දශම ලඝුගණකවල ගුණ. ලඝුගණකයේ අර්ථ දැක්වීම සහ එහි ගුණාංග: න්යාය සහ ගැටළු විසඳීම

ප්රධාන ගුණාංග.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

සමාන බිම්

Log6 4 + log6 9.

දැන් අපි කාර්යය ටිකක් සංකීර්ණ කරමු.

ලඝුගණක විසඳීමේ උදාහරණ

ලඝුගණකයේ පදනම හෝ තර්කය බලයක් නම්? එවිට මෙම උපාධියේ ඝාතකය පහත සඳහන් නීතිවලට අනුව ලඝුගණකයේ ලකුණෙන් ඉවත් කළ හැකිය:

ඇත්ත වශයෙන්ම, ලඝුගණකයේ ODZ නිරීක්ෂණය කළහොත් මෙම සියලු නීති අර්ථවත් වේ: a > 0, a ≠ 1, x >

කාර්යය. ප්රකාශනයේ අර්ථය සොයන්න:

නව පදනමකට මාරුවීම

ලඝුගණක logax ලබා දෙන්න. එවිට c > 0 සහ c ≠ 1 වැනි ඕනෑම අංකයක් සඳහා සමානාත්මතාවය සත්‍ය වේ:

කාර්යය. ප්රකාශනයේ අර්ථය සොයන්න:

මෙයද බලන්න:

ලඝුගණකයේ මූලික ගුණාංග

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

ඝාතකය 2.718281828 වේ. ඝාතකය මතක තබා ගැනීම සඳහා, ඔබට රීතිය අධ්යයනය කළ හැකිය: ඝාතකය 2.7 ට සමාන වන අතර ලියෝ නිකොලෙවිච් ටෝල්ස්ටෝයිගේ උපන් වර්ෂය මෙන් දෙගුණයක් වේ.

ලඝුගණකවල මූලික ගුණාංග

මෙම රීතිය දැන ගැනීමෙන්, ඔබ දැන ගනු ඇත නියම අගයප්රදර්ශකයින්, සහ ලියෝ ටෝල්ස්ටෝයිගේ උපන් දිනය.

ලඝුගණක සඳහා උදාහරණ

ලඝුගණක ප්‍රකාශන

උදාහරණ 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

ගුණාංග 3.5 භාවිතා කරමින් අපි ගණනය කරමු

2.

3.

4. කොහෙද .

උදාහරණය 2. x if සොයන්න

උදාහරණ 3. ලඝුගණකවල අගය ලබා දෙන්න

ලොගය (x) නම් ගණනය කරන්න

ලඝුගණකවල මූලික ගුණාංග

ලඝුගණක, ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් මෙන්, සෑම ආකාරයකින්ම එකතු කිරීමට, අඩු කිරීමට සහ පරිවර්තනය කිරීමට හැකිය. නමුත් ලඝුගණක හරියටම සාමාන්‍ය සංඛ්‍යා නොවන බැවින්, මෙහි නීති ඇත, ඒවා හඳුන්වනු ලැබේ ප්රධාන ගුණාංග.

ඔබ අනිවාර්යයෙන්ම මෙම නීති දැන සිටිය යුතුය - ඒවා නොමැතිව, එක් බරපතල ලඝුගණක ගැටළුවක් විසඳිය නොහැක. ඊට අමතරව, ඒවායින් ඉතා ස්වල්පයක් ඇත - ඔබට එක් දිනක් තුළ සියල්ල ඉගෙන ගත හැකිය. එහෙනම් අපි පටන් ගනිමු.

ලඝුගණක එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම

එකම පාද සහිත ලඝුගණක දෙකක් සලකා බලන්න: logax සහ logay. එවිට ඒවා එකතු කර අඩු කළ හැක, සහ:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

එබැවින්, ලඝුගණකවල එකතුව නිෂ්පාදනයේ ලඝුගණකයට සමාන වන අතර, වෙනස කොටස්වල ලඝුගණකයට සමාන වේ. කරුණාකර සටහන් කර ගන්න: ප්රධාන කරුණමෙතන - සමාන බිම්. හේතු වෙනස් නම්, මෙම නීති ක්රියා නොකරයි!

මෙම සූත්‍ර ඔබට ලඝුගණක ප්‍රකාශනයක් එහි තනි කොටස් නොසලකන විට පවා ගණනය කිරීමට උපකාරී වනු ඇත ("ලඝුගණකයක් යනු කුමක්ද" යන පාඩම බලන්න). උදාහරණ දෙස බලා බලන්න:

ලඝුගණක වලට එකම පාද ඇති බැවින්, අපි එකතු කිරීමේ සූත්‍රය භාවිතා කරමු:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

කාර්යය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log2 48 - log2 3.

පදනම් සමාන වේ, අපි වෙනස සූත්රය භාවිතා කරමු:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

කාර්යය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log3 135 - log3 5.

නැවතත් පදනම් සමාන වේ, එබැවින් අපට ඇත්තේ:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

ඔබට පෙනෙන පරිදි, මුල් ප්රකාශනයන් "නරක" ලඝුගණක වලින් සමන්විත වන අතර ඒවා වෙන වෙනම ගණනය නොකෙරේ. නමුත් පරිවර්තනයෙන් පසුව, සම්පූර්ණයෙන්ම සාමාන්ය සංඛ්යා ලබා ගනී. බොහෝ අය මෙම කරුණ මත ගොඩනගා ඇත පරීක්ෂණ. ඔව්, ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගයේදී පරීක්ෂණ වැනි ප්‍රකාශන සියලු බැරෑරුම් ලෙස (සමහර විට ප්‍රායෝගිකව කිසිදු වෙනසක් නොමැතිව) ඉදිරිපත් කෙරේ.

ලඝුගණකයෙන් ඝාතකය උපුටා ගැනීම

එය සැලකිල්ලට ගැනීම පහසුය අවසාන රීතියපළමු දෙක අනුගමනය කරයි. නමුත් එය කෙසේ හෝ මතක තබා ගැනීම වඩා හොඳය - සමහර අවස්ථාවලදී එය ගණනය කිරීම් ප්රමාණය සැලකිය යුතු ලෙස අඩු කරනු ඇත.

ඇත්ත වශයෙන්ම, ලඝුගණකයේ ODZ නිරීක්ෂණය කළහොත් මෙම නීති සියල්ල අර්ථවත් කරයි: a > 0, a ≠ 1, x > 0. සහ තවත් එක් දෙයක්: වමේ සිට දකුණට පමණක් නොව, අනෙක් අතට ද සියලු සූත්‍ර යෙදීමට ඉගෙන ගන්න. , i.e. ලඝුගණක ලකුණට පෙර ඔබට ලඝුගණකයටම අංක ඇතුළත් කළ හැක. බොහෝ විට අවශ්ය වන්නේ මෙයයි.

කාර්යය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log7 496.

පළමු සූත්‍රය භාවිතා කර තර්කයේ උපාධිය ඉවත් කරමු:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

කාර්යය. ප්රකාශනයේ අර්ථය සොයන්න:

හරයෙහි ලඝුගණකයක් අඩංගු වන බව සලකන්න, එහි පදනම සහ තර්කය නියම බලයන් වේ: 16 = 24; 49 = 72. අපට ඇත්තේ:

මම හිතන්නේ අවසාන උදාහරණයට යම් පැහැදිලි කිරීමක් අවශ්‍යයි. ලඝුගණක කොහෙද ගිහින් තියෙන්නේ? දක්වාම අවසාන මොහොතඅපි වැඩ කරන්නේ හරය සමඟ පමණි.

ලඝුගණක සූත්‍ර. ලඝුගණක උදාහරණ විසඳුම්.

අපි එහි පවතින ලඝුගණකයේ පදනම සහ තර්කය බලයේ ස්වරූපයෙන් ඉදිරිපත් කර ඝාතකයන් එළියට ගත්තෙමු - අපට “මහල් තුනේ” භාගයක් ලැබුණි.

දැන් අපි ප්රධාන කොටස දෙස බලමු. සංඛ්‍යාංකය සහ හරයෙහි එකම අංකය අඩංගු වේ: log2 7. log2 7 ≠ 0 නිසා, අපට කොටස අඩු කළ හැක - 2/4 හරය තුළ පවතිනු ඇත. අංක ගණිතයේ නීතිවලට අනුව, හතර සංඛ්යාංකයට මාරු කළ හැකිය, එය සිදු කරන ලදී. ප්රතිඵලය වූයේ පිළිතුරයි: 2.

නව පදනමකට මාරුවීම

ලඝුගණක එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම සඳහා නීති රීති ගැන කතා කරමින්, මම විශේෂයෙන් අවධාරණය කළේ ඔවුන් එකම පදනමක් සමඟ පමණක් ක්රියා කරන බවයි. හේතු වෙනස් නම් කුමක් කළ යුතුද? ඒවා එකම සංඛ්‍යාවක නියම බලතල නොවේ නම් කුමක් කළ යුතුද?

නව පදනමකට මාරුවීම සඳහා සූත්‍ර ගලවා ගැනීමට පැමිණේ. අපි ඒවා ප්‍රමේයයක ආකාරයෙන් සකස් කරමු:

ලඝුගණක logax ලබා දෙන්න. එවිට c > 0 සහ c ≠ 1 වැනි ඕනෑම අංකයක් සඳහා සමානාත්මතාවය සත්‍ය වේ:

විශේෂයෙන්, අපි c = x සකසන්නේ නම්, අපට ලැබෙන්නේ:

දෙවන සූත්‍රයෙන් එය ලඝුගණකයේ පාදම සහ තර්කය මාරු කළ හැකි බව අනුගමනය කරයි, නමුත් මෙම අවස්ථාවෙහිදී සම්පූර්ණ ප්‍රකාශනය "පෙරළී ඇත", i.e. ලඝුගණකය හරයේ දිස්වේ.

මෙම සූත්‍ර සාමාන්‍ය සංඛ්‍යාත්මක ප්‍රකාශනවල දක්නට ලැබෙන්නේ කලාතුරකිනි. ඒවා කොතරම් පහසුදැයි තක්සේරු කළ හැක්කේ තීරණය කිරීමෙන් පමණි ලඝුගණක සමීකරණසහ අසමානතා.

කෙසේ වෙතත්, නව පදනමකට යාම හැර කිසිසේත් විසඳිය නොහැකි ගැටළු තිබේ. අපි මේවායින් කිහිපයක් බලමු:

කාර්යය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log5 16 log2 25.

ලඝුගණක දෙකේම තර්කවල නිශ්චිත බලතල අඩංගු බව සලකන්න. අපි දර්ශක ඉවත් කරමු: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

දැන් අපි දෙවන ලඝුගණකය "ආපසු" කරමු:

සාධක නැවත සකස් කිරීමේදී නිෂ්පාදිතය වෙනස් නොවන බැවින්, අපි සන්සුන්ව හතර සහ දෙක ගුණ කර, පසුව ලඝුගණක සමඟ කටයුතු කළෙමු.

කාර්යය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log9 100 lg 3.

පළමු ලඝුගණකයේ පදනම සහ තර්කය නියම බලයන් වේ. අපි මෙය ලියා දර්ශක ඉවත් කරමු:

දැන් අපි නව පදනමකට යාමෙන් දශම ලඝුගණකයෙන් මිදෙමු:

මූලික ලඝුගණක අනන්‍යතාවය

බොහෝ විට විසඳුම් ක්‍රියාවලියේදී යම් පාදයකට ලඝුගණකයක් ලෙස සංඛ්‍යාවක් නිරූපණය කිරීම අවශ්‍ය වේ. මෙම අවස්ථාවේදී, පහත සූත්ර අපට උපකාර වනු ඇත:

පළමු අවස්ථාවේ දී, n අංකය තර්කයේ ඝාතකය බවට පත්වේ. එය ලඝුගණක අගයක් වන නිසා n අංකය නියත වශයෙන්ම ඕනෑම දෙයක් විය හැක.

දෙවන සූත්‍රය ඇත්ත වශයෙන්ම පරාවර්තක අර්ථ දැක්වීමකි. ඒකට තමයි කියන්නේ: .

ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම බලයට b අංකයෙන් a අංකය ලබා දෙන තරමට b අංකය එවැනි බලයකට ඔසවා තැබුවහොත් කුමක් සිදුවේද? එය හරි: ප්රතිඵලය එකම අංකයකි a. මෙම ඡේදය නැවත හොඳින් කියවන්න - බොහෝ අය එහි සිරවී සිටිති.

නව පදනමකට ගමන් කිරීම සඳහා සූත්‍ර මෙන්, මූලික ලඝුගණක අනන්‍යතාවය සමහර විට එකම විසඳුම වේ.

කාර්යය. ප්රකාශනයේ අර්ථය සොයන්න:

log25 64 = log5 8 - හුදෙක් ලඝුගණකයේ පාදයෙන් සහ තර්කයෙන් චතුරස්‍රය ගත් බව සලකන්න. එකම පදනමක් සහිත බල ගුණ කිරීමේ නීති සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපට ලැබෙන්නේ:

කවුරුහරි නොදන්නේ නම්, මෙය ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගයෙන් සැබෑ කාර්යයක් විය :)

ලඝුගණක ඒකකය සහ ලඝුගණක ශුන්‍යය

අවසාන වශයෙන්, මම ගුණාංග ලෙස හැඳින්විය නොහැකි අනන්‍යතා දෙකක් දෙන්නෙමි - ඒ වෙනුවට, ඒවා ලඝුගණකයේ අර්ථ දැක්වීමේ ප්‍රතිවිපාක වේ. ඔවුන් නිරන්තරයෙන් ගැටළු වල පෙනී සිටින අතර, පුදුමයට කරුණක් නම්, "උසස්" සිසුන් සඳහා පවා ගැටළු ඇති කරයි.

1. logaa = 1 වේ. වරක් සහ සියල්ල මතක තබා ගන්න: එම පාදයේම a පාදයේ ලඝුගණකය එකකට සමාන වේ.
2. loga 1 = 0 වේ. a පදනම ඕනෑම දෙයක් විය හැක, නමුත් තර්කයේ එකක් අඩංගු නම්, ලඝුගණකය බිංදුවට සමාන වේ! a0 = 1 යනු අර්ථ දැක්වීමේ සෘජු ප්රතිවිපාකයක් වන බැවිනි.

දේපල එච්චරයි. ඒවා ක්‍රියාවට නැංවීමට පුරුදු වන්න! පාඩම ආරම්භයේ ඇති වංචා පත්‍රය බාගත කර එය මුද්‍රණය කර ගැටළු විසඳන්න.

මෙයද බලන්න:

a පාදක කිරීමට b හි ලඝුගණකය ප්‍රකාශනය දක්වයි. ලඝුගණකය ගණනය කිරීම යනු සමානාත්මතාවය තෘප්තිමත් වන x () බලයක් සොයා ගැනීමයි

ලඝුගණකයේ මූලික ගුණාංග

ලඝුගණක සම්බන්ධ ගැටළු සහ උදාහරණ සියල්ලම පාහේ ඒවායේ පදනම මත විසඳා ඇති බැවින්, ඉහත ගුණාංග දැනගැනීම අවශ්ය වේ. ඉතිරි විදේශීය ගුණාංග මෙම සූත්‍ර සමඟ ගණිතමය උපාමාරු හරහා ව්‍යුත්පන්න කළ හැක

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

ලඝුගණකවල එකතුව සහ වෙනස සඳහා සූත්‍රය ගණනය කිරීමේදී (3.4) ඔබට බොහෝ විට හමු වේ. ඉතිරිය තරමක් සංකීර්ණ ය, නමුත් කාර්යයන් ගණනාවක දී ඒවා සංකීර්ණ ප්‍රකාශන සරල කිරීම සහ ඒවායේ අගයන් ගණනය කිරීම සඳහා අත්‍යවශ්‍ය වේ.

ලඝුගණකවල පොදු අවස්ථා

සමහර පොදු ලඝුගණක යනු පාදය දහය, ඝාතීය හෝ දෙක වන ඒවා වේ.
දහයේ පාදයේ ලඝුගණකය සාමාන්‍යයෙන් දශම ලඝුගණකය ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර එය හුදෙක් lg(x) මගින් දැක්වේ.

පටිගත කිරීමේදී මූලික කරුණු ලියා නොමැති බව පටිගත කිරීමෙන් පැහැදිලි වේ. උදාහරණ වශයෙන්

ස්වාභාවික ලඝුගණකයක් යනු ලඝුගණකයක් වන අතර එහි පාදය ඝාතීය (ln(x) මගින් දක්වනු ලැබේ).

ඝාතකය 2.718281828 වේ. ඝාතකය මතක තබා ගැනීම සඳහා, ඔබට රීතිය අධ්යයනය කළ හැකිය: ඝාතකය 2.7 ට සමාන වන අතර ලියෝ නිකොලෙවිච් ටෝල්ස්ටෝයිගේ උපන් වර්ෂය මෙන් දෙගුණයක් වේ. මෙම රීතිය දැන ගැනීමෙන්, ඔබ ඝාතකයේ නියම අගය සහ ලියෝ ටෝල්ස්ටෝයිගේ උපන් දිනය යන දෙකම දැන ගනු ඇත.

සහ පාද දෙක සඳහා තවත් වැදගත් ලඝුගණකයක් මගින් දැක්වේ

ශ්‍රිතයක ලඝුගණකයේ ව්‍යුත්පන්නය විචල්‍යයෙන් බෙදූ එකකට සමාන වේ

අනුකලිත හෝ ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න ලඝුගණකය තීරණය වන්නේ සම්බන්ධතාවය මගිනි

ලඝුගණක සහ ලඝුගණක සම්බන්ධ ගැටළු රාශියක් විසඳීමට දී ඇති ද්‍රව්‍ය ඔබට ප්‍රමාණවත් වේ. ද්රව්යය තේරුම් ගැනීමට ඔබට උපකාර කිරීම සඳහා, මම පොදු උදාහරණ කිහිපයක් දෙන්නෙමි පාසල් විෂය මාලාවසහ විශ්ව විද්යාල.

ලඝුගණක සඳහා උදාහරණ

ලඝුගණක ප්‍රකාශන

උදාහරණ 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

ගුණාංග 3.5 භාවිතා කරමින් අපි ගණනය කරමු

2.
අපට ඇති ලඝුගණක වෙනසෙහි ගුණය අනුව

3.
ගුණාංග 3.5 භාවිතා කරමින් අපි සොයා ගනිමු

4. කොහෙද .

පෙනුමෙන් සංකීර්ණ ප්රකාශනයරීති ගණනාවක් භාවිතා කිරීම සරල කර ඇත

ලඝුගණක අගයන් සොයා ගැනීම

උදාහරණය 2. x if සොයන්න

විසඳුම. ගණනය කිරීම සඳහා, අපි අවසාන පදය 5 සහ 13 ගුණාංගවලට අදාළ වේ

අපි එය වාර්තාගත කර වැලපෙමු

පදනම් සමාන බැවින්, අපි ප්රකාශන සමාන කරමු

ලඝුගණක. ඇතුල්වීමේ මට්ටම.

ලඝුගණකවල අගය දෙන්න

ලොගය (x) නම් ගණනය කරන්න

විසඳුම: ලඝුගණකය ලිවීමට විචල්‍යයේ ලඝුගණකයක් ගනිමු.

මෙය ලඝුගණක සහ ඒවායේ ගුණාංග පිළිබඳ අපගේ දැනුමේ ආරම්භය පමණි. ගණනය කිරීම් පුහුණු කරන්න, ඔබේ ප්‍රායෝගික කුසලතා පොහොසත් කරන්න - ලඝුගණක සමීකරණ විසඳීම සඳහා ඔබ ලබා ගන්නා දැනුම ඔබට ඉක්මනින් අවශ්‍ය වනු ඇත. එවැනි සමීකරණ විසඳීම සඳහා මූලික ක්‍රම අධ්‍යයනය කිරීමෙන් පසු, අපි ඔබේ දැනුම තවත් නොඅඩු දෙයක් සඳහා පුළුල් කරන්නෙමු වැදගත් මාතෘකාවක්- ලඝුගණක අසමානතා...

ලඝුගණකවල මූලික ගුණාංග

ලඝුගණක, ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් මෙන්, සෑම ආකාරයකින්ම එකතු කිරීමට, අඩු කිරීමට සහ පරිවර්තනය කිරීමට හැකිය. නමුත් ලඝුගණක හරියටම සාමාන්‍ය සංඛ්‍යා නොවන බැවින්, මෙහි නීති ඇත, ඒවා හඳුන්වනු ලැබේ ප්රධාන ගුණාංග.

ඔබ අනිවාර්යයෙන්ම මෙම නීති දැන සිටිය යුතුය - ඒවා නොමැතිව, එක් බරපතල ලඝුගණක ගැටළුවක් විසඳිය නොහැක. ඊට අමතරව, ඒවායින් ඉතා ස්වල්පයක් ඇත - ඔබට එක් දිනක් තුළ සියල්ල ඉගෙන ගත හැකිය. එහෙනම් අපි පටන් ගනිමු.

ලඝුගණක එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම

එකම පාද සහිත ලඝුගණක දෙකක් සලකා බලන්න: logax සහ logay. එවිට ඒවා එකතු කර අඩු කළ හැක, සහ:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

එබැවින්, ලඝුගණකවල එකතුව නිෂ්පාදනයේ ලඝුගණකයට සමාන වන අතර, වෙනස කොටස්වල ලඝුගණකයට සමාන වේ. කරුණාකර සටහන් කරන්න: මෙහි ප්රධාන කාරණය සමාන බිම්. හේතු වෙනස් නම්, මෙම නීති ක්රියා නොකරයි!

මෙම සූත්‍ර ඔබට ලඝුගණක ප්‍රකාශනයක් එහි තනි කොටස් නොසලකන විට පවා ගණනය කිරීමට උපකාරී වනු ඇත ("ලඝුගණකයක් යනු කුමක්ද" යන පාඩම බලන්න). උදාහරණ දෙස බලා බලන්න:

කාර්යය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log6 4 + log6 9.

ලඝුගණක වලට එකම පාද ඇති බැවින්, අපි එකතු කිරීමේ සූත්‍රය භාවිතා කරමු:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

කාර්යය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log2 48 - log2 3.

පදනම් සමාන වේ, අපි වෙනස සූත්රය භාවිතා කරමු:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

කාර්යය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log3 135 - log3 5.

නැවතත් පදනම් සමාන වේ, එබැවින් අපට ඇත්තේ:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

ඔබට පෙනෙන පරිදි, මුල් ප්රකාශනයන් "නරක" ලඝුගණක වලින් සමන්විත වන අතර ඒවා වෙන වෙනම ගණනය නොකෙරේ. නමුත් පරිවර්තනයෙන් පසුව, සම්පූර්ණයෙන්ම සාමාන්ය සංඛ්යා ලබා ගනී. බොහෝ පරීක්ෂණ මෙම කරුණ මත පදනම් වේ. ඔව්, ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගයේදී පරීක්ෂණ වැනි ප්‍රකාශන සියලු බැරෑරුම් ලෙස (සමහර විට ප්‍රායෝගිකව කිසිදු වෙනසක් නොමැතිව) ඉදිරිපත් කෙරේ.

ලඝුගණකයෙන් ඝාතකය උපුටා ගැනීම

දැන් අපි කාර්යය ටිකක් සංකීර්ණ කරමු. ලඝුගණකයේ පදනම හෝ තර්කය බලයක් නම්? එවිට මෙම උපාධියේ ඝාතකය පහත සඳහන් නීතිවලට අනුව ලඝුගණකයේ ලකුණෙන් ඉවත් කළ හැකිය:

අවසාන රීතිය පළමු දෙක අනුගමනය කරන බව දැකීම පහසුය. නමුත් එය කෙසේ හෝ මතක තබා ගැනීම වඩා හොඳය - සමහර අවස්ථාවලදී එය ගණනය කිරීම් ප්රමාණය සැලකිය යුතු ලෙස අඩු කරනු ඇත.

ඇත්ත වශයෙන්ම, ලඝුගණකයේ ODZ නිරීක්ෂණය කළහොත් මෙම නීති සියල්ල අර්ථවත් කරයි: a > 0, a ≠ 1, x > 0. සහ තවත් එක් දෙයක්: වමේ සිට දකුණට පමණක් නොව, අනෙක් අතට ද සියලු සූත්‍ර යෙදීමට ඉගෙන ගන්න. , i.e. ලඝුගණක ලකුණට පෙර ඔබට ලඝුගණකයටම අංක ඇතුළත් කළ හැක.

ලඝුගණක විසඳන ආකාරය

බොහෝ විට අවශ්ය වන්නේ මෙයයි.

කාර්යය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log7 496.

පළමු සූත්‍රය භාවිතා කර තර්කයේ උපාධිය ඉවත් කරමු:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

කාර්යය. ප්රකාශනයේ අර්ථය සොයන්න:

හරයෙහි ලඝුගණකයක් අඩංගු වන බව සලකන්න, එහි පදනම සහ තර්කය නියම බලයන් වේ: 16 = 24; 49 = 72. අපට ඇත්තේ:

මම හිතන්නේ අවසාන උදාහරණයට යම් පැහැදිලි කිරීමක් අවශ්‍යයි. ලඝුගණක කොහෙද ගිහින් තියෙන්නේ? අවසාන මොහොත දක්වා අපි වැඩ කරන්නේ හරය සමඟ පමණි. අපි එහි පවතින ලඝුගණකයේ පදනම සහ තර්කය බලයේ ස්වරූපයෙන් ඉදිරිපත් කර ඝාතකයන් එළියට ගත්තෙමු - අපට “මහල් තුනේ” භාගයක් ලැබුණි.

දැන් අපි ප්රධාන කොටස දෙස බලමු. සංඛ්‍යාංකය සහ හරයෙහි එකම අංකය අඩංගු වේ: log2 7. log2 7 ≠ 0 නිසා, අපට කොටස අඩු කළ හැක - 2/4 හරය තුළ පවතිනු ඇත. අංක ගණිතයේ නීතිවලට අනුව, හතර සංඛ්යාංකයට මාරු කළ හැකිය, එය සිදු කරන ලදී. ප්රතිඵලය වූයේ පිළිතුරයි: 2.

නව පදනමකට මාරුවීම

ලඝුගණක එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම සඳහා නීති රීති ගැන කතා කරමින්, මම විශේෂයෙන් අවධාරණය කළේ ඔවුන් එකම පදනමක් සමඟ පමණක් ක්රියා කරන බවයි. හේතු වෙනස් නම් කුමක් කළ යුතුද? ඒවා එකම සංඛ්‍යාවක නියම බලතල නොවේ නම් කුමක් කළ යුතුද?

නව පදනමකට මාරුවීම සඳහා සූත්‍ර ගලවා ගැනීමට පැමිණේ. අපි ඒවා ප්‍රමේයයක ආකාරයෙන් සකස් කරමු:

ලඝුගණක logax ලබා දෙන්න. එවිට c > 0 සහ c ≠ 1 වැනි ඕනෑම අංකයක් සඳහා සමානාත්මතාවය සත්‍ය වේ:

විශේෂයෙන්, අපි c = x සකසන්නේ නම්, අපට ලැබෙන්නේ:

දෙවන සූත්‍රයෙන් එය ලඝුගණකයේ පාදම සහ තර්කය මාරු කළ හැකි බව අනුගමනය කරයි, නමුත් මෙම අවස්ථාවෙහිදී සම්පූර්ණ ප්‍රකාශනය "පෙරළී ඇත", i.e. ලඝුගණකය හරයේ දිස්වේ.

මෙම සූත්‍ර සාමාන්‍ය සංඛ්‍යාත්මක ප්‍රකාශනවල දක්නට ලැබෙන්නේ කලාතුරකිනි. ලඝුගණක සමීකරණ සහ අසමානතා විසඳන විට පමණක් ඒවා කොතරම් පහසුදැයි තක්සේරු කළ හැකිය.

කෙසේ වෙතත්, නව පදනමකට යාම හැර කිසිසේත් විසඳිය නොහැකි ගැටළු තිබේ. අපි මේවායින් කිහිපයක් බලමු:

කාර්යය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log5 16 log2 25.

ලඝුගණක දෙකේම තර්කවල නිශ්චිත බලතල අඩංගු බව සලකන්න. අපි දර්ශක ඉවත් කරමු: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

දැන් අපි දෙවන ලඝුගණකය "ආපසු" කරමු:

සාධක නැවත සකස් කිරීමේදී නිෂ්පාදිතය වෙනස් නොවන බැවින්, අපි සන්සුන්ව හතර සහ දෙක ගුණ කර, පසුව ලඝුගණක සමඟ කටයුතු කළෙමු.

කාර්යය. ප්‍රකාශනයේ අගය සොයන්න: log9 100 lg 3.

පළමු ලඝුගණකයේ පදනම සහ තර්කය නියම බලයන් වේ. අපි මෙය ලියා දර්ශක ඉවත් කරමු:

දැන් අපි නව පදනමකට යාමෙන් දශම ලඝුගණකයෙන් මිදෙමු:

මූලික ලඝුගණක අනන්‍යතාවය

බොහෝ විට විසඳුම් ක්‍රියාවලියේදී යම් පාදයකට ලඝුගණකයක් ලෙස සංඛ්‍යාවක් නිරූපණය කිරීම අවශ්‍ය වේ. මෙම අවස්ථාවේදී, පහත සූත්ර අපට උපකාර වනු ඇත:

පළමු අවස්ථාවේ දී, n අංකය තර්කයේ ඝාතකය බවට පත්වේ. එය ලඝුගණක අගයක් වන නිසා n අංකය නියත වශයෙන්ම ඕනෑම දෙයක් විය හැක.

දෙවන සූත්‍රය ඇත්ත වශයෙන්ම පරාවර්තක අර්ථ දැක්වීමකි. ඒකට තමයි කියන්නේ: .

ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම බලයට b අංකයෙන් a අංකය ලබා දෙන තරමට b අංකය එවැනි බලයකට ඔසවා තැබුවහොත් කුමක් සිදුවේද? එය හරි: ප්රතිඵලය එකම අංකයකි a. මෙම ඡේදය නැවත හොඳින් කියවන්න - බොහෝ අය එහි සිරවී සිටිති.

නව පදනමකට ගමන් කිරීම සඳහා සූත්‍ර මෙන්, මූලික ලඝුගණක අනන්‍යතාවය සමහර විට එකම විසඳුම වේ.

කාර්යය. ප්රකාශනයේ අර්ථය සොයන්න:

log25 64 = log5 8 - හුදෙක් ලඝුගණකයේ පාදයෙන් සහ තර්කයෙන් චතුරස්‍රය ගත් බව සලකන්න. එකම පදනමක් සහිත බල ගුණ කිරීමේ නීති සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපට ලැබෙන්නේ:

කවුරුහරි නොදන්නේ නම්, මෙය ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගයෙන් සැබෑ කාර්යයක් විය :)

ලඝුගණක ඒකකය සහ ලඝුගණක ශුන්‍යය

අවසාන වශයෙන්, මම ගුණාංග ලෙස හැඳින්විය නොහැකි අනන්‍යතා දෙකක් දෙන්නෙමි - ඒ වෙනුවට, ඒවා ලඝුගණකයේ අර්ථ දැක්වීමේ ප්‍රතිවිපාක වේ. ඔවුන් නිරන්තරයෙන් ගැටළු වල පෙනී සිටින අතර, පුදුමයට කරුණක් නම්, "උසස්" සිසුන් සඳහා පවා ගැටළු ඇති කරයි.

1. logaa = 1 වේ. වරක් සහ සියල්ල මතක තබා ගන්න: එම පාදයේම a පාදයේ ලඝුගණකය එකකට සමාන වේ.
2. loga 1 = 0 වේ. a පදනම ඕනෑම දෙයක් විය හැක, නමුත් තර්කයේ එකක් අඩංගු නම්, ලඝුගණකය බිංදුවට සමාන වේ! a0 = 1 යනු අර්ථ දැක්වීමේ සෘජු ප්රතිවිපාකයක් වන බැවිනි.

දේපල එච්චරයි. ඒවා ක්‍රියාවට නැංවීමට පුරුදු වන්න! පාඩම ආරම්භයේ ඇති වංචා පත්‍රය බාගත කර එය මුද්‍රණය කර ගැටළු විසඳන්න.

සමාජය දියුණු වීමත් නිෂ්පාදනය සංකීර්ණ වීමත් සමඟ ගණිතය ද දියුණු විය. සරල සිට සංකීර්ණ දක්වා චලනය. එකතු කිරීමේ සහ අඩු කිරීමේ ක්‍රමය භාවිතා කරන සාමාන්‍ය ගිණුම්කරණයෙන්, ඒවායේ නැවත නැවත පුනරාවර්තනය වීමත් සමඟ, අපි ගුණ කිරීම සහ බෙදීම යන සංකල්පයට පැමිණියෙමු. ගුණ කිරීමේ පුනරාවර්තන ක්‍රියාකාරිත්වය අඩු කිරීම ඝාතන සංකල්පය බවට පත් විය. සංඛ්‍යා පදනම් මත යැපීම සහ ඝාතන සංඛ්‍යාව පිළිබඳ පළමු වගු 8 වැනි සියවසේදී ඉන්දියානු ගණිතඥ වරසේන විසින් සම්පාදනය කරන ලදී. ඔවුන්ගෙන් ඔබට ලඝුගණක සිදුවීමේ කාලය ගණනය කළ හැකිය.

ඓතිහාසික කටු සටහන

16 වන සියවසේ යුරෝපයේ පුනර්ජීවනය යාන්ත්‍ර විද්‍යාවේ දියුණුව ද උත්තේජනය කළේය. ටී විශාල ගණනය කිරීම් අවශ්ය වියගුණ කිරීම හා බෙදීම සම්බන්ධය බහු ඉලක්කම් අංක. පැරණි වගු විශාල සේවයක් විය. සංකීර්ණ මෙහෙයුම් සරල ඒවා සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමට ඔවුන් සමත් විය - එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම. විශාල ඉදිරි පියවරක් වූයේ 1544 දී ප්‍රකාශයට පත් කරන ලද ගණිතඥ මයිකල් ස්ටීෆෙල්ගේ කෘතිය, ඔහු බොහෝ ගණිතඥයින්ගේ අදහස අවබෝධ කර ගැනීමයි. මෙමගින් පෝරමයේ උපාධි සඳහා පමණක් නොව වගු භාවිතා කිරීමට හැකි විය ප්‍රාථමික සංඛ්‍යා, නමුත් හිතුවක්කාර තාර්කික අය සඳහා.

1614 දී ස්කොට්ලන්ත ජාතික ජෝන් නේපියර් විසින් මෙම අදහස් වර්ධනය කරන ලදී නව පදය"සංඛ්‍යාවක ලඝුගණකය." අලුත් සංකීර්ණ වගුසයින් සහ කෝසයිනවල ලඝුගණක ගණනය කිරීම සඳහා මෙන්ම ස්පර්ශක. මෙය තාරකා විද්යාඥයින්ගේ කාර්යය බෙහෙවින් අඩු විය.

පුරා විද්යාඥයින් විසින් සාර්ථකව භාවිතා කරන ලද නව වගු පෙනෙන්නට පටන් ගත්තේය සියවස් තුනක්. ඉස්සර ගොඩක් වෙලා ගියා නව මෙහෙයුමවීජ ගණිතයේ දී එය එහි නිමි ස්වරූපය ලබා ගත්තේය. ලඝුගණකයේ නිර්වචනය ලබා දී එහි ගුණාංග අධ්යයනය කරන ලදී.

20 වන ශතවර්ෂයේදී පමණක්, කැල්කියුලේටරය සහ පරිගණකයේ පැමිණීමත් සමඟම, 13 වන ශතවර්ෂයේ පුරාවට සාර්ථකව වැඩ කළ පුරාණ වගු මානව වර්ගයා අත්හැරියේය.

අද අපි b හි ලඝුගණකය ලෙස හඳුන්වන්නේ a සංඛ්‍යාව x පාදක කර ගැනීම සඳහා වන අතර එය b සෑදීමට a හි බලය වේ. මෙය සූත්‍රයක් ලෙස ලියා ඇත: x = log a(b).

උදාහරණයක් ලෙස, ලොග් 3(9) 2 ට සමාන වේ. ඔබ නිර්වචනය අනුගමනය කරන්නේ නම් මෙය පැහැදිලිය. අපි 2 බලයට 3 වැඩි කළහොත් අපට 9 ලැබේ.

මේ අනුව, සූත්‍රගත නිර්වචනය සකසන්නේ එක් සීමාවක් පමණි: a සහ b සංඛ්‍යා සැබෑ විය යුතුය.

ලඝුගණක වර්ග

සම්භාව්‍ය නිර්වචනය සැබෑ ලඝුගණකය ලෙස හැඳින්වෙන අතර එය ඇත්ත වශයෙන්ම a x = b සමීකරණයට විසඳුම වේ. විකල්පය a = 1 මායිම් වන අතර එය උනන්දුවක් නොදක්වයි. අවධානය: ඕනෑම බලයකට 1 ට සමාන වේ.

ලඝුගණකයේ සැබෑ වටිනාකමපාදය සහ තර්කය 0 ට වඩා වැඩි වූ විට පමණක් අර්ථ දක්වන අතර, පාදය 1 ට සමාන නොවිය යුතුය.

ගණිත ක්ෂේත්‍රයේ විශේෂ තැනක්ලඝුගණක වාදනය කරන්න, ඒවායේ පාදයේ ප්‍රමාණය අනුව නම් කරනු ලැබේ:

නීති සහ සීමාවන්

ලඝුගණකවල මූලික ගුණය රීතියයි: නිෂ්පාදනයක ලඝුගණකය ලඝුගණක එකතුවට සමාන වේ. log abp = log a(b) + log a(p).

මෙම ප්‍රකාශයේ ප්‍රභේදයක් ලෙස පවතිනු ඇත: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), quotient ශ්‍රිතය ශ්‍රිතවල වෙනසට සමාන වේ.

පෙර නීති දෙකෙන් එය දැකීම පහසුය: log a(b p) = p * log a(b).

අනෙකුත් ගුණාංග ඇතුළත් වේ:

අදහස් දක්වන්න. පොදු වැරැද්දක් නොකරන්න - එකතුවේ ලඝුගණකය නොවේ එකතුවට සමානයිලඝුගණක.

ශතවර්ෂ ගණනාවක් තිස්සේ, ලඝුගණකයක් සොයා ගැනීමේ මෙහෙයුම තරමක් කාලය ගතවන කාර්යයක් විය. ගණිතඥයන් බහුපද ප්‍රසාරණය පිළිබඳ ලඝුගණක න්‍යායේ සුප්‍රසිද්ධ සූත්‍රය භාවිතා කළහ:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), එහිදී n - ස්වභාවික අංකය 1 ට වඩා වැඩි, ගණනය කිරීමේ නිරවද්යතාව තීරණය කරයි.

වෙනත් පාද සහිත ලඝුගණක ගණනය කරනු ලැබුවේ එක් පාදයක සිට තවත් පාදයකට සංක්‍රමණය වීම සහ නිෂ්පාදනයේ ලඝුගණකයේ ගුණය පිළිබඳ ප්‍රමේය භාවිතා කරමිනි.

මෙම ක්රමය ඉතා ශ්රම-දැඩි වන බැවින් සහ ප්‍රායෝගික ගැටලු විසඳන විටක්‍රියාත්මක කිරීමට අපහසු, අපි කලින් සම්පාදනය කරන ලද ලඝුගණක වගු භාවිතා කළ අතර එමඟින් සියලු වැඩ සැලකිය යුතු ලෙස වේගවත් විය.

සමහර අවස්ථාවලදී, ලඝුගණකවල විෙශේෂෙයන් නිර්මාණය කරන ලද ප්රස්තාර භාවිතා කරන ලද අතර, එය අඩු නිරවද්යතාවක් ලබා දුන් නමුත්, අපේක්ෂිත අගය සඳහා සෙවීම් සැලකිය යුතු ලෙස වේගවත් කළේය. y = log a(x) ශ්‍රිතයේ වක්‍රය ලක්ෂ්‍ය කිහිපයක් හරහා ගොඩනගා ඇති අතර, ඔබට වෙනත් ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක ශ්‍රිතයේ අගය සෙවීමට සාමාන්‍ය පාලකයෙකු භාවිතා කිරීමට ඉඩ සලසයි. ඉංජිනේරුවන් දිගු කාලයමෙම අරමුණු සඳහා, ඊනියා ප්රස්ථාර කඩදාසි භාවිතා කරන ලදී.

17 වන ශතවර්ෂයේදී, පළමු සහායක ඇනලොග් පරිගණක තත්වයන් දර්ශනය විය 19 වැනි සියවසනිමි පෙනුමක් ලබා ගත්තේය. වඩාත්ම සාර්ථක උපාංගය ස්ලයිඩ් රීතිය ලෙස හැඳින්වේ. උපාංගයේ සරල බව තිබියදීත්, එහි පෙනුම සියලු ඉංජිනේරු ගණනය කිරීම් ක්රියාවලිය සැලකිය යුතු ලෙස වේගවත් කළ අතර මෙය අධිතක්සේරු කිරීමට අපහසුය. දැනට, මෙම උපාංගය ගැන හුරුපුරුදු අය ස්වල්ප දෙනෙක් සිටිති.

කැල්කියුලේටර සහ පරිගණක පැමිණීම නිසා වෙනත් ඕනෑම උපකරණයක් භාවිතා කිරීම අර්ථ විරහිත විය.

සමීකරණ සහ අසමානතා

ලඝුගණක භාවිතයෙන් විවිධ සමීකරණ සහ අසමානතා විසඳීම සඳහා, පහත සූත්‍ර භාවිතා කරනු ලැබේ:

• එක් පදනමක සිට තවත් පාදයකට මාරුවීම: log a (b) = log c (b) / log c (a);
• පෙර විකල්පයේ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස: log a(b) = 1 / log b(a).

අසමානතා විසඳීම සඳහා දැන ගැනීම ප්රයෝජනවත් වේ:

• ලඝුගණකයේ අගය ධන වනුයේ පාදය සහ තර්කය යන දෙකම එකකට වඩා වැඩි හෝ අඩු නම් පමණි; අවම වශයෙන් එක් කොන්දේසියක් උල්ලංඝනය කර ඇත්නම්, ලඝුගණක අගය ඍණ වේ.
• ලඝුගණක ශ්‍රිතය අසමානතාවයක දකුණු සහ වම් පැතිවලට යොදන්නේ නම් සහ ලඝුගණකයේ පාදය එකකට වඩා වැඩි නම්, අසමානතාවයේ සලකුණ ආරක්ෂා වේ; එසේ නොමැති නම් එය වෙනස් වේ.

ආදර්ශ ගැටළු

ලඝුගණක සහ ඒවායේ ගුණාංග භාවිතා කිරීම සඳහා විකල්ප කිහිපයක් සලකා බලමු. සමීකරණ විසඳීම සඳහා උදාහරණ:

ලඝුගණකය බලයක් තුළ තැබීමේ විකල්පය සලකා බලන්න:

• ගැටළුව 3. 25^ලොග් 5(3) ගණනය කරන්න. විසඳුම: ගැටලුවේ කොන්දේසි යටතේ, ඇතුළත් කිරීම පහත (5^2)^log5(3) හෝ 5^(2 * log 5(3)) ට සමාන වේ. අපි එය වෙනස් ආකාරයකින් ලියන්නෙමු: 5^log 5(3*2), හෝ ශ්‍රිත තර්කයක් ලෙස සංඛ්‍යාවක වර්ගය ශ්‍රිතයේම වර්ග ලෙස ලිවිය හැක (5^log 5(3))^2. ලඝුගණකවල ගුණාංග භාවිතා කරමින්, මෙම ප්රකාශනය 3^2 ට සමාන වේ. පිළිතුර: ගණනය කිරීමේ ප්රතිඵලයක් ලෙස අපට 9 ලැබේ.

ප්රායෝගික යෙදුම

තනිකරම ගණිතමය මෙවලමක් වීම, එය බොහෝ දුරස් බව පෙනේ සැබෑ ජීවිතයලඝුගණකය හදිසියේම අත්පත් කරගත් බව විශාල වටිනාකමක්වස්තූන් විස්තර කිරීමට සැබෑ ලෝකය. එය භාවිතා නොකරන විද්‍යාවක් සොයා ගැනීම දුෂ්කර ය. මෙය සම්පූර්ණයෙන්ම ස්වාභාවික පමණක් නොව, මානුෂීය දැනුමේ ක්ෂේත්ර සඳහාද අදාළ වේ.

ලඝුගණක පරායත්තතා

සංඛ්‍යාත්මක පරායත්තතා සඳහා උදාහරණ කිහිපයක් මෙන්න:

යාන්ත්ර විද්යාව සහ භෞතික විද්යාව

ඓතිහාසික වශයෙන්, යාන්ත්‍ර විද්‍යාව සහ භෞතික විද්‍යාව සෑම විටම ගණිතමය පර්යේෂණ ක්‍රම භාවිතා කරමින් වර්ධනය වී ඇති අතර ඒ සමඟම ලඝුගණක ඇතුළු ගණිතය සංවර්ධනය සඳහා දිරිගැන්වීමක් ලෙසද ක්‍රියා කරයි. භෞතික විද්‍යාවේ බොහෝ නීති වල න්‍යාය ලියා ඇත්තේ ගණිතයේ භාෂාවෙනි. විස්තර සඳහා උදාහරණ දෙකක් පමණක් ලබා දෙමු භෞතික නීතිලඝුගණක භාවිතා කරමින්.

රොකට්ටුවක වේගය වැනි සංකීර්ණ ප්‍රමාණයක් ගණනය කිරීමේ ගැටළුව අභ්‍යවකාශ ගවේෂණ න්‍යායට පදනම දැමූ ටිසොල්කොව්ස්කි සූත්‍රය භාවිතා කිරීමෙන් විසඳිය හැකිය:

V = I * ln (M1/M2), එහිදී

• V යනු ගුවන් යානයේ අවසාන වේගයයි.
• I - එන්ජිමේ නිශ්චිත ආවේගය.
• M 1 - රොකට්ටුවේ ආරම්භක ස්කන්ධය.
• M 2 - අවසාන ස්කන්ධය.

තවත් එකක් වැදගත් උදාහරණයක් - මෙය තාප ගති විද්‍යාවේ සමතුලිතතා තත්ත්වය තක්සේරු කිරීමට සේවය කරන තවත් ශ්‍රේෂ්ඨ විද්‍යාඥයෙකු වන මැක්ස් ප්ලාන්ක්ගේ සූත්‍රයේ භාවිතා වේ.

S = k * ln (Ω), කොහෙද

• S - තාප ගතික ගුණය.
• k - Boltzmann නියතය.
• Ω යනු විවිධ ප්‍රාන්තවල සංඛ්‍යාන බරයි.

රසායන විද්යාව

ලඝුගණකවල අනුපාතය අඩංගු රසායන විද්‍යාවේ සූත්‍ර භාවිතය එතරම් පැහැදිලි නැත. අපි උදාහරණ දෙකක් පමණක් ලබා දෙමු:

• Nernst සමීකරණය, ද්‍රව්‍යවල ක්‍රියාකාරිත්වයට සාපේක්ෂව මාධ්‍යයේ රෙඩොක්ස් විභවයේ තත්ත්වය සහ සමතුලිතතා නියතය.
• ඔටෝලිසිස් දර්ශකය සහ ද්‍රාවණයේ ආම්ලිකතාවය වැනි නියතයන් ගණනය කිරීම ද අපගේ ක්‍රියාකාරිත්වය නොමැතිව කළ නොහැක.

මනෝවිද්යාව සහ ජීව විද්යාව

එමෙන්ම මනෝවිද්යාව එයට සම්බන්ධ වන්නේ කුමක්ද යන්න කිසිසේත්ම පැහැදිලි නැත. උත්තේජක තීව්‍රතා අගයේ ප්‍රතිලෝම අනුපාතය අඩු තීව්‍රතා අගය ලෙස මෙම ශ්‍රිතය මගින් සංවේදනයේ ප්‍රබලත්වය හොඳින් විස්තර කර ඇති බව පෙනේ.

ඉහත උදාහරණ වලින් පසුව, ලඝුගණක මාතෘකාව ජීව විද්‍යාවේ බහුලව භාවිතා වීම පුදුමයක් නොවේ. ලඝුගණක සර්පිලාකාර වලට අනුරූප වන ජීව විද්‍යාත්මක ආකෘති ගැන සම්පූර්ණ වෙළුම් ලිවිය හැකිය.

වෙනත් ප්රදේශ

මෙම කාර්යය සමඟ සම්බන්ධ නොවී ලෝකයේ පැවැත්ම කළ නොහැකි බව පෙනේ, එය සියලු නීති පාලනය කරයි. විශේෂයෙන්ම ස්වභාවධර්මයේ නීති සම්බන්ධ වේ ජ්යාමිතික ප්රගතිය. MatProfi වෙබ් අඩවිය වෙත හැරීම වටී, පහත සඳහන් ක්‍රියාකාරකම්වල එවැනි උදාහරණ බොහොමයක් තිබේ:

ලැයිස්තුව නිමක් නැති විය හැක. මෙම කාර්යයේ මූලික මූලධර්ම ප්‍රගුණ කිරීමෙන් ඔබට අනන්ත ප්‍රඥාවේ ලෝකයට ඇද වැටිය හැකිය.

මෙම ලිපියේ අවධානය යොමු වන්නේ ලඝුගණකය. මෙහිදී අපි ලඝුගණකයේ නිර්වචනයක් ලබා දෙන්නෙමු, පිළිගත් අංකනය පෙන්වමු, ලඝුගණක සඳහා උදාහරණ ලබා දෙන්නෙමු, සහ ස්වභාවික හා දශම ලඝුගණක ගැන කතා කරමු. මෙයින් පසු අපි මූලික ලඝුගණක අනන්‍යතාවය සලකා බලමු.

පිටු සංචලනය.

ලඝුගණක අර්ථ දැක්වීම

ලඝුගණක සංකල්පය පැන නගින්නේ ගැටලුවක් විසඳීමේදී ය එක්තරා අර්ථයකින්ප්‍රතිලෝම, ඔබට ඝාතකය සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය වූ විට දන්නා අගයඋපාධිය සහ දන්නා පදනම.

නමුත් ප්රමාණවත් පෙරවදන, "ලඝුගණකයක් යනු කුමක්ද" යන ප්රශ්නයට පිළිතුරු දීමට කාලය පැමිණ තිබේද? අපි අනුරූප අර්ථ දැක්වීම ලබා දෙමු.

අර්ථ දැක්වීම.

b සිට a පාදයේ ලඝුගණකය, මෙහි a>0, a≠1 සහ b>0 යනු ප්‍රතිඵලයක් ලෙස b ලබා ගැනීම සඳහා ඔබට a සංඛ්‍යාව ඉහළ නැංවිය යුතු ඝාතකය වේ.

මෙම අදියරේදී, "ලඝුගණකය" යන කථන වචනය වහාම පසු විපරම් ප්රශ්න දෙකක් මතු කළ යුතු බව අපි සටහන් කරමු: "කුමන අංකය" සහ "කුමන පදනම මත." වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ලඝුගණකයක් නොමැත, නමුත් යම් පාදයකට සංඛ්‍යාවක ලඝුගණකය පමණි.

අපි වහාම ඇතුල් වෙමු ලඝුගණක අංකනය: a පාදක කිරීමට b සංඛ්‍යාවක ලඝුගණකය සාමාන්‍යයෙන් log a b ලෙස දැක්වේ. b සංඛ්‍යාවක ලඝුගණකයට e පාදයේ සිට 10 දක්වා වූ ලඝුගණකයට පිළිවෙලින් lnb සහ logb යන විශේෂ තනතුරු ඇත, එනම්, ඔවුන් ලියන්නේ log e b නොව lnb සහ log 10 b නොව lgb ය.

දැන් අපිට දෙන්න පුළුවන්: .
සහ වාර්තා තේරුමක් නැත, මන්ද ඒවායින් පළමුවැන්නෙහි ලඝුගණක ලකුණ යටතේ ඇත සෘණ අංකය, දෙවැන්නෙහි පාදයේ සෘණ අංකයක් ඇති අතර තුන්වන ස්ථානයේ ලඝුගණක ලකුණ යටතේ සෘණ අංකයක් සහ පාදයේ ඒකකයක් ඇත.

දැන් අපි කතා කරමු ලඝුගණක කියවීම සඳහා නීති. a b යන අංකනය කියවනු ලබන්නේ "a පාදයට b හි ලඝුගණකය" ලෙසිනි. උදාහරණයක් ලෙස, ලොග් 2 3 යනු තුනේ සිට 2 පාදයේ ලඝුගණකය වන අතර, 2 පාදයේ සිට තුනෙන් දෙකේ ලක්ෂ්‍ය දෙකේ ලඝුගණකය වේ. වර්ග මූලපහෙන්. e පාදයට ලඝුගණකය හැඳින්වේ ස්වභාවික ලඝුගණකය, සහ lnb ප්‍රවේශය කියවෙන්නේ " ස්වභාවික ලඝුගණකය b". උදාහරණයක් ලෙස, ln7 යනු හතේ ස්වාභාවික ලඝුගණකය වන අතර, අපි එය pi හි ස්වභාවික ලඝුගණකය ලෙස කියවමු. පාද 10 ලඝුගණකයට විශේෂ නමක් ද ඇත - දශම ලඝුගණකය, සහ lgb "b හි දශම ලඝුගණකය" ලෙස කියවනු ලැබේ. උදාහරණයක් ලෙස, lg1 යනු එකක දශම ලඝුගණකය වන අතර lg2.75 යනු ලක්ෂ්‍ය දෙකේ හත් පන්සියයේ දශම ලඝුගණකයයි.

ලඝුගණකයේ නිර්වචනය ලබා දී ඇති a>0, a≠1 සහ b>0 යන කොන්දේසි මත වෙන වෙනම වාසය කිරීම වටී. මෙම සීමාවන් පැමිණෙන්නේ කොහෙන්ද යන්න අපි පැහැදිලි කරමු. ඉහත දක්වා ඇති ලඝුගණකයේ නිර්වචනයෙන් සෘජුවම පහත දැක්වෙන පෝරමයේ සමානාත්මතාවයක් අපට මෙය කිරීමට උපකාරී වනු ඇත.

අපි a≠1 සමඟ ආරම්භ කරමු. ඕනෑම බලයකට එකක් එකකට සමාන බැවින්, සමානාත්මතාවය සත්‍ය විය හැක්කේ b=1 විට පමණි, නමුත් ලඝු 1 1 ඕනෑම තාත්වික සංඛ්‍යාවක් විය හැක. මෙම අපැහැදිලි බව වළක්වා ගැනීම සඳහා, a≠1 උපකල්පනය කෙරේ.

අපි a>0 කොන්දේසියේ උචිත බව සාධාරණීකරණය කරමු. a=0 සමඟ, ලඝුගණකයේ නිර්වචනය අනුව, අපට b=0 සමඟ පමණක් කළ හැකි සමානාත්මතාවයක් ඇත. නමුත් පසුව 0 0 යනු ශුන්‍ය නොවන තාත්වික සංඛ්‍යාවක් විය හැක, මන්ද ශුන්‍ය නොවන ඕනෑම බලයක් ශුන්‍ය වේ. a≠0 කොන්දේසිය අපට මෙම අපැහැදිලි බව මඟහරවා ගැනීමට ඉඩ සලසයි. සහ විට අ<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

අවසාන වශයෙන්, b>0 කොන්දේසිය අසමානතාවය a>0 සිට අනුගමනය කරයි, සහ ධන පදනමක් සහිත බලයක අගය සෑම විටම ධනාත්මක වේ.

මෙම කරුණ අවසන් කිරීම සඳහා, ලඝුගණකයේ ප්රකාශිත නිර්වචනය මඟින් ලඝුගණක ලකුණ යටතේ ඇති අංකය පාදයේ නිශ්චිත බලයක් වන විට ලඝුගණකයේ අගය වහාම දැක්වීමට ඔබට ඉඩ සලසයි. ඇත්ත වශයෙන්ම, ලඝුගණකයේ නිර්වචනය b=a p නම්, b සංඛ්‍යාවේ ලඝුගණකය a පාදයට p ට සමාන බව ප්‍රකාශ කිරීමට ඉඩ සලසයි. එනම් සමානතා ලොගය a a p =p සත්‍ය වේ. උදාහරණයක් ලෙස, අපි දන්නවා 2 3 =8, පසුව ලොග් 2 8=3. අපි මේ ගැන වැඩි විස්තර ලිපියෙන් කතා කරමු.

ලඝුගණකයක් යනු කුමක්ද?

අවධානය!
අතිරේක ඇත
555 විශේෂ වගන්තියේ ඇති ද්‍රව්‍ය.
ඉතා "බොහෝ නොවේ..." සිටින අය සඳහා
සහ "ඉතා ..." කරන අය සඳහා)

ලඝුගණකයක් යනු කුමක්ද? ලඝුගණක විසඳන්නේ කෙසේද? මෙම ප්රශ්න බොහෝ උපාධිධාරීන් ව්යාකූල කරයි. සාම්ප්‍රදායිකව, ලඝුගණක මාතෘකාව සංකීර්ණ, තේරුම්ගත නොහැකි සහ බියජනක ලෙස සැලකේ. විශේෂයෙන්ම ලඝුගණක සහිත සමීකරණ.

මෙය සම්පූර්ණයෙන්ම සත්ය නොවේ. නියත වශයෙන්ම! මාව විශ්වාස නැද්ද? හොඳයි. දැන්, විනාඩි 10 - 20 කින් ඔබට:

1. ඔබට වැටහෙනු ඇත ලඝුගණකයක් යනු කුමක්ද?.

2. සම්පූර්ණ පන්තියක් විසඳීමට ඉගෙන ගන්න ඝාතීය සමීකරණ. ඔබ ඔවුන් ගැන කිසිවක් අසා නැති වුවද.

3. සරල ලඝුගණක ගණනය කිරීමට ඉගෙන ගන්න.

එපමණක් නොව, මේ සඳහා ඔබට දැන ගැනීමට අවශ්‍ය වන්නේ ගුණ කිරීමේ වගුව සහ සංඛ්‍යාවක් බලයකට ඔසවන්නේ කෙසේද යන්න පමණි.

ඔබට සැකයක් ඇති බව මට හැඟේ... හොඳයි, හරි, වෙලාව සලකුණු කරන්න! අපි යමු!

පළමුව, ඔබේ හිසෙහි මෙම සමීකරණය විසඳන්න:

ඔබ මෙම අඩවියට කැමති නම්...

මාර්ගය වන විට, මට ඔබ සඳහා තවත් රසවත් අඩවි කිහිපයක් තිබේ.)

ඔබට උදාහරණ විසඳීමට පුරුදු වී ඔබේ මට්ටම සොයා ගත හැකිය. ක්ෂණික සත්‍යාපනය සමඟ පරීක්ෂා කිරීම. අපි ඉගෙන ගනිමු - උනන්දුවෙන්!)

ඔබට කාර්යයන් සහ ව්‍යුත්පන්නයන් සමඟ දැන හඳුනා ගත හැකිය.

(ග්‍රීක භාෂාවෙන් λόγος - "වචනය", "සම්බන්ධතාවය" සහ ἀριθμός - "අංක") අංක ආමත පදනම්ව a(ලොග් α ආ) එවැනි අංකයක් ලෙස හැඳින්වේ c, සහ ආ= a c, එනම්, වාර්තා ලොගය α ආ=cසහ b=acසමාන වේ. a > 0, a ≠ 1, b > 0 නම් ලඝුගණකය අර්ථවත් කරයි.

වෙනත් විදිහකින් ලඝුගණකයසංඛ්යා ආමත පදනම්ව ඒසංඛ්‍යාවක් ඉහළ නැංවිය යුතු ඝාතකයක් ලෙස සකස් කර ඇත aඅංකය ලබා ගැනීමට ආ(ලඝුගණකය පවතින්නේ ධන සංඛ්‍යා සඳහා පමණි).

මෙම සූත්‍රගතකරණයෙන් x= log α ගණනය කිරීම අනුගමනය කරයි ආ, a x =b සමීකරණය විසඳීමට සමාන වේ.

උදාහරණ වශයෙන්:

ලොග් 2 8 = 3 නිසා 8 = 2 3 .

ලඝුගණකයේ නිශ්චිත සූත්රගත කිරීම වහාම තීරණය කිරීමට හැකි වන බව අපි අවධාරණය කරමු ලඝුගණක අගය, ලඝුගණක ලකුණ යටතේ අංකය පදනම යම් බලයක් ලෙස ක්රියා කරන විට. ඇත්ත වශයෙන්ම, ලඝුගණක සූත්‍රගත කිරීම එය සාධාරණීකරණය කිරීමට හැකි වේ b = a c, පසුව අංකයේ ලඝුගණකය ආමත පදනම්ව aසමාන වේ සමඟ. ලඝුගණක මාතෘකාව මාතෘකාවට සමීපව සම්බන්ධ වන බව ද පැහැදිලිය අංකයක බල.

ලඝුගණකය ගණනය කිරීම හැඳින්වේ ලඝුගණකය. ලඝුගණකය යනු ලඝුගණකයක් ගැනීමේ ගණිතමය මෙහෙයුමයි. ලඝුගණක ගන්නා විට, සාධකවල නිෂ්පාදන පදවල එකතුවක් බවට පරිවර්තනය වේ.

විභවතාවලඝුගණකයේ ප්‍රතිලෝම ගණිතමය මෙහෙයුමයි. විභවය අතරතුර, දී ඇති පදනමක් විභවය සිදු කරන ප්‍රකාශන මට්ටම දක්වා ඉහළ නංවනු ලැබේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, පදවල එකතුව සාධකවල නිෂ්පාදනයක් බවට පරිවර්තනය වේ.

බොහෝ විට, සැබෑ ලඝුගණක පාදයන් 2 (ද්විමය), ඉයුලර්ගේ අංකය e ≈ 2.718 (ස්වාභාවික ලඝුගණකය) සහ 10 (දශම) සමඟ භාවිතා වේ.

ක්‍රියාත්මකයි මෙම අදියරේදීසලකා බැලීම සුදුසුය ලඝුගණක සාම්පලලඝු-සටහන 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

සහ ඇතුළත් කිරීම් lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 තේරුමක් නැත, මන්ද ඒවායින් පළමුවැන්නෙහි සෘණ අංකයක් ලඝුගණක ලකුණ යටතේ තබා ඇති බැවින්, දෙවැන්නෙහි සෘණ අංකයක් ඇත. පාදයේ, සහ තුන්වන ස්ථානයේ ලඝුගණක ලකුණ යටතේ සෘණ අංකයක් සහ පාදයේ ඒකකයක් ඇත.

ලඝුගණකය නිර්ණය කිරීම සඳහා කොන්දේසි.

අපට ලැබෙන කොන්දේසි a > 0, a ≠ 1, b > 0. යටතේ වෙන වෙනම සලකා බැලීම වටී. ලඝුගණක අර්ථ දැක්වීම.මෙම සීමා කිරීම් සිදු කළේ මන්දැයි අපි සලකා බලමු. x = log α පෝරමයේ සමානාත්මතාවය මේ සඳහා අපට උපකාරී වනු ඇත ආ, මූලික ලඝුගණක අනන්‍යතාවය ලෙස හැඳින්වේ, එය ඉහත දක්වා ඇති ලඝුගණකයේ නිර්වචනයෙන් සෘජුවම අනුගමනය කරයි.

අපි කොන්දේසිය ගනිමු a≠1. ඕනෑම බලයකට එකක් එකකට සමාන බැවින්, සමානාත්මතාවය x=log α ආපැවතිය හැක්කේ විට පමණි b=1, නමුත් ලොග් 1 1 ඕනෑම සැබෑ අංකයක් වනු ඇත. මෙම අපැහැදිලි බව තුරන් කිරීම සඳහා, අපි ගන්නෙමු a≠1.

කොන්දේසියේ අවශ්යතාවය අපි ඔප්පු කරමු a>0. දී a=0ලඝුගණකයේ සූත්‍රගත කිරීම අනුව පැවතිය හැක්කේ කවදාද යන්න පමණි b=0. සහ ඒ අනුව පසුව ලඝු-සටහන 0 0ඕනෑම ශුන්‍ය නොවන තාත්වික සංඛ්‍යාවක් විය හැක, මන්ද ශුන්‍ය නොවන ඕනෑම බලයක් ශුන්‍ය වේ. මෙම අපැහැදිලි තත්ත්වය තත්ත්වයෙන් ඉවත් කළ හැකිය a≠0. සහ කවදාද a<0 තාර්කික සහ අතාර්කික ඝාතකයක් සහිත උපාධියක් අර්ථ දක්වා ඇත්තේ සෘණ නොවන පදනම් සඳහා පමණක් බැවින් ලඝුගණකයේ තාර්කික සහ අතාර්කික අගයන් විශ්ලේෂණය කිරීම අපට ප්‍රතික්ෂේප කිරීමට සිදුවනු ඇත. කොන්දේසිය නියම කර ඇත්තේ මේ හේතුව නිසා ය a>0.

සහ අවසාන කොන්දේසිය b>0අසමානතාවයෙන් අනුගමනය කරයි a>0, x=log α සිට ආ, සහ ධනාත්මක පදනමක් සහිත උපාධියේ අගය aසෑම විටම ධනාත්මක.

ලඝුගණකවල විශේෂාංග.

ලඝුගණකසුවිශේෂී ලෙස සංලක්ෂිත වේ විශේෂාංග, වේදනාකාරී ගණනය කිරීම් සැලකිය යුතු ලෙස පහසු කිරීම සඳහා ඔවුන්ගේ පුළුල් භාවිතයට හේතු විය. "ලඝුගණක ලෝකයට" ගමන් කරන විට, ගුණ කිරීම වඩාත් පහසු එකතු කිරීමක් බවට පරිවර්තනය වේ, බෙදීම අඩු කිරීමක් බවට පරිවර්තනය වේ, සහ ඝාතන සහ මූල නිස්සාරණය පිළිවෙලින් ඝාතකයෙන් ගුණ කිරීම සහ බෙදීම බවට පරිවර්තනය වේ.

ලඝුගණක සැකසීම සහ ඒවායේ අගයන් වගුව (සඳහා ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත) මුලින්ම ප්‍රකාශයට පත් කරන ලද්දේ 1614 දී ස්කොට්ලන්ත ගණිතඥ ජෝන් නේපියර් විසිනි. අනෙකුත් විද්‍යාඥයින් විසින් විශාල කර විස්තර කරන ලද ලඝුගණක වගු විද්‍යාත්මක සහ ඉංජිනේරු ගණනය කිරීම් වලදී බහුලව භාවිතා වූ අතර ඉලෙක්ට්‍රොනික ගණක යන්ත්‍ර සහ පරිගණක භාවිතය තෙක් අදාළව පැවතුනි.