Kompüter elmində obyektin riyazi modeli. Riyazi modellərin əsasları

ev / Boşanma

Riyazi bir model yaratmaq üçün sizə lazımdır:

real obyekti və ya prosesi diqqətlə təhlil etmək;
onun ən əhəmiyyətli xüsusiyyətlərini və xüsusiyyətlərini vurğulamaq;
dəyişənləri təyin edin, yəni. dəyərləri obyektin əsas xüsusiyyətlərinə və xassələrinə təsir edən parametrlər;
məntiqi-riyazi əlaqələrdən (tənliklər, bərabərliklər, bərabərsizliklər, məntiqi-riyazi konstruksiyalar) istifadə edərək obyektin, prosesin və ya sistemin əsas xassələrinin dəyişənlərin dəyərlərindən asılılığını təsvir etmək;
məhdudiyyətlər, tənliklər, bərabərliklər, bərabərsizliklər, məntiqi və riyazi konstruksiyalardan istifadə etməklə obyektin, prosesin və ya sistemin daxili əlaqələrini vurğulamaq;
məhdudiyyətlər, tənliklər, bərabərliklər, bərabərsizliklər, məntiqi və riyazi konstruksiyalardan istifadə edərək xarici əlaqələri müəyyənləşdirin və təsvir edin.

Riyazi modelləşdirmə obyekti, prosesi və ya sistemi öyrənmək və onun riyazi təsvirini tərtib etməklə yanaşı, aşağıdakıları da əhatə edir:

obyektin, prosesin və ya sistemin davranışını modelləşdirən alqoritmin qurulması;
hesablama və tammiqyaslı təcrübələr əsasında modelin və obyektin, prosesin və ya sistemin adekvatlığının yoxlanılması;
modelin tənzimlənməsi;
modelindən istifadə etməklə.

Tədqiq olunan proseslərin və sistemlərin riyazi təsviri aşağıdakılardan asılıdır:

real prosesin və ya sistemin təbiəti və fizika, kimya, mexanika, termodinamika, hidrodinamika, elektrotexnika, plastiklik nəzəriyyəsi, elastiklik nəzəriyyəsi və s. qanunları əsasında tərtib edilir.
real proseslərin və sistemlərin öyrənilməsi və tədqiqinin tələb olunan etibarlılığı və dəqiqliyi.

Riyazi modelin qurulması adətən nəzərdən keçirilən obyektin, prosesin və ya sistemin ən sadə, ən kobud riyazi modelinin qurulması və təhlili ilə başlayır. Gələcəkdə zərurət yaranarsa, model təkmilləşdirilir və onun obyektə uyğunluğu daha dolğunlaşdırılır.

Sadə bir misal götürək. Səth sahəsini təyin etməlisiniz Yazı masası. Tipik olaraq, bu, onun uzunluğunu və enini ölçməklə və sonra əldə edilən ədədləri çarpmaqla həyata keçirilir. Bu elementar prosedur əslində aşağıdakıları ifadə edir: real obyekt (masa səthi) mücərrəd riyazi model - düzbucaqlı ilə əvəz olunur. Masanın səthinin uzunluğunu və enini ölçməklə əldə edilən ölçülər düzbucaqlıya təyin edilir və belə bir düzbucağın sahəsi təxminən masanın tələb olunan sahəsi kimi qəbul edilir. Bununla belə, masa üçün düzbucaqlı model ən sadə, ən kobud modeldir. Problemə daha ciddi yanaşsanız, masanın sahəsini təyin etmək üçün düzbucaqlı modeldən istifadə etməzdən əvvəl bu modeli yoxlamaq lazımdır. Yoxlamalar aşağıdakı kimi aparıla bilər: masanın əks tərəflərinin uzunluqlarını, həmçinin diaqonallarının uzunluqlarını ölçün və bir-biri ilə müqayisə edin. Əgər tələb olunan dəqiqlik dərəcəsi ilə əks tərəflərin uzunluqları və diaqonalların uzunluqları cütlükdə bərabərdirsə, onda masanın səthi həqiqətən düzbucaqlı hesab edilə bilər. Əks halda, düzbucaqlı modeli rədd edilməli və ümumi dördbucaqlı modellə əvəz edilməli olacaq. Daha yüksək dəqiqlik tələbi ilə, məsələn, masanın künclərinin yuvarlaqlaşdırılmasını nəzərə almaq üçün modeli daha da təkmilləşdirmək lazım ola bilər.

Bunun köməyi ilə sadə misal göstərilmişdir ki, riyazi model obyekt, proses və ya sistemi.

YA (sabah dəqiqləşdiriləcək)

Riyaziyyatın həlli yolları. Modellər:

1, Təbiət qanunlarına əsaslanan modelin qurulması (analitik üsul)

2. Statistik metodlardan istifadə etməklə formal üsul. Nəticələrin işlənməsi və ölçülməsi (statistik yanaşma)

3. Elementlər modeli (mürəkkəb sistemlər) əsasında modelin qurulması

1, Analitik - kifayət qədər araşdırma ilə istifadə edin. Ümumi nümunə məlumdur. Modellər.

2. təcrübə. Məlumat olmadıqda.

3. Təqlid m.- obyektin xassələrini araşdırır. Ümumiyyətlə.

Riyazi modelin qurulması nümunəsi.

Riyazi model- Bu riyazi təmsil reallıq.

Riyazi modelləşdirmə qurmaq və öyrənmək prosesidir riyazi modellər.

Riyaziyyatdan istifadə edən bütün təbiət və ictimai elmlər mahiyyətcə riyazi modelləşdirmə ilə məşğul olurlar: obyekti onun riyazi modeli ilə əvəz edir, sonra isə sonuncunu öyrənirlər. Riyazi modellə reallıq arasındakı əlaqə fərziyyələr, ideallaşdırmalar və sadələşdirmələr zəncirindən istifadə etməklə həyata keçirilir. Riyazi metodlardan istifadə etməklə, bir qayda olaraq, mənalı modelləşdirmə mərhələsində qurulmuş ideal obyekt təsvir edilir.

Modellər niyə lazımdır?

Çox vaxt hər hansı bir obyekti öyrənərkən çətinliklər yaranır. Orijinalın özü bəzən əlçatmaz olur və ya onun istifadəsi məqsədəuyğun deyil və ya orijinalı cəlb etmək baha başa gəlir. Bütün bu problemlər simulyasiyadan istifadə etməklə həll edilə bilər. Model in müəyyən mənada tədqiq olunan obyekti əvəz edə bilər.

Modellərin ən sadə nümunələri

§ Fotoşəkili insanın modeli adlandırmaq olar. Bir insanı tanımaq üçün onun şəklinə baxmaq kifayətdir.

§ Memar yeni yaşayış massivinin maketini yaratmışdır. O, hündürmərtəbəli binanı əlinin hərəkəti ilə bir hissədən digərinə keçirə bilir. Reallıqda bu mümkün olmayacaqdı.

Model növləri

Modelləri bölmək olar material" Və mükəmməl. yuxarıdakı nümunələr maddi modellərdir. İdeal modellərçox vaxt simvolik formada olur. Həqiqi anlayışlar bəzi işarələrlə əvəz olunur ki, onlar asanlıqla kağıza, kompüter yaddaşına və s.

Riyazi modelləşdirmə

Riyazi modelləşdirmə simvolik modelləşdirmə sinfinə aiddir. Üstəlik, modellər istənilən riyazi obyektlərdən yaradıla bilər: ədədlər, funksiyalar, tənliklər və s.

Riyazi modelin qurulması

§ Riyazi modelin qurulmasının bir neçə mərhələsini qeyd etmək olar:

1. Problemi başa düşmək, bizim üçün ən vacib keyfiyyətləri, xassələri, kəmiyyətləri və parametrləri müəyyən etmək.

2. Qeydlərin tətbiqi.

3. Daxil edilmiş dəyərlərin təmin etməli olduğu məhdudiyyətlər sisteminin tərtib edilməsi.

4. İstənilən optimal həll yolu ilə təmin edilməli olan şərtlərin formalaşdırılması və qeydi.

Modelləşdirmə prosesi modelin yaradılması ilə bitmir, yalnız ondan başlayır. Model tərtib etdikdən sonra cavab tapmaq və problemi həll etmək üçün bir üsul seçirlər. cavab tapıldıqdan sonra reallıqla müqayisə edilir. Və ola bilər ki, cavab qənaətbəxş deyil, bu halda model dəyişdirilir və ya hətta tamamilə fərqli model seçilir.

Riyazi model nümunəsi

Tapşırıq

İstehsalat Birliyi iki mebel fabrikini özündə birləşdirən , maşın parkını yeniləməlidir. Üstəlik, birinci mebel fabrikində üç, ikincisində isə yeddi maşın dəyişdirilməlidir. Sifarişlər iki dəzgah zavodunda verilə bilər. Birinci zavod 6 maşından çox istehsal edə bilməz, ikinci zavod isə ən azı üç ədəd olarsa, sifariş qəbul edəcək. Sifarişlərin necə yerləşdiriləcəyini müəyyənləşdirməlisiniz.

Misal 1.5.1.

Müəyyən iqtisadi rayon bir neçə (n) növ məhsulu müstəsna olaraq təkbaşına və yalnız bu rayonun əhalisi üçün istehsal etsin. Ehtimal olunur ki, texnoloji proses işlənib, əhalinin bu mallara tələbatı öyrənilib. Məhsul buraxılışının illik həcmini müəyyən etmək lazımdır ki, bu həcm həm son, həm də sənaye istehlakını təmin etməlidir.

Bu məsələnin riyazi modelini yaradaq. Onun şərtlərinə görə aşağıdakılar verilir: məhsulların növləri, onlara tələbat və texnoloji proses; hər bir məhsul növünün çıxış həcmini tapmaq lazımdır.

Məlum kəmiyyətləri qeyd edək:

c i- əhalinin tələbi i ci məhsul ( i=1,...,n); a ij- kəmiyyət i müəyyən bir texnologiyadan istifadə edərək j-ci məhsulun vahidini istehsal etmək üçün tələb olunan məhsul ( i=1,...,n ; j=1,...,n);

X i - çıxış həcmi i-ci məhsul ( i=1,...,n); cəmi ilə =(c 1 ,..., c n ) tələb vektoru, ədədlər adlanır a ij– texnoloji əmsallar və cəmi X =(X 1 ,..., X n ) – buraxılış vektoru.

Problemin şərtlərinə görə vektor X iki hissəyə bölünür: son istehlak üçün (vektor ilə ) və çoxalma üçün (vektor x-s ). Gəlin vektorun həmin hissəsini hesablayaq X reproduksiyaya keçir. İstehsal üçün təyinatlarımıza uyğun olaraq X j tədarük edilən j-ci məhsulun miqdarı a ij · X j miqdarlar i-ci məhsul.

Sonra məbləğ a i1 · X 1 +...+ a in · X n həmin dəyəri göstərir i-bütün buraxılış üçün lazım olan məhsul X =(X 1 ,..., X n ).

Beləliklə, bərabərlik təmin edilməlidir:

Bu əsaslandırmanı bütün növ məhsullar üçün genişləndirərək, istədiyiniz modelə çatırıq:

Bu n xətti tənlik sisteminin həlli X 1 ,...,X n və tələb olunan buraxılış vektorunu tapın.

Bu modeli daha yığcam (vektor) formada yazmaq üçün aşağıdakı qeydi təqdim edirik:

kvadrat (
) -matris A texnologiya matrisi adlanır. Modelimizin indi belə yazılacağını yoxlamaq asandır: x-s=Ah və ya

(1.6)

Klassik modeli aldıq " Giriş - Çıxış ", müəllifi məşhur amerikalı iqtisadçı V. Leontievdir.

Misal 1.5.2.

Neft emalı zavodunda iki növ neft var: növlü A 10 vahid məbləğində, dərəcəli IN- 15 ədəd. Nefti emal edərkən iki material əldə edilir: benzin (biz işarə edirik B) və mazut ( M). Emal texnologiyası prosesinin üç variantı var:

I: 1 ədəd A+ 2 ədəd IN 3 ədəd verir. B+ 2 ədəd M

II: 2 ədəd. A+ 1 ədəd IN 1 ədəd verir. B+ 5 ədəd M

III: 2 ədəd A+ 2 ədəd IN 1 ədəd verir. B+ 2 ədəd M

Benzinin qiyməti 10 dollar, mazut 1 ədəddir.

Ən sərfəli birləşməni müəyyən etmək lazımdır texnoloji proseslər mövcud miqdarda neftin emalı.

Modelləşdirmədən əvvəl aşağıdakı məqamlara aydınlıq gətirək. Problemin şərtlərindən belə çıxır ki, zavod üçün texnoloji prosesin “mənfəətliliyi” onun hazır məhsulunun (benzin və mazut) satışından maksimum gəlir əldə etmək mənasında başa düşülməlidir. Bu baxımdan aydın olur ki, zavodun “seçimi (qəbul edilməsi) qərarı” hansı texnologiyanın neçə dəfə tətbiq olunacağının müəyyən edilməsindən ibarətdir. Aydındır ki, belə mümkün variantlar kifayət qədər çoxdur.

Naməlum kəmiyyətləri işarə edək:

X i- istifadə miqdarı i ci texnoloji proses (i=1,2,3). Digər model parametrləri (neft ehtiyatları, benzin və mazut qiymətləri) məlumdur.

İndi bir şey xüsusi həll bitki bir vektor seçməyə gəlir X =(x 1 ,X 2 ,X 3 ) , bunun üçün zavodun gəliri bərabərdir (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) dollar.Burada 32 dollar birinci texnoloji prosesin bir tətbiqindən əldə edilən gəlirdir ($10 3 vahid. B+ 1 dollar ·2 ədəd. M= $32). İkinci və üçüncü texnoloji proseslər üçün müvafiq olaraq 15 və 12 əmsalları oxşar məna daşıyır. Neft ehtiyatlarının uçotu aşağıdakı şərtlərə gətirib çıxarır:

müxtəliflik üçün A:

müxtəliflik üçün IN:,

burada birinci bərabərsizlik əmsallarında 1, 2, 2 texnoloji proseslərin birdəfəlik istifadəsi üçün A markalı yağın sərfiyyat normalarıdır. I,II,III müvafiq olaraq. İkinci bərabərsizliyin əmsalları B markalı neft üçün oxşar məna daşıyır.

Bütövlükdə riyazi model aşağıdakı formaya malikdir:

Belə bir vektor tapın x = (x 1 ,X 2 ,X 3 ) maksimuma çatdırmaq

f(x) =32х 1 +15x 2 +12x 3

aşağıdakı şərtlərə tabedir:

Bu girişin qısaldılmış forması:

məhdudiyyətlər altında

(1.7)

Xətti proqramlaşdırma problemini əldə etdik.

Model (1.7.) deterministik tipli (yaxşı müəyyən edilmiş elementlərlə) optimallaşdırma modelinin nümunəsidir.

Misal 1.5.3.

İnvestor səhmlərin, istiqrazların və digər qiymətli kağızların ən yaxşı dəstini müəyyən etməlidir ki, onları müəyyən bir məbləğə satın alsın. minimal riskÖzüm üçün. Bir qiymətli kağıza yatırılan dollar başına mənfəət j- tip, iki göstərici ilə xarakterizə olunur: gözlənilən mənfəət və faktiki mənfəət. İnvestor üçün sərmayənin hər dollarına gözlənilən mənfəətin bütün dəst üçün olması arzu edilir qiymətli kağızlar göstərilən dəyərdən aşağı olmamalıdır b.

Qeyd edək ki, bu problemi düzgün modelləşdirmək üçün riyaziyyatçıdan qiymətli kağızların portfel nəzəriyyəsi sahəsində müəyyən əsas biliklərə malik olması tələb olunur.

Məsələnin məlum parametrlərini qeyd edək:

n– qiymətli kağızların növlərinin sayı; A j– j-ci qiymətli kağızdan faktiki mənfəət (təsadüfi nömrə); -dən gözlənilən mənfəət j- təhlükəsizlik növü.

Naməlum kəmiyyətləri işarə edək :

y j - tipli qiymətli kağızların alınması üçün ayrılan vəsaitlər j.

Bizim qeydimizdən istifadə edərək bütün investisiya edilmiş məbləğ kimi ifadə edilir . Modeli sadələşdirmək üçün yeni kəmiyyətlər təqdim edirik

Beləliklə, X i- bu tipli qiymətli kağızların alınması üçün ayrılan bütün vəsaitlərin payıdır j.

Aydındır ki

Problemin şərtlərindən aydın olur ki, investorun məqsədi minimal risklə müəyyən mənfəət səviyyəsinə nail olmaqdır. Əslində, risk faktiki mənfəətin gözləniləndən sapmasının ölçüsüdür. Buna görə də, onu i və j tipli qiymətli kağızlar üzrə mənfəətin kovariasiyası ilə müəyyən etmək olar. Burada M riyazi gözləmənin təyinidir.

Orijinal məsələnin riyazi modeli aşağıdakı formaya malikdir:

məhdudiyyətlər altında

,
,
,
. (1.8)

Qiymətli kağızlar portfelinin strukturunu optimallaşdırmaq üçün məşhur Markowitz modelini əldə etdik.

Model (1.8.) stoxastik tipli optimallaşdırma modelinin nümunəsidir (təsadüfilik elementləri ilə).

Misal 1.5.4.

Ticarət təşkilatı əsasında minimum çeşidli məhsullardan birinin n növü mövcuddur. Mağazaya yalnız bir növ məhsul gətirilməlidir. Mağazaya gətirmək üçün uyğun olan məhsul növünü seçməlisiniz. Əgər məhsul növü j tələbat olacaq, mağaza satışından qazanc əldə edəcək R j, tələbat yoxdursa - zərər q j .

Modelləşdirmədən əvvəl bəzi əsas məqamları müzakirə edəcəyik. Bu problemdə qərar qəbul edən (DM) mağazadır. Bununla belə, nəticə (maksimum mənfəət) təkcə onun qərarından deyil, həm də idxal olunan məhsulun tələbat olub-olmayacağından, yəni onun əhali tərəfindən alınıb-alınmayacağından (ehtimal olunur ki, mağaza nədənsə əhalinin tələbatını öyrənmək imkanına malikdir ). Buna görə də əhalini öz üstünlüklərinə uyğun olaraq məhsul növünü seçən ikinci qərar qəbul edən kimi qəbul etmək olar. Əhalinin mağaza ilə bağlı ən pis “qərarı” belədir: “İdxal olunan mallara tələbat yoxdur”. Beləliklə, bütün mümkün vəziyyətləri nəzərə almaq üçün mağaza əks məqsəd güdərək, mağazanın mənfəətini minimuma endirmək üçün əhalini "düşmən" (şərti olaraq) hesab etməlidir.

Beləliklə, bir-birinə zidd olan məqsədləri güdən iki iştirakçı ilə qərar vermə problemimiz var. Aydınlaşdıraq ki, mağaza satış üçün mal növlərindən birini seçir (n qərar variantı var), əhali isə ən çox tələbat olan mal növlərindən birini seçir ( n həll variantları).

Riyazi modeli tərtib etmək üçün onunla cədvəl çəkək n xətlər və n sütunlar (cəmi n 2 xanalar) və cərgələrin mağazanın seçiminə, sütunların isə əhalinin seçiminə uyğun olması ilə razılaşın. Sonra hüceyrə (i, j) mağazanın seçdiyi vəziyyətə uyğundur i ci məhsul növü ( i-ci xətt) və əhali seçir j ci məhsul növü ( j- ci sütun). Hər bir hüceyrədə mağaza nöqteyi-nəzərindən müvafiq vəziyyətin ədədi qiymətləndirməsini (mənfəət və ya zərər) yazırıq:

Nömrələri q i mağazanın zərərini əks etdirmək üçün mənfi ilə yazılmışdır; hər bir vəziyyətdə əhalinin "qazancısı" (şərti olaraq) əks işarə ilə alınan mağazanın "qazancına" bərabərdir.

Bu modelin qısaldılmış forması:

(1.9)

Biz sözdə matris oyunu aldıq. Model (1.9.) oyun qərarlarının qəbulu modellərinin nümunəsidir.

Sovetov və Yakovlevin dərsliyinə görə: “model (latınca modulus – ölçü) orijinalın bəzi xassələrinin öyrənilməsini təmin edən ilkin obyekti əvəz edən obyektdir”. (səh. 6) “Model obyektindən istifadə etməklə ilkin obyektin ən mühüm xassələri haqqında məlumat əldə etmək üçün bir obyektin digəri ilə əvəzlənməsi modelləşdirmə adlanır.” (səh. 6) “Riyazi modelləşdirmə dedikdə biz riyazi model adlanan müəyyən riyazi obyektlə verilmiş real obyektə uyğunluğun qurulması prosesini və real obyektin xüsusiyyətlərini əldə etməyə imkan verən bu modelin öyrənilməsini başa düşürük. baxılan obyekt. Riyazi modelin növü həm real obyektin xarakterindən, həm də obyektin öyrənilməsi vəzifələrindən və bu məsələnin həllinin tələb olunan etibarlılığından və dəqiqliyindən asılıdır”.

Nəhayət, riyazi modelin ən qısa tərifi: “Bir fikri ifadə edən tənlik».

Modelin təsnifatı

Modellərin formal təsnifatı

Modellərin formal təsnifatı istifadə olunan riyazi vasitələrin təsnifatına əsaslanır. Çox vaxt dixotomiyalar şəklində qurulur. Məsələn, məşhur dixotomiya dəstlərindən biri:

və s. Hər qurulmuş model xətti və ya qeyri-xətti, deterministik və ya stoxastikdir... Təbii ki, qarışıq növlər: bir cəhətdən cəmlənmiş (parametrlər baxımından), digərində - paylanmış modellər və s.

Obyektin təmsil olunma üsuluna görə təsnifat

Formal təsnifatla yanaşı, modellər obyekti təmsil etmə tərzinə görə fərqlənir:

Struktur və ya funksional modellər

Struktur modellər obyekti öz strukturu və fəaliyyət mexanizmi olan bir sistem kimi təqdim edir. Funksional modellər belə təsvirlərdən istifadə etməyin və obyektin yalnız xaricdən qəbul edilən davranışını (fəaliyyətini) əks etdirin. Ekstremal ifadələrində onları “qara qutu” modelləri də adlandırırlar. Bəzən birləşmiş modellər də mümkündür " boz qutu».

Məzmun və formal modellər

Demək olar ki, bütün müəlliflər prosesi təsvir edir riyazi modelləşdirmə, əvvəlcə xüsusi bir ideal quruluşun qurulduğunu göstərir, məzmun modeli. Burada müəyyən edilmiş terminologiya yoxdur və digər müəlliflər bu ideal obyekt adlandırırlar konseptual model , spekulyativ model və ya premodel. Bu halda yekun riyazi konstruksiya deyilir formal model və ya sadəcə olaraq verilmiş mənalı modelin (pre-model) rəsmiləşdirilməsi nəticəsində alınan riyazi modeldir. Mənalı modelin qurulması mexanikada olduğu kimi, ideal yaylar, sərt cisimlər, ideal sarkaçlar, elastik media s hazır ver struktur elementləri mənalı modelləşdirmə üçün. Bununla belə, tam başa çatmış rəsmiləşdirilmiş nəzəriyyələrin olmadığı bilik sahələrində (fizika, biologiya, iqtisadiyyat, sosiologiya, psixologiya və digər sahələrin çoxu) mənalı modellərin yaradılması kəskin şəkildə çətinləşir.

Modellərin məzmun təsnifatı

Elmdə heç bir fərziyyə birdəfəlik sübut edilə bilməz. Richard Feynman bunu çox açıq şəkildə ifadə etmişdir:

“Bizim hər zaman bir nəzəriyyəni təkzib etmək imkanımız var, lakin qeyd edək ki, onun doğru olduğunu heç vaxt sübut edə bilmərik. Tutaq ki, siz uğurlu bir fərziyyə irəli sürmüsünüz, onun hara apardığını hesablamış və onun bütün nəticələrinin eksperimental olaraq təsdiqləndiyini görmüsünüz. Bu, nəzəriyyənizin doğru olduğu anlamına gəlirmi? Xeyr, bu o deməkdir ki, siz bunu təkzib edə bilməmisiniz”.

Əgər birinci tip model qurulursa, bu o deməkdir ki, o, müvəqqəti olaraq həqiqət kimi qəbul edilir və başqa problemlər üzərində cəmləşə bilər. Lakin bu, tədqiqatda bir məqam ola bilməz, ancaq müvəqqəti fasilədir: birinci tip modelin statusu yalnız müvəqqəti ola bilər.

Tip 2: Fenomenoloji model (kimi davranırıq…)

Fenomenoloji model bir fenomeni təsvir etmək üçün bir mexanizm ehtiva edir. Bununla belə, bu mexanizm kifayət qədər inandırıcı deyil, mövcud məlumatlarla kifayət qədər təsdiq edilə bilməz və ya mövcud nəzəriyyələrə və obyekt haqqında toplanmış biliklərə uyğun gəlmir. Buna görə də fenomenoloji modellər müvəqqəti həllər statusuna malikdir. Hesab olunur ki, cavab hələ də məlum deyil və “əsl mexanizmlər”in axtarışı davam etdirilməlidir. Peierls, məsələn, ikinci növ kimi elementar hissəciklərin kalorili modelini və kvark modelini ehtiva edir.

Tədqiqatda modelin rolu zamanla dəyişə bilər və ola bilər ki, yeni məlumatlar və nəzəriyyələr fenomenoloji modelləri təsdiqləyir və onlar hipotez statusuna yüksəlir. Eynilə, yeni biliklər tədricən birinci tipli model-fərziyyələrlə ziddiyyətə düşə bilər və onlar ikinciyə çevrilə bilər. Beləliklə, kvark modeli tədricən fərziyyələr kateqoriyasına keçir; fizikada atomizm müvəqqəti həll yolu kimi yarandı, lakin tarixin gedişatı ilə birinci tip oldu. Lakin efir modelləri 1-ci tipdən 2-ci tipə keçdilər və indi elmdən kənardadırlar.

Modellər qurarkən sadələşdirmə ideyası çox populyardır. Amma sadələşdirmə müxtəlif formalarda olur. Peierls modelləşdirmədə üç növ sadələşdirməni müəyyən edir.

Növ 3: Təxminən (çox böyük və ya çox kiçik bir şeyi hesab edirik)

Əgər tədqiq olunan sistemi təsvir edən tənliklər qurmaq mümkündürsə, bu o demək deyil ki, onları hətta kompüterin köməyi ilə də həll etmək olar. Bu vəziyyətdə ümumi bir texnika təxminlərin istifadəsidir (3-cü tip modellər). Onların arasında xətti cavab modelləri. Tənliklər xətti olanlarla əvəz olunur. Standart bir nümunə Ohm qanunudur.

Burada bioloji sistemlərin riyazi modellərində geniş yayılmış Tip 8 gəlir.

Növ 8: Xüsusiyyət nümayişi (əsas olan imkanın daxili ardıcıllığını göstərməkdir)

Bunlar həm də düşüncə təcrübələridir bunu nümayiş etdirən xəyali varlıqlarla ehtimal olunan fenomenəsas prinsiplərə uyğundur və daxili uyğundur. Gizli ziddiyyətləri üzə çıxaran 7-ci tip modellərdən əsas fərq budur.

Bu təcrübələrin ən məşhurlarından biri Lobaçevskinin həndəsəsidir (Lobaçevski bunu “xəyali həndəsə” adlandırırdı). Başqa bir nümunə kimyəvi və bioloji vibrasiyaların, avtodalğaların və s. formal olaraq kinetik modellərinin kütləvi istehsalıdır. Eynşteyn-Podolski-Rozen paradoksu kvant mexanikasının uyğunsuzluğunu nümayiş etdirmək üçün 7-ci tip model kimi düşünülmüşdür. Tamamilə planlaşdırılmamış şəkildə, nəticədə o, 8-ci tip modelə çevrildi - informasiyanın kvant teleportasiyasının mümkünlüyünün nümayişi.

Misal

Bir ucunda sabitlənmiş yaydan və yayın sərbəst ucuna bərkidilmiş kütlə kütləsindən ibarət mexaniki sistemi nəzərdən keçirək. Yükün yalnız yay oxu istiqamətində hərəkət edə biləcəyini güman edəcəyik (məsələn, çubuq boyunca hərəkət baş verir). Bu sistemin riyazi modelini quraq. Sistemin vəziyyətini yükün mərkəzindən tarazlıq vəziyyətinə qədər olan məsafə ilə təsvir edəcəyik. Yayın və istifadə olunan yükün qarşılıqlı təsirini təsvir edək Hooke qanunu() və sonra onu diferensial tənlik şəklində ifadə etmək üçün Nyutonun ikinci qanunundan istifadə edin:

burada zamana görə ikinci törəmə deməkdir: .

Alınan tənlik nəzərdən keçirilən fiziki sistemin riyazi modelini təsvir edir. Bu model "harmonik osilator" adlanır.

Formal təsnifata görə bu model xətti, deterministik, dinamik, konsentrasiyalı, davamlıdır. Onun qurulması prosesində biz bir çox fərziyyələr irəli sürdük (xarici qüvvələrin olmaması, sürtünmənin olmaması, sapmaların kiçikliyi və s. haqqında), əslində bunlar yerinə yetirilməyə bilər.

Reallıqla əlaqədar olaraq, bu, ən çox 4-cü tip modeldir sadələşdirmə(“Aydınlıq üçün bəzi təfərrüatları buraxacağıq”), çünki bəzi vacib universal xüsusiyyətlər (məsələn, dağılma) buraxılmışdır. Bəzi təxmini hesablamalara görə (məsələn, yükün tarazlıqdan sapması az sürtünmə ilə, çox vaxt və müəyyən digər şərtlərə tabe olsa da), belə bir model real mexaniki sistemi olduqca yaxşı təsvir edir, çünki atılan amillər davranışına əhəmiyyətsiz təsir göstərir. Bununla belə, model bu amillərdən bəzilərini nəzərə alaraq dəqiqləşdirilə bilər. Bu, daha geniş (yenidən məhdud olsa da) tətbiq dairəsinə malik yeni modelə gətirib çıxaracaq.

Bununla belə, modeli təkmilləşdirərkən onun riyazi tədqiqatının mürəkkəbliyi əhəmiyyətli dərəcədə arta və modeli praktik olaraq yararsız hala sala bilər. Çox vaxt daha sadə model daha mürəkkəb (və formal olaraq “daha düzgün”) ilə müqayisədə real sistemin daha yaxşı və daha dərindən araşdırılmasına imkan verir.

Harmonik osilator modelini fizikadan uzaq obyektlərə tətbiq etsək, onun substantiv statusu fərqli ola bilər. Məsələn, bu modeli bioloji populyasiyalara tətbiq edərkən, çox güman ki, 6-cı tip kimi təsnif edilməlidir bənzətmə(“yalnız bəzi xüsusiyyətləri nəzərə alaq”).

Sərt və yumşaq modellər

Harmonik osilator "sərt" adlanan modelə bir nümunədir. Həqiqi fiziki sistemin güclü ideallaşdırılması nəticəsində əldə edilir. Onun tətbiqi məsələsini həll etmək üçün diqqətdən kənarda qoyduğumuz amillərin nə qədər əhəmiyyətli olduğunu başa düşmək lazımdır. Başqa sözlə, "sərt" olanın kiçik bir təlaşla əldə edilən "yumşaq" modeli öyrənmək lazımdır. Məsələn, aşağıdakı tənlik ilə verilə bilər:

Budur, sürtünmə qüvvəsini və ya yayın sərtlik əmsalının onun uzanma dərəcəsindən asılılığını nəzərə ala biləcək bəzi funksiyalar - bəzi kiçik parametrlər. Bizdə olan funksiyanın açıq forması Bu an maraqlı deyil. Yumşaq modelin davranışının sərt olanın davranışından əsaslı şəkildə fərqlənmədiyini sübut etsək (narahat edən amillərin açıq növündən asılı olmayaraq, əgər onlar kifayət qədər kiçikdirlərsə), problem sərt modeli öyrənməyə qədər azalacaq. Əks halda, sərt modelin öyrənilməsindən əldə edilən nəticələrin tətbiqi əlavə tədqiqat tələb edəcəkdir. Məsələn, harmonik osilatorun tənliyinin həlli formanın funksiyalarıdır, yəni sabit amplituda olan salınımlar. Bundan belə nəticə çıxır ki, həqiqi osilator sabit amplituda ilə qeyri-müəyyən müddətə salınacaq? Xeyr, çünki ixtiyari olaraq kiçik sürtünmə qabiliyyətinə malik sistemi (həmişə real sistemdə mövcuddur) nəzərə alsaq, sönümlü salınımlar alırıq. Sistemin davranışı keyfiyyətcə dəyişdi.

Əgər sistem xırda pozğunluqlar zamanı öz keyfiyyət davranışını saxlayırsa, onun struktur olaraq sabit olduğu deyilir. Harmonik osilator struktur cəhətdən qeyri-sabit (kobud olmayan) sistemin nümunəsidir. Bununla belə, bu model məhdud müddət ərzində prosesləri öyrənmək üçün istifadə edilə bilər.

Modellərin çox yönlü olması

Ən əhəmiyyətli riyazi modellər adətən var mühüm əmlak çox yönlülük: Prinsipcə fərqli real hadisələr eyni riyazi modellə təsvir edilə bilər. Məsələn, harmonik osilator təkcə yaydakı yükün davranışını deyil, həm də çox vaxt tamamilə fərqli xarakter daşıyan digər salınım proseslərini təsvir edir: sarkacın kiçik salınımları, A formalı qabda maye səviyyəsindəki dalğalanmalar. , və ya salınan dövrədə cərəyan gücünün dəyişməsi. Beləliklə, bir riyazi modeli öyrənməklə, onun təsvir etdiyi hadisələrin bütün sinfini dərhal öyrənirik. Məhz elmi biliyin müxtəlif seqmentlərində riyazi modellərlə ifadə olunan qanunların bu izomorfizmi Lüdviq fon Bertalanfini “Sistemlərin Ümumi Nəzəriyyəsi”ni yaratmağa ilhamlandırdı.

Riyazi modelləşdirmənin birbaşa və tərs məsələləri

Riyazi modelləşdirmə ilə bağlı çoxlu problemlər var. Birincisi, modelləşdirilmiş obyektin əsas diaqramını hazırlamalı, onu bu elmin idealizasiyaları çərçivəsində çoxaltmalısınız. Beləliklə, qatar vaqonu müxtəlif materiallardan lövhələr və daha mürəkkəb gövdələr sisteminə çevrilir, hər bir material onun standart mexaniki idealizasiyası (sıxlıq, elastik modullar, standart möhkəmlik xüsusiyyətləri) kimi göstərilir, bundan sonra tənliklər tərtib edilir və yol boyu bəzi detallar əhəmiyyətsiz kimi atılır, hesablamalar aparılır, ölçmələrlə müqayisə edilir, model dəqiqləşdirilir və s. Bununla belə, riyazi modelləşdirmə texnologiyalarını inkişaf etdirmək üçün bu prosesi onun əsas komponentlərinə bölmək faydalıdır.

Ənənəvi olaraq, riyazi modellərlə əlaqəli iki əsas problem sinfi var: birbaşa və tərs.

Birbaşa tapşırıq: modelin strukturu və onun bütün parametrləri məlum hesab edilir, əsas vəzifə obyekt haqqında faydalı biliklər çıxarmaq üçün modelin tədqiqini aparmaqdır. Körpü hansı statik yükə tab gətirəcək? Dinamik bir yükə necə reaksiya verəcək (məsələn, bir əsgər şirkətinin gedişinə və ya müxtəlif sürətlə bir qatarın keçməsinə), təyyarə necə keçəcək səs maneəsiçırpınmadan dağılacaqmı - bunlar birbaşa problemin tipik nümunələridir. Düzgün birbaşa problemin qoyulması (düzgün sualın verilməsi) xüsusi bacarıq tələb edir. Düzgün suallar verilməsə, körpünün davranışı üçün yaxşı bir model qurulsa belə, çökə bilər. Belə ki, 1879-cu ildə Böyük Britaniyada Tay çayı üzərindən keçən metal körpü uçdu, onun dizaynerləri körpünün maketini düzəltmiş, onu faydalı yükün hərəkəti üçün 20 qat təhlükəsizlik əmsalına malik olduğunu hesablamış, lakin küləkləri unutmuşlar. o yerlərdə daim əsən. Və bir il yarımdan sonra dağıldı.

Ən sadə halda (məsələn, bir osilator tənliyi) birbaşa məsələ çox sadədir və bu tənliyin açıq həllinə qədər azalır.

Tərs problem: bir çox mümkün modellər məlumdur, obyekt haqqında əlavə məlumatlar əsasında konkret model seçilməlidir. Çox vaxt modelin strukturu məlumdur və bəzi naməlum parametrləri müəyyən etmək lazımdır. əlavə informasiyaəlavə empirik məlumatlardan və ya obyekt üçün tələblərdən ibarət ola bilər ( dizayn problemi). Tərs məsələnin həlli prosesindən asılı olmayaraq əlavə məlumatlar gələ bilər ( passiv müşahidə) və ya həll zamanı xüsusi olaraq planlaşdırılan təcrübənin nəticəsi ola bilər ( aktiv müşahidə).

Mövcud məlumatlardan maksimum istifadə etməklə tərs məsələnin ustalıqla həllinin ilk nümunələrindən biri müşahidə edilən sönümlü salınımlardan sürtünmə qüvvələrinin yenidən qurulması üçün İ.Nyuton tərəfindən qurulmuş metoddur.

Başqa bir misal riyazi statistikadır. Bu elmin vəzifəsi kütləvi təsadüfi hadisələrin ehtimal modellərini qurmaq üçün müşahidə və eksperimental məlumatların qeydə alınması, təsviri və təhlili üsullarını hazırlamaqdır. Bunlar. mümkün modellər toplusu ehtimal modelləri ilə məhdudlaşır. Xüsusi tapşırıqlarda modellər dəsti daha məhduddur.

Kompüter simulyasiya sistemləri

Riyazi modelləşdirməni dəstəkləmək üçün kompüter riyaziyyat sistemləri hazırlanmışdır, məsələn, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim və s. Onlar həm sadə, həm də formal və blok modelləri yaratmağa imkan verir. mürəkkəb proseslər və cihazları və simulyasiya zamanı model parametrlərini asanlıqla dəyişdirin. Blok modelləri bloklarla təmsil olunur (ən çox qrafik), dəsti və əlaqəsi model diaqramı ilə müəyyən edilir.

Əlavə nümunələr

Maltus modeli

Artım tempi mövcud əhalinin sayına mütənasibdir. Diferensial tənliklə təsvir edilmişdir

burada doğum və ölüm nisbəti arasındakı fərqlə müəyyən edilən müəyyən parametrdir. Bu tənliyin həlli eksponensial funksiyadır. Doğum nisbəti ölüm nisbətini () üstələyirsə, əhalinin sayı qeyri-müəyyən və çox sürətlə artır. Aydındır ki, reallıqda bu, məhdud resurslara görə baş verə bilməz. Müəyyən kritik əhali ölçüsünə çatdıqda, model məhdud resursları nəzərə almadığı üçün adekvatlığını dayandırır. Maltus modelinin təkmilləşdirilməsi Verhulst diferensial tənliyi ilə təsvir edilən logistik model ola bilər.

doğum nisbətinin tam olaraq ölüm nisbəti ilə kompensasiya olunduğu "tarazlıq" populyasiya ölçüsü haradadır. Belə bir modeldə əhalinin ölçüsü tarazlıq dəyərinə meyl edir və bu davranış struktur olaraq sabitdir.

Yırtıcı-yırtıcı sistem

Tutaq ki, müəyyən ərazidə iki növ heyvan yaşayır: dovşan (bitki yeyən) və tülkü (dovşan yeyən). Qoy dovşanların sayı, tülkülərin sayı. Dovşanların tülkülər tərəfindən yeməsini nəzərə almaq üçün lazımi düzəlişlərlə Maltus modelindən istifadə edərək, aşağıdakı sistemə çatırıq: modellər Tablalar - Volterra:

Dovşan və tülkülərin sayı sabit olduqda bu sistem tarazlıq vəziyyətinə malikdir. Bu vəziyyətdən kənara çıxma harmonik osilatorun dalğalanmalarına bənzər dovşan və tülkü sayında dalğalanmalarla nəticələnir. Harmonik osilatorda olduğu kimi, bu davranış struktur olaraq sabit deyil: modeldə kiçik bir dəyişiklik (məsələn, dovşanların tələb etdiyi məhdud resursları nəzərə alaraq) davranışın keyfiyyətcə dəyişməsinə səbəb ola bilər. Məsələn, tarazlıq vəziyyəti sabitləşə bilər və ədədlərdəki dalğalanmalar sönəcəkdir. Əks vəziyyət də mümkündür, tarazlıq vəziyyətindən hər hansı bir kiçik sapma, növlərdən birinin tamamilə yox olmasına qədər fəlakətli nəticələrə səbəb olacaqdır. Volterra-Lotka modeli bu ssenarilərdən hansının həyata keçirildiyi sualına cavab vermir: burada əlavə araşdırma tələb olunur.

Qeydlər

“Reallığın riyazi təsviri” (Encyclopaedia Britanica)
Novik I. B., Kibernetik modelləşdirmənin fəlsəfi məsələlərinə dair. M., Bilik, 1964.
Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Sistemlərin modelləşdirilməsi: Proc. universitetlər üçün - 3-cü nəşr, yenidən işlənmiş. və əlavə - M.: Daha yüksək. məktəb, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2
Samarsky A. A., Mixaylov A. P. Riyazi modelləşdirmə. İdeyalar. Metodlar. Nümunələr. - 2-ci nəşr, rev. - M.: Fizmətlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
Mışkis A.D., Riyazi modellər nəzəriyyəsinin elementləri. - 3-cü nəşr, rev. - M.: KomKniga, 2007. - ISBN 978-5-484-00953-4 ilə 192
Sevostyanov, A.G. Texnoloji proseslərin modelləşdirilməsi: dərslik / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostyanov. – M.: İşıq və Qida sənayesi, 1984. - 344 s.
Vikilüğət: riyazi model
CliffsNotes.com. Yer Elmləri Lüğəti. 20 sentyabr 2010-cu il
Çoxölçülü hadisələr üçün model azaldılması və qaba dənəli yanaşmalar, Springer, Mürəkkəblik seriyası, Berlin-Heidelberq-Nyu York, 2006. XII+562 s. ISBN 3-540-35885-4
“Nəzəriyyə hansı riyazi aparatdan - xətti və ya qeyri-xəttidən - və hansı növ xətti və ya qeyri-xətti riyazi modellərdən istifadə etməsindən asılı olaraq xətti və ya qeyri-xətti hesab olunur. ...sonuncunu inkar etmədən. Müasir bir fizik, qeyri-xəttilik kimi vacib bir varlığın tərifini yenidən yaratmalı olsaydı, çox güman ki, fərqli hərəkət edər və iki əksin daha vacib və geniş yayılması kimi qeyri-xəttiliyə üstünlük verərək, xəttiliyi “yox” kimi təyin edərdi. qeyri-xəttilik”. Danilov Yu.A., Qeyri-xətti dinamikadan mühazirələr. Elementar giriş. “Sinergetika: keçmişdən gələcəyə” seriyası. Buraxılış 2. - M.: URSS, 2006. - 208 s. ISBN 5-484-00183-8
“Sonlu sayda adi diferensial tənliklərlə modelləşdirilmiş dinamik sistemlərə konsentrasiyalı və ya nöqtə sistemləri deyilir. Onlar sonlu ölçülü faza fəzasından istifadə etməklə təsvir edilir və sonlu sayda sərbəstlik dərəcələri ilə xarakterizə olunur. Müxtəlif şəraitdə eyni sistem ya cəmlənmiş, ya da paylanmış hesab edilə bilər. Paylanmış sistemlərin riyazi modelləri qismən diferensial tənliklər, inteqral tənliklər və ya adi gecikmə tənlikləridir. Paylanmış sistemin sərbəstlik dərəcələrinin sayı sonsuzdur və onun vəziyyətini müəyyən etmək üçün sonsuz sayda verilənlər tələb olunur”. Anishchenko V. S., Dinamik sistemlər, Soros təhsil jurnalı, 1997, No 11, səh. 77-84.
“S sistemində öyrənilən proseslərin xarakterindən asılı olaraq modelləşdirmənin bütün növlərini deterministik və stoxastik, statik və dinamik, diskret, davamlı və diskret-fasiləsiz bölmək olar. Deterministik modelləşdirmə deterministik prosesləri, yəni hər hansı təsadüfi təsirlərin olmamasının fərz edildiyi prosesləri əks etdirir; stoxastik modelləşdirmə ehtimal prosesləri və hadisələri təsvir edir. ... Statik modelləşdirmə obyektin istənilən andakı davranışını təsvir etməyə xidmət edir, dinamik modelləşdirmə isə obyektin zamanla davranışını əks etdirir. Diskret modelləşdirmə diskret olduğu ehtimal edilən prosesləri təsvir etmək üçün istifadə olunur, davamlı modelləşdirmə sistemlərdə davamlı prosesləri əks etdirməyə imkan verir və diskret-fasiləsiz modelləşdirmə həm diskret, həm də davamlı proseslərin mövcudluğunu vurğulamaq istədikləri hallar üçün istifadə olunur. ” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
Tipik olaraq, riyazi model modelləşdirilən obyektin strukturunu (cihazını), tədqiqat məqsədləri üçün vacib olan bu obyektin komponentlərinin xassələrini və əlaqələrini əks etdirir; belə bir model struktur adlanır. Model yalnız obyektin necə işlədiyini - məsələn, xarici təsirlərə necə reaksiya verdiyini əks etdirirsə, o zaman funksional və ya məcazi mənada qara qutu adlanır. Birləşdirilmiş modellər də mümkündür. Mışkis A.D. ISBN 978-5-484-00953-4
“Aydındır, amma ən vacibi Birinci mərhələ riyazi modelin qurulması və ya seçilməsi qeyri-rəsmi müzakirələr əsasında modelləşdirilən obyekt haqqında mümkün qədər aydın təsəvvür əldə etmək və onun mənalı modelini dəqiqləşdirməkdir. Bu mərhələdə vaxtınızı və səyinizi əsirgəməməlisiniz, bütün tədqiqatın müvəffəqiyyəti əsasən ondan asılıdır. Məsələnin bu tərəfinə yetərincə diqqət yetirilmədiyindən riyazi problemin həllinə sərf olunan əhəmiyyətli işin səmərəsiz qalması, hətta boşa çıxması dəfələrlə baş verib”. Mışkis A.D., Riyazi modellər nəzəriyyəsinin elementləri. - 3-cü nəşr, rev. - M.: KomKniga, 2007. - ISBN 978-5-484-00953-4 ilə 192, s. 35.
« Sistemin konseptual modelinin təsviri. Sistem modelinin qurulmasının bu alt mərhələsində: a) konseptual model M abstrakt termin və anlayışlarla təsvir olunur; b) standart riyazi sxemlərdən istifadə etməklə modelin təsviri verilir; c) fərziyyələr və fərziyyələr nəhayət qəbul edilir; d) modelin qurulması zamanı real proseslərin yaxınlaşması prosedurunun seçilməsi əsaslandırılır.” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Sistemlərin modelləşdirilməsi: Proc. universitetlər üçün - 3-cü nəşr, yenidən işlənmiş. və əlavə - M.: Daha yüksək. məktəb, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2, səh. 93.
Blekhman I. I., Myshkis A. D., Panovko N. G., Tətbiqi riyaziyyat: Mövzu, məntiq, yanaşmaların xüsusiyyətləri. Mexanikadan nümunələrlə: Dərslik. - 3-cü nəşr, rev. və əlavə - M.: URSS, 2006. - 376 s. ISBN 5-484-00163-3, Fəsil 2.

Nəhayət, riyazi modelin ən qısa tərifi: “Bir fikri ifadə edən tənlik».

Modelin təsnifatı

Modellərin formal təsnifatı

Modellərin formal təsnifatı istifadə olunan riyazi vasitələrin təsnifatına əsaslanır. Çox vaxt dixotomiyalar şəklində qurulur. Məsələn, məşhur dixotomiya dəstlərindən biri:

və s. Hər bir qurulmuş model xətti və ya qeyri-xətti, deterministik və ya stoxastik, ... Təbii olaraq, qarışıq tiplər də mümkündür: bir cəhətdən cəmlənmiş (parametrlər baxımından), digərində paylanmış və s.

Obyektin təmsil olunma üsuluna görə təsnifat

Formal təsnifatla yanaşı, modellər obyekti təmsil etmə tərzinə görə fərqlənir:

Struktur və ya funksional modellər

Məzmun və formal modellər

Riyazi modelləşdirmə prosesini təsvir edən demək olar ki, bütün müəlliflər əvvəlcə xüsusi ideal strukturun qurulduğunu, məzmun modeli. Burada müəyyən edilmiş terminologiya yoxdur və digər müəlliflər bu ideal obyekt adlandırırlar konseptual model , spekulyativ model və ya premodel. Bu halda yekun riyazi konstruksiya deyilir formal model və ya sadəcə olaraq verilmiş mənalı modelin (pre-model) rəsmiləşdirilməsi nəticəsində alınan riyazi modeldir. Mənalı modelin qurulması, mexanikada olduğu kimi, hazır ideallaşdırmalar toplusundan istifadə etməklə həyata keçirilə bilər, burada ideal yaylar, sərt cisimlər, ideal sarkaçlar, elastik mühitlər və s. mənalı modelləşdirmə üçün hazır struktur elementləri təmin edir. Bununla belə, tam başa çatmış rəsmiləşdirilmiş nəzəriyyələrin olmadığı bilik sahələrində (fizika, biologiya, iqtisadiyyat, sosiologiya, psixologiya və digər sahələrin çoxu) mənalı modellərin yaradılması kəskin şəkildə çətinləşir.

Modellərin məzmun təsnifatı

Elmdə heç bir fərziyyə birdəfəlik sübut edilə bilməz. Richard Feynman bunu çox açıq şəkildə ifadə etmişdir:

“Bizim hər zaman bir nəzəriyyəni təkzib etmək imkanımız var, lakin qeyd edək ki, onun doğru olduğunu heç vaxt sübut edə bilmərik. Tutaq ki, siz uğurlu bir fərziyyə irəli sürmüsünüz, onun hara apardığını hesablamış və onun bütün nəticələrinin eksperimental olaraq təsdiqləndiyini görmüsünüz. Bu, nəzəriyyənizin doğru olduğu anlamına gəlirmi? Xeyr, bu o deməkdir ki, siz bunu təkzib edə bilməmisiniz”.

Tip 2: Fenomenoloji model (kimi davranırıq…)

Modellər qurarkən sadələşdirmə ideyası çox populyardır. Amma sadələşdirmə müxtəlif formalarda olur. Peierls modelləşdirmədə üç növ sadələşdirməni müəyyən edir.

Növ 3: Təxminən (çox böyük və ya çox kiçik bir şeyi hesab edirik)

Burada bioloji sistemlərin riyazi modellərində geniş yayılmış Tip 8 gəlir.

Növ 8: Xüsusiyyət nümayişi (əsas olan imkanın daxili ardıcıllığını göstərməkdir)

Misal

burada zamana görə ikinci törəmə deməkdir: .

Alınan tənlik nəzərdən keçirilən fiziki sistemin riyazi modelini təsvir edir. Bu model "harmonik osilator" adlanır.

Sərt və yumşaq modellər

Budur, sürtünmə qüvvəsini və ya yayın sərtlik əmsalının onun uzanma dərəcəsindən asılılığını nəzərə ala biləcək bəzi funksiyalar - bəzi kiçik parametrlər. Bizi hazırda funksiyanın açıq forması maraqlandırmır. Yumşaq modelin davranışının sərt olanın davranışından əsaslı şəkildə fərqlənmədiyini sübut etsək (narahat edən amillərin açıq növündən asılı olmayaraq, əgər onlar kifayət qədər kiçikdirlərsə), problem sərt modeli öyrənməyə qədər azalacaq. Əks halda, sərt modelin öyrənilməsindən əldə edilən nəticələrin tətbiqi əlavə tədqiqat tələb edəcəkdir. Məsələn, harmonik osilatorun tənliyinin həlli formanın funksiyalarıdır, yəni sabit amplituda olan salınımlar. Bundan belə nəticə çıxır ki, həqiqi osilator sabit amplituda ilə qeyri-müəyyən müddətə salınacaq? Xeyr, çünki ixtiyari olaraq kiçik sürtünmə qabiliyyətinə malik sistemi (həmişə real sistemdə mövcuddur) nəzərə alsaq, sönümlü salınımlar alırıq. Sistemin davranışı keyfiyyətcə dəyişdi.

Modellərin çox yönlü olması

Ən vacib riyazi modellər adətən mühüm xüsusiyyətə malikdir çox yönlülük: Prinsipcə fərqli real hadisələr eyni riyazi modellə təsvir edilə bilər. Məsələn, harmonik osilator təkcə yaydakı yükün davranışını deyil, həm də çox vaxt tamamilə fərqli xarakter daşıyan digər salınım proseslərini təsvir edir: sarkacın kiçik salınımları, A formalı qabda maye səviyyəsindəki dalğalanmalar. , və ya salınan dövrədə cərəyan gücünün dəyişməsi. Beləliklə, bir riyazi modeli öyrənməklə, onun təsvir etdiyi hadisələrin bütün sinfini dərhal öyrənirik. Məhz elmi biliyin müxtəlif seqmentlərində riyazi modellərlə ifadə olunan qanunların bu izomorfizmi Lüdviq fon Bertalanfini “Sistemlərin Ümumi Nəzəriyyəsi”ni yaratmağa ilhamlandırdı.

Riyazi modelləşdirmənin birbaşa və tərs məsələləri

Ənənəvi olaraq, riyazi modellərlə əlaqəli iki əsas problem sinfi var: birbaşa və tərs.

Birbaşa tapşırıq: modelin strukturu və onun bütün parametrləri məlum hesab edilir, əsas vəzifə obyekt haqqında faydalı biliklər çıxarmaq üçün modelin tədqiqini aparmaqdır. Körpü hansı statik yükə tab gətirəcək? Dinamik yükə necə reaksiya verəcək (məsələn, bir əsgər şirkətinin yürüşü və ya müxtəlif sürətlə qatarın keçməsi), təyyarənin səs maneəsini necə keçəcəyi, çırpınmadan dağılacaqmı - bunlar birbaşa problemin tipik nümunələridir. Düzgün birbaşa problemin qoyulması (düzgün sualın verilməsi) xüsusi bacarıq tələb edir. Düzgün suallar verilməsə, körpünün davranışı üçün yaxşı bir model qurulsa belə, çökə bilər. Belə ki, 1879-cu ildə Böyük Britaniyada Tay çayı üzərindən keçən metal körpü uçdu, onun dizaynerləri körpünün maketini düzəltmiş, onu faydalı yükün hərəkəti üçün 20 qat təhlükəsizlik əmsalına malik olduğunu hesablamış, lakin küləkləri unutmuşlar. o yerlərdə daim əsən. Və bir il yarımdan sonra dağıldı.

Ən sadə halda (məsələn, bir osilator tənliyi) birbaşa məsələ çox sadədir və bu tənliyin açıq həllinə qədər azalır.

Tərs problem: bir çox mümkün modellər məlumdur, obyekt haqqında əlavə məlumatlar əsasında konkret model seçilməlidir. Çox vaxt modelin strukturu məlumdur və bəzi naməlum parametrləri müəyyən etmək lazımdır. Əlavə məlumat əlavə empirik məlumatlardan və ya obyekt üçün tələblərdən ibarət ola bilər ( dizayn problemi). Tərs məsələnin həlli prosesindən asılı olmayaraq əlavə məlumatlar gələ bilər ( passiv müşahidə) və ya həll zamanı xüsusi olaraq planlaşdırılan təcrübənin nəticəsi ola bilər ( aktiv müşahidə).

Kompüter simulyasiya sistemləri

Riyazi modelləşdirməni dəstəkləmək üçün kompüter riyaziyyat sistemləri hazırlanmışdır, məsələn, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim və s. Onlar həm sadə, həm də mürəkkəb proseslərin və cihazların formal və blok modellərini yaratmağa və proses zamanı model parametrlərini asanlıqla dəyişməyə imkan verir. modelləşdirmə. Blok modelləri bloklarla təmsil olunur (ən çox qrafik), dəsti və əlaqəsi model diaqramı ilə müəyyən edilir.

Əlavə nümunələr

Maltus modeli

Artım tempi mövcud əhalinin sayına mütənasibdir. Diferensial tənliklə təsvir edilmişdir

Yırtıcı-yırtıcı sistem

Qeydlər

“Reallığın riyazi təsviri” (Encyclopaedia Britanica)
Novik I. B., Kibernetik modelləşdirmənin fəlsəfi məsələlərinə dair. M., Bilik, 1964.
Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Sistemlərin modelləşdirilməsi: Proc. universitetlər üçün - 3-cü nəşr, yenidən işlənmiş. və əlavə - M.: Daha yüksək. məktəb, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2
Samarsky A. A., Mixaylov A. P. Riyazi modelləşdirmə. İdeyalar. Metodlar. Nümunələr. - 2-ci nəşr, rev. - M.: Fizmətlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
Mışkis A.D., Riyazi modellər nəzəriyyəsinin elementləri. - 3-cü nəşr, rev. - M.: KomKniga, 2007. - ISBN 978-5-484-00953-4 ilə 192
Sevostyanov, A.G. Texnoloji proseslərin modelləşdirilməsi: dərslik / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostyanov. – M.: Yüngül və qida sənayesi, 1984. - 344 s.
Vikilüğət: riyazi model
CliffsNotes.com. Yer Elmləri Lüğəti. 20 sentyabr 2010-cu il
Çoxölçülü hadisələr üçün model azaldılması və qaba dənəli yanaşmalar, Springer, Mürəkkəblik seriyası, Berlin-Heidelberq-Nyu York, 2006. XII+562 s. ISBN 3-540-35885-4
“Nəzəriyyə hansı riyazi aparatdan - xətti və ya qeyri-xəttidən - və hansı növ xətti və ya qeyri-xətti riyazi modellərdən istifadə etməsindən asılı olaraq xətti və ya qeyri-xətti hesab olunur. ...sonuncunu inkar etmədən. Müasir bir fizik, qeyri-xəttilik kimi vacib bir varlığın tərifini yenidən yaratmalı olsaydı, çox güman ki, fərqli hərəkət edər və iki əksin daha vacib və geniş yayılması kimi qeyri-xəttiliyə üstünlük verərək, xəttiliyi “yox” kimi təyin edərdi. qeyri-xəttilik”. Danilov Yu.A., Qeyri-xətti dinamikadan mühazirələr. Elementar giriş. “Sinergetika: keçmişdən gələcəyə” seriyası. Buraxılış 2. - M.: URSS, 2006. - 208 s. ISBN 5-484-00183-8
“Sonlu sayda adi diferensial tənliklərlə modelləşdirilmiş dinamik sistemlərə konsentrasiyalı və ya nöqtə sistemləri deyilir. Onlar sonlu ölçülü faza fəzasından istifadə etməklə təsvir edilir və sonlu sayda sərbəstlik dərəcələri ilə xarakterizə olunur. Müxtəlif şəraitdə eyni sistem ya cəmlənmiş, ya da paylanmış hesab edilə bilər. Paylanmış sistemlərin riyazi modelləri qismən diferensial tənliklər, inteqral tənliklər və ya adi gecikmə tənlikləridir. Paylanmış sistemin sərbəstlik dərəcələrinin sayı sonsuzdur və onun vəziyyətini müəyyən etmək üçün sonsuz sayda verilənlər tələb olunur”. Anishchenko V. S., Dinamik sistemlər, Soros təhsil jurnalı, 1997, No 11, səh. 77-84.
“S sistemində öyrənilən proseslərin xarakterindən asılı olaraq modelləşdirmənin bütün növlərini deterministik və stoxastik, statik və dinamik, diskret, davamlı və diskret-fasiləsiz bölmək olar. Deterministik modelləşdirmə deterministik prosesləri, yəni hər hansı təsadüfi təsirlərin olmamasının fərz edildiyi prosesləri əks etdirir; stoxastik modelləşdirmə ehtimal prosesləri və hadisələri təsvir edir. ... Statik modelləşdirmə obyektin istənilən andakı davranışını təsvir etməyə xidmət edir, dinamik modelləşdirmə isə obyektin zamanla davranışını əks etdirir. Diskret modelləşdirmə diskret olduğu ehtimal edilən prosesləri təsvir etmək üçün istifadə olunur, davamlı modelləşdirmə sistemlərdə davamlı prosesləri əks etdirməyə imkan verir və diskret-fasiləsiz modelləşdirmə həm diskret, həm də davamlı proseslərin mövcudluğunu vurğulamaq istədikləri hallar üçün istifadə olunur. ” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
Tipik olaraq, riyazi model modelləşdirilən obyektin strukturunu (cihazını), tədqiqat məqsədləri üçün vacib olan bu obyektin komponentlərinin xassələrini və əlaqələrini əks etdirir; belə bir model struktur adlanır. Model yalnız obyektin necə işlədiyini - məsələn, xarici təsirlərə necə reaksiya verdiyini əks etdirirsə, o zaman funksional və ya məcazi mənada qara qutu adlanır. Birləşdirilmiş modellər də mümkündür. Mışkis A.D. ISBN 978-5-484-00953-4
“Riyazi modelin qurulmasının və ya seçilməsinin aşkar, lakin ən vacib ilkin mərhələsi, qeyri-rəsmi müzakirələr əsasında modelləşdirilən obyekt haqqında mümkün qədər aydın təsəvvür əldə etmək və onun mənalı modelini dəqiqləşdirməkdir. Bu mərhələdə vaxtınızı və səyinizi əsirgəməməlisiniz, bütün tədqiqatın müvəffəqiyyəti əsasən ondan asılıdır. Məsələnin bu tərəfinə yetərincə diqqət yetirilmədiyindən riyazi problemin həllinə sərf olunan əhəmiyyətli işin səmərəsiz qalması, hətta boşa çıxması dəfələrlə baş verib”. Mışkis A.D., Riyazi modellər nəzəriyyəsinin elementləri. - 3-cü nəşr, rev. - M.: KomKniga, 2007. - ISBN 978-5-484-00953-4 ilə 192, s. 35.
« Sistemin konseptual modelinin təsviri. Sistem modelinin qurulmasının bu alt mərhələsində: a) konseptual model M abstrakt termin və anlayışlarla təsvir olunur; b) standart riyazi sxemlərdən istifadə etməklə modelin təsviri verilir; c) fərziyyələr və fərziyyələr nəhayət qəbul edilir; d) modelin qurulması zamanı real proseslərin yaxınlaşması prosedurunun seçilməsi əsaslandırılır.” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Sistemlərin modelləşdirilməsi: Proc. universitetlər üçün - 3-cü nəşr, yenidən işlənmiş. və əlavə - M.: Daha yüksək. məktəb, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2, səh. 93.
Blekhman I. I., Myshkis A. D., Panovko N. G., Tətbiqi riyaziyyat: Mövzu, məntiq, yanaşmaların xüsusiyyətləri. Mexanikadan nümunələrlə: Dərslik. - 3-cü nəşr, rev. və əlavə - M.: URSS, 2006. - 376 s. ISBN 5-484-00163-3, Fəsil 2.

Riyazi modellər

Riyazi model - təxmini opiistifadə edərək ifadə olunan modelləşdirmə obyektinin mənasıriyazi simvolizm.

Riyaziyyatla yanaşı riyazi modellər də bir çox əsrlər əvvəl yaranmışdır. Kompüterlərin meydana gəlməsi riyazi modelləşdirmənin inkişafına böyük təkan verdi. Kompüterlərin istifadəsi əvvəllər analitik tədqiqat üçün uyğun olmayan bir çox riyazi modelləri təhlil etməyə və praktikada tətbiq etməyə imkan verdi. Riyazi olaraq kompüterdə həyata keçirilirsəma modeliçağırdı kompüter riyazi modeli, A kompüter modelindən istifadə etməklə məqsədyönlü hesablamaların aparılmasıçağırdı hesablama təcrübəsi.

Kompüter riyaziyyat elminin mərhələləribölməşəkildə göstərilmişdir. Birincimərhələ - modelləşdirmə məqsədlərini müəyyən etmək. Bu məqsədlər fərqli ola bilər:

konkret obyektin necə işlədiyini, strukturunun nə olduğunu, əsas xassələrini, inkişaf qanunlarını və qarşılıqlı təsirini başa düşmək üçün model lazımdır.
xarici dünya ilə (anlayış);
obyekti (və ya prosesi) idarə etməyi və müəyyən etməyi öyrənmək üçün model lazımdır ən yaxşı yollar verilmiş məqsəd və meyarlarla idarəetmə (idarəetmə);
model obyektə təsirin (proqnozlaşdırma) verilmiş üsul və formalarının həyata keçirilməsinin birbaşa və dolayı nəticələrini proqnozlaşdırmaq üçün lazımdır.

Nümunələrlə izah edək. Tədqiqat obyekti maye və ya qaz axınının bu axına maneə olan cisimlə qarşılıqlı təsiri olsun. Təcrübə göstərir ki, bədənin bir hissəsində axmağa müqavimət qüvvəsi artan axın sürəti ilə artır, lakin kifayət qədər yüksək sürətdə bu qüvvə sürətin daha da artması ilə yenidən artmaq üçün kəskin şəkildə azalır. Müqavimət qüvvəsinin azalmasına nə səbəb oldu? Riyazi modelləşdirmə bizə aydın cavab almağa imkan verir: müqavimətin kəskin azalması anında, maye və ya qaz axınında rasional cismin arxasında əmələ gələn burulğanlar ondan qopmağa başlayır və axın tərəfindən aparılır.

Tamamilə fərqli bir ərazidən bir nümunə: sabit saylarla dinc yanaşı yaşayan və ümumi qida ehtiyatına malik olan iki növ fərdlərin populyasiyaları "birdən" öz saylarını kəskin şəkildə dəyişməyə başlayır. Və burada riyazi modelləşdirmə (müəyyən dərəcədə etibarlılıqla) səbəbi (və ya ən azı müəyyən bir fərziyyəni təkzib edin).

Obyektin idarə edilməsi üçün konsepsiyanın hazırlanması modelləşdirmənin başqa bir mümkün məqsədidir. Uçuşun təhlükəsiz və iqtisadi cəhətdən ən sərfəli olmasını təmin etmək üçün hansı təyyarənin uçuş rejimini seçməliyəm? Yüzlərlə tikinti işini necə planlaşdırmaq olar böyük obyekt mümkün qədər tez başa çatması üçün qısa müddət? İqtisadçıların, dizaynerlərin və alimlərin qarşısında sistematik olaraq bir çox belə problemlər yaranır.

Nəhayət, obyektə müəyyən təsirlərin nəticələrinin proqnozlaşdırılması həm sadə fiziki sistemlərdə nisbətən sadə məsələ, həm də bioloji, iqtisadi və sosial sistemlərdə son dərəcə mürəkkəb - fizibilite ərəfəsində ola bilər. Tərkibindəki ərintinin dəyişməsi ilə əlaqədar nazik çubuqda istilik paylama rejiminin dəyişməsi ilə bağlı suala cavab vermək nisbətən asandırsa, böyük bir çubuqun tikintisinin ekoloji və iqlim nəticələrini izləmək (proqnozlaşdırmaq) nisbətən asandır. su elektrik stansiyası və ya sosial nəticələr vergi qanunvericiliyində dəyişikliklər müqayisə olunmayacaq dərəcədə çətindir. Ola bilsin ki, burada da riyazi modelləşdirmə üsulları gələcəkdə daha əhəmiyyətli köməklik göstərəcək.

İkinci mərhələ: modelin giriş və çıxış parametrlərinin müəyyən edilməsi; giriş parametrlərinin onların dəyişməsinin çıxışa təsirinin vaciblik dərəcəsinə görə bölünməsi. Bu proses sıralama və ya dərəcəyə görə ayırma adlanır (bax. “Rəsmiləşdirməmodelləşdirmə və modelləşdirmə").

Üçüncü mərhələ: riyazi modelin qurulması. Bu mərhələdə modelin mücərrəd formalaşdırılmasından konkret riyazi təsvirə malik olan tərtibata keçid baş verir. Riyazi model tənliklər, tənliklər sistemləri, bərabərsizliklər sistemləri, diferensial tənliklər və ya belə tənliklər sistemləri və s.

Dördüncü mərhələ: riyazi modeli öyrənmək üçün metodun seçilməsi. Çox vaxt burada proqramlaşdırmaya yaxşı kömək edən ədədi üsullardan istifadə olunur. Bir qayda olaraq, eyni problemi həll etmək üçün bir neçə üsul uyğundur, dəqiqliyi, sabitliyi və s. From düzgün seçim metod çox vaxt bütün modelləşdirmə prosesinin uğurundan asılıdır.

Beşinci mərhələ: alqoritmin işlənib hazırlanması, kompüter proqramının tərtibi və sazlanması rəsmiləşdirilməsi çətin bir prosesdir. Proqramlaşdırma dilləri arasında bir çox peşəkar riyazi modelləşdirmə üçün FORTRAN-a üstünlük verir: həm ənənələrə görə, həm də tərtibçilərin misilsiz səmərəliliyinə görə (hesablama işləri üçün) və orada yazılmış nəhəng, diqqətlə düzəldilmiş və optimallaşdırılmış kitabxanaların mövcudluğu səbəbindən. standart proqramlar riyazi üsullar. Tapşırığın xarakterindən və proqramçının meylindən asılı olaraq PASCAL, BASIC, C kimi dillər də istifadə olunur.

Altıncı mərhələ: proqram testi. Proqramın işləməsi əvvəllər məlum cavabı olan test problemi üzərində yoxlanılır. Bu, formal olaraq hərtərəfli təsvir etmək çətin olan sınaq prosedurunun yalnız başlanğıcıdır. Bir qayda olaraq, istifadəçi peşəkar xüsusiyyətlərinə əsaslanaraq proqramı düzgün hesab etdikdə sınaq başa çatır.

Yeddinci mərhələ: faktiki hesablama təcrübəsi, onun zamanı modelin real obyektə (prosesə) uyğun olub-olmaması müəyyən edilir. EHM-də alınan prosesin bəzi xarakteristikaları verilmiş dəqiqlik dərəcəsi ilə eksperimental olaraq alınmış xarakteristikalarla üst-üstə düşərsə, model real prosesə kifayət qədər adekvatdır. Model real prosesə uyğun gəlmirsə, əvvəlki mərhələlərdən birinə qayıdırıq.

Riyazi modellərin təsnifatı

Riyazi modellərin təsnifatı müxtəlif prinsiplərə əsaslana bilər. Modelləri elm sahələrinə görə təsnif edə bilərsiniz (fizika, biologiya, sosiologiya və s. riyazi modellər). İstifadə olunan riyazi aparata görə təsnif edilə bilər (adi diferensial tənliklərin, qismən diferensial tənliklərin, stoxastik metodların, diskret cəbri çevrilmələrin və s. istifadəsinə əsaslanan modellər). Nəhayət, əsasında ümumi vəzifələr Müxtəlif elmlərdə modelləşdirmə, riyazi aparatdan asılı olmayaraq, ən təbii təsnifatdır:

təsviri (təsviri) modelləri;
optimallaşdırma modelləri;
multikriteriyalı modellər;
oyun modelləri.

Bunu misallarla izah edək.

Təsviri (təsviri) modellər. Məsələn, işğal edən kometin hərəkətinin modelləşdirilməsi günəş sistemi, onun uçuş yolunu, Yerdən keçəcəyi məsafəni və s. proqnozlaşdırmaq məqsədi ilə edilir. Bu vəziyyətdə, modelləşdirmə məqsədləri təsvir xarakteri daşıyır, çünki kometin hərəkətinə təsir etmək və ya içindəki hər hansı bir şeyi dəyişdirmək üçün heç bir yol yoxdur.

Optimallaşdırma modelləri müəyyən bir məqsədə nail olmaq cəhdində təsir edilə bilən prosesləri təsvir etmək üçün istifadə olunur. Bu halda, modelə təsir edə bilən bir və ya bir neçə parametr daxildir. Məsələn, taxıl anbarında istilik rejimini dəyişdirərkən, maksimum taxıl təhlükəsizliyinə nail olacaq bir rejim seçmək məqsədini təyin edə bilərsiniz, yəni. saxlama prosesini optimallaşdırın.

Multikriteriyalı modellər. Tez-tez bir prosesi eyni vaxtda bir neçə parametr üzrə optimallaşdırmaq lazımdır və məqsədlər olduqca ziddiyyətli ola bilər. Məsələn, ərzağın qiymətlərini və insanın qidaya olan tələbatını bilərək, insanların böyük qruplarının (orduda, uşaq yay düşərgəsində və s.) qidalanmasını fizioloji cəhətdən düzgün və eyni zamanda, ən ucuz qiymətə təşkil etmək lazımdır. mümkündür. Aydındır ki, bu məqsədlər heç də üst-üstə düşmür, yəni. Modelləşdirmə zamanı bir neçə meyar istifadə ediləcək, bunlar arasında balans axtarmaq lazımdır.

Oyun modelləri ilə bağlı ola bilməz Kompüter oyunları, həm də çox ciddi şeylərə. Məsələn, döyüşdən əvvəl komandir, əgər qarşı tərəfin ordusu haqqında natamam məlumat varsa, bir plan hazırlamalıdır: düşmənin mümkün reaksiyasını nəzərə alaraq müəyyən birlikləri döyüşə hansı ardıcıllıqla daxil etmək və s. Müasir riyaziyyatın natamam məlumat şəraitində qərar qəbul etmə üsullarını öyrənən xüsusi bir sahəsi - oyun nəzəriyyəsi var.

Məktəbin informatika kursunda tələbələr əsas kursun bir hissəsi kimi kompüter riyazi modelləşdirmə haqqında ilkin anlayış alırlar. Orta məktəbdə riyazi modelləşdirmə fizika və riyaziyyat sinifləri üçün ümumi təhsil kursunda, eləcə də ixtisaslaşdırılmış seçmə kursun bir hissəsi kimi dərindən öyrənilə bilər.

Orta məktəbdə kompüter riyazi modelləşdirmənin tədrisinin əsas formaları mühazirə, laboratoriya və sınaq dərsləridir. Tipik olaraq, hər bir yeni modeli yaratmaq və öyrənmək üçün hazırlıq işi 3-4 dərs alır. Materialın təqdimatı zamanı şagirdlərin gələcəkdə müstəqil həll etməli olduqları problemlər qoyulur və onların həlli yolları ümumi şəkildə göstərilir. Suallar tərtib edilir, cavabları tapşırıqları yerinə yetirərkən alınmalıdır. Göstərilmiş əlavə ədəbiyyat, bu, tapşırıqların daha uğurla yerinə yetirilməsi üçün köməkçi məlumat əldə etməyə imkan verir.

Yeni materialın öyrənilməsi zamanı dərslərin təşkili forması adətən mühazirə olur. Növbəti modelin müzakirəsini tamamladıqdan sonra tələbələr onların ixtiyarında zəruri nəzəri məlumat və gələcək iş üçün bir sıra tapşırıqlar var. Tapşırığı yerinə yetirməyə hazırlaşarkən, tələbələr uyğun həll metodunu seçir və bəzi tanınmış şəxsi həlldən istifadə edərək hazırlanmış proqramı sınaqdan keçirirlər. Tapşırıqları yerinə yetirərkən kifayət qədər mümkün çətinliklər yarandıqda məsləhətlər verilir və bu bölmələrin ədəbi mənbələrdə daha ətraflı öyrənilməsi təklifi verilir.

Kompüter modelləşdirməsinin tədrisinin praktiki hissəsi üçün ən uyğun olanı layihə üsuludur. Tapşırıq tələbə üçün təhsil layihəsi şəklində tərtib edilir və əsas olmaqla bir neçə dərsdə tamamlanır təşkilati forma Buraya kompüter laboratoriyası işləri daxildir. Təhsil layihələri metodundan istifadə edərək modelləşdirmənin tədrisi həyata keçirilə bilər müxtəlif səviyyələrdə. Birincisi, müəllimin rəhbərlik etdiyi layihənin tamamlanması prosesinin problemli təqdimatıdır. İkincisi, layihənin müəllimin rəhbərliyi altında tələbələr tərəfindən həyata keçirilməsidir. Üçüncüsü, tələbələrin təhsil tədqiqat layihəsini müstəqil şəkildə tamamlamasıdır.

İşin nəticələri ədədi formada, qrafik və diaqram şəklində təqdim edilməlidir. Mümkünsə proses kompüter ekranında dinamikada təqdim olunur. Hesablamalar başa çatdıqdan və nəticələr alındıqdan sonra onlar təhlil edilir, nəzəriyyədən məlum faktlarla müqayisə edilir, etibarlılıq təsdiqlənir və sonradan yazılı hesabatda əks olunan mənalı şərh aparılır.

Nəticələr şagirdi və müəllimi qane edirsə, deməli iş sayır tamamlanır və onun yekun mərhələsi hesabatın hazırlanmasıdır. Məruzədə tədqiq olunan mövzu üzrə qısa nəzəri məlumat, məsələnin riyazi tərtibi, həll alqoritmi və onun əsaslandırılması, kompüter proqramı, proqramın nəticələri, nəticələrin və nəticələrin təhlili, ədəbiyyat siyahısı daxildir.

Bütün hesabatlar tərtib edildikdən sonra tələbələr öz hesabatlarını təqdim edirlər qısa mesajlar görülən işlər haqqında, öz layihəsini müdafiə edir. Budur təsirli forma layihəni həyata keçirən qrupun sinif qarşısında hesabatı, o cümlədən problemin qoyulması, formal modelin qurulması, modellə işləmə üsullarının seçilməsi, modelin kompüterdə həyata keçirilməsi, hazır modellə işləmə, nəticələrin şərhi, proqnozlaşdırılması. Nəticədə tələbələr iki qiymət ala bilərlər: birincisi - layihənin işlənib hazırlanmasına və onun müdafiəsinin müvəffəqiyyətinə görə, ikincisi - proqrama, onun alqoritminin, interfeysinin optimallığına və s. Tələbələr nəzəri testlər zamanı da qiymətlər alırlar.

Əsas sual ondan ibarətdir ki, məktəb kompüter elmləri kursunda riyazi modelləşdirmə üçün hansı vasitələrdən istifadə edilməlidir? Modellərin kompüter tətbiqi həyata keçirilə bilər:

elektron cədvəl prosessorundan istifadə (adətən MS Excel);
ənənəvi proqramlaşdırma dillərində (Pascal, BASIC və s.), eləcə də onların müasir versiyalarında (Delphi, Visual) proqramlar yaratmaqla
Tətbiq üçün əsas və s.);
riyazi məsələlərin həlli üçün xüsusi proqram paketlərindən istifadə etməklə (MathCAD və s.).

Əsas məktəb səviyyəsində birinci üsula daha çox üstünlük verildiyi görünür. Bununla belə, in Ali məktəb Proqramlaşdırma, modelləşdirmə ilə yanaşı, kompüter elmində əsas mövzu olduqda, ondan modelləşdirmə vasitəsi kimi istifadə etmək məqsədəuyğundur. Proqramlaşdırma prosesi zamanı riyazi prosedurların təfərrüatları tələbələr üçün əlçatan olur; Üstəlik, onları sadəcə mənimsəməyə məcbur edirlər və bu da riyazi təhsilə töhfə verir. Xüsusi proqram paketlərinin istifadəsinə gəldikdə, bu, digər vasitələrə əlavə olaraq ixtisaslaşdırılmış kompüter elmləri kursunda uyğundur.

Məşq edin :

Əsas anlayışların diaqramını qurun.

Modelin təsnifatı

Modellərin formal təsnifatı

Obyektin təmsil olunma üsuluna görə təsnifat

Məzmun və formal modellər

Modellərin məzmun təsnifatı

Tip 2: Fenomenoloji model (kimi davranırıq…)

Növ 3: Təxminən (çox böyük və ya çox kiçik bir şeyi hesab edirik)

Növ 8: Xüsusiyyət nümayişi (əsas olan imkanın daxili ardıcıllığını göstərməkdir)

Misal

Sərt və yumşaq modellər

Modellərin çox yönlü olması

Riyazi modelləşdirmənin birbaşa və tərs məsələləri

Kompüter simulyasiya sistemləri

Əlavə nümunələr

Maltus modeli

Yırtıcı-yırtıcı sistem

Qeydlər

Modelin təsnifatı

Modellərin formal təsnifatı

Obyektin təmsil olunma üsuluna görə təsnifat

Məzmun və formal modellər

Modellərin məzmun təsnifatı

Tip 2: Fenomenoloji model (kimi davranırıq…)

Növ 3: Təxminən (çox böyük və ya çox kiçik bir şeyi hesab edirik)

Növ 8: Xüsusiyyət nümayişi (əsas olan imkanın daxili ardıcıllığını göstərməkdir)

Misal

Sərt və yumşaq modellər

Modellərin çox yönlü olması

Riyazi modelləşdirmənin birbaşa və tərs məsələləri

Kompüter simulyasiya sistemləri

Əlavə nümunələr

Maltus modeli

Yırtıcı-yırtıcı sistem

Qeydlər

Redaktor seçimi