. मध्ये बदलण्यासाठी मोजलेल्या वेळेसाठी किती वाढली पाहिजे हे शोधण्यासाठी, तुम्हाला फक्त पहिल्या घसरणीच्या उंचीवरून दुसरा वजा करणे आवश्यक आहे!

आम्हाला उत्तर मिळते: प्रति मीटर.

जसे तुम्ही बघू शकता, यात काहीही क्लिष्ट नाही, मुख्य गोष्ट अशी आहे की, परिस्थितीतील असे अनाकलनीय आणि कधीकधी जटिल समीकरण कोठून आले आणि त्यातील प्रत्येक गोष्टीचा अर्थ काय आहे याबद्दल जास्त काळजी करू नका, त्यासाठी माझे शब्द घ्या, बहुतेक ही समीकरणे भौतिकशास्त्रातून घेतली आहेत आणि तिथे जंगल बीजगणितापेक्षा वाईट आहे. कधीकधी मला असे वाटते की या कार्यांचा शोध युनिफाइड स्टेट परीक्षेत विद्यार्थ्याला मोठ्या प्रमाणात जटिल सूत्रे आणि अटींसह धमकावण्यासाठी लावला गेला होता आणि बहुतेक प्रकरणांमध्ये त्यांना जवळजवळ कोणत्याही ज्ञानाची आवश्यकता नसते. फक्त अट काळजीपूर्वक वाचा आणि सूत्रामध्ये ज्ञात मात्रा बदला!

येथे आणखी एक समस्या आहे, भौतिकशास्त्राची नाही तर जगाची आर्थिक सिद्धांत, जरी येथे गणिताव्यतिरिक्त इतर विज्ञानांचे ज्ञान आवश्यक नाही.

समस्या 2

किमतीवर (हजार रूबल) मक्तेदार एंटरप्राइझच्या उत्पादनांसाठी मागणीच्या प्रमाणात (प्रति महिना युनिट्स) अवलंबित्व सूत्राद्वारे दिले जाते.

महिन्यासाठी एंटरप्राइझची कमाई (हजार रूबलमध्ये) सूत्र वापरून मोजली जाते. सर्वात जास्त किंमत ठरवा ज्यावर मासिक महसूल किमान हजार रूबल असेल. तुमचे उत्तर हजार रूबलमध्ये द्या.

अंदाज लावा आता मी काय करू? होय, आम्हाला जे माहित आहे ते मी प्लग करणे सुरू करेन, परंतु, पुन्हा, मला अजून थोडा विचार करावा लागेल. चला शेवटपासून जाऊया, आपल्याला ते शोधण्याची आवश्यकता आहे. तर, तेथे आहे, ते एखाद्या गोष्टीच्या बरोबरीचे आहे, हे दुसरे काय आहे ते आपल्याला सापडते आणि ते त्याच्या बरोबरीचे आहे, म्हणून आपण ते लिहून काढतो. तुम्ही बघू शकता, मला या सर्व परिमाणांच्या अर्थाबद्दल खरोखर त्रास होत नाही, मी फक्त परिस्थितींमधून काय समान आहे हे पाहतो, तुम्हाला तेच करण्याची आवश्यकता आहे. चला समस्येकडे परत जाऊ, तुमच्याकडे ती आधीच आहे, परंतु तुम्हाला दोन व्हेरिएबल्सच्या एका समीकरणावरून आठवत असेल, तुम्हाला त्यापैकी एकही सापडत नाही, तुम्ही काय करावे? होय, आमच्याकडे अजूनही एक न वापरलेला तुकडा शिल्लक आहे. आता, आधीच दोन समीकरणे आणि दोन चल आहेत, याचा अर्थ आता दोन्ही व्हेरिएबल्स आढळू शकतात - छान!

- आपण अशी प्रणाली सोडवू शकता?

आम्ही प्रतिस्थापनाद्वारे सोडवतो; ते आधीच व्यक्त केले आहे, म्हणून ते पहिल्या समीकरणात बदलू आणि ते सोपे करू.

आपल्याला हे चतुर्भुज समीकरण मिळते: , आपण सोडवतो, मुळे अशी आहेत, . कार्यासाठी सर्वात जास्त किंमत शोधणे आवश्यक आहे ज्यावर आम्ही सिस्टम तयार करताना विचारात घेतलेल्या सर्व अटी पूर्ण केल्या जातील. अरे, ती किंमत होती. छान, म्हणून आम्हाला किंमती सापडल्या: आणि. सर्वोच्च किंमत, तुम्ही म्हणता? ठीक आहे, त्यापैकी सर्वात मोठे, अर्थातच, आम्ही ते प्रतिसादात लिहितो. बरं, अवघड आहे का? मला वाटत नाही, आणि त्यात जास्त शोध घेण्याची गरज नाही!

आणि येथे काही भयानक भौतिकशास्त्र किंवा त्याऐवजी दुसरी समस्या आहे:

समस्या 3

ताऱ्यांचे प्रभावी तापमान निश्चित करण्यासाठी, स्टीफन-बोल्ट्झमन नियम वापरला जातो, त्यानुसार, ताऱ्याची रेडिएशन पॉवर कोठे आहे, स्थिर आहे, ताऱ्याचे पृष्ठभाग क्षेत्रफळ आहे आणि तापमान आहे. हे ज्ञात आहे की एका विशिष्ट ताऱ्याचे पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ समान आहे आणि त्याची किरणोत्सर्ग शक्ती डब्ल्यूएवढी आहे. या ताऱ्याचे तापमान अंश केल्विनमध्ये शोधा.

हे कसे स्पष्ट आहे? होय, अट सांगते की काय समान आहे. पूर्वी, मी सर्व अज्ञात एकाच वेळी बदलण्याची शिफारस केली होती, परंतु येथे प्रथम अज्ञात शोधणे व्यक्त करणे चांगले आहे. ते किती सोपे आहे ते पहा: एक सूत्र आहे आणि त्यात आपल्याला माहित आहे आणि (हे ग्रीक अक्षर "सिग्मा" आहे. सर्वसाधारणपणे, भौतिकशास्त्रज्ञांना आवडते ग्रीक अक्षरे, ह्याची सवय करून घे). आणि तापमान अज्ञात आहे. चला ते सूत्राच्या रूपात व्यक्त करूया. मला आशा आहे की हे कसे करावे हे तुम्हाला माहित आहे? 9 वी इयत्तेतील राज्य परीक्षा परीक्षेसाठी अशी कार्ये सहसा दिली जातात:

आता फक्त उजव्या बाजूला अक्षरांऐवजी संख्या बदलणे आणि सोपे करणे बाकी आहे:

येथे उत्तर आहे: डिग्री केल्विन! आणि ते किती भयानक काम होते!

आम्ही भौतिकशास्त्राच्या समस्यांना त्रास देत आहोत.

समस्या 4

फेकलेल्या बॉलची जमिनीच्या वरची उंची नियमानुसार बदलते, मीटरमध्ये उंची कुठे असते आणि फेकल्याच्या क्षणापासून निघून गेलेला वेळ सेकंदात असतो. किमान तीन मीटर उंचीवर चेंडू किती सेकंद राहील?

ही सर्व समीकरणे होती, परंतु येथे आपल्याला किमान तीन मीटरच्या उंचीवर म्हणजे किती उंचीवर चेंडू होता हे ठरवावे लागेल. आम्ही काय तयार करू? असमानता, नक्की! आमच्याकडे एक फंक्शन आहे जे वर्णन करते की बॉल कसा उडतो, कुठे - ही मीटरमध्ये अगदी समान उंची आहे, आम्हाला उंचीची आवश्यकता आहे. म्हणजे

आणि आता तुम्ही फक्त असमानतेचे निराकरण करा, मुख्य म्हणजे समोरच्या उणेपासून मुक्त होण्यासाठी जेव्हा तुम्ही असमानतेच्या दोन्ही बाजूंनी गुणाकार करता तेव्हा असमानतेचे चिन्ह अधिक किंवा समान वरून कमी किंवा समान बदलण्यास विसरू नका.

ही मुळे आहेत, आम्ही असमानतेसाठी अंतराल तयार करतो:

आम्हाला वजा चिन्ह असलेल्या मध्यांतरामध्ये स्वारस्य आहे, कारण असमानता तेथे नकारात्मक मूल्ये घेते, हे दोन्ही समावेशक आहे. आता आपला मेंदू चालू करू आणि काळजीपूर्वक विचार करूया: असमानतेसाठी आम्ही एक समीकरण वापरले जे बॉलच्या उड्डाणाचे वर्णन करते, तो कसा तरी पॅराबोलाच्या बाजूने उडतो, म्हणजे. ते उडते, शिखरावर पोहोचते आणि पडते, ते किमान मीटरच्या उंचीवर किती काळ राहील हे कसे समजून घ्यावे? आम्हाला 2 टर्निंग पॉइंट सापडले, म्हणजे ज्या क्षणी ते मीटरच्या वर चढते आणि ज्या क्षणी, घसरून, त्याच चिन्हावर पोहोचते, हे दोन बिंदू वेळेच्या स्वरूपात व्यक्त केले जातात, म्हणजे. आम्हाला माहित आहे की उड्डाणाच्या कोणत्या सेकंदाला त्याने आमच्या आवडीच्या क्षेत्रात प्रवेश केला (मीटरच्या वर) आणि कोणत्या सेकंदाला त्याने ते सोडले (मीटरच्या चिन्हाखाली पडले). तो या झोनमध्ये किती सेकंद होता? हे तार्किक आहे की आम्ही झोन ​​सोडण्याची वेळ घेतो आणि या झोनमध्ये प्रवेश करण्याची वेळ वजा करतो. त्यानुसार: - तो इतके दिवस मीटरच्या वरच्या झोनमध्ये होता, हे उत्तर आहे.

तुम्ही भाग्यवान आहात की या विषयावरील बहुतेक उदाहरणे भौतिकशास्त्रातील समस्यांच्या श्रेणीतून घेतली जाऊ शकतात, म्हणून आणखी एक पकडा, ते अंतिम आहे, म्हणून स्वत: ला ढकलून द्या, थोडेसे बाकी आहे!

समस्या 5

विशिष्ट उपकरणाच्या हीटिंग घटकासाठी, ऑपरेटिंग वेळेवर तापमानाचे अवलंबन प्रायोगिकपणे प्राप्त केले गेले:

मिनिटांत वेळ कुठे आहे, . हे ज्ञात आहे की गरम घटकाचे तापमान जास्त असल्यास, डिव्हाइस खराब होऊ शकते, म्हणून ते बंद करणे आवश्यक आहे. कोणते ते शोधा सर्वात जास्त वेळकाम सुरू केल्यानंतर, आपल्याला डिव्हाइस बंद करण्याची आवश्यकता आहे. तुमचे उत्तर काही मिनिटांत व्यक्त करा.

आम्ही एका सुस्थापित योजनेनुसार कार्य करतो, प्रथम आम्ही दिलेली प्रत्येक गोष्ट लिहितो:

आता आम्ही सूत्र घेतो आणि ते तापमान मूल्याशी समतुल्य करतो ज्यामध्ये डिव्हाइस जळत नाही तोपर्यंत शक्य तितके गरम केले जाऊ शकते, म्हणजे:

आता आम्ही अक्षरांऐवजी ओळखल्या जाणाऱ्या क्रमांकांची जागा घेतो:

जसे आपण पाहू शकता, डिव्हाइसच्या ऑपरेशन दरम्यान तापमान द्वारे वर्णन केले आहे चतुर्भुज समीकरण, याचा अर्थ ते पॅराबोलासह वितरीत केले जाते, म्हणजे. डिव्हाइस विशिष्ट तापमानापर्यंत गरम होते आणि नंतर थंड होते. आम्हाला उत्तरे मिळाली आणि म्हणून, गरम होण्याच्या काही मिनिटांत तापमान गंभीर सारखे असते, परंतु आणि मिनिटांच्या दरम्यान - ते मर्यादेपेक्षाही जास्त असते!

याचा अर्थ तुम्हाला काही मिनिटांनंतर डिव्हाइस बंद करण्याची आवश्यकता आहे.

गणिती मॉडेल. मुख्य गोष्टींबद्दल थोडक्यात

बहुतेकदा, गणितीय मॉडेल भौतिकशास्त्रात वापरले जातात: आपल्याला कदाचित डझनभर लक्षात ठेवावे लागले भौतिक सूत्रे. आणि सूत्र हे परिस्थितीचे गणितीय प्रतिनिधित्व आहे.

OGE आणि युनिफाइड स्टेट परीक्षेत नेमक्या या विषयावर कार्ये आहेत. युनिफाइड स्टेट परीक्षेत (प्रोफाइल) हे कार्य क्रमांक 11 (पूर्वीचे B12) आहे. OGE मध्ये - कार्य क्रमांक 20.

उपाय योजना स्पष्ट आहे:

1) स्थितीच्या मजकुरातून उपयुक्त माहिती "वेगळे" करणे आवश्यक आहे - भौतिकशास्त्रातील समस्यांमध्ये आपण "दिलेले" या शब्दाखाली काय लिहितो. या उपयुक्त माहितीआहेत:

• सुत्र
• ज्ञात भौतिक प्रमाण.

म्हणजेच, सूत्रातील प्रत्येक अक्षर एका विशिष्ट संख्येशी संबंधित असणे आवश्यक आहे.

2) सर्व ज्ञात प्रमाण घ्या आणि त्यांना फॉर्म्युलामध्ये बदला. अज्ञात प्रमाण अक्षराच्या स्वरूपात राहते. आता तुम्हाला फक्त समीकरण सोडवायचे आहे (सामान्यतः अगदी सोपे), आणि उत्तर तयार आहे.

बरं, विषय संपला. जर तुम्ही या ओळी वाचत असाल तर याचा अर्थ तुम्ही खूप मस्त आहात.

कारण फक्त 5% लोक स्वतःच काहीतरी मास्टर करू शकतात. आणि जर तुम्ही शेवटपर्यंत वाचलात तर तुम्ही या 5% मध्ये आहात!

आता सर्वात महत्वाची गोष्ट.

तुम्हाला या विषयावरील सिद्धांत समजला आहे. आणि, मी पुन्हा सांगतो, हे... हे फक्त सुपर आहे! तुम्ही तुमच्या बहुसंख्य समवयस्कांपेक्षा चांगले आहात.

समस्या अशी आहे की हे पुरेसे नाही...

कशासाठी?

च्या साठी यशस्वी पूर्णयुनिफाइड स्टेट परीक्षा, बजेटमध्ये कॉलेजमध्ये प्रवेश घेण्यासाठी आणि सर्वात महत्त्वाची, आयुष्यासाठी.

मी तुम्हाला काहीही पटवून देणार नाही, मी फक्त एक गोष्ट सांगेन...

ज्या लोकांना मिळाले एक चांगले शिक्षण, ज्यांना ते मिळाले नाही त्यांच्यापेक्षा कितीतरी जास्त कमवा. ही आकडेवारी आहे.

पण ही मुख्य गोष्ट नाही.

मुख्य गोष्ट अशी आहे की ते अधिक आनंदी आहेत (असे अभ्यास आहेत). कदाचित त्यांच्यासमोर आणखी अनेक संधी उघडल्या जातील आणि जीवन उजळ होईल म्हणून? माहीत नाही...

पण तुम्हीच विचार करा...

युनिफाइड स्टेट परीक्षेत इतरांपेक्षा चांगले होण्यासाठी आणि शेवटी... आनंदी होण्यासाठी काय करावे लागेल?

या विषयावरील समस्या सोडवून तुमचा हात मिळवा.

परीक्षेदरम्यान तुम्हाला सिद्धांत विचारला जाणार नाही.

तुला गरज पडेल वेळेवर समस्या सोडवा.

आणि, जर तुम्ही त्यांचे निराकरण केले नाही (बरेच!), तुम्ही नक्कीच कुठेतरी एक मूर्ख चूक कराल किंवा तुमच्याकडे वेळ नसेल.

हे खेळांसारखे आहे - निश्चितपणे जिंकण्यासाठी तुम्हाला ते अनेक वेळा पुनरावृत्ती करणे आवश्यक आहे.

तुम्हाला पाहिजे तेथे संग्रह शोधा, अपरिहार्यपणे उपायांसह, तपशीलवार विश्लेषण आणि ठरवा, ठरवा, ठरवा!

तुम्ही आमची कार्ये वापरू शकता (पर्यायी) आणि आम्ही अर्थातच त्यांची शिफारस करतो.

आमची कार्ये अधिक चांगल्या प्रकारे वापरण्यासाठी, तुम्ही सध्या वाचत असलेल्या YouClever पाठ्यपुस्तकाचे आयुष्य वाढविण्यात मदत करणे आवश्यक आहे.

कसे? दोन पर्याय आहेत:

1. या लेखातील सर्व लपविलेले कार्य अनलॉक करा - 299 घासणे.
2. पाठ्यपुस्तकातील सर्व 99 लेखांमधील सर्व लपविलेल्या कार्यांचा प्रवेश अनलॉक करा - 999 घासणे.

होय, आमच्या पाठ्यपुस्तकात असे 99 लेख आहेत आणि सर्व कामांमध्ये प्रवेश आहे आणि त्यातील लपलेले सर्व मजकूर त्वरित उघडले जाऊ शकतात.

दुसऱ्या प्रकरणात आम्ही तुम्हाला देऊसिम्युलेटर "6000 समस्यांचे निराकरण आणि उत्तरे, प्रत्येक विषयासाठी, जटिलतेच्या सर्व स्तरांवर." कोणत्याही विषयावरील समस्या सोडवण्यासाठी आपले हात मिळविण्यासाठी हे निश्चितपणे पुरेसे असेल.

खरं तर, हे फक्त सिम्युलेटरपेक्षा बरेच काही आहे - संपूर्ण प्रशिक्षण कार्यक्रम. आवश्यक असल्यास, आपण ते विनामूल्य देखील वापरू शकता.

साइटच्या अस्तित्वाच्या संपूर्ण कालावधीसाठी सर्व मजकूर आणि प्रोग्राममध्ये प्रवेश प्रदान केला जातो.

अनुमान मध्ये...

तुम्हाला आमची कामे आवडत नसल्यास, इतरांना शोधा. फक्त सिद्धांतावर थांबू नका.

"समजले" आणि "मी सोडवू शकतो" ही ​​पूर्णपणे भिन्न कौशल्ये आहेत. तुम्हाला दोन्हीची गरज आहे.

समस्या शोधा आणि त्यांचे निराकरण करा!