Mikakati safi na mchanganyiko. Michezo katika mikakati safi.

Miongoni mwa michezo ya mwisho ambayo ni ya umuhimu wa vitendo, kuna michezo ya nadra na hatua ya kitanda; Kesi hiyo ni ya kawaida zaidi. "Wakati bei ya chini na ya juu ni michezo tofauti. Kuchambua matrix ya michezo kama hiyo, tulihitimisha kwamba ikiwa kila mchezaji alihitimu

moja ni mkakati pekee., Katika hesabu ya adui wenye busara, uchaguzi huu unapaswa kuamua na kanuni ya minimax. Kushikilia mkakati wao wa maximine, kwa tabia yoyote ya adui kwa ujumla huhakikisha kuwa winnings sawa na bei ya chini ya mchezo. Swali la asili linatokea: ikiwa haiwezekani kuhakikisha mafanikio ya wastani, zaidi, ikiwa haifai mkakati mmoja "safi", na mbadala randomly Mikakati kadhaa?

Mikakati hiyo ya pamoja yenye kutumia mikakati kadhaa safi inayobadilishwa na sheria ya random na uwiano fulani wa mzunguko katika nadharia ya michezo huitwa mikakati ya mchanganyiko.

Kwa wazi, kila mkakati wavu ni kesi maalum ya mchanganyiko, ambayo mikakati yote, isipokuwa moja, hutumiwa na frequency zero, na hii - na mzunguko wa 1.

Inageuka kuwa, si kutumia tu safi, lakini pia mikakati iliyochanganywa., inawezekana kwa kila mchezo wa mwisho kupata suluhisho, yaani jozi ya mikakati hiyo (kwa ujumla, mchanganyiko) ambayo wakati wa kuwatumia wachezaji wote, winnings itakuwa sawa na mchezo, na kwa kupotoka kwa upande mmoja kutoka Mkakati bora, winnings inaweza tu kubadilishwa kwa upande, faida kwa kuacha.

Idhini iliyofanywa ni maudhui ya kinachojulikana kama theorem ya msingi ya nadharia ya michezo. Theorem hii ilikuwa ya kwanza imethibitishwa na historia ya Neumanan mwaka wa 1928, ushahidi unaojulikana wa Theorem ni ngumu; Kwa hiyo, tunatoa maneno yake tu.

Kila mchezo wa mwisho una angalau suluhisho moja (labda katika uwanja wa mikakati iliyochanganywa).

Winnings kupatikana kama matokeo ya suluhisho inaitwa bei ya mchezo. Kutoka Theorem kuu inafuata kwamba kila mchezo wa mwisho una bei. Kwa wazi, bei ya mchezo V daima ni uongo kati ya bei ya chini ya mchezo A na bei ya juu ya mchezo:

Hakika, kuna faida kubwa ya uhakika, ambayo tunaweza kujitolea, kutumia mikakati yako safi tu. Tangu mikakati iliyochanganywa ni pamoja na kesi ya faragha na yote safi, kisha kuruhusu, isipokuwa safi, pia imechanganywa

mikakati, sisi, kwa hali yoyote, si mbaya zaidi uwezo wetu; Kwa hiyo,

Vivyo hivyo, kwa kuzingatia uwezo wa adui, tutaonyesha hiyo

kutoka ambapo usawa umeonekana (3.1).

Tunaanzisha jina maalum kwa mikakati iliyochanganywa. Ikiwa, kwa mfano, mkakati wetu mchanganyiko unajumuisha mikakati ya al, na frequencies, na tutaelezea mkakati huu

Vivyo hivyo, mkakati wa adui mchanganyiko utaashiria:

ambapo - frequency ambayo mikakati ni mchanganyiko.

Tunadhani kwamba tumegundua suluhisho la mchezo, linalojumuisha mikakati miwili iliyochanganywa na S, S. Kwa ujumla, sio mikakati yote ya wavu inapatikana kwa mchezaji huyu ni pamoja na mkakati wake uliochanganywa, lakini tu. Tutaita mikakati iliyojumuishwa katika mkakati bora wa mchezaji mchanganyiko, mikakati yake ya "muhimu".

Inageuka kuwa uamuzi wa mchezo una mwingine mali ya ajabu: Kama mmoja wa wachezaji anazingatia mkakati wake wa mchanganyiko wa 5 (5). Ushindi huo bado haubadilishwa na sawa na bei ya mchezo V, bila kujali kile kinachofanya mchezaji mwingine kama yeye. Sio kwenda zaidi ya mikakati yake ya "muhimu". Yeye, kwa mfano, anaweza kutumia mikakati yoyote ya "muhimu" katika fomu yake safi, na pia inaweza kuchanganya kwa idadi yoyote.

Tunathibitisha kauli hii. Hebu kuwa na uamuzi wa mchezo. Kwa maalum, tunadhani kuwa mkakati wa mchanganyiko unaofaa una mchanganyiko wa tatu

Mikakati "muhimu" ipasavyo ina mchanganyiko wa mikakati tatu "muhimu"

na inasemekana kwamba ikiwa tunazingatia mkakati wa mkakati, basi adui anaweza kutumia mikakati kwa idadi yoyote, na kushinda itaendelea kubadilika na mchezo utaendelea kuwa sawa

Ingawa nilimaliza kitivo cha kimwili-kiufundi, sikujasoma nadharia ya michezo katika chuo kikuu. Lakini kwa sababu mimi ni katika miaka ya Wanafunzi Nilicheza mara ya kwanza kwa upendeleo, na kisha katika daraja, nilikuwa na nia ya nadharia ya michezo, na nilitambua mafunzo madogo. Na hivi karibuni msomaji wa tovuti Mikhail kutatua kazi ya nadharia ya michezo. Niligundua kwamba kazi haikupewa, niliamua kurejesha ujuzi wangu juu ya nadharia ya michezo. Ninakupa kitabu kidogo - taarifa maarufu ya vipengele vya nadharia ya mchezo na njia zingine za kutatua michezo ya matrix. Karibu haina ushahidi na inaonyesha masharti makuu ya nadharia ya mifano. Kitabu hicho cha hisabati na maarufu Elena Sergeevna Vencel. Vizazi kadhaa vya wahandisi wa Soviet walisoma kwenye kitabu chake cha "uwezekano wa nadharia". Elena Sergeevna pia aliandika kadhaa. kazi za fasihi. Chini ya pseudony I. Grekov.

Elena Vencel. Vipengele vya nadharia ya mchezo. - M: Fizmatgiz, 1961. - 68 p.

Pakua fupi abstract. katika muundo au

§ 1. Somo la nadharia ya mchezo. Dhana ya msingi.

Wakati wa kutatua kazi kadhaa za vitendo (katika uwanja wa uchumi, kesi ya kijeshi, nk), ni muhimu kuchambua hali ambapo kuna vyama viwili vya kupigana, kufuata malengo ya kinyume, na matokeo ya kila tukio la Moja ya vyama inategemea picha ya hatua ya kuchagua mpinzani. Tutaita hali kama hizo kwa "hali za migogoro."

Mifano nyingi za hali za migogoro zinaweza kuletwa kutoka kwa watendaji mbalimbali. Hali yoyote inayotokea wakati wa vita ni ya hali ya migogoro: kila vyama vya mapigano huchukua hatua zote zinazopatikana ili kuzuia adui kufikia mafanikio. Migogoro ni na hali inayotokana na uteuzi wa mfumo wa silaha, mbinu za kupambana na maombi yake na kwa ujumla, wakati wa kupanga shughuli za kijeshi: Kila moja ya ufumbuzi katika eneo hili inapaswa kuzingatiwa juu ya matendo ya manufaa ya adui. Hali kadhaa katika uwanja wa uchumi (hasa mbele ya ushindani bure) ni ya hali ya migogoro; Katika jukumu la vyama vinavyojitahidi ni makampuni ya biashara, enterprises viwanda na kadhalika.

Mahitaji ya kuchambua hali kama hiyo imesababisha vifaa maalum vya hisabati kwa maisha. Nadharia ya michezo haifai chochote isipokuwa nadharia ya hisabati ya hali ya migogoro. Lengo la nadharia ni maendeleo ya mapendekezo juu ya hatua ya busara ya kila mmoja wa wapinzani wakati wa hali ya mgogoro. Kila moja kwa moja kuchukuliwa kutokana na mazoezi ya hali ya mgogoro ni ngumu sana, na uchambuzi wake unazuiliwa na uwepo wa mitazamo mbalimbali. Kufanya uchambuzi wa hisabati iwezekanavyo wa hali hiyo, ni muhimu kuvuruga kutoka sekondari, kuleta sababu na kujenga mfano rahisi, rasmi wa hali. Tutaita simu hiyo "mchezo".

Kutoka kwa hali halisi ya mgogoro, mchezo una sifa ya ukweli kwamba unafanyika kulingana na sheria kamili kabisa. Kwa muda mrefu ubinadamu umekuwa ukitumia mifano kama hiyo ya migogoro ambayo ni michezo kwa maana halisi ya neno. Mifano inaweza kutumika chess, checkers, michezo ya kadi, nk. Michezo hii yote ni asili ya ushindani unaozunguka kulingana na sheria zinazojulikana na "ushindi" wa mwisho (kushinda) wa mchezaji fulani.

Michezo kama hiyo iliyowekwa rasmi, iliyopangwa kwa makusudi ni zaidi nyenzo zinazofaa Kwa mfano na ujue dhana ya msingi ya nadharia ya mchezo. Terminology, iliyokopwa kutokana na mazoezi ya michezo kama hiyo, inatumika na wakati wa kuchunguza hali nyingine za migogoro: vyama vinavyohusika ndani yao vinajulikana kama "wachezaji", na matokeo ya mgongano ni "kushinda" moja ya vyama.

Mchezo unaweza kukabiliana na wapinzani wawili au zaidi; Katika kesi ya kwanza, mchezo unaitwa "jozi", katika pili - "nyingi". Washiriki wengi wa mchezo wanaweza kuunda ushirikiano katika kozi yake - kudumu au ya muda. Ikiwa kuna ushirikiano wa kudumu, mchezo wa aina nyingi huchota jozi. Umuhimu mkubwa wa vitendo ni michezo ya paired; Hapa tutajizuia kuzingatia michezo kama hiyo tu.

Hebu tuanze uwasilishaji wa nadharia ya msingi ya michezo na maneno ya dhana za msingi. Tutazingatia mchezo uliounganishwa ambao wachezaji wawili A na B na maslahi tofauti wanahusika. Chini ya "mchezo" tutaelewa tukio linalojumuisha idadi ya vitendo vya vyama na V. Ili mchezo uwe chini ya uchambuzi wa hisabati, sheria za mchezo zinapaswa kufanywa kwa usahihi. Chini ya "Kanuni za mchezo", kuna mfumo wa hali zinazosimamia chaguzi zinazowezekana kwa hatua zote mbili, kiasi cha habari cha kila upande wa tabia ya mwingine, mlolongo wa mbadala ya "hatua" (maamuzi ya mtu binafsi yaliyochukuliwa Katika mchakato wa mchezo), pamoja na matokeo au matokeo ya mchezo ambao hii seti ya hatua. Matokeo haya (kushinda au kupoteza) hayana kila wakati wa kujieleza, lakini kwa kawaida unaweza, kuweka kiwango cha kipimo fulani, kuielezea kwa idadi fulani. Kwa mfano, katika mchezo wa chess, kushinda kunaweza kuhusishwa na +1, kupoteza -1, kuteka 0.

Mchezo huitwa mchezo na kiasi cha sifuri, ikiwa mchezaji mmoja anafanikiwa kile kingine kinachopoteza, i.e. Jumla ya winnings ya pande zote mbili ni sifuri. Katika jumla ya sifuri, maslahi ya wachezaji ni kinyume cha moja kwa moja. Hapa tutazingatia michezo kama hiyo tu.

Tangu katika mchezo na jumla ya sifuri ya kushinda moja ya wachezaji ni sawa na nyingine kinyume cha kawaida., Kwa wazi, wakati wa kuchunguza mchezo kama huo, unaweza kufikiria kushinda moja tu ya wachezaji. Hebu iwe, kwa mfano, mchezaji A. Katika siku zijazo, sisi ni kwa urahisi wa upande na tutakuwa kawaida na tutaita "sisi", na upande wa mpinzani.

Wakati huo huo, upande wa ("sisi") daima utazingatiwa kama "kushinda", na upande wa ("mpinzani") kama "kupoteza". Hali hii rasmi, kwa wazi, haimaanishi faida yoyote kwa mchezaji wa kwanza; Ni rahisi kuona kwamba inabadilishwa na kinyume kama ishara ya kushinda inabadilishwa kuwa kinyume.

Maendeleo ya mchezo kwa wakati tutawasilishwa yenye hatua kadhaa za mfululizo au "hatua". Hatua katika nadharia ya michezo inaitwa uchaguzi wa moja ya chaguzi zinazotolewa na sheria za chaguzi. Hatua zimegawanywa katika kibinafsi na random. Hatua ya kibinafsi inaitwa uchaguzi wa fahamu moja ya wachezaji wa mojawapo ya hatua zinazowezekana katika hali hii na utekelezaji wake. Mfano wa hoja ya kibinafsi - yoyote ya hatua katika mchezo wa chess. Kufanya hoja nyingine, mchezaji hufanya uchaguzi wa ufahamu wa mojawapo ya chaguo iwezekanavyo katika eneo hili la takwimu kwenye bodi. Seti ya chaguo iwezekanavyo kwa kila maendeleo ya kibinafsi imewekwa na sheria za mchezo na inategemea kabisa kabisa ya hatua za awali za pande zote mbili.

Maendeleo ya Random inaitwa uchaguzi kutoka kwa idadi ya fursa, uliofanywa na sio uamuzi wa mchezaji, lakini kwa utaratibu wowote wa uteuzi wa random (kutupa sarafu, kucheza mifupa, tastovka na utoaji wa ramani, nk). Kwa mfano, kadi ya kwanza na mmoja wa wachezaji katika upendeleo ina kozi ya random na chaguzi 32 za usawa. Kwa mchezo kuwa marekebisho ya hisabati, sheria za mchezo lazima kwa kila kiharusi cha ajali zinaonyesha usambazaji wa uwezekano wa matokeo iwezekanavyo.

Michezo mingine inaweza kuwa na hatua tu za random (kinachojulikana kamari safi) au tu kutoka kwa hatua za kibinafsi (chess, checkers). Wengi michezo ya Kadi. Ni ya michezo. aina ya mchanganyiko.. Ina hatua zote mbili na za kibinafsi.

Michezo hutambulishwa tu kwa hali ya hatua (binafsi, random), lakini pia kwa asili na kwa kiasi cha habari zinazopatikana kwa kila mchezaji kuhusu vitendo vya mwingine. Hatari maalum ya michezo ni kinachojulikana kama "michezo na taarifa kamili." Mchezo na habari kamili huitwa mchezo ambao kila mchezaji kila mtu anajua matokeo ya hatua zote zilizopita, wote binafsi na random. Mifano ya michezo kamili ya habari inaweza kutumika chess, checkers, pamoja na mchezo maarufu "msalaba na noliki".

Mengi ya michezo ambayo ni ya umuhimu wa vitendo sio ya darasa la michezo na habari kamili, kama uelewa kuhusu vitendo vya adui ni kawaida kipengele muhimu cha hali ya migogoro.

Moja ya dhana ya msingi ya nadharia ya mchezo ni dhana ya "mkakati". Mkakati wa mchezaji huitwa seti ya sheria inayoamua uteuzi usio na maana na kila maendeleo ya kibinafsi ya mchezaji huyu, kulingana na hali katika mchakato wa mchezo. Kawaida, suluhisho (chaguo) kwa kila maendeleo ya kibinafsi huchukuliwa na mchezaji wakati wa mchezo yenyewe, kulingana na hali maalum ya sasa. Hata hivyo, kinadharia haibadilika, ikiwa tunafikiri kwamba maamuzi haya yote yanakubaliwa na mchezaji mapema. Kwa hili, mchezaji atakuwa na orodha ya hali zote iwezekanavyo wakati wa mchezo na kutoa kila mmoja wao. Kimsingi (ikiwa si kwa kawaida) inawezekana kwa mchezo wowote. Ikiwa mfumo wa ufumbuzi huo unakubaliwa, uta maana kwamba mchezaji amechagua mkakati maalum.

Mchezaji ambaye amechagua mkakati huo hawezi kushiriki katika mchezo binafsi, lakini badala ya ushiriki wake kwenye orodha ya sheria ambazo zitatumika mtu yeyote asiyependa (hakimu) kwa ajili yake. Mkakati huo pia unaweza kuulizwa mashine ya mashine kwa namna ya programu maalum. Hiyo ndiyo ambayo kwa sasa imechezwa katika EMM Chess. Kwamba dhana ya "mkakati" ina maana, ni muhimu kuwa na mchezo wa hatua za kibinafsi; Katika michezo yenye hatua moja ya random, hakuna mikakati.

Kulingana na idadi ya mikakati inayowezekana, mchezo umegawanywa katika "mwisho" na "kutokuwa na mwisho". Mwisho huitwa mchezo ambao kila mchezaji ana idadi ya mikakati ya mwisho tu. Mchezo wa mwisho ambao mchezaji ana m. mikakati, na mchezaji katika - n. Mikakati inayoitwa MXN mchezo.

Fikiria mchezo wa MXN wa wachezaji wawili A na B ("sisi" na "mpinzani"). Tutaelezea mikakati yetu ya 1, na 2, ..., na m ya mkakati wa adui B 1, 2, ..., katika N. Hebu kila upande alichagua mkakati maalum; Kwa sisi, itakuwa mimi, kwa adui b j. Ikiwa mchezo una tu ya hatua za kibinafsi, uchaguzi wa mikakati ya mimi, b j pekee huamua matokeo ya mchezo - kushinda kwetu. Mwandishi na IJ. Ikiwa mchezo una, badala ya hatua za kibinafsi, random, basi jozi ya kushinda i, b J ni thamani ya random, kulingana na matokeo ya hatua zote za random. Katika kesi hiyo, makadirio ya asili ya winnings inatarajiwa ni thamani yake wastani ( thamani inayotarajiwa.). Tutasema kwa ishara sawa na ushindi mwenyewe (katika mchezo bila hatua za random) na thamani yake ya wastani (katika mchezo na hatua za random).

Hebu tujue maadili ya IJ ya kushinda (au wastani wa kushinda) na kila mikakati ya jozi. Maadili yanaweza kuandikwa kama meza ya mstatili (Matrix), masharti ambayo yanahusiana na mikakati yetu (i), na safu - mikakati ya adui (B J). Jedwali kama hiyo inaitwa Matrix ya Malipo au Matrix ya mchezo tu. MXN Mchezo Matrix imewasilishwa kwenye Kielelezo. moja.

Kielelezo. 1. MXN MXN.

Tukufu tutaashiria matrix ya mchezo wa ‖a ij ‖. Fikiria mifano kadhaa ya msingi ya michezo.

Mfano 1. Wachezaji wawili A na ndani, bila kuangalia kila mmoja, kuweka kwenye meza juu ya sarafu juu ya ishara au pana, kwa hiari yao. Ikiwa wachezaji wamechagua pande hizo (katika kanzu mbili za silaha au wote wa kukimbilia), basi mchezaji na huchukua sarafu zote mbili; Vinginevyo, mchezaji wao anawachukua kuchambua mchezo na kuifanya matrix. Uamuzi. Mchezo una tu ya hatua mbili: hoja yetu na hoja ya adui, wote binafsi. Mchezo sio wa michezo na habari kamili, tangu wakati wa kozi inayofanya mchezaji wake hajui kile alichofanya. Kwa kuwa kila wachezaji wana hoja moja tu ya kibinafsi, mkakati wa mchezaji ni chaguo kwa wakati mmoja.

Tuna mikakati miwili: na 1 - chagua kanzu ya silaha na 2 - kuchagua uamuzi; Mpinzani ana mikakati miwili sawa: katika 1 - kanzu ya silaha na katika 2 - kukimbilia. Hivyo, mchezo huu ni mchezo wa 2 × 2. Tutazingatia sarafu za kushinda +1. Michezo ya Matrix:

Kwa mfano wa mchezo huu, kama sio msingi, unaweza kuelewa mawazo muhimu ya nadharia ya michezo. Tuseme kwanza kwamba mchezo huu unafanywa mara moja tu. Kisha, kwa hakika, haina maana ya kuzungumza juu ya "mikakati" yoyote ya wachezaji, zaidi ya busara kuliko wengine. Kila wachezaji wenye msingi huo unaweza kuchukua suluhisho lolote. Hata hivyo, wakati marudio ya mchezo, nafasi ya mabadiliko.

Hakika, tunadhani kwamba sisi (mchezaji A) alichagua aina fulani ya mkakati (hebu sema, na 1) na kuzingatia. Kisha, kwa mujibu wa matokeo ya hatua za kwanza, nadhani ya mpinzani juu ya mkakati wetu na utaitikia vizuri kwa ajili yetu, i.e. Chagua mtego. Sisi ni wazi kuwa na faida daima kutumia mkakati mmoja; Ili usiwe na hasara, tunapaswa wakati mwingine kuchagua kanzu ya silaha, wakati mwingine - kushikilia. Hata hivyo, ikiwa tunatumia kanzu ya silaha na hupanda kwa mlolongo fulani (kwa mfano, baada ya moja), adui anaweza pia nadhani hii na kujibu mkakati huu wa mbaya zaidi kwetu. Kwa wazi, njia salama ambayo inathibitisha kwamba adui haijui mkakati wetu, kutakuwa na shirika la uchaguzi kwa kila wakati, wakati hatujui mwenyewe (hii inaweza kuhakikisha, kwa mfano, kutupa sarafu). Kwa hiyo, sisi, kwa hoja ya angavu, mbinu moja ya dhana muhimu ya nadharia ya mchezo - kwa dhana ya "mkakati mchanganyiko", i.e. Kama vile mikakati "safi" - katika kesi hii, 1 na 2 - mbadala kwa ajali na frequencies fulani. Katika mfano huu, masuala ya ulinganifu ni wazi mapema kwamba mikakati ya 1 na 2 inapaswa kuwa mbadala na mzunguko huo; Katika michezo ngumu zaidi, uamuzi unaweza kuwa mbali na usio wa kawaida.

Mfano 2. Wachezaji A na katika namba zote mbili kwa kujitegemea kutoka kwa kila mmoja: 1, 2 au 3. Ikiwa idadi ya nambari zilizoandikwa ni hata, basi hulipa kiasi hiki katika rubles; Ikiwa ni isiyo ya kawaida, basi, kinyume chake, na kulipa kiasi hiki. Inahitajika kuchambua mchezo na kuifanya matrix.

Uamuzi. Mchezo una hatua mbili; Wote ni binafsi. Sisi (a) Mikakati mitatu: 1 - Andika 1; Na 2 - Andika 2; Na 3 - Andika 3. Mpinzani (b) ni mikakati mitatu sawa. Mchezo ni mchezo wa 3 × 3:

Kwa wazi, kama ilivyo katika kesi ya awali, adui wa mpinzani aliyechaguliwa na sisi anaweza kujibu mbaya zaidi kwetu. Kwa hakika, ikiwa tunachagua, kwa mfano, mkakati wa 1, adui daima ataitikia mkakati wa 2; Katika mkakati wa mkakati wa 2; Katika mkakati wa mkakati wa 3 katika 2; Kwa hiyo, uchaguzi wowote wa mkakati fulani utatuongoza kwa kupoteza (sio lazima, hata hivyo, kusahau kwamba mpinzani pia iko katika njama hiyo). Kutatua mchezo huu (I.E., seti ya mikakati ya juu ya wachezaji wote) itapewa katika § 5.

Mfano 3.Tuna aina tatu za silaha zilizopo: 1, 2, 3; Mpinzani ana aina tatu za ndege: b 1, 2, katika 3. Kazi yetu ni kugonga ndege; Kazi ya mpinzani ni kudumisha haijulikani. Wakati wa kutumia silaha 1, ndege B 1, B 2, katika 3 zinaathiriwa na uwezekano wa 0.9, 0.4 na 0.2; Katika huduma na 2 - na probabilities 0.3, 0.6 na 0.8; Katika silaha na 3 - na probabilities 0.5, 0.7 na 0.2. Inahitajika kuunda hali kwa suala la nadharia ya michezo.

Uamuzi. Hali inaweza kuchukuliwa kama mchezo wa 3 × 3 na hatua mbili za kibinafsi na moja ya random. Hoja yetu binafsi ni uchaguzi wa aina ya silaha; Hoja ya kibinafsi ya mpinzani - uchaguzi wa ndege kushiriki katika vita. Hoja ya random - matumizi ya silaha; Hatua hii inaweza kukomesha kushindwa au kutofautiana kwa ndege. Ushindi wetu ni sawa na moja ikiwa ndege inashangaa, na ni sawa na sifuri vinginevyo. Mikakati yetu ni silaha tatu; Mikakati ya adui ni chaguzi tatu kwa ndege. Thamani ya wastani ya winnings kwa kila jozi maalum ya mikakati si kitu lakini uwezekano wa uharibifu wa ndege hii na silaha hii. Michezo ya Matrix:

Kusudi la nadharia ya michezo ni kuendeleza mapendekezo kwa tabia nzuri Wachezaji B. hali ya migogoro. Ufafanuzi wa "mkakati bora" wa kila mmoja wao. Mkakati bora wa mchezaji katika nadharia ya michezo inaitwa mkakati huo ambao, kwa kurudia mara kwa mara ya mchezo, hutoa mchezaji huyu kwa winnings ya wastani ya wastani (au kiwango cha chini cha uwezekano wa kupoteza wastani). Wakati wa kuchagua mkakati huu, msingi wa kufikiri ni dhana kwamba adui ni angalau kama busara kama sisi wenyewe, na kufanya kila kitu ili kutuzuia kufikia lengo lao.

Katika nadharia ya michezo, mapendekezo yote yanazalishwa, kulingana na kanuni hizi; Kwa hiyo, haitii vipengele vya hatari, ambavyo vinaweza kutolewa katika kila mkakati halisi, pamoja na miscalculations na makosa ya kila wachezaji. Mchezo Nadharia kama kila mtu. mfano wa hisabati. Jambo lenye ngumu lina mapungufu yake. Jambo muhimu zaidi ni kwamba winnings ni kupunguzwa kwa moja kwa moja nambari moja. Katika hali nyingi za migogoro, wakati wa kuendeleza mkakati wa busara, ni muhimu kuzingatia sio moja, lakini vigezo kadhaa vya nambari - vigezo vya mafanikio ya tukio hilo. Mkakati ambao ni mojawapo ya kigezo moja sio lazima iwe sawa na wengine. Hata hivyo, ufahamu wa vikwazo hivi na kwa hiyo, bila kuzingatia mapendekezo ya kipofu yaliyopatikana na mbinu za mchezo, inawezekana bado kutumia vifaa vya hisabati ya nadharia ya mchezo kwa kuendeleza ikiwa sio "mojawapo", basi, kwa hali yoyote, " Mkakati wa kukubalika.

§ 2. mchezo wa chini na wa juu. Kanuni ya "minimax"

Fikiria mchezo wa MXN na tumbo, kama katika Kielelezo. 1. Tutaelezea barua mimi idadi ya mkakati wetu; Barua J ni namba ya mkakati wa adui. Tutafanya kazi kazi: kuamua mkakati wako bora. Sisi kuchambua mara kwa mara kila moja ya mikakati yetu, kuanzia na 1.

Kwa kuchagua mkakati mimi, lazima tuwe na hesabu juu ya ukweli kwamba adui ataitikia ile ya mikakati katika J, ambayo winnings yetu na IJ ni ndogo. Tunafafanua thamani hii ya winnings, i.e. Kima cha chini cha namba na IJ i.Mstari. Denote na α i:

Hapa ishara ya dakika (kiwango cha chini cha J) kinaonyeshwa kwa kiwango cha chini cha maadili ya parameter hii kwa kila J. Rejea idadi α i; Karibu na matrix upande wa kulia kwa namna ya safu ya ziada:

Kwa kuchagua mkakati wowote mimi, tunapaswa kutarajia kuwa kama matokeo ya vitendo vya busara vya adui, hatuwezi kushinda zaidi ya α i. Kwa kawaida, kutenda makini zaidi na kuhesabu juu ya adui wenye busara (i.e. Kuepuka hatari yoyote), tunapaswa kukaa juu ya mkakati huo ambao idadi α i ni kiwango cha juu. Inaashiria thamani hii ya juu α:

au, kwa kuzingatia formula (2.1),

Thamani ya α inaitwa bei ya chini ya mchezo, vinginevyo - winnings upeo au tu maxima. Nambari α iko katika mstari maalum wa matrix; Mkakati wa mchezaji A, ambayo inafanana na mstari huu, inaitwa mkakati mkubwa. Kwa wazi, ikiwa tunashikamana na mkakati wa juu, basi, kwa tabia yoyote ya adui, winnings ni uhakika, kwa hali yoyote, si chini α. Kwa hiyo, thamani ya α na inaitwa "bei ya chini ya mchezo". Huu ndio kiwango cha chini cha uhakika ambacho tunaweza kujitolea, kushikamana na mkakati wa makini ("reinsurance").

Kwa wazi, hoja sawa inaweza kufanyika kwa adui V. Kwa kuwa adui ana nia ya kulipa winnings yetu kwa kiwango cha chini, lazima apate mkakati kila mmoja kwa mujibu wa upeo wa kushinda Na mkakati huu. Kwa hiyo, chini ya tumbo, tunarudia maadili ya juu kwa kila safu:

na kupata kiwango cha chini cha β J:

Thamani ya β inaitwa bei ya juu ya mchezo, vinginevyo - "Minimax". Mkakati wa minimax unaofanana wa adui huitwa "mkakati wa minimax". Baada ya kuzingatia mkakati wake wa makini wa minimax, adui anajihakikishia yafuatayo: chochote tulichochukua dhidi yake, atakuwa na hali yoyote kupoteza kiasi kisichozidi kuliko β. Kanuni ya Tahadhari, kulazimisha wachezaji uchaguzi wa mikakati husika (kiwango cha juu na minimax), katika nadharia ya michezo na maombi yake mara nyingi hujulikana kama "kanuni ya minimax". Mikakati ya makini ya maximal na minimax ya wachezaji wakati mwingine zinaonyesha muda mrefu "Mikakati ya Minimax".

Kama mifano, tunafafanua bei ya chini na ya juu ya mikakati ya mchezo na minimax kwa mifano ya 1, 2 na 3 § 1.

Mfano 1.Katika mfano 1 § 1 Dana mchezo na matrix ijayo:

Kwa kuwa maadili ya α i na β ni mara kwa mara na sawa, kwa mtiririko huo, -1 na +1, bei ya chini na ya juu ya mchezo pia ni sawa na -1 na +1: α \u003d -1, β \u003d + 1. Mkakati wowote wa mchezaji ni maxmin yake, na mkakati wa mchezaji yeyote ni mkakati wake wa minimax. Kuondolewa kwa Trivilen: Kuzingatia mikakati yake yoyote, mchezaji na anaweza kuhakikisha kwamba haitapoteza zaidi ya 1; Vile vile inaweza kuhakikisha mchezaji V.

Mfano 2. Katika mfano 2 § mchezo wa Dana na matrix:

Bei ya chini ya mchezo α \u003d -3; Mchezo wa juu wa bei β \u003d 4. Mkakati wetu wa maxine ni 1; Kuitumia kwa utaratibu, tunaweza kuhesabu kwa kiasi kikubwa kushinda angalau -3 (kupoteza zaidi ya 3). Mkakati wa minimax wa adui ni yoyote ya mikakati katika 1 na katika 2; Kuwaomba kwa utaratibu, yeye, kwa hali yoyote, anaweza kuhakikisha kwamba hatapoteza zaidi ya 4. Ikiwa tunarudi kutoka mkakati wako wa juu (kwa mfano, chagua mkakati wa 2), adui anaweza "kuadhibu" kwa hili kwa kutumia Mkakati wa 3 na kupunguza winnings yetu kwa -5; Vilevile, ukandamizaji wa adui kutoka mkakati wake wa minimax unaweza kuongeza hasara yake hadi 6.

Mfano 3.Katika mfano 3 § 1 mchezo wa Dana na matrix:

Bei ya chini ya mchezo α \u003d 0.3; Michezo ya thamani ya juu β \u003d 0.7. Mkakati wetu wa makini zaidi (kiwango cha juu) ni 2; Kutumia silaha A 2, tunahakikisha kwamba tutaathiri ndege kwa wastani na si chini ya 0.3 ya matukio yote. Mkakati wa tahadhari (minimax) wa adui ni katika 2; Kuomba ndege hii, adui anaweza kuwa na uhakika kwamba itaathiriwa si zaidi ya 0.7 kesi zote.

Katika mfano wa mwisho, ni rahisi kuonyesha moja mali muhimu Mikakati ya minimax ni ukosefu wao. Hebu tutumie mkakati wetu wa tahadhari (kiwango cha juu) A 2, na adui ni mkakati wake wa tahadhari (minimax) katika 2. Kwa muda mrefu kama maadui wote wanaambatana na mikakati hii, kushinda wastani ni 0.6; Ni muda mrefu, lakini chini ya mchezo wa bei ya juu. Sasa hebu sema kwamba adui amejulikana kwamba tunatumia mkakati wa 2; Atashughulikia mara moja mkakati wake katika 1 na atatoa kushinda kwa 0.3. Kwa upande mwingine, juu ya mkakati B 1 Tuna jibu nzuri: mkakati wa 1, kutupa kushinda 0.9, nk.

Hivyo, nafasi ambayo wachezaji wote wanafurahia mikakati yao ya minimax ni imara na inaweza kukiuka na habari kuhusu mkakati wa mpinzani mpinzani. Hata hivyo, kuna baadhi ya michezo ambayo mikakati ya minimax ni endelevu. Hizi ni michezo hiyo ambayo bei ya chini ni sawa na juu: α \u003d β. Ikiwa bei ya chini ya mchezo ni sawa na juu, basi thamani yao ya kawaida inaitwa bei safi ya mchezo (wakati mwingine tu bei ya mchezo), tutaielezea kwa barua ν.

Fikiria mfano. Hebu mchezo 4 × 4 umewekwa na tumbo:

Pata bei ya chini ya mchezo: α \u003d 0.6. Pata bei ya juu ya mchezo: β \u003d 0.6. Walikuwa sawa, kwa hiyo, mchezo una bei safi sawa na α \u003d β \u003d ν \u003d 0.6. Kipengele 0.6, kilichoonyeshwa katika matrix ya malipo, ni wakati huo huo chini ya mstari wake na upeo katika safu yake. Katika jiometri, hatua juu ya uso na mali sawa (wakati wa chini juu ya kuratibu moja na upeo juu ya nyingine) inaitwa hatua ya kitanda, kwa mfano, neno hili linatumika katika nadharia ya michezo. Kipengele cha matrix na mali hii inaitwa hatua ya kitanda ya tumbo, na kuhusu mchezo wanasema kuwa ina hatua ya kitanda.

Hatua ya saddle inafanana na jozi ya mikakati ya minimax (katika mfano huu na 3 na 2). Mikakati hii inaitwa mojawapo, na jumla yao ni kutatua mchezo. Uamuzi wa mchezo una mali ya ajabu yafuatayo. Ikiwa mmoja wa wachezaji (kwa mfano, a) anazingatia mkakati wake bora, na mchezaji mwingine (c) atatoka kwa njia yoyote ya kupoteza mkakati wake bora, basi kwa mchezaji ambaye alifanya kupotoka, hawezi kamwe kuwa na manufaa, Kukataliwa kama vile mchezaji anaweza kuwa na mafanikio bora ya kuondoka bila kubadilika, na katika hali mbaya zaidi - huongeza. Kinyume chake, ikiwa katika mkakati wake bora, lakini hutoka peke yake, basi hii haiwezi kuwa na manufaa kwa A.

Taarifa hii ni rahisi kuangalia mfano wa mchezo unaozingatiwa na hatua ya kitanda. Tunaona kwamba katika hali ya mchezo na hatua ya kitanda, mikakati ya minimax ina "utulivu" wa pekee: ikiwa upande mmoja unazingatia mkakati wake wa minimax, basi kwa mwingine unaweza tu kupunguzwa na nyingine. Kumbuka kwamba katika kesi hii uwepo wa habari yoyote ya mchezaji kwamba adui alichagua mkakati wake bora hawezi kubadilisha tabia ya mchezaji mwenyewe: Ikiwa hataki kutenda kinyume na maslahi yake mwenyewe, lazima aambatana na mkakati wake bora. Jozi ya mikakati bora katika mchezo na hatua ya kitanda ni kama ilivyokuwa, kama ilivyokuwa, "nafasi ya usawa": kupotoka yoyote kutoka kwa mkakati bora husababisha mchezaji aliyepoteza kwa sababu ya kuhimiza kurudi kwenye nafasi yake ya awali .

Kwa hiyo, kwa kila mchezo na hatua ya kitanda kuna suluhisho ambalo linafafanua mikakati michache ya vyama vyote, ambayo ina sifa ya mali zifuatazo.

1) Ikiwa pande zote mbili zinazingatia mikakati yao ya mojawapo, basi kushinda wastani ni sawa na bei ya wavu ya mchezo, ambayo ni bei yake ya chini na ya juu.

2) Ikiwa mmoja wa vyama ana mkakati wake bora, na mwingine hutoka peke yake, basi upande wa kupoteza unaweza tu kupoteza na hakuna kesi inaweza kuongeza faida yake.

Darasa la michezo iliyo na hatua ya kitanda ni ya riba kubwa kwa kinadharia na kutoka kwa mtazamo wa vitendo. Kwa nadharia ya michezo, inathibitishwa kuwa, hasa, kila mchezo na habari kamili ina hatua ya kitanda, na kwa hiyo, kila mchezo huo una suluhisho, i.e. Kuna jozi ya mikakati bora ya mkono mwingine, kutoa faida ya wastani sawa na mchezo. Ikiwa mchezo unao na habari kamili una hatua tu za kibinafsi, basi wakati wa kutumia kila upande wa mkakati wake bora, lazima daima kuwasiliana na matokeo fulani, yaani, winnings, bei sawa ya mchezo.

Kama mfano wa mchezo na habari kamili hapa mchezo maarufu Kwa kuweka sarafu On. meza ya pande zote. Wachezaji wawili waliweka sarafu sawa kwenye meza ya pande zote, kuchagua kila wakati nafasi ya kiholela ya katikati ya sarafu; Kufunika kwa sarafu ya sarafu hairuhusiwi. Anashinda mmoja wa wachezaji ambao wataweka sarafu ya mwisho (wakati hakuna maeneo kwa wengine). Ni dhahiri kwamba matokeo ya mchezo huu daima yanatayarishwa, na kuna mkakati kamili ambao hutoa faida ya kuaminika ya hii kutoka kwa wachezaji ambao huweka sarafu kwanza. Kwa hiyo, lazima kwanza aweka sarafu katikati ya meza, na kisha kila hatua ya adui kujibu kwa hoja ya ulinganifu. Wakati huo huo, mchezaji wa pili anaweza kufanya chochote, bila kubadilisha matokeo yaliyotanguliwa ya mchezo. Kwa hiyo, mchezo huu una maana tu kwa wachezaji ambao hawajui mkakati bora. Hali hiyo ni sawa na chess na michezo mingine na habari kamili; Mchezo wowote huo una hatua ya kitanda na suluhisho inayoonyesha kila mmoja wa wachezaji mkakati wake bora; Kuamua kwa mchezo wa chess haipatikani tu kwa sababu idadi ya mchanganyiko wa hatua zinazowezekana katika chess ni kubwa mno ili uweze kujenga matrix ya malipo na kupata hatua ya kitanda ndani yake.

§ 3. Mikakati safi na mchanganyiko. Suluhisho la mchezo katika mikakati mchanganyiko.

Miongoni mwa michezo ya mwisho ambayo ni ya umuhimu wa vitendo, kuna michezo ya nadra na hatua ya kitanda; Zaidi ya kawaida ni kesi wakati bei ya chini na ya juu ya mchezo ni tofauti. Kuchambua matrix ya michezo kama hiyo, tulihitimisha kwamba ikiwa kila mchezaji alipewa uchaguzi wa mkakati mmoja, basi uchaguzi huu unapaswa kuamua na kanuni ya minaki katika kila mchezaji. Kuzingatia mkakati wake wa maximine, kwa tabia yoyote ya adui kwa ujumla huhakikisha kuwa winnings sawa na bei ya chini ya mchezo α. Kuna swali la asili: ikiwa haiwezekani kujihakikishia winnings wastani, zaidi ya α, kama hutatumia mkakati mmoja "safi", na kubadilisha mikakati kadhaa ya random? Mikakati hiyo ya pamoja yenye kutumia mikakati kadhaa safi inayobadilishwa na sheria ya random na uwiano fulani wa mzunguko katika nadharia ya michezo huitwa mikakati ya mchanganyiko.

Kwa wazi, kila mkakati wavu ni tukio maalum la mchanganyiko, ambalo mikakati yote, isipokuwa moja, hutumiwa na mzunguko wa sifuri, na hii - na mzunguko 1. Inageuka kuwa, sio tu safi, lakini pia mikakati iliyochanganywa, wewe inaweza kupata kwa kila uamuzi wa mchezo wa mwisho, i.e. Mikataba kadhaa (kwa ujumla, mchanganyiko) ambayo wakati wa kuwaomba kwa wachezaji wote, winnings itakuwa sawa na bei ya mchezo, na kwa kupotoka kwa upande mmoja kutoka mkakati bora, winnings inaweza tu kubadilishwa upande, hauna faida kwa kupoteza.

Idhini iliyofanywa ni maudhui ya kinachojulikana kama theorem ya msingi ya nadharia ya michezo. Theorem hii ilikuwa ya kwanza imethibitishwa na historia ya Neumanan mwaka wa 1928, ushahidi unaojulikana wa Theorem ni ngumu; Kwa hiyo, tunatoa maneno yake tu.

Kila mchezo wa mwisho una angalau suluhisho moja (labda katika uwanja wa mikakati iliyochanganywa).

Winnings kupatikana kama matokeo ya suluhisho inaitwa bei ya mchezo. Kutoka Theorem kuu inafuata kwamba kila mchezo wa mwisho una bei. Kwa wazi, bei ya mchezo ν daima ni uongo kati ya bei ya chini ya mchezo α na bei ya juu ya mchezo β:

(3.1) α ≤ ν ≤ β

Hakika, α ni faida ya uhakika, ambayo tunaweza kujitoa mwenyewe, kutumia tu mikakati yako safi. Tangu mikakati iliyochanganywa ni pamoja na kesi binafsi na yote safi, kisha kuruhusu, ila kwa mikakati safi, pia, sisi, kwa hali yoyote, si mbaya zaidi uwezo wao; Kwa hiyo, ν α. Vivyo hivyo, kwa kuzingatia uwezekano wa adui, tutaonyesha kwamba ν ≤ β, ambayo kutofautiana lazima iwe ushahidi (3.1).

Tunaanzisha jina maalum kwa mikakati iliyochanganywa. Ikiwa, kwa mfano, mkakati wetu mchanganyiko una kutumia mikakati ya 1, 2, na 3 na frequency p 1, p 2, p 3, na p 1 + p 2 + p 3 \u003d 1, tutaelezea mkakati huu

Vivyo hivyo, mkakati wa adui mchanganyiko utaashiria:

ambapo Q 1, Q 2, Q 3 - Mzunguko ambao mikakati B 1, katika 2, katika 3 ni mchanganyiko; Q 1 + Q 2 + Q 3 \u003d 1.

Tuseme tulipata suluhisho la mchezo unao na mikakati miwili iliyochanganywa S A *, S B *. Kwa ujumla, sio mikakati yote safi inayopatikana kwa mchezaji huyu ni pamoja na mkakati wake uliochanganywa, na baadhi tu. Tutaita mikakati iliyojumuishwa katika mkakati bora wa mchezaji mchanganyiko, mikakati yake ya "muhimu". Inageuka kuwa uamuzi wa mchezo una mali nyingine ya ajabu: Ikiwa mmoja wa wachezaji ana mkakati wake wa mchanganyiko wa SA * (SB *), basi kushinda bado haibadilika na sawa na bei ya mchezo ν, bila kujali nini Mchezaji mwingine anafanya, ikiwa sio tu inakwenda zaidi ya mikakati yake ya "muhimu". Yeye, kwa mfano, anaweza kutumia mikakati yoyote ya "muhimu" katika fomu yake safi, na pia inaweza kuchanganya kwa idadi yoyote.

§ 4. Mbinu za msingi za kutatua michezo. Michezo 2.x.2 na 2.x.n.

Ikiwa mchezo wa MXN hauna hatua ya kitanda, kisha kutafuta suluhisho kwa ujumla ni kazi ngumu sana, hasa kwa M na N. Wakati mwingine kazi hii inawezekana kurahisisha, kama wewe kwanza kupunguza idadi ya mikakati kwa kuvuka baadhi ya lazima. Mikakati isiyohitajika ni) duplicate na b) waziwazi haifai. Fikiria, kwa mfano, mchezo na matrix:

Ni rahisi kuhakikisha kuwa mkakati wa 3 unarudia hasa ("marudio") mkakati wa 1, hivyo yoyote ya mikakati miwili inaweza kufutwa. Zaidi ya hayo, kulinganisha mistari ya 1 na 2, tunaona kwamba kila kipengele cha kamba A 2 ni kidogo (au sawa) ya kipengele kinachofanana cha kamba A 1. Kwa wazi, hatupaswi kutumia mkakati wa A2, ni dhahiri mbaya. Kuchora 3 na 2, kuleta matrix kwa zaidi rahisi. Kisha, tunaona kwamba kwa adui, mkakati wa 3 unajua kuwa hauna faida; Baada ya kuivuta, kuleta matrix kwa fomu ya mwisho:

Hivyo, mchezo wa 4 × 4 kwa kuvuka mikakati ya duplicate na ya kujua ni kupunguzwa kwa mchezo 2 × 3.

Utaratibu wa kupinga duplicate na mikakati isiyo na maana inapaswa daima kutangulia uamuzi wa mchezo. Matukio rahisi zaidi ya michezo ya mwisho ambayo yanaweza kutatua njia za msingi ni michezo 2 × 2 na 2xn.

Fikiria mchezo 2 × 2 na matrix:

Matukio mawili yanaweza kukutana hapa: 1) mchezo una hatua ya kitanda; 2) Mchezo hauna hatua ya kitanda. Katika kesi ya kwanza, suluhisho ni dhahiri: hii ni jozi ya mikakati iliyoingiliana katika hatua ya kitanda. Kumbuka kwa njia, kwamba katika mchezo wa 2 × 2, kuwepo kwa hatua ya kitanda daima inafanana na kuwepo kwa mikakati ya wazi ambayo inapaswa kufutwa katika uchambuzi wa awali.

Hebu saddle uhakika na, kwa hiyo, bei ya chini ya mchezo si sawa na juu: α ≠ β. Inahitajika kupata mkakati wa mchezaji mzuri wa mchanganyiko A:

Inajulikana na mali ambayo, itakuwa nini matendo ya adui (kama sio tu kwenda zaidi ya mikakati yake ya "muhimu", kushinda itakuwa sawa na bei ya mchezo ν. Katika mchezo wa 2 × 2, mikakati ya adui ni "muhimu", - vinginevyo mchezo ungekuwa na suluhisho katika uwanja wa mikakati safi (hatua ya saddle). Ina maana kwamba ikiwa tunashikamana na mkakati wetu bora (4.1), adui anaweza kutumia mikakati yake safi b 1, katika 2, bila kubadilisha kushinda wastani. Kutoka hapa tuna equations mbili:

ambayo, kwa kuzingatia kwamba p 1 + p 2 \u003d 1, tunapata:

Bei ya mchezo ν hupatikana kwa kubadilisha maadili ya p 1, P 2 kwa yoyote ya equations (4.2).

Ikiwa mchezo unajulikana, basi kuamua mkakati wa adui bora

kuna equation ya kutosha, kwa mfano:

kutoka wapi, kwa kuzingatia kwamba Q 1 + Q 2 \u003d 1, tuna:

Mfano 1. Tunapata suluhisho la mchezo 2 × 2, kuchukuliwa kwa mfano 1 § 1, na Matrix:

Mchezo hauna hatua ya kitanda (α \u003d -1; β \u003d +1), na kwa hiyo, suluhisho linapaswa kulala katika uwanja wa mikakati iliyochanganywa:

Ni muhimu kupata p 1, p 2, q 1 na q 2. Kwa p 1 tuna equation.

1 * P 1 + (-1) (1 - p 1) \u003d (-1) P 1 + 1 (1 - p 1)

kutoka wapi p 1 \u003d 1/2, p 2 \u003d 1/2.

Vivyo hivyo, tunaona: Q 1 \u003d 1/2, Q 2 \u003d 1/2, ν \u003d 0.

Kwa hiyo, mkakati bora kwa kila wachezaji ni kwa nasibu mbadala mikakati yake yavu, kwa kutumia mara moja kila mmoja wao; Katika kesi hiyo, winnings wastani itakuwa sifuri.

Matokeo ya matokeo yalikuwa wazi kabisa mapema. Katika mfano wafuatayo, tutaangalia zaidi mchezo mkali., suluhisho la ambayo sio dhahiri sana. Mfano ni sampuli ya msingi ya michezo inayojulikana kama michezo na "udanganyifu" au "kupotosha". Katika mazoezi, hali ya migogoro mara nyingi hutumika njia tofauti Kuanzishwa kwa adui kupotezwa (kutofafanuliwa, usawa wa madhumuni ya uongo, nk). Mfano, licha ya unyenyekevu wake, mzuri wa kufundisha.

Mfano 2. Mchezo una karibu. Kuna kadi mbili: Ace na mara mbili. Mchezaji na kwa random huchukua moja yao; Kwa si kuona ramani gani aliyoondoa. Ikiwa nimechukua Ace, anasema: "Nina Ace," na inahitaji mpinzani 1 ruble. Ikiwa nilitumia mbili, basi inaweza 1) kusema "Nina Ace" na mahitaji kutoka kwa adui 1 ruble, au 2) kukubali kwamba ana mara mbili, na kulipa adui 1 ruble.

Adui, kama yeye kwa hiari kulipa ruble 1, anaweza tu kuchukua. Ikiwa anahitaji ruble 1, anaweza kuwa ama 1) kuamini mchezaji, lakini kwamba ana tuz, na kumpa 1 ruble, au 2) kutaka hundi ili kuhakikisha kama taarifa ya A. Ni kweli kama matokeo yake ni matokeo ya kugeuka kuwa wewe kweli, kwa lazima kulipa rubles 2. Ikiwa inageuka kuwa anajidanganya na ana mara mbili, mchezaji na hulipa mchezaji katika rubles 2. Inahitajika kuchambua mchezo na kupata mkakati bora wa kila wachezaji.

Uamuzi. Mchezo una muundo tata; Inajumuisha hoja moja ya lazima ya random - kuchagua mchezaji na moja ya kadi mbili - na hatua mbili za kibinafsi, ambazo, hata hivyo, sio kutekelezwa. Hakika, ikiwa nimechukua Ace, haifanyi hoja yoyote ya kibinafsi: alipewa uwezekano mmoja tu - kudai 1 ruble, ambayo anafanya. Katika kesi hiyo, hoja ya kibinafsi - kuamini au si kuamini (i.e. kulipa au si kulipa ruble 1,) - hupitishwa na mchezaji. Adui na mahitaji 1 ruble (kwa kifupi: "Usidanganye" au "kudanganya" ). Ikiwa na huchagua kwanza, basi inabakia tu kuchukua ruble 1; Ikiwa nilichagua pili, basi mchezaji hutolewa na hoja ya kibinafsi: kuamini au si kuamini (i.e., kulipa ruble 1 au kuhitaji uthibitishaji).

Mikakati ya kila wachezaji ni sheria zinazoonyesha jinsi ya kuingia mchezaji wakati anapotolewa na hoja ya kibinafsi. Kwa wazi, mikakati miwili tu: na 1 - kudanganya, na 2 - sio kudanganya. Katika B - pia mikakati miwili: B 1 - kuamini katika 2 - si kuamini. Jenga matrix ya mchezo. Kwa hili, tunahesabu winnings wastani katika kila mchanganyiko wa mikakati.

1. 1 kati ya 1 (na hudanganya, kwa kuamini). Ikiwa nimepata Ace (uwezekano wa hii ½, basi haitoi hoja ya kibinafsi; inahitaji ruble 1, na mchezaji anamwamini; winnings na katika rubles ni sawa na 1. Ikiwa alipata mbili (uwezekano wa hii Pia ½), anadanganya kulingana na mkakati wake na inahitaji ruble 1; inaamini ndani yake na kulipa; winnings na pia sawa na 1. Winnings wastani: 11 \u003d ½ * 1 + ½ * 1 \u003d 1.

2. 1 kati ya 2 (na hudanganya, haamini). Ikiwa nimepata Ace, hana hoja ya kibinafsi; Inahitaji ruble 1; Kwa mujibu wa mkakati wake, haamini na kama matokeo ya ukaguzi hulipa rubles 2 (Winnings A ni +2). Ikiwa nilipata mbili, inahitaji ruble 1 kulingana na mkakati wangu; Katika, kulingana na yake mwenyewe, haamini; Matokeo yake, hulipa rubles 2 (winnings sawa na -2). Kushinda wastani ni sawa na: 12 \u003d ½ * (+ 2) + ½ * (- 2) \u003d 0.

3. 2 katika 1 (na sio kudanganya, anaamini). Ikiwa nilitoa Ace, inahitaji ruble 1; Katika Kulingana na mkakati wake, hulipa; Kushinda A ni +1. Ikiwa nilitoa mara mbili, analipa ruble 1 kulingana na mkakati wake; Inabakia tu kukubali (kushinda A ni sawa na -1). Winnings wastani ni: 21 \u003d ½ * (+ 1) + ½ * (- 1) \u003d 0.

4. Na 2 katika 2 (na sio kudanganya, B haamini). Ikiwa nilitoa Ace, inahitaji ruble 1; Katika hundi na kama matokeo ya kuangalia, rubles 2 hulipa (kushinda ni +2). Ikiwa nilitoa mara mbili, hulipa ruble 1; Inabakia tu kukubali (kushinda ni 1). Ushindi wa wastani ni sawa na: 22 \u003d ½ * (+ 2) + ½ * (- 1) \u003d ½.

Jenga mchezo Matrix:

Matrix haina hatua ya kitanda. Bei ya chini ya mchezo α \u003d 0, bei ya juu ya mchezo β \u003d ½. Pata suluhisho kwa mchezo katika uwanja wa mikakati iliyochanganywa. Kutumia Mfumo (4.3), tunapata:

wale. Mchezaji a lazima katika theluthi moja ya matukio yote hutumia mkakati wake wa kwanza (kudanganya), na katika theluthi mbili - pili (sio kudanganya). Wakati huo huo, itashinda wastani wa bei ya mchezo ν \u003d 1/3.

Thamani ya ν \u003d 1/3 inaonyesha kwamba katika hali hizi mchezo huu ni manufaa kwa na hauna faida kwa B. Kutumia mkakati wake bora, na unaweza daima kutoa faida nzuri ya kati. Kumbuka kwamba ikiwa nilitumia mkakati wangu wa makini (MAXIMAL) (katika kesi hii, mikakati yote ya 1 na 2 ni maximal), ingekuwa na faida ya wastani sawa na sifuri. Hivyo, matumizi ya mkakati mchanganyiko hutoa na uwezo wa kutambua faida yake juu ya B, ambayo hutokea wakati wa sheria za data ya mchezo.

Tunafafanua mkakati bora V. Sisi: Q 1 * 1 + Q 2 * 0 \u003d 1/3, Q 1 \u003d 1/3, Q 2 \u003d 2/3. Kutoka

te. Mchezaji anapaswa kuamini katika theluthi moja ya matukio yote a na kulipa 1 ruble bila kuangalia, na katika theluthi mbili ya kesi - angalia. Kisha atakuwa wastani kwa kila mchezo kupoteza 1/3. Ikiwa alitumia mkakati wake wa minimax safi kwa 2 (si kuamini), angeweza kupoteza kila mchezo kwa wastani wa 1/2.

Suluhisho la mchezo 2 × 2 linaweza kupewa tafsiri rahisi ya kijiometri. Hebu kuwa na 2 × 2 na tumbo

Chukua sehemu ya Absissa Sehemu ya 1 (Kielelezo 4.1). Mwisho wa kushoto wa sehemu (hatua na abscissa x \u003d 0) itaonyesha mkakati wa 1; Mwisho wa mwisho wa tovuti (x \u003d 1) ni mkakati wa 2. Kata kupitia pointi 1 na 2 mbili perpendicular kwa absissa axis: mhimili I.-I. na mhimili II-II.. Juu ya mhimili I.-I. Tutaweza kuahirisha winnings wakati mkakati wa 1; juu ya mhimili II-II. - Njia na mkakati wa 2. Fikiria mkakati wa adui B 1; Inatoa pointi mbili kwenye axes. I.-I. Na II-II. Kwa amri, kwa mtiririko huo, na 11 na 21. Tutatumia moja kwa moja B 1 B 1 kupitia pointi hizi. Kwa wazi, kama sisi, kwa mkakati wa adui B 1, tutatumia mkakati mchanganyiko

kisha winnings yetu ya wastani sawa katika kesi hii 11 p 1 + A 21 P 2 inaonyeshwa kwa hatua m kwenye mstari wa 1 B 1; Absissa ya hatua hii ni sawa na p 2. Moja kwa moja katika 1 katika 1, inayoonyesha winnings na mkakati katika 1, itakuwa wakfu kuwaita "mkakati katika 1".

Kwa wazi, mkakati wa 2 unaweza kujengwa kwa njia sawa (Kielelezo 4.2).

Tunahitaji kupata mkakati bora wa A *, I.E., kama vile winnings ya chini (na tabia yoyote ya B) italipwa kwa kiwango cha juu. Kwa kufanya hivyo, tunajenga mpaka wa chini wa winnings chini ya mikakati katika 1, katika 2, i.e. The Broken B 1 Nb 2 imewekwa katika Kielelezo. 4.2 line ya mafuta. Kikomo hiki cha chini kitasema mchezaji mdogo kushinda na mikakati yoyote iliyochanganywa; Point n, ambayo winnings hii ya chini inafikia kiwango cha juu, na huamua suluhisho na bei ya mchezo. Ni rahisi kuhakikisha kuwa amri ya N ni bei ya mchezo ν, na abscissa yake ni sawa na p 2 - mzunguko wa matumizi ya mkakati 2 katika mkakati bora mchanganyiko s a *.

Kwa upande wetu, suluhisho la mchezo liliamua kwa hatua ya mikakati ya mikakati. Hata hivyo, hii haitakuwa daima; Katika Kielelezo. 4.3 inaonyesha kesi wakati, licha ya kuwepo kwa mikakati ya mikakati, suluhisho hutoa mikakati safi kwa wachezaji wote (2 na 2), na bei ya mchezo ν \u003d 22. Katika kesi hiyo, Matrix ina hatua ya kitanda, na mkakati wa 1 ni dhahiri usiofaa, kwa sababu Kwa mkakati wowote wa adui safi, hutoa faida ndogo kuliko na 2.

Katika kesi wakati mkakati usiofaa una mpinzani, tafsiri ya kijiometri inaonekana iliyotolewa kwenye Kielelezo. 4.4.

Katika kesi hiyo, mpaka wa chini wa winnings unafanana na mkakati wa 1, mkakati wa 2 kwa adui ni dhahiri mbaya.

Ufafanuzi wa kijiometri hufanya iwezekanavyo kufikiria bei ya chini na ya juu ya mchezo (Kielelezo 4.5).

Kwa mfano, tutajenga tafsiri ya kijiometri ya michezo 2 × 2 iliyojadiliwa katika mifano ya 1 na 2 (Kielelezo 4.6 na 4.7).

Tulihakikisha kwamba mchezo wowote wa 2 × 2 unaweza kutatuliwa na mbinu za msingi. Mchezo wowote wa 2xn unaweza kutatuliwa kabisa sawa. Ambapo tuna mikakati miwili tu, na mpinzani ana nambari ya kiholela.

Hebu tuna mikakati miwili: 1, 2, na mikakati ya mpinzani - N: katika 1, katika 2, ..., katika n. Matrix ‖a ij ‖ imewekwa; Inajumuisha mistari miwili na n nguzo. Sawa na kesi ya mikakati miwili, tutatoa tatizo la tafsiri ya kijiometri; Mikati ya adui huonyeshwa na N Sawa (Kielelezo 4.8). Tunajenga kikomo cha chini cha winnings (kuvunjwa b 1 mnb 2) na tunaona uhakika N na makazi ya juu. Hatua hii inatoa mchezo wa mchezo (mkakati ) Mwongozo wa NI ni sawa na bei ya mchezo ν, na abscissa ni sawa na mzunguko wa p 2 ya mkakati wa 2.

Katika kesi hiyo, mkakati wa adui unaofaa hupatikana kwa kutumia mchanganyiko wa mikakati miwili ya "muhimu": katika 2 na katika 4 intersecting katika hatua N. Mkakati wa 3 ni wazi faida, na mkakati B 1 hauna faida na mkakati bora SA *. Ikiwa itaambatana na mkakati wake bora, basi winnings haitabadilika, bila kujali ni kiasi gani cha mikakati yake ya "muhimu" ya ama, hata hivyo itabadilika ikiwa inakwenda mikakati B 1 au 3. Kwa nadharia ya nadharia, imeonekana kuwa mchezo wowote wa MXN una suluhisho ambalo idadi ya "muhimu" mikakati ya upande mwingine haizidi idadi ndogo ya namba mbili na N. Hasa, inafuata kutoka kwa hili kwamba mchezo wa 2xm daima una suluhisho ambalo hakuna mikakati miwili ya "muhimu" kutoka upande mwingine.

Kutumia tafsiri ya kijiometri, unaweza kutoa njia rahisi ya kutatua mchezo wowote wa 2xm. Moja kwa moja kulingana na michoro tunapata mikakati ya "muhimu" ya adui B j na katika K, intersecting katika hatua n (kama kwa uhakika n kuvuka zaidi ya mikakati miwili, kuchukua mbili yao). Tunajua kwamba kama mchezaji na kushikamana na mkakati wake bora, basi kushinda haitegemei kulingana na mikakati ya "muhimu", kwa hiyo,

Kati ya usawa huu na masharti p 2 \u003d 1 - p 1, tunapata P1, P2 na bei ya mchezo ν. Kujua bei ya mchezo, unaweza kuamua mara moja mkakati bora Mchezaji V. Kufanya hivyo, ni kutatuliwa, kwa mfano, equation: qja 1 j + qka 1 k \u003d ν, ambapo QJ + QK \u003d 1. Katika kesi wakati tuna mikakati, na adui ni mbili tu, wazi , kazi hiyo inatatuliwa kwa njia sawa kabisa.; Inatosha kutambua kwamba kwa kubadilisha ishara ya kushinda kinyume chake, unaweza kugeuka mchezaji na kutoka "kushinda" katika "kupoteza". Unaweza kutatua mchezo na bila kubadilisha ishara ya busara; Kisha kazi hiyo imetatuliwa moja kwa moja kwa B, lakini sio chini, lakini kikomo cha juu cha winnings (Kielelezo 4.9). Kwenye mpaka ni kuangalia kwa uhakika n na amri ndogo, ambayo ni bei ya mchezo ν.

Fikiria na kutatua mifano kadhaa ya michezo 2 × 2 na 2xm ambayo ni vielelezo rahisi vya michezo ambayo ni ya vitendo.

Mfano 3.Chama na kutuma adui kwa mshambuliaji wawili. I. Na II.; I. inaruka mbele II. - Nyuma. Moja ya mabomu - haijulikani mapema nini - lazima iwe na bomu, mwingine hufanya kazi ya kuambatana. Katika eneo la mpinzani, mshambuliaji anashambuliwa na mpiganaji wa V. Bombarders wenye silaha za haraka. Ikiwa mpiganaji anashambulia mshambuliaji wa nyuma II., basi moto wa bombarder hii tu huongoza juu yake; Ikiwa anashambulia mshambuliaji wa mbele, basi bunduki za mabomu zote mbili huongoza juu yake. Uwezekano wa lesion ya wapiganaji katika kesi ya kwanza ni 0.3, katika pili ya 0.7.

Ikiwa mpiganaji hakupigwa risasi na moto wa kujihami wa mabomu, basi anashambulia lengo lililochaguliwa kwa uwezekano wa 0.6. Kazi ya mshambuliaji - kufikisha bomu kwa lengo; Kazi ya mpiganaji ni kuzuia hii, i.e. Weka mshambuliaji wa mshambuliaji. Inahitajika kuchagua mikakati mojawapo ya vyama:

a) kwa ajili ya chama A: Je, ni mshambuliaji gani kufanya carrier?

b) kwa ajili ya chama Q: Nini mshambuliaji anashambuliwa?

Uamuzi. Tuna kesi rahisi ya kucheza 2 × 2; uwezekano wa kushinda Carrier inayoweza kutoweka. Mikakati yetu: 1 - carrier - mshambuliaji. I.; Na 2 - carrier - mshambuliaji. II.. Mkakati wa Entrietary: Katika 1 - mashambulizi ya mshambuliaji I.; Katika bomu 2-kufundishwa. II.. Hebu tufanye matrix ya mchezo, i.e. Tunapata faida ya wastani na kila mchanganyiko wa mikakati.

1. 1 katika 1 (carrier. I.Kushambulia I.). Msaidizi hawezi kushangazwa kama mabomu wanakusanya mpiganaji, au hawana kutolewa, lakini haitapiga lengo lake: 11 \u003d 0.7 + 0.3 * 0.4 \u003d 0.82.

2. 2 katika 1 (carrier. II.Kushambulia I.). 21 \u003d 1.

3. 1 kati ya 2 (carrier. I.Kushambulia II.). 12 \u003d 1.

4. 2 katika 2 (carrier. II.Kushambulia II.). A 22 \u003d 0.3 + 0.7 * 0.4 \u003d 0.58

Matrix ya mchezo ina fomu:

Bei ya chini ya mchezo 0.82; Bei ya juu 1. Matrix haina hatua ya kitanda; Suluhisho Tunatafuta katika uwanja wa mikakati iliyochanganywa. Tuna:

p 1 * 0.82 + p 2 * 1 \u003d ν

p 1 * 1 + p 2 * 0,58 \u003d ν

p 1 \u003d 0.7; P 2 \u003d 0.3.

Mkakati wetu bora. Kuna i.e. kama carrier unahitaji kuchagua zaidi I.kuliko II.. Bei ya mchezo ni sawa na ν \u003d 0.874. Kujua ν, tunaamua q 1 na q 2 - frequencies ya mikakati katika 1 na 2 katika mkakati wa adui bora B *. Tuna: Q 1 * 0.82 + Q 2 * 1 \u003d 0.874 na Q 2 \u003d 1 - Q 1, kutoka ambapo Q 1 \u003d 0.7; Swali la 2 \u003d 0.3, i.e., mkakati wa adui bora ni .

Mfano 4.Chama cha kushambulia kitu, chama cha - kinamtetea. Kutoka upande wa ndege mbili; Kwa upande wa B - bunduki tatu za zenith. Kila ndege ni carrier wa upendo wenye nguvu; Ili kitu cha kushangazwa, kutosha kuvunja angalau ndege moja. Party ya Airplanes na inaweza kuchagua yoyote ya maelekezo matatu ya kukabiliana na kitu: I., II., III. (Kielelezo 4.10). Adui (upande c) anaweza kubeba bunduki yoyote katika mwelekeo wowote; Katika kesi hii, kila chombo kinapigwa tu na nafasi ya nafasi ya mwelekeo huu, na haina risasi maelekezo ya karibu. Kila silaha inaweza moto ndege moja tu; Ndege iliyofukuzwa inashangaa na uwezekano 1. chama na hajui ambapo bunduki huwekwa; Chama cha Haifanyi hajui ambapo ndege zinatoka. Kazi ya sehemu ya A ni kugonga kitu; Lengo la vyama - kuzuia kushindwa kwake. Pata suluhisho kwa mchezo.

Uamuzi. Mchezo ni mchezo wa 2 × 3. Kushinda ni uwezekano wa uharibifu wa kitu. Mikakati yetu inawezekana: 1 - tuma ndege moja katika maelekezo mawili tofauti. A 2 - Tuma ndege zote mbili katika mwelekeo mmoja. Mkakati wa Entrietary: katika 1 - Weka chombo kimoja kwa kila mwelekeo; Katika 2 - kuweka bunduki mbili kwa mwelekeo mmoja na moja - kwa mwingine; Katika 3 - Weka bunduki zote tatu kwenye mwelekeo mmoja. Fanya matrix ya mchezo.

1. Na 1 katika 1 (ndege ya kuruka maeneo tofauti; Bunduki hupangwa moja). Kwa wazi, hakuna ndege huvunja juu ya kitu: 11 \u003d 0.

2. 2 katika 1 (ndege kuruka pamoja katika mwelekeo mmoja; bunduki huwekwa moja kwa moja). Kwa wazi, wakati huo huo ndege moja itapita kwa kitu kwa wasio na wasiwasi: 21 \u003d 1.

3. Na 1 hadi 2 (ndege kuruka moja kwa moja; mpinzani analinda maelekezo mawili na majani ya tatu isiyozuiliwa). Uwezekano kwamba angalau ndege moja kuvunja hadi kitu ni sawa na uwezekano kwamba mmoja wao atachagua mwelekeo usiozuiliwa: 12 \u003d 2/3.

4. Na 2 katika 2 (ndege kuruka pamoja katika mwelekeo mmoja; adui hulinda mwelekeo mmoja na zana mbili na moja - moja, yaani, kwa kweli kulinda mwelekeo mmoja na majani mawili yasiyozuiliwa). Uwezekano kwamba angalau ndege moja huvunja kwa kitu ni sawa na uwezekano wa ndege ya ndege kweli mwelekeo usiozuiliwa: 22 \u003d 2/3.

5. Na 1 hadi 3 (ndege kuruka moja kwa moja; mpinzani analinda silaha tatu tu mwelekeo mmoja): 13 \u003d 1.

6. Na 2 katika 3 (ndege kuruka wote pamoja; mpinzani analinda silaha tatu tu mwelekeo mmoja). Ili kitu cha kushangazwa, ndege lazima kuchagua mwelekeo usiozuiliwa: 23 \u003d 2/3.

Michezo ya Matrix:

Kutoka Matrix ni wazi kwamba mkakati wa 3 ni wazi kuwa mbaya ikilinganishwa na B 2 (hii inaweza kutatuliwa mapema). Kuonyesha mkakati katika mchezo 3 unashuka kwenye mchezo wa 2 × 2:

Matrix ina hatua ya kitanda: bei ya chini ya mchezo 2/3 inafanana na juu. Wakati huo huo, tunaona kwamba kwa ajili yetu (a), mkakati wa 1 ni dhahiri mbaya. Hitimisho: Wote pande zote A na B lazima daima kutumia mikakati yao safi A 2 na B 2, i.e. Tunapaswa kutuma ndege hadi 2, kuchagua mwelekeo wa random ambao mvuke hutumwa; Adui anapaswa kuweka bunduki kama hii: mbili - kwa mwelekeo mmoja, moja - kwa upande mwingine, na uteuzi wa maeneo haya pia lazima ufanyike kwa bahati (hapa, kama tunavyoona, tayari "mikakati safi" ni pamoja na kipengele cha nafasi). Kutumia mikakati hii ya mojawapo, tutapata kila wakati wa kudumu wa kawaida 2/3 (i.e. kitu kitaathiriwa na uwezekano wa 2/3). Kumbuka kwamba suluhisho lilipatikana sio pekee; Mbali na ufumbuzi B. mikakati safi., Kuna njama nzima ya mikakati ya mchezaji mchanganyiko A, ambayo ni sawa, kutoka P 1 \u003d 0 hadi p 1 \u003d 1/3 (Kielelezo 4.11).

Rahisi, kwa mfano, hakikisha kwamba mshindi wa wastani wa 2/3 utafanikiwa, ikiwa tunatumia mikakati yetu ya 1 na 2 kwa uwiano 1/3 na 2/3.

Mfano wa 5. Hali sawa na katika mfano uliopita, lakini kwa sisi kuna maelekezo manne ya athari, na adui ana bunduki nne.

Uamuzi.Bado tuna mikakati miwili iwezekanavyo: 1 - Tuma ndege moja kwa moja, na 2 - tuma ndege mbili pamoja. Mpinzani ana mikakati mitano iwezekanavyo: katika 1 - Weka moja kwa chombo kwa kila mwelekeo; Katika 2 - kuweka bunduki mbili katika maelekezo mawili tofauti; Katika 3 - kuweka bunduki mbili kwa mwelekeo mmoja na moja kwa moja - na wengine wawili; Katika 4 kuweka bunduki tatu kwa mwelekeo mmoja na moja - kwa mwingine; Katika 5 - Weka bunduki nne kwa mwelekeo mmoja. Mikakati katika 4, katika 5 kutupa mapema kama dhahiri mbaya. Kushindana sawa na mfano uliopita, tunajenga tumbo la mchezo:

Bei ya chini ya mchezo 1/2, juu ya 3/4. Matrix haina hatua ya kitanda; Uamuzi huo ni katika uwanja wa mikakati iliyochanganywa. Kutumia tafsiri ya kijiometri (Kielelezo 4.12), tunaonyesha mikakati ya adui "muhimu": katika 1 na katika 2.

Frequency P 1 na P 2 Tunafafanua kutoka kwa usawa: P 1 * 0 + (1 - p 1) * 1 \u003d ν na p 1 * 5/6 + (1 - p 1) * 1/2 \u003d ν; Ambapo p 1 \u003d 3/8; P 2 \u003d 5/8; ν \u003d 5/8, i.e. Mkakati wetu bora ni . Kutumia hiyo, tunajihakikishia Winnings wastani 5/8. Kujua bei ya mchezo ν \u003d 5/8, tunapata Frequency Q 1 na Q 2 "Muhimu" Mikakati ya adui: Q 1 * 0 + (1 - Q 1) * 5/6 \u003d 5/8, Q 1 \u003d ¼, q 2 \u003d ¾. Mkakati wa adui bora utakuwa: .

Mfano 6. Chama A kina mikakati miwili A 1 na 2, upande B - nne b 1, 2, katika 3 na katika 4. Matrix ya mchezo ina fomu:

Pata suluhisho kwa mchezo.

Uamuzi. Bei ya chini ya mchezo 3; Top 4. tafsiri ya kijiometri (Kielelezo 4.13) inaonyesha kwamba mikakati muhimu ya mchezaji iko katika 1 na 2 au 2 na katika 4:

Mchezaji A ana mikakati ya mchanganyiko mzuri sana: katika mkakati bora P 1, inaweza kutofautiana kutoka 1/5 hadi 4/5. Bei ya mchezo ν \u003d 4. Mchezaji ana mkakati safi wa moja kwa moja katika 2.

§ 5. Mbinu za jumla za kutatua michezo ya mwisho.

Tuna mbali tu michezo ya msingi ya aina ya 2xn, ambayo inaweza kutatuliwa kabisa na kuruhusu tafsiri ya kijiometri rahisi na ya kuona. Katika kesi ya jumla, suluhisho la mchezo wa MXN linawakilisha kazi ngumu sana, na utata wa tatizo na kiasi cha hesabu muhimu ili kutatua hesabu ya hesabu na kuongezeka kwa M na N. Hata hivyo, matatizo haya hayana asili ya msingi na yanahusishwa tu na kiasi kikubwa cha makazi, ambayo wakati mwingine inaweza kuwa haiwezekani. Sehemu kuu ya uamuzi wa uamuzi bado na m moja na sawa.

Tunaonyesha hii juu ya mfano wa mchezo wa 3xn. Hebu tupe ufafanuzi wake wa kijiometri - tayari anga. Mikakati yetu tatu na 1, 2 na 3 itakuwa pointi tatu juu ya ndege hou; Uongo wa kwanza mwanzoni mwa kuratibu (Kielelezo 5.1), pili na ya tatu - kwenye axes Oh. Na Ou Katika umbali 1 tangu mwanzo.

Kupitia pointi 1, na 2 na 3 hufanyika mhimili I. – I., II. – II. Na III. – III.perpendicular kwa ndege. hou. Juu ya mhimili I. – I. Winnings ni kuahirishwa wakati mkakati 1 juu ya axes II. – II. Na III. – III. - Winnings na mikakati ya 2, na 3. Mkakati wa kila adui B J inaonyesha ndege ambayo hupunguza kwenye axes I. – I., II. – II. Na III. – III. Makundi sawa na winnings na mikakati sahihi A 1, 2 na 3 na mkakati katika j. Kwa hiyo, kujenga mikakati yote ya adui, tunapata familia ya ndege juu ya pembetatu 1, 2 na 3 (Kielelezo 5.2). Kwa familia hii, unaweza pia kujenga mpaka wa chini wa winnings, kama tulivyofanya katika kesi ya 2xn na kupata uhakika n katika mpaka huu na urefu wa juu juu ya ndege hou. Urefu huu ni bei ya mchezo ν.

Frequency p 1, P 2, P 3 Mikakati A 1, 2 na 3 katika mkakati wa SA * utatambuliwa na kuratibu (x, y) ya uhakika N, yaani: P 2 \u003d x, p 3 \u003d Y, p 1 \u003d 1 - P 2 - P 3. Hata hivyo, ujenzi wa kijiometri hata kwa kesi ya 3xn si rahisi kutekeleza na inahitaji muda mwingi na jitihada za mawazo. Katika kesi ya jumla ya mchezo, ni kuhamishiwa nafasi ya m-dimensional na kupoteza kujulikana, ingawa matumizi ya neno la kijiometri katika baadhi ya matukio inaweza kuwa na manufaa. Wakati wa kutatua michezo ya MXN katika mazoezi ni rahisi sana kutumia analogies ya kijiometri, lakini kwa njia za uchambuzi, hasa tangu, kutatua tatizo kwenye mashine za kompyuta, mbinu hizi zinafaa tu.

Njia hizi zote kimsingi zimepunguzwa kutatua tatizo kwa sampuli mfululizo, lakini kuagiza mlolongo wa sampuli inakuwezesha kujenga algorithm inayoongoza kutatua njia ya kiuchumi zaidi. Hapa tutazingatia kwa ufupi njia hiyo ya mahesabu ya kutatua michezo ya MXN - kwenye njia inayoitwa "programu ya mstari". Kwa kufanya hivyo, tutatoa kwanza kuweka juu ya tatizo kuhusu kutafuta uamuzi wa mchezo wa MXN. Hebu mchezo wa MXN na mikakati ya m 1, 2, ..., na m mchezaji a na n mikakati b 1, b 2, ..., b n mchezaji ndani na kuweka matrix malipo ‖a i j ‖. Inahitajika kupata uamuzi wa mchezo, i.e. Mikakati miwili iliyochanganywa ya wachezaji A na IN.

ambapo p 1 + p 2 + ... + P m \u003d 1; Swali 1 + Q 2 + ... + Q n \u003d 1 (baadhi ya idadi p i na q j inaweza kuwa sifuri).

Mkakati wetu mzuri wa * unapaswa kutupa ushindi, sio chini, na tabia yoyote ya adui, na faida sawa na ν, na tabia yake bora (mkakati S b *). Vile vile, mkakati wa B * unapaswa kutoa mpinzani kwa hasara, sio kubwa kuliko ν, na tabia yoyote na sawa na ν na tabia yetu bora (mkakati S A *).

Ukubwa wa bei ya mchezo ν katika kesi hii haijulikani kwetu; Tunadhani kwamba ni sawa na baadhi. idadi nzuri. Kuamini hivyo, hatuwezi kukiuka kwa sababu ya kufikiri; Ili kuwa ν\u003e 0, ni dhahiri kwamba mambo yote ya matrix ‖a i j ‖ hayakuwa yasiyo ya hasi. Hii inaweza kufanikiwa daima kwa kuongeza vipengele vya ‖a i j j thamani nzuri L.; Wakati huo huo bei ya mchezo itaongezeka L.Na uamuzi hautabadilika.

Hebu tuache mkakati wetu wa mkakati wa *. Kisha mshindi wetu wa wastani na mikakati B J adui itakuwa sawa na: j \u003d p 1 a 1j + p 2 a 2j + ... + P m mj. Mkakati wetu wa kutosha S A * una mali ambayo kwa tabia yoyote ya adui huhakikisha kushinda si chini ya ν; Kwa hiyo, namba yoyote ya J haiwezi kuwa chini ya ν. Tunapata hali kadhaa:

Tunagawanya usawa (5.1) juu ya thamani nzuri ya ν na denote

Basi hali (5.1) zitarekodi kwa fomu

ambapo ξ 1, ξ 2, ..., ξ m ni idadi isiyo ya hasi. Tangu p 1 + p 2 + ... + P m \u003d 1, maadili ξ 1, ξ 2, ..., ξ m kukidhi hali hiyo

(5.3) ξ 1 + ξ 2 + ... + ξ m \u003d 1 / ν.

Tunataka kufanya winnings yao ya uhakika iwezekanavyo; Kwa wazi, wakati huo huo sehemu ya haki. Usawa (5.3) unachukua thamani ya chini. Kwa hiyo, kazi ya kupata suluhisho ya mchezo imepungua kwa tatizo lafuatayo la hisabati: kuamua maadili yasiyo ya hasi ya ξ 1, ξ 2, ξ m, hali ya kuridhisha (5.2), ili jumla yao φ \u003d ξ 1 + ξ 2 + ... + ξ m ilikuwa ndogo.

Kawaida, wakati wa kutatua matatizo yanayohusiana na kutafuta maadili yaliokithiri (Maxima na minima), kazi hiyo inatofautiana na imefananishwa na derivatives zero. Lakini mbinu hii haina maana katika kesi hii, tangu kazi φ, ambayo inapaswa kugeuzwa, mstari, na derivatives yake katika hoja zote ni sawa na moja, i.e. Hakuna mahali pa kugeuka hadi sifuri. Kwa hiyo, kazi ya juu inafanikiwa mahali fulani kwenye mpaka wa eneo la mabadiliko ya hoja, ambayo imedhamiriwa na mahitaji ya yasiyo ya upungufu wa hoja na masharti (5.2). Kukubali maadili kali kwa kutumia tofauti siofaa na katika hali ambapo upeo wa chini (au angalau juu) mpaka wa winnings umeamua kutatua mchezo, kama sisi, kwa mfano, waliamua wakati wa kutatua michezo ya 2xn. Hakika, kikomo cha chini kinajumuishwa na maeneo ya mistari ya moja kwa moja, na kiwango cha juu kinapatikana si kwa wakati ambapo derivative ni sifuri (hakuna hatua hiyo kabisa), na kwa mipaka ya muda au katika hatua ya intersection ya rectilinear maeneo.

Ili kutatua kazi hizo, mara nyingi hutokea katika mazoezi, vifaa maalum vya programu ya mstari imeanzishwa katika hisabati. Kazi ya programu ya mstari imewekwa kama ifuatavyo. Dana mfumo wa equations linear:

Inahitajika kupata maadili yasiyo ya hasi ya ξ 1, ξ 2, ξ, ξ m, hali ya kuridhisha (5.4) na wakati huo huo kulipa kiwango cha chini cha kazi ya kawaida ya maadili ξ 1, ξ 2, ξ, ξ m (fomu ya mstari): φ \u003d c 1 ξ 1 + c 2 ξ 2 + ... + cm ξ m

Ni rahisi kuhakikisha kwamba kazi ya juu ya nadharia ya mchezo ni kesi maalum ya tatizo la programu ya mstari katika C 1 \u003d c 2 \u003d ... \u003d cm \u003d 1. Kwa mtazamo, inaweza kuonekana kuwa hali (5.2) si sawa na masharti (5.4), tangu badala ya ishara ya usawa wao wana ishara za kutofautiana. Hata hivyo, kutokana na kutofautiana ishara ni rahisi kujiondoa, kuanzisha vigezo mpya vya uwongo zisizo na hasi Z 1, z 2, ..., z n na hali ya kurekodi (5.2) kwa fomu:

Fomu φ, ambayo inapaswa kuingiliwa kwa kiwango cha chini, ni φ \u003d ξ 1 + ξ 2 + ... + ξ m. Kifaa cha programu ya mstari kinaruhusu idadi ndogo ya sampuli za mfululizo ili kuchagua thamani ξ 1, ξ 2, ..., ξ m kukidhi mahitaji. Kwa ufafanuzi mkubwa, tutaonyesha hapa kuomba kifaa hiki moja kwa moja kwenye nyenzo za kutatua michezo maalum.

Mfano 1. Inahitajika kupata suluhisho la mchezo 3 × 3 iliyotolewa kwa mfano 2 § 1, na matrix:

Kufanya kila kitu na IJ yasiyo ya hasi, kuongeza vipengele vyote vya matrix L \u003d 5. Tunapata tumbo:

Wakati huo huo, bei ya mchezo itaongezeka kwa 5, na uamuzi hautabadilika.

Tunafafanua mkakati bora wa *. Masharti (5.2) Kuwa na fomu:

ambapo ξ 1 \u003d p 1 / ν, ξ 2 \u003d p 2 / ν, ξ 3 \u003d p 3 / ν. Ili kuondokana na ishara za kutofautiana, tunaanzisha vigezo vya uwongo z 1, z 2, z 3; Masharti (5.6) yatarekodi kwa fomu:

Fomu ya mstari φ ni: φ \u003d ξ 1 + ξ 2 + ξ 3 na lazima iwe kama iwezekanavyo. Ikiwa mikakati yote mitatu ni "muhimu", basi vigezo vyote vya tatu vya uwongo Z 1, z 2, z 3 zitageuka hadi sifuri (yaani, winnings sawa na bei ya mchezo ν itafanikiwa kwa kila mkakati wa B J). Lakini bado hatuna sababu ya kusema kwamba mikakati yote mitatu ni "muhimu". Ili kupima, tutajaribu kuelezea sura φ kupitia vigezo vya uwongo z 1, z 2, z 3 na kuona kama sisi, kuamini kuwa sawa na sifuri, kiwango cha chini cha fomu. Ili kufanya hivyo, tatua usawa (5.7) kwa kuzingatia vigezo ξ 1, ξ 2, ξ 3 (i.e., Express ξ 1, ξ 2, ξ 3 kupitia vigezo vya uwongo Z 1, z 2, z 3):

Folding ξ 1, ξ 2, ξ 3, tunapata: φ \u003d 1/5 + z 1/20 + z 2/10 + z 3/2 20. Hapa coefficients katika Z zote ni chanya; Ina maana kwamba ongezeko lolote katika z 1, z 2, z 3 juu ya sifuri inaweza kusababisha tu ongezeko la fomu φ, na tunataka kuwa ndogo. Kwa hiyo, maadili ya z 1, z 2, z 3, fomu φ kwa kiwango cha chini, ni z 1 \u003d z 2 \u003d z 3 \u003d 0. Kwa hiyo, thamani ya chini ya fomu φ: 1 / ν \u003d 1 / 5, kutoka ambapo bei ya mchezo ν \u003d 5. Kuweka maadili ya sifuri z 1, z 2, z 3 katika formula (5.8), tunaona: ξ 1 \u003d 1/20, ξ 2 \u003d 1/10, ξ 3 \u003d 1/20, au, kuzidisha juu ya ν, p 1 \u003d 1/4, p 2 \u003d 1/2, p 3 \u003d 1/4. Hivyo, mkakati bora na kupatikana: . Tunapaswa kuandika katika robo moja ya matukio yote kwa takwimu 1, katika kesi ya nusu 2 na sehemu zote za kesi 3.

Kujua bei ya mchezo ν \u003d 5, unaweza kujulikana tayari jinsi ya kupata mkakati wa adui bora . Kwa kufanya hivyo, tunatumia mikakati yetu yoyote ya "muhimu" (kwa mfano, na 2 na 3) na kuandika equations:

9Q 1 + 11 (1-Q 2 -Q 1) \u003d 5,

kutoka ambapo Q 1 \u003d Q3 \u003d 1/4; Q 2 \u003d 1/2. Mkakati wa adui bora utakuwa sawa na yetu: . Sasa kurudi kwenye mchezo wa awali (usiobadili). Kwa kufanya hivyo, ni muhimu tu kutokana na bei ya mchezo ν \u003d 5 kuchukua kiasi cha L \u003d 5, aliongeza kwa vipengele vya tumbo. Tunapata bei ya mchezo wa awali V 0 \u003d 0. Kwa hiyo, mikakati ya mojawapo ya pande zote mbili hutoa faida ya wastani sawa na sifuri; Mchezo huu ni sawa au hauna faida kwa pande zote mbili.

Mfano 2. Club ya Michezo A ina aina tatu za muundo wa timu ya 1, na 2 na 3. Club B pia ni matatu matatu b 1, 2 na katika 3. Kutumia programu ya kushiriki katika ushindani, hakuna klabu yoyote kujua nini utungaji utachagua mpinzani. Uwezekano wa kushinda klabu A na aina mbalimbali za uundaji wa timu, takriban inayojulikana kutokana na uzoefu wa mikutano ya zamani, imewekwa na Matrix:

Tafuta, pamoja na klabu za mzunguko, kila mikutano katika mikutano inapaswa kufanywa ili kufikia idadi kubwa ya ushindi.

Uamuzi. Bei ya chini ya mchezo 0.4; Juu 0.6; Suluhisho Tunatafuta katika uwanja wa mikakati iliyochanganywa. Ili usiingie na sehemu ndogo, kuzidisha mambo yote ya matrix kwa 10; Wakati huo huo, bei ya mchezo itaongeza mara 10, na uamuzi hautabadilika. Tunapata matrix:

Masharti (5.5) Kuwa na fomu:

na hali ya chini φ \u003d ξ 1 + ξ 2 + ξ 3 \u003d min.

Tunaangalia kama mikakati yote ya adui tatu ni "muhimu". Kama hypothesis, sisi kwanza kudhani kuwa vigezo vya uwongo z 1, z 2, z 3 ni sifuri, na kupima equation (5.10) kuhusiana na ξ 1, ξ 2, ξ 3:

(5.12) 136φ \u003d 30 + 13Z 1 + 18Z 2 - 51Z 3

Mfumo (5.12) unaonyesha kwamba ongezeko la vigezo z 1 na z 2 ikilinganishwa na thamani yao ya thamani ya zero inaweza kuongeza tu φ, wakati ongezeko la Z 3 linaweza kupunguza φ. Hata hivyo, ongezeko la Z 3 linapaswa kufanyika kwa uangalifu kwamba maadili ξ 1, ξ 2, ξ 3 hutegemea Z 3 haukuwa mbaya. Kwa hiyo, sisi kuweka katika sehemu sahihi ya usawa (5.11) maadili ya z 1 na z 2 sawa na sifuri, na thamani z 3 itaongezeka kwa mipaka kuruhusiwa (hadi sasa baadhi ya maadili ξ 1, ξ 2, ξ 3 haitageuka kuwa sifuri). Kutoka kwa usawa wa pili (5.11) Inaweza kuonekana kuwa ongezeko la Z 3 "salama" kwa thamani ya ξ 2 - inakua tu kutoka kwao. Kwa ajili ya maadili ξ 1, na ξ 3, hapa ongezeko la Z 3 inawezekana tu kwa kikomo fulani. Thamani ya ξ 1 rufaa kwa sifuri katika Z 3 \u003d 10/23; Thamani ya ξ 3 rufaa kwa sifuri mapema, tayari katika Z 3 \u003d 1/4. Kwa hiyo, kutoa z 3 ya thamani yake ya juu ya kuruhusiwa Z 3 \u003d 1/4, wakati tunapogeuka kwa thamani ya sifuri № 3.

Ili kuangalia kama fomu φ inaonekana kwa kiwango cha chini katika Z 1 \u003d 0, z 2 \u003d 0, ξ 3 \u003d 0, tutaelezea vigezo vilivyobaki (si sawa) kwa njia ya kudai sawa sawa Z1, z 2, ξ 3. Kutatua usawa (5.10) kwa heshima ya ξ 1, ξ 2 na Z 3, tunapata:

(5.13) 32φ \u003d 7 + zz 1 + 4Z 2 + ξ 3

Kutoka kwa Mfumo (5.13) Inaweza kuonekana kwamba ongezeko lolote katika z 1, z 2, ξ 3 juu ya maadili yao ya zero yaliyotarajiwa yanaweza kuongeza fomu φ. Kwa hiyo, uamuzi wa mchezo unapatikana; Imeamua na maadili z 1 \u003d z 2 \u003d ξ 3 \u003d 0, kutoka ambapo ξ 1 \u003d 1/32, ξ 2 \u003d 3/16, z 3 \u003d 1/4. Kuweka katika Mfumo (5.13), tunapata bei ya mchezo: 32φ \u003d 7 \u003d 32 / ν; ν \u003d 32/7. Mkakati wetu bora: . Mikakati "muhimu" (nyimbo A 1 na A 2) inapaswa kutumiwa na frequency 1/7 na 6/7; Muundo A 3 - Usitumie.

Ili kupata mkakati wa adui, kwa ujumla, unaweza kufanya hivyo: kubadilisha ishara ya kushinda reverse, kuongeza vipengele vya thamani ya mara kwa mara ya L ili kuwafanya yasiyo ya hasi, na kutatua kazi kwa adui kama vile Tulijitunza wenyewe. Hata hivyo, ukweli kwamba bei ya mchezo ν tayari inajulikana kwetu, kwa kiasi fulani inafanya kazi. Aidha, hii. kesi halisi Kazi hiyo ni rahisi zaidi na ukweli kwamba mikakati miwili tu ya "muhimu" ya adui katika 1 na katika 2 kushiriki katika uamuzi, kwa kuwa thamani ya z 3 si sawa na sifuri, na, ina maana kwamba mchezo haufikiwi saa 3. Kuchagua mkakati wowote wa "muhimu" mchezaji A, kwa mfano, 1, unaweza kupata frequency Q 1 na Q 2. Kwa kufanya hivyo, weka equation 8q 1 + 2 (1 - q 1) \u003d 32/7, kutoka ambapo Q 1 \u003d 3/7, Q 2 \u003d 4/7; Mkakati wa adui bora utakuwa: . Adui haipaswi kutumia muundo wa 3, na nyimbo za 1 na 2 zinapaswa kutumiwa na frequencies 3/7 na 4/7.

Kurudi kwenye tumbo la awali, tunafafanua bei ya kweli ya mchezo ν 0 \u003d 32/7: 10 \u003d 0.457. Hii ina maana kwamba. idadi kubwa Mikutano Idadi ya ushindi wa klabu A itakuwa 0.457 ya mikutano yote.

§ 6. Njia za takriban za kutatua michezo.

Mara nyingi katika kazi za vitendo hakuna haja ya kupata uamuzi sahihi wa mchezo; Ni ya kutosha kupata suluhisho takriban, kutoa ushindi wa wastani, karibu na bei ya mchezo. Maarifa ya makadirio ya bei ya mchezo ν inaweza tayari kutoa uchambuzi rahisi wa matrix na ufafanuzi wa bei ya chini (α) na ya juu (β) ya mchezo. Ikiwa α na β ni karibu, kuna kivitendo hakuna haja ya kutafuta suluhisho sahihi, lakini itakuwa ya kutosha kuchagua mikakati ya minimax ya wavu. Katika hali ambapo α na β sio karibu, inawezekana kupata suluhisho la kukubalika kufanya kwa msaada wa njia za namba za kutatua michezo, ambayo tunapoteza kwa ufupi njia ya iteration.

Wazo la njia ya iteration imepunguzwa kwa zifuatazo. "Jaribio la akili" linachezwa, ambalo wapinzani A na B wanatumia mikakati yao dhidi ya kila mmoja. Jaribio lina mlolongo wa michezo ya msingi, ambayo kila mmoja ana matrix ya mchezo uliopewa. Inaanza na ukweli kwamba sisi (mchezaji a) kuchagua moja ya mikakati yake, kwa mfano na mimi. Adui anajibika kwa hili na mkakati wake B J, ambayo ni ya manufaa kwa ajili yetu, i.e. Inageuka winnings wakati mikakati na mimi chini. Kwa hoja hii, tunashughulikia mkakati huo K, ambayo inatoa faida ya wastani wakati wa kutumia mkakati wa mpinzani B j. Kisha - tena upande wa mpinzani. Anashughulikia hatua zetu ni mimi na K kwamba ya mkakati wake B j, ambayo inatupa ushindi mdogo wa wastani na mikakati hii miwili (I, na K), na kadhalika. Katika kila hatua ya mchakato wa iterative, kila mchezaji anajibu kwa kozi yoyote ya mchezaji mwingine na mkakati wake, ambayo ni sawa juu ya hatua zake zote zilizopita, kuchukuliwa kama mkakati mchanganyiko ambao mikakati safi huwasilishwa kwa uwiano kulingana na mzunguko wa maombi yao .

Njia hii ni kama mfano wa "kujifunza" halisi ya wachezaji, wakati kila mmoja wao anapata njia ya tabia ya mpinzani na anajaribu kujibu kwa yeye mwenyewe. Ikiwa simulation kama hiyo ya mchakato wa kujifunza itaendelea kuendelea muda mrefu, basi winnings wastani kwa jozi ya hatua (mchezo wa msingi) utajitahidi kwa bei ya mchezo, na frequency p 1 ... p m; Swali 1 ... Q N, ambayo mikakati ya wachezaji hupatikana katika safu hii, itashughulikia frequency ambayo huamua mikakati ya mojawapo. Mahesabu yanaonyesha kwamba kuungana kwa njia ni polepole sana, hata hivyo, kwa mashine za kuhesabu kasi, hii sio kikwazo.

Tunaonyesha matumizi ya njia ya iterative juu ya mfano wa mchezo 3 × 3, kutatuliwa katika mfano 2 ya aya ya awali. Mchezo umewekwa na matrix:

Jedwali 6.1 inaonyesha hatua 18 za kwanza za mchakato wa iterative. Safu ya kwanza inapewa idadi ya mchezo wa msingi (jozi ya hatua) n.; Katika idadi ya pili. I. Mkakati wa mchezaji aliyechaguliwa A; Katika tatu zifuatazo - "Winnings zilizokusanywa" kwa kwanza n. Michezo na mikakati ya adui B 1, 2, katika 3. Kima cha chini cha maadili haya kinasisitizwa. Ijayo inakuja idadi. j. mkakati uliochaguliwa na adui, na kushinda kwa mtiririko huo n. Michezo chini ya mikakati ya 1, na 2, na 3 ya maadili haya yanasisitizwa kutoka juu ya kiwango cha juu. Maadili yaliyopendekezwa huamua uchaguzi wa mkakati wa kukabiliana wa mchezaji mwingine. Nguzo zifuatazo zinapewa sequentially: Winnings ya wastani ya wastani ν sawa na kushinda chini ya kusanyiko iliyogawanywa na idadi ya michezo n.; Kiwango cha wastani cha wastani sawa na ushindi mkubwa uliokusanywa ulishiriki n., na wastani wao wa hesabu ν * \u003d (ν +) / 2. Na kuongezeka kwa n. Values \u200b\u200bzote tatu ν, na ν * zitashughulikia bei ya mchezo ν, lakini thamani ya ν * itakuwa kwa kawaida inakaribia kwa kasi.

Jedwali 6.1.

Kama inavyoonekana kutokana na mfano, kuungana kwa iterations ni polepole sana, lakini hata hivyo, hata hesabu ndogo hiyo inafanya uwezekano wa kupata thamani ya takriban ya bei ya mchezo na kufunua makabila ya "muhimu". Wakati wa kutumia mashine nyingi, thamani ya njia huongezeka kwa kiasi kikubwa. Faida ya njia ya iterative ya kutatua mchezo ni kwamba kiasi na utata wa mahesabu kiasi kidogo huongezeka kama idadi ya mikakati inavyoongezeka m. Na n..

§ 7. Njia za kutatua michezo isiyo na mwisho

Mchezo usio na mwisho unaitwa mchezo ambao angalau moja ya vyama vina mikakati isiyo na kipimo. Njia za jumla za kutatua michezo kama hiyo bado ni ndogo iliyoundwa. Hata hivyo, baadhi ya matukio fulani ambayo inaruhusu suluhisho rahisi inaweza kuwa na riba ya kufanya mazoezi. Fikiria mchezo wa wapinzani wawili A na B, kila mmoja anaye na mikakati isiyo na mwisho (isiyo na faida); Mikakati hii kwa mchezaji anaendana na maadili mbalimbali. kuendelea kubadilisha parameter. h., na kwa-parameter. w.. Katika kesi hii, badala ya matrix ‖a ij ‖ mchezo unaamua baadhi ya kazi ya hoja mbili zinazoendelea kubadilika a (X, Y)ambayo tutaita kazi ya winnings (tunaona kwamba kazi yenyewe a (X, Y) Haipaswi kuendelea). Kushinda kazi a (X, Y) Inaweza kuwasilishwa kwa uso wa kijiometri a (X, Y) juu ya eneo la mabadiliko ya hoja. (x, y) (Kielelezo 7.1)

Uchambuzi wa kazi ya winnings. A (X, Y) Inafanywa sawa na uchambuzi wa matrix ya malipo. Kwanza kuna bei ya chini ya mchezo α; Kwa maana hii imedhamiriwa kwa kila mtu h. Kazi ya chini a (X, Y) kwa yote w.:, Basi hutafuta upeo wa maadili haya kwa wote H. (Maximine):

Bei ya juu ya mchezo (minimax) inaelezwa kwa njia ile ile:

Fikiria kesi wakati α \u003d β. Kwa kuwa bei ya mchezo ν daima imehitimishwa kati ya α na β, basi maana yao ni ν. Usawa α \u003d β maana ya uso a (X, Y) ina hatua ya kitanda, i.e., hatua hiyo na kuratibu X 0, katika 0, ambayo a (X, Y) ni wakati huo huo ndogo. W. na kiwango cha juu h. (Kielelezo 7.2).

Thamani a (X, Y) Katika hatua hii, kuna bei ya mchezo: ν \u003d a (x 0, y 0). Uwepo wa hatua ya kitanda unamaanisha kuwa mchezo huu usio na mwisho una suluhisho katika uwanja wa mikakati safi; x 0, y 0. Kuna mikakati kamili ya A na V. Kwa ujumla, wakati Α ≠, mchezo unaweza kuwa na suluhisho tu katika uwanja wa mikakati mchanganyiko (labda sio pekee). Mchanganyiko Mchanganyiko wa michezo isiyo na mwisho Kuna usambazaji wa uwezekano wa mikakati h. Na w.kuchukuliwa kama vigezo vya random. Usambazaji huu unaweza kuendelea na kuamua na densities. f. 1 (x) Na f. 2 (y); Inaweza kuwa wazi, na kisha mikakati ya mojawapo ya kuweka mikakati tofauti ya wavu iliyochaguliwa na baadhi ya uwezekano usio na sifuri.

Katika kesi wakati mchezo usio na mwisho hauna uhakika wa kitanda, unaweza kutoa tafsiri ya kijiometri ya bei ya chini na ya juu ya mchezo. Fikiria mchezo usio na mwisho na kazi ya winnings. a (X, Y)na mikakati. x, W.Jaza makundi ya axes (x 1, x 2) Na (katika 1, u 2). Kuamua bei ya chini ya α, unahitaji "kuona" juu ya uso a (X, Y) kutoka upande wa mhimili w.. Badilisha kwenye ndege. hoa. (Kielelezo 7.3). Tunapata sura fulani, hupunguzwa kutoka pande na moja kwa moja x \u003d x 1 na x \u003d x 2, na kutoka juu na chini - curves kwa B na N. bei ya chini ya mchezo α ni wazi hakuna kitu lakini kiwango cha juu Amri ya Curve kwa N.

Vivyo hivyo, kupata bei ya juu ya mchezo β, unahitaji "kuona" juu ya uso a (X, Y) kutoka upande wa mhimili h. (Tengeneza uso kwa ndege wao.) na kupata amri ya chini ya mpaka wa juu hadi makadirio (Kielelezo, 7.4).

Fikiria mifano miwili ya msingi ya michezo isiyo na mwisho.

Mfano 1. Wachezaji A na B wana mikakati yote isiyowezekana iwezekanavyo. h.na w., Zaidi ya hayo, 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1. Kazi ya kushinda kwa A hutolewa na kujieleza A (X, Y) - (X - Y) 2. Pata suluhisho kwa mchezo.

Suluhisho, uso A (x, y) ni silinda ya paraboli (Kielelezo 7.5) na hauna uhakika wa saddled. Tunafafanua bei ya chini ya mchezo; Kwa wazi, kwa wote h.; Kwa hiyo \u003d 0. Tambua bei ya juu ya mchezo. Ili kufanya hivyo, tunapata kwa fasta. w.

Katika kesi hiyo, kiwango cha juu kinapatikana kwa mipaka ya muda (kwa x \u003d 0 au x \u003d 1), i.e. Ni sawa na ile ya 2; (1 - Y) 2, ambayo ni zaidi. Nitaonyesha grafu ya kazi hizi (Kielelezo 7.6), i.e. Makadirio ya uso. a (X, Y) Kwenye ndege wao.. Mstari wa mafuta katika Kielelezo. 7.6 Kipengele kinaonyeshwa. Kwa wazi, thamani yake ya chini inafanikiwa kwa y \u003d 1/2 na sawa na 1/4. Kwa hiyo, bei ya juu ya mchezo β \u003d 1/4. Katika kesi hiyo, bei ya juu ya mchezo inafanana na bei ya mchezo ν. Hakika, mchezaji anaweza kutumia mkakati wa mchanganyiko wa A \u003d ambayo maadili yaliyomo x \u003d 0 na x \u003d 1 yanajumuishwa na frequencies sawa; Kisha, kwa mkakati wowote, mchezaji katika mchezaji wa wastani kushinda A itakuwa sawa na: ½U 2 + ½ (1 - y) 2. Ni rahisi kuhakikisha kwamba thamani hii kwa maadili yoyote w. Kati ya 0 na 1, sio chini ya ¼: ½U 2 + ½ (1 - y) 2 ≥ ¼.

Hivyo, mchezaji na matumizi ya mkakati huu mchanganyiko unaweza kuhakikisha winnings sawa na bei ya juu ya mchezo; Kwa kuwa bei ya mchezo haiwezi kuwa kubwa kuliko bei ya juu, basi mkakati huu. S Optimal: S A \u003d S A *.

Inabakia kupata mkakati bora wa Mchezaji V. Ni dhahiri, kama bei ya mchezo ν ni sawa na bei ya juu ya mchezo, basi mkakati wa mchezaji mzuri utakuwa mkakati wake wa minimax ambao unathibitisha bei ya juu ya mchezo. Katika kesi hiyo, mkakati huo ni 0 \u003d ½. Hakika, kwa mkakati huu, chochote mchezaji A, winnings haitakuwa zaidi ¼. Hii ifuatavyo kutokana na kutofautiana kwa wazi (x-½) 2 \u003d x (x -1) + ¼ ≤ ¼

Mfano 2. Side A ("sisi") inaongoza ndege kwa mpinzani. Ili kuondokana na shelling, adui anaweza kuendesha na overload fulani w.ambayo yeye kwa hiari yake anaweza kushikilia umuhimu kutoka kwa w. \u003d 0 (harakati moja kwa moja) kwa w. = w. Max. (Flying karibu na mzunguko wa kiwango cha juu). Tunadhani. w. Max. Kitengo cha kipimo, i.e. Kuweka w. Max. \u003d 1. Katika kupambana na adui, tunaweza kutumia vifaa vya kuona kulingana na hypothesis moja au nyingine kuhusu harakati ya lengo wakati wa kukimbia huduma. Overload. h. Katika kesi hiyo, uendeshaji wa kufikiri unaweza kutegemea sawa na thamani yoyote kutoka 0 hadi 1. Kazi yetu ni kugonga adui; Kazi ya adui ni kubaki haihusiani. Uwezekano wa uharibifu wa data. h. Na w. Takriban iliyoelezwa na formula: a (x, y) \u003d , Wapi w. - overload kutumika na adui; X - overload, kuchukuliwa katika akaunti mbele. Inahitajika kuamua mikakati bora ya pande zote mbili.

Uamuzi. Kwa wazi, ufumbuzi wa mchezo hautabadilika ikiwa tunaweka p \u003d 1. Kushinda kazi a (X, Y) Iliyoonyeshwa na uso ulioonyeshwa kwenye Mchoro. 7.7.

Hii ni uso wa cylindrical unaofanana na bisect ya kona ya kuratibu houNa sehemu ya msalaba ya ndege ya perpendicular kwa kutengeneza, kuna curve ya aina ya usambazaji wa kawaida wa usambazaji. Kutumia tafsiri ya kijiometri iliyopendekezwa ya bei ya chini na ya juu ya mchezo, tunapata β \u003d 1 (Kielelezo 7.8) na (Kielelezo 7.9). Mchezo hauna hatua ya kitanda; Uamuzi unahitaji kutafuta katika uwanja wa mikakati iliyochanganywa. Kazi ni kwa kiasi fulani sawa na kazi ya mfano uliopita. Hakika kwa thamani ndogo. k. Kazi hufanya takribani kama kazi - (x - y) 2., na ufumbuzi wa mchezo utafanya kazi ikiwa katika kutatua mfano uliopita, kubadilisha majukumu ya wachezaji A na B; wale. Mkakati wetu bora utakuwa mkakati safi X \u003d 1/2, na mkakati bora wa Adui SB \u003d itakuwa kutumia mikakati kali Y \u003d 0 na y \u003d 1. Hii ina maana kwamba tunapaswa kutumia mbele katika matukio yote, mahesabu Kwa kuongezeka kwa X \u003d 1/2, na adui haipaswi kutumia uendeshaji wakati wote katika nusu ya matukio yote, na kwa nusu ya uendelezaji iwezekanavyo.

Kielelezo. 7.8 Kielelezo. 7.9.

Ni rahisi kuthibitisha kwamba uamuzi huu utakuwa wa haki kwa maadili k ≤ 2. Hakika, mshindi wa wastani na mkakati wa adui s B \u003d na kwa mkakati wetu h. Inaelezwa na kazi hiyo , ambayo kwa maadili k ≤ 2 ina kiwango cha juu cha X \u003d 1/2, sawa na bei ya chini ya mchezo α. Kwa hiyo, matumizi ya mkakati S B inathibitisha adui ya kupoteza, si zaidi ya α, ambayo ni wazi kwamba α ni bei ya chini ya mchezo - na kuna bei ya mchezo ν.

Katika K\u003e 2, kazi A (x) ina maxima (Kielelezo 7.10), iko sawa na X \u003d 1/2 kwenye pointi X 0 na 1 - X 0, na thamani ya x 0 inategemea k.

Kwa wazi, kwa k. \u003d 2 x 0 \u003d 1 - x 0 \u003d ½; Na kuongezeka kwa k. Pointi X 0 na 1 - X 0 zinahamishwa, zinakaribia karibu na pointi kali (0 na 1). Kwa hiyo, suluhisho la mchezo itategemea k. Tunaweka thamani maalum ya K, kwa mfano K \u003d 3, na kupata uamuzi wa mchezo; Kwa kufanya hivyo, tunafafanua abscissa x 0 ya kiwango cha juu cha (X). Kulinganisha kazi ya zero derivative A (x), kuandika equation kuamua x 0:

Equation hii ina mizizi mitatu: x \u003d 1/2 (ambapo inafanikiwa angalau) na x 0, 1 - x 0, ambapo maxima inafanikiwa. Kutatua usawa wa nambari, tunapata takriban X 0 ≈ 0.07; 1 - x 0 ≈ 0.93.

Tunathibitisha kuwa uamuzi wa mchezo katika kesi hii itakuwa jozi ya pili ya mikakati:

Kwa mkakati wetu na mkakati wa adui. w. Ushindi wa wastani ni sawa.

Pata kiwango cha chini cha 1 (Y) katika 0< у < 1. Функция a 1 (y) симметрична относительно y = 1/2 и может иметь только один или два максимума; ее минимум, во всяком случае, достигается либо в середине отрезка (0, 1), либо на его концах. Полагая у = 0 (или у = 1), найдем

Kuamini Y \u003d 1/2, tunapata

ambayo ni kubwa kuliko 1 (0); Kwa hiyo, bei ya mchezo sio chini ya 1 (0):

Sasa hebu sema kwamba adui hutumia mkakati S B *, na sisi ni mkakati X. Kisha kushinda wastani wa Will.

Lakini tulichagua X 0 kwa njia hii ili x \u003d x 0 ilifikia upeo wa juu (7.2); Kwa hiyo,

wale. Mpinzani na matumizi ya mkakati wa B * hawezi kuruhusu hasara, kubwa kuliko 0.530; Kwa hiyo, ν \u003d 0.530 ni bei ya mchezo, na mkakati S A * na S B * hutoa suluhisho. Hii ina maana kwamba lazima tutumie kuona na x \u003d 0.07 na x \u003d 0.93 na mzunguko huo, na mpinzani na mzunguko huo sio ujao na uendeshaji na upeo wa juu.

Kumbuka kwamba winnings ν \u003d 0,530 ni kubwa zaidi kuliko bei ya chini ya mchezo ambayo tunaweza kupata wenyewe kwa kutumia mkakati wako wa kiwango cha X 0 \u003d 1/2.

Moja ya njia za vitendo Kutatua michezo isiyo na mwisho ni kupunguzwa kwao kwa mwisho. Katika kesi hiyo, aina nzima ya mikakati inayowezekana ya kila mchezaji ni pamoja pamoja katika mkakati mmoja. Kwa njia hii, bila shaka, inawezekana kupata tu uamuzi wa mchezo wa karibu, lakini mara nyingi suluhisho sahihi haihitajiki.

Hata hivyo, inapaswa kuzingatiwa kuwa wakati wa kutumia mapokezi haya, ufumbuzi unaweza kuonekana katika uwanja wa mikakati iliyochanganywa, hata wakati ambapo suluhisho la mchezo wa awali usio na kipimo unawezekana katika mikakati ya wavu, i.e. Wakati mchezo usio na mwisho una hatua ya kitanda. Ikiwa, kwa habari ya mchezo usio na mwisho, suluhisho la mchanganyiko lilipatikana, ambalo linajumuisha mbinu mbili za jirani "muhimu", ni busara kujaribu kutumia mkakati wa kati wa mchezo usio na mwisho kati yao.

Kwa kumalizia, tunaona kwamba michezo isiyo na mwisho kinyume na mwisho inaweza kuwa na ufumbuzi. Hebu tupe mfano wa mchezo usio na usio na suluhisho. Wachezaji wawili wito kila integer yoyote. Jina lake zaidi Hupata kutoka kwenye ruble nyingine 1. Ikiwa wote wanaitwa namba sawa, mchezo unamalizika kwa kuteka. Mchezo huo hauwezi kuwa na ufumbuzi. Hata hivyo, kuna madarasa ya michezo isiyo na mwisho ambayo suluhisho ni wazi.

Mkakati mchanganyiko wa SA Player A inaitwa matumizi ya mikakati safi A1, A2, ..., nina probabilities P1, P2, ..., PI, ..., PM na jumla ya uwezekano ni 1: mchanganyiko Mikakati ya mchezaji ni iliyoandikwa kwa namna ya matrix au kwa namna ya String SA \u003d (P1, P2, ..., PI, ..., PM), mikakati iliyochanganywa kwa mchanganyiko katika kuteua :, au, sb \u003d (Q1, Q2, ..., Qi, ..., qn), ambapo jumla ya uwezekano wa kuonekana kwa mikakati ni 1: Mikakati safi inaweza kuchukuliwa kuwa kesi maalum ya mchanganyiko na kuweka kamba ambayo 1 inafanana kwa mkakati safi. Kulingana na kanuni ya minimax, suluhisho mojawapo (au uamuzi) wa mchezo umeamua: ni jozi ya mikakati bora S * A, S * B katika kesi ya jumla ya mchanganyiko, yenye mali zifuatazo: Ikiwa mmoja wa wachezaji anazingatia mkakati wake bora, basi mwingine hawezi kuwa na kurudi kwao kwao. Winnings sambamba na suluhisho bora inaitwa bei ya mchezo V. Bei ya mchezo inatimiza usawa :? ? v? ? (3.5) wapi? na? - Chini I. bei ya juu Michezo. Fair theorem ya msingi ya nadharia ya mchezo ni theorem ya Neuman. Kila mchezo wa mwisho una angalau suluhisho moja mojawapo, labda kati ya mikakati iliyochanganywa. Hebu S * A \u003d (p * 1, p * 2, ..., p * i, ..., p * m) na s * b \u003d (Q * 1, Q * 2, ..., Q * Mimi, ..., Q * n) - jozi ya mikakati bora. Ikiwa mkakati wa wavu huingia mkakati bora unaochanganywa na uwezekano usio na sifuri, inaitwa kazi. Theorem ya mkakati ya kazi ni sahihi: Ikiwa mmoja wa wachezaji anazingatia mkakati wake mchanganyiko mzuri, ushindi hubakia bila kubadilika na sawa na bei ya mchezo V, ikiwa mchezaji wa pili haendi zaidi ya mikakati yake ya kazi. Theorem hii ina umuhimu mkubwa - inatoa mifano maalum ya kutafuta mikakati bora kwa kutokuwepo kwa hatua ya kitanda. Fikiria ukubwa wa mchezo wa 2 × 2, ambayo ni kesi rahisi ya mchezo wa mwisho. Ikiwa mchezo huo una hatua ya kitanda, basi suluhisho mojawapo ni jozi ya mikakati safi inayohusiana na hatua hii. Mchezo ambao hakuna hatua ya kitanda, kwa mujibu wa theorem kuu ya nadharia ya mchezo, suluhisho mojawapo ipo na imedhamiriwa na jozi ya mikakati iliyochanganywa S * A \u003d (p * 1, p * 2) na s * B \u003d (Q * 1, Q * 2). Ili kuwapata, tunatumia Theorem ya mkakati halisi. Ikiwa mchezaji na ana mkakati wake wa mkakati wa "A, basi mafanikio yake ya wastani yatakuwa sawa na bei ya mchezo V, chochote mkakati wa kazi kwa mchezaji V. Kwa kucheza 2 × 2 Mkakati wowote wa adui safi ni kazi ikiwa hakuna Saddle uhakika. Kushinda mchezaji A (kupoteza mchezaji) - thamani ya random., matarajio ya hisabati (thamani ya wastani) ambayo ni bei ya mchezo. Kwa hiyo, mchezaji wa wastani kushinda (mkakati bora) atakuwa sawa na V na kwa 1, na kwa mkakati wa 2 wa adui. Hebu mchezo uliowekwa na matrix ya malipo ya mshindi wa wastani wa mchezaji A, ikiwa inatumia mkakati mzuri wa mchanganyiko, na mchezaji katika mkakati safi B1 (hii inafanana na safu ya 1 ya Matrix P), ni bei ya Mchezo V: A11 P * 1 + A21 P * 2 \u003d v. Wastani wa wastani hupokea mchezaji A kama mchezaji wa 2 anatumia mkakati wa B2, i.e. A12 P * 1 + A22 P * 2 \u003d V. Kuzingatia kwamba P * 1 + p * 2 \u003d 1, tunapata mfumo wa equations kwa kuamua mkakati bora S "A na bei ya mchezo V: (3.6) Kutatua mfumo huu, tunapata mkakati bora (3.7) na Bei ya mchezo (3.8) Kutumia theorem kuhusu mikakati ya kazi wakati wa kupata SV * - mkakati wa mchezaji mzuri, tunapata hiyo kwa mkakati wowote safi wa mchezaji A (A1 au A2), hasara ya wastani ya mchezaji ni sawa na bei ya mchezo V, yaani (3.9) mkakati bora unatambuliwa na formula: (3.10)

"Safi" mikakati.

Tayari tunajua na jamb. Hata hivyo, nini kitatokea ikiwa utaondoa shoals kutoka mnyororo wa mkakati wowote? Tutapata "mkakati safi". Mikakati safi ni wale katika mlolongo wa matendo ambayo, kuanzia mizizi yenyewe na kwa sehemu ya ufanisi, hakuna kutishia kutishia (shoals), na hii inaweza mara nyingi kushuhudia tu kuwepo kwa vitengo vyote katika fahamu.

Bila shaka, kutokana na mtazamo wa matokeo yote ya uwezekano wa matumizi ya mkakati, ni vigumu kwetu kuzungumza juu ya ufanisi zaidi, kwani hatuwezi tu kuwa na uzoefu fulani, na kwa hiyo mikakati fulani ya kati, hata hivyo, kutoka kwetu Uzoefu, mkakati unapaswa kuwa na ufanisi iwezekanavyo.

Dhana ya mikakati safi pia ni moja ya vifaa muhimu katika vifaa hivi, hivyo nitawapa mfano:

Jioni. Unaharakisha nyumbani katika eneo lako la nyumbani. Maziwa hukimbia. Flying na "aina ya tuhuma ya aina fulani" unasikia katika anwani yako "Hey, wewe, [udhibiti wa kuchonga]. Huenda hapa, theluji ni hit! ".

Utafanya nini? Chaguo inaweza kuwa mengi. Mtu atapata uhusiano huo, mtu anaogopa na kuharakisha hatua, mtu hubadilisha kitu katika kujibu. Hata hivyo, hebu fikiria juu ya kile katika kesi hii ni mkakati wa tabia safi?

Mtu asiyejulikana kwako, kitu kinakupigania mitaani. Una biashara yetu wenyewe, ambayo kwa kweli unakwenda. Kwa kuzingatia maandiko, faida nzuri kwako kutoka kwa kuwasiliana na mtu huyu haziwezekani. Hitimisho la kimantiki: kwa utulivu kwenda zaidi na mambo yako. Ninazingatia ukweli kwamba ni "utulivu", bila kivuli hisia hasi, na kwa kutojali kwa afya kwa kile kinachotokea. Watu wangapi watakuja hivyo? Nadhani kuwa wachache sana. Kwa nini?

Kwa sababu watu wengi wana safu nzima ya mikakati ya subconscious iliyofungwa katika tabaka ya chini ya kujitegemea, hasa wale wanaweza kuwa: "Daima jibu la udanganyifu kwa udanganyifu", "ikiwa mtu anasema uovu, basi unahitaji kukimbia", "ikiwa Mtu wa grubit - unahitaji kujaza uso wake, "ikiwa mtu anajisikia, inamaanisha kuna hatari," na kama ilivyo tofauti na tofauti. Bila shaka, si kila mtu atachukua hatua za kazi, lakini kihisia kitahudhuria karibu kila mtu. Na hii ni jamb.

Mikakati safi ni daima ya kihisia au chanya, na imewekwa katika ubongo wako, inabakia tu kuitumia.

Unaweza kusoma kidogo kuhusu mikakati safi katika maelezo "Kwa nini mikakati safi?" na "nyumba, hopkins, na kadhalika".

Mikakati 1. Ufafanuzi wa neno "mkakati": a) hutoka kwa neno la Kiyunani "Mikakati", maana: "Kiongozi wa kijeshi", "sayansi, sanaa ya vita", "Sanaa ya usimamizi wa umma, mapambano ya kisiasa" .b ) Mpango wa kina wa kufikia lengo au faida

Mikakati yako ya utafiti itaendelea kiwango cha ubora kabisa ikiwa unafikiri na kuchagua mkakati wa utekelezaji. Uwezo ni mpango wa jumla. Hii ni mstari wa kawaida na hali halisi. Hizi ni malengo, muda wa mwisho, kutokuwa na uhakika na uhasibu mkubwa ... hii ni maana ya pigo