Viimeisellä videotunnilla opimme, että tietyn kantaluvun aste on lauseke, joka edustaa kantaluvun tuloa itsestään, otettuna eksponenttia vastaavana määränä. Tarkastellaan nyt joitain valtuuksien tärkeimpiä ominaisuuksia ja toimintoja.

Kerrotaan esimerkiksi kaksi eri potenssia samalla kantalla:

Esitellään tämä teos kokonaisuudessaan:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Laskettuaan tämän lausekkeen arvon saamme luvun 32. Toisaalta, kuten samasta esimerkistä voidaan nähdä, 32 voidaan esittää saman kantaluvun tulona (kaksi otettuna 5 kertaa). Ja todellakin, jos lasket sen, niin:

Voimme siis luottavaisesti päätellä, että:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Tämä sääntö toimii onnistuneesti kaikilla indikaattoreilla ja syillä. Tämä potenssin kertolaskuominaisuus seuraa säännöstä, että lausekkeiden merkitys säilyy muunnoksen aikana tulossa. Jokaiselle kantalle a kahden lausekkeen (a)x ja (a)y tulo on yhtä suuri kuin a(x + y). Toisin sanoen, kun tuotetaan mitä tahansa lausekkeita, joilla on sama kanta, tuloksena olevalla monomilla on kokonaisaste, joka muodostetaan lisäämällä ensimmäisen ja toisen lausekkeen asteet.

Esitetty sääntö toimii hyvin myös useiden lausekkeiden kertomisessa. Pääehto on, että kaikilla on samat perusteet. Esimerkiksi:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

On mahdotonta lisätä asteita, ja todellakin tehdä mitään valtapohjaisia ​​yhteistoimia kahdella lausekkeen elementillä, jos niiden perusteet ovat erilaiset.
Kuten videomme osoittaa, kerto- ja jakoprosessien samankaltaisuuden vuoksi tuotteen tehojen lisäämissäännöt siirtyvät täydellisesti jakomenettelyyn. Harkitse tätä esimerkkiä:

Suoritetaan lauseen muunnos termi kerrallaan muotoon täysi näkymä ja vähennä samoja elementtejä osinko- ja jakajaosassa:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Tämän esimerkin lopputulos ei ole niin mielenkiintoinen, koska jo ratkaisuprosessissa on selvää, että lausekkeen arvo on yhtä suuri kuin kahden neliö. Ja se on kaksi, joka saadaan vähentämällä toisen lausekkeen aste ensimmäisen asteesta.

Osamäärän asteen määrittämiseksi on välttämätöntä vähentää jakajan aste osingon asteesta. Sääntö toimii samalla pohjalla kaikille sen arvoille ja kaikille luonnonvoimille. Abstraktion muodossa meillä on:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Säännöstä, jonka mukaan identtiset kantat jaetaan asteilla, seuraa nolla-asteen määritelmä. Ilmeisesti seuraava lauseke näyttää tältä:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

Toisaalta, jos teemme jaon visuaalisella tavalla, saamme:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Kun murto-osan kaikkia näkyviä alkioita vähennetään, saadaan aina lauseke 1/1, eli yksi. Siksi on yleisesti hyväksyttyä, että mikä tahansa nollatehoon korotettu kanta on yhtä suuri kuin yksi:

A:n arvosta riippumatta.

Olisi kuitenkin järjetöntä, jos 0 (joka silti antaa 0:n mille tahansa kertolaskulle) on jotenkin yhtä suuri kuin yksi, joten muodon (0) 0 (nollasta nollan potenssiin) lausekkeessa ei yksinkertaisesti ole järkeä, ja kaavalle ( a) 0 = 1 lisää ehto: "jos a ei ole 0."

Ratkaistaan ​​harjoitus. Etsitään lausekkeen arvo:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Koska kanta on sama kaikkialla ja yhtä suuri kuin 34, lopullisella arvolla on sama kanta asteella (yllä olevien sääntöjen mukaisesti):

Toisin sanoen:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Vastaus: lauseke on yhtä suuri kuin yksi.

Oppitunti aiheesta: "Kerto- ja valtuuksien jaon säännöt samalla ja eri eksponenteilla. Esimerkkejä"

Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommenttisi, arvostelusi, toiveesi. Kaikki materiaalit on tarkistettu virustorjuntaohjelmalla.

Opetusvälineet ja simulaattorit Integral-verkkokaupassa 7. luokalle
Käsikirja oppikirjalle Yu.N. Makarycheva käsikirja oppikirjalle, kirjoittanut A.G. Mordkovich

Oppitunnin tarkoitus: Opi suorittamaan operaatioita lukujen potenssien kanssa.

Ensin muistetaan käsite "luvun voima". Muotoa $\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n)$ oleva lauseke voidaan esittää muodossa $a^n$.

Päinvastoin on myös totta: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Tätä yhtäläisyyttä kutsutaan "tutkinnon kirjaamiseksi tuotteeksi". Se auttaa meitä päättämään, kuinka voimia moninkertaistaa ja jakaa.
Muistaa:
a– tutkinnon perusteet.
n– eksponentti.
Jos n = 1, mikä tarkoittaa numeroa A otti kerran ja vastaavasti: $a^n= 1$.
Jos n = 0, sitten $a^0= 1$.

Voimme selvittää, miksi näin tapahtuu, kun tutustumme valtuuksien kertolasku- ja jakosääntöihin.

Kertolaskusäännöt

Esimerkki.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Tätä ominaisuutta on kätevä käyttää yksinkertaistamaan työtä nostettaessa lukua suurempaan tehoon.
Esimerkki.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Jos asteet, joilla on eri kanta, mutta sama eksponentti kerrotaan.
Saadaksesi $a^n * b^n$, kirjoitamme asteet tulona: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m )$.
Jos vaihdamme tekijät ja laskemme tuloksena olevat parit, saamme: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Joten $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Esimerkki.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Jakosäännöt

Eli tarvitsemme $\frac(a^n)(a^m)$, Missä n>m.

Kirjoitetaan asteet murtolukuna:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Nyt vähennetään murto-osaa.

Osoittautuu: $\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
tarkoittaa, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Tämä ominaisuus auttaa selittämään tilanteen nostamalla numero nollatehoon. Oletetaan, että n=m, niin $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Esimerkkejä.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Tutkinnon perusteet ovat erilaisia, indikaattorit ovat samat.
Oletetaan, että $\frac(a^n)(b^n)$ on välttämätön. Kirjoitetaan lukujen potenssit murtoluvuiksi:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Esimerkki.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Tehtyjen yhteen- ja vähennyslasku

On selvää, että lukuja, joilla on potenssit, voidaan lisätä muiden suureiden tapaan , lisäämällä ne peräkkäin merkeineen.

Joten a 3:n ja b 2:n summa on a 3 + b 2.
A 3 - b n ja h 5 - d 4 summa on a 3 - b n + h 5 - d 4.

Kertoimet identtisten muuttujien yhtäläiset potenssit voidaan lisätä tai vähentää.

Joten 2a 2:n ja 3a 2:n summa on yhtä suuri kuin 5a 2.

On myös selvää, että jos otat kaksi ruutua a, kolme ruutua a tai viisi ruutua a.

Mutta asteet erilaisia ​​muuttujia Ja erilaisia ​​tutkintoja identtiset muuttujat, on laadittava lisäämällä ne merkkeineen.

Joten 2:n ja 3:n summa on 2 + 3:n summa.

On selvää, että a:n neliö ja a:n kuutio eivät ole yhtä kuin kaksi kertaa a:n neliö, mutta kaksinkertainen kuutio a.

Arvojen a 3 b n ja 3a 5 b 6 summa on a 3 b n + 3a 5 b 6.

Vähennyslasku valtuudet suoritetaan samalla tavalla kuin yhteenlaskeminen, paitsi että alaosien etumerkkejä on muutettava vastaavasti.

Tai:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 h 2 b 6 — 4 h 2 b 6 = -t 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Voimien moninkertaistaminen

Potensseilla varustetut luvut voidaan kertoa, kuten muutkin suureet, kirjoittamalla ne peräkkäin joko kertomerkillä tai ilman.

Näin ollen tulos kertomalla a 3:lla b 2 on a 3 b 2 tai aaabb.

Tai:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 v

Viimeisen esimerkin tulos voidaan järjestää lisäämällä identtisiä muuttujia.
Lauseke saa muotoa: a 5 b 5 y 3.

Vertaamalla useita lukuja (muuttujia) potenssiin, voimme nähdä, että jos mitkä tahansa niistä kerrotaan, niin tuloksena on luku (muuttuja), jonka potenssi on määrä termien asteet.

Joten a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Tässä 5 on kertolaskutuloksen teho, joka on yhtä suuri kuin 2 + 3, termien potenssien summa.

Joten a n.a m = a m+n.

Kun a n , a otetaan tekijäksi niin monta kertaa kuin n:n potenssi;

Ja m otetaan tekijäksi niin monta kertaa kuin aste m on yhtä suuri;

Siksi, potenssit, joilla on sama kanta, voidaan kertoa lisäämällä potenssien eksponentit.

Joten a 2.a 6 = a 2+6 = a 8 . Ja x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Tai:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Kerro (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Vastaus: x 4 - y 4.
Kerro (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Tämä sääntö pätee myös lukuihin, joiden eksponentit ovat negatiivinen.

1. Joten a -2 .a -3 = a -5 . Tämä voidaan kirjoittaa muodossa (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n.y-m = y-n-m.

3. a -n .a m = a m-n .

Jos a + b kerrotaan a - b:llä, tulos on a 2 - b 2: eli

Tulos kertomalla kahden luvun summa tai erotus yhtä suuri kuin summa tai niiden neliöiden ero.

Jos kerrot kahden korotetun luvun summan ja erotuksen neliö, tulos on yhtä suuri kuin näiden lukujen summa tai erotus neljäs astetta.

Joten (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Tutkintojen jako

Potensseilla varustetut luvut voidaan jakaa kuten muutkin luvut vähentämällä osingosta tai asettamalla ne murto-osaan.

Siten a 3 b 2 jaettuna b 2:lla on yhtä suuri kuin a 3.

5:n kirjoittaminen jaettuna 3:lla näyttää tältä $\frac $. Mutta tämä on yhtä kuin 2. Numerosarjassa
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
mikä tahansa luku voidaan jakaa toisella, ja eksponentti on yhtä suuri ero jaollisten lukujen indikaattorit.

Kun asteet jaetaan samalla kantalla, niiden eksponentit vähennetään..

Joten y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Eli $\frac = y$.

Ja a n+1:a = a n+1-1 = a n . Eli $\frac = a^n$.

Tai:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Sääntö pätee myös numeroihin, joissa on negatiivinen asteiden arvot.
Tulos -5 jakamisesta -3:lla on -2.
Myös $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 tai $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

On välttämätöntä hallita kerto- ja jakotoimintoja erittäin hyvin, koska tällaisia ​​operaatioita käytetään hyvin laajasti algebrassa.

Esimerkkejä esimerkkien ratkaisemisesta potenssilukuja sisältävien murtolukujen kanssa

1. Pienennä eksponenttia $\frac $:lla Vastaus: $\frac $.

2. Pienennä eksponenttia $\frac$:lla. Vastaus: $\frac$ tai 2x.

3. Pienennä eksponentit a 2 /a 3 ja a -3 /a -4 ja muodosta yhteinen nimittäjä.
a 2 .a -4 on -2 ensimmäinen osoittaja.
a 3 .a -3 on a 0 = 1, toinen osoittaja.
a 3.a -4 on -1, yhteinen osoittaja.
Yksinkertaistuksen jälkeen: a -2 /a -1 ja 1/a -1 .

4. Pienennä eksponentit 2a 4 /5a 3 ja 2 /a 4 ja muodosta yhteinen nimittäjä.
Vastaus: 2a 3 /5a 7 ja 5a 5 /5a 7 tai 2a 3 /5a 2 ja 5/5a 2.

5. Kerro (a 3 + b)/b 4 luvulla (a - b)/3.

6. Kerro (a 5 + 1)/x 2 luvulla (b 2 - 1)/(x + a).

7. Kerro b 4 /a -2 luvulla h -3 /x ja a n /y -3 .

8. Jaa 4 /v 3 luvulla 3 /v 2 . Vastaus: a/y.

Tutkinnon ominaisuudet

Muistutamme, että tällä oppitunnilla ymmärrämme asteiden ominaisuudet luonnollisilla indikaattoreilla ja nollalla. Potensseja rationaalisilla eksponenteilla ja niiden ominaisuuksia käsitellään 8. luokan tunneilla.

Luonnollisella indikaattorilla varustetulla tutkinnolla on useita tärkeitä ominaisuuksia, joiden avulla voit yksinkertaistaa laskelmia esimerkeissä tehoilla.

Kiinteistö nro 1
Voimien tuote

Kun potenssit kerrotaan samoilla kantakantoilla, kanta pysyy ennallaan ja potenssien eksponentit lisätään.

a m · a n = a m + n, jossa "a" on mikä tahansa luku ja "m", "n" ovat mitä tahansa luonnollisia lukuja.

Tämä asteen ominaisuus koskee myös kolmen tuote ja lisää astetta.

• Yksinkertaista ilmaisu.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Esitä se tutkinnona.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Esitä se tutkinnona.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Huomaa, että määritellyssä ominaisuudessa puhuimme vain tehojen kertomisesta samoilla perusteilla. Se ei koske niiden lisäämistä.

Et voi korvata summaa (3 3 + 3 2) luvulla 3 5. Tämä on ymmärrettävää, jos
laske (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 ja 3 5 = 243

Kiinteistö nro 2
Osittaiset tutkinnot

Kun potenssit jaetaan samoilla kantaluvuilla, kanta pysyy ennallaan ja jakajan eksponentti vähennetään osingon eksponenteista.

• Kirjoita osamäärä potenssina
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Laskea.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Esimerkki. Ratkaise yhtälö. Käytämme osamäärä potenssien ominaisuutta.
3 8: t = 3 4

Vastaus: t = 3 4 = 81

Ominaisuuksien nro 1 ja 2 avulla voit helposti yksinkertaistaa lausekkeita ja suorittaa laskutoimituksia.

Esimerkki. Yksinkertaista ilmaisu.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5

Esimerkki. Etsi lausekkeen arvo eksponenttiominaisuuksien avulla.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Huomaa, että kiinteistössä 2 puhuimme vain voimien jakamisesta samoilla perusteilla.

Et voi korvata erotusta (4 3 −4 2) arvolla 4 1. Tämä on ymmärrettävää, jos lasket (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 ja 4 1 = 4

Kiinteistö nro 3
Asteen nostaminen valtaan

Kun aste nostetaan potenssiin, asteen kanta pysyy muuttumattomana ja eksponentit kerrotaan.

(a n) m = a n · m, jossa "a" on mikä tahansa luku ja "m", "n" ovat mitä tahansa luonnollisia lukuja.

Muistutamme, että osamäärä voidaan esittää murtolukuna. Siksi käsittelemme aihetta murto-osan nostamisesta potenssiin tarkemmin seuraavalla sivulla.

Kuinka moninkertaistaa voimat

Kuinka moninkertaistaa voimat? Mitkä voimat voidaan moninkertaistaa ja mitkä ei? Kuinka kertoa luku potenssilla?

Algebrassa voit löytää potenssien tulon kahdessa tapauksessa:

1) jos tutkinnoilla on samat perusteet;

2) jos asteilla on samat indikaattorit.

Kun potenssit kerrotaan samoilla kantakantoilla, kanta on jätettävä ennalleen ja eksponentit on lisättävä:

Kun asteet kerrotaan samoilla indikaattoreilla, kokonaisindikaattori voidaan ottaa pois suluista:

Katsotaanpa, kuinka voimat kerrotaan käyttämällä erityisiä esimerkkejä.

Yksikköä ei kirjoiteta eksponenttiin, mutta potenssien kertomisessa otetaan huomioon:

Kerrottaessa potenssia voi olla mikä tahansa määrä. On syytä muistaa, että sinun ei tarvitse kirjoittaa kertomerkkiä ennen kirjainta:

Lausekkeissa eksponentio tehdään ensin.

Jos sinun täytyy kertoa luku potenssilla, sinun tulee ensin suorittaa eksponentio ja vasta sitten kertolasku:

Voimien kertominen samoilla perusteilla

Tämä opetusvideo on saatavilla tilauksesta

Onko sinulla jo tilaus? Tulla sisään

Tällä oppitunnilla tutkimme voimien kertomista samanlaisilla emäksillä. Aluksi muistetaan asteen määritelmä ja muotoillaan lause tasa-arvon pätevyydestä . Sitten annamme esimerkkejä sen soveltamisesta tiettyihin numeroihin ja todistamme sen. Käytämme myös lausetta erilaisten ongelmien ratkaisemiseen.

Aihe: Valta luonnollisen eksponentin kanssa ja sen ominaisuudet

Oppitunti: potenssien kertominen samoilla perusteilla (kaava)

1. Perusmääritelmät

Perusmääritelmät:

n- eksponentti,

— n luvun potenssi.

2. Lauseen 1 lause

Lause 1. Mille tahansa numerolle A ja mikä tahansa luonnollinen n Ja k tasa-arvo on totta:

Toisin sanoen: jos A- mikä tahansa numero; n Ja k luonnolliset luvut, sitten:

Siksi sääntö 1:

3. Selittävät tehtävät

Johtopäätös: erikoistapaukset vahvistivat Lauseen nro 1 oikeellisuuden. Todistakaamme se yleisessä tapauksessa, eli mille tahansa A ja mikä tahansa luonnollinen n Ja k.

4. Lauseen 1 todistus

Annettu numero A- minkä tahansa; numeroita n Ja k – luonnollinen. Todistaa:

Todistus perustuu tutkinnon määritelmään.

5. Esimerkkien ratkaiseminen Lauseen 1 avulla

Esimerkki 1: Ajattele sitä tutkinnona.

Seuraavien esimerkkien ratkaisemiseksi käytämme lausetta 1.

ja)

6. Lauseen 1 yleistys

Tässä käytetty yleistys:

7. Esimerkkien ratkaiseminen Lauseen 1 yleistyksen avulla

8. Erilaisten ongelmien ratkaiseminen Lauseen 1 avulla

Esimerkki 2: Laske (voit käyttää perusvoimataulukkoa).

A) (taulukon mukaan)

b)

Esimerkki 3: Kirjoita se potenssiksi kanta 2:lla.

A)

Esimerkki 4: Määritä numeron etumerkki:

, A- negatiivinen, koska eksponentti kohdassa -13 on pariton.

Esimerkki 5: Korvaa (·) luvun potenssilla, jossa on kanta r:

Meillä on, eli.

9. Yhteenveto

1. Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. ja muut Algebra 7. 6. painos. M.: Valaistuminen. 2010

1. Kouluavustaja (lähde).

1. Esitä voimana:

a B C D E)

3. Kirjoita potenssiksi kanta 2:

4. Määritä luvun etumerkki:

A)

5. Korvaa (·) luvun potenssilla, jossa on kanta r:

a) r 4 · (·) = r 15; b) (·) · r 5 = r 6

Tehtyjen kertominen ja jakaminen samoilla eksponenteilla

Tällä oppitunnilla tutkimme potenssien kertomista yhtäläisillä eksponenteilla. Aluksi muistetaan perusmääritelmät ja -lauseet potenssien kertomisesta ja jakamisesta samoilla perusteilla ja potenssien nostamisesta potenssiin. Sitten muotoilemme ja todistamme lauseita potenssien kertomisesta ja jaosta samoilla eksponenteilla. Ja sitten heidän avullaan ratkaisemme joukon tyypillisiä ongelmia.

Muistutus perusmääritelmistä ja -lauseista

Tässä a- tutkinnon perusteet,

— n luvun potenssi.

Lause 1. Mille tahansa numerolle A ja mikä tahansa luonnollinen n Ja k tasa-arvo on totta:

Kun potenssit kerrotaan samoilla kantoilla, eksponentit lisätään, kanta pysyy ennallaan.

Lause 2. Mille tahansa numerolle A ja mikä tahansa luonnollinen n Ja k, sellasta n > k tasa-arvo on totta:

Kun asteet jaetaan samoilla kantakantoilla, eksponentit vähennetään, mutta kanta pysyy ennallaan.

Lause 3. Mille tahansa numerolle A ja mikä tahansa luonnollinen n Ja k tasa-arvo on totta:

Kaikki luetellut lauseet koskivat potenssia, joilla on sama syyt, tällä oppitunnilla tarkastellaan asteita samalla tavalla indikaattoreita.

Esimerkkejä potenssien kertomisesta samoilla eksponenteilla

Harkitse seuraavia esimerkkejä:

Kirjataan ylös lausekkeet asteen määrittämiseksi.

Johtopäätös: Esimerkeistä sen huomaa , mutta tämä on vielä todistettava. Muotoilkaamme lause ja todistakaamme se yleisessä tapauksessa, eli mille tahansa A Ja b ja mikä tahansa luonnollinen n.

Lauseen 4 formulointi ja todiste

Kaikille numeroille A Ja b ja mikä tahansa luonnollinen n tasa-arvo on totta:

Todiste Lause 4 .

Tutkinnon määritelmän mukaan:

Olemme siis todistaneet sen .

Potenssejen kertomiseksi samoilla eksponenteilla riittää kertomalla kannat ja jättämällä eksponentti ennalleen.

Lauseen 5 formulointi ja todiste

Muotoilkaamme lause potenssien jakamisesta samoilla eksponenteilla.

Mille tahansa numerolle A Ja b() ja mikä tahansa luonnollinen n tasa-arvo on totta:

Todiste Lause 5 .

Kirjoita tutkinnon määritelmä ylös:

Lauseet sanoilla

Olemme siis todistaneet sen.

Jakaaksesi potenssit samoilla eksponenteilla toisiinsa, riittää jakaa yksi kanta toisella ja jättää eksponentti ennalleen.

Tyypillisten ongelmien ratkaiseminen Lauseen 4 avulla

Esimerkki 1: Esitä voimien tuotteena.

Seuraavien esimerkkien ratkaisemiseksi käytämme lausetta 4.

Ratkaise seuraava esimerkki muistamalla kaavat:

Lauseen 4 yleistys

Lauseen 4 yleistys:

Ratkaisuesimerkkejä käyttämällä yleistettyä lausetta 4

Tyypillisten ongelmien ratkaisemista jatketaan

Esimerkki 2: Kirjoita se tuotteen voimana.

Esimerkki 3: Kirjoita se potenssina eksponentin 2 kanssa.

Laskuesimerkkejä

Esimerkki 4: Laske järkevimmällä tavalla.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. ja muut Algebra 7.M.: Enlightenment. 2006

2. Kouluavustaja (lähde).

1. Esitä voimien tuotteena:

A) ; b) ; V) ; G) ;

2. Kirjoita tuotteen tehona:

3. Kirjoita potenssiksi eksponentti 2:

4. Laske järkevimmällä tavalla.

Matematiikan oppitunti aiheesta "Voitten kertominen ja jako"

Osat: Matematiikka

Pedagoginen tavoite:

Tehtävät:

Opetuksen toimintoyksiköt: asteen määrittäminen luonnollisella indikaattorilla; tutkinnon komponentit; yksityisen määritelmä; kertolaskujen yhdistelmälaki.

I. Esittelyn järjestäminen opiskelijoiden olemassa olevan tiedon hallinnasta. (vaihe 1)

a) Tietojen päivittäminen:

2) Muotoile asteen määritelmä luonnollisella eksponentilla.

a n =a a a a … a (n kertaa)

b k =b b b b a… b (k kertaa) Perustele vastaus.

II. Opiskelijan nykyisen kokemuksen osaamisasteen itsearvioinnin järjestäminen. (vaihe 2)

Itsetestaus: ( yksilöllistä työtä kahdessa versiossa.)

A1) Esitä tuote 7 7 7 7 x x x tehona:

A2) Esitä teho (-3) 3 x 2 tuotteena

A3) Laske: -2 3 2 + 4 5 3

Valitsen kokeeseen tehtävien lukumäärän luokkatason valmistelun mukaisesti.

Annan sinulle avaimen itsetestaukseen. Kriteerit: läpäisy - ei hyväksyntää.

III. Opetus- ja käytännöntehtävä (vaihe 3) + vaihe 4. (opiskelijat itse muotoilevat ominaisuudet)

Ratkaistaessa tehtäviä 1) ja 2), opiskelijat ehdottavat ratkaisua, ja minä opettajana järjestän luokkaa löytääkseni keinon yksinkertaistaa voimavaroja kertomalla samoilla perusteilla.

Opettaja: Keksi tapa yksinkertaistaa tehoja, kun kerrot samoilla emäksillä.

Klusteriin tulee merkintä:

Oppitunnin aihe on muotoiltu. Valtuuksien moninkertaistaminen.

Opettaja: keksi sääntö voimien jakamisesta samoilla perusteilla.

Perustelut: millä toimenpiteillä jako tarkistetaan? a 5: a 3 = ? että a 2 a 3 = a 5

Palaan kaavioon - klusteriin ja lisään merkintään - .. jakaessa vähennämme ja lisäämme oppitunnin aiheen. ...ja tutkintojen jako.

IV. Opiskelijoille tiedon rajoista (minimi- ja enimmäismäärä).

Opettaja: Tämän päivän oppitunnin minimitehtävä on oppia soveltamaan kerto- ja potenssijakoominaisuuksia samoilla perusteilla ja maksimitehtävä on soveltaa kerto- ja jakolaskua yhdessä.

Kirjoitamme taululle : a m a n = a m+n; a m: a n = a m-n

V. Uuden materiaalin opiskelun organisointi. (vaihe 5)

a) Oppikirjan mukaan: nro 403 (a, c, e) tehtävät eri sanamuodoilla

Nro 404 (a, d, f) itsenäinen työ, sitten järjestän keskinäisen tarkastuksen ja annan avaimet.

b) Millä m:n arvolla yhtälö on voimassa? a 16 a m = a 32; x k x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

Tehtävä: keksi samanlaisia ​​esimerkkejä jaosta.

c) nro 417 (a), nro 418 (a) Ansoja opiskelijoille: x 3 x n = x 3n; 3 4 3 2 = 9 6; a 16: a 8 = a 2.

VI. Opitun yhteenvedon tekeminen, diagnostisten töiden suorittaminen (joka rohkaisee opiskelijoita, ei opettajaa, tutkimaan tätä aihetta) (vaihe 6)

Diagnostinen työ.

Testata(Aseta avaimet taikinan takaosaan).

Tehtävän valinnat: esitä osamäärä x 15 potenssina: x 3; edustaa potenssina tuloa (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; jolle m yhtälö a 16 a m = a 32 pätee? etsi lausekkeen h 0: h 2 arvo, kun h = 0,2; laske lausekkeen arvo (5 2 5 0) : 5 2 .

Oppitunnin yhteenveto. Heijastus. Jaan luokan kahteen ryhmään.

Etsi argumentteja ryhmästä I: tutkinnon ominaisuuksien tuntemisen puolesta ja ryhmä II - argumentit, jotka sanovat, että voit tehdä ilman ominaisuuksia. Kuuntelemme kaikki vastaukset ja teemme johtopäätökset. Seuraavilla oppitunneilla voit tarjota tilastotietoja ja kutsua rubriikkaa "Se on uskomatonta!"

VII. Kotitehtävät.

Historiallinen viittaus. Mitä lukuja kutsutaan Fermat-luvuiksi.

P.19. nro 403, nro 408, nro 417

Käytetyt kirjat:

Asteiden ominaisuudet, formulaatiot, todisteet, esimerkit.

Kun luvun teho on määritetty, on loogista puhua siitä asteen ominaisuudet. Tässä artikkelissa annamme luvun potenssin perusominaisuudet koskettaen samalla kaikkia mahdollisia eksponenteja. Täällä tarjoamme todisteet kaikista asteiden ominaisuuksista ja näytämme myös kuinka näitä ominaisuuksia käytetään esimerkkejä ratkaistaessa.

Sivulla navigointi.

Asteiden ominaisuudet luonnollisilla eksponenteilla

Luonnollisen eksponentin potenssin määritelmän mukaan potenssi a n on n tekijän tulo, joista jokainen on yhtä suuri kuin a. Tämän määritelmän perusteella ja myös käyttämällä reaalilukujen kertolaskuominaisuudet, voimme saada ja perustella seuraavan asteen ominaisuudet luonnollisen eksponentin kanssa:

Matematiikan tutkinnon käsite otetaan käyttöön algebraluokassa 7. luokalla. Ja myöhemmin koko matematiikan opiskelun ajan tätä käsitettä käytetään aktiivisesti eri muodoissaan. Tutkinnot ovat melko vaikea aihe, joka vaatii arvojen muistamista ja kykyä laskea oikein ja nopeasti. Matemaatikot keksivät tutkintojen ominaisuudet työskennelläkseen nopeammin ja paremmin. Ne auttavat vähentämään suuria laskelmia, muuttamaan valtava esimerkki yhdeksi numeroksi missä tahansa määrin. Ominaisuuksia ei ole niin paljon, ja ne kaikki on helppo muistaa ja soveltaa käytännössä. Siksi artikkelissa käsitellään tutkinnon perusominaisuuksia sekä niiden käyttökohteita.

Tutkinnon ominaisuudet

Tarkastelemme 12 asteen ominaisuutta, mukaan lukien samojen asteiden ominaisuudet, ja annamme esimerkin jokaisesta ominaisuudesta. Jokainen näistä ominaisuuksista auttaa sinua ratkaisemaan astetta koskevia ongelmia nopeammin ja säästää myös lukuisilta laskentavirheiltä.

1. omaisuus.

Monet ihmiset usein unohtavat tämän ominaisuuden ja tekevät virheitä esittäen nollapotenssin luvun nollana.

2. omaisuus.

3. omaisuus.

On muistettava, että tätä ominaisuutta voidaan käyttää vain lukujen kertomisessa, se ei toimi summan kanssa! Emmekä saa unohtaa, että tämä ja seuraavat ominaisuudet pätevät vain voimavaroihin, joilla on sama kanta.

4. omaisuus.

Jos nimittäjässä oleva luku nostetaan negatiiviseen potenssiin, vähennettäessä nimittäjän aste otetaan suluissa, jotta etumerkki muutetaan oikein jatkolaskutoimissa.

Ominaisuus toimii vain jakamisessa, ei päde vähentämiseen!

5. omaisuus.

6. kiinteistö.

Tätä ominaisuutta voidaan myös soveltaa kääntöpuoli. Yksikkö jaettuna luvulla jossain määrin on tämä luku miinusteholla.

7. kiinteistö.

Tätä ominaisuutta ei voi soveltaa summaan ja erotukseen! Summan tai erotuksen nostaminen potenssiin käyttää lyhennettyjä kertolaskukaavoja potenssiominaisuuksien sijaan.

8. kiinteistö.

9. kiinteistö.

Tämä ominaisuus toimii millä tahansa murto-osalla, jonka osoittaja on yksi, kaava on sama, vain juuren potenssi muuttuu potenssin nimittäjästä riippuen.

Tätä ominaisuutta käytetään usein myös käänteisesti. Minkä tahansa luvun potenssin juuri voidaan esittää tämän luvun potenssilla yhden jaettuna juuren potenssilla. Tämä ominaisuus on erittäin hyödyllinen tapauksissa, joissa luvun juuria ei voida erottaa.

10. omaisuus.

Tämä ominaisuus ei toimi vain neliöjuuri ja toinen tutkinto. Jos juuren aste ja tämän juuren korotusaste ovat samat, vastaus on radikaali lauseke.

11. kiinteistö.

Sinun on kyettävä näkemään tämä omaisuus ajoissa sitä ratkaiseessasi, jotta säästyisit suurilta laskelmilta.

12. kiinteistö.

Jokainen näistä ominaisuuksista tulee vastaan ​​useammin kuin kerran tehtävissä; se voidaan antaa puhtaassa muodossaan tai se voi vaatia joitain muunnoksia ja muiden kaavojen käyttöä. Siksi varten oikea päätös Ei riitä, että tietää vain ominaisuudet, sinun on harjoiteltava ja sisällytettävä muita matemaattisia tietoja.

Asteiden soveltaminen ja niiden ominaisuudet

Niitä käytetään aktiivisesti algebrassa ja geometriassa. Matematiikan tutkinnoilla on erillinen, tärkeä paikka. Niiden avulla ratkaistaan ​​eksponentiaaliyhtälöitä ja epäyhtälöitä, ja muihin matematiikan aloihin liittyviä yhtälöitä ja esimerkkejä monimutkaistavat usein potenssit. Potenssit auttavat välttämään suuria ja pitkiä laskelmia, potenssit on helpompi lyhentää ja laskea. Mutta työskennellä suurilla asteilla tai asteilla suuret numerot, sinun ei tarvitse tietää vain asteiden ominaisuuksia, vaan myös työskennellä pätevästi emästen kanssa, pystyä hajottamaan ne tehtäväsi helpottamiseksi. Mukavuuden vuoksi sinun tulee myös tietää potenssiin korotettujen numeroiden merkitys. Tämä lyhentää ratkaisemiseen kuluvaa aikaa, jolloin ei tarvitse tehdä pitkiä laskelmia.

Asteen käsitteellä on erityinen rooli logaritmeissa. Koska logaritmi on pohjimmiltaan luvun potenssi.

Lyhennetyt kertolaskut ovat toinen esimerkki valtuuksien käytöstä. Niissä ei voi käyttää asteiden ominaisuuksia, niitä laajennetaan erityissääntöjen mukaan, mutta jokaisessa lyhennetyn kertolaskukaavassa on poikkeuksetta asteita.

Tutkintoja käytetään aktiivisesti myös fysiikassa ja tietojenkäsittelytieteessä. Kaikki muunnokset SI-järjestelmään tehdään potenssien avulla ja jatkossa tehtäviä ratkaistaessa käytetään tehon ominaisuuksia. Tietojenkäsittelytieteessä kahden potenssia käytetään aktiivisesti laskemisen helpottamiseksi ja numeroiden havaitsemisen yksinkertaistamiseksi. Lisälaskelmat mittayksiköiden muuntamiseksi tai tehtävien laskeminen, kuten fysiikassa, tapahtuvat asteiden ominaisuuksien avulla.

Asteet ovat erittäin hyödyllisiä myös tähtitiedessä, jossa harvoin näkee asteen ominaisuuksien käyttöä, mutta itse asteita käytetään aktiivisesti lyhentämään eri suureiden ja etäisyyksien merkintää.

Myös tutkintoja käytetään tavallinen elämä, kun lasketaan alueita, tilavuuksia, etäisyyksiä.

Astioita käytetään kirjaamaan hyvin suuria ja hyvin pieniä määriä millä tahansa tieteenalalla.

Eksponentiaaliyhtälöt ja epäyhtälöt

Asteiden ominaisuuksilla on erityinen paikka juuri siinä eksponentiaaliyhtälöt ja eriarvoisuudet. Nämä tehtävät ovat hyvin yleisiä sekä koulun kursseilla että tenteissä. Ne kaikki ratkaistaan ​​käyttämällä asteen ominaisuuksia. Tuntematon löytyy aina itse asteesta, joten kaikkien ominaisuuksien tiedossa tällaisen yhtälön tai epäyhtälön ratkaiseminen ei ole vaikeaa.

Ensimmäinen taso

Tutkinto ja sen ominaisuudet. Kattava opas (2019)

Miksi tutkintoja tarvitaan? Missä niitä tarvitaan? Miksi sinun pitäisi varata aikaa niiden tutkimiseen?

Voit oppia kaiken tutkinnoista, niiden tarkoituksesta ja tietojesi käyttämisestä Jokapäiväinen elämä lue tämä artikkeli.

Ja tietysti tutkintojen tuntemus vie sinut lähemmäksi onnistunut valmistuminen OGE tai Unified State -koe ja pääsy unelmiesi yliopistoon.

Mennään... (Mennään!)

Tärkeä muistiinpano! Jos näet gobbledygookin kaavojen sijaan, tyhjennä välimuisti. Voit tehdä tämän painamalla CTRL+F5 (Windows) tai Cmd+R (Mac).

ENSIMMÄINEN TASO

Eksponenttioiminen on matemaattinen operaatio, kuten yhteen-, vähennys-, kerto- tai jakolasku.

Nyt selitän kaiken ihmisen kieli erittäin yksinkertaisia ​​esimerkkejä. Ole varovainen. Esimerkit ovat alkeellisia, mutta selittävät tärkeitä asioita.

Aloitetaan lisäyksellä.

Tässä ei ole mitään selitettävää. Tiedät jo kaiken: meitä on kahdeksan. Jokaisella on kaksi pulloa colaa. Paljonko colaa on? Aivan oikein - 16 pulloa.

Nyt kertolasku.

Sama esimerkki colan kanssa voidaan kirjoittaa eri tavalla: . Matemaatikot ovat ovelia ja laiskoja ihmisiä. He huomaavat ensin joitakin kuvioita ja sitten keksivät tavan "laskea" ne nopeammin. Meidän tapauksessamme he huomasivat, että jokaisella kahdeksalla ihmisellä oli sama määrä colapulloja, ja he keksivät tekniikan nimeltä kertolasku. Samaa mieltä, sitä pidetään helpommin ja nopeampana kuin.

Joten, jotta voit laskea nopeammin, helpommin ja ilman virheitä, sinun on vain muistettava kertotaulu. Tietysti kaiken voi tehdä hitaammin, vaikeammin ja virhein! Mutta…

Tässä on kertotaulukko. Toistaa.

Ja toinen, kauniimpi:

Mitä muita fiksuja laskentatemppuja laiskot matemaatikot ovat keksineet? Oikein - luvun nostaminen potenssiin.

Numeron nostaminen potenssiin

Jos sinun on kerrottava luku itsellään viisi kertaa, matemaatikot sanovat, että sinun on nostettava luku viidenteen potenssiin. Esimerkiksi, . Matemaatikot muistavat, että kahdesta viidenteen potenssiin on... Ja he ratkaisevat tällaiset ongelmat päässään - nopeammin, helpommin ja ilman virheitä.

Sinun tarvitsee vain muista, mikä on korostettu värillä lukujen potenssitaulukossa. Usko minua, tämä tekee elämästäsi paljon helpompaa.

Muuten, miksi sitä kutsutaan toiseksi astetta? neliö numerot ja kolmas - kuutio? Mitä se tarkoittaa? Erittäin hyvä kysymys. Nyt sinulla on sekä neliöitä että kuutioita.

Esimerkki tosielämästä #1

Aloitetaan neliöstä tai luvun toisesta potenssista.

Kuvittele neliönmuotoinen allas, jonka mitat ovat yksi metri kertaa yksi metri. Uima-allas on dachassasi. On kuuma ja haluan todella uida. Mutta... altaalla ei ole pohjaa! Sinun on peitettävä altaan pohja laatoilla. Kuinka monta laattaa tarvitset? Tämän määrittämiseksi sinun on tiedettävä altaan pohja-alue.

Voit yksinkertaisesti laskea osoittamalla sormella, että altaan pohja koostuu metri metriltä kuutioista. Jos sinulla on laattoja metri kertaa metri, tarvitset kappaleita. Se on helppoa... Mutta missä olet nähnyt sellaisia ​​laattoja? Laatta on todennäköisimmin cm cm. Ja sitten sinua kidutetaan "sormella laskemalla". Sitten sinun on kerrottava. Joten altaan pohjan toiselle puolelle sovitamme laatat (palat) ja toiselle myös laatat. Kerro ja saat laatat ().

Huomasitko, että altaan pohjan alan määrittämiseksi kerroimme saman luvun itsellään? Mitä se tarkoittaa? Koska kerromme saman luvun, voimme käyttää "exponsointi"-tekniikkaa. (Tietenkin, kun sinulla on vain kaksi lukua, sinun on silti kerrottava ne tai nostettava ne potenssiin. Mutta jos niitä on paljon, niin niiden nostaminen potenssiin on paljon helpompaa ja laskelmissa on myös vähemmän virheitä Tämä on erittäin tärkeää Unified State -kokeen kannalta).
Joten kolmekymmentä toiseen potenssiin tulee (). Tai voimme sanoa, että kolmekymmentä neliötä tulee olemaan. Toisin sanoen luvun toinen potenssi voidaan aina esittää neliönä. Ja päinvastoin, jos näet neliön, se on AINA jonkin luvun toinen potenssi. Neliö on kuva luvun toisesta potenssista.

Esimerkki tosielämästä #2

Tässä on sinulle tehtävä: laske kuinka monta ruutua shakkilaudalla on numeroruudun avulla... Solujen toisella puolella ja toisella myös. Laskeaksesi niiden lukumäärän sinun on kerrottava kahdeksan kahdeksalla tai... jos huomaat, että shakkilauta on neliö, jossa on sivu, voit laittaa kahdeksan. Saat soluja. () Siis?

Esimerkki tosielämästä #3

Nyt kuutio tai luvun kolmas potenssi. Sama uima-allas. Mutta nyt sinun on selvitettävä, kuinka paljon vettä on kaadettava tähän altaaseen. Sinun on laskettava tilavuus. (Muuten, tilavuudet ja nesteet mitataan kuutiometriä. Odottamaton, eikö?) Piirrä allas: metrin mittainen pohja, metrin syvyys ja yritä laskea kuinka monta kuutiota, joiden mitat ovat metri kertaa metri, mahtuu uima-altaaseen.

Osoita vain sormella ja laske! Yksi, kaksi, kolme, neljä...kaksikymmentäkaksi, kaksikymmentäkolme...Kuinka monta sait? Ei hukassa? Onko vaikeaa laskea sormella? Jotta! Ota esimerkki matemaatikoilta. He ovat laiskoja, joten he huomasivat, että uima-altaan tilavuuden laskemiseksi sinun on kerrottava sen pituus, leveys ja korkeus toisillaan. Meidän tapauksessamme altaan tilavuus on yhtä suuri kuin kuutiot... Helpompaa, eikö?

Kuvittele nyt kuinka laiskoja ja ovelia matemaatikot ovat, jos he yksinkertaistavat tätäkin. Pelasimme kaiken yhteen tekoon. He huomasivat, että pituus, leveys ja korkeus ovat samat ja että sama luku kerrotaan itsestään... Mitä tämä tarkoittaa? Tämä tarkoittaa, että voit hyödyntää tutkinnon. Joten, mitä olet kerran laskenut sormella, ne tekevät yhdellä toiminnolla: kolme kuutiota on yhtä suuri. Se on kirjoitettu näin: .

Jäljelle jää vain muista astetaulukko. Ellei tietysti ole yhtä laiska ja ovela kuin matemaatikot. Jos haluat tehdä kovasti töitä ja tehdä virheitä, voit jatkaa laskemista sormella.

No, vihdoinkin vakuuttaakseni, että luovuttajat ja ovelat ihmiset keksivät tutkinnot ratkaistakseen omansa. elämän ongelmia, eikä luoda sinulle ongelmia, tässä on vielä pari esimerkkiä elämästä.

Esimerkki tosielämästä #4

Sinulla on miljoona ruplaa. Jokaisen vuoden alussa jokaista ansaitsemaasi miljoonaa kohden ansaitset toisen miljoonan. Toisin sanoen jokainen saamasi miljoona tuplaantuu jokaisen vuoden alussa. Paljonko sinulla on rahaa vuosien kuluttua? Jos istut nyt ja "lasket sormella", olet erittäin ahkera ihminen ja... tyhmä. Mutta todennäköisesti annat vastauksen muutamassa sekunnissa, koska olet älykäs! Joten ensimmäisenä vuonna - kaksi kerrottuna kahdella... toisena vuonna - mitä tapahtui, kahdella lisää, kolmantena vuonna... Stop! Huomasit, että luku kerrotaan itsellään. Joten kahdesta viiteen potenssiin on miljoona! Kuvittele nyt, että sinulla on kilpailu ja se, joka osaa laskea nopeimmin, saa nämä miljoonat... Kannattaa muistaa numeroiden voimat, eikö niin?

Esimerkki tosielämästä #5

Sinulla on miljoona. Jokaisen vuoden alussa jokaista ansaitsemaasi miljoonaa kohden ansaitset kaksi lisää. Hienoa eikö? Jokainen miljoona kolminkertaistuu. Paljonko sinulla on rahaa vuodessa? Lasketaan. Ensimmäinen vuosi - kerrotaan, sitten tulos toisella... Se on jo tylsää, koska olet jo ymmärtänyt kaiken: kolme kerrotaan itsestään kertaa. Neljännelle potenssille se on siis miljoona. Sinun on vain muistettava, että kolmesta neljänteen potenssi on tai.

Nyt tiedät, että nostamalla numeron tehoon helpotat elämääsi paljon. Katsotaanpa tarkemmin, mitä voit tehdä tutkinnoilla ja mitä sinun on tiedettävä niistä.

Termit ja käsitteet... jotta ei menisi sekaisin

Joten ensin määritellään käsitteet. Mitä mieltä sinä olet, mikä on eksponentti? Se on hyvin yksinkertaista - se on numero, joka on numeron tehon "huipussa". Ei tieteellinen, mutta selkeä ja helppo muistaa...

No samaan aikaan mitä sellainen tutkintoperuste? Vielä yksinkertaisempi - tämä on numero, joka sijaitsee alla, pohjassa.

Tässä on hyvä mittapiirros.

No sisään yleisnäkymä, yleistääkseni ja paremmin muistaakseni... Tutkinto, jonka kanta on " " ja eksponentti " ", luetaan "asteen mukaan" ja kirjoitetaan seuraavasti:

Luvun potenssi luonnollisella eksponentilla

Luultavasti jo arvasit: koska eksponentti on luonnollinen luku. Kyllä, mutta mikä se on luonnollinen luku? Perus! Luonnolliset luvut ovat niitä lukuja, joita käytetään laskettaessa objekteja listattaessa: yksi, kaksi, kolme... Kun laskemme esineitä, emme sano: "miinus viisi", "miinus kuusi", "miinus seitsemän". Emme myöskään sano: "kolmasosa" tai "nolla piste viisi". Nämä eivät ole luonnollisia lukuja. Mitä lukuja luulet näiden olevan?

Numerot, kuten "miinus viisi", "miinus kuusi", "miinus seitsemän" viittaavat kokonaislukuja. Yleisesti ottaen kokonaisluvut sisältävät kaikki luonnolliset luvut, luonnollisten lukujen vastakohtaiset luvut (eli miinusmerkillä otettuja) ja luvun. Nolla on helppo ymmärtää - se on kun ei ole mitään. Mitä negatiiviset ("miinus") luvut tarkoittavat? Mutta ne keksittiin ensisijaisesti osoittamaan velkoja: jos puhelimessasi on saldo ruplissa, tämä tarkoittaa, että olet velkaa operaattorille ruplaa.

Kaikki murtoluvut ovat rationaalilukuja. Miten ne syntyivät, luuletko? Erittäin yksinkertainen. Useita tuhansia vuosia sitten esi-isämme havaitsivat, että heiltä puuttui luonnollisia lukuja pituuden, painon, pinta-alan jne. mittaamiseksi. Ja he keksivät rationaalisia lukuja... Mielenkiintoista, eikö?

On myös irrationaalisia lukuja. Mitä nämä luvut ovat? Lyhyesti sanottuna loputon desimaali. Jos esimerkiksi jaat ympyrän kehän sen halkaisijalla, saat irrationaalisen luvun.

Yhteenveto:

Määrittelemme asteen käsite, jonka eksponentti on luonnollinen luku (eli kokonaisluku ja positiivinen).

1. Mikä tahansa luku ensimmäiseen potenssiin on yhtä suuri kuin itsensä:
2. Numeron neliöinti tarkoittaa sen kertomista itsestään:
3. Numeron kuutioiminen tarkoittaa sen kertomista itsellään kolme kertaa:

Määritelmä. Luvun nostaminen luonnolliseen potenssiin tarkoittaa luvun kertomista itsellään kertaa:
.

Tutkintojen ominaisuudet

Mistä nämä ominaisuudet ovat peräisin? Näytän sinulle nyt.

Katsotaanpa: mikä se on Ja ?

A-priory:

Kuinka monta kerrointa on yhteensä?

Se on hyvin yksinkertaista: lisäsimme kertoimia tekijöihin, ja tuloksena on kertoimet.

Mutta määritelmän mukaan tämä on luvun potenssi, jossa on eksponentti, eli: , joka on todistettava.

Esimerkki: Yksinkertaista lauseke.

Ratkaisu:

Esimerkki: Yksinkertaista ilmaisu.

Ratkaisu: On tärkeää huomata se säännössämme Välttämättä täytyy olla samat syyt!
Siksi yhdistämme tehot perustan kanssa, mutta se on erillinen tekijä:

vain voimien tuotteelle!

Et voi missään tapauksessa kirjoittaa niin.

2. siinä se luvun potenssi

Aivan kuten edellisessä ominaisuudessa, siirrytään tutkinnon määritelmään:

Osoittautuu, että lauseke kerrotaan itsellään kertaa, eli määritelmän mukaan tämä on luvun potenssi:

Pohjimmiltaan tätä voidaan kutsua "ilmaisimen poistamiseksi suluista". Mutta et voi koskaan tehdä tätä kokonaisuudessaan:

Muistakaamme lyhennetyt kertolaskukaavat: kuinka monta kertaa halusimme kirjoittaa?

Mutta tämä ei loppujen lopuksi ole totta.

Teho negatiivisella pohjalla

Tähän asti olemme keskustelleet vain siitä, mikä eksponentin tulisi olla.

Mutta minkä pitäisi olla perusta?

Valtuuksissa luonnollinen indikaattori perusteena voi olla mikä tahansa numero. Voimme todellakin kertoa minkä tahansa luvun toisilla, olivat ne sitten positiivisia, negatiivisia tai jopa.

Ajatellaanpa, millä merkeillä ("" tai "") on positiivisten ja negatiivisten lukujen voima?

Onko luku esimerkiksi positiivinen vai negatiivinen? A? ? Ensimmäisen kanssa kaikki on selvää: riippumatta siitä, kuinka monta positiivista lukua kerromme toisillamme, tulos on positiivinen.

Mutta negatiiviset ovat hieman mielenkiintoisempia. Muistamme yksinkertaisen säännön 6. luokalta: "miinus miinuksesta antaa plussan". Eli tai. Mutta jos kerromme, se toimii.

Päätä itse, mikä merkki seuraavilla ilmaisuilla on:

Onnistuitko?

Tässä ovat vastaukset: Toivon, että neljässä ensimmäisessä esimerkissä kaikki on selvää? Katsomme yksinkertaisesti kantaa ja eksponenttia ja sovellamme asianmukaista sääntöä.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Esimerkissä 5) kaikki ei myöskään ole niin pelottavaa kuin miltä näyttää: loppujen lopuksi sillä ei ole väliä, mikä kanta on yhtä suuri - aste on parillinen, mikä tarkoittaa, että tulos on aina positiivinen.

Paitsi silloin, kun perusarvo on nolla. Pohja ei ole sama, eihän? Ilmeisesti ei, koska (koska).

Esimerkki 6) ei ole enää niin yksinkertainen!

6 esimerkkiä harjoitteluun

Ratkaisun analyysi 6 esimerkkiä

Jos jätämme huomiotta kahdeksannen voiman, mitä näemme tässä? Muistakaamme 7. luokan ohjelma. Joten, muistatko? Tämä on lyhennetyn kertolaskukaava, nimittäin neliöiden erotus! Saamme:

Katsotaanpa tarkkaan nimittäjää. Se näyttää paljon yhdeltä osoittajatekijöistä, mutta mikä on vialla? Ehtojen järjestys on väärä. Jos ne käännetään, sääntöä voitaisiin soveltaa.

Mutta miten se tehdään? Osoittautuu, että se on erittäin helppoa: nimittäjän parillinen aste auttaa meitä tässä.

Maagisesti termit vaihtoivat paikkoja. Tämä "ilmiö" pätee tasaisesti mihin tahansa ilmaisuun: voimme helposti muuttaa suluissa olevia merkkejä.

Mutta on tärkeää muistaa: kaikki merkit muuttuvat samaan aikaan!

Palataanpa esimerkkiin:

Ja taas kaava:

Koko kutsumme luonnollisia lukuja, niiden vastakohtia (eli otettuna merkillä " ") ja numeroa.

positiivinen kokonaisluku, ja se ei eroa luonnollisesta, niin kaikki näyttää täsmälleen samalta kuin edellisessä osiossa.

Katsotaan nyt uusia tapauksia. Aloitetaan indikaattorilla, joka on yhtä suuri kuin.

Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin yksi:

Kuten aina, kysykäämme itseltämme: miksi näin on?

Tarkastellaanpa jonkin verran pohjaa. Otetaan esimerkiksi ja kerrotaan:

Joten kerroimme luvun luvulla ja saimme saman asian kuin se oli - . Millä luvulla pitäisi kertoa, ettei mikään muutu? Aivan oikein, päällä. Keinot.

Voimme tehdä saman mielivaltaisella numerolla:

Toistetaan sääntö:

Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin yksi.

Mutta moniin sääntöihin on poikkeuksia. Ja tässä se on myös siellä - tämä on numero (pohjana).

Toisaalta sen on oltava yhtä suuri kuin mikä tahansa aste - riippumatta siitä, kuinka paljon kerrot nollan itsellään, saat silti nollan, tämä on selvää. Mutta toisaalta, kuten minkä tahansa luvun nollateholla, sen on oltava yhtä suuri. Joten kuinka paljon tämä on totta? Matemaatikot päättivät olla puuttumatta asiaan ja kieltäytyivät nostamasta nollaa nollaan. Eli nyt emme voi vain jakaa nollalla, vaan myös nostaa sitä nollatehoon.

Siirrytään eteenpäin. Luonnollisten lukujen ja lukujen lisäksi kokonaisluvut sisältävät myös negatiivisia lukuja. Ymmärtääksemme, mikä negatiivinen aste on, tehdään kuten viime kerralla: kerrotaan jokin normaaliluku samalla luvulla negatiivinen aste:

Täältä on helppo ilmaista etsimäsi:

Laajennetaan nyt tuloksena olevaa sääntöä mielivaltaiseen määrään:

Joten muotoillaan sääntö:

Luku, jolla on negatiivinen potenssi, on käänteisluku samalle luvulle, jolla on positiivinen potenssi. Mutta samaan aikaan Perusarvo ei voi olla tyhjä:(koska et voi jakaa kanssa).

Tehdään yhteenveto:

I. Lauseketta ei ole määritelty tapauksessa. Jos sitten.

II. Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri kuin yksi: .

III. Luku, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla negatiiviselle potenssille, on saman luvun käänteisarvo positiiviselle potenssille: .

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun:

No, kuten tavallista, esimerkkejä itsenäisistä ratkaisuista:

Ongelmien analyysi itsenäistä ratkaisua varten:

Tiedän, tiedän, luvut ovat pelottavia, mutta Unified State -kokeessa sinun on oltava valmis kaikkeen! Ratkaise nämä esimerkit tai analysoi niiden ratkaisut, jos et pystynyt ratkaisemaan niitä, niin opit selviytymään niistä helposti kokeessa!

Jatketaan eksponentiksi ”sopivien” lukujen valikoiman laajentamista.

Mietitään nyt rationaalisia lukuja. Mitä lukuja kutsutaan rationaalisiksi?

Vastaus: kaikki mikä voidaan esittää murtolukuna, missä ja ovat kokonaislukuja, ja.

Ymmärtääkseen mitä se on "murto-aste", harkitse murto-osaa:

Nostetaan yhtälön molemmat puolet potenssiksi:

Muistetaan nyt sääntö aiheesta "asteesta asteeseen":

Mikä luku on nostettava potenssiin saadakseen?

Tämä muotoilu on th asteen juuren määritelmä.

Muistutan teitä: luvun th:n potenssin juuri () on luku, joka potenssiin korotettuna on yhtä suuri kuin.

Toisin sanoen th:n potenssin juuri on potenssiin nostamisen käänteinen operaatio: .

Siitä käy ilmi. Ilmeisesti tämä erikoistapaus voidaan laajentaa: .

Nyt lisäämme osoittajan: mikä se on? Vastaus on helppo saada tehosta tehoon -säännön avulla:

Mutta voiko kanta olla mikä tahansa luku? Kaikista luvuista ei loppujen lopuksi voida irrottaa juuria.

Ei mitään!

Muistakaamme sääntö: mikä tahansa parilliseen potenssiin korotettu luku on positiivinen luku. Eli negatiivisista luvuista on mahdotonta erottaa edes juuria!

Tämä tarkoittaa, että tällaisia ​​lukuja ei voida nostaa murto-osaan, jolla on parillinen nimittäjä, eli lausekkeessa ei ole järkeä.

Entä ilmaisu?

Mutta tässä syntyy ongelma.

Luku voidaan esittää muina, pelkistetyinä murtolukuina, esimerkiksi tai.

Ja käy ilmi, että se on olemassa, mutta ei ole olemassa, mutta nämä ovat vain kaksi eri tietuetta, joilla on sama numero.

Tai toinen esimerkki: kerran, sitten voit kirjoittaa sen muistiin. Mutta jos kirjoitamme indikaattorin eri tavalla, joudumme jälleen vaikeuksiin: (eli saimme täysin erilaisen tuloksen!).

Tällaisten paradoksien välttämiseksi harkitsemme vain positiivinen kantaeksponentti murto-osien eksponentin kanssa.

Niin jos:

• - luonnollinen luku;
• - kokonaisluku;

Esimerkkejä:

Rationaaliset eksponentit ovat erittäin hyödyllisiä muuntaessasi lausekkeita juurilla, esimerkiksi:

5 esimerkkiä harjoitteluun

Analyysi 5 esimerkistä koulutusta varten

No, nyt tulee vaikein osa. Nyt selvitämme sen aste irrationaalisella eksponentilla.

Kaikki asteiden säännöt ja ominaisuudet ovat tässä poikkeuksella täsmälleen samat kuin rationaalisen eksponentin asteella

Loppujen lopuksi irrationaaliset luvut ovat määritelmän mukaan lukuja, joita ei voida esittää murtolukuna, missä ja ovat kokonaislukuja (eli irrationaaliset luvut ovat kaikki reaalilukuja paitsi rationaaliset luvut).

Kun tutkimme tutkintoja luonnollisilla, kokonaisluku- ja rationaalisilla eksponenteilla, loimme joka kerta tietyn "kuvan", "analogian" tai kuvauksen tutummin.

Esimerkiksi aste, jolla on luonnollinen eksponentti, on luku, joka kerrotaan itsellään useita kertoja;

...numero nollan potenssiin- tämä on ikään kuin itsellään kerran kerrottu luku, eli he eivät ole vielä alkaneet kertoa sitä, mikä tarkoittaa, että itse numero ei ole vielä edes ilmestynyt - siksi tulos on vain tietty "tyhjä luku" , nimittäin numero;

...negatiivinen kokonaislukuaste- On kuin jokin "käänteinen prosessi" olisi tapahtunut, eli numeroa ei kerrottu itsestään, vaan se jaettiin.

Muuten, tieteessä käytetään usein astetta, jossa on monimutkainen eksponentti, eli eksponentti ei ole edes reaaliluku.

Mutta koulussa emme ajattele tällaisia ​​vaikeuksia; sinulla on mahdollisuus ymmärtää nämä uudet käsitteet instituutissa.

MINNE OLEMME VARMUKSIA, ETTÄ MENET! (jos opit ratkaisemaan tällaisia ​​esimerkkejä :))

Esimerkiksi:

Päätä itse:

Ratkaisujen analyysi:

1. Aloitetaan tavallisella säännöllä tehon nostamiseksi potenssiksi:

Katso nyt indikaattoria. Eikö hän muistuta sinua mistään? Muistakaamme kaava neliöiden eron lyhennelle kertomiselle:

Tässä tapauksessa,

Osoittautuu, että:

Vastaus: .

2. Eksponenttien murtoluvut pelkistetään samaan muotoon: joko molemmat desimaalit tai molemmat tavalliset. Saamme esimerkiksi:

Vastaus: 16

3. Ei mitään erikoista, käytämme tavallisia asteiden ominaisuuksia:

EDISTYNYT TASO

Tutkinnon määrittäminen

Aste on muodon ilmaisu: , jossa:

• — tutkinnon perusta;
• - eksponentti.

Aste luonnollisella indikaattorilla (n = 1, 2, 3,...)

Luvun nostaminen luonnolliseen potenssiin n tarkoittaa luvun kertomista itsellään kertaa:

Aste kokonaislukueksponentilla (0, ±1, ±2,...)

Jos eksponentti on positiivinen kokonaisluku määrä:

Rakentaminen nollaasteeseen asti:

Lauseke on epämääräinen, koska toisaalta missä tahansa asteessa on tämä, ja toisaalta mikä tahansa luku :nteen asteeseen asti on tämä.

Jos eksponentti on negatiivinen kokonaisluku määrä:

(koska et voi jakaa kanssa).

Vielä kerran nollia: lauseketta ei ole määritelty tapauksessa. Jos sitten.

Esimerkkejä:

Teho rationaalisen eksponentin kanssa

• - luonnollinen luku;
• - kokonaisluku;

Esimerkkejä:

Tutkintojen ominaisuudet

Ongelmien ratkaisemisen helpottamiseksi yritetään ymmärtää: mistä nämä ominaisuudet ovat peräisin? Todistakaamme ne.

Katsotaanpa: mikä on ja?

A-priory:

Joten tämän lausekkeen oikealla puolella saamme seuraavan tuotteen:

Mutta määritelmän mukaan se on luvun potenssi, jossa on eksponentti, eli:

Q.E.D.

Esimerkki : Yksinkertaista lauseke.

Ratkaisu : .

Esimerkki : Yksinkertaista lauseke.

Ratkaisu : On tärkeää huomata, että säännössämme Välttämättä täytyy olla samat syyt. Siksi yhdistämme tehot perustan kanssa, mutta se on erillinen tekijä:

Toinen tärkeä muistiinpano: tämä sääntö on - vain tehojen tulolle!

Et voi missään tapauksessa kirjoittaa niin.

Aivan kuten edellisessä ominaisuudessa, siirrytään tutkinnon määritelmään:

Ryhmitetään tämä työ uudelleen seuraavasti:

Osoittautuu, että lauseke kerrotaan itsellään kertaa, eli määritelmän mukaan tämä on luvun potenssi:

Pohjimmiltaan tätä voidaan kutsua "ilmaisimen poistamiseksi suluista". Mutta et voi koskaan tehdä tätä kokonaisuudessaan: !

Muistakaamme lyhennetyt kertolaskukaavat: kuinka monta kertaa halusimme kirjoittaa? Mutta tämä ei loppujen lopuksi ole totta.

Teho negatiivisella pohjalla.

Tähän asti olemme vain keskustelleet siitä, millaista sen pitäisi olla indeksi astetta. Mutta minkä pitäisi olla perusta? Valtuuksissa luonnollinen indikaattori perusteena voi olla mikä tahansa numero .

Voimme todellakin kertoa minkä tahansa luvun toisilla, olivat ne sitten positiivisia, negatiivisia tai jopa. Ajatellaanpa, millä merkeillä ("" tai "") on positiivisten ja negatiivisten lukujen voima?

Onko luku esimerkiksi positiivinen vai negatiivinen? A? ?

Ensimmäisen kanssa kaikki on selvää: riippumatta siitä, kuinka monta positiivista lukua kerromme toisillamme, tulos on positiivinen.

Mutta negatiiviset ovat hieman mielenkiintoisempia. Muistamme yksinkertaisen säännön 6. luokalta: "miinus miinuksesta antaa plussan". Eli tai. Mutta jos kerromme (:lla), saamme - .

Ja niin edelleen loputtomiin: jokaisella myöhemmällä kertolaskulla merkki muuttuu. Voimme muotoilla seuraavan yksinkertaiset säännöt:

1. jopa tutkinto, - numero positiivinen.
2. Negatiivinen luku, sisäänrakennettu outo tutkinto, - numero negatiivinen.
3. Positiivinen luku missä tahansa määrin on positiivinen luku.
4. Nolla mihin tahansa potenssiin on yhtä suuri kuin nolla.

Päätä itse, mikä merkki seuraavilla ilmaisuilla on:

Onnistuitko? Tässä vastaukset:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Toivon, että neljässä ensimmäisessä esimerkissä kaikki on selvää? Katsomme yksinkertaisesti kantaa ja eksponenttia ja sovellamme asianmukaista sääntöä.

Esimerkissä 5) kaikki ei myöskään ole niin pelottavaa kuin miltä näyttää: loppujen lopuksi sillä ei ole väliä, mikä kanta on yhtä suuri - aste on parillinen, mikä tarkoittaa, että tulos on aina positiivinen. Paitsi silloin, kun perusarvo on nolla. Pohja ei ole sama, eihän? Ilmeisesti ei, koska (koska).

Esimerkki 6) ei ole enää niin yksinkertainen. Tässä sinun on selvitettävä, kumpi on vähemmän: vai? Jos muistamme sen, käy selväksi se ja siten myös perusta alle nolla. Eli sovelletaan sääntöä 2: tulos on negatiivinen.

Ja taas käytämme tutkinnon määritelmää:

Kaikki on kuten tavallista - kirjoitamme muistiin asteiden määritelmät ja jaamme ne keskenään, jaamme ne pareiksi ja saamme:

Ennen kuin purat sen osiin viimeinen sääntö, ratkaistaan ​​muutama esimerkki.

Laske lausekkeet:

Ratkaisut :

Jos jätämme huomiotta kahdeksannen voiman, mitä näemme tässä? Muistakaamme 7. luokan ohjelma. Joten, muistatko? Tämä on lyhennetyn kertolaskukaava, nimittäin neliöiden erotus!

Saamme:

Katsotaanpa tarkkaan nimittäjää. Se näyttää paljon yhdeltä osoittajatekijöistä, mutta mikä on vialla? Ehtojen järjestys on väärä. Jos ne käännetään, sääntö 3 voisi olla voimassa. Mutta miten? Osoittautuu, että se on erittäin helppoa: nimittäjän parillinen aste auttaa meitä tässä.

Jos kerrot sen, ei mikään muutu, eikö niin? Mutta nyt se käy näin:

Maagisesti termit vaihtoivat paikkoja. Tämä "ilmiö" pätee tasaisesti mihin tahansa ilmaisuun: voimme helposti muuttaa suluissa olevia merkkejä. Mutta on tärkeää muistaa: Kaikki merkit muuttuvat samaan aikaan! Et voi korvata sitä muuttamalla vain yhtä haittaa, josta emme pidä!

Palataanpa esimerkkiin:

Ja taas kaava:

Eli nyt viimeinen sääntö:

Miten todistamme sen? Tietenkin, kuten tavallista: laajennetaan tutkinnon käsitettä ja yksinkertaistetaan sitä:

No, nyt avataan sulut. Kuinka monta kirjainta on yhteensä? kertaa kertoimilla - mistä tämä muistuttaa sinua? Tämä ei ole muuta kuin toiminnan määritelmä kertolasku: Siellä oli vain kertoimia. Eli tämä on määritelmän mukaan luvun potenssi, jossa on eksponentti:

Esimerkki:

Aste irrationaalisella eksponentilla

Keskitason tutkintotietojen lisäksi analysoimme tutkinnon irrationaalisella eksponentilla. Kaikki asteiden säännöt ja ominaisuudet ovat tässä täsmälleen samat kuin rationaalisen eksponentin asteella, poikkeuksella - loppujen lopuksi irrationaaliset luvut ovat määritelmän mukaan lukuja, joita ei voida esittää murtolukuna, missä ja ovat kokonaislukuja (eli , irrationaaliset luvut ovat kaikki reaalilukuja paitsi rationaaliluvut).

Kun tutkimme tutkintoja luonnollisilla, kokonaisluku- ja rationaalisilla eksponenteilla, loimme joka kerta tietyn "kuvan", "analogian" tai kuvauksen tutummin. Esimerkiksi aste, jolla on luonnollinen eksponentti, on luku, joka kerrotaan itsellään useita kertoja; luku nollapotenssiin on ikään kuin itsellään kerran kerrottu luku, eli he eivät ole vielä alkaneet kertoa sitä, mikä tarkoittaa, että itse luku ei ole vielä edes ilmestynyt - siksi tulos on vain tietty "tyhjä numero", nimittäin numero; aste, jolla on kokonaisluku negatiivinen eksponentti - on ikään kuin jokin "käänteinen prosessi" olisi tapahtunut, eli numeroa ei kerrottu itsestään, vaan se jaettiin.

On äärimmäisen vaikeaa kuvitella astetta irrationaalisella eksponentilla (kuten on vaikea kuvitella 4-ulotteista avaruutta). Se on melko puhdasta matemaattinen objekti, jonka matemaatikot loivat laajentaakseen asteen käsitteen koko lukuavaruuteen.

Muuten, tieteessä käytetään usein astetta, jossa on monimutkainen eksponentti, eli eksponentti ei ole edes reaaliluku. Mutta koulussa emme ajattele tällaisia ​​vaikeuksia; sinulla on mahdollisuus ymmärtää nämä uudet käsitteet instituutissa.

Joten mitä teemme, jos näemme irrationaalisen eksponentin? Yritämme parhaamme päästä eroon siitä! :)

Esimerkiksi:

Päätä itse:

Vastaukset:

1. Muistakaamme neliöiden kaavan ero. Vastaus:.
2. Vähennämme murtoluvut samaan muotoon: joko molemmat desimaalit tai molemmat tavalliset. Saamme esimerkiksi: .
3. Ei mitään erikoista, käytämme tavallisia asteiden ominaisuuksia:

YHTEENVETO OSISTA JA PERUSKAAVISTA

Tutkinto kutsutaan muodon lausekkeeksi: , jossa:

Aste kokonaislukueksponentilla

aste, jonka eksponentti on luonnollinen luku (eli kokonaisluku ja positiivinen).

Teho rationaalisen eksponentin kanssa

astetta, jonka eksponentti on negatiivinen ja murtoluku.

Aste irrationaalisella eksponentilla

aste, jonka eksponentti on ääretön desimaalimurto tai juuri.

Tutkintojen ominaisuudet

Asteiden ominaisuudet.

• Negatiivinen luku korotettu arvoon jopa tutkinto, - numero positiivinen.
• Negatiivinen luku korotettu arvoon outo tutkinto, - numero negatiivinen.
• Positiivinen luku missä tahansa määrin on positiivinen luku.
• Nolla on yhtä suuri kuin mikä tahansa teho.
• Mikä tahansa luku nollapotenssiin on yhtä suuri.

NYT SINULLA ON SANA...

Mitä pidät artikkelista? Kirjoita alle kommentteihin piditkö siitä vai et.

Kerro meille kokemuksistasi tutkintoominaisuuksien käytöstä.

Ehkä sinulla on kysymyksiä. Tai ehdotuksia.

Kirjoita kommentteihin.

Ja onnea kokeisiin!